Herramientas algenbra lineal (43)

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d)
∣∣∣∣∣∣
0 0 1
2 1 0
0 3 −1
∣∣∣∣∣∣ = 6 6= 0. El sistema es compatible indeterminado y el sistema

x6 = 1− 3x1 − 2x2 − x3
2x4 + x5 = 1− x1
3x5 − x6 = −2x1
es compatible y
x4 =
2 + 2x1 + 2x2 + x3
6
x5 =
1− 5x1 − 2x2 − x3
3
x6 = 1− 3x1 − 2x2 − x3
— — —
11. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones en C
x+ y + z = a
x+ wy + w2z = b
x+ w2y + wz = b

sabiendo que w es una ráız cúbica de la unidad.
Solución:
El determinante del sistema es∣∣∣∣∣∣
1 1 1
1 w w2
1 w2 w
∣∣∣∣∣∣ = (w − 1)2 − (w2 − 1)2 = 3w(w − 1)
(Nota: puesto que w3 = 1, se tiene w4 = w, ..., y w3 − 1 = (w − 1)(w2 + w + 1)).
Si w(w − 1) 6= 0, el sistema es compatible y determinado para todo a, b ∈ C y
resolviendo el sistema por Cramer,
128 CAPÍTULO 5. DETERMINANTES
x =
∣∣∣∣∣∣
a 1 1
b w w2
b w2 w
∣∣∣∣∣∣
3w(w − 1)
=
a+ 2b
3
y =
∣∣∣∣∣∣
1 a 1
1 b w2
1 b w
∣∣∣∣∣∣
3w(w − 1)
=
a− b
3
z =
∣∣∣∣∣∣
1 1 a
1 w b
1 w2 b
∣∣∣∣∣∣
3w(w − 1)
=
a− b
3
si w(w − 1) = 0, se tiene que w = 0 o w − 1 = 0, pero si w3 = 1, es w 6= 0, luego
ha de ser w − 1 = 0, es decir w = 1, en cuyo caso1 1 1 a1 1 1 b
1 1 1 b
 ∼
1 1 1 a0 0 0 b− a
0 0 0 b− a

y para que el sistema sea compatible, b− a = 0, y el conjunto de soluciones es
{(x, y, z) ∈ C3/x+ y + z = a}
si a 6= b, el sistema es incompatible.
— — —
12. Estudiar si son, o no, linealmente independentes, los conjuntos de vectores de
R3 siguientes.
a) {(2, 1,−3), (4, 5,−3), (2, 1, 1)},
b) {(1, 1, 3), (2,−1, 3), (2,−5,−3)},
c) {(1, 1, 2), (4, 6, 8), (3, 5, 6)}.
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Solución:
Calculemos los determinantes de estas familias de vectores
a)
∣∣∣∣∣∣
2 4 2
1 5 1
−3 −3 1
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
2 0 0
1 3 0
−3 3 4
∣∣∣∣∣∣ = 24 6= 0
b)
∣∣∣∣∣∣
1 2 2
1 −1 −5
3 3 −3
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
1 0 0
1 −3 −7
3 −3 −9
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣−3 −7−3 −9
∣∣∣∣ = 6 6= 0
c)
∣∣∣∣∣∣
1 4 3
1 6 5
2 8 6
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
1 0 0
1 2 2
2 0 0
∣∣∣∣∣∣ = 0
Luego, las dos primeras familias son independientes y la última dependiente.
— — —
13. Estudiar para qué valores de α los siguientes conjuntos de vectores de R3 y R4
respectivamente, son linealmente independentes.
a) {(1, α, 2), (−1, α, 3), (2, 1, 1)}.
b) {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 0, 0), (1,−1, 0, α), (1, 0, 2, 1)}.
Solución:
Calculemos el determinante de estas familias de vectores y obliguemos a que sean
no nulos
a)
∣∣∣∣∣∣
1 −1 2
α α 1
2 3 1
∣∣∣∣∣∣ = α + 6α− 2− 4α− 3 + α = 4α− 5
4α− 5 6= 0 si y sólo si α 6= 5
4
.
b)
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1 1
1 1 −1 0
1 0 0 2
1 0 α 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ = α + 2