TESTE II-ESTATISTICA -Guiao de Correção.docx-1

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INSTITUTO SUPERIOR DE CONTABILIDADE E AUDITORIA DE MOÇAMBIQUE 
Disciplina: Estatistica II Data: 13.05.2023 
Curso: LCA, LCFin, LCPA e LCF Duração: 2 horas 
Ano/Semestre: 2º Ano/1 º Semestre Docente: Grupo dedisciplina 
Teste II-Variante I 
GUIÃO DE CORRECÇÃO 
Inferência Estatística é fazer afirmações sobre características de uma população, baseando-se em resultados de uma amostra 
 
1. Diga qual é a diferença entre testes paramétricos e não – paramétricos. (2.5 val) 
 Testes Paramétricos: são procedimentos matemáticos para testes de hipóteses, onde a aplicação das suas 
técnicas exigem suposições de normalidade quanto à distribuição da variável populacional. Esses testes são 
apenas aplicados a dados numéricos; (1.25 val) 
 Testes Não-paramétricos: São procedimentos matemáticos para testes de hipóteses que, diferentemente da 
testes paramétricos, não fazem suposições sobre distribuição de probabilidade das variáveis a serem 
consideradas. Os testes Não-Paramétricos podem ser aplicados a uma ampla diversidade de situações, porque 
não exigem populações distribuídas normalmente, podem frequentemente ser aplicados a dados não-numéricos. 
(1.25 val) 
 
2. O director comercial de uma cadeia de lojas pretende comparar duas técnicas de vendas, A e B, para o mesmo produto. 
Utilizando a técnica de vendas A a quantidade do produto vendido por dia é em média de 816 Kg com um desvio 
padrão de 45 Kg. Adoptando a nova técnica de vendas B espera-se aumentar a quantidade de vendas diárias. Para 
testar tal hipótese registou-se a quantidade diária de vendas do produto durante 50 dias, obtendo-se um valor médio 
de 839 Kg. Pode aceitar-se a hipótese ao nível de significância de 1%? 
(3.0 val) 
Resolução: 
Do problema temos: 
𝜇0 = 816; σ0 = 45; 𝑛 = 50; �̅� = 839 𝑒 𝛼 = 0.01 (𝟎. 𝟐 𝐯𝐚𝐥) 
1º passo: Formular hipóteses 
{
H0: 𝜇 = 816 (𝐴 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑎 é 𝑑𝑒 816 𝐾𝑔 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑚é𝑡𝑜𝑑𝑜 𝐴) (𝟎. 𝟐 𝐯𝐚𝐥)
H1: 𝜇 > 816 (A quantidade média do produto vendido por dia é superior a 816 Kg pelo método B) (𝟎. 𝟑 𝐯𝐚𝐥)
 
2º passo: Fixar o limite de erro α e identificar a distribuíção amostral 
Nota que a variança populacional é conhecida, então: 
2 
 
Para 𝛼 = 0.01; �̅�~𝑁 (𝜇 =;
𝜎2
𝑛
) (𝟎. 𝟏 𝐯𝐚𝐥) 
3º passo: Com os elementos amostrais, calcular o valor da variável do teste 
𝑍𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 =
�̅� − 𝜇0
𝜎
√𝑛
(𝟎. 𝟐 𝐯𝐚𝐥) =
839 − 816
45
√50
 (𝟏. 𝟎 𝐯𝐚𝐥) = 3.61 (𝟎. 𝟐 𝐯𝐚𝐥) 
4º passo: Com o auxílio da tabela de distribuíção normal padrão, determinar a RC (região crítica) e RA (região 
de aceitação) para 𝐻0 
Trata-se de um teste unicaudal direito, logo 𝑍𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 = 𝑍𝛼 = 𝑍0.01 = 2.33 (𝟎. 𝟏 𝐯𝐚𝐥) 
(𝟎. 𝟐 𝐯𝐚𝐥) 
 
5º passo: Tomada de decisão 
Como 𝑍𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 =3.61> 𝑍𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 = 2.33, rejeita-se o 𝐻0 (𝟎. 𝟐 𝐯𝐚𝐥) 
6º passo: Conclusão 
A um nível de significância de 1%, há evidências suficientes para afirmar que com a nova técnica de vendas B, 
as quantidade de vendas diárias aumentaram significativamente. (𝟎. 𝟑 𝐯𝐚𝐥) 
 
3. Certo produto embalado por uma empresa apresenta distribuição normal com desvio padrão de 8g. A máquina de 
embalar passou por uma revisão e o técnico afirma que a variabilidade diminui após a calibração. Foi selecionada uma 
amostra aleatória de 12 observações e foram obtidos os seguintes resultados: 500g; 492g; 490g; 502g; 505g; 493g; 
500g; 498g; 494g; 509g; 491g; 497g. Testar a afirmação do técnico, ao nível de significância de 1%. (4.5 val) 
Resolução: 
Pelos dados temos: 
 𝜎0 = 8; 𝑛 = 12; 𝑆 = 5.9; 𝛼 = 0.01 (𝟎. 𝟓 𝐯𝐚𝐥) 
1º Passo: Formulação de hipóteses: 
{
𝐻0: 𝜎
2 = 82 (𝐴 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 é 𝑑𝑒 82𝑔2 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎) (𝟎. 𝟑𝐯𝐚𝐥)
 
𝐻1: 𝜎
2 < 82 (𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑚𝑖𝑛𝑢𝑖 𝑎𝑝ó𝑠 𝑎 𝑐𝑎𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎) (𝟎. 𝟒 𝐯𝐚𝐥)
 
2º Passo: Identificação da distribuição amostral 
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝛼 = 0.01; 𝜒2~𝜒2
𝑛−1
 (𝟎. 𝟐 𝐯𝐚𝐥) 
3º Passo: Determinação da estatística do teste 
3 
 
𝜒2
𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜
=
(𝑛 − 1) ∗ 𝑆2
𝜎20
 (𝟎. 𝟐 𝐯𝐚𝐥) =
11 ∗ 5.92
82
 (𝟏. 𝟓 𝐯𝐚𝐥) = 5.98 (𝟎. 𝟐 𝐯𝐚𝐥) 
4º Passo: Determinação dos valores críticos e região de aceitação ou rejeição da Hipótese nula. 
Sabe se que o nível de significância é de 1% e o teste é uni-caudal esquerdo, pela tabela de distribuição 
Qui-Quadrado temos: 
𝜒2
1−𝛼;𝑛−1
= 𝜒2
1−0.01;12−1
= 𝜒2
0.99;11
= 3.053 (𝟎. 𝟐 𝐯𝐚𝐥) 
(𝟎. 𝟑 𝐯𝐚𝐥) 
 
5º Passo: Decisão 
Como 𝜒2
𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜
= 5.98 > 𝜒2
0.99;11
= 3.053, não se rejeita a hipótese nula (𝟎. 𝟒 𝐯𝐚𝐥) 
6ª Passo: Conclusões 
A um nível de significância de 1%, pode se afirmar que a variabilidade não diminuiu após a calibração da 
máquina. (𝟎. 𝟑 𝐯𝐚𝐥) 
 
4. Os pesos (em kg) de vinte suínos que foram separados em dois grupos e alimentados com rações diferentes são 
apresentados a seguir. Concluir se existem evidências de que as rações propiciaram ganhos de peso médios diferentes, 
ao nível de significância de 5%. (6.0 val) 
 
Ração A: 6.5; 5.8; 5.3; 5.9; 6.7; 7.0; 7.2; 6.8; 6.8; 6.9 
Ração B: 5.0; 6.0; 7.3; 7.5; 8.9; 9.0; 9.6; 8.9; 9.9; 6.2 
Resolução 
Pelos dados temos: 
𝑆𝑒𝑗𝑎 𝑛1 = 𝑅𝑎çã𝑜 𝐴 𝑒 𝑛2 = 𝑅𝑎çã𝑜 𝐵 
𝑛1 = 10; �̅�1 = 6.49; 𝑆
2
1 = 0.379; 𝑛2 = 10; �̅�2 = 7.83; 𝑆
2
2 = 2.831 (𝟎. 𝟑 𝐯𝐚𝐥) 
Nota que nada sab-see sobre a homogeidade das população, então primeiros temos que testar a hipótese para a 
igualdade das varianças. 
1º Passo: Formulação de hipóteses: 
{
𝐻0: 𝜎
2
1 = 𝜎
2
2 (𝐴𝑠 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çõ𝑒𝑠 𝑠ã𝑜 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔ê𝑛𝑒𝑎𝑠) (𝟎. 𝟏 𝐯𝐚𝐥)
𝐻1: 𝜎
2
1 ≠ 𝜎
2
2 (𝐴𝑠 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çõ𝑒𝑠 𝑠ã𝑜 ℎ𝑒𝑡𝑒𝑟𝑟𝑜𝑔ê𝑛𝑒𝑎𝑠) (𝟎. 𝟏 𝐯𝐚𝐥)
 
2º Passo: Identificação da distribuição amostral 
𝑃𝑎𝑟𝑎 = 0.05; 𝐹~𝐹𝑛1−1;𝑛1−1 (𝟎. 𝟏 𝐯𝐚𝐥) 
4 
 
3º Passo: Determinação da estatística do teste 
𝐹𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 =
𝑆21
𝑆22
 (𝟎. 𝟐 𝐯𝐚𝐥) =
0.379
2.831
 (𝟎. 𝟓 𝐯𝐚𝐥) = 0.1339 (𝟎. 𝟏 𝐯𝐚𝐥) 
4º Passo: Determinação dos valores críticos e região de aceitação ou rejeição da Hipótese nula 
Sabe-se que o nível de significância é de 5% e o teste é bi-caudal, pela tabela de distribuição F temos: 
𝐹𝛼
2
; 𝑛1−1;𝑛2−1
= 𝐹0.025; 9;9 = 4.03 (𝟎. 𝟏 𝐯𝐚𝐥) 
𝐹
1−
𝛼
2
; 𝑛1−1;𝑛2−1
=
1
𝐹𝛼
2
; 𝑛2−1;𝑛1−1;
=
1
𝐹0.025; 9;9
=
1
4.03
= 0.248 (𝟎. 𝟏 𝐯𝐚𝐥) 
(𝟎. 𝟐 𝐯𝐚𝐥) 
 
 5º Passo: Decisão 
Como 𝐹𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 = 0.1339 ∈ 𝑅𝑒𝑔𝑖ã𝑜 𝑑𝑒 𝑅𝑒𝑗𝑒𝑖çã𝑜, logo, rejeita-se a hipótese nula. (𝟎. 𝟏 𝐯𝐚𝐥) 
6ª Passo: Conclusões 
A um nível de significância de 5%, pode se afirmar que as varianças são desconhecidas e diferente, isto é, as 
populações são heterrogêneas. (𝟎. 𝟏 𝐯𝐚𝐥) 
Em seguida o teste de igualdade das médias: 
1º Passo: Formulação de hipóteses: 
{
𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 (𝟎. 𝟐 𝐯𝐚𝐥)
 
𝐻1: 𝜇1 ≠ 𝜇2 (𝟎. 𝟐 𝐯𝐚𝐥)
 
2º Passo: Identificação da distribuição amostral 
𝑁𝑜𝑡𝑎 𝑞𝑢𝑒 (𝑛1 ∩ 𝑛2 ) < 30, 𝐿𝑜𝑔𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝛼 = 0.05, 𝑡~𝑡𝐺𝑙 (𝟎. 𝟐 𝐯𝐚𝐥) 
3º Passo: Determinação da estatística do teste 
𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 =
(�̅�1 − �̅�2) − (𝜇1 − 𝜇2)
√
𝑆21
𝑛1
+
𝑆22
𝑛2
 (𝟎. 𝟐 𝐯𝐚𝐥) =
(6.49 − 7.83)
√0.379
10 +
2.831
10
 (𝟏. 𝟐 𝐯𝐚𝐥) = −2.365 (𝟎. 𝟐 𝐯𝐚𝐥) 
4º Passo: Determinação dos valores críticos e região de aceitação ou rejeição da Hipótese nula 
Sabe-se que o nível de significância é de 5% e o teste é bilateral com varianças desconhecidas e diferentes, então: 
𝐺𝑙 =
(
𝑆21
𝑛1
+
𝑆22
𝑛2
)
2
(
𝑆21
𝑛1
)
2
𝑛1 − 1
+
(
𝑆22
𝑛2
)
2
𝑛2 − 1
 (𝟎. 𝟐 𝐯𝐚𝐥) =
(
0.37910 +
2.831
10 )
2
(
0.379
10 )
2
9 +
(
2.831
10 )
2
9 
 (𝟎. 𝟕 𝐯𝐚𝐥) = 11 (𝟎. 𝟏 𝐯𝐚𝐥) 
 
5 
 
𝑡𝛼
2
; 𝐺𝑙
= 𝑡0.25;11 = ±2.201 (𝟎. 𝟐 𝐯𝐚𝐥) 
(𝟎. 𝟐 𝐯𝐚𝐥) 
 
5º Passo: Decisão 
Como 𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 = −2.365 ∈ 𝑅𝑅, Logo rejeita-se a hipótese nula. (𝟎. 𝟐 𝐯𝐚𝐥) 
6ª Passo: Conclusões 
A um nível de significância de 5%, não há evidências suficientes de que as rações propiciaram ganhos de peso médios 
diferentes. (𝟎. 𝟐 𝐯𝐚𝐥) 
 
5. Uma empresa que presta serviços de acessória a outras empresas está interessada em comparar taxa de reclamações 
sobre os seus serviços em dois dos seus escritórios em duas cidades diferentes. Suponha que a empresa tenha 
seleccionado aleatoriamente 100 serviços realizados pelo escritório da cidade A e foi constatado que em 12 deles 
houve algum tipo de reclamação. Já do escritório da cidade B foram seleccionados 120 serviços e 18 receberam algum 
tipo de reclamação. A empresa deseja saber a um nível de significância de 5%, se estes resultados são suficientes para 
se concluir que os dois escritórios apresentam diferenças significativas entre suas taxas de reclamações. (4.0 val) 
Resolução: 
Do problema temos: 
𝑆𝑒𝑗𝑎 𝑛1 = 𝑆𝑒𝑟𝑣𝑖ç𝑜𝑠 𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑡ó𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑎 𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝐴 𝑒 𝑛2 = 𝑆𝑒𝑟𝑣𝑖ç𝑜𝑠 𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑡ó𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑎 𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝐵 
𝑛1 = 100; 𝑃1 =
12
100
= 0.12; 𝑛2 = 120; 𝑃2 =
18
120
= 0.15; 𝛼 = 0.05 (𝟎. 𝟒 𝐯𝐚𝐥) 
1º passo: Formular hipóteses 
{
𝐻0: 𝜋𝐴 = 𝜋𝐵 (𝐴𝑠 𝑡𝑎𝑥𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑐𝑙𝑎𝑚𝑎çõ𝑒𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑎𝑠 𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝐴 𝑒 𝐵 𝑛ã𝑜 𝑠𝑒 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑚) (𝟎. 𝟐 𝐯𝐚𝐥) 
𝐻1: 𝜋𝐴 ≠ 𝜋𝐵 (𝐻á 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑎𝑠 𝑡𝑎𝑥𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑐𝑙𝑎𝑚𝑎çõ𝑒𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑎𝑠 𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝐴 𝑒 𝐵) (𝟎. 𝟒 𝐯𝐚𝐥)
 
2º passo: Fixar o limite de erro 𝛼, e identificar a variável de teste 
Para 𝛼 = 0.05; (𝑃1 − 𝑃2) ≈ 𝑁 (𝜋1 − 𝜋2; 
𝑃1∗(1−𝑃1)
𝑛1
+
𝑃2∗(1−𝑃2)
𝑛2
 ) (𝟎. 𝟐 𝐯𝐚𝐥) 
Z: variável normal padrão 
3º passo: Com os elementos amostrais, calcular o valor da variável do teste 
𝑍𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 =
(𝑝1 − 𝑝2) − (𝜋1 − 𝜋2)
√
𝑝1 ∗ (1 − 𝑝1)
𝑛1
+
𝑝2 ∗ (1 − 𝑝2)
𝑛2
 (𝟎. 𝟐 𝐯𝐚𝐥) =
(0.12 − 0.15)
√0.12 ∗ 0.88
100 +
0.15 ∗ 0.85
120
 (𝟏. 𝟒 𝐯𝐚𝐥) 
𝑍𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 = −0.6517 (𝟎. 𝟐 𝐯𝐚𝐥) 
6 
 
4º passo: Com o auxílio da tabela de distribuíção normal padrão, determinar a RC (região crítica) e RA (região de 
aceitação) para 𝐻0 
Trata-se de um teste bicaudal, onde 𝑍𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 = 𝑍𝛼
2
= 𝑍0.025 = ±1.96 (𝟎. 𝟐 𝐯𝐚𝐥) 
(𝟎. 𝟐 𝐯𝐚𝐥) 
 
5º passo: Tomada de decisão 
𝐶𝑜𝑚𝑜, 𝑍𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 = −0.6517 ∈ 𝑅𝐴, logo não se rejeita o 𝐻0 (𝟎. 𝟐 𝐯𝐚𝐥) 
6º passo: Conclusão 
A um nível de significância de 5%, há evidências suficientes para concluír que não há diferenças significativas entre as taxas 
de reclamação dos escritórios das cidades. (𝟎. 𝟒 𝐯𝐚𝐥)