problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (372)

Vista previa del material en texto

10.19 Matrices de aplicaciones lineales
5. Dimensión de la imagen homomorfa de E(K) según g ◦ f .
6. Dimensión de ker f y de Im f .
7. ¿Es inyectiva f? ¿y g ◦ f?
8. ¿Pertenece u1 + u2 + u3 a ker f?
9. Encontrar una nueva base de F , B′F = {v′1, v′2, v′3} tal que la matriz
asociada a f respecto a BE y B
′
F sea I (matriz identidad).
(Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Arquitectura, UPM).
Solución. 1. Trasponiendo coeficientes, obtenemos la matriz pedida:
M(f) =
 2 0 10 1 0
−1 2 2
 .
2. Teniendo en cuenta que g es lineal:{
g(v1) + g(v3) = 2w1 + 4w2 + 6w3
g(v1)− g(v3) = 2w1 + 2w2 + 6w3.
Resolviendo el sistema obtenemos g(v1) = 2w1 + 3w2 + 6w3 y g(v3) = w2
con lo cual 
g(v1) = 2w1 + 3w2 + 6w3
g(v2) = w2
g(v3) = w2.
La matriz M(g) es por tanto M(g) =
2 0 03 1 1
6 0 0
 .
3. Usando un conocido teorema
M(g ◦ f) = M(g)M(f) =
2 0 03 1 1
6 0 0
 2 0 10 1 0
−1 2 2
 =
 4 0 25 3 5
12 0 6
 .
4. El determinante de M(g ◦ f) es nulo y al menos hay un menor de orden
no nulo de orden 2, en consecuencia rg M(g ◦ f) = 2.
5. dim(g ◦ f)(E) = rg M(g ◦ f) = 2.
6. La dimensión de la imagen de f es
dim Im f = rg M(f) = rg
 2 0 10 1 0
−1 2 2
 = 3.