problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (409)

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Caṕıtulo 11. Valores y vectores propios
Existen dos valores propios reales y simples, en consecuencia f es diagona-
lizable.
(b) Subespacios propios:
V4 ≡
{
−2x1 + 2x2 = 0
x1 − x2 = 0,
V1 ≡
{
x1 + 2x2 = 0
x1 + 2x2 = 0.
Una base de V4 (en coordenadas en B) es {(1, 1)t}. Por tanto, una base de
V4 es BV4 = {u1 + u2}. Análogamente obtenemos BV1 = {−2u1 + u2}. Una
base de E formada por vectores propios de f es
B′ = {u1 + u2,−2u1 + u2}.
La matriz P pedida es la matriz de cambio de B a B′, es decir
P =
[
1 −2
1 1
]
, y se verifica P−1AP =
[
4 0
0 1
]
.
2. (a) Valores propios de f :
χ(λ) =
∣∣∣∣5− λ −11 3− λ
∣∣∣∣ = λ2 − 8λ+ 16 = 0⇔ (λ− 4)2 = 0⇔ λ = 4 (doble).
Existen dos valores propios reales. Subespacios propios:
V4 ≡
{
x1 − x2 = 0
x1 − x2 = 0
∼
{
x1 − x2 = 0.
La dimensión de V4 es dimV4 = 2− rgA =
[
1 −1
]
= 2− 1 = 1, menor que
la multiplicidad de λ = 4, por tanto f no es diagonalizable.
(b) No ha lugar.
3. (a) Valores propios de f :∣∣∣∣1− λ −12 −1− λ
∣∣∣∣ = λ2 + 1 = 0⇔ λ = ±i (simples).
No existen dos valores propios reales. En consecuencia, f no es diagonalizable
en R.
(b) Existen dos valores propios complejos y además son simples, por tanto
f es diagonalizable en C. Los subespacios propios son
Vi ≡
{
(1− i)x1 − x2 = 0
2x1 + (−1− i)x2 = 0,
V−i ≡
{
(1 + i)x1 − x2 = 0
2x1 + (−1 + i)x2 = 0.