problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (323)

Vista previa del material en texto

Caṕıtulo 10. Aplicaciones lineales
Transponiendo, obtenemos la matriz pedida:
A = [T ]BB =

0 1 1 1 1 1
0 0 2 3 4 5
0 0 0 3 6 10
0 0 0 0 4 10
0 0 0 0 0 5
0 0 0 0 0 0
 .
4. Para todo λ, µ ∈ R y para todo p, q ∈ P3(R) :
Tα(λp+ µq) =
[
(λp+ µq)(α) (λp+ µq)(α+ 1)
(λp+ µq)′(α) (λp+ µq)′(α+ 1)
]
=
[
λp(α) + µq(α) λp(α+ 1) + µq(α+ 1)
λp′(α) + µq′(α) λp′(α+ 1) + µq′(α+ 1)
]
= λ
[
p(α) p(α+ 1)
p′(α) p′(α+ 1)
]
+ µ
[
q(α) q(α+ 1)
q′(α) q′(α+ 1)
]
= λTα(p) + µTα(q)
es decir, Tα es lineal.
Consideremos las respectivas bases canónicas en P3(R) y M2(R) :
B = {1, x, x2, x3},
B′ = {e1 =
[
1 0
0 0
]
, e2 =
[
0 1
0 0
]
, e3 =
[
0 0
1 0
]
, e4 =
[
0 0
0 1
]
}
y hallemos las imágenes de los vectores de B en función de B′.
Tα(1) =
[
1 1
0 0
]
= e1 + e2,
Tα(x) =
[
α α+ 1
1 1
]
= αe1 + (α+ 1)e2 + e3 + e4,
Tα(x
2) =
[
α2 (α+ 1)2
2α 2(α+ 1)
]
= α2e1 + (α+ 1)
2e2 + 2αe3 + 2(α+ 1)e4,
Tα(x
3) =
[
α3 (α+ 1)3
3α2 3(α+ 1)2
]
= α3e1 + (α+ 1)
3e2 + 3α
2e3 + 3(α+ 1)
2e4.
Transponiendo coeficientes obtenemos:
A = [Tα]
B′
B =

1 α α2 α3
1 α+ 1 (α+ 1)2 (α+ 1)3
0 1 2α 3α
0 1 2(α+ 1) 3(α+ 1)2
 .