problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (312)

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10.1 Concepto de aplicación lineal (1)
Ídem considerando C como espacio vectorial sobre el cuerpo R.
Solución. 1. Usando conocidas propiedades de la derivación:
(i) Para todo p, q ∈ R[x] :
f(p+ q) = (p+ q)′ = p′ + q′ = f(p) + f(q).
(ii) Para todo λ ∈ K y para todo p ∈ R[x] :
f(λp) = (λp)′ = λp′ = λf(p).
Concluimos que f es lineal.
2. Usando conocidas propiedades de la transposición: (i) Para todo X,Y ∈
Km×n :
f(X + Y ) = (X + Y )T = XT + Y T = f(X) + f(Y ).
(ii) Para todo λ ∈ K y para todo X ∈ Km×n :
f(λX) = (λX)T = λXT = λf(X).
Concluimos que f es lineal.
3. (i) Para todo X,Y ∈ Kn×n :
f(X + Y ) = A(X + Y )− (X + Y )A = AX +AY −XA− Y A
= (AX −XA) + (AY − Y A) = f(X) + f(Y ).
(ii) Para todo λ ∈ K y para todo X ∈ Kn×n :
f(λX) = A(λX)− (λX)A = λ(AX)− λ(XA) = λ(AX −XA) = λf(X).
Concluimos que f es lineal.
4. Usando conocidas propiedades de la integral definida, se verifica para todo
λ, µ ∈ R y para todo x(t), y(t) ∈ C[a, b] :
f (λx(t) + µy(t)) =
∫ b
a
(λx(t) + µy(t)) dt
= λ
∫ b
a
x(t) dt+ µ
∫ b
a
y(t) dt = λf (x(t)) + µf (y(t)) .
Concluimos que f es lineal.