problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (415)

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Caṕıtulo 11. Valores y vectores propios
11.7. Teorema de Cayley-Hamilton
1. Verificar la validez del teorema de Cayley-Hamilton para la matriz
A =
[
3 −1
2 1
]
.
2. Se considera la matriz A =
[
4 2
3 3
]
. Usando el teorema de Cayley-
Hamilton, expresar A−1 como combinación lineal de I y de A.
3. Se considera la matriz A =
[
4 2
3 3
]
. Hallar su potencia enésima
(a) Por diagonalización.
(b) Usando el teorema de Cayley-Hamilton.
4. Dada la matriz real A =
[
−14 25
−9 16
]
, calcular ĺım
n→+∞
1
n
An (Propuesto en
examen, Álgebra, ETS Ing. de Montes, UPM).
Solución. 1. Polinomio caracteŕıstico de A :
χ(λ) =
∣∣∣∣3− λ −12 1− λ
∣∣∣∣ = λ2 − 4λ+ 5.
Sustituyendo λ por A :
χ(A) = A2 − 4A+ 5I =
[
7 −4
8 −1
]
− 4
[
3 −1
2 1
]
+ 5
[
1 0
0 1
]
=
[
0 0
0 0
]
.
2. El polinomio caracteŕıstico de A es
χ(λ) =
∣∣∣∣4− λ 23 3− λ
∣∣∣∣ = λ2 − 7λ+ 6.
Por el teorema de Cayley-Hamilton se verifica A2 − 7A+ 6I = 0, entonces
A2 − 7A+ 6I = 0⇔ A(A− 7I) = −6I ⇔ A
(
−1
6
(A− 7I)
)
= I.
Por definición de matriz inversa se concluye que A−1 = −1
6
A+
7
6
I.
3. (a) Valores propios de A :∣∣∣∣4− λ 23 3− λ
∣∣∣∣ = λ2 − 7λ+ 6 = 0⇔ λ = 1 ∨ λ = 6.