problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (321)

Vista previa del material en texto

Caṕıtulo 10. Aplicaciones lineales
10.5. Matriz de una aplicación lineal
1. Sean E y F espacios vectoriales reales y BE = {u1, u2, u3}, BF =
{v1, v2, v3, v4} bases de E y F respectivamente. Se considera la aplicación
lineal f : E → F definida por:
f(u1) = v1 − v2 + v3
f(u2) = 2v1 + 2v2 + v3 + 2v4
f(u3) = 4v2 − v3 + 2v4.
Hallar la matriz A de f respecto de las bases BE y BF .
2. Se considera la aplicación lineal f : R3 → R2 de finida por:
f(x, y, z) = (x+ y + z, 3y).
Determinar la matriz de f con respecto de las base canónica B del espacio
inicial y la B′ = {(2, 0), (0,−1)} del espacio final.
3. Sea R5[x] el espacio vectorial real de los polinomios de grado ≤ 5 con
coeficientes en R. Se considera la aplicación lineal
T : R5[x]→ R5[x], T (p(x)) = p(x+ 1)− p(x).
Hallar la matriz de T con respecto a la base canónica B en el espacio inicial
y la misma B en el espacio final.
4. Sea P3(R) el espacio vectorial de los polinomios reales de grado ≤ 3,
M2(R) el de las matrices cuadradas reales de orden 2 y α un número real.
Definimos la aplicación T : P3(R)→M2(R),
Tα(p) =
[
p(α) p(α+ 1)
p′(α) p′(α+ 1)
]
.
Demostrar que Tα es lineal y hallar su matriz en las respectivas bases canóni-
cas de P3(R) y M2(R).
5. Sea el espacio vectorial usual C2 sobre el cuerpo de los reales. Sea la
transformación lineal T : C2 → C2 dada por
T (z1, z2) = (iz1 − z2, z2).
Obtener la matriz asociada a T referida a la base de C2 :
B = {(1, 0), (2i, 0), (0, 1), (0, 2− 3i)}.