-4- - Corda Vibrante

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
LABORATÓRIO DE FÍSICA EXPERIMENTAL II - 5268 - Turma 09
CORDA VIBRANTE
Acadêmicos: Lucas Hideo Kawamoto Macedo RA: 128523
Marco Antonio Almeron Bueno RA: 116874
Docente: Prof. Dr. ****** **** ******* *******
Maringá - PR
Fevereiro de 2023
RESUMO
Cordas vibrantes são fios flexíveis e tensionados em suas extremidades, sujeitas ao
fenômeno de ressonância. Em Física, ressonância é o fenômeno em que um
sistema vibratório ou força externa conduz outro sistema a oscilar com maior
amplitude em frequências específicas. Nesse contexto, quando a frequência emitida
por um sistema - um alto-falante, por exemplo - for igual a uma das frequências
próprias do fio, diz-se que a vibração e o fio estão em ressonância. Diante dessa
ideia, o experimento realizado teve como objetivo analisar as frequências de
vibração de um fio de cordonê quando em ressonância com a vibração emitida por
um alto-falante, com base na observação dos harmônicos formados e na frequência
emitida pela fonte externa.
Palavras-chave: Cordas vibrantes. Ressonância. Frequência de vibração.
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO 3
2 OBJETIVOS 5
3 DESENVOLVIMENTO EXPERIMENTAL 5
3.1 Materiais utilizados 5
3.2 Procedimento e montagem experimental 6
4 DISCUSSÕES E RESULTADOS 7
4.1 Dependência da frequência com o número de ventres 7
4.2 Dependência da frequência com o comprimento do fio 10
4.3 Dependência da frequência com a força tensora 14
4.4 Outras considerações 15
5 CONCLUSÃO 18
REFERÊNCIA 19
3
1 INTRODUÇÃO
Uma onda pode ser definida como uma perturbação que se propaga em um
meio, transportando energia ao invés de matéria. Há diversas classificações para as
ondas, e o estudo e a análise de suas propriedades constituem um vasto ramo da
física [1].
As cordas vibrantes são fios flexíveis e presos em suas extremidades.
Imaginando-se um sistema em que há uma corda vibrante junto a uma fonte externa
(como um alto-falante, por exemplo), é possível fazer a corda oscilar, estimulando-a
por meio dessa fonte. Quando uma das frequências da corda for idêntica à
frequência emitida pelo alto-falante, é possível dizer que ambas - a corda e a fonte
estão em ressonância entre si [1].
Quando uma onda estacionária é formada em um fio, alguns pontos do fio
permanecem em repouso e sem vibração - os “nós”. Nesses pontos ocorre
interferência destrutiva total. Por outro lado, os centros (ou “antinós”) resultam da
interferência construtiva e correspondem às regiões no fio onde ocorrem as
vibrações [1].
A equação de uma onda progressiva é dada por:
(1)𝑦 = 𝑦
𝑚
𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − ω𝑡)
Nessa equação, corresponde à amplitude; , ao tempo; , à frequência𝑦
𝑚
𝑡 ω
angular; e , ao número de ondas, sendo que [1].𝑘 𝑘 = 2πλ
Como uma onda estacionária é formada a partir da superposição de duas
ondas de mesma frequência, amplitude e velocidade, mas com sentidos opostos, é
possível reescrever a Eq. (1) da seguinte maneira:
(2) 𝑦 = 2𝑦
𝑚
𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥)𝑐𝑜𝑠(ω𝑡)
Nessa onda, o valor da amplitude de cada ponto (isto é, de cada valor de x)
pode ser encontrado por meio da equação:
, (3) 𝑦 = 2𝑦
𝑚
𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥)
4
sendo que a amplitude será máxima - e igual a - sempre que:2𝑦
𝑚
𝑘𝑥 = π2 ; 
3π
2 ; 
5π
2 ; ... 
e mínima - e igual a zero - quando:
.𝑘𝑥 = π, 2π, 3π, ...
Os pontos de máxima amplitude são chamados de “ventres” ou “antinodos” e
estão distantes entre si por um valor de - o que equivale a meio comprimento deλ/2
onda. Os pontos de mínima amplitude são chamados de “nodos” e também distam
meio comprimento de onda entre si [1].
Em um experimento com cordas vibrantes típico, é montado um sistema no
qual um fio de comprimento L é fixado em ambas as extremidades, sendo que uma
extremidade é associada a um diapasão e a outra, a uma massa. É possível
utilizar-se um alto-falante no lugar de um diapasão [1].
Ondas incidentes possuem a mesma frequência e se propagam em sentidos
opostos, e podem, em certas condições, formar ondas estacionárias. Nesse caso,
quando o fio e o alto-falante estiverem com a frequência de vibração idêntica, eles
estarão em ressonância - o que pode ser modelado por:
, (4)𝐿 = 𝑛 λ2( )
onde os termos e representam, respectivamente, o comprimento do fio e o𝐿 𝑛
número de ventres [1].
A velocidade ( ) com qual a onda percorre um dado meio (no caso do𝑣
experimento, o meio é o fio) pode ser encontrada pela fórmula:
(5)𝑣 = 𝐹ρ
Na Eq. (5), é a tensão aplicada sobre o fio, e , a densidade linear desse fio𝐹 ρ
[1].
5
O comprimento de onda consiste na distância entre dois pontos no qual a
forma da onda se repete durante o mesmo intervalo de tempo. É dado por:
, (6)λ = 𝑉𝑓
onde o termo corresponde à frequência de vibração [1].𝑓
É possível, também, construir uma relação que envolve as frequências de
vibração, a força tensora e a densidade linear do fio (além do seu comprimento),
como mostra a seguinte equação [1]:
(7)𝑓
𝑛
= 𝑛2𝐿
𝐹
ρ
2 OBJETIVOS
● Gerar ondas estacionárias em uma corda (fio cordonê);
● Analisar a dependência da frequência de vibração do fio com o número de
ventres, o comprimento do fio e a tensão aplicada;
● Obter a velocidade de propagação de uma onda em estado estacionário.
3 DESENVOLVIMENTO EXPERIMENTAL
3.1 Materiais utilizados
Para que o experimento fosse realizado, utilizaram-se os seguintes materiais:
● Fio tipo cordonê;
● Quatro massas de valores diferentes;
● Suporte lateral;
● Trena;
● Balança;
● Alto-falante;
● Leitor de frequências;
● Amplificador.
6
3.2 Procedimento e montagem experimental
Primeiramente, foram pesadas cinco massas diferentes e anotados os
valores. Também foram medidos o comprimento, a massa e o comprimento
experimental ( ) do fio.𝐿
𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙
Em seguida, uma das extremidades do fio foi fixada no alto falante e a outra
foi utilizada para suspender as massas. Com a primeira massa já suspensa, o
amplificador e o alto falante foram ligados e iniciou-se o experimento.
Após a montagem do sistema, com a menor massa já suspensa, o
amplificador e o alto falante ligados, iniciou-se o experimento de corda vibrante. O
procedimento foi realizado com quatro massas pendulares, tendo pesos divergentes.
Esses pesos foram aferidos e numerados em ordem crescente de valores.
Com a primeira massa fixa no suporte lateral na extremidade do fio e já
suspensa, o fio foi alinhado com a relação a ranhura do suporte e paralelo à mesa.
Com o amplificador e alto-falante ligados e ajustados conseguiu-se observar 5
ventres.
Esse procedimento foi repetido até as outras 3 massas estarem fixadas juntas
no suporte lateral. Para cada massa adicionada, foram anotadas as frequências
alcançadas de 1 a 5 números de ventres. Ao decorrer do experimentos as
frequências foram anotadas na tabela (11.1).
7
4 DISCUSSÕES E RESULTADOS
4.1 Dependência da frequência com o número de ventres
Na primeira parte do experimento, o objetivo foi analisar as frequências de
vibração do fio de cordonê quando submetido à influência de forças tensoras
exercidas por massas suspensas. Quatro massas foram utilizadas, em ordem
crescente, e para cada uma delas foram aferidos os valores de frequência que
geraram 1, 2, 3, 4 ou 5 ventres no fio. Os valores obtidos encontram-se organizados
na Tabela 1.
Tabela 1. Medidas das frequências (f) em função do número de ventres (n) e da tração
aplicada ao fio de comprimento L sob a atuação de uma força peso de massa m.
𝑛 = 1 𝑛 = 2 𝑛 = 3 𝑛 = 4 𝑛 = 5
𝑓 (𝐻𝑧) 𝑓 (𝐻𝑧) 𝑓 (𝐻𝑧) 𝑓 (𝐻𝑧) 𝑓 (𝐻𝑧)
massa 1 =
50,40 g
17,680 32,549 43,402 68,740 87,171
massa 2 =
100,65 g
20,945 39,584 65,536 90,932 107,900
massa 3 =
150,75 g
31,301 51,395 87,530 108,340 131,890
massa 4 =
200,10 g
33,050 60,026 97,590 113,540 140,850
Lexperimento = 1,5 m
Para o cálculo da densidade linear:
mfio = 0,25 g
lfio = 1,0 m
Com os valores da Tabela 1, foi possível determinar o valor da densidade
linear ( ) do fio utilizado no experimento.Dado que 1,0 m do fio de cordonê tem 0,25ρ
g de massa, calculou-se
,ρ = 0,251,0
chegando-se a = 0,25 g/m para a densidade linear.ρ
8
Depois que esses dados foram recolhidos, procurou-se verificar a
dependência da frequência de ressonância (f) com o número de ventres (n)
formados na corda devido à ação da força tensora exercida por cada uma das
massas. Para que isso fosse feito, plotou-se um gráfico para os valores de f em
função de n para cada massa. O gráfico f x n relativo à massa 1 assumiu o seguinte
aspecto:
Figura 1. Gráfico f x n para o sistema envolvendo a massa 1.
O gráfico relativo à massa 2 teve a seguinte forma:
Figura 2. Gráfico f x n para o sistema envolvendo a massa 2.
O gráfico relativo à massa 3 foi o seguinte:
Figura 3. Gráfico f x n para o sistema envolvendo a massa 3.
9
Finalmente, o gráfico f x n relativo à massa 4 assumiu o aspecto abaixo.
Figura 4. Gráfico f x n para o sistema envolvendo a massa 4.
Como os quatro gráficos construídos apresentaram caráter linear, eles
puderam ser modelados por uma equação do tipo y = ax + b - a qual, no plano
cartesiano, assume a forma de uma reta oblíqua em relação aos eixos. As retas
obtidas, depois de ajustadas, forneceram uma relação diferente para cada massa
utilizada. Para a situação envolvendo a massa de 50,40 g, a reta obtida foi modelada
pela equação f = 17,14n - 1,2588. Seguindo essa ideia, as retas obtidas para as
situações envolvendo as massas de 100,65 g, 150,75 g e 200,10 g foram modeladas
pelas equações f = 22,155n - 1,2371, f = 26,477n + 2,2163 e f = 28,094n + 3,9414,
respectivamente.
Para cada uma das retas encontradas, a constante de proporcionalidade -
que multiplica a variável independente n - assumiu um valor específico. Comparando
esse valor com os dados da Tabela 1, percebeu-se que ele era muito próximo do
valor da frequência obtida para n = 1 em cada uma das quatro situações. Esse valor
corresponde, no escopo da Ondulatória, ao que se conhece como “primeiro
harmônico”. Ignorando-se o valor dos coeficientes lineares, foi possível perceber que
os valores das demais frequências (para cada massa utilizada) comportaram-se
como múltiplos do valor obtido para a frequência quando n = 1.
De fato, observando as equações obtidas e prestando atenção aos seus
coeficientes angulares, foi possível associá-las com a Eq. (7), que relaciona a
frequência de ressonância com o número de ventres formandos numa corda quando
o comprimento da corda, a sua densidade linear e a força tensora associada a ela
são levados em consideração. Rearranjando a Eq. (7), chegou-se a:
10
(8)𝑓
𝑛
= 𝑛 12𝐿
𝐹
ρ( )
De posse dessa nova equação, foi possível perceber que a grandeza que
multiplica n, dada por , corresponde aos coeficientes angulares das retas12𝐿
𝐹
ρ( )
encontradas acima e, por consequência, ao primeiro harmônico dentro de um
conjunto de ondas estacionárias. O termo multiplicativo - o termo n, no caso - indica
que as frequências de ressonância para os demais ventres podem ser interpretadas
como sendo múltiplas da frequência encontrada para o primeiro harmônico.
4.2 Dependência da frequência com o comprimento do fio
Dando prosseguimento ao experimento, procurou-se analisar a dependência
da frequência de ressonância com o comprimento do fio em cada uma das quatro
situações. Então buscou-se relacionar a frequência f de vibração de um determinado
harmônico n com o comprimento da corda presente entre dois nós consecutivos
para o harmônico n em específico. Para a situação envolvendo a massa 1, de 50,40
g, os dados obtidos foram os seguintes:
Tabela 2. Dados obtidos via Tabela 1 para a frequência (f) em função do comprimento do fio
(L) quando a massa 1 é associada.
𝐿 = 1, 5 𝑚
𝑛 𝑓 (𝐻𝑧) 𝐿
𝑛
= 𝐿𝑛 (𝑚)
1
𝐿
𝑛
 (𝑚−1)
1 17,680 2,000 0,500
2 32,549 1,000 1,000
3 43,402 0,666 1,502
4 68,740 0,500 2,000
5 87,171 0,400 2,500
11
Para a configuração com a massa 2, de 100,65 g, construiu-se a Tabela 3.
Tabela 3. Dados obtidos via Tabela 1 para a frequência (f) em função do comprimento do fio
(L) quando a massa 2 é associada.
𝐿 = 1, 5 𝑚
𝑛 𝑓 (𝐻𝑧) 𝐿
𝑛
= 𝐿𝑛 (𝑚)
1
𝐿
𝑛
 (𝑚−1)
1 20,945 2,000 0,500
2 39,584 1,000 1,000
3 65,536 0,666 1,502
4 90,932 0,500 2,000
5 107,900 0,400 2,500
Para a configuração com a massa 3, de 150,75 g, construiu-se a Tabela 4.
Tabela 4. Dados obtidos via Tabela 1 para a frequência (f) em função do comprimento do fio
(L) quando a massa de 150,75 g é associada.
𝐿 = 1, 5 𝑚
𝑛 𝑓 (𝐻𝑧) 𝐿
𝑛
= 𝐿𝑛 (𝑚)
1
𝐿
𝑛
 (𝑚−1)
1 31,301 2,000 0,500
2 51,395 1,000 1,000
3 87,530 0,666 1,502
4 108,340 0,500 2,000
5 131,890 0,400 2,500
Por fim, para a configuração com a massa 4, de 200,10 g, foi construída a
Tabela 5.
12
Tabela 5. Dados obtidos via Tabela 1 para a frequência (f) em função do comprimento do fio
(L) quando a massa de 200,10 g é associada.
𝐿 = 1, 5 𝑚
𝑛 𝑓 (𝐻𝑧) 𝐿
𝑛
= 𝐿𝑛 (𝑚)
1
𝐿
𝑛
 (𝑚−1)
1 33,050 2,000 0,500
2 60,026 1,000 1,000
3 97,590 0,666 1,502
4 113,540 0,500 2,000
5 140,850 0,400 2,500
Depois que os dados de interesse foram coletados, um gráfico f x foi1𝐿
𝑛
plotado para cada situação. Para a situação envolvendo a massa 1, o gráfico foi o
seguinte:
Figura 5. Gráfico f x 1/L para o sistema envolvendo a massa 1.
Para a situação envolvendo a massa 2, o gráfico teve o aspecto abaixo.
Figura 6. Gráfico f x 1/L para o sistema envolvendo a massa 2.
13
Para a situação envolvendo a massa 3, o gráfico assumiu a seguinte forma:
Figura 7. Gráfico f x 1/L para o sistema envolvendo a massa 3.
E, para a situação envolvendo a massa 4, o gráfico foi o seguinte:
Figura 8. Gráfico f x 1/L para o sistema envolvendo a massa 4.
Analogamente ao que ocorreu para a análise do comportamento de f em
função de n, os gráficos representados nas Figuras 5, 6, 7 e 8 também
apresentaram comportamento linear, podendo ser modelados por equações de reta.
As equações dessas retas são f = 34,272/L - 1,2614, f = 44,304/L - 1,2457, f =
52,951/L + 2,2029 e f = 56,185/L + 3,9254, respectivamente.
Nas equações dessas retas, o coeficiente linear equivale, em teoria, ao valor
do primeiro harmônico para cada valor de massa, ao passo que o coeficiente
angular equivale à raiz quadrada da força tensora (F) dividida pela densidade linear
( ) do fio e multiplicada por ½. Ignorando-se o coeficiente linear, se essa ideia forρ
levada em consideração e a análise dimensional for realizada, tem-se o seguinte:
,[𝑓] = 1𝐿
𝑀.𝐿/𝑇2
𝑀/𝐿 =
1
𝐿
𝑀2
𝑇2
= 1𝑀
𝑀
𝑇 =
1
𝑇
14
onde as dimensões de massa, comprimento e tempo são representadas por M, L e
T, respectivamente - o que deixa claro que o coeficiente angular tem as mesmas
dimensões que a frequência calculada.
Por fim, a Equação de Lagrange [Eq. (7)] pôde ser obtida por meio de
combinações envolvendo as Eqs. (4), (5) e (6). Substituindo a Eq. (5) na (6),
chegou-se a:
(9)λ = 1𝑓
𝐹
ρ
Substituindo a equação obtida na Eq. (4) e rearranjando os termos para que f
seja a variável dependente, encontrou-se:
,𝑓
𝑛
= 𝑛2𝐿
𝐹
ρ
que corresponde à Equação de Lagrange.
4.3 Dependência da frequência com a força tensora
Na terceira fase do experimento, buscou-se analisar a dependência da
frequência de ressonância (f) com a força tensora (F). Para isso, escolheu-se o
modo de vibração 2, que apresentou resultados mais consistentes. Tendo-se em
mente que a força tensora exercida pelas massas sobre o fio é numericamente igual
ao peso destas (a saber, F = P = mg, em que P representa a força-peso e g, a
aceleração gravitacional), foi possível construir a Tabela 6.
Tabela 6. Frequência em função da força tensora, considerando que g = 9,80665 m/s2.
𝑛 = 2
𝑓 (𝐻𝑧) 𝑓² (𝐻𝑧) 𝐹 (𝑁)
32,549 1059,437 0,5384
39,584 1566,893 0,9870
51,395 2641,440 1,4783
60,026 3603,120 1,9623
15
O gráfico f2 x F, confeccionado com os dados da Tabela 6, teve o seguinte
aspecto:
Figura 9. Gráfico f2 x F para n = 2.
O gráfico confeccionado pôde ser modelado por meioda equação de uma
reta, dada por f’ = 1808,3F - 21,783, em que f’ = f2. Analisando essa equação
numérica, percebeu-se que ela poderia ser associada à Eq. (7). Realmente,
elevando-se ambos os membros da Eq. (7) ao quadrado, encontrou-se:
(10)𝑓
𝑛
2 = 𝑛
2
4𝐿2ρ
𝐹
Comparando-se a Eq. (10) com a equação obtida para a reta f2 x n, notou-se
que o coeficiente angular dessa reta corresponde ao termo que multiplica F na (10).
4.4 Outras considerações
Foi possível comparar as frequências dos harmônicos obtidas
experimentalmente com as frequências que seriam esperadas na teoria. Para
encontrar a frequência teórica (fT), utilizou-se a Eq. (8) Os valores de fT encontrados
para o sistema em que a massa 1, produtora da força tensora F = 0,5384 N , é
associada, junto com as frequências experimentais (fEXP) e os desvios percentuais
(D%), aparecem na tabela abaixo.
16
Tabela 7. Comparação dos valores de fT e fEXP quando o sistema está sob a ação da massa
1.
𝑛 𝑓
𝑇
 (𝐻𝑧) 𝑓
𝐸𝑋𝑃
 (𝐻𝑧) 𝐷
%
1 11,501 17,680 53,7%
2 23,203 32,549 40,2%
3 34,804 43,402 24,7%
4 46,405 68,740 48,1%
5 58,007 87,171 50,2%
Os valores encontrados para os sistemas com as massas 2, 3 e 4 aparecem
nas Tabelas 8, 9 e 10, respectivamente.
Tabela 8. Comparação dos valores de fT e fEXP quando o sistema está sob a ação da massa
2.
𝑛 𝑓
𝑇
 (𝐻𝑧) 𝑓
𝐸𝑋𝑃
 (𝐻𝑧) 𝐷
%
1 15,708 20,945 33,3%
2 31,416 39,584 26,0%
3 47,124 65,536 39,9%
4 62,832 90,932 44,7%
5 78,840 107,90 26,9%
Tabela 9. Comparação dos valores de fT e fEXP quando o sistema está sob a ação da massa
3.
𝑛 𝑓
𝑇
 (𝐻𝑧) 𝑓
𝐸𝑋𝑃
 (𝐻𝑧) 𝐷
%
1 19,224 31,301 62,8%
2 37,449 51,395 37,2%
3 57,672 87,530 51,8%
4 76,896 108,34 40,9%
5 96,120 131,89 37,2%
17
Tabela 10. Comparação dos valores de fT e fEXP quando o sistema está sob a ação da massa
4.
𝑛 𝑓
𝑇
 (𝐻𝑧) 𝑓
𝐸𝑋𝑃
 (𝐻𝑧) 𝐷
%
1 22,149 33,050 49,2%
2 44,298 60,026 35,3%
3 66,447 97,590 46,9%
4 88,596 113,54 28,1%
5 110,745 140,85 27,2%
Se os erros experimentais forem desprezados, foi possível afirmar que a
Equação de Lagrange, exibida em (8), prevê de forma satisfatória os resultados do
experimento, já que ela contém informações a respeito do comprimento L do fio,
bem como de sua densidade linear e da força tensora F que está sendo aplicadaρ
sobre ele.
Dando continuidade aos cálculos, buscou-se, por meio da Eq. (6), calcular a
velocidade (v) do conjunto/trem de ondas para cada um dos quatro valores de F.
Para a força F = 0,5384 N, exercida pela massa 1, calculou-se:
𝑣 = 0,53840,00025 = 46, 41 𝑚/𝑠
Cálculos similares foram feitos para as forças exercidas pelas massas 2, 3 e
4, e os resultados foram organizados na Tabela 11.
Tabela 11. Dados da velocidade (v) em função da força tensora (F) exercida pelas massas.
𝐹 (𝑁) 𝑣 (𝑚/𝑠)
0,5384 46,41
0,9870 62,83
1,4783 76,90
1,9623 88,59
18
5 CONCLUSÃO
De modo geral, chegou-se à conclusão de que os resultados encontrados nas
três etapas do experimento não foram satisfatórios. Por exemplo, comparando-se os
valores encontrados para as frequências experimentais com os esperados
(aplicando-se a fórmula), observou-se que os primeiros distanciaram-se
consideravelmente do que seria ideal. No entanto, apesar de situações como essa,
foi possível perceber que grandezas como a densidade linear da corda, o
comprimento da corda e a força tensora exercida pela massa são absolutamente
relevantes para que sistemas envolvendo cordas vibrantes sejam estudados.
19
REFERÊNCIA
[1] FERNANDES, P. R. G.; MUKAI, H. Manual de Laboratório de Física
Experimental II. Maringá: UEM, 2018.