problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (451)

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Caṕıtulo 12. Formas canónicas de Jordan
En consecuencia, el polinomio mı́nimo de A es µ(λ) = λ3.
3. Hallemos la matriz A de D con respecto de la base canónica de R4[x].
Tenemos
D(1) = 0, D(x) = 1, D(x2) = 2x, D(x3) = 3x2, D(x4) = 4x3.
Trasponiendo coeficientes:
A =

0 1 0 0 0
0 0 2 0 0
0 0 0 3 0
0 0 0 0 4
0 0 0 0 0
 .
El polinomio caracteŕıstico de A es χ(λ) = λ5, por tanto los posibles poli-
nomios mı́nimos de A son
µ1(λ) = λ, µ2(λ) = λ
2, µ3(λ) = λ
3, µ4(λ) = λ
4, µ5(λ) = λ
5.
Sustituyendo λ por A obtenemos
µ1(A) = A 6= 0, µ2(A) = A2 = . . . 6= 0,
µ3(A) = A
3 = . . . 6= 0, µ4(A) = A4 = . . . 6= 0.
En consecuencia, el polinomio mı́nimo de D es µ(λ) = λ5.
4. Se verifica p(f) = f3 − I = 0 es decir, f3 = I o equivalentemente
f
(
f2
)
= I, lo cual implica que f es invertible y que f−1 = f2.
5. Hallemos la matriz A de f con respecto de la base canónica de R3[x].
f(1) =
1− 1
x
= 0, f(x) =
2x− x
x
= 1,
f(x2) =
4x2 − x2
x
= 3x, f(x3) =
8x3 − x3
x
= 7x2.
Transponiendo coeficientes
A =

0 1 0 0
0 0 3 0
0 0 0 7
0 0 0 0
