problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (345)

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Caṕıtulo 10. Aplicaciones lineales
En consecuencia, una aplicación que satisface las hipótesis del enunciado es
la que cumple:
T (−1 + x3) = 0
T (1) = −1 + x3
T (x+ x2) = 0
T (x) = x+ x2
o bien

−T (1) + T (x3) = 0
T (1) = −1 + x3
T (x) + T (x2) = 0
T (x) = x+ x2.
Resolviendo el sistema, 
T (1) = −1 + x3
T (x) = x+ x2
T (x2) = −x− x2
T (x3) = −1 + x3,
y transponiendo coeficientes obtenemos la matriz de T en la base {1, x, x2, x3} :
M =

−1 0 0 −1
0 1 −1 0
0 1 −1 0
1 0 0 1
 .
10.11. Descomposición canónica, teorema de iso-
morf́ıa
1. Sea f : E → F una aplicación lineal. Demostrar que
(a) n : E → E/ ker f, n(x) = x+ ker f es epimorfismo.
(b) g : E/ ker f → Im f, g(x+ ker f) = f(x) es isomorfismo.
(c) i : Im f → F, i(x) = x es monomorfismo.
(d) El siguiente diagrama es conmutativo:
E
f−−−−→ F
n ↓ ↑ i
E/ ker f
g−−→ Im f
es decir, f = i ◦ g ◦ n.
2. Se considera la aplicación lineal f : R4 → R3 cuya matriz respecto de la
base canónica B de R4 y la canónica B′ de R3 es
A =
 2 −1 1 01 −1 2 −1
−1 −1 4 −3
 .
	 Aplicaciones lineales
	 Descomposición canónica, teorema de isomorfía