Herramientas algenbra lineal (47)

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Calculemos la dimensión del subespacio de vectores propios de valor propio 1:−2 2 0−2 2 0
−2 1 1
xy
z
 =
00
0

Esto es, Ker (A− I) = {(x, y, z) | −x+ y = 0, z = 0} = [(1, 1, 0)]
Luego dim Ker (A− I) = 1 6= 2. Por lo tanto A no diagonaliza.
Estudiemos la matriz B
det(B − tI) =
∣∣∣∣∣∣
1− t 4 −2
0 3− t 0
1 1 1− t
∣∣∣∣∣∣ = (3− t)((1 +√2i)− t)((1−√2i)− t)
Observamos que en R el polinomio caracteŕıstico sólo tiene una ráız mientras que
en C tiene tres. Es decir en R tiene un sólo valor propio (simple) y en C tiene tres
valores propios distintos, por lo que B no diagonaliza en R, pero śı en C).
— — —
6. Estudiar la diagonalización de los endomorfismos de R4 cuyas matrices en la base
canónica de R4, son:
A =

1 0 −1 0
2 −1 −3 0
1 0 −1 0
0 0 0 2
 y B =

0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0

Solución:
Busquemos los valores propios
det(A− tI) =
∣∣∣∣∣∣∣∣
1− t 0 −1 0
2 −1− t −3 0
1 0 −1− t 0
0 0 0 2− t
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
140 CAPÍTULO 6. DIAGONALIZACIÓN DE ENDOMORFISMOS
=
∣∣∣∣1− t −11 −1− t
∣∣∣∣ · (−1− t) · (2− t) = t2(−1− t)(2− t).
Los valores propios son 0 de multiplicidad 2, -1 y 2.
Calculemos la dimensión del subepacio de vectores propios de valor propio 0
1 0 −1 0
2 −1 −3 0
1 0 −1 0
0 0 0 2


x
y
z
t
 = (0, 0, 0, 0)
KerA = {(x, y, z, t) =| x = z, y = t = 0} = [(1, 0, 1, 0)]
Por lo tanto dim KerA = 1 6= 2 y A no diagonaliza.
Estudiemos B
Al ser la matriz triangular los valores propios son los elementos de la diagonal. Es
aśı que todos son nulos y la matriz B no es nula, concluimos que la matriz B no
diagonaliza.
Observar que las matrices escalares lo siguen siendo por cambio de base: S−1λIS =
λI. Es aśı que si el polinomio caracteŕıstico de una matriz A es (λ − t)n, esta no
diagonaliza salvo que dicha matriz fuese escalar.
— — —
7. Estudiar la diagonalización sobre R del endomorfismo f de R3[t] definido por
f(a0 + a1t+ a2t
2 + a3t
3) = (a0 − a1) + 2a1t− a2t2 + (a2 + 2a3)t3.
Solución:
Consideremos la base {1, t, t2, t3} y escribamos la matriz de la aplicación en dicha
base
A =

1 −1 0 0
0 2 0 0
0 0 −1 0
0 0 1 2
 .
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Observamos que es una matriz diagonal por bloques por lo que distinguimos dos
subespacios invariantes a saber [1, t] y [t2, t3].
Calculemos los valores propios
det(A− tI) =
∣∣∣∣∣∣∣∣
1− t −1 0 0
0 2− t 0 0
0 0 −1− t 0
0 0 1 2− t
∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣1− t −10 2− t
∣∣∣∣ ∣∣∣∣−1− t 01 2− t
∣∣∣∣ = (1− t)(2− t)2(−1− t)
Los valores propios son 2 doble, 1, -1.
Observamos que dim Ker(A − 2I) = 2 puesto que el subespacio invariante [1, t]
contiene un vector propio de valor propio 2 y el subespacio [t2, t3] contiene otro.
Podemos pues concluir que el endomorfismo diagonaliza.
— — —
8. Estudiar la diagonalización del endomorfismo f de R3[t] definido por f(P (t)) =
P ′′(t)− P ′(0)t.
Solución:
Consideremos la base {1, t, t2, t3} y escribamos la matriz de la aplicación en dicha
base. Para ello busquemos las imágenes de los vectores de la base
f(1) = 0
f(t) = t
f(t2) = 2
f(t3) = 6t
luego la matriz es

0 0 2 0
0 1 0 6
0 0 0 0
0 0 0 0
