AULAS DE CÁLCULO I II III IV NÍVEL SUPERIOR (62)

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MA22 - Unidade 19 - Parte 1
Técnicas de Integração
Luiz Manoel Figueiredo
Mário Olivero
PROFMAT - SBM
13 de junho de 2013
Introdução
O Teorema Fundamental do Cálculo garante a existência de
primitivas de funções cont́ınuas e permite calcular integrais
definidas pela fórmula∫ b
a
f (x) dx = F (b)− F (a).
As técnicas de integração servem para encontrar as funções
primitivas de funções dadas em termos de funções
elementares, entre as quais agora colocamos logaritmo e
exponencial.
Integrar a função f (x) é encontrar a primitiva de f , ou seja,
encontrar uma função F (x) tal que F ′(x) = f (x).
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Integral indefinida
Dada uma função f : I −→ R, definida no intervalo aberto I ,
usaremos a notação∫
f (x) dx = F (x) + C
para representar a faḿılia de primitivas de f .
Duas primitivas de f diferem por uma constante, pois se F1 e
F2 são primitivas de f , então (F1 − F2)′(x) = 0, para todo
x ∈ I , e toda função definida num intervalo, com derivada
identicamente nula, é constante.
Chamamos
∫
f (x) dx a integral indefinida de f .
Observe bem,
∫
f (x) dx representa uma faḿılia de funções,
enquanto que
∫ b
a
f (x) dx é um número.
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Exemplos
Algumas integrais definidas:∫
xn dx =
xn+1
n + 1
+ C , se n 6= −1∫
cos x dx = sen x + C∫
sen x dx = − cos x + C∫ 1
x
dx = ln x + C∫
ex dx = ex + C
Usando essas primitivas, podemos calcular integrais de
combinações lineares dessas funções. Por exemplo, para calcular as
primitivas de f (x) = x2 + 3− cos x , fazemos∫
(x2 + 3− cos x) dx =
∫
x2 dx + 3
∫
dx −
∫
cos x dx
=
x3
3
+ 3x − sen x + C .
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Diferencial de uma função
Na Unidade 11 foi introduzida a noção de aproximação linear
de uma função derivável f , dada pela equação
∆f = f (x0 + ∆x)− f (x0) ≈ f ′(x0)∆x .
Para distinguir o acréscimo real ∆f do acréscimo linear,
passaremos a denotar este último por df . Estes são dados
então por:
∆f = ∆y = f (x0 + dx)− f (x0);
df = dy = f ′(x0) dx .
Se f : I −→ R, definida no intervalo aberto I , é derivável,
definimos a diferencial de f como
df = dy = f ′(x)dx .
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Exemplo 1
Dada f (x) = ln x , definida em I = (0, +∞), sua diferencial é
dada por
df =
1
x
dx .
Calculando esta diferencial em x0 = 1, obtemos df = dx .
Assim, a aproximação linear de ln 1.1, por exemplo, é
f (x0) + df = 0 + 0, 1 = 0, 1.
Usando uma calculadora cient́ıfica temos
ln 1.1 ∼= 0, 09531017980.
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Integração por substituição
Teorema
Sejam u = g(x) uma função diferenciável definida num intervalo
aberto J ⊂ R e f : I ⊂ R −→ R uma função cont́ınua tais que
Im(g) ⊂ Dom(f ). Então, se F : I ⊂ R −→ R é uma primitiva de f ,∫
f (g(x)) g ′(x) dx =
∫
f (u) du = F (u) + C = F (g(x)) + C ,
Demonstração: Basta calcular a derivada de H(x) = F (g(x)).
Realmente, H ′(x) = F ′(g(x)) g ′(x) = f (g(x)) g ′(x). Isto
mostra que H(x) = F (g(x)) é uma primitiva de f (g(x)) g ′(x).
Este teorema corresponde à técnica de resolver a integral∫
f (g(x)) g ′(x) dx usando a substituição u = g(x) para
reduzi-la à integral
∫
f (u) du.
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Exemplo 2
Calcular
∫
x cos x2dx .
Fazemos a substituição u = x2, que resulta em du = 2xdx .
Temos:∫
x cos x2dx =
1
2
∫
2x cos x2dx =
1
2
∫ (
cos x2
)
2xdx
=
1
2
∫
cos udu.
Usando a fórmula
∫
cos u du = sen u + C , obtemos:
∫
x cos x2 dx =
1
2
∫
cos u du =
sen u
2
+ C =
sen x2
2
+ C .
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Exemplo 3
Calcular
∫
x3
√
x4 + 4dx .
Fazemos a substituição u = x4 + 4, o termo que está sob o
radical.
Temos a diferencial du = 4x3 dx ⇒ x3dx = du4 .
Substituindo e integrando:∫
x3
√
x4 + 4 dx =
1
4
∫ √
x4 + 4 4x3 dx =
1
4
∫ √
u du
=
1
4
2
3
u
3
2 + C =
1
6
(x4 + 4)
3
2 + C .
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Exemplo 4
Calcular
∫
x3
√
x4 + 4 dx .
Vamos inicialmente calcular uma primitiva de f (x) = tan x e,
depois, calcular a integral definida usando os limites de
integração.
Usando a definição de tangente tan x =
sen x
cos x
e a
substituição u = cos x ⇒ du = − sen x dx , obtemos∫
tan x dx =
∫
sen x
cos x
dx = −
∫
1
u
du = − ln |u|+ C
= − ln | cos x |+ C
De posse da primitiva, fazemos∫ π
3
0
tan x dx = − ln | cos x |
∣∣∣∣∣
π
3
0
= ln 2.
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Exemplo 5
Calcular
∫
x
√
x + 1 dx .
Fazendo u = x + 1, obtemos du = dx e x = u − 1.
Assim, a integral pode ser resolvida:∫
x
√
x + 1 dx =
∫
(u − 1)u
1
2 du =
∫
(u
3
2 − u
1
2 ) du
=
2
5
u
5
2 − 2
3
u
3
2 + C
=
2
5
(x + 1)
5
2 − 2
3
(x + 1)
3
2 + C .
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