Exemplo_IC_npequenoegrande_

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UNIUBE – UNIVERSIDADE DE UBERABA Professora Me Fabíola Eugênio Arrabaça Moraes 
Estatística Inferencial 1 
 
Exemplos (Aplicação do intervalo de confiança para a média populacional  quando a variância 
populacional é conhecida e desconhecida, e a amostra é pequena e grande) 
Caso 1: variância populacional 
2 é conhecida 
EXEMPLO 1 Um consultor toma uma amostra aleatória de tamanho 16 de um conjunto de contas a pagar. 
Sabe-se que o desvio padrão das contas a pagar é R$57,00. A partir da amostra, observou-se que a média 
amostral foi de R$250,00. Construa um intervalo de 95% para o valor médio das contas. 
Solução: 
O intervalo de confiança para a média  é dado pela expressão 
( ) 





+−=−
n
zX
n
zX

  22 ;1,IC . 
Temos 
1 0,95− = , logo 0,05 = . 
=X R$250,00 
0,05 0,025
2 2
Z Z Z = = . Consultando a Tabela da distribuição Normal padronizada, encontramos 025,0z =1,96, 
pois ( ) 475,096,10 = zP , logo ( ) 025,096,1 =zP . 
= R$57,00 
 
 
 
n =16 
Substituindo os valores na expressão do intervalo de confiança, obtemos 
( ) 





+−





+−=
16
57
96,1250;
16
57
96,1250
16
57
250;
16
57
250%59 ,IC 22  zz 
Assim o intervalo de confiança para o valor médio das contas a pagar, com 95% de confiança é
 93,277;07,222 . Em outras palavras, com 95% de confiança, o valor médio das contas a pagar situa-se de 
R$ 222,07 a R$ 277,93. 
Caso 2: a variância populacional
2 é desconhecida e a amostra é grande (n  30) 
EXEMPLO 2 
Para ilustrar esse caso, consideremos o exemplo de Anderson, Sweeney e Williams (2002), relativo a um 
estudo de amostragem conduzido pela Statewide Insurance Company. Como parte de uma revisão anual das 
apólices de seguro de vida, a Statewide selecionou uma amostra aleatória simples de 36 proprietários de 
apólices de seguro de vida Statewide. As correspondentes apólices de seguro de vida são revistas em termos 
Observe no enunciado que o valor do desvio padrão R$57,00 não foi retirado 
da amostra, logo subentende-se que a população é conhecida, assim a 
variância populacional é conhecida, ou seja, o desvio padrão 
populacional é conhecido. 
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Estatística Inferencial 2 
 
de garantia de cobertura. Para o estudo, um gerente solicitou uma estimativa do intervalo de confiança de 90% 
da idade média para a população dos proprietários da apólice de seguro de vida. A idade média da amostra é 
39,5 anos. O desvio padrão da amostra é 7,77. O valor de 
05,0z é 1,645. 
 
 
 
 
Portanto o intervalo de 90% é dado por: 
 2,1339,5 ;13,25,39
36
77,7
645,15,39 ;
36
77,7
645,15,39 +−





+− 
A margem de erro é 2,13 e a estimativa da idade média da população de proprietários de apólices de seguros, 
com 90% de confiança, é 37,37 a 41,63 anos. 
Caso 3: a variância populacional 
2 é desconhecida e a amostra é pequena (n < 30) 
EXEMPLO 3 O número de faltas, por ano, de funcionários de determinada empresa foi anotado a partir de uma 
amostra de 25 funcionários escolhidos ao acaso. Deseja-se saber qual é o número médio de faltas por 
funcionário em um ano. Os dados obtidos são: 2, 2, 3, 1, 4, 5, 3, 4, 5, 6, 5, 3, 4, 3, 4, 2, 4, 3, 5, 2, 1, 6, 2, 3 e 4. 
Solução 
A estimativa da média populacional é: 
44,3
25
4322
=
++++
=

X faltas 
Logo o número médio de faltas por funcionário em cada ano é aproximadamente 4. 
A estimativa da variância amostral é: 
( ) ( ) ( )
006,2
24
44,3444,3244,32
222
2 =
−++−+−
=

S faltas2. 
 
Logo, referente ao número de faltas de funcionários de determinada empresa por ano, em que os valores 
estimados de X e 2S foram 3,44 faltas e 2,006 faltas2, respectivamente, sendo 4163,1006,22 === SS
faltas. Calculemos um intervalo de 95% de confiança para o número médio de faltas por funcionário. 
Solução: 
Temos 
1 0,95− = , logo 0,05 = e 
0,05
0,025
2 2

= = 
Observe no enunciado que o valor do desvio padrão foi retirado da amostra, 
logo subentende-se que a população é desconhecida, assim a variância 
populacional é desconhecida, ou seja, o desvio padrão populacional 
é desconhecido. Por isso usamos S, notação do desvio padrão amostral. 
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Estatística Inferencial 3 
 
3,44X = 
1, 4163S = 
25n = , logo 25 1 24gl = − = 
 
 
 
 
Para encontrar o valor de 
24;025,0t , consultamos a tabela da distribuição t. Como a amostra é de tamanho 25, 
temos 24 graus de liberdade. Na tabela da distribuição t, o valor crítico que deixa área de 2,5% acima da curva, 
com 24 graus de liberdade é 
24;025,0t = 2,064. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim o intervalo de 95% de confiança para a média será dado por 
( )    025,4;855,2585,044,3
25
4163,1
064,244,3%95,IC 





= , 
sendo a margem de erro igual a 0,585 faltas. 
Fonte: Adaptado de COLENGHI, F. K. R. Estatística Inferencial. 1 ed. Capítulo 1. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2010. 
Graus de 
liberdade 
0,005 
(unilateral) 
0,01 
(bilateral) 
0,01 
(unilater
al) 
0,02 
(bilatera
l) 
0,025 
(unilateral
) 
0,05 
(bilateral) 
0,05 
(unilateral) 
0,10 
(bilateral) 
21 2,831 2,518 2,080 1,721 
22 2,819 2,508 2,074 1,717 
23 2,807 2,500 2,069 1,714 
24 2,797 2,492 2,064 1,711 
25 2,787 2,485 2,060 1,708 
( ) 95,0064,2064,2 =− tP 
Observe nesse exemplo que a amostra é pequena n = 25 observações (< 30) 
e a variância populacional desconhecida. Ou seja, calculamos o desvio 
padrão da amostra, por isso usamos S, notação do desvio padrão amostral. 
Daí o a melhor indicação é o uso da tabela da distribuição t-Student, 
conforme apresentado a seguir.