Herramientas algenbra lineal (63)

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u1 ∈ Ker (A− 2I)4\Ker (A− I)3
u2 = (A− 2I)u1
u3 = (A− 2I)2u1
u4 = (A− 2I)3u1
Calculemos pues, las potencias de (A− 2I)
(A− 2I)2 =

0 0 −6 7
0 0 −4 5
0 0 0 0
0 0 0 0
 , (A− 2I)3 =

0 0 −2 2
0 0 −2 2
0 0 0 0
0 0 0 0
 , (A− 2I)4 = 0
Escogemos u1 = (0, 0, 1, 0), por lo que
u2 = (1, 1,−2,−2), u3 = (−6,−4, 0, 0), u4 = (−2,−2, 0, 0).
— — —
6. Sea
A =

4 0 0 −1 1
−1 3 0 1 0
1 0 3 0 0
1 0 0 2 1
0 0 0 0 3
 .
Hallar la forma reducida de Jordan aśı como la base en la cual la matriz adopta la
forma reducida hallada.
Solución:
Busquemos los valores propios
det(A− tI) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
4− t 0 0 −1 1
−1 3− t 0 1 0
1 0 3− t 0 0
1 0 0 2− t 1
0 0 0 0 3− t
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= (−1)5(t− 3)5.
188 CAPÍTULO 8. FORMA REDUCIDA DE JORDAN
Determinemos ahora el tamaño de las cajas de Jordan
dim Ker (A− 3I) = 5− rango(A− 3I) = 5− rango

1 0 0 −1 1
−1 0 0 1 0
1 0 0 0 0
1 0 0 −1 1
0 0 0 0 0

= 5− 3 = 2
dim Ker (A− 3I)2 = 5− rango(A− 3I)2 = 5− rango

0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1 0 0 −1 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0

= 5− 1 = 4
dim Ker (A− 3I)3 = 5− rango(A− 3I)3 = 5− rango(0) = 5− 0 = 5
Concluimos que la forma reducida de Jordan tiene dos cajas y la de tamaño más
grande es de orden tres, en definitiva:
J =

3 0 0 0 0
1 3 0 0 0
0 1 3 0 0
0 0 0 3 0
0 0 0 1 3
 .
Determinemos ahora una base en la cual la matriz adopta esta forma reducida.
u1 ∈ Ker (A− 3I)3\Ker (A− I)2
u2 = (A− 3I)u1
u3 = (A− 3I)2u1
u4 ∈ Ker (A− 3I)2\Ker (A− I), l. i. con u2, u3
u5 = (A− 3I)u4
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(Observamos que u4 también es l.i. con u1, u2, u3)
u1 = (1, 0, 0, 0, 0)
u2 = (1,−1, 1, 1, 0)
u3 = (0, 0, 1, 0, 0)
u4 = (0, 0, 0, 1, 1)
u5 = (0, 0, 0, 1, 1)
.
— — —
6. Hallar la forma reducida de Jordan de
A =
1 −1 11 1 0
1 −a 1 + a

según los valores del parámetro a ∈ R.
Solución:
Hallemos los valores propios, el polinomio caracteŕıstico es
det(A− tI) = (1− t)2(a+ 1− t)
Por lo que los valores propios son 1,1, a+ 1
Para a 6= 0 el valor propio 1 es doble
rank (A− I) = rank
0 −1 11 0 0
1 −a a
 = 2
de donde dim Ker (A− I) = 1 y la forma reducida de Jordan es
J =
11 1
a+ 1

Si a = 0 el valor propio 1 es de multiplicidad 3 pero
rank (A− I) = rank
0 −1 11 0 0
1 0 0
 = 2