06_Integrales_definidas

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NOTAS DE CLASE
Tema: Evaluación de Integrales definidas
 - Métodos de Newton-Cotes
 - Trapecios
 - Simpson
 - Cuadraturas Gaussianas
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
program integ_splines1d
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
implicit none
integer :: i,ndat,ncalc
real(8), allocatable :: x(:),y(:),y2(:)
real(8) :: yp1,ypn
real(8) :: x_int,y_int
real(8) :: func,integral
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
open(10,file='integ_splines.in',status='old')
read(10,*)ndat
allocate(x(ndat),y(ndat),y2(ndat))
read(10,*)x(1),x(ndat)
read(10,*)yp1,ypn
close(10)
do i=1,ndat
 x(i)=x(1)+(i-1)*(x(ndat)-x(1))/(ndat-1)
 y(i)=func(x(i))
enddo
call spline(x, y, ndat, yp1, ypn, y2)
integral=0._8
do i=1,ndat-1
 integral=integral+ &
 (x(i+1)-x(i))/2._8* &
 (y(i)+y(i+1)- &
 (x(i+1)-x(i))**3/12._8*(y2(i)+y2(i+1)))
enddo
write(*,*)'Integral=',integral
deallocate(x,y,y2)
end program integ_splines1d
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
real(8) function func(x)
implicit none
real(8) :: x
 func=1._8/(1._8+12._8*x*x)
end function func
 10 <- ndat
-1. 1. <-- x(1), x(ndat)
 1.e30 1.e30 <-- yp1, ypn (if > 0.99e+30 -> Natural splines)
File integ_splines.in
subroutine spline (x,y,n,yp1,ypn,y2) : VER CAPÍTULO: AJUSTE DE DATOS 
gfortran integ_splines.f90 spline.f90 -o integ_splines.x
Resultado
Ejercicio: Seleccionar varias integrales y comparar 
los resultados obtenidos con los métodos de Trapecios, 
Simpson y Splines Cúbicos, en similares condiciones 
(usar una grilla de número impar de datos) 
Integral= 0.74325
 
Carl Friedrich Gauss: 
30/04/1777, Brunswick, 
Alemania – 23/02/1855, 
Gottingen, Alemania
Matemático, astrónomo, 
geodesta y físico alemán 
que contribuyó 
significativamente en 
muchos campos, incluida 
la teoría de números, el 
análisis matemático, la 
geometría ...
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo: Área de un círculo con Simpson ⅓ y MonteCarlo (MC)
module commonvars
implicit none
integer(2) :: n=111 ! n debe ser impar y mayor que 1 !!!!
end module commonvars
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
program area_circulo_simpson
use commonvars
implicit none
real(8) :: a,b,simpson
a=0._8
b=1._8
write(*,*)'El area es:',simpson(a,b)
end program area_circulo_simpson
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
real(8) function simpson(a,b)
use commonvars
implicit none
integer(2) :: i
real(8), intent(in) :: a,b
real(8) :: h
real(8) :: fun
h=(b-a)/(n-1) ; simpson=(fun(a)+fun(b)+4*fun(a+h))*h/3
do i=2,n-2,2
 simpson=simpson+(2._8*fun(a+i*h)+4._8*fun(a+(i+1)*h))*h/3._8
enddo
end function simpson
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
real(8) function fun(x)
use commonvars
implicit none
integer(2) :: i
real(8) :: x,a,b,h
a=0.5_8-sqrt(0.25_8-(x-0.5_8)**2) ; b=-a+1._8 ; h=(b-a)/(n-1)
fun=(1._8+1._8+4._8)*h/3._8
do i=2,n-2,2
! y=a+i*h
 fun=fun+(2._8*1._8+4._8*1._8)*h/3._8
enddo
end function fun
1/2
1/2
x
y
program area_circulo_MC
implicit none
integer(2) :: i,n
integer :: idum=0
real(8) :: x,y,ran0,d,cont
n=1000
cont=0._8
x=ran0(idum)
y=ran0(idum)
d=sqrt((x-0.5)**2+(y-0.5)**2)
do i=1,n
 if ( d <= 0.5_8 ) cont=cont+1._8
enddo
cont=cont/n
write(*,*)'Area del círculo:',cont
end program area_circulo_MC
real(8) function ran0(idum)
implicit none
integer :: idum
integer,parameter :: IA=16807
integer,parameter :: IM=2147483647
integer,parameter :: IQ=127773
integer,parameter :: IR=2836
integer,parameter :: MASK=123459876
real(8),parameter :: AM=1._8/IM
integer :: k
idum=ieor(idum,MASK)
k=idum/IQ
idum=IA*(idum-k*IQ)-IR*k
if (idum.lt.0) idum=idum+IM
ran0=AM*idum
idum=ieor(idum,MASK)
end function ran0
 
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