ESTATÍSTICA APLICADA 3

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AULA 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTATÍSTICA APLICADA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Tiago Claudino Barbosa 
 
 
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CONVERSA INICIAL 
Introdução à probabilidade 
Nesta aula, aprenderemos um pouco sobre a teoria da probabilidade, seus 
conceitos principais e algumas de suas aplicações na estatística. A estatística 
inferencial, por se basear em amostras, descreve seus resultados em termos 
probabilísticos. Esse conteúdo inicialmente não parece ser tão conectado aos 
conteúdos anteriores, mas, ao final desta aula e de conteúdos posteriores, ficará 
clara a ligação entre esses tópicos e os tópicos mais diretamente relacionadas à 
estatística. 
Os esforços de aprendizado são no sentido de entender: (i) o conceito de 
probabilidade e outros conceitos iniciais relacionados, (ii) a regra da adição; (iii) 
probabilidade condicional e a regra da multiplicação; (iv) o que é uma distribuição 
de probabilidade e (v) o exemplo da distribuição de probabilidade binomial. 
CONTEXTUALIZANDO 
É possível observar algum padrão que nos ajude a tirar conclusões a partir 
de variáveis aleatórias que, a princípio, parecem caóticas? Como considerar 
resultados aleatórios que são independentes uns dos outros dos que são 
dependentes? Como tomar decisões com base em variáveis aleatórias? 
Essas perguntas são abordadas na presente aula e serão relevantes para 
o entendimento dos demais conteúdos. O objetivo é entender os conceitos e a 
lógica de interpretação dos resultados, não os cálculos em si. 
TEMA 1 – CONCEITOS INICIAIS 
Alguns conceitos iniciais são apresentados por Pinheiro et al. (2009): 
• Probabilidade é uma descrição numérica do quão provável é a ocorrência 
de um evento específico; 
• Espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de uma 
variável aleatória, um exemplo é o lançamento de um dado, há seis 
resultados possíveis – 1, 2, 3, 4, 5, 6; 
 
 
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• Um evento é um subconjunto do espaço amostral de interesse. Por 
exemplo: quais as possibilidades de ocorrer um número par no lançamento 
de um dado? - 2, 4, 6; 
• Um evento simples é um resultado do espaço amostral que não pode mais 
ser subdivido em componentes menores, um exemplo – ao se lançar um 
dado, obter 1 ponto; 
• Experimento aleatório é quando realizamos tentativas repetidas de 
processos semelhantes e seus resultados são imprevisíveis, ou seja, são 
uma variável aleatória; 
Os conceitos de espaço amostral, evento e evento simples se referem a 
possibilidades de ocorrência da variável ou resultado de interesse, não diz nada 
sobre probabilidades de ocorrência (Pinheiro et al., 2009). 
É importante conhecer todos os resultados possíveis de um experimento 
aleatório. A probabilidade de um evento ou conjunto de eventos nem sempre é 
conhecida, se os eventos são todos de mesma probabilidade, como é o caso do 
lançamento de uma moeda ou de um dado, a probabilidade do evento A é: 
 
𝑃 (𝐴) = 
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝐴 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠
 
 
Considerando o caso do lançamento de um dado, a probabilidade de se 
obter 3 pontos é: 
 
𝑃 (3 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠) = 
1
6
 
 
Como os pontos dos dados possuem mesma probabilidade de ocorrer, o 
cálculo da probabilidade se resume a contar os resultados favoráveis ao evento 
de interesse, no caso o dado dar 3 pontos, e dividir pelo número de resultados 
possíveis (espaço amostral), no caso 6. 
Porém, para a maioria dos fenômenos do mundo real, os eventos ou 
conjuntos de eventos possíveis não possuem a mesma probabilidade de 
ocorrência. Essas probabilidades muitas vezes nem são conhecidas. É possível 
aproximar a probabilidade real de um evento por sua frequência relativa de 
 
 
4 
ocorrência em experimentos aleatórios de grande tamanho (Larson, Farber, 
2010a). Considerando um experimento aleatório, a probabilidade de A fica: 
 
𝑃 (𝐴) = 
𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑜 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐴
𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
 
 
A lógica é que se o experimento tem resultados aleatórios, conforme se 
aumenta o número de resultados obtidos, mais as frequências relativas se 
aproximam das probabilidades teóricas do fenômeno, a chamada Lei dos Grandes 
Números. Lógica é similar ao uso de amostras aleatórias para aproximar a 
população de interesse. Essa lógica fundamenta a chamada Abordagem 
Frequencista da Estatística, que aproxima as probabilidades de um fenômeno das 
frequências relativas de experimentos que tentam analisar esse fenômeno 
(Larson, Farber, 2010b). 
O entendimento da teoria das probabilidades junto ao conhecimento da 
estatística descritiva, explorada nas duas primeiras aulas, formam a base da 
estatística inferencial. Uma das regras básicas da estatística inferencial é que se, 
sob uma dada premissa, a probabilidade de um evento em particular é muito 
pequena, a conclusão é que a premissa é provavelmente incorreta (Triola, 2006). 
Essa questão ficará bastante clara em conteúdos posteriores. 
O próximo tópico apresenta casos em que as probabilidades de ocorrência 
de um evento são ou não afetadas pela ocorrência de outros eventos e como isso 
afeta os cálculos e interpretações das probabilidades. 
TEMA 2 – EVENTOS INDEPENDENTES E DEPENDENTES 
Dois eventos A e B são independentes se a ocorrência de um deles não 
afeta a probabilidade de ocorrência do outro, se a ocorrência de um deles afeta 
de alguma forma a probabilidade de ocorrência do outro, trata-se de eventos 
dependentes (Triola, 2006). 
A regra da soma postula que a probabilidade de ocorrência de um evento 
A ou de um evento B como resultado de um experimento é igual a soma das 
probabilidades desses eventos, descontada a probabilidade de ocorrência 
simultânea do evento A e do evento B (Pinheiro et al., 2009). 
Os eventos A e B são mutuamente exclusivos se não podem ocorrer ao 
mesmo tempo. Nesse caso, a probabilidade de ocorrer A ou B é: 
 
 
5 
𝑃 (𝐴 𝑜𝑢 𝐵) = 𝑃 (𝐴) + 𝑃 (𝐵) 
 
Um exemplo: qual a probabilidade de, ao se lançar um dado, a pontuação 
ser 2 e 3? 
 
𝑃 (2 𝑜𝑢 3) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3 
 
Se não forem mutuamente exclusivos, a probabilidade de A ou B deve 
descontar a probabilidade de que os eventos ocorram simultaneamente, ou seja: 
 
𝑃 (𝐴 𝑜𝑢 𝐵) = 𝑃 (𝐴) + 𝑃 (𝐵) − 𝑃 (𝐴 𝑒 𝐵) 
 
Um exemplo: qual a probabilidade de, ao se lançar um dado, A – obter uma 
pontuação ímpar e B – uma pontuação maior que 3? 
 Probabilidade de A – pontuação par – 2, 4, 6 
 P (A) – 3/6 = 0,5 
 Probabilidade de B – pontuação maior que 3 – 4, 5, 6 
 P (B) – 3/6 = 0,5 
Se eventos fossem independentes, P (A ou B) = 1, ou seja, 100%. Porém 
há sobreposição entre os eventos e essa probabilidade está superestimada, 
considerando o espaço amostral 1, 2, 3, 4, 5 e 6 e que eventos têm mesma 
probabilidade. 
P (A) ou P (B) mostrada acima não engloba os valores 1 e 3 e considera os 
valores 4 e 6 duas vezes. O evento A ou B engloba os valores – 2, 4, 5 e 6, logo 
a probabilidade de pontuação ser par ou ser maior que três é: 
 
𝑃 (𝑝𝑎𝑟 𝑒 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 3) = 4/6 = 2/3 
TEMA 3 – PROBABILIDADE CONDICIONAL 
A probabilidade de ocorrer o evento A na primeira tentativa de um 
experimento, e de ocorrer o evento B na segunda tentativa é descrita pela regra 
da multiplicação. A regra da adição, explicada no tema anterior, é descrita pelo 
termo ou, já a regra da multiplicação pelo termo e, no caso a P (A e B). 
 
 
6 
Um ponto importante a considerar é que a probabilidade do segundo evento 
B deve levar em conta o fato de que o evento A já ocorreu (Triola, 2006). A regra 
geral é: 
 
𝑃 (𝐴 𝑒 𝐵) = 𝑃 (𝐴) ∗ 𝑃 (𝐵|𝐴) 
 
Probabilidade de ocorrer A e depois B é igual à probabilidade de ocorrência 
do primeiro evento A multiplicada pela probabilidade de ocorrência do evento B, 
dado que A já ocorreu, essa última parteé expressa por P (B|A). 
Se o evento A e B forem independentes, ou seja, a ocorrência de um deles 
não afeta positiva ou negativamente a probabilidade de ocorrência do outro, a P 
(B|A) = 0 e expressão se resume a: 
 
𝑃 (𝐴 𝑒 𝐵) = 𝑃 (𝐴) ∗ 𝑃 (𝐵) 
 
Um exemplo é a probabilidade de obter dois números um ao se lançar um 
dado duas vezes. A probabilidade de se obter 1 em um lançamento é de um sexto, 
como eventos são independentes, ou seja, o resultado alcançado no primeiro 
lançamento do dado em nada interfere no resultado do segundo lançamento, a 
probabilidade de obter dois números 1 ao se lançar duas vezes o dado é de 1/6 * 
1/6 = 1/36 = 2,8%, uma probabilidade relativamente baixa. A probabilidade de 
obter três números 1 em três lançamentos do dado seria 1/6 * 1/6 * 1/6 = 1/216 = 
0,5%, muito baixa. 
Nos casos em que a ocorrência de A afeta a probabilidade de ocorrência 
de B em seguida, diz-se que são casos de probabilidade condicional, logo a P 
(B|A) é diferente de zero. 
 
𝑃 (𝐵|𝐴) = 
𝑃 (𝐴 𝑒 𝐵)
𝑃 (𝐴)
 
 
Ou seja, é a probabilidade de ocorrer A e depois B dividida pela 
probabilidade de A. É a razão entre a probabilidade de ocorrência conjunta de A 
e B e a probabilidade geral de A. 
 
 
7 
Um exemplo: ao se lançar um dado uma vez, qual a probabilidade de A – 
resultado ser um número ímpar e B – resultado ser no mínimo 3 pontos (Pinheiro 
et al., 2009)? 
 Há três números ímpares possíveis para A – 1, 3, 5 
 Dos seis números do dado, quatro são iguais ou maiores que 3 – 3, 4, 5, 
 6 
 Há dois elementos que sobrepõem A e B – 3 e 5 
Considerando que há seis resultados possíveis do lançamento de um dado 
e todos têm a mesma probabilidade de ocorrer, a probabilidade de, ao se lançar 
um dado, obter um número ímpar e igual ou maior que três é 2/6 ou 1/3. 
Aplicando a fórmula: 
 
𝑃(𝐵|𝐴) =
𝑃(𝐴 𝑒 𝐵)
𝑃(𝐴)
 = 
1/3
3/6
 = 2/3 
 
A probabilidade de se obter um número igual ou maior que 3, dado que 
resultado foi ímpar, é de 2/3. 
Muitas das técnicas estatísticas combinam resultados de diversas variáveis 
conhecidas para se obter o resultado e/ou a probabilidade de ocorrência de uma 
variável que dependa dessas outras. Por exemplo: um meteorologista pode 
determinar que há 40% de probabilidade de chuva com base na frequência relativa 
de chuva sob condições climáticas semelhantes às que estão ocorrendo no 
momento. Saber características do ambiente, como temperatura e umidade do ar, 
faz com que se estime com maior precisão a probabilidade de ocorrência de chuva 
em determinado dia (Larson, Farber, 2010b). 
TEMA 4 – DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE 
Uma distribuição descreve a probabilidade de cada valor possível de uma 
variável aleatória. Esta deve cobrir todos os resultados possíveis, acumulando 
100% das probabilidades, e o valor da probabilidade de um valor específico ou 
intervalo de valores é zero ou positivo, nunca negativo (Pinheiro et al., 2009). 
Muitas distribuições de probabilidade, na estatística, são descritas por 
gráficos, tabelas ou por funções que possuem como variável independente o valor 
da variável de interesse X e variável dependente a probabilidade de ocorrência do 
 
 
8 
valor de X específico (Triola, 2006). Algumas das principais distribuições utilizadas 
pela estatística e suas derivações serão estudadas mais adiante e em conteúdos 
posteriores. 
É importante conhecer a forma, o centro e a variabilidade de uma 
distribuição de probabilidade para que se possa tomar decisões baseadas em 
inferências estatísticas (Larson, Farber, 2010b). O conhecimento desses 
parâmetros das distribuições de probabilidade é fundamental para o uso de 
técnicas de estatística inferencial. 
As variáveis aleatórias descritas podem ser tanto discretas quanto 
contínuas. Uma variável aleatória discreta é uma com resultados contáveis, com 
números geralmente inteiros, que podem ser finitos ou infinitos; já variáveis 
aleatórias contínuas têm infinitos valores associados, mesmo que sua amplitude 
seja finita, já que cada subintervalo pode ser dividido em infinitos números e as 
escalas não têm vazios ou saltos – esse tipo de variável geralmente está 
associado a mensurações (Pinheiro et al., 2009). 
O valor esperado de uma variável aleatória discreta E é a média dos 
valores ponderados pelas suas probabilidades de ocorrência e seria como sua 
média, no caso: 
 
𝐸 = ∑ [𝑋𝑖 ∗ 𝑃(𝑋𝑖)] 
 
A variância e o desvio-padrão de distribuições de probabilidade discretas 
possuem as seguintes fórmulas: 
 
𝜎2 = ∑ (𝑋𝑖 − µ)2 𝑃(𝑋𝑖) 
 
𝜎 = √∑ (𝑋𝑖 − µ)2 𝑃(𝑋𝑖) 
 
O caso para variáveis contínuas exige o conhecimento de ferramentas 
matemáticas mais avançadas, ficando fora do escopo dessa aula o conhecimento 
de suas fórmulas, porém as distribuições mais utilizadas da estatística já possuem 
suas distribuições bem analisadas e incorporadas nos diferentes softwares 
estatísticos, tornando cálculos desse tipo desnecessários. 
Em muitos casos da estatística, e mesmo da vida real, não sabemos a 
distribuição de probabilidade detalhada do fenômeno que estamos analisando. 
 
 
9 
Contudo, podemos aproximar, considerando a frequência relativa observada dos 
resultados (Larson, Farber, 2010b). 
Considerando o exemplo do lançamento de um dado, o espaço amostral 
consiste de seis elementos – 1, 2, 3, 4, 5, 6 com igual probabilidade de ocorrência. 
A distribuição de probabilidade desse fenômeno está expressa na tabela 1 e no 
gráfico 1. 
Tabela 1 - Tabela de probabilidades de lançamento de um dado 
Pontuação do dado Probabilidade 
1 1/6 
2 1/6 
3 1/6 
4 1/6 
5 1/6 
6 1/6 
Fonte: Barbosa, 2021. 
Os dados no gráfico foram arredondados para três casas decimais. 
Gráfico 1 - Gráfico de probabilidade do lançamento de um dado 
 
Fonte: Barbosa, 2021 
Como a probabilidade de ocorrência é igual para qualquer valor da 
pontuação dos dados, o gráfico de barras tem o formato de um retângulo. 
Raramente os fenômenos do mundo real são assim, com probabilidades 
uniformes para toda a escala de valores possível, em geral, as distribuições de 
probabilidade são bem mais complexas. 
Um exemplo de distribuição mais complexa seria a soma da pontuação do 
lançamento de dois dados, o espaço amostral vai de 2 a 12, já que valor mínimo 
0,167 0,167 0,167 0,167 0,167 0,167
0,000
0,050
0,100
0,150
0,200
1 2 3 4 5 6
P
 (
X
i)
Pontuação Xi
Probabilidade
 
 
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de cada dado é 1, logo a soma mínima do lançamento de dois dados é 2 e a soma 
máxima é 12, já que valor máximo por dado é 6. Contudo, a probabilidade de 
ocorrência dos valores difere, como pode ser visto na tabela 2 e no gráfico 2. 
Tabela 2 - Tabela de probabilidades da soma do lançamento de dois dados 
Valor da soma Probabilidade 
2 1/36 
3 2/36 
4 3/36 
5 4/36 
6 5/36 
7 6/36 
8 5/36 
9 4/36 
10 3/36 
11 2/36 
12 1/36 
Fonte: elaborado com base em Pinheiro et al., 2009. 
 Fica claro que a probabilidade de ocorrência dos valores da variável X 
diferem entre si. O gráfico 2 mostra visualmente os dados da tabela 2. Os 
resultados foram arredondados para três casas decimais. 
Gráfico 2 - Gráfico de probabilidade da soma do lançamento de dois dados 
Fonte: elaborado com base em Pinheiro et al., 2009. 
Essa distribuição de probabilidades é bem diferente da distribuição de 
quando se lança um dado. O caso da soma do lançamento de dois dados está 
bem longe de ser uma distribuição de probabilidade uniforme, já que ela varia 
substancialmente, com probabilidades maiores nos valores do meio da escala do 
 
 
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que nos valores das pontas. A seguir apresentamos a primeira distribuição de 
probabilidade utilizada com certa frequência na estatística. 
TEMA 5 – DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE BINOMIAL 
A distribuição de probabilidade binomial descreve variáveis aleatórias que 
podem ser divididas em duas categorias, como sim ou não, aceitável ou 
defeituoso, votou em X ou nãovotou em X, cara ou coroa. Em geral, se classificam 
os resultados em sucessos e fracassos, sem necessariamente uma valoração 
subjetiva que um sucesso é algo positivo e um fracasso é algo negativo. Duas 
exigências dessa distribuição é que cada elemento seja independente, ou seja, 
obter um resultado individual não afeta a probabilidade de se obter o mesmo 
resultado ou algum outro resultado específico nas outras tentativas e que a 
probabilidade de obter um sucesso é a mesma para cada tentativa, ou seja, ela 
se mantém constante (Triola, 2006). 
A função abaixo descreve a distribuição de probabilidade binomial. 
 
𝑃 (𝑥) = 
𝑛!
(𝑛 − 𝑥)! 𝑥!
 𝑝𝑥 𝑞𝑛 − 𝑥 
 
Na qual: 
 
 p é a probabilidade de sucesso 
 q é a probabilidade de fracasso (1-p) 
 n é o número de tentativas 
 X é o número específico de sucessos em n tentativas 
 P (x) é a probabilidade de obter exatamente X sucessos em n tentativas 
 ! fatorial é a multiplicação de fatores decrescentes, exemplo 4! = 4*3*2*1 
 = 24 
 
Analisar a fórmula dessa distribuição não é relevante para nós, nosso foco 
é saber sua aplicação e interpretar seus resultados. Abaixo estão as fórmulas que 
descrevem a média, variância e desvio-padrão da distribuição binomial. 
 
µ = 𝑛𝑝 
𝜎2 = 𝑛𝑝𝑞 
 
 
12 
𝜎 = √𝑛𝑝𝑞 
 
Os valores das probabilidades são expressos em decimais. Um exemplo é: 
qual a chance de obter exatamente sete jurados de origem mexicana entre os 
doze jurados de um tribunal selecionados aleatoriamente de uma população que 
é 80% de origem mexicana em uma localidade dos EUA (Triola, 2006)? 
Se formos pela lei da multiplicação de probabilidades e considerarmos a 
seleção dos jurados independentes uma das outras, o cálculo seria (0,8)7 = 0,21 
ou 21% de chance. Porém, nesse caso não é o valor correto porque assume que 
os sete primeiros jurados são de origem mexicana e os últimos cinco dos doze 
não são, mas diversos outros arranjos são possíveis para sete jurados de origem 
mexicana, e cinco, não. Tomando a distribuição binomial, essa probabilidade 
cairia para 0,053 ou 5,3% de obter exatamente sete jurados de origem mexicana 
entre os 12 jurados do tribunal, o valor real é quase um quarto da probabilidade 
estimada pela lei da multiplicação. 
Se formos calcular os parâmetros da distribuição desse exemplo, no caso 
média, variância e desvio-padrão, obteríamos: 
 
 p - a probabilidade de sucesso é 0,8, no caso, obter um cidadão de origem 
 mexicana em uma seleção aleatória de uma população que é 80% dessa 
 origem; 
 q - a probabilidade de fracasso 0,2, a probabilidade de não se obter um 
 cidadão de origem mexicana em uma seleção aleatória de uma população 
 que é 80% de origem mexicana; 
 n – número de tentativas é 12, já que são 12 jurados selecionados 
 aleatoriamente para compor o júri; 
 
Os cálculos abaixo se referem à média, variância e desvio-padrão desse 
exemplo: 
µ = 𝑛𝑝 = 12*0,8 = 9,6 
𝜎2 = 𝑛𝑝𝑞 = 12*0,8*0,2 = 1,92 
𝜎 = √𝑛𝑝𝑞 = √12 ∗ 0,8 ∗ 0,2 = 1,38 
 
Para as 12 tentativas desse experimento, a média de sucessos obtidos 
(cidadãos de origem mexicana selecionados aleatoriamente para o júri) é de 9,6, 
 
 
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a variância de 1,92 selecionados para o júri ao quadrado e o desvio-padrão de 
1,38 pessoas de origem mexicana selecionadas para o júri. 
TROCANDO IDEIAS 
Em um fórum de discussão, comente e reflita sobre mais casos práticos em 
que as regras da adição e da multiplicação para as probabilidades se aplicam, 
tanto para eventos independentes quanto dependentes. 
NA PRÁTICA 
Suponha que um teste de sangue para a detecção de uma doença tenha 
duas possibilidades de dar resultados enganosos. Primeiro: há uma probabilidade 
de 3% de o teste dar um resultado falso positivo – quando o exame diz que a 
pessoa tem a doença quando na verdade ela não tem – e uma probabilidade de 
4% de dar falso negativo – quando o exame aponta que a pessoa não tem a 
doença em questão quando na verdade ela tem. Resultados falsos positivos e 
falsos negativos são mutuamente excludentes, ou seja, não podem ocorrer ao 
mesmo tempo para o mesmo exame. Com base nesses dados: 
 
1. Calcule a probabilidade de um teste selecionado aleatoriamente ter 
resultados enganosos. 
2. Se selecionarmos 50 testes aleatoriamente, qual o número esperado de 
testes que darão resultados enganosos, seja falso positivo ou falso 
negativo? 
FINALIZANDO 
A presente aula abordou alguns conceitos fundamentais da teoria da 
probabilidade, que são importantes para o entendimento das técnicas e da lógica da 
estatística inferencial, foco de conteúdos posteriores, em especial o conceito de 
distribuição de probabilidade. 
 
 
 
14 
REFERÊNCIAS 
LARSON, R.; FARBER, B. Capítulo 3 - Probabilidade. In:__ Estatística Aplicada. 
4. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010a, p. 104-153. 
LARSON, R.; FARBER, B. Capítulo 4 – Distribuições de Probabilidade Discretas. 
In:__ Estatística Aplicada. 4. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010b, p. 154-
191. 
PINHEIRO, J. I. D.; DA CUNHA, S. B.; CARVAJAL, S. R.; GOMES, G. C. Capítulo 
3 – Introdução ao cálculo de probabilidades. In:__ Estatística Básica: a arte de 
trabalha com dados. São Paulo: Elsevier, 2009, p. 70-94. 
TRIOLA, M. F. Capítulo 5 – Distribuições de probabilidade. In: TRIOLA, M. F. 
Estatística Elementar. 10. ed. Boston: Pearson Prentice Hall, 2006, p. 198-243.