problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (581)

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Caṕıtulo 14. Producto escalar
con lo cual podemos escribir
P = [p1, . . . , pm] = [a1, . . . , an]
µ11 . . . µm1... ...
µ1n . . . µmn

︸ ︷︷ ︸
W
= AW.
Como P ∗ = P por ser P matriz de proyección,
P = AW ⇒ P ∗ = W ∗︸︷︷︸
Q
A∗ = QA∗.
Como a1, . . . , an pertenecen al subespacio columna de A,
PA = P [a1, . . . , an] = [Pa1, . . . , Pan] = [a1, . . . , an] = A.
Entonces,
QA∗ = P ⇒ QA∗A = PA⇒ QA∗A = A⇒ Q = A (A∗A)−1
⇒ P = QA∗ = A (A∗A)−1A∗.
b) Hallemos una base de F, 2 −2 0 1 03 −2 2 −1 0
4 −2 4 −3 0
 2F2 − 3F1F3 − 2F1
∼
 2 −2 0 1 00 2 4 −5 0
0 2 4 −5 0

F3 − F2
∼
 2 −2 0 1 00 2 4 −5 0
0 0 0 0 0
 .
Por tanto,
F ≡
{
2x1 − 2x2 + x4 = 0
2x2 + 4x3 + 2x3 − 5x4 = 0.
Una base de F es
BF =
{
(−2− 2, 1, 0)T , (4, 5, 0, 2)T )
}
.
Entonces, F es el subespacio columna de la matriz
A =

−2 4
−2 5
1 0
0 2
 ,