problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (331)

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Caṕıtulo 10. Aplicaciones lineales
Transponiendo coeficientes obtenemos:
A = [T ]BB =

0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 −1
 .
8. a) Hallemos los transformados de los vectores de la base B, en función de
B.
f(1) = x · 0 + 2k · 0 = 0,
f(x3) = x · (3x2) + 2k · (6x) = λ1 · 1 + λ2x3 + λ3(1 + x) + λ4(1− x2),
f(1 + x) = x · 1 + 2k · 0 = µ1 · 1 + µ2x3 + µ3(1 + x) + µ4(1− x2),
f(1− x2) = x · (−2x) + 2k · (−2) = γ1 · 1 + γ2x3 + γ3(1 + x) + γ4(1− x2).
Identificando coeficientes y resolviendo:
λ1 = −12k, λ2 = 3, λ3 = 12k, λ4 = 0,
µ1 = −1, µ2 = 0, µ3 = 1, µ4 = 0,
γ1 = −4k − 2, γ2 = 0, γ3 = 0, γ4 = 2.
Transponiendo coeficiente obtenemos la matriz A pedida:
A =

0 −12k −1 −4k − 2
0 3 0 0
0 12k 1 0
0 0 0 2
 .
b) |A| 6= 0 pues A tiene una linea formada por ceros. Por otra parte,∣∣∣∣∣∣
3 0 0
12k 1 0
0 0 2
∣∣∣∣∣∣ = 6 6= 0,
luego rgA = 3 para todo k ∈ R. Entonces, dim(ker f) = 4 − rgA = 1 para
todo k ∈ R. Es decir, no existen valores de k para los cuales dim(ker f) > 1.
	 Aplicaciones lineales
	Núcleo e imagen del operador derivación