Modelagem de problemas clássicos de contagem

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Objetivos
Módulo 1
Agrupamentos sem repetição clássicos
Reconhecer principais agrupamentos sem repetição, úteis para resolução de problemas de contagem.
Acessar módulo
Módulo 2
Agrupamentos com repetição clássicos
Reconhecer os principais agrupamentos com repetição para a resolução de problemas de contagem.
Modelagem
de problemas
clássicos de
contagem
Prof. Carlos Eddy Esaguy Nehab
Descrição
Os agrupamentos combinatórios clássicos na solução de problemas de contagem.
Propósito
A importância dos agrupamentos combinatórios clássicos, sua contagem e sua utilidade na modelagem de problemas
de contagem.
d
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Módulo 3
Mais permutações
Reconhecer o agrupamento permutação caótica e sua aplicação na solução de problemas de contagem.
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Módulo 4
Lemas de Kaplansky e aplicações
Aplicar os lemas de Kaplansky na solução de problemas de contagem.
Acessar módulo
Introdução
Confira um breve resumo dos principais conceitos de modelagem de problemas clássicos de contagem, que serão abordados neste conteúdo.

d
1
Agrupamentos sem repetição clássicos
Ao final deste módulo, você será capaz de reconhecer principais agrupamentos sem repetição, úteis para resolução de problemas de contagem.
d
Vamos começar!
Categorias clássicas de problemas e os agrupamentos
Confira os principais pontos sobre o assunto que serão abordados ao longo deste módulo.
Ordenar ou não ordenar?
Duas situações clássicas
Suponha que disponhamos de cinco pessoas e desejamos formar todas as possíveis comissões e, também, todas as possíveis filas, utilizando três
dessas cinco pessoas.
Para formarmos comissões, basta que selecionemos 3 das 5 pessoas, pois independentemente da ordem em que as escolhemos, formamos a
mesma comissão;
No entanto, escolhidas 3 das 5 pessoas disponíveis, podemos formar várias filas – com essas três pessoas.

d
Essas duas situações ilustram de forma bastante intuitiva as duas formas clássicas de agrupar objetos, a partir de certo número de objetos
disponíveis.
Combinação de objetos
O caso comissões, ilustra essa forma de agrupamento. Ou seja, o verbo combinar, tecnicamente, é reservado para as situações em que a
ordem na escolha dos objetos não gera agrupamentos diferentes – como é o caso de formação de subconjuntos de um conjunto dado ou
de comissões de pessoas.
Arranjos de objetos
O caso filas, ilustra essa forma de agrupamentos. Ou seja, o verbo arranjar é reservado para as situações em que a ordem em que
escolhemos os objetos selecionados determina agrupamentos diferentes – como é o caso de formação de senhas, anagramas, filas e
demais situações análogas.
Assim, no exemplo, considerando que as pessoas disponíveis são: Aldo, Bia, Carlos, Dário e Elza, a imagem a seguir exibe as diversas filas
associadas a algumas das possíveis comissões.
d
Diversas filas associadas a algumas das possíveis comissões.
d
Ou seja, parece claro, pela tabela, que a cada uma das possíveis comissões explicitadas estão associadas seis filas. E, é claro, com as mesmas três
pessoas!
Mas, como contar a quantidade de total de �las ou de comissões?
Se você pensou no princípio da multiplicação, acertou!
Antes, vamos resumir os conceitos e estabelecer algumas notações.
Os agrupamentos que podemos formar, selecionando dentre objetos disponíveis, são, basicamente, de dois tipos. Vejamos:
Combinação
Agrupamentos em que a ordem de seleção dos objetos não interfere no agrupamento - ou seja, independentemente da ordem em que
selecionamos os objetos, formamos o mesmo agrupamento - a mesma combinação. Temos como situação típica os subconjuntos.
Arranjos
Agrupamentos em que a ordem como escolhemos os objetos distingue o agrupamento, ou seja, para cada subconjunto de objetos
escolhidos dentre os objetos disponíveis, ordenações diferentes desses objetos geram arranjos diferentes. Temos como situações
típicas a fila e as senhas.
Finalmente, as notações: representamos a quantidade de combinações e a quantidade de arranjos com objetos, gerados a partir de objetos
disponíveis, respectivamente, por e .
Formas de contagens sem repetição
Arranjos e permutações simples
Vamos estabelecer a quantidade de arranjos de objetos sendo disponíveis objetos e, também abordar o caso particular de , ou seja, a
quantidade de arranjos quando selecionamos todos os objetos disponíveis. Os arranjos assim formados são chamados de permutações e a
quantidade desses agrupamentos é representada por .
A seguir, abordaremos as combinações.
Para calcular o número de arranjos de objeto tomados a , recorremos ao princípio da multiplicação.
p n
p
p
p p
n
p n
C np A
n
p
p n n = p
n
Pn
n p p
d
Se um experimento de contagem pode ser decomposto em duas etapas independentes de e de formas diferentes, o experimento pode ser
realizado de formas diferentes.
Retornando ao cálculo do número de arranjos de objetos, tomados a , para o caso geral, temos:
Primeiro objeto
O primeiro dos objetos a serem selecionados pode ser escolhido dentre qualquer um dos objetos disponíveis.
 1 de 3 
Assim, pelo princípio da multiplicação, aplicado sucessivamente, a quantidade total de arranjos é o produto de parcelas, começando com e
terminando em , ou seja:
Note que podemos escrever essa expressão com o uso da operação de fatorial, conforme indicado, onde usamos o produto de até 1 para
reescrever a expressão de forma compacta. Veja:
m n
m ⋅ n
Exemplo
A situação de um palhaço possuir 4 calças e 3 camisas diferentes: desejamos determinar de quantas formas diferentes ele pode se vestir.
Naturalmente, a escolha da calça e da camisa são etapas independentes e, como consequência, o palhaço pode se vestir de 
formas diferentes. Ou seja, para cada uma das calças possíveis de serem escolhidas, ela pode formar um par de vestimentas com cada
uma das 3 camisas disponíveis.

4 ⋅ 3 = 12
n p p
p n
p n
n − p + 1
Anp = n(n − 1) … (n − p + 1)
produto de p parcelas 

n − p
 
d
Rotacione a tela. 
Note que, como consequência, 
Exemplo 1
Dados os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantas senhas podem ser formadas contendo apenas quatro desses algarismos, sem repeti-los?
Solução
Naturalmente que desejamos formar agrupamentos com 3 objetos cada, nos quais a ordem em que os objetos são selecionados é relevante, ou
seja, distingue o agrupamento.
Então, obtemos senhas diferentes.
Exemplo 2
Desejamos formar todos os anagramas da palavra “tropa”, e lembramos que anagramas de uma palavra são os “embaralhamentos” de todas as
suas letras, nas mesmas quantidades em que ocorrem na palavra original, independentemente da “palavra” formada ter ou não significado.
Solução
Como todas as letras da palavra “tropa” são diferentes, devemos determinar de quantas maneiras podemos escolher as 5 letras da palavra, em
todas as ordens possíveis. Claro que podemos raciocinar com o princípio da multiplicação (que é quase o pai de todas as contagens), mas estamos
frente à situação descrita como agrupamentos do tipo permutação, ou seja, desejamos formar todas as ordenações de 5 letras usando exatamente
as 5 letras disponíveis! O total de anagramas é:
Anp = n(n − 1) … (n − p + 1)
(n − p)(n − p − 1) … 1
(n − p)(n − p − 1) … 1
Anp =
n(n − 1) … (n − p + 1)(n − p)(n − p − 1) … 1
(n − p)(n − p − 1) … 1
Anp =
n!
(n − p)!
Pn = A
n
n = n(n − 1) … 1 = n!
A64 = 6!/(6 − 4)! = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 360
A55 = P5 = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 =
5!
(5 − 5)!
= 120
d
Exemplo 3
Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5, sem repeti-los?
Solução
Mais uma vez, enfatizamos que podemos obter a solução pelo princípio da multiplicação. Mas, vamos abordar essa questão usando o conceito de
arranjo já estabelecido.
Veja: se imaginarmos que dispomos de três posições (centena, dezena e unidade) para formarmos o número desejado, temos um detalhe: se o
primeiro algarismo for igual a zero, tal número não é considerado de dois algarismos, por exemplo,o “número” .
Então, dos arranjos existentes com os seis algarismos disponíveis, devemos descontar os agrupamentos em que o zero foi
escolhido como algarismo das centenas. Mas, nesse caso, os dois algarismos restantes podem ser escolhidos a partir dos algarismos restantes 1,
2, 3, 4 e 5 (porque o zero já teria sido escolhido e não pode ser repetido). Ou seja, um total de dos 120 arranjos anteriores
começam com 0 (zero)! Logo, a quantidade desejada é .
Analisemos, no entanto, uma solução usando exclusivamente o princípio da multiplicação. Veja:
Logo, pelo princípio da multiplicação, a quantidade desejada vale 
Combinações simples
Retomemos o exemplo preliminar, no qual investigamos a formação de comissões e filas com cinco pessoas: Aldo, Bia, Carlos, Dário e Elza.
042!
A63 = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 = 120
A52 = 5 ⋅ 4 = 20
120 − 20 = 100
Centenas 
Dezenas 
Unidades 
5 ⋅ 5 ⋅ 4 = 100.
d
Diversas filas associadas a algumas das possíveis comissões.
d
Fica claro que o número de filas que podemos formar corresponde a e, então, podemos determinar o número de comissões a
partir do número de filas.
Cada três pessoas selecionadas propiciam a criação de quantas �las?
Naturalmente que corresponde ao número de permutações que podemos criar com três objetos, ou seja: .
Então, nas 120 filas que podem ser formadas com as cinco pessoas, há sempre seis que contém as mesmas pessoas. Logo o número de
comissões é .
Exemplo 4
Determine quantos são os subconjuntos de com 4 elementos.
Solução
Conceitualmente, a solução é imediata, pois subconjuntos são estruturas em que a ordem de seus elementos é irrelevante. Logo, há
.
A53 = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 120
P3 = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6
120/6 = 20
Resumindo
Se dispusermos de um conjunto com objetos podemos, a partir deles, formar subconjuntos ou ordenações - filas, escolhendo dentre
os objetos disponíveis. 0 número total de filas - os arranjos dos objetos tomados a é igual a:
Cada escolha de objetos dentre os disponíveis gera, "embaralhando-os", um total de ! permutações (ordenações diferentes). Então, o
número de combinações é imediato, ou seja:

n p
n n p p
Anp = n(n − 1) … (n − p + 1)
Anp =
n!
(n − p)!
p n p
C np =
Anp
p!
=
n!
(n − p)!p!
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
C 74 =
A74
4!
= 7!
(7−3)!4!
= 7.6.5.4
4!
= 35
d
Exemplo 5
Desejamos formar comissões em uma empresa com 4 dos 10 funcionários disponíveis, considerando que em cada comissão um deve ser seu
coordenador.
Solução 1
Podemos escolher, primeiro, dentre os 10 funcionários, quem será o coordenador. Há, então, 10 possibilidades; a partir dos 9 funcionários restantes,
devemos escolher os outros 3 que formarão a comissão. Mas, há formas de escolhê-los; então, pelo princípio da multiplicação, a solução
desejada é .
Solução 2
Escolhemos primeiro os 4 funcionários que comporão cada comissão; ou seja, um total de ; mas, em cada grupo de pessoas
escolhidas, há 4 possiveis comissões, pois há 4 possíveis coordenadores; então, pelo princípio da multiplicação, a quantidade desejada é
.
Exemplo 6
Pelo princípio da multiplicação, é simples perceber que um conjunto , com elementos possui subconjuntos. Pense a respeito, considerando
que cada um dos elementos do conjunto pode ser ou não escolhido para compor um subconjunto, ou seja, há 2 possibilidades para a pertinência ou
não de cada um dos elementos de ao subconjunto.
A partir dessa observação, justifique a igualdade:
Solução
Ora, o número de subconjuntos de com elementos é . Logo, como o somatório indica a soma de parcelas correspondentes às
quantidades de subconjuntos com e elementos, a igualdade é imediata, pois retrata a quantidade total dos subconjuntos que um
conjunto com elementos possui.
Um conjunto com 7 elementos, por exemplo, possui, então, subconjuntos, incluído o conjunto vazio e o próprio conjunto dado.
C 93
10 ⋅ C 93 = 10 ⋅
9!
6!3! = 840
C 104 =
10!
6!4! = 210
4 × 210 = 840
A n 2n
A
n
∑
k=0
C nk = C
n
0 + C
n
1 + C
n
2 + ⋯ + C
n
n = 2
n
A p C np n + 1
0, 1, 2 … n
n
27

d
Mão na massa d
Questão 1
De quantas formas podemos dividir uma turma de vinte alunos em dois grupos, um dos quais com oito alunos e outro com doze?
Questão 2
Quantas filas podem ser formadas com sete pessoas, se dentre elas há três amigas que devem permanecer juntas?
A 8! × 12!
B 8!
C 12!
D A2012
E C 2012
Responder
A P3 ⋅ P7
B P3 ⋅ P5
C P3 ⋅ P4
D P4 ⋅ P5
d
Questão 3
No cartão da Mega-Sena, uma aposta corresponde à escolha de 6 números diferentes, dos 60 disponíveis.
Cartão da Mega-Sena.
Quantas seriam as apostas possíveis se, ao invés de 60 números, fossem escolhidos apenas números de 1 a 30?
E A73
Responder
A C 606
B A306
C C 306
D A606
E P30
d
Questão 4
Os quinze diretores de uma empresa formarão uma equipe de trabalho com cinco participantes, um dos quais será coordenador e outro, relator.
De quantas maneiras essa comissão poderá ser formada?
Questão 5
Um baralho usual possui 52 cartas: de 2 a 10, mais o valete (J), a dama (Q), o rei (K) e o ás (A), em cada um dos quatros naipes – ouros, copas,
espadas e paus. Qual a chance de selecionarmos quatro cartas, de forma aleatória, e tais cartas serem do mesmo naipe?
Responder
A A152 ⋅ C
13
3
B C 132 ⋅ A
13
3
C  2  ⋅ C 132
D  2  ⋅ A133
E A152 ⋅ C
15
3
Responder
A em C 134 C
52
4
B em 4 ⋅ C 134 C
52
4
C em A134 A
52
4
d
Questão 6
Quantos são os subconjuntos do conjunto A = {a;b;c;d;e;f;g}, com pelo menos uma consoante?
Teoria na prática
Uma empresa possui 50 operários e 8 supervisores. De quantas maneiras pode ser formada uma equipe de trabalho, se cada equipe exige 2
supervisores e 10 operários? E de quantas maneiras podemos, simultaneamente, escolher duas equipes de trabalho?
D em 4 ⋅ A134 A
52
4
E em 1 A524
Responder
A 320
B 256
C 127
D 124
E 63
Responder
_black
Mostrar solução
d
Questão 1
Quantas senhas com algarismos diferentes podem ser formadas com no mínimo 4 e no máximo 6 dígitos, usando os algarismos de 0 a 9?
Questão 2

Vamos praticar alguns conceitos?
Falta pouco para atingir seus objetivos.
A 186.480
B 181.440
C 156.240
D 35.280
E 32.480
Responder
d
Dado o conjunto A = { 1, 3, 5; 7; 9 }, quantos são os subconjuntos de A, com 3 elementos, que possuem o 1, mas não o 5, como elementos?
2
Agrupamentos com repetição clássicos
Ao final deste módulo, você será capaz de reconhecer os principais agrupamentos com repetição para a resolução de problemas de contagem.
A 2
B 3
C 4
D 6
E 24
Responder

d
Vamos começar!
Agrupamentos com repetição
Confira os principais pontos sobre o assunto que serão abordados ao longo deste módulo.
Problemas de contagem com repetição
Arranjos com repetição
Admita que dispomos dos algarismos 1 a 5 e dos símbolos especiais \&, # e @, e desejamos determinar quantas senhas podemos formar, com
comprimento de 6 símbolos, sendo permitida a repetição de símbolos em sua formação.

d
Nesse caso, o problema é muito simples, pois qualquer dos 6 símbolos da senha pode ser escolhido dentre os 8 símbolos disponíveis, ou seja, um
total de senhas.
De uma maneira geral, designamos por arranjos com repetição de objetos tomados a , cuja quantidade é representada por , aos
agrupamentos da seguinte natureza:
Cada grupamento possui objetos e podemos escolher cada um dos objetos dentre os objetos disponíveis, sendo permitida a repetição.
Então, a quantidade de arranjos com repetição é dada por:
Rotacione a tela. 
Permutação com repetição
A ocorrência do agrupamento permutação com repetição ocorre, tipicamente, na formação de anagramas de uma palavra quando ela possui letras
repetidas.
Qual o número de anagramas da palavra “Araraquara”?
Observe que, trocando as letras A de posição, não criamos um novo anagrama.
Vamos supor, por um momento, que as letras iguais sejam tratadas como objetos diferentes e analisar a consequência desta abordagem.
Então, chamaremos as letras da palavra “Araraquara” de porquehá 5 letras e 3 letras Ora, se ordenarmos de
todas as formas esses 10 símbolos, obtemos situações diferentes, ou seja, 
Mas, na verdade, muitos desses agrupamentos são o mesmo anagrama, porque, se alterarmos a ordem das letras a , por exemplo,
continuamos com o mesmo agrupamento.
Então, imagine tais letras a em suas posições nos anagramas anteriores. Nas 5 posições que elas ocupam, permutando-as, você terá
 ! anagramas iguais. Então, é necessário dividir o total de por ! para evitar contagem múltipla. Da mesma forma, devemos dividir
o total por repetições da letra 
Então, a quantidade desejada é, na verdade:
Rotacione a tela. 
8 × … × 8 = 86
n p p ARnp
p p n
ARnp = n × n × … × n = n
p
A1R1A2R2A3QUA4R3A5 ( A R).
P10 P10 = 10!
A1 A5
A1 A5
P5 = 5 10! P5 = 5
3! ( R. )
10!
5!3!
=
6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9 ⋅ 10
3!
= 7 ⋅ 8 ⋅ 9 ⋅ 10 = 5040
d
Agrupamentos dessa natureza, em que dados objetos, alguns dos quais com repetição, desejamos "embaralhar" a todos, são chamados de
permutações com repetição.
Nesse exemplo, escrevemos: , ou seja, dispomos de objetos, dos quais há 5 iguais entre si (letra ), mais 3 objetos também iguais entre
si (letra e os demais sem repetição, o que é equivalente a escrever que o número de repetições das letras e vale 1. Ou seja, também
podemos escrever 
Assim, no caso geral, se dispomos de objetos, onde há repetições, escrevemos para representar o número de permutações
com repetição... Note que 
Utilizando o mesmo raciocínio do exemplo, precisamos dividir pelas permutações dos objetos repetidos, que são , , ..., , e que não geram
agrupamentos diferentes, ou seja:
Rotacione a tela. 
Combinação com repetição
O agrupamento designado por combinação simples, já estudado, é caracterizado por dispormos de objetos e os organizarmos em grupos de 
objetos, em que a ordem não é relevante e não há repetição de nenhum objeto num mesmo grupo. Como vimos, subconjuntos é o exemplo típico.
Quando permitimos que objetos em um mesmo agrupamento possam ser repetidos, obtemos as combinações com repetição de objetos tomados
 a . Vejamos dois exemplos para esclarecer melhor esse tipo de agrupamento.
Situação 1
n
PR105,3 10 A
R) Q U
PR105,3,1,1.
n p, q, … , t PRnp,q,…t
p + q + … + t = n.
n! r! s! t!
PRnp,q,r,.t =
n!
p! × q! × … × t!
Exemplo
O número de anagramas da própria palavra “anagrama” pode ser calculado de forma imediata: há quatro letras e as demais 4 letras só
ocorrem uma vez. Logo, a quantidade desejada pode ser calculada por:

A
PR84,1,1,1,1 =
8!
4! × 1! × 1! × 1! × 1!
= 8 × 7 × 6 × 5 = 1680 anagramas. 
n p
n
p p
d
Suponha que uma loja possua barras de chocolate de três marcas diferentes e você deseja comprar oito delas. De quantas formas diferentes podem
ser escolhidos as barras de chocolate em sua compra?
Note que, nesse caso, desejamos combinar 3 objetos diferentes em grupos de objetos (8 barras)! Ou seja, representamos esse quantitativo por
, ou seja, o número de combinações de 3 objetos, tomados 8 a .
Análise da situação 1
Na imagem a seguir, registramos, em linhas diferentes, possíveis escolhas dos 3 tipos de barras de chocolate, tomados 8 a 8:
Possíveis escolhas para as 3 barras de chocolate.
A estratégia clássica para realizarmos a contagem total de agrupamentos deste tipo é curiosa, criativa, mas simples.
Vamos representar cada barra de chocolate escolhido de uma das três marcas disponíveis, da forma sugerida na imagem anterior (quadradinhos):
Simplificação do modelo de escolha das barras de chocolate.
Note que separamos as quantidades de chocolate de cada tipo pelo sinal de adição. Então, a descrição abaixo representa a escolha de “0 (zero)
barras do tipo 1; 0 (zero) barras do tipo 2 e 8 barras do tipo 3.
8
CR38 8.
d
Escolha de 8 barras do tipo 3.
Assim, com esse belo artifício, o problema foi transformado em outro, formulado:
De quantas maneiras podemos dispor em uma fila um total de 2 sinais "+”, isto é, os tipos, e sinais “ " isto é, tomados a (barras)?
Ora, isso corresponde a calcular o número de permutações com repetição de:
Rotacione a tela. 
com e repetições, ou seja:
Rotacione a tela. 
No caso geral, a quantidade de combinações com repetição, de objetos tomados a , recai na contagem de quantas permutações com repetição
podemos formar com objetos, com repetições e repetições. Ou seja:
n − 1 8 □ 8 8
(n − 1) + p = n + (p − 1) = 3 + (8 − 1) = 10 sinais 
3 − 1 8
CR
3 objetos 
tomados 8 a 8 = PR
3+(8−1) sinais 
3−1,8 repetições 
CR
3 objetos 
8 a 8 = PR
10
8,3−1 =
10!
8!2!
= 45
n p p
n + p − 1 n p − 1
d
Rotacione a tela. 
Note que corresponde, também, ao número de combinações (simples) de tomados a (ou a ).
É interessante observar que a discussão anterior sobre arranjos, permutações e combinações com repetição mostra que a criação dos diversos
tipos de agrupamentos e as expressões para o cálculo do quantitativo de cada um deles é, na prática, decorrente diretamente de estratégias
interessantes, mas baseadas exclusivamente no princípio da multiplicação.
Portanto, é perfeitamente possível – e diríamos, até desejável – que tentemos a solução de problemas de contagem sem o uso dos arranjos,
permutações e combinações. Com isso, as expressões obtidas para a contagem dos diversos agrupamentos não se resumirão a fórmulas
meramente decoradas!
Mão na massa
Questão 1
Qual o número de placas de automóvel que podemos formar se uma placa consiste de duas letras quaisquer do alfabeto (26 letras) seguidas de
quaisquer 6 dos 10 algarismos?
CRn objetos p a p = PR
n+p−1
n,p−1
CRn objetos p a p =
(n + p − 1)!
p!(n − 1)!
CRn objetos p a p = C
n+p−1
p = C
n+p−1
n−1
CRnp n + p − 1 p p … n − 1 n − 1

A 676.000
B 6.760.000
C 67.600.000
D 676.000.000
E 6.760.000.000
d
Questão 2
Quantos são os anagramas da palavra “arranjo”?
Questão 3
Desejamos arrumar 5 livros de Filosofia, 7 de Sociologia e 8 de Estatística em uma prateleira de uma estante, de tal forma que livros sobre o
mesmo assunto fiquem juntos. Quantas são as formas de arrumá-los?
Responder
A 10.080
B 1260
C 2520
D 5040
E 620
Responder
A 3! × 5! × 7! × 8!
B 20!
C 20!/[5! × 7! × 8!]
d
Questão 4
Numa padaria, há 10 tipos de biscoitos doces e 7 tipos de biscoitos salgados. Você deseja comprar 4 pacotes de biscoito doce e 3 pacotes de
biscoito salgado. De quantas maneiras diferentes os 7 pacotes de biscoitos que você pretende comprar podem ser escolhidos?
Questão 5
Um botequim dispõe de três tipos diferentes de quentinhas. Se seis amigos desejam almoçar juntos, e cada um deseja comer exatamente uma
das quentinhas, de quantas maneiras elas podem ser escolhidas?
D 5! × 7! × 8!
E 3! × 20!
Responder
A P10 × P4
B PR104 × PR
7
3
C A104 × A
7
3
D C 1310 × C
9
7
E CR103 × CR
7
4
Responder
A 36
d
Questão 6
Um botequim dispõe de três tipos diferentes de quentinhas. Se você deseja comprar 6 quentinhas para o almoço de seis amigos, de quantas
maneiras elas podem ser escolhidas?
B 63
C CR63
D 6!
E 3!
Responder
A 36
B 63
C 9 ⋅ 8 ⋅ 7/3!
D 6!
E 3!
Responder
_black
d
Teoria na prática
Quantas são as formas possíveis de distribuir 20 barras iguais de chocolate para cinco crianças, se cada criança deve receber pelo menos uma
dessas barras?
Questão 1
Quantos são os anagramas da palavra “recorrente”?
Mostrar solução

Vamos praticar alguns conceitos?
Falta pouco para atingir seus objetivos.
A 10!3!3!
B 9!3!3!
C 9!4!3!
D 10!3!2!2!
d
Questão 2
De quantas maneiras poderemos dividir, entre quatro herdeiros, uma herança de 20 moedas de ouro idênticas?
3
Mais permutações
Ao final deste módulo, você será capaz de reconhecer o agrupamento permutação caótica e sua aplicação na solução de problemas de contagem.
E 10!3!2!
Responder
A C 2420 = 10.626
B C 1915 = 3.876
C C 2320 = 1771
D C 235 = 33.649
E C 2419 = 42.504
Responder

d
Vamos começar!
Entendendo permutações
Confira os principais pontos sobre o assunto queserão abordados ao longo deste módulo.

d
Permutações - complementos
Neste módulo, abordaremos dois tópicos complementares relacionados ao conceito de permutação: o conceito de permutação circular, mais
simples e, a seguir, um tópico avançado, conhecido como permutações caóticas.
Permutações circulares
Normalmente, os agrupamentos são sequências de objetos dispostos em linha. Entretanto, um tipo especial de agrupamento pode ser definido
quando desejamos dispor n objetos em torno de uma circunferência.
Imagine que você apenas rodou a mesa com os amigos juntos, como sugere o esquema:
Exemplo
de quantas maneiras podemos dispor quatro amigos, Antônio, Bernardo, Carlos e Daniel, em volta de uma mesa, de tal forma que suas
posições relativas sejam diferentes? Note que as quatro ordenações A, B, C e D indicadas a seguir, que representam permutações usuais
diferentes, se dispostas em volta de uma mesa, retratam a mesma disposição “circular”: A: Antônio, Bernardo, Carlos e Daniel; B: Daniel,
Antônio, Bernardo e Carlos; C: Carlos, Daniel, Antônio e Bernardo; D: Bernardo, Carlos, Daniel e Antônio.

d
Esquema de permutação cíclica.
Então, diferentemente das permutações usuais de 4 objetos, que geram permutações diferentes, neste caso, temos apenas a quarta parte
desta quantidade como posições diferentes possíveis em volta da mesa!
Desta forma, o número de permutações circulares é, então, .
Numa situação geral, representando por o número de permutações circulares de objetos, imagine a seguinte estratégia de contagem:
Escolha um ponto da circunferência, onde, nele, fixamos um dos objetos;
Há, então, posições para selecionar, em volta da circunferência, um segundo objeto;
Para escolher um terceiro objeto há disponíveis, e assim sucessivamente;
Finalmente, o último objeto possui uma única posição ainda disponível.
Logo, como girar o conjunto de objetos na circunferência não cria novos agrupamentos, a quantidade desejada é:
Rotacione a tela. 
Exemplo 1
Quantas são as formas distintas em que 5 meninos e 5 meninas podem ser dispostos em uma roda, considerando que dois meninos ou duas
meninas não podem estar juntos?
4! = 24
4!/4 = 3! = 6
PCn n
n
n − 1
n − 2
PCn = (n − 1) × (n − 2) × … × 1 = (n − 1)!
d
Solução
Há ! maneiras de dispor as 5 meninas em círculo. Agora, vejamos como preencher os 5 espaços entre elas com os meninos: o primeiro
menino pode ser colocado em qualquer uma das posições disponíveis; o próximo, nas 4 posições disponíveis, e assim por diante. Logo, há
 formas de escolha dos meninos. Ou seja, o número total de disposições é 
Permutações caóticas (ou desarranjos)
A terminologia “caótica” é um tanto curiosa, uma vez que dá a sensação de que esse tipo de agrupamento deve ser esquisito! Porém, há várias
situações clássicas que remetem a esse tipo de agrupamento. Vejamos:
Situação 1
Na escolha de amigo oculto, desejamos que ninguém escolha a si mesmo.
 1 de 5 
Podemos, agora, conceituar o que entendemos por permutações caóticas ou desarranjos de objetos:
Dados objetos , um desarranjo desses objetos é qualquer ordenação desses objetos em que nenhum ocupa a posição .
Exemplo 2
Dentre as permutações simples de 1, 2, 3, 4, 5 e 6, em quantas delas:
PC5 = 4
P5 = 5! = 120 4! ⋅ 5! = 2880.
n
n a1, a2, … , an ak k
 
d
Exemplo 3
Dentre as permutações simples de 1, 2, 3, 4, 5 e 6, em quantas delas 4 ou 5 estão nas 4ª e 5ª posições, respectivamente?
Solução
Chamando de e , respectivamente, o conjunto das permutações simples onde 4 e 5 estão na e posições, temos que
. Desejamos, então, calcular o número de elementos do conjunto 
Mas, pelo princípio da adição, podemos calcular o número de elementos da união de dois conjuntos em função do número de elementos de cada
um deles e de sua interseção, ou seja:
Rotacione a tela. 
4 está na quarta posição?
Solução
Se 4 está na quarta posição, as permutações possíveis correspondem as permutações simples dos demais 5 objetos, ou seja, 5! =
120.
5 está na quinta posição?
Solução
Mesma situação do item a). Ou seja, 5! = 120.
4 e 5, simultaneamente, estão na quarta e na quinta posição, respectivamente?
Solução
Se ambos 4 e 5, já ocupam posições predefinidas, basta contar as permutações simples dos demais 4 objetos, ou seja, 4!=24. Se
ambos 4 e 5, já ocupam posições predefinidas, basta contar as permutações simples dos demais 4 objetos, ou seja, 4!=24.
F4 F5 4
a 5a 
n (F4) = n (F5) = 5! = 120 F4 ∪ F5!
n (F4 ∪ F5) = n (F4) + n (F5) − n (F4 ∩ F5)
d
Então:
Rotacione a tela. 
Exemplo 4
Dentre as permutações simples de 1, 2, 3, 4, quantos são os desarranjos?
Solução
Chamando de os conjuntos das permutações onde está na -ésima posição, temos:
Fórmula geral do número de desarranjos
O cálculo do número total de desarranjos de objetos pode, a partir das discussões do item anterior, ser generalizado com a expressão clássica,
dada por:
Veja nas referências diversas fontes complementares de consulta sobre essa expressão!
n (F4 ∪ F5) = 5! + 5! − 4! = 196
Fi i i
Princípio da adição 
Incluindo elementos 
Substituindo os quantitativos 
n
Dn = n! [
1
0!
−
1
1!
+
1
2!
− ⋯ . +
(−1)n
n!
]

d
Mão na massa
Questão 1
De quantas maneiras diferentes 10 alunos podem formar uma roda?
Questão 2
De quantos modos 6 pares de gêmeos, cada um formado por um menino e uma menina, podem formar uma roda, de modo a que cada par de
gêmeos fique junto e que nenhum menino nem nenhuma menina fiquem juntos?
A 11!
B 10!
C 9!
D 90
E 720
Responder
A 6! × 5!
B 6! × 6!
C 5! × 5!
d
Questão 3
De quantos modos 10 meninos e 10 meninas podem formar uma roda, de modo que as meninas permaneçam juntas?
Questão 4
De quantas formas podemos colocar 8 meninos e 8 meninas em uma roda, de tal maneira que tanto as meninas quanto os meninos fiquem
juntos?
D 2 × 5!
E 2 × 6!
Responder
A (10!)2
B (11!)2
C 10! × 11!
D 2 × 10!
E 2 × 9!
Responder
A 2 × (10!)2
d
Questão 5
Dispomos de 11 cadeiras enfileiradas e de 11 jogadores de futebol com camisas numeradas de 1 a 11. De quantas maneiras podemos sentar
os jogadores nas cadeiras, de forma a que o jogador de camisa número 3 fique sentado na cadeira também de número 3?
Questão 6
B (10!)2
C 2 × 9! × 10!
D 9! × 10!
E (9!)2
Responder
A 10
B 11
C 10!
D 11!
E 2 × 10!
Responder
d
Dispomos de 11 cadeiras enfileiradas e de 11 jogadores de futebol com camisas numeradas de 1 a 11. De quantas maneiras podemos sentar
os jogadores nas cadeiras, de forma a que nem o jogador 2 nem o jogador 3 fiquem sentados nas cadeiras 2 e 3, respectivamente?
Teoria na prática
Qual a chance de escolhermos, dentre a 10! permutações dos números 1,2,3,...,10, uma permutação em que nenhum deles esteja na posição
original, ou seja, de não ocorrer do número i estar na i-ésima posição?
A 9! − 1
B 11!
C 91 × 9!
D 81! × 9!
E 110 × 10!
Responder
_black
Mostrar solução
d
Questão 1
De quantas formas podemos colocar 8 crianças, sendo 2 meninos e 6 meninas, em uma mesma roda, de tal forma que os meninos não fiquem
juntos?

Vamos praticar alguns conceitos?
Falta pouco para atingir seus objetivos.
A 40.320
B 39.600
C 36.000
D 3.600
E 1.200
Responder
d
Questão 2
Quantas são as formas de endereçarmos 6 cartas diferentes a 6 destinatários também diferentes, de forma que, na hora de colocá-las nos
envelopes, nenhum destinatário receba a carta correta?
4
Lemas de Kaplansky e aplicações
Ao final deste módulo, você será capaz de aplicar os lemas de Kaplansky na solução de problemas de contagem.
A 270
B 265
C 260
D 250
E 245
Responder

d
Vamos começar!
Lemas de Kaplansky? O que são?
Confira os principais pontos sobre o assunto que serão abordados ao longo deste módulo.
Problemas de contagem de kaplansky
Abordaremos, neste módulo, uma categoria de problemas de contagem apoiada nos chamados lemas de (Irving) Kaplansky, matemático americano.

d
Uma categoria curiosa de problema
Vamosiniciar nossa discussão com um problema clássico para contextualizar os problemas abordados por Kaplansky, na forma de dois lemas que
solucionam essa categoria problemas.
Dado o conjunto , quantas subconjuntos de 4 elementos podemos formar de tal maneira que não ocorram 2 números
consecutivos?
Veja o esquema indicado na imagem abaixo, onde explicitamos alguns subconjuntos de . Note que marcamos com um os elementos de 
usados para compor o subconjunto e com um - (traço) os elementos não escolhidos de .
Subconjuntos.
Note que os subconjuntos cuja descrição com o sinal (ok) e com o sinal - (traço) possuem dois sinais (ok) consecutivos não servem, pois
possuem dois números consecutivos!
Devemos, então, dispor de 6 sinais - (traços) e 4 sinais (ok) que não sejam consecutivos. A estratégia é imaginar o esquema a seguir, onde
fixamos os 6 sinais -(traços) e reservamos possíveis posições onde podemos colocar os 4 sinais , de forma não consecutiva. Ou seja, a estratégia
é imaginar que dispomos de 7 posições coloridas (azuis) para escolher 4 delas.
Possibilidade de subconjuntos.
Logo, o número dos subconjuntos desejados corresponde a escolher 4 de 7 posições disponíveis, ou seja:
A = {1; 2; 3; 4; … , 10}
A ✓ A
A
✓ ✓
✓
✓
d
Rotacione a tela. 
Analisemos, agora, um problema semelhante, mas com tratamento um pouco diferente. Veja:
Um aluno deseja se preparar para um concurso, estudando, continuamente, três dias na semana (de 7 dias) em dias não consecutivos. De quantas
formas pode ser feita a escolha dos dias de estudo?
Note que, nesse caso, associando os dias da semana domingo, segunda etc. aos inteiros 1 a 7, podemos imaginá-los dispostos em volta de uma
circunferência, pois tudo se passa como se 1 e 7 fossem dias “consecutivos”.
Vamos analisar duas situações:
C 74 = C
10−4+1
4 =
7!
4!3!
=
7.6.5
3.2 ⋅ 1
= 35 subconjuntos 
d
Esquema para análise de Arranjo não consecutivo.
Caso 1: em que o dia 1 é um dos escolhidos
Nessa situação, os dias 2 e 7 não podem ser escolhidos e devemos escolher, dentre os elementos de , os dois dias complementares não
consecutivos.
Então, recaímos na lógica do exemplo já discutido: dispomos de 4 objetos e desejamos escolher 2 deles, não consecutivos. Ou seja, há 
formas diferentes.
{3; 4; 5; 6}
C 32 = 6
d
Subconjunto.
Logo, o número dos subconjuntos desejados corresponde a escolher 4 de 7 posições disponíveis, ou seja:
Caso 2: em que o dia 1 não é um dos escolhidos
Nessa situação, devemos escolher, em , os dois dias complementares não consecutivos. Então, recaímos na lógica do exemplo já
discutido: dispomos de 4 objetos e desejamos escolher 2 deles, não consecutivos. Ou seja, há formas diferentes.
Subconjunto.
Lemas de Kaplansky
C 10−4+14 = C
7
4 =
7!
4!3!
=
7 ⋅ 6 ⋅ 5
3.2 ⋅ 1
= 35 subconjuntos 
{2; 3; 4; 5; 6; 7}
C 32 = 6
d
Podemos generalizar a análise dos dois problemas anteriores. Vejamos:
Lema 1
O problema de selecionar dos números de a para criar subconjuntos sem elementos consecutivos é equivalente ao problema de dispor de
 lugares vazios para escolher as posições dos símbolos , que identificam os números selecionados para os subconjuntos desejados.
Ou seja:
A demonstração dessa igualdade é imediata, tendo em vista a discussão anterior. Pela estratégia desenvolvida no exemplo, ao usar sinais ,
escolhidos entre os elementos disponíveis, temos -p espações vazios para inseri-los. Isso é equivalente a dispormos de "espaços"
para preencher com os sinais de forma não consecutiva.
Subconjunto.
Logo, o número escolhas possíveis é dado pelo número de combinações de objetos, tomados a , conforme indica a igualdade do
Lema 
Lema 2
O problema de selecionar dos números de a , dispostos de forma circular, para criar seleções sem dois números consecutivos, pode ser
calculado pela expressão:
A demonstração dessa igualdade é algebricamente trabalhosa, pois usamos duas vezes o Lema 1 para modelar o problema. Veja a demonstração a
seguir:
Caso a
p 1 n
n − p + 1 p ✓
 Kaplansky 1 = C n−p+1p =
(n − p + 1)!
(n − 2p + 1)!p!
. 
p ✓
n n n − p + 1
p ✓
n − p + 1 p p
1.
p 1 n
Kaplansky 2 =
n
n − p
× C n−pp
d
Suponhamos que o “primeiro objeto", associado ao número 1, seja escolhido.
Então, devemos escolher os demais sinais dentre os objetos numerados do 3 ao penúltimo (do 3 ao , pois os objetos 2 e são
vizinhos do 
Então, devemos escolher objetos (o 1 já foi escolhido) dos disponíveis (sem o 1,2 e n). Mas, isso é o problema do Lema 1, ou seja:
Caso b
Agora, analisemos o caso em que o “primeiro objeto”, associado ao número 1, não seja usado. Então, devemos escolher os sinais dentre os
 objetos restantes. Ou seja, mais uma vez estamos usando o Lema 1:
Adicionando as duas expressões e operando, algebricamente, temos, sucessivamente:
Rotacione a tela. 
p − 1 ✓ n − 1) n
1.
p − 1 n − 3
Kaplansky 2(a) = C
(n−3)−(p−1)+1
p−1 = C
n−p−1
p−1 =
(n − p − 1)!
(p − 1)!(n − 2p)!
p ✓
n − 1
 Kaplansky 2(b)  = C
(n−1)−(p)+1
p = C
n−p
p =
(n − p)!
p!(n − 2p)!
 Kaplansky 2 =  Kaplansky 2a+ Kaplansky 2b
 Kaplansky 2 =
(n − p − 1)!
(p − 1)!(n − 2p)!
+
(n − p)!
p!(n − 2p)!
 Kaplansky 2 =
(n − p − 1)!
(p − 1)!(n − 2p)!
[1 + n − p
p
]
 Kaplansky 2 =
(n − p − 1)!
(p − 1)!(n − 2p)!
[ n
p
]
 Kaplansky 2 = n ⋅
(n − p − 1)!
p!(n − 2p)!
 Kaplansky 2 = n ⋅
(n − p − 1)!
p!(n − 2p)!
⋅
n − p
n − p
 Kaplansky 2 =
n
n − p
⋅
(n − p)!
p!(n − 2p)!
 Kaplansky 2 =
n
n − p
⋅ C n−pp

d
Mão na massa
Questão 1
Enumerando explicitamente as escolhas de 3 números do conjunto {1;2;3;4;5} de forma a que não haja, nessa escolha, números consecutivos,
encontramos quantas possibilidades?
Questão 2
Assinale a opção que corresponde à menor quantidade de subconjuntos do conjunto com elementos, onde não ocorram,
nesses subconjuntos, números consecutivos?
A 1
B 2
C 3
D 4
E 5
Responder
{1; 2; … , n} p
A = 11 e = 5n p
B = 10 e = 4n p
C = 9 e = 3n p
d
Questão 3
Utilizando os 8 vértices de um octógono regular, quantos triângulos podemos formar que não usem vértices consecutivos do polígono?
Questão 4
Em torno de uma mesa, há 10 cadeiras. De quantas maneiras 4 pessoas podem se sentar em torno dessa mesa, se é exigido que entre
quaisquer duas pessoas deve existir uma cadeira vazia?
D = 8 e = 2n p
E = 7 e = 1n p
Responder
A 8
B 12
C 16
D 20
E 24
Responder
A 8
d
Questão 5
João, um jogador de basquete, não pode jogar dois dias seguidos, pois ainda está em recuperação de uma contusão. Porém, se o campeonato
atual possui ainda 10 dias seguidos de jogos, de quantas maneiras seu treinador pode escalá-lo nesta reta final do campeonato, de forma a
respeitar sua limitação, mas escalando-o em pelo menos um jogo?
B 15
C 20
D 25
E 32
Responder
A 143
B 132
C 121
D 110
E 99
Responder
d
Questão 6
Dispomos de 20 cadeiras alinhadas e desejamos sentar exatamente 4 pessoas, exigindo-se que entre cada duas pessoas haja pelo menos duas
cadeiras vazias. Quantas são as situações possíveis?
Teoria na prática
Desejamos criar uma prova com 10 questões de Português e 5 de Matemática, de tal forma que não desejamos que haja duas questões de
matemática consecutivas. De quantas maneiras diferentes poderemos ordenar as 15 questões dessa prova?
A C 204
B C 244
C C 174
D C 243
E C 203
Responder
_black
Mostrar solução
d
Questão 1
Numa pista de corrida, há 8 raias para os corredores. Se apenas três concorrentes vão correr a final, de quantas formas poderão escolher suas
raias, de forma a que nenhum deles corra em raias contíguas?

Vamos praticar alguns conceitos?
Falta pouco para atingir seus objetivos.
A C 63
B C 53
C C 64
D C 73
E C 72
Responder
d
Questão 2
Dispomos de 20 cadeiras em volta de uma mesa e desejamos sentar 3 pessoas, exigindo-se que não haja duas pessoas sentadas lado a lado.
Quantas são as situações possíveis?
Considerações �nais
O estudo da modelagem de problemas combinatórios, aqui desenvolvido, abordoudiversos aspectos básicos e introduziu alguns problemas mais
avançados, como as permutações caóticas (desarranjos) e os famosos lemas de Kaplansky.
É importante enfatizar que uma maior competência cognitiva na solução de problemas de contagem facilitará, posteriormente, a compreensão e o
estudo de dois assuntos essenciais para diversas áreas do conhecimento: a probabilidade e a estatística.
A 2275
B 1122
C 952
D 800
E 665
Responder

d
Referências
LAGES, E. de C.; PINTO, P. C.; WAGNER, E.; MORGADO, A. C. Temas e Problemas. 3. ed. s.l.: SBM (Sociedade Brasileira de Matemática), 2010.
Coleção do Professor.
LAGES, E. de C.; PINTO, P. C.; WAGNER, E.; MORGADO, A. C. A matemática do ensino médio. 10. ed. s.l.: SBM (Sociedade Brasileira de Matemática),
2012. Coleção do Professor.
SANTOS, J. P. O.; MELLO, M. P.; MURARI, I. T. C. Introdução à Análise Combinatória. 4. ed. reimpressa em 2020. Rio de Janeiro: Ciência Moderna,
2008.
SANTOS, I. Introdução à Análise Combinatória. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2020.
Explore +
Confira as indicações que separamos especialmente para você!
Sugerimos a leitura dos artigos publicados na RPM (Revista do Professores de Matemática), editada pela SBM (Sociedade Brasileira de
Matemática).
Enfatizamos também a leitura das obras indicadas nas referências, para que possa entender melhor e com mais exemplos os assuntos tratados
aqui.
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