Herramientas algenbra lineal (51)

Vista previa del material en texto

151
17. Sea f : R2[t] −→ R2[t] la aplicación lineal definida por:
f(p(t)) = αp(t)− p′′(0)t2
con α ∈ R. ¿Cuáles son los valores propios y los vectores propios de f?
Solución:
Consideremos la base {1, t, t2} de R2[t] y escribamos la matriz de la aplicación en
dicha base
f(1) = α
f(t) = αt
f(t2) = αt2 − 2t2 = (α− 2)t2
Observamos que los vectores de la base son vectores propios de valores propios α, α
y α− 2 respectivamente por lo que la matriz es diagonal:
A =
α 0 00 α 0
0 0 α− 2

Por lo que los subespacios de vectores propios son Ker(A − αI) = [1, t] y Ker(A −
(α− 2)I) = [t2].
— — —
18. ¿Existe alguna base de R2[t] formada por vectores propios del endomorfismo f
de R2[t] cuya matriz asociada, en la base (1, t, t2), sea
A =
 1 2 31
2
1 3
2
1
3
2
3
1
?
En caso afirmativo, dar una base formada por vectores propios de f .
Solución:
Observamos que el rango de la matriz es uno y que la traza de la matriz es tres. Por
lo que
det(A− tI) = t2(3− t)
152 CAPÍTULO 6. DIAGONALIZACIÓN DE ENDOMORFISMOS
Y puesto que dim KerA = 3− 1 = 2, la matriz diagonaliza.
Busquemos una base de vectores propios
KerA = {(x, y, z) | x+ 2y + 3z = 0} = [(−2, 1, 0), (−3, 0, 1)].
Ker(A− 3I) = {(x, y, z) | x+ 2y + 3z = 0, 1
2
x+ y +
3
2
z = 0} = [(6, 3, 2)].
Por lo tanto, una base de vectores propios es
{−2 + t,−3 + t2, 6 + 3t+ 2t2}.
— — —
19. Estudiar la diagonalización, según los distintos valores de α, de la matriz
A =
1− α −α −αα 1 + α −1 + α
0 0 2

Solución:
det(A− tI) = (1− t)2(2− t).
Luego los valores propios son 1 doble y 2.
dim Ker(A− I) =
{
1 si α 6= 0,
2 si α = 0.
Por lo que la matriz diagonaliza si y sólo si α = 0.
— — —
20. Estudiar la diagonalización del endomorfismo de R4 cuya la matriz en la base
canónica de R4, es:
A =

1 0 0 a
0 a −a 0
0 −a a 0
a 0 0 1

153
según los valores del parámetro a ∈ R. En los casos en que sea diagonalizable, dar
una base de R4 formada por vectores propios.
Solución:
Observamos que si a = 0, la matriz es diagonal.
det(A− tI) = ((1− a)− t)((1 + a)− t)t(2a− t).
Los valores propios son 1− a, 1 + a, 0, 2a.
Observamos que los subespacios F1 = [e1, e4] y F2 = [e2, e3] son invariantes y det(A−
tI) = det(A|F1 − tI2) det(A|F2 − tI2) = (((1− a)− t)((1 + a)− t)) · (t(2a− t)).
La matriz restricción a F1 es
A1 =
(
1 a
a 1
)
cuyos valores propios son 1 + a y 1− a que sólo son iguales si a = 0 en cuyo caso la
matriz es la identidad.
Una base de vectores propios es
Ker(A1 − (1− a)I2) = {(x, y) | ax+ ay = 0} = [(1,−1)]
Ker(A1 − (1 + a)I2) = {(x, y) | −ax+ ay = 0} = [(1, 1)].
Por lo que (1, 0, 0,−1) es un vector propio de A de valor propio 1 − a y (1, 0, 0, 1)
es un vector propio de A de valor propio 1 + a
La matriz restricción a F2 es
A2 =
(
a −a
−a a
)
cuyos valores propios son 0 y 2a que sólo son iguales si a = 0 en cuyo caso la matriz
es la nula.
Una base de vectores propios es
Ker(A2 − 0I2) = {(x, y) | ax− ay = 0} = [(1, 1)]
Ker(A2 − (2a)I2) = {(x, y) | −ax− ay = 0} = [(1,−1)].
Por lo que (0, 1, 1, 0) es un vector propio de A de valor propio 0 y (0, 1,−1, 0) es un
vector propio de A de valor propio 2a.