problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (468)

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12.9 Número e y exponencial de una matriz
c) Comprobar que la definición (∗) tiene aún sentido también cuando A es
una matriz 2×2 no diagonalizable que admite forma de Jordan. Aplicar esta
demostración para calcular eA cuando:
A =
[
3 1
−1 1
]
.
(Propuesto en examen, Álgebra, ETS Ing. de Montes, UPM).
Solución. a) Sea A = diag(λ1, λ2). Entonces
I +
1
m
A =
[
1 0
0 1
]
+
1
m
[
λ1 0
0 λ2
]
=
[
1 + λ1m 0
0 1 + λ2m
]
⇒
(
I +
1
m
A
)m
=
(1 + λ1m )m 0
0
(
1 + λ2m
) .
Usando la definición (∗) :
eA = ĺım
m→∞
(
I +
1
m
A
)m
= ĺım
m→∞

(
1 +
λ1
m
)m
0
0
(
1 +
λ2
m
)m

=
 ĺımm→∞
(
1 +
λ1
m
)m
0
0 ĺım
m→∞
(
1 +
λ2
m
)m
 = [eλ1 00 eλ2
]
.
En concreto, para la matriz A dada es
eA =
[
e3 0
0 e−1
]
.
b) Si A es diagonalizable entonces existe P invertible tal que A = PDP−1.
Entonces:
I +
1
m
A = PIP−1 +
1
m
PDP−1 = P
(
I +
1
m
A
)
P−1.
Elevando a m :(
I +
1
m
A
)m
= P
(
I +
1
m
D
)
P−1P
(
I +
1
m
D
)
P−1 . . . P
(
I +
1
m
D
)
P−1
= P
(
I +
1
m
D
)m
P−1.