Slides de Aula - Unidade I (4)

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Prof. Me. Régis Barros
UNIDADE I
Vibrações Mecânicas
 Definição: vibração mecânica é o movimento de uma partícula ou de um corpo que oscila 
em torno de uma posição de equilíbrio.
 Pré-requisito para ocorrer a vibração: sistema possui a massa e a rigidez.
 Massa: representa a inércia do sistema.
 Rigidez: representa a flexibilidade e a elasticidade do sistema.
 Importância: vários problemas de engenharia envolvem a vibração.
Introdução
Exemplos:
Introdução
Fonte: 
https://todosabordo.blogosfera.uol.co
m.br/2017/01/05/voce-sabe-como-
funciona-um-motor-a-jato-de-aviao/
Balanceamento do pneu Motor de avião
Fonte: DPaschoal.
NVH
Fonte: Motorshow.
 Outro exemplo bem interessante: amortecimento em pontes.
Introdução
Fontes: 
https://www.idealjr.com/post/
sistema-de-amortecimento-
da-ponte-rio-niter%C3%B3i
 Estudo de caso: ponte de Tacoma.
Introdução
Fonte: http://www.ime.unicamp.br/~apmat/ponte-de-tacoma/
Definição: grau de liberdade:
 É o número mínimo de variáveis independentes necessárias para descrever o movimento do 
sistema mecânico.
Exemplo:
Fundamentação teórica
Fonte: Adaptado de: 
https://www.researchgate.net/figure/Figura
-1-O-pendulo-simples-e-as-forcas-
atuantes-consideradas-na-modelagem-
simplificada_fig1_260772938
Lθ
m
s
θ mg cos θ
mg sen θ
mg
T
Onde:
 k: rigidez equivalente do sistema (N/m);
 m: massa equivalente dos sistema;
 x: deslocamento da massa.
Entender:
 k: armazena a energia potencial elástica;
 m: armazena a energia cinética;
 x: deslocamento da massa.
Sistemas de 1 G.L. sem amortecimento
x
X
0O
k
m
Relembrando:
O movimento ocorre com a
oscilação entre a origem
e as extremidades
(chamada de amplitude A):
Sistemas de 1 G.L. sem amortecimento
Fonte: Adaptado de: Poli-USP.
Máxima compressão
Mola na posição
de equilíbrio
Máxima distensão
x
x
x
x=+A
x=+A
x=+A
Fel
x=–A
x=–A
x=–A O
O
O
Fel
 Foco: modelar o movimento do sistema massa-mola de 1 G.L.
Aplicando as Leis de Newton:
 Essa é a chamada equação diferencial do movimento.
A solução da EDO retorna a equação horária do movimento:
Modelagem matemática
m
k.y
(força da mola)
Mas... quem é quem na equação?
 A é a amplitude;
 Φ é o ângulo de fase.
 A pulsação própria do movimento é: 
 A pulsação também é conhecida como a frequência natural de vibração.
Modelagem matemática
 É importante determinar a rigidez e a massa equivalentes para resolver os exercícios.
 Sugestão: método da energia mecânica: consiste em igualar as energias cinéticas e 
potencial (energia mecânica total) do sistema massa-mola que estudamos com o
sistema real.
Equacionando:
Modelagem matemática
 O sistema ilustrado é composto por um disco de massa m0, diâmetro c, ligado a uma barra 
homogênea de massa MB, comprimento L = b + a, articulada em O e conectada à mola de 
rigidez k. O momento de inércia de um disco, de massa m0 e raio R_D, em relação ao seu 
centro de massa é:
 O momento de inércia de uma barra de massa mB e comprimento L, em relação ao seu 
centro de massa é:
A posição ilustrada é a de equilíbrio do sistema. Considerando que esse sistema oscile com 
pequenas oscilações, pedem-se:
a) A equação diferencial;
b) A massa efetiva;
c) A rigidez equivalente;
d) A equação horária
do movimento.
Exemplo de aplicação
Fonte: Adaptado de: livro-texto.
mD mB O
k
c b a
Solução:
 Em primeiro lugar, deve-se encontrar a compatibilidade de deslocamento angular e linear 
para podermos escrever as equações na forma que estudamos (em função de
coordenada linear).
A relação entre a deformação, a mola 
e o deslocamento angular:
A Energia Potencial Elástica:
A Energia Cinética de Rotação:
Exemplo de aplicação
Fonte: Adaptado de: livro-texto.
O e
φ
φ
a
a.cosφ
e=a.senφ
(Continuação)
A Energia Mecânica:
Derivando a Energia Mecânica em relação ao tempo:
Esta equação apresenta-se em forma de um produto, ou seja, 
possui duas soluções:
1ª) ϕ=0 => Define a existência da posição de equilíbrio;
2ª)
Exemplo de aplicação
Resolvendo o caso 2, obtém-se:
O que resulta:
A equação horária do movimento é: ,
sendo A e B as constantes ajustáveis às condições iniciais
do movimento, e:
Exemplo de aplicação
Uma vibração mecânica é o movimento de uma partícula ou de um corpo que oscila em torno 
de uma posição de equilíbrio, que surge, geralmente, quando um sistema é deslocado da sua 
posição de equilíbrio estável. Pode-se considerar que o movimento oscilatório possui:
a) Apenas a energia potencial elástica.
b) Apenas a energia cinética.
c) Energia mecânica.
d) Nenhum tipo de energia.
e) N.D.A.
Interatividade
Uma vibração mecânica é o movimento de uma partícula ou de um corpo que oscila em torno 
de uma posição de equilíbrio, que surge, geralmente, quando um sistema é deslocado da sua 
posição de equilíbrio estável. Pode-se considerar que o movimento oscilatório possui:
a) Apenas a energia potencial elástica.
b) Apenas a energia cinética.
c) Energia mecânica.
d) Nenhum tipo de energia.
e) N.D.A.
Resposta
 Amortecimento: consiste em dissipar a energia do movimento para que a oscilação
seja controlada.
O amortecimento pode ser viscoso ou histerético. Exemplos:
Sistemas de 1 G.L. com amortecimento
Fontes: https://www.csiportugal.com/noticia/79/dispositivos-de-
amortecimento-viscoso-san-bernardino-justice-center
 A histerese é causada por conta dos atritos internos no próprio material.
Histerese
Essa área representa a energia dissipada.
Fonte: https://www.ctborracha.com/borracha-sintese-historica/propriedades-das-borrachas-
vulcanizadas/propriedades-fisicas/propriedades-mecanicas/resiliencia/
DeformaçãoA C
F
o
rç
a
B
 Depende de um fluido.
 Depende da velocidade.
 C: constante de amortecimento.
Amortecimento viscoso
Fonte: Adaptado de: 
Canal da peça.
Extensão Compressão
Fixação
superior
Tubo (A)
(guarda-Pó)
Haste do
pistão
Tubo
externo (B)
Tubo
interno (C)
Óleo
Fixação
inferior
 Suspensão automotiva.
Exemplos de aplicação de amortecedores
Fonte: Bosch.
 Aeronaves.
Exemplos de aplicação de amortecedores
Fonte: Aeroflap.
 Diminui a amplitude do movimento até o extinguir.
Efeito do amortecimento
0
x
x(t)
x(t+Td)
t
Fonte: livro-texto.
 Essa é denominada de equação característica
do movimento amortecido.
Equacionamento
y
ceqkeq
meq
Existem alguns parâmetros importantes que vão balizar o quão amortecido é o movimento:
: a pulsação própria do sistema;
: parâmetro de amortecimento;
: grau de amortecimento;
: razão de frequências.
Equacionamento
O valor do coeficiente beta pode fornecer três possibilidades de amortecimento:
 1º Tipo: Amortecimento Fraco:
 Sendo as constantes a0 e φ, determinadas por condições iniciais, tais como: posição e 
velocidade no instante t = 0;
 2º Tipo: Amortecimento Crítico:
 Sendo que, as constantes A e B são determinadas em função das condições iniciais, tais 
como: posição e velocidade no instante zero;
 3º Tipo: Amortecimento Forte:
 Sendo que, as constantes A e B são determinadas em função 
das condições iniciais, tais como: posição e velocidade no 
instante zero.
Equacionamento
Percebe-se a diferença entre os tipos de amortecimento:
Graficamente
Fonte: Adaptado de: PUC – Goiás.
Amortecimento fraco
Crítico
Forte
y
t
E qual é o tipo de amortecimento que devo escolher para o meu projeto?
 Deve ser adequado à aplicação;
 Existem situações em que não se deseja que a massa suspensa oscile muito;
 Existem situações em que o oposto é requerido;
 Entender a cultura da aplicação, as normas e as leis envolvidas.
Interpretação
Duas balanças são constituídas, cada uma, por uma mola e um prato, em que se deposita uma 
massa a ser medida. Observa-se que, para a primeira balança, o prato não oscila, mas a 
balança demora certo tempo para marcar o valor correto, depois que a massa é posta no prato. 
Nota-se, também,que a segunda balança oscila várias vezes antes que o prato pare e esse 
valor possa ser lido. Assinale a alternativa incorreta:
a) Na primeira balança, observa-se um regime de amortecimento crítico ou supercrítico.
b) Na segunda balança, observa-se um regime de amortecimento subcrítico.
c) Quanto mais amortecido é o sistema, mais tempo a balança 
leva para marcar o valor correto.
d) Se não houvesse nenhum tipo de amortecimento, a balança 
poderia oscilar por um tempo indeterminado.
e) O valor da massa altera a frequência natural de oscilação do 
sistema massa + prato + mola.
Interatividade
Duas balanças são constituídas, cada uma, por uma mola e um prato, em que se deposita uma 
massa a ser medida. Observa-se que, para a primeira balança, o prato não oscila, mas a 
balança demora certo tempo para marcar o valor correto, depois que a massa é posta no prato. 
Nota-se, também, que a segunda balança oscila várias vezes antes que o prato pare e esse 
valor possa ser lido. Assinale a alternativa incorreta:
a) Na primeira balança, observa-se um regime de amortecimento crítico ou supercrítico.
b) Na segunda balança, observa-se um regime de amortecimento subcrítico.
c) Quanto mais amortecido é o sistema, mais tempo a balança 
leva para marcar o valor correto.
d) Se não houvesse nenhum tipo de amortecimento, a balança 
poderia oscilar por um tempo indeterminado.
e) O valor da massa altera a frequência natural de oscilação do 
sistema massa + prato + mola.
Resposta
 Apostila UNIP. Vibrações mecânicas. Professor Brasílio Camargo.
 RAO, S. S.; MARQUES, A. S.; LIMA JÚNIOR, J. J. de. Vibrações Mecânicas. 4. ed. São 
Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008.
Referências
ATÉ A PRÓXIMA!