problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (214)

Vista previa del material en texto

8.2 Determinantes sencillos (2)
5. Calcular A2, A−1 y detA, siendo
A =

−1 −1 −1 −1
−1 −1 1 1
−1 1 −1 1
−1 1 1 −1
 .
6. Desarrollar el siguiente determinante llegando a una expresión formada
por factores de primer grado
∆ =
∣∣∣∣∣∣
x− 1 x2 − 1 x3 − 1
2x− 4 x2 − 4 x3 − 8
3x− 9 x2 − 9 x3 − 27
∣∣∣∣∣∣ .
Solución. 1. Efectuando la transformación C1 − 5C2 :
∆ =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
0 1 0 0 0
−19 5 1 0 0
−30 6 5 1 0
0 0 6 5 1
0 0 0 6 5
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= −
∣∣∣∣∣∣∣∣
−19 1 0 0
−30 5 1 0
0 6 5 1
0 0 6 5
∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Efectuando la transformación F4 − 5F3 :
∆ = −
∣∣∣∣∣∣∣∣
−19 1 0 0
−30 5 1 0
0 6 5 1
0 −30 −19 0
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
−19 1 0
−30 5 1
0 −30 −19
∣∣∣∣∣∣ = 665.
2. Tenemos ∆ = det
[
A B
0 C
]
con: A =
[
3 5
2 1
]
, C =
4 3 51 4 3
2 −1 2
 , por
tanto:
∆ = detA · detC = (−7) · 11 = −77.
3. Sumando a la tercera columna la primera multiplicada por 100 y la se-
gunda multiplicada por 10 :
∆ =
∣∣∣∣∣∣
1 6 1 · 100 + 6 · 10 + 5
1 8 1 · 100 + 8 · 10 + 0
1 9 1 · 100 + 9 · 10 + 5
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
1 6 165
1 8 180
1 9 195
∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣
1 6 15p
1 8 15q
1 9 15r
∣∣∣∣∣∣ = 15
∣∣∣∣∣∣
1 6 p
1 8 q
1 9 r
∣∣∣∣∣∣ = 15∆1 (p, q, r ∈ Z).