problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (399)

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Caṕıtulo 11. Valores y vectores propios
= |P−1||A− λI||P | = 1
|P |
|A− λI||P | = |A− λI| = χA(λ).
Es decir, A y B tienen el mismo polinomio caracteŕıstico.
3. Una matriz genérica de orden 2 × 2 tiene la forma A =
[
a b
c d
]
. Su
polinomio caracteŕıstico es:
χ(λ) =
∣∣∣∣a− λ bc d− λ
∣∣∣∣ = ad− dλ− aλ+ λ2 − cd
= λ2 − (a+ d)λ+ ad− cd = λ2 − (traza A)λ+ detA.
Una matriz genérica de orden 3×3 tiene la formaA =
a b cd e f
g h i
 .Aplicando
la regla de Sarrus y agrupando términos semejantes en λ :
χ(λ) =
∣∣∣∣∣∣
a− λ b c
d e− λ f
g h i− λ
∣∣∣∣∣∣ = −λ3 + (a+ e+ i)λ2
− [(ei− hf) + (ai− cg) + (ae− db)]λ+ aei+ dhc+ bfg − gec− hfa− dbi
= −λ3 + (traza A)λ2 − (A11 +A22 +A33)λ+ detA.
4. Una matriz genérica de orden n× n es de la forma:
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
an1 an2 . . . ann
 .
Su polinomio caracteŕıstico es:
χ(λ) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 − λ a12 . . . a1n
a21 a22 − λ . . . a2n
...
...
an1 an2 . . . ann − λ
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .
En cada término de un determinante aparece exactamente uno de cada fila
y uno de cada columna. Un término es:
(a11 − λ)(a22 − λ) . . . (ann − λ). (1)