problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (291)

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Caṕıtulo 9. Espacios vectoriales
3. a) Expresando p(x) = x1 · 1 + x2(x+ 2) + x3(x+ 2)2 + x4(x+ 2)3 :
−2x3 − 11x2 − 25x− 20 = x1 + x2(x+ 2) + x3(x2 + 4x+ 4)+
x4(x
3 + 6x2 + 12x+ 8)
= (x1 + 2x2 + 4x3 + 8x4)
+ (x2 + 4x3 + 12x4)x+ (x3 + 6x4)x
2 + x4x
3.
Identificando corficientes obtenemos el sistema:
x1 + 2x2 + 4x3 + 8x4 = −20
x2 + 4x3 + 12x4 = −25
x3 + 6x4 = −11
x4 = −2,
cuya única solución es x1 = 2, x2 = −5, x3 = 1, x4 = −2, por tanto
[p(x)]B = (2,−5, 1,−2)t.
Segundo método. Aplicando la fórmula de Taylor a p(x) en x0 = −2 :
p(x) = −2x3 − 11x2 − 25x− 20⇒ p(−2) = 2
p′(x) = −6x2 − 22x− 25⇒ p′(−2) = −5
p′′(x) = −12x− 22⇒ p′′(−2) = 2
p′′′(x) = −12⇒ p′′′(−2) = −12
p(4)(x) = 0⇒ p(4)(−2) = 0.
Entonces,
p(x) = p(−2) + p
′(−2)
1!
(x+ 2) +
p′′(−2)
2!
(x+ 2)2 +
p′′′(−2)
3!
(x+ 2)3
= 2− 5(x+ 2) + (x+ 2)2 − 2(x+ 2)3,
por tanto, [p(x)]B = (2,−5, 1,−2)t.
b) Dado que p(x) = (−20) · 1− 25x− 11x2 − 2x3, se verifica
[p(x)]B′ = (−20,−25,−11,−2)t.
4, 1) Sea B = {u1, . . . , un}, y supongamos que:
[x]B =
x1...
xn
 , [x]B =
x
′
1
...
x′n
 ,