problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (582)

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14.24 Matrices de proyección y simetŕıa
cuyas columnas son linealmente independientes. Por tanto, la matrices pe-
didas son
P = A (A∗A)−1A∗ = . . . =
1
9

4 4 −2 0
4 5 0 2
−2 0 5 4
0 2 4 4
 ,
S = 2P − I = . . . = 1
9

−1 8 −4 0
8 1 0 4
−4 0 1 8
0 4 8 −1
 .
5. 1) La dimensión de F es m−1. Sea BF = {e2, . . . em} una base ortonormal
de F. La matriz de proyección sobre F es P = e2e
∗
2 + · · ·+ eme∗m. Normali-
zando el vector N, obtenemos v = N/
√
N∗N. Dado que Km = F ⊕F⊥, una
base ortonormal de Km es
B = {v, e2, . . . , em}.
La proyección ortogonal de cualquier vector x de Km sobre Km es claramente
x, luego la matriz de proyección sobre Km es la identidad. En consecuencia,
I = vv∗ + e2e
∗
2 + · · ·+ eme∗m.
Es decir, I = vv∗ + P, de lo cual se deduce
P = I − vv∗ = I − N√
N∗N
N∗√
N∗N
= I − NN
∗
N∗N
.
2) Tenemos N = (2, i, 2)T , por tanto
P =
1 0 00 1 0
0 0 1
− 1
9
2i
2
 [2 −i 2] = . . . = 1
9
 5 2i −4−2i 8 −2i
−4 2i 5
 ,
S = 2P − I = . . . = 1
9
 1 4i −8−4i 7 −4i
−8 4i 1
 .
3) El vector pedido es
Sx =
1
9
 1 4i −8−4i 7 −4i
−8 4i 1
11
1
 = 1
9
−7 + 4i7− 8i
−7 + 4i
 .