AUDITORIA E A MATEMÁTICA FINANCEIRA

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Conceitos iniciais
Apresentação
Nesta Unidade de Aprendizagem, vamos compreender o que é e como surgiu o crédito e o sistema 
responsável por sua negociação, chamado sistema de intermediação financeira. 
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Definir crédito e juros.•
Explicar fatores que contribuíram para a existência das operações de crédito.•
Identificar os agentes da intermediação de crédito, os chamados agentes da intermediação 
financeira.
•
Desafio
Uma empresa pretende expandir suas operações e resolve contratar você como consultor 
financeiro para avaliar a seguinte premissa: se a empresa deverá ou não captar recursos no 
mercado financeiro para realizar determinado investimento. Vamos considerar que a primeira 
avaliação da empresa levará em conta apenas os seus conhecimentos teóricos sobre o assunto. 
Dessa forma, a companhia elaborou o seguinte roteiro para entrevista: 
1. O que você considera como fator decisivo para captar recursos em um processo de expansão? 
2. Quais características de mercado favorecem o aumento dos juros? 
3. Como você conceitua os juros nas operações de crédito?
Responda as questões deste roteiro.
Infográfico
O infográfico mostra a relação de concessão, intermediação e tomada de recursos (por parte dos 
agentes financiadores e tomadores de recursos), por meio da sua entrega e devolução com o 
custo/prêmio, que são os juros.
Aponte a câmera para o 
código e acesse o link do 
conteúdo ou clique no 
código para acessar.
https://statics-marketplace.plataforma.grupoa.education/sagah/46f3acae-8a44-444c-9400-e5d4390a3309/85b20511-fa79-4c75-9e77-1b32a91529fa.png
Conteúdo do livro
O surgimento do crédito, os juros e a necessidade de um sistema para intermediar a negociação 
financeira são requisitos essenciais para o ordenamento do sistema financeiro. Vamos compreender 
o início dessa relação através da leitura da introdução do livro Matemática financeira: fundamentos 
e aplicações, dos autores Manuela Longoni de Castro e Wili Dal Zot. 
Catalogação na publicação: Poliana Sanchez de Araujo – CRB 10/2094
D136m Dal Zot, Wili.
 Matemática financeira : fundamentos e aplicações 
 [recurso eletrônico] / Wili Dal Zot, Manuela Longoni de 
 Castro. – Porto Alegre : Bookman, 2015.
 Editado como livro impresso em 2015.
 ISBN 978-85-8260-333-8
 1. Matemática financeira. I. Castro, Manuela Longoni 
 de. II. Título. 
CDU 51
Os autores
Wili Dal Zot
É professor de Matemática Financeira do Departamento de Matemática Pura e Aplicada da Universidade 
Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS) desde 1984. É bacharel em Ciências Econômicas pela UFRGS, espe-
cialista em Finanças pela Escola de Pós-Graduação em Economia da Fundação Getúlio Vargas (FGV) e mes-
tre em Administração pela Escola Brasileira de Administração Pública e de Empresas (EBAPE) pela mesma 
instituição. Atualmente, é professor convidado da FGV das disciplinas de Matemática Financeira e Finanças 
Corporativas em cursos de Pós-Graduação. Tem experiência em cargos de Gerência Financeira e de Controla-
doria em empresas de setores da Indústria de Comércio e Serviços.
Manuela Longoni de Castro
É bacharel em Matemática pela UFRGS, mestre em Matemática Aplicada pela mesma universidade e Ph.D. 
em Matemática pela University of New Mexico (Estados Unidos). É professora adjunta da Universidade 
Federal do Rio Grande do Sul desde 2006, ministrando a disciplina de Matemática Financeira desde 2007. 
Tem experiência na área de Matemática Aplicada, atuando nas áreas de Equações Diferenciais Parciais, Aná-
lise Numérica e Ecologia Matemática.
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO
1.1 O crédito e o juro
O crédito deve ser sempre associ ado ao tempo, uma vez que não existe empréstimo se 
não for relacionado com um espaço de tempo ao final do qual o tomador deve restituir ao 
credor a quantia emprestada. Deve, portanto, também haver um pagamento pelo preço do 
empréstimo, o juro, uma vez que existem formas de relacionamento jurídico, como o co-
modato, em que existe o empréstimo, durante certo tempo, mas não há uma remuneração 
estabelecida.
O mútuo, ou empréstimo de consumo, é o contrato pelo qual uma pessoa transfere a 
outra a propriedade de certa quantidade de coisas, peças monetárias, mercadorias, 
etc., convencionando que outra parte envolvida lhe devolverá, ao fim de certo prazo, 
uma mesma quantidade de coisas de mesma qualidade. (GIRARD, 1906, apud JAN-
SEN, 2002, p. 7).
Segundo Dumoulin e Rossellus (1961), parece ser justo que o mutuário, tendo realizado 
um ganho com o dinheiro recebido, consagre parte desse ganho para remunerar o serviço 
que lhe prestou o mutuante.
O juro, em relação ao dinheiro, significa, precisamente, o que os livros de aritmética 
afirmam: trata-se apenas do prêmio que se pode obter pelo dinheiro à vista em relação ao di-
nheiro a prazo, de modo que ele mede a preferência marginal (para a comunidade como um 
todo) de conservar o dinheiro em mãos, no lugar de só poder recebê-lo mais tarde. Ninguém 
pagaria esse prêmio, a menos que a posse do dinheiro tivesse alguma finalidade, ou seja, al-
guma eficiência. Portanto, podemos dizer que o juro reflete a eficiência marginal do dinheiro, 
tomado como unidade em função de si mesmo.
1.2 O surgimento do crédito e do sistema financeiro
Embora alguns autores relacionem o surgimento do crédito com o da letra de câmbio, ocor-
rido ao fi nal da Idade Média, pode-se afirmar que ele existe há mais tempo, uma vez que o 
direito romano previa punições para o não cumprimento de dívidas por parte do tomador 
de empréstimos. Entretanto, foi com a letra de câmbio que o crédito tomou uma forma mais 
2 Matemática Financeira
avançada, tendo em vista a possibilidade de endosso que permitia ao credor sua negociação 
ou representação para cobrança.
Inicialmente, a letra de câmbio tinha por objetivo vencimentos à vista, e sua grande 
utilidade era facilitar a troca de moedas entre as diferentes cidades evitando os elevados 
custos de transporte e guarda dos valores. Estava, portanto, dentro das regras do Direi-
to Romano relativas aos contratos de compra e de venda. Gradativamente, foi evoluindo 
para vencimento a prazo, assumindo uma troca de dinheiro no presente por dinheiro no 
futuro. Por apenas constar os valores finais de resgate, a letra de câmbio não identificava a 
natureza dos serviços adicionados além da simples troca de valores entre as moedas, sen-
do possível a inclusão de juros sem que se pudesse identificá-la como empréstimo. Desse 
modo, escapava-se da condenação canônica1 à cobrança de juros e à usura. O aparecimento 
da letra de câmbio constituiu-se, assim, em um marco importante para a facilitação do 
comércio entre as cidades, o que realimentou o crescimento das operações financeiras com 
a consequente criação dos primeiros bancos. Embora haja notícias da existência de bancos 
no século XIII, o primeiro considerado moderno e semelhante aos atuais foi o Banco de 
Amsterdã, fundado no ano de 1608. Foi nesse período, também, que surgiram as socieda-
des por ações e as bolsas, formando, junto com os bancos, os três pilares do Sistema Finan-
ceiro como é entendido hoje.
1.3 As instituições de intermediação financeira
Nas economias capitalistas, a condição de uso do dinheiro (capital) tem possibilitado a pro-
dução de bens e, consequentemente, a formação de mais dinheiro por meio do lucro. Portan-
to, o uso do dinheiro, e não necessariamente a sua propriedade, gera dinheiro. Por essa razão, 
o empréstimo tem valor, e o seu preço (aluguel do dinheiro) é denominado juro.
Para facilitar a compreensão sobre o funcionamento do fluxo do dinheiro entre os agen-
tes econômicos, sugere-se a criação de um modelo didático com três categorias:
 • Agentes superavitários (ou poupadores), cujas receitas são superiores aos gastos (con-
sumo ou investimentos) e que não se interessam em outro uso para sua poupança exce-
to “aplicar”com terceiros.
 • Agentes deficitários:
 a) consumidores cujosgastos com a compra de produtos para seu uso excedem suas 
receitas ou capacidade financeira;
 b) empreendedores cujos recursos próprios são insuficientes para as inversões de capi-
tal em atividades produtivas que desejam fazer.
 • Agentes de intermediação financeira (bancos, financeiras, distribuidoras e corretoras de 
valores, etc.), que tornam possível a transferência da poupança dos agentes superavitá-
rios para os agentes deficitários, por meio do empréstimo e de sua liquidação, mediante 
remuneração pelo serviço, funcionando de forma semelhante a um mercado de merca-
dorias: o Mercado Financeiro.
No Mercado Financeiro é estabelecido o preço do dinheiro cuja unidade de medida é a 
taxa de juros, e seus corretores (os agentes de intermediação financeira) realizam a tarefa de 
aproximação entre os agentes deficitários, que demandam recursos financeiros, e os agentes 
superavitários, que os ofertam mediante uma taxa (spread ou delcredere).
1 “O Cânone XVII do Concílio de Nicéa, em 325, proibiu os sacerdotes de emprestar dinheiro a juros.”(OLIVEIRA, 
2009, p. 351).
Capítulo 1 Introdução 3
Assim, os agentes deficitários, para atingir seus propósitos, buscam recursos empres-
tados para financiar produção real de bens e serviços, além de seu respectivo consumo, por 
meio da intermediação financeira. A condição para que haja harmonia nesse processo de fi-
nanciamento da economia é que o lucro global da economia seja maior do que o custo de seu 
financiamento, ou seja, o lucro deve ser maior do que o juro.
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra. 
Dica do professor
Estamos envolvidos em um constante processo de troca de recursos: há quem deseje comprar, 
quem deseje vender e quem deseje intermediar essas operações. No vídeo a seguir vamos 
compreender como e quando surgem os conceitos de crédito e juros, como surgiu a intermediação 
financeira e quem são seus agentes.
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Exercícios
1) O mercado financeiro apresenta agentes superavitários e deficitários que utilizam os 
intermediários financeiros para conduzir suas operações, nas quais incidem juros. Posto isso, 
pode-se afirmar que o juro:
A) não considera o valor do dinheiro no tempo.
B) é a remuneração pelo risco, pelo retorno.
C) não deverá ser comparado com o retorno da operação para a qual foi utilizado o recurso.
D) atrapalha o mercado financeiro.
E) terá tanto mais custo quanto menor for o prazo da operação.
2) Entre os agentes do mercado financeiro, tem-se a figura do agente superavitário de 
recursos. Aquele que representa CORRETAMENTE a figura desse agente é:
A) o poupador.
B) quem necessita de recursos para investir.
C) o intermediário financeiro.
D) o mercado financeiro.
E) o agente deficitário na situação de pagamento.
3) A letra de câmbio é considerada o primeiro instrumento de intermediação financeira. Em 
relação a esse instrumento, marque a alternativa INCORRETA:
A) Foi com a crescente utilização da letra de câmbio que surgiram os primeiros bancos, as 
sociedades por ações e as bolsas (três pilares do sistema financeiro).
B) Para formalizar a negociação dos recursos entre poupadores e tomadores de recursos, era 
necessário criar um instrumento formal.
C) A letra de câmbio surge com vencimento à vista e depois passa a ter vencimento a prazo.
D) A letra de câmbio contribuiu para facilitar a troca de moeda.
E) Como a cobrança de juros era condenada pela Igreja Católica, o registro na letra de câmbio 
contemplava todo valor da operação com a descrição da sua composição.
4) A geração de riqueza consiste na movimentação da própria riqueza. O interesse em 
aumentar os recursos acontece a partir da sua melhor utilização. Se não forem utilizados, 
não serão capazes de gerar novos recursos. Dessa forma, marque a alternativa que melhor se 
relaciona com essa afirmação:
A) Eduardo realizou um empréstimo no banco para pagar R$ 3.000,00 de juros e conseguiu 
investir em estoque e aumentar o faturamento da empresa, gerando um aumento de R$ 
5.000,00 no resultado.
B) Fabíola comprou um carro e pagou juros no valor de R$ 11.000,00, além dos gastos que 
passou a ter com combustível, impostos, taxas, manutenção, estacionamento.
C) Pedro contratou mais cinco funcionários terceirizados. No dia do pagamento, precisou obter 
um empréstimo para pagar esses funcionários.
D) A empresa XCC comprou um maquinário para pagar R$ 50.000,00 de juros. A previsão é um 
aumento no lucro de R$ 80.000,00. Houve uma mudança na preferência do consumidor, e o 
lucro aumentou em apenas R$ 30.000,00.
E) Roberto resolveu vender uma máquina por 30 parcelas de R$ 1.000,00. O valor da máquina 
para Roberto era de R$ 30.000,00.
5) O mercado financeiro surge da necessidade de investir dos agentes, seus integrantes, para a 
geração de riqueza. Os componentes desse mercado são representados pelos agentes 
superavitários, pelos deficitários e pelos intermediários financeiros. Dessa maneira, marque 
a alternativa que melhor define a relação entre os agentes:
A) Agente superavitário é considerado o poupador que tem interesse em aplicar o seu recurso 
para ampliá-lo. Este agente coloca seu recurso em um agente intermediário, que será 
responsável pela guarda deste e por seu repasse ao agente deficitário, representado pelos 
consumidores e pelas empresas que têm interesse de ampliar seus negócios, mas não 
dispõem de capital próprio suficiente.
Agente deficitário é considerado o poupador que tem interesse em aplicar o seu recurso para 
ampliá-lo. Esse agente coloca seu recurso em um agente intermediário, que será responsável 
por sua guarda e por seu repasse ao agente superavitário, representado pelos consumidores e 
B) 
pelas empresas que têm interesse em ampliar seus negócios, mas não dispõem de capital 
próprio suficiente.
C) Agente intermediário financeiro é considerado o poupador que tem interesse em aplicar o seu 
recurso para ampliá-lo Esse agente coloca seu recurso em um agente superavitário, que será 
responsável por sua guarda e pelo seu repasse ao agente deficitário, representado pelos 
consumidores e pelas empresas que têm interesse de ampliar seus negócios, mas não 
dispõem de capital próprio suficiente.
D) Agente intermediário já é suficiente para que exista a relação entre o agente deficitário e o 
superavitário.
E) Agente mais relevante é o agente deficitário, pois se ele não precisar de recursos, não haverá 
movimentação da moeda.
Na prática
Vamos comprar uma casa? Que tal comprar um carro? Vamos verificar como podemos expandir os 
negócios de uma empresa? Para toda aquisição precisamos de recursos, sejam eles próprios ou de 
terceiros, mas sabemos que nem sempre dispomos de recursos próprios. Assim, buscamos recursos 
de terceiros, que serão captados por meio de empréstimos e/ou financiamentos, realizados em 
instituições financeiras. Essas operações geram encargos e juros. Veja um exemplo: 
Saiba +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:
Sistema de Intermediação Financeira
Neste vídeo aula você vai aprender sobre Sistema de Intermediação Financeira
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Como os juros são formados?
O Brasil tem a 4a maior taxa de juros do mundo - saiba como essa taxa é calculada e o que é 
possível fazer para reduzi-la.
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https://www.youtube.com/embed/9FOeYvK9pHg
https://www.youtube.com/embed/j4k7uYRDiKU
Um pouco mais sobre calculadoras
Apresentação
Ao resolvermos problemas aplicados envolvendo a matemática financeira, precisamos compreender 
a situação e os elementosenvolvidos, para que possamos modelar de maneira adequada. 
No entanto, situações reais costumam envolver cálculos mais complexos e números não inteiros 
(racionais ou até mesmo irracionais), de modo que o cálculo manual se torna trabalhoso e em alguns 
casos inviável. Dessa forma, as calculadoras são ferramentas muito importantes no estudo da 
matemática financeira. 
Nesta Unidade de Aprendizagem, abordaremos um pouco mais sobre calculadoras, por meio de 
suas classificações, formas de uso e solução de exemplos.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Classificar as calculadoras.•
Distinguir as calculadoras quanto ao modo como os dados das equações são introduzidos.•
Utilizar as calculadoras financeiras.•
Desafio
Resolver problemas aplicados da matemática financeira se torna muito trabalhoso se utilizarmos 
apenas fórmulas e cálculo manual. Dessa forma, o uso das calculadoras é um grande aliado na 
resolução de problemas financeiros. Para esse desafio, vamos utilizar a calculadora HP12C.
Ana e João estão planejando uma poupança para custear os estudos de sua filha que entrará na 
faculdade daqui a 10 anos. Eles, hoje, dispõem de R$8.000,00 e estimam precisar de R$25.000,00. 
No entanto, nunca estudaram matemática financeira e resolveram lhe contratar como consultor 
para auxiliá-los a escolher o tipo de aplicação indicada neste caso. 
Deste modo, com o uso da calculadora HP12C, determine a taxa de juros anual que o casal precisa 
receber de uma aplicação financeira para conseguir o almejado valor em 10 anos. 
Infográfico
As calculadoras são ferramentas poderosas na matemática, pois além de reduzir o tempo de cálculo 
na maioria dos problemas, podem também em alguns casos realizar de forma eficiente o cálculo 
aproximado de uma expressão que seria inviável de se calcular analiticamente. 
Na matemática financeira, uma calculadora bastante utilizada é a HP12C. O infográfico a seguir 
indica e explica na calculadora HP12C as principais funções de juros compostos, anuidades e fluxo 
de caixa descontado. 
Conteúdo do livro
Com exceção de algumas operações elementares, especialmente somas e subtrações, a maioria dos 
cálculos exigem apoio de alguma calculadora. As calculadoras, tal como a conhecemos hoje, vieram 
substituir métodos de cálculo mais primitivos, como as tábuas de logaritmos, e menos precisos, 
como as réguas de cálculo; esses recursos eram bastante populares nos meios profissionais e 
acadêmicos até meados do século XX com o avanço da eletrônica digital e da portabilidade dos 
recursos. Leia mais detalhes sobre o assunto no livro Matemática financeira: fundamentos e 
aplicações, comece sua leitura pelo capítulo Um pouco mais sobre Calculadoras de Wili Dal Zot e 
Manuela Longoni de Castro.
Boa leitura.
Catalogação na publicação: Poliana Sanchez de Araujo – CRB 10/2094
D136m Dal Zot, Wili.
 Matemática financeira : fundamentos e aplicações 
 [recurso eletrônico] / Wili Dal Zot, Manuela Longoni de 
 Castro. – Porto Alegre : Bookman, 2015.
 Editado como livro impresso em 2015.
 ISBN 978-85-8260-333-8
 1. Matemática financeira. I. Castro, Manuela Longoni 
 de. II. Título. 
CDU 51
Os autores
Wili Dal Zot
É professor de Matemática Financeira do Departamento de Matemática Pura e Aplicada da Universidade 
Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS) desde 1984. É bacharel em Ciências Econômicas pela UFRGS, espe-
cialista em Finanças pela Escola de Pós-Graduação em Economia da Fundação Getúlio Vargas (FGV) e mes-
tre em Administração pela Escola Brasileira de Administração Pública e de Empresas (EBAPE) pela mesma 
instituição. Atualmente, é professor convidado da FGV das disciplinas de Matemática Financeira e Finanças 
Corporativas em cursos de Pós-Graduação. Tem experiência em cargos de Gerência Financeira e de Controla-
doria em empresas de setores da Indústria de Comércio e Serviços.
Manuela Longoni de Castro
É bacharel em Matemática pela UFRGS, mestre em Matemática Aplicada pela mesma universidade e Ph.D. 
em Matemática pela University of New Mexico (Estados Unidos). É professora adjunta da Universidade 
Federal do Rio Grande do Sul desde 2006, ministrando a disciplina de Matemática Financeira desde 2007. 
Tem experiência na área de Matemática Aplicada, atuando nas áreas de Equações Diferenciais Parciais, Aná-
lise Numérica e Ecologia Matemática.
APÊNDICE A
UM POUCO MAIS SOBRE 
CALCULADORAS
A.1 Introdução
Com exceção de algumas operações elementares, especialmente soma e substração, a maioria 
dos cálculos exige apoio de alguma calculadora. As calculadoras, como as conhecemos hoje, 
vieram substituir métodos de cálculo mais primitivos, como as tábuas de logaritmos, e me-
nos precisos, como as réguas de cálculo. Esses recursos eram bastante populares nos meios 
profissionais e acadêmicos até meados do século XX, que trouxe o avanço da eletrônica digi-
tal e da portabilidade dos recursos.
Costuma-se classificar as calculadoras em:
 • Calculadoras científicas, apropriadas para a solução de equações matemáticas em geral.
 • Calculadoras financeiras, que, embora também permitam a solução de equações mate-
máticas, contêm fórmulas pré-programadas de Matemática Financeira.
Quanto ao modo como os dados das equações são introduzidos nas calculadoras, temos:
 • Modo ALGébrico: os operadores são colocados entre os operandos (números ou va-
riáveis), buscando respeitar a sequência em que se encontram; os parênteses ajudam a 
respeitar a ordem de execução das operações.
 • Modo RPN (Reverse Polish Notation1): os operadores são colocados após os operandos. 
O modo RPN foi introduzido em calculadoras pela empresa Hewlett-Packard (HP) e 
está presente em quase todos os modelos por ela fabricados. A calculadora financeira 
HP 12c Gold, uma das mais utilizadas e conhecidas, utiliza o modo RPN. Suas versões 
mais modernas (HP 12c Platinum e Prestige) permitem o uso dos dois modos (ALG e 
RPN), assim como a HP 17bii, seu modelo financeiro mais avançado. Já a calculadora 
financeira de entrada da empresa, a HP 10bii, opera apenas no modo ALG.
1 Notação Polonesa Reversa, baseada na notação desenvolvida pelo matemático polonês Jan Luksievicz (1878-1956), com 
o objetivo de reduzir o número de operações na solução de equações, de larga aplicação em sistemas computacionais.
138 Apêndice A Um pouco mais sobre calculadoras
A equação Z = 4 + 3 (resp.: 7) é resolvida:
 • Modo ALGébrico: 
 • Modo RPN: 
A equação 
×
× (resp.: 42) é resolvida:
 • Modo ALGébrico: 
 • Modo RPN: 
A.2 Usando calculadoras financeiras
As calculadoras financeiras são bastante utilizadas nas soluções de problemas de Matemática 
Financeira por terem várias equações dessa disciplina pré-programadas, facilitado os cálcu-
los.
A maioria das calculadoras financeiras possui dois grupos de funções caracterizadas 
por conjuntos de memórias e funções dedicadas ao cálculo:
 • dos juros compostos e das anuidades. Nesse grupo é comum identificar, na maioria das 
calculadoras, teclas de memória com as siglas e .
 • de fluxos de caixa descontados na análise de investimentos (estudos de viabilidade eco-
nômica). Nesse grupo se encontram as teclas de memória e operações: 
 e 
A.2.1 Marcas e modelos mais comuns
Existem no mercado diversas marcas e modelos de calculadoras financeiras da Hewlet-Pa-
ckard.
A.2.2 Juros compostos com a calculadora financeira
De um modo geral, todas as calculadoras usam os seguintes princípios:
 • S = P(1 + i)n é a equção básica que relaciona as 4 variáveis
 • Para o cálculo de qualquer uma das variáveis, basta informar as 3 variáveis conhecidas, 
digitando os valores nas respectivas memórias e, logo em seguida, clicar na tecla cor-
respondente à incógnita; como nesta última não há digitação de valores, a calculadora 
entende que deve fazer o cálculo dela em função das demais
 • corresponde ao número de períodos de tempo
 • corresponde à taxa percentual de juros
 • corresponde ao principal P (PV =Present Value)
 • corresponde ao valor da prestação R (PMT = Payment)
 • corresponde ao montante S (FV = Future Value)
Apêndice A Um pouco mais sobre calculadoras 139
Na alternativa de cálculos pré-programados, em que as variáveis descritas são utilizadas, a 
calculadora considera o princípio de fluxo de caixa em que, se alguém recebe (recebimento = 
sinal positivo) um principal, deverá pagar (pagamento = sinal negativo) um montante ou 
uma série de prestações. Por essa razão, se digitarmos na calculadora um valor positivo para 
PV e quisermos que ela calcule o PMT, a resposta apresentada será negativa. Portanto, o 
leitor deve observar que, quando for calcular a taxa ou o prazo, os sinais das variáves que 
representam valores (PV, PMT ou FV) devem ser contrários.
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.
 
Dica do professor
As calculadoras podem ser utilizadas como apoio na resolução de diversos problemas matemáticos, 
tanto para otimizar o tempo de resolução, quanto para calcular aproximações eficientes para 
expressões impossíveis de serem calculadas analiticamente. 
Assista no vídeo a seguir a distinção entre os modos Algébrico e RPN, bem como dicas sobre o uso 
de calculadoras, especificamente a calculadora financeira HP12C.
 
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
https://fast.player.liquidplatform.com/pApiv2/embed/cee29914fad5b594d8f5918df1e801fd/db8a699244094b951543c1b249a695ec
Exercícios
1) Um poupador investiu hoje R$12.000,00 em uma caderneta de poupança que rende 0,5% 
a.m. e não sacará nada por 4 anos. Determine quanto será o saldo após o prazo de aplicação.
A) R$15.245,87
B) R$12.241,81
C) R$11.762,97
D) R$9.445,18
E) R$281,82
2) Encontre, pela calculadora HP12C, o resultado para:
A) 2.284,61%
B) 2,227%
C) 102,37%
D) 0,022%
E) 90,52%
Fernando deseja comprar um videogame daqui a 2 anos que custará R$2.000,00. 
Considerando a taxa de juros compostos de 9% a.a., determine o valor que ele deverá 
3) 
investir, hoje, para conseguir comprá-lo.
A) R$2.376,20
B) R$1.673,51
C) R$3.518,22
D) R$1.683,36
E) R$956,94
4) Determine qual será o valor dos juros obtidos se você aplicar, por 2 meses, a uma taxa de 
juros compostos de 20% a.m., os R$3.000,00 que Maria ganhou do seu pai para ajudar no 
seu casamento.
A) R$4.320,00
B) R$2.083,33
C) R$1.320,00
D) R$916,67
E) R$1.963,64
5) Se um poupador pretende sacar R$20.000,00 da sua poupança, ao fim de 5 anos, sendo que 
ele tem um saldo, hoje, de R$6.000,00, que rende a taxa de juros de 12,5% a.a., determine 
quanto que deve ser depositado anualmente para atingir o objetivo.
A) R$4.802,21
B) R$10.264,83
C) R$1.431,96
D) R$4.681,96
E) R$562,63
Na prática
A calculadora HP12C pode se tornar uma grande aliada no estudo da matemática financeira, mas é 
importante conhecer cada uma de suas funções e ficar atento ao inserir os dados. Veja a seguir um 
exemplo de cálculo realizado na calculadora financeira HP12C.
Saiba +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:
HP12C
A calculadora HP 12C é uma das mais utilizadas como apoio na matemática financeira. Esse vídeo 
faz uma introdução a essa calculadora, incluindo a notação polonesa reversa, as 
multifuncionalidades das teclas, a inversão do sinal, a determinação do número de casas decimais, a 
configuração do formato numérico, os registradores e a memória auxiliar.
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Como usar a Calculadora HP12C
Esse vídeo apresenta de forma rápida e sucinta as noções básicas para o uso da calculadora HP12C 
e também da dica de como obter simuladores para a calculadora HP12C caso você não possua a 
calculadora física.
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HP12C - Juros Simples e Juros Compostos
A calculadora HP12C costuma ser mais utilizada no sistema de capitalização composto, no entanto, 
também pode ser utilizada no regime de juros simples. Esse vídeo apresenta, a partir de um 
exemplo, como utilizar a calculadora HP12C tanto nos juros simples quanto nos juros compostos.
https://www.youtube.com/embed/vJsuG6lMabg
https://www.youtube.com/watch?v=BUhsjfmQrzE
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https://www.youtube.com/watch?v=Rnw_ulQ4z-s
Sistemas de amortização
Apresentação
Ao fazermos um investimento, muitas vezes nós precisamos tomar empréstimos e assumir dívidas, 
que serão pagas posteriormente. Na Matemática Financeira, as formas de pagamentos desses 
empréstimos são conhecidas como sistemas de amortização e o processo de reembolso é realizado 
por meio de pagamentos de prestações, constituídas de amortização e juros.
No mercado existem diversos sistemas de amortização, uns possibilitam pagamento único e outros 
parcelados. No Brasil, os sistemas de amortização mais conhecidos são o sistema PRICE e o sistema 
SAC.
Nesta Unidade de Aprendizagem, abordaremos o conceito de sistema de amortização, sua 
classificação e aplicações envolvendo os principais tipos de sistemas de amortização.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Explicar os principais conceitos do sistema de amortização.•
Identificar os principais tipos de sistemas de amortização, em uso no Brasil.•
Utilizar planos financeiros para demonstrar os cálculos, semelhanças e diferenças entre os 
sistemas de amortização.
•
Desafio
No estudo da matemática financeira, os sistemas de amortização mais conhecidos são o sistema 
PRICE e o sistema SAC, sendo que no sistema PRICE a prestação é constante e no SAC a 
amortização é constante. É importante destacar que ao se trabalhar com sistemas de amortização, 
para nos auxiliar no cálculo e interpretação, geralmente fazemos uma tabela com os principais 
elementos da dívida, conhecida como plano financeiro.
Vamos ao trabalho? 
Imagine que você é o gestor financeiro da empresa NOAR, fabricante de aviões, e a empresa 
pretende obter um financiamento de R$150.000,00 para a compra de uma nova máquina. Há duas 
opções de pagamento: uma pelo sistema de amortização SAC, e a outra pelo sistema PRICE, ambas 
amortizadas em 4 (quatro) prestações anuais. Sabe-se também que o custo da operação é 
constituído de juros de 20% ao ano. 
Elabore o plano financeiro completo do financiamento para os dois sistemas de amortização. E 
sabendo que a empresa NOAR estima que, somente a partir do segundo ano após a contratação do 
financiamento, terá um incremento de receita pela venda de novos aviões, defina e justifique qual 
será a melhor forma de pagamento para ela.
Infográfico
Ao trabalharmos com qualquer sistema de amortização é muito importante, para melhor 
entendimento do processo, a construção de uma tabela com os principais elementos da dívida, que 
na matemática financeira é conhecida como plano financeiro.
O infográfico a seguir apresenta a descrição de cada coluna do plano financeiro.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para 
acessar.
https://statics-marketplace.plataforma.grupoa.education/sagah/8f62e79c-614a-49a1-a0b7-a0135ab98c89/6e207d99-5ecb-4394-8bd6-06ea1cc9f562.png
Conteúdo do livro
Acompanhe nesse vídeo as características de três sistemas de amortização: PRICE (prestação 
constante), SAC (amortização constante) e SAM (amortizações mistas). O vídeo apresenta a 
definição de cada sistema, apontando suas características e um exemplo de plano financeiro.Os 
sistemas de amortização são desenvolvidos para as operações de empréstimos e financiamentos de 
longo prazo e constitui a forma pela qual a dívida contraída será paga. De forma geral, pode-se 
dizer que o sistema de amortização é a forma de pagamento dos jurose a devolução do principal 
contratado.
A escolha do sistema de amortização influenciará o fluxo de pagamento do tomador, ou seja, o 
valor a ser desembolsado para quitação do valor principal. Desta forma é fundamental conhecer as 
características de cada sistema de amortização e seu plano financeiro.
Neste capítulo você aprenderá os conceitos básicos sobre o sistema de amortização, os principais 
sistemas de amortizações adotados no Brasil e o cálculo de suas prestações, o valor amortizado e 
os juros.
 
Bons estudos!
 
MATEMÁTICA 
FINANCEIRA
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
 > Explicar os principais conceitos do sistema de amortização.
 > Identificar os principais tipos de sistemas de amortização em uso no Brasil.
 > Utilizar planos financeiros para demonstrar cálculos, semelhanças e dife-
renças entre os sistemas de amortização.
Introdução
Ao escolher uma modalidade de crédito (empréstimo e/ou financiamento), a 
instituição financeira emitirá um contrato com os detalhes da operação, incluindo 
as taxas cobradas, o sistema de amortização adotado e o período utilizado para 
quitar a dívida. Em posse dessas informações, o tomador poderá calcular o valor 
da parcela e o montante que será pago durante todo o período.
Os contratos também podem prever uma carência para o início do pagamento 
das prestações e a possibilidade de liquidação antecipada, total ou parcial, do 
principal da dívida. No momento da contratação dos serviços, o tomador precisará 
decidir qual será o método para a amortização da dívida. É fundamental, portanto, 
conhecer as vantagens e os riscos de cada sistema de amortização.
Neste capítulo, vamos definir sistemas de amortização, as características 
que envolvem cada um deles e os principais tipos utilizados pelo mercado no 
Brasil. Além disso, explicaremos como calcular as parcelas em cada sistema de 
amortização.
Sistemas de 
amortização
Flávia Monaco Vieira
Sistemas de amortização: conceitos gerais
Amortização, segundo Merchede (2009, p. 59), “[...] é a maneira pela qual 
uma dívida é gradativamente suprimida, mediante pagamento de presta-
ções”, ou seja, é o pagamento da dívida de forma parcelada, em um prazo 
preestabelecido. Apesar de haver diferentes sistemas de amortização, o seu 
objetivo é único: o pagamento do principal, isto é, de um determinado valor 
contraído em empréstimo ou financiamento. Nesse sentido, Puccini (2007, p. 
158) entende que “[...] um sistema de amortização nada mais é do que um 
plano de pagamento de uma dívida contraída”. 
Os diferentes sistemas de amortização de um empréstimo produzem fluxos 
de pagamentos equivalentes entre si. Por essa razão, o valor presente dos 
fluxos de pagamentos, na data focal zero, é igual ao principal do empréstimo 
(ZOT; CASTRO, 2015). Assim, a escolha do sistema de amortização influenciará 
o fluxo de caixa das partes envolvidas (credor e devedor). O devedor, então, 
precisa considerar sua capacidade de pagamento na escolha do sistema de 
amortização, pois o pagamento afetará suas finanças pessoais.
No financiamento, o valor liberado tem uma finalidade específica 
— por exemplo, para a compra de imóvel ou automóvel, ou para 
importação. Já o empréstimo é um recurso concedido sem a necessidade de 
vinculá-lo a alguma finalidade — por exemplo, conta garantida, cheque especial, 
desconto de duplicata, etc. (HOJI, 2016).
O plano financeiro, também conhecido como memória de cálculo, de-
monstra, ao longo do tempo, a ocorrência dos principais eventos que vão 
modificando o saldo de um empréstimo. Para a realização de um plano de 
pagamento, é necessário demonstrar os seguintes dados (ZOT; CASTRO, 2015).
 � Saldo inicial = saldo final anterior (na primeira linha corresponde ao 
principal). 
 � Juros calculados = saldo inicial × taxa unitária.
 � Saldo após juros = saldo inicial + juros calculados.
 � Pagamento = amortização do principal + juros a serem pagos.
 � Amortização = parcela do pagamento referente ao principal.
 � Juros a serem pagos = parcela do pagamento referente aos juros.
 � Saldo final = saldo inicial + juros calculados – pagamento.
Sistemas de amortização2
Para a plena compreensão do conteúdo deste capítulo, lembre-se dos 
seguintes conceitos de operações de empréstimo e financiamento.
 � Valor principal: soma do capital emprestado.
 � Carência: deferimento no pagamento da primeira prestação.
 � Taxas de juros: remuneração paga pelo tomador de crédito à instituição 
financeira.
Principais tipos de sistemas de amortização 
utilizados no Brasil
Os sistemas de amortização mais difundidos no mercado são o sistema de 
prestação constante (SPC), ou amortização Price, e o sistema de amortização 
constante (SAC) (BATISTA JÚNIOR, 2014). Além desses, Zot e Castro (2015) apon-
tam o sistema americano e o sistema misto como as principais modalidades 
em uso no Brasil.
Sistema de prestação constante (SPC), ou 
amortização Price
O SPC, também conhecido como sistema francês de amortização ou amorti-
zação Price, é muito utilizado em operações de crédito direto ao consumidor 
e em financiamentos habitacionais (PUCCINI, 2007). Esse modelo consiste no 
pagamento da dívida por meio de prestações (PMT), sucessivas, periódicas 
e iguais, em que os juros gerados a cada período são pagos primeiramente 
(ZOT; CASTRO, 2015).
Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, são decrescentes, e as 
parcelas de amortização assumem valores crescentes. Ou seja, os juros 
diminuem, enquanto a amortização aumenta, permanecendo o valor das 
prestações igual ao longo do tempo. Veja, na Figura 1, a dinâmica do SPC.
Sistemas de amortização 3
Figura 1. Comportamento de juros e amortização.
Fonte: Adaptada de Puccini (2007).
$
0 1 2 3
Tempo (períodos)
PMT = A1 + J1 = A2 + J2 = A3 + J3 = A4 + J4
4
J1 J2 J3 J4
A1 A2 A3 A4
Veja, a seguir, as expressões de cálculo do SPC.
Prestação (PTM)
O valor das prestações é obtido pelo cálculo de uma prestação postecipada:
PTM = VP × [i × (1 + i)n]/[(1 + i)n – 1]
onde VP é o valor presente (valor do empréstimo), i é a taxa de juros e n é o 
número de períodos ou parcelas. Vejamos um exemplo para fixar os conceitos.
Considerando, por exemplo, um empréstimo no valor de R$ 6.000,00 (VP), 
a ser pago em seis prestações anuais (n), com juros de 10% a.a. (i), calcule o 
valor da prestação (PMT). Manualmente, resolve-se o problema da seguinte 
maneira:
PTM = VP × [i × (1 + i)n]/[(1 + i)n – 1]
PTM = 6.000 × [0,10 × (1 + 0,10)6]/[(1 + 0,10)6 – 1]
PTM = 1.377,64
Na HP 12C, temos o seguinte:
6000 CHS PV
10 i
6 n
g END (para informar que a série é postergada)
PMT
Sistemas de amortização4
Juros ( J)
Os juros incidem sobre o saldo devedor apurado no início de cada período 
(ou ao final de cada período imediatamente anterior). A expressão de cálculo 
de juros, um momento t qualquer, é a seguinte:
Jt = SDt–1 × i
onde SD é o saldo devedor, i é a taxa de juros e t é o tempo. Vejamos um 
exemplo.
Após a ocorrência dos juros do primeiro ano (J1) no valor de R$ 600,00* 
e o pagamento da primeira prestação (PTM1) no valor de R$ 1.377,64, o saldo 
devedor (SD1) ficou em R$ 5.222,36. Com base nessas informações, calcule 
os juros do segundo ano (J2):
Jt = SDt – 1 × i
J2 = SD2–1 × i
J2 = SD1 × i
J2 = 5.222,36 × 0,10
J2 = 522,24
*O J1 é calculado pelo VP × i (R$ 6.000,00 × 10%).
Amortização (A)
A amortização é obtida pela diferença entre o valor da prestação (PMT) e o 
dos juros (J):
A1 = PMT – J1, 
A1 = PMT – (PV × i)
At = A1 × (1 + i)t–1
onde i é a taxa de juros e t é o tempo. Vejamos um exemplo para facilitar a 
compreensão.
Sabendo que o valor da amortização do ano 1 (A1) é de R$ 777,64, calcule 
o valor amortizado no terceiro ano (A3):
At = A1 × (1 + i)t–1
A3 = 777,64 × (1 + 0,10)3–1
A3 = 777,64 × (1,1)2 
Sistemas de amortização 5
A3 = 940,95
Veja, no Quadro 1, o demonstrativo simplificado do plano financeiro do SPC.
Quadro 1. Demonstrativo simplificado do plano financeiro do SPC
n Prestação Juros Amortização Saldo devedor
0 — — — SD0 = VP
1 PMTJ1 = PV × i A1 = PMT – J1 SD1 = SD0 – A1
2 PMT J2 = SD1 × i A2 = PMT – J2 SD2 = SD1 – A2
... ... ... ... ...
n PMT Jn = SDn–1 × i An = PMT – Jn SDn = SDn–1 – An
Veja, no Quadro 2, o preenchimento do plano financeiro do SPC nas se-
guintes condições.
 � Valor do empréstimo: R$ 6.000,00.
 � Número de prestações (anuais): 6.
 � Juros: 10% a.a.
Sistemas de amortização6
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Sistemas de amortização 7
Observe que todas as prestações são iguais e que a amortização é calculada 
após o cálculo dos juros, que corresponde à diferença entre a prestação e 
os juros.
Sistema de amortização constante (SAC)
Diferentemente do sistema Price, em que as prestações é que devem ser 
iguais, no SAC, as amortizações do principal devem ser sempre iguais (ou 
constantes) em todo o prazo da operação. Veja, na Figura 2, a dinâmica do SAC.
Figura 2. Comportamento da dinâmica do SAC.
Fonte: Adaptada de Puccini (2007).
(PV = SDi1)
0 1 2 3 n
Tempo (períodos)
PMT1 = A + J1 PMT3 = A + J3
PMT2 = A + J2 PMTn = A + Jn
Veja as expressões de cálculo a seguir.
Amortização (A)
A amortização é obtida mediante a divisão do capital emprestado pelo número 
de prestações. É representada por:
A = VP/n
onde VP é o valor presente (valor do financiamento) e n é o número de 
prestações.
Sistemas de amortização8
Por exemplo, considerando o empréstimo no valor de R$ 6.000,00 (VP), a 
ser pago em seis prestações anuais (n), tem-se:
A = VP/n
A = 6.000,00/6
A = 1.000,00
Juros ( J)
Pela redução constante do saldo devedor, os juros diminuem linearmente 
ao longo do tempo, comportando-se como uma progressão aritmética de-
crescente. A expressão de cálculo dos juros para um período qualquer t é:
Jt = (VP/n) × (n – t + 1) × i
onde VP é o valor presente (valor do financiamento), n é o número de pres-
tações, i é a taxa de juros e t é o tempo.
Por exemplo, considerando o empréstimo no valor de R$ 6.000,00 (VP), a 
ser pago em seis prestações anuais (n), o valor dos juros no 5º ano será (J5):
Jt = (VP/n) × (n – t + 1) × i
J5 = (6.000,00/6) × (6 – 5 + 1) × 0,10
J5 = 1.000,00 × 2 × 0,10
J5 = 200,00
Prestação (PMT)
A prestação é obtida pela soma da amortização (A) com os juros (J), sendo a 
amortização representada por (VP/n). A expressão de cálculo da prestação 
para um período qualquer t é:
PMT = (VP/n) × [1 + (n – t + 1) × i]
onde VP é o valor presente (valor do financiamento), n é o número de pres-
tações, i é a taxa de juros e t é o tempo.
Sistemas de amortização 9
Por exemplo, considerando o empréstimo no valor de R$ 6.000,00 (VP), 
a ser pago em seis prestações anuais (n) com juros anuais de 10% a.a. (i), o 
valor da prestação no segundo ano (PMT2) é:
PMT = (VP/n) × [1 + (n – t + 1) × i]
PMT2 = (6.000/6) × [1 + (6 – 2 + 1) × 0,10]
PMT2 = 1.000,00 × [1 + (5 × 0,10)]
PMT2 = 1.000,00 × 1,5
PMT2 = 1.500,00
Veja, no Quadro 3, o demonstrativo simplificado do plano financeiro do SAC.
Quadro 3. Demonstrativo do SAC
n Prestação Juros Amortização Saldo devedor
0 — — — SD0 = VP
1 PMT1 = A + J1 J1 = SD0 × i A SD1 = SD0 – A
2 PMT2 = A + J2 J2 = SD1 × i A SD2 = SD1 – A
... ... ... ... ...
n PMTn = A + Jn Jn = SDn–1 × i A SDn = SDn–1 – An
Fonte: Adaptado de Camargos (2013).
Agora veja, no Quadro 4, o preenchimento do plano financeiro do SAC nas 
seguintes condições.
 � Valor do empréstimo: R$ 6.000,00.
 � Número de prestações (anuais): 6. 
 � Juros: 10% a.a.
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Sistemas de amortização 11
Observe que o valor da amortização é constante durante todo o período.
Sistema de amortização americano (SAA)
O SAA se caracteriza por pagar todo o principal na última prestação, com 
pagamento periódico de juros. Como não há capitalização de juros, o saldo 
devedor não se altera ao longo do tempo. Nesse caso, os juros devidos em cada 
período são constantes. No vencimento da operação, são pagos o principal 
e a última parcela dos juros. Veja, na Figura 3, a dinâmica SAA.
Figura 3. Comportamento da dinâmica do SAA.
Fonte: Adaptada de Puccini (2007).
PMT1 = PMT2 = PMT3 =
PMTn =
SDi + Jn
J1 J2 J3
(PV = SDi1)
0 1 2 3 n
Tempo (períodos)
Veja a expressão de cálculo a seguir.
Última prestação (PMT): PMT = VP (1 + i)
onde VP é o valor presente (valor do empréstimo) e i são os juros.
Por exemplo, vamos calcular a última prestação considerando o emprés-
timo no valor de R$ 6.000,00 (VP) com pagamento de juros periódicos de 
10% a.a. (i).
PMT = VP (1 + i)
PMT = 6.000,00 (1 + 0,10)
PMT = 6.000 × 1,10
PMT = 6.600,00*
*O valor da prestação (PMT) corresponde ao valor da amortização (R$ 6.000,00) 
+ os juros do período (R$ 600,00).
Sistemas de amortização12
Veja, no Quadro 5, o demonstrativo simplificado do plano financeiro do SAA.
Quadro 5. Demonstrativo do SAA
n Prestação Juros Amortização Saldo devedor
0 — — — SD0 = VP
1 PMT1 = VP × i J1 = VP × i — SD1 = VP
2 PMT2 = VP × i J2 = VP × i — SD2 = VP
... ... ... ... ...
n PMTn = VP + (VP × i) Jn = PV × i An = VP SDn = SDn–1 – An
Fonte: Adaptado de Camargos (2013).
Agora, veja, no Quadro 6, o preenchimento do plano financeiro do SAA 
nas seguintes condições.
 � Valor do empréstimo: R$ 6.000,00.
 � Número de prestações (anuais): 6.
 � Juros: 10% a.a.
Sistemas de amortização 13
Q
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Sistemas de amortização14
Observe que, periodicamente, os juros de R$600,00 foram pagos, perma-
necendo o valor do empréstimo como saldo devedor.
Sistema de amortização montante ou único 
O sistema de amortização montante é caracterizado pelo fato de o montante 
e os juros do período serem pagos de uma só vez, ao final. Veja, na Figura 4, 
a dinâmica do sistema montante.
Figura 4. Dinâmica do sistema montante.
Fonte: Adaptada de Puccini (2007).
PV = SDi1
FV = SDi1 + J
0 1 2 n
Tempo (períodos)
Empréstimo a i% ap
n – 1
Veja as expressões de cálculo a seguir.
Prestação única (PMT)
Os cálculos se resumem à aplicação da fórmula do valor futuro (VF):
VF = VP (1 + i)n
onde VP é o valor presente (valor do financiamento), i é a taxa de juros e n é 
o número de prestações.
Sistemas de amortização 15
Por exemplo, vamos calcular o valor da prestação (PMT) considerando o 
empréstimo no valor de R$ 6.000,00 (VP) com juros anuais de 10% a.a. (i) que 
serão pagos ao final de seis anos (n):
PMT = VP (1 + i)n
PMT = 6.000,00 (1 + 0,1)6
PMT = 6.000 × 1,77156
PMT = R$ 10.629,37*
*O saldo devedor corresponde ao valor amortizado (R$ 6.000,00) + o valor 
dos juros (R$ 4.629,37).
Juros ( J)
Os juros podem ser obtidos pela equação:
J = VP [(1 + i)n – 1]
onde VP é o valor presente (valor do financiamento), i é a taxa de juros e n é 
o número de prestações.
Veja, no Quadro 7, o preenchimento do plano financeiro do sistema misto 
nas seguintes condições.
 � Valor do empréstimo: R$ 6.000,00.
 � Número de prestações (anuais): 6.
 � Juros: 10% a.a.
Sistemas de amortização16
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Sistemas de amortização 17
Comparação entre os sistemas de 
amortização
A fim de análise, será elaborado um plano financeiro para os sistemas SPC, 
SAC e SAA com base nos seguintes dados:
 � Valor do empréstimo: R$ 20.000,00.
 � Número de prestações mensais: 24.
 � Taxa dos juros: 20% a.a. = 1,5309% a.m.
Veja, no Quadro 8, o plano financeiro comparativo entre os sistemas.
Sistemas de amortização18
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Sistemas de amortização20
Pode-se observar, no Quadro 8, que o valor amortizado dos sistemas 
correspondem ao valor do empréstimo (R$ 20.00,00). Porém, os juros no SAA 
são superiores, por não haver amortização do principal ao longo do contrato. 
Por sua vez, os juros no SAC são menores, pois o valor amortizado ao longo 
do contrato permanece inalterado da primeira à última prestação.
Analisar os planos de financiamento somente pelo total pago é equívoco, 
uma vez que se estaria desconsiderando o princípio básico da matemática 
financeira do valor do dinheiro no tempo. Dessa forma, Camargos (2013) 
descreve que a comparação correta entre os planos de financiamento deve 
ser feita com os valores de cada um em um mesmo momento focal, ou seja, 
deve-se calcular o valor presente (VP) ou o valor futuro (VF) de cada um. 
Considerando que todos os sistemas apresentam o mesmo valor presente 
(R$ 20.000), devem também ter o mesmo valor futuro para serem equivalentes. 
De fato, capitalizando as prestações de cada plano pela taxa de 20% a.a., ao 
final de dois anos (24 meses), chega-se ao mesmo valor futuro de R$ 28.800,00, 
demonstrando, assim, que os seus fluxos de caixa são equivalentes. 
Veja a capitalização do empréstimo, pelo cálculo do valor futuro, no valor 
de R$ 20.000,00, com a taxa de 20%, no período de 2 anos:
VF = VP × (1 + i)n
VF = 20.000,00 × (1 + 0,20)2
VF = 20.000,00 × (1,20) 2
VF = 20.000,00 × 1,44
VF = 28.800,00
Por fim, veja, no Quadro 9, o resumodas características dos sistemas 
estudados.
Sistemas de amortização 21
Quadro 9. Características dos sistemas de amortização
Sistema Prestações Juros Amortização
SPC Constantes Decrescentes 
exponencialmente
Crescente 
exponencialmente
SAC Decrescentes 
linearmente
Decrescentes 
linearmente
Constante
SAA Somente dos 
juros
Constantes Não há
Montante Não há Cumulativo Não há
Fonte: Adaptado de Camargos (2013).
Assim, em resumo, pode-se inferir que o melhor sistema é aquele que 
atende à capacidade de pagamento do tomador do empréstimo.
Referências
BATISTA JÚNIOR, R. I. Matemática financeira contextualizada em sistemas de amortização 
e impostos de renda. 2014. 65 f. Dissertação (Mestrado em Matemática) — Instituto de 
Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, 2014. 
CAMARGOS, M. A. Matemática financeira: aplicada a produtos financeiros e à análise 
de investimentos. São Paulo: Saraiva, 2013. 
HOJI, M. Matemática Financeira: didática, objetiva e prática. São Paulo: Atlas, 2016. 
MERCHEDE, A. HP-12C: cálculos e aplicações financeiras. São Paulo: Atlas, 2009. 
PUCCINI, E. C. Matemática financeira. 5. ed. São Paulo: Atlas, 2007.
ZOT, W. D; CASTRO, M. L. Matemática financeira: fundamentos e aplicações. Porto 
Alegre: Bookman, 2015. 
Leitura recomendada
ASSAF NETO, A. Matemática financeira. São Paulo: Atlas, 2017. 
Os links para sites da web fornecidos neste capítulo foram todos 
testados, e seu funcionamento foi comprovado no momento da 
publicação do material. No entanto, a rede é extremamente dinâmica; suas 
páginas estão constantemente mudando de local e conteúdo. Assim, os editores 
declaram não ter qualquer responsabilidade sobre qualidade, precisão ou 
integralidade das informações referidas em tais links.
Sistemas de amortização22
Dica do professor
Ao fazer um empréstimo para adquirir um bem, como por exemplo automóvel ou casa própria, seu 
pagamento será realizado utilizando um sistema de amortização. Conhecer os principais sistemas 
de amortização e suas características pode nos ajudar a decidir qual é a melhor escolha para cada 
situação. 
O vídeo a seguir apresenta uma síntese dos principais sistemas de amortização em uso no Brasil.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
https://fast.player.liquidplatform.com/pApiv2/embed/cee29914fad5b594d8f5918df1e801fd/4956368ba2de7cc6959cbde527adc04a
Exercícios
1) A fim de realizar uma pequena reforma em sua residência, Paulo realizou um empréstimo de 
R$ 12.000,00. Calcule o valor da 8a prestação deste empréstimo, a uma taxa de juros de 
25,50% a.a., realizado em 24 prestações mensais, sem carência, pelo Sistema Americano, 
com pagamento periódico de juros. Em seguida, marque a resposta CORRETA. 
A) R$229,30
B) R$3.060,00
C) R$500,00
D) R$628,06
E) R$0,00
2) Para mobiliar seu apartamento, Cláudia precisou fazer um financiamento de R$ 40.000,00. 
Calcule o valor da 6a prestação deste financiamento, a uma taxa de juros de 43,50% a.a., 
realizado em 6 prestações mensais, sem carência, pelo Sistema Americano, com pagamento 
periódico de juros. Em seguida, marque a resposta CORRETA. 
A) R$57.400,00
B) R$41.222,20
C) R$38.777,80
D) R$40.000,00
E) R$1.222,20
3) O financiamento de uma pequena sala, no valor à vista de R$30.000,00, foi feita pelo 
Sistema PRICE, em 25 prestações mensais, à taxa de juros de 1,90% a.m. Calcule o saldo 
imediatamente após o pagamento da 15a parcela. 
A) R$1.518,63
B) R$14.947,53
C) R$284,00
D) R$15.231,53
E) R$13.712,90
4) Ao adquirir a casa própria, Fernando deu uma entrada e financiou um valor de R$ 50.000,00. 
Construa o plano financeiro para lhe auxiliar a calcular o saldo devedor deste financiamento, 
realizado em 100 prestações mensais, sem carência, pelo Sistema de Amortizações 
Constantes (SAC), imediatamente após o pagamento da 40a prestação. Após o cálculo, 
marque a resposta que contém esse saldo devedor: 
A) R$30.000,00
B) R$20.000,00
C) R$50.000,00
D) R$500,00
E) R$0,00
5) Ana comprou um terreno na praia, cujo valor à vista era de R$ 33.530,00. Calcule o valor da 
23a prestação deste financiamento, realizado pelo Sistema de Amortizações Constantes 
(SAC), a uma taxa de juros de 21,30% a.a., em 41 prestações mensais e marque a resposta 
CORRETA: 
A) R$817,80
B) R$15.538,29
C) R$252,05
D) R$14.720,59
E) R$1.069,86
Na prática
Na Matemática Financeira, os sistemas de amortização são as formas de pagamento dos 
empréstimos. Nesse processo cada prestação é dada pela soma de duas parcelas: a amortização e 
os juros, mas algumas características variam de acordo com o tipo de sistema de amortização 
utilizado. Por exemplo, no SAC a amortização é constante e no PRICE, a prestação que é constante.
Confira um exemplo prático sobre o sistema de amortização.
Saiba +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:
Matemática Financeira - Fundamentos e Aplicações
Este livro ensina os fundamentos da matemática para que se compreenda o seu impacto no nosso 
dia a dia. A obra apresenta conceitos seguidos de exemplos, problemas acompanhados de solução e 
o passo a passo com o uso de calculadoras. Os exemplos foram retirados do mundo dos negócios e 
enriquecidos pela experiência dos autores. (Capítulo 9)
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Você sabe quais são os tipos de amortização?
Encontrar um local seguro, acessível e que oferece mais qualidade de vida para a família são alguns 
dos pontos considerados por quem deseja financiar um bom imóvel. Além deles, uma das questões 
fundamentais é entender o que é e quais os tipos de amortização existentes para o financiamento. 
Essa etapa é crucial para que o comprador faça um bom investimento. Por este motivo, neste 
artigo, vamos explicar o que é a amortização e os principais tipos, mostrando as suas diferenças e 
como definir qual é a melhor opção para você. Acompanhe e boa leitura!
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
Sistemas de Amortizações - PRICE - SAC – SAM
Acompanhe nesse vídeo as características de três sistemas de amortização: PRICE (prestação 
constante), SAC (amortização constante) e SAM (amortizações mistas). O vídeo apresenta a 
definição de cada sistema, apontando suas características e um exemplo de plano financeiro.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
https://blog.anuardonato.com.br/voce-sabe-quais-sao-os-tipos-de-amortizacao/
https://www.youtube.com/embed/iap3Oc317rY
Valor do dinheiro no tempo
Apresentação
O valor do dinheiro no tempo é uma informação crucial para a tomada de decisão relativa à 
captação de recursos. Os juros cobrados nas operações de empréstimos, descontos, amortizações, 
etc. interferem no resultado da empresa, por diminuir a capacidade financeira da organização. 
Desta maneira conhecer as taxas de juros e sua influência no tempo utilizado nas operações é 
determinante.
 
Nesta Unidade de Aprendizagem, você vai estudar o valor do dinheiro no tempo e quais são as 
variáveis utilizadas para realizar os cálculos de matemática financeira, bem como a regra de ouro 
para se fazer os arrendondamentos e tipos de capitalização dos juros.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Identificar e aplicar o conceito do valor do dinheiro no tempo.•
Apontar as variáveis envolvidas nos cálculos da matemática financeira e sua simbologia.•
Estabelecer o time para arredondamento das contas.•
Desafio
A transportadora Mirim, de entregas rápidas e pequenos volumes, avaliou a evolução do gasto com 
combustível: em 2004, um tanque era abastecido por R$30,00. Em 2021, 17 anos depois, o valor 
necessário para abastecer o tanque do mesmo carro passou a ser R$160,00, um aumento de 
433,33%. 
Diante dessa diferença significativa em 17 anos, em apenas um único custo, a empresapode 
considerar que apenas se as receitas tenham aumentado na mesma proporção, o negócio será 
viável.
Você, como gerente financeiro da organização, concorda com esta afirmação? Justifique sua 
resposta. 
Infográfico
O recurso financeiro, identificado como dinheiro, recurso ou receitas deve sempre ser associado ao 
tempo em que ele será utilizado. Pois com o passar do tempo, fatores como inflação e taxa de juros 
interferem diretamente no valor monetário deste recurso.
 
No Infográfico a seguir você verá como ocorre esta interferência no valor.
Conteúdo do livro
A preferência por ter acesso à um recurso financeiro hoje do que daqui a um ano, se dá por alguns 
fatores. Entre os quais são a incerteza de receber o valor no futuro, a perda de poder aquisitivo ou 
a impaciência para consumir bens ou serviços. Por isso se faz necessário identificar qual é a melhor 
oportunidade sob a ótica da valorização para o recurso disponível.
 
No capítulo O valor do dinheiro no tempo você estudará sobre o conceito do valor do dinheiro no 
tempo e as variáveis envolvidas nos cálculos da matemática financeira e sua simbologia.
 
Boa leitura!
Catalogação na publicação: Poliana Sanchez de Araujo – CRB 10/2094
D136m Dal Zot, Wili.
 Matemática financeira : fundamentos e aplicações 
 [recurso eletrônico] / Wili Dal Zot, Manuela Longoni de 
 Castro. – Porto Alegre : Bookman, 2015.
 Editado como livro impresso em 2015.
 ISBN 978-85-8260-333-8
 1. Matemática financeira. I. Castro, Manuela Longoni 
 de. II. Título. 
CDU 51
Os autores
Wili Dal Zot
É professor de Matemática Financeira do Departamento de Matemática Pura e Aplicada da Universidade 
Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS) desde 1984. É bacharel em Ciências Econômicas pela UFRGS, espe-
cialista em Finanças pela Escola de Pós-Graduação em Economia da Fundação Getúlio Vargas (FGV) e mes-
tre em Administração pela Escola Brasileira de Administração Pública e de Empresas (EBAPE) pela mesma 
instituição. Atualmente, é professor convidado da FGV das disciplinas de Matemática Financeira e Finanças 
Corporativas em cursos de Pós-Graduação. Tem experiência em cargos de Gerência Financeira e de Controla-
doria em empresas de setores da Indústria de Comércio e Serviços.
Manuela Longoni de Castro
É bacharel em Matemática pela UFRGS, mestre em Matemática Aplicada pela mesma universidade e Ph.D. 
em Matemática pela University of New Mexico (Estados Unidos). É professora adjunta da Universidade 
Federal do Rio Grande do Sul desde 2006, ministrando a disciplina de Matemática Financeira desde 2007. 
Tem experiência na área de Matemática Aplicada, atuando nas áreas de Equações Diferenciais Parciais, Aná-
lise Numérica e Ecologia Matemática.
CAPÍTULO 2
CONCEITOS BÁSICOS
2.1 O valor do dinheiro ao longo do tempo
O que vale mais: R$ 100,00 hoje ou R$ 100,00 daqui a um ano? Se fizermos essa pergunta alea-
toriamente para diversas pessoas, é provável que mais de 90% das respostas indiquem a 
preferênci a por R$ 100,00 hoje. Pode-se ter várias razões para essa preferência:
 • A perda do poder aquisitivo da moeda pela inflação
 • Risco de não receber o dinheiro no futuro
 • Impaciência para consumir bens ou serviços imediatamente
 • Outras opções de investimento com expectativa de lucro
Uma vez que uma quantia hoje representa mais valor do que a mesma quantia no fu-
turo, surge a figura do empréstimo, ou seja, o aluguel do dinheiro por um certo tempo e por 
um determinado preço.
A oportunidade de uso representa valor para quem dispõe de dinheiro hoje; logo, exis-
tem pessoas dispostas a pagar um preço para dispor desse recurso. Essas pessoas são a ponta 
devedora dos empréstimos: viver agora, pagar depois. De outro lado, existem pessoas dispostas 
a se privar de recursos hoje em troca de um prêmio por sua espera: pagar agora, viver depois. 
Assim, pode-se dizer que os juros são o preço da impaciência dos devedores e o prêmio da 
espera dos credores. Os juros são o preço do aluguel do dinheiro, e o empréstimo é uma troca 
intertemporal de uma quantia no presente pela mesma quantia acrescida de juros no futuro 
(GIANETTI, 2005).
A troca intertemporal é representada por uma equação de valor. Se considerarmos que 
a quantia emprestada é uma variável econômica representada pela letra P e tomarmos como 
J a representação dos juros, a variável econômica que expressa o preço pago pelo aluguel do 
dinheiro emprestado, temos a seguinte expressão matemática:
S = P + J
onde S é o valor total que o devedor ou tomador do empréstimo deverá pagar ao credor ao 
final do prazo ajustado. A fórmula e xpressa uma relação de valor: o que hoje vale P, amanhã 
valerá S, equivalente a P + J.
6 Matemática Financeira
CONCEITO 2.1 Matemática Financeira é a disciplina que tem por objetivo o estudo 
da evolução do valor do dinheiro ao longo do tempo. Esse estudo é composto de equações 
matemáticas que expressam, principalmente, a relação entre o valor de uma quantia 
em dinheiro no presente e o seu valor equivalente no futuro. De uma forma prática, 
a Matemática Financeira visa ao cálculo dos rendimentos dos empréstimos e de sua 
rentabilidade.
Por pertencer ao ramo de disciplinas da Matemática Aplicada, a Matemática Financeira uti-
liza como principal método a solução de problemas, subordinando-se às convenções e normas 
das práticas financeiras, bancárias e comerciais do mundo dos negócios.
2.2 Principais variáveis e simbologia
O estudo da evolução do dinheiro é feito pela Matemática Financeira por meio de equações 
onde se encontram relacionadas as principais variáveis econômicas, geralmente simboliza-
das por letras. Neste livro, as letras utilizadas estão destacadas ao lado dos títulos das sub-
seções. Outras simbologias utilizadas na literatura também são mencionadas nos parágrafos 
de cada variável.
2.2.1 Principal (P)
CONCEITO 2.2 Principal é o capital inicial (C, C0) de um empréstimo ou de uma aplica-
ção financeira. Também é conhecido por valor presente (VP), valor atual (VA), valor des-
contado ou present value (PV), sigla encontrada na maioria das calculadoras financeiras.
Em uma aplicação ou em um empréstimo, maior capital inicial implica mais juros.
2.2.2 Juros (J)
CONCEITO 2.3 Juro é a remuneração do capital emprestado. Da parte de quem paga, 
é uma despesa ou custo financeiro; da parte de quem recebe, é um rendimento ou renda 
financeira.
Sinônimos: encargos, acessórios (do principal), rendimento, serviço da dívida.
2.2.3 Montante (S)
CONCEITO 2.4 Montante é o saldo ou valor futuro (VF, Cn) de um empréstimo ou de 
uma aplicação financeira. É a s oma do capital aplicado ou emprestado mais os juros, 
expressa pela equação:
 S = P + J (2.1)
Sinônimos: valor futuro (VF), valor de resgate (VR), future value (FV).
Capítulo 2 Conceitos básicos 7
2.2.4 Prazo (n)
CONCEITO 2.5 O prazo se refere ao período de tempo que dura o empréstimo ou a 
aplicação financeira.
Maior tempo em um empréstimo implica maior quantia de juros.
O tempo pode ser medido em diferentes unidades, como dias, meses, trimestres, anos, 
etc.
O símbolo n também é utilizado para representar número de prestações.
2.2.5 Prestação (R)
CONCEITO 2.6 Prestação se refere ao valor de pagamentos quando esses são feitos em 
um número maior do que a unidade.
Sinônimos: pagamentos (PGTO), payment (PMT).
2.2.6 Taxa (i)
O j uro é o elemento fundamental da Matemática Financeira. Entretanto, conhecer apenas o 
valor do juro não dá uma ideia completa do problema.
Considere duas situações de aplicações feitas no mesmo período em que se obtêm R$ 
200,00 de juros: na primeira, o capital emprestado é R$ 1.000,00; na segunda, o capital em-
prestado é R$ 10.000,00. Em ambas as situações, os juros foram os mesmos: R$ 200,00. En-
tretanto, na primeira situação, cada R$ 100,00 emprestados renderam R$ 20,00, enquanto na 
segunda renderam R$ 2,00.
Por outro lado, os mesmos R$ 200,00 também poderiam ser obtidos de uma mesma 
aplicação em outras duas situações diferentes: após 1 mês de aplicação ou após 12meses. No-
vamente, em ambas, os juros foram os mesmos: R$ 200,00. No entanto, na primeira situação, 
em apenas 1 mês de empréstimo, obteve-se a mesma quantia de juros que na segunda, que 
demorou 12 meses. Pode-se supor, então, que a primeira aplicação é 12 vezes mais rentável 
do que a segunda.
Os juros crescem à medida que o principal aumenta, mas também crescem com o trans-
correr do tempo. Essa dupla dependência dos juros cria uma dificuldade no seu cálculo. Para 
resolver a dupla dependência dos juros:
CONCEITO 2.7 Define-se como taxa de juros o quociente entre o valor dos juros gerados 
no primeiro período (na unidade de tempo considerada) pelo valor do capital emprestado:
A taxa de juros pode ser apresentada em dois formatos: taxa unitária ou taxa percentual.
Exemplo: um empréstimo de R$ 1.000,00 rendeu juros de R$ 200,00 no primeiro mês:
a.m. a.m. a.m.
8 Matemática Financeira
Uma taxa unitária de 0,20 ao mês significa um juro de R$ 0,20 a cada R$ 1,00 de prin-
cipal por mês de empréstimo. Uma taxa percentual de 20% ao mês significa um juro de R$ 
20,00 a cada R$ 100,00 de principal por mês de empréstimo.
Taxas percentuais são utilizadas no meio financeiro e nas calculadoras financeiras, en-
quanto taxas unitárias são utilizadas em fórmulas.
2.3 Regra do b anqueiro
As fórmulas da Matemática Financeira exigem compatibilidade entre as variáveis de tempo e 
taxa, isto é, se o tempo for medido em meses, a taxa utilizada deverá ser ao mês.
Embora de intuitiva racionalidade, essa exigência nos obriga a seguir determinadas 
convenções. A mais utilizada é a regra do banqueiro (CISSELL; CISSELL, 1982, p. 23).
Os dias de um empréstimo ou aplicação financeira de 01/02/2013 a 01/03/2013 podem 
ser contados de duas maneiras:
 • Contagem exata: 28 dias
 • Contagem aproximada: 30 dias
Em ambos os casos, não se conta o primeiro dia e conta-se o último. Na contagem exata, 
consideram-se os dias efetivamente existentes. Na contagem aproximada, considera-se que 
todo mês tem 30 dias, independentemente de qual seja o mês.
Um ano tem:
 • 365 dias, se for ano civil
 • 360 dias, se for ano comercial ou bancário
Um mês tem: 30 dias
Pela regra do banqueiro, todo ano é bancário, então uma taxa de juros de 20% ao ano 
significa que, a cada 360 dias corridos (contagem exata), uma aplicação financeira de R$ 
100,00 rende R$ 20,00 de juros.
Pela mesma regra do banqueiro, todo mês tem 30 dias, o que significa uma taxa de juros 
de 10% ao mês proporcionando que a cada 30 dias corridos (contagem exata) uma aplicação 
financeira de R$ 100,00 renda R$ 10,00 de juros.
EXEMPLO 2.1 Seja uma aplicação financeira realizada no período que vai de 01/02/2013 
a 01/03/2013 a uma taxa anual de 45% ao ano. Nesse caso, para tornar compatíveis as uni-
dades de tempo e taxa, deseja-se encontrar a fração de ano que corresponde à aplicação.
Pela regra do banqueiro, utiliza-se a combinação contagem exata e ano comercial ou 
bancário:
EXEMPLO 2.2 Considere o período que vai de 01/03/2011 a 01/03/2012. Pela conta-
gem exata, esse período tem 365 dias e todos os dias do período, exceto o primeiro, são 
considerados.
Capítulo 2 Conceitos básicos 9
Se a taxa de juros for mensal, devemos transformar o período em meses:
No caso de uma taxa de juros anual, devemos transformar o período em anos:
2.4 Precisão nos cálculos
2.4.1 Arredondamento
Boa parte dos resultados dos cálculos financeiros é proveniente de frações. Algumas delas 
têm uma representação decimal finita, como é o caso de . Outras, entretanto, têm 
uma correspondência decimal infinita como 
1.400
3
. Se o que estivermos pro-
curando for um valor em reais, no primeiro caso a resposta seria R$ 70,00, precisamente. 
Já no segundo caso, temos um problema de precisão quanto à representação em reais, 
uma vez que nessa moeda é permitido somente até duas casas decimais. Assim somos 
forçados a “arredondar”a resposta para R$ 466,67, que é o número mais próximo da res-
posta correta.
Uma vez definido qual é o número de casas limite para a apresentação do resultado de 
um cálculo, deve-se proceder o arredondamento. Para arredondar, se o primeiro algarismo a 
ser eliminado for 5 ou maior, acrescenta-se 1 no último algarismo remanescente; se o primei-
ro algarismo a ser eliminado for inferior a 5, despreza-se todos os algarismos após a última 
decimal do limite estabelecido.
Exemplos de arredondamento para duas casas decimais:
 • 23,4685 é arredondado para 23,47
 • 41,12497 é arredondado para 41,12
 • 1,99499999 é arredondado para 1,99
 • 9,00500000 é arredondado para 9,01
2.4.2 Precisão
Para se obter o máximo de precisão nos resultados, devem ser evitados arredondamentos 
desnecessários, isto é, arredondamentos em cálculos intermediários. O arredondamento so-
mente deve ser feito na resposta final. Uma das melhores maneiras de se evitar arredo nda-
mentos intermed iários é valer-se dos recursos da calculadora fazendo os cálculos de forma 
sequencial. Por exemplo: × 100 pode ser feito de dois modos:
 a) e após 0, 67 × 100 = 67,00 ou
 b) 
××
Com toda a certeza, a segunda opção é bem mais precisa do que primeira.
A principal diferença entre as apções apresentadas é que, na primeira alternativa, houve 
um arredondamento em um dos cálculos intermediários (0,67), resultando em uma perda de 
precisão.
10 Matemática Financeira
REGRA DE OURO Para se obter máxima precisão, não se deve arredondar em cálculos 
intermediários, apenas na resposta final.
2.5 Capitalização de juros
CONCEITO 2.8 Denomina-se capitalização de juros o ato de adicionar juros ao capital.
De acordo com a capitalização, os juros são classificados em:
 • Juros com capitalização discreta: geralmente períodos de tempo iguais ou superiores a 
mês.
 � Juros simples: os juros são calculados apenas com base no principal e cobrados ao 
final
 � Juros compostos: os juros são calculados com base no principal acrescido dos juros 
calculados em períodos anteriores
 • Juros contínuos1: os juros são acrescidos ao capital em intervalos infinitesimais de tem-
po (FARO, 1990, p. 4).
1 Juros contínuos não são comuns na prática comercial ou bancária e, por essa razão, não serão desenvolvidos neste 
livro. O estudante interessado poderá aprofundar seu conhecimento em Faro (1990, p. 4) ou em Bueno, Rangel e 
Santos (2011, p. 15).
Dica do professor
A terminologia usada na Matemática Financeira é padronizada para a utilização nos cálculos 
financeiros.
Conhecer os símbolos e fórmulas é essencial para calcular o valor do dinheiro no tempo e assim 
decidir qual é a melhor alternativa para o contexto organizacional.
 
Na Dica do Professor, você irá conhecer a forma de interpretar os símbolos e fórmulas da 
Matemática Financeira.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
https://fast.player.liquidplatform.com/pApiv2/embed/cee29914fad5b594d8f5918df1e801fd/537790263d239ee31ea177829d187ca2
Exercícios
1) O que vale mais: R$ 100,00 hoje ou R$ 100,00 daqui a um ano? Se fizermos essa pergunta, 
aleatoriamente, para diversas pessoas, é provável que mais de 90% das respostas irão 
indicar a preferência para R$ 100,00, hoje. Podemos explicar esta preferência, devido a 
vários motivos, exceto: 
A) perda do poder aquisitivo da moeda, pela inflação.
B) risco de não receber o dinheiro no futuro.
C) impaciência para consumir bens ou serviços imediatamente
D) outras opções de investimento com expectativa de lucro.
E) queda no consumo hoje.
2) O que é a Matemática Financeira? Ela estuda a evolução do valor do dinheiro no tempo. Este 
estudo contempla equações que mostram a relação entre o valor de uma quantia de dinheiro 
no presente e o valor equivalente desta quantia no futuro. A MF calculará quanto rende um 
empréstimo a determinada taxa de juros. Neste cálculo, deve(m) constar: 
A) taxa de juros, tempo e valor presente.
B) o montante esperado.
C) o tempo da negociação.
D) o valor presente.
E) expectativa de inflação.
3) Sabemos que boa parte das