problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (302)

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9.31 Espacio vectorial cociente
es base de E. Demostrar que una base de E/F es
BE/F = {ur+1 + F, . . . , un + F}.
Deducir que dimE/F = dimE − dimF , igualdad válida también para los
casos r = 0 o r = n.
Solución. 1. (i) Usando el conocido método para el cálculo de una base de
un subespacio dado por sus ecuaciones cartesianas, obtenemos fácilmente
una base de F :
BF = {(−1, 2, 1, 0), (−4, 2, 0, 1)}.
(ii) Ampliemos la base BF para obtener una base de R4. Dado que
rg

−1 2 1 0
−4 2 0 1
0 0 1 0
0 0 0 1
 = 4,
una base de R4/F es
B = {(−1, 2, 1, 0), (−4, 2, 0, 1), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)},
por tanto una base de R4/F es
BR4/F = {(0, 0, 1, 0) + F, (0, 0, 0, 1) + F} .
(iii) Expresemos el vector dado como combinación lineal de la base hallada
en el apartado anterior. Tenemos
(1,−3, 2, 6) + F = λ1 [(0, 0, 1, 0) + F ] + λ2 [(0, 0, 0, 1) + F ]
⇔ (1,−3, 2, 6) + F = (0, 0, λ1, λ2) + F ⇔ (1,−3, 2− λ1, 6− λ2) ∈ F
⇔ (1,−3, 2− λ1, 6− λ2) ∈ L[(−1, 2, 1, 0), (−4, 2, 0, 1)].
La última condición equivale a que
rg
−1 2 1 0−4 2 0 1
1 −3 2− λ1 6− λ2
 = 2,
y triangulando, equivale a que:
rg
−1 2 1 00 −6 −4 1
0 0 6λ1 − 22 6λ2 − 35
 = 2,