problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (429)

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Caṕıtulo 11. Valores y vectores propios
Xn = MXn−1 = M
2Xn−2 = M
3Xn−3 = . . . = M
n−2X2 = M
n−2X2.
Es decir, obtenemos la relación:[
Dn
Dn−1
]
= Mn−2
[
D2
D1
]
.
Hallemos Mn−2 por diagonalización. Valores propios de M :
det(M − xI) = det
[
p− x q
1 −x
]
= x2 − px− q,
cuyas ráıces son por hipótesis r, s con r 6= s lo cual asegura que M es
diagonalizable. Los subespacios propios son:
ker(M − rI) ≡
[
p− r q
1 −r
] [
x1
x2
]
=
[
0
0
]
,
ker(M − sI) ≡
[
p− s q
1 −s
] [
x1
x2
]
=
[
0
0
]
.
Unas bases son Br = {(r, 1)} , Bs = {(s, 1)} respectivamente. Se verifica
pues:
M = PDP−1 con D =
[
r 0
0 s
]
y P =
[
r s
1 1
]
.
Entonces: [
Dn
Dn−1
]
= Mn−2
[
D2
D1
]
= PDn−2P−1
[
D2
D1
]
=
[
r s
1 1
] [
rn−2 0
0 sn−2
]
· 1
r − s
[
1 −s
−1 r
] [
D2
D1
]
=
1
r − s
[
(rn−1 − sn−1)D2 + rs(sn−2 − rn−2D1)
(rn−2 − sn−2)D2 + rs(sn−3 − rn−3D1)
]
.
Queda por tanto:
Dn =
(rn−1 − sn−1)D2 + rs(sn−2 − rn−2)D1
r − s
. (1)
3. Por el apartado 1 tenemos D5 = p
3D2, en consecuencia:∣∣A−15 ∣∣ = 1|A5| = 1D5 = 1p3D2 = 18 · 4 = 132 .
4. El determinante pedido es el cuadrado del determinante Dn: