MECÂNICA DOS FLUIDOS

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MECÂNICA DOS FLUIDOS
PROF. DR. RICARDO CARDOSO DE OLIVEIRA
Reitor: 
Prof. Me. Ricardo Benedito de 
Oliveira
Pró-Reitoria Acadêmica
Maria Albertina Ferreira do 
Nascimento
Diretoria EAD:
Prof.a Dra. Gisele Caroline
Novakowski
PRODUÇÃO DE MATERIAIS
Diagramação:
Alan Michel Bariani
Thiago Bruno Peraro
Revisão Textual:
Fernando Sachetti Bomfim
Marta Yumi Ando
Produção Audiovisual:
Adriano Vieira Marques
Márcio Alexandre Júnior Lara
Osmar da Conceição Calisto
Gestão de Produção: 
Aliana de Araújo Camolez
© Direitos reservados à UNINGÁ - Reprodução Proibida. - Rodovia PR 317 (Av. Morangueira), n° 6114
 Prezado (a) Acadêmico (a), bem-vindo 
(a) à UNINGÁ – Centro Universitário Ingá.
 Primeiramente, deixo uma frase de 
Sócrates para reflexão: “a vida sem desafios 
não vale a pena ser vivida.”
 Cada um de nós tem uma grande re-
sponsabilidade sobre as escolhas que fazemos, 
e essas nos guiarão por toda a vida acadêmica 
e profissional, refletindo diretamente em nossa 
vida pessoal e em nossas relações com a socie-
dade. Hoje em dia, essa sociedade é exigente 
e busca por tecnologia, informação e conhec-
imento advindos de profissionais que possuam 
novas habilidades para liderança e sobrevivên-
cia no mercado de trabalho.
 De fato, a tecnologia e a comunicação 
têm nos aproximado cada vez mais de pessoas, 
diminuindo distâncias, rompendo fronteiras e 
nos proporcionando momentos inesquecíveis. 
Assim, a UNINGÁ se dispõe, através do Ensino 
a Distância, a proporcionar um ensino de quali-
dade, capaz de formar cidadãos integrantes de 
uma sociedade justa, preparados para o mer-
cado de trabalho, como planejadores e líderes 
atuantes.
 Que esta nova caminhada lhes traga 
muita experiência, conhecimento e sucesso. 
Prof. Me. Ricardo Benedito de Oliveira
REITOR
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01
SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO ................................................................................................................................................................5
1. UNIDADES, DIMENSÕES E ANÁLISE DIMENSIONAL ...........................................................................................6
2. HOMOGENEIDADE DIMENSIONAL ....................................................................................................................... 10
3. DEFINIÇÃO DE FLUIDO E CONCEITOS FUNDAMENTAIS EM MECÂNICA DOS FLUIDOS ................................ 12
2. ESTÁTICA DOS FLUIDOS .........................................................................................................................................26
2.1 PRESSÃO, LEI DE STEVIN E PRINCÍPIO DE PASCAL .........................................................................................26
2.1.1. PRESSÃO .............................................................................................................................................................26
2.1.2. TEOREMA DE STEVIN ........................................................................................................................................28
2.1.3. O PRINCÍPIO DE PASCAL .................................................................................................................................. 31
2.2 MANOMETRIA E APLICAÇÕES ............................................................................................................................32
2.3 EMPUXO ................................................................................................................................................................35
CONSIDERAÇÕES BÁSICAS E ESTÁTICA 
DOS FLUIDOS
PROF. DR. RICARDO CARDOSO DE OLIVEIRA
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
MECÂNICA DOS FLUIDOS
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2.3.1. PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES ........................................................................................................................... 36
CONSIDERAÇÕES FINAIS ........................................................................................................................................... 37
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EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
INTRODUÇÃO
A mecânica dos fluidos é a ciência que analisa o comportamento dos fluidos em repouso ou 
em movimento. O conhecimento e a compreensão dessa ciência são de fundamental importância 
em muitas engenharias, meteorologia, oceanografia, hidrologia, dentre outras áreas. A mecânica 
dos fluidos é, de fato, uma disciplina muito importante e de alta tecnologia, pois, nos últimos 
50 anos, permitiu o desenvolvimento de muitos campos da Engenharia, bem como fora dela. 
Os engenheiros usam a mecânica dos fluidos para o projeto de bombas, compressores, turbinas, 
sistemas de processos, equipamentos de resfriamento e calefação, projeto de turbinas eólicas e 
projeto de dispositivos de aquecimento solar.
A mecânica dos fluidos se divide em três áreas: a hidrostática, que estuda as forças que 
atuam em um fluido em repouso; a cinemática dos fluidos, que estuda a geometria do movimento 
do fluido; e a dinâmica dos fluidos, que estuda as forças que causam a aceleração do fluido.
Nesta primeira unidade, discutiremos os conceitos básicos em mecânica dos fluidos, 
assim como os principais conceitos em estática dos fluidos. Nessa seara, nossos objetivos nesta 
unidade são: definir fluido; definir e aplicar algumas propriedades importantes, como massa 
específica, peso específico, tensão superficial e viscosidade; apresentar as diversas formas de se 
medir pressão; medir pressão em fluidos estáticos; e calcular forças hidrostáticas.
Convido você para efetuar uma leitura minuciosa desta unidade e, em seguida, resolver 
os exercícios propostos. Seja bem-vindo e bons estudos!
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1. UNIDADES, DIMENSÕES E ANÁLISE DIMENSIONAL
Uma grandeza física é uma propriedade de um corpo ou particularidade de um fenômeno, 
passível de ser medida e à qual ainda se pode atribuir um valor numérico. A medição de uma 
grandeza pode ser efetuada por comparação direta com um padrão ou com um aparelho de 
medida (medição direta), além de poder ser calculada por meio de uma expressão conhecida, à 
custa das medições de outras grandezas (medição indireta). 
Uma dimensão é uma medida de uma grandeza física (sem os valores numéricos), e a 
unidade é uma forma de atribuir um número a essa dimensão. A Tabela 1 apresenta as dimensões 
primárias (ou dimensões fundamentais).
Dimensão Símbolo Unidades SI Unidade inglesa
Massa M kg (quilograma) lb (libra)
Comprimento L m (metro) ft (pé)
Tempo T s (segundo) s (segundo)
Temperatura k (kelvin) R (rankine)
Corrente elétrica I A (ampére) A (ampére)
Quantidade de luz C cd (candela) cd (candela)
Quantidade de matéria N mol mol
Tabela 1 – As dimensões primárias e suas unidades. Fonte: O autor.
Exemplo 1
A velocidade (V) de um objeto é dada pela razão entre o deslocamento do objeto em 
determinado tempo. Pode ser considerada a grandeza que mede o quão rápido o objeto 
se desloca. Usando colchetes [ ] para denotar “a dimensão de”, a dimensão da grandeza 
velocidade é Já a aceleração (a) é a grandeza que determina a variação da 
velocidade em relação ao tempo. Em outras palavras, ela indica o aumento ou a diminuição 
da velocidade com o passar do tempo. Assim, a dimensão da grandeza aceleração é 
Exemplo 2
Considere a Segunda Lei de Newton, que diz . Assim, temos que a grandeza força 
tem dimensão de .
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EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Exemplo 3
O termo pressão é utilizado em diversas áreas da ciência como uma grandeza escalar que 
mensura a ação de uma ou mais forças sobre um determinado espaço, podendo este ser 
líquido, gasoso ou, até mesmo, sólido. A pressão é uma propriedade intrínseca a qualquer 
sistema. Para problemas que envolvem gases e sólidos, a expressão matemática utilizada 
para expressar pressão é dada por , em que F é a força normal, e A é a área.Assim, 
temos que a grandeza pressão tem dimensão de . 
Exemplo 4
Em Engenharia, energia é um conceito extremamente importante e representa a capacidade 
de produzir trabalho. Esse conceito é também usado em outras áreas científicas, como 
a biologia, a física e a química. Energia potencial é a energia que pode ser armazenada 
em um sistema físico e tem a capacidade de ser transformada em energia cinética. A 
energia potencial é a energia que corresponde ao trabalho que a força peso realiza. A 
energia potencial pode ser equacionada como , em que m é a massa do 
corpo, g é a aceleração gravitacional e h é a altura em que se encontra o objeto de massa 
m em relação a um nível de referência. Dessa forma, a dimensão de energia potencial é 
 Por outro lado, a energia cinética é a forma de energia que 
os corpos em movimento possuem e é proporcional à massa e à velocidade da partícula 
que se move. A energia cinética é equacionada como , em que m é a massa 
do objeto, V a velocidade e é uma constante adimensional. Dessa forma, a dimensão de 
energia cinética é Observe que tanto a energia potencial 
como a energia cinética apresentam a mesma dimensão – o que já era de se esperar, pois se 
trata da mesma grandeza física.
Exemplo 5
(ITA) Certa grandeza física A é definida como o produto da variação de energia de uma 
partícula pelo intervalo de tempo em que esta variação ocorre. Outra grandeza, B, é o 
produto da quantidade de movimento da partícula pela distância percorrida. A combinação 
que resulta em uma grandeza adimensional é 
(A) AB (B) A/B (C) A/B2 (D) A2/B (E) A2B 
Solução: Segue do enunciado que A = ∆E.∆t, em que ∆E é a variação de energia e ∆t é 
a variação do tempo. Por outro lado, temos que B = Q.d, em que Q é a quantidade de 
movimento e d é a distância percorrida. Assim, a dimensão da grandeza A é [A] = M.L2.T–
2.T = M.L2.T–1 e a da grandeza B é [B] = M.L.T–1.L = M.L2.T–1. Como [A] = [B], segue que a 
razão entre as grandezas A e B resulta em uma grandeza adimensional.
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Exemplo 6
(ITA) Considere um corpo esférico de raio R totalmente envolvido por um fluido com 
velocidade média V. De acordo com a lei de Stokes, para baixas velocidades, esse corpo 
sofrerá a ação de uma força de arrasto viscoso dado pela equação , em que é 
uma constante adimensional e é uma propriedade do fluido. A dimensão de é
(A) (B) (C) (D) (E)
Solução: Do enunciado, segue que , em que F é força (cuja dimensão é 
); R é o raio (cuja dimensão é L); V é a velocidade (cuja dimensão é 
) e é a grandeza cuja dimensão se deseja avaliar. Assim,
Ou seja, a dimensão da grandeza é , e responde à questão a alternativa (E).
O conhecimento acerca das dimensões e unidades de algumas grandezas físicas 
ajuda e muito no entendimento de algumas grandezas físicas. Na tabela a seguir, 
são apresentadas algumas grandezas físicas, suas dimensões e unidades no SI e 
no sistema inglês de unidades.
Grandeza Dimensão Unidades SI Unidades inglesas
Área L2 m2 ft2
Volume L3 m3 ft3
Velocidade L T-1 m s-1 ft s-1
Aceleração L T-2 m s-2 ft s-2
Força M L T-2 kg m s-2 lb ft s-2
Pressão M L2 T-2 kg m2 s-2 lb ft2 s-2
Tensão M L2 T-2 kg m2 s-2 lb ft2 s-2
Massa específica M L3 kg m-3 lb ft-3
Viscosidade M L-1 T-1 kg m-1 s-1 lb ft-1 s-1
Energia M L2 T2 kg m2 s-2 lb ft2 s-2
Trabalho M L2 T2 kg m2 s-2 lb ft2 s-2
Potência M L2 T3 kg m2 s-3 lb ft2 s-3
Vazão volumétrica L3 T-1 m3 s-1 ft3 s-1
Vazão mássica M T-1 kg s-1 lb s-1
Tabela 2 - Grandezas físicas: dimensões e unidades. Fonte: O autor.
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Exemplo 7
(CESGRANRIO) O Sistema Internacional de Unidades (SI) é o padrão de medidas 
recomendado pela Conferência Geral de Pesos e Medidas, sendo, atualmente, o mais 
utilizado no Brasil e no mundo. São unidades do Sistema Internacional:
(A) metro, quilograma, segundo e kelvin.
(B) metro, quilograma, hora e Celsius.
(C) metro, grama, minuto e Celsius.
(D) milha, libra, segundo e fahrenheit.
(E) jarda, quilograma, hora e fahrenheit.
Solução: Da Tabela 1, depreende-se que são unidades do SI o metro, quilograma, segundo 
e kelvin, os quais, por sua vez, são unidades das grandezas comprimento, massa, tempo e 
temperatura, respectivamente. Logo, responde à questão a alternativa (A).
Exemplo 8
(CESGRANRIO) A unidade do Sistema Internacional (SI) para medidas de pressão 
corresponde a:
(A) kgf/m2
(B) (kg.m/s2)/m2
(C) (kgf.m/s2)/m2
(D) (kg.m2)/(m/s2)
(E) (kgf.m2)/(m/s2)
Solução: No exemplo 3, vimos que a dimensão de pressão é . Assim, a 
unidade de pressão no SI é . Assim, responde à questão a alternativa (B).
Algumas unidades recebem nomes especiais, a saber: 1 kg m-1 s-2=1 Pa (lê-se: 1 
Pascal); 1 M L2 T-2=1 J (lê-se: 1 Joule); 1 M L2 T-3 =1 W (lê-se: 1 Watt).
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Exemplo 9
No século XIX, Osborne Reynolds estudou a transição entre os regimes laminar e turbulento 
em um tubo. O parâmetro que determinou o regime de escoamento, mais tarde, recebeu 
o nome de número de Reynolds, indicado por Re. O número de Reynolds é definido por:
em que é a massa específica do fluido, V é a velocidade de escoamento, D é o diâmetro do 
tubo, e a viscosidade. Com base nessas informações, prove que o número de Reynolds é 
adimensional.
Solução: Do enunciado, segue que . Assim,
Logo, o número de Reynolds é adimensional.
2. HOMOGENEIDADE DIMENSIONAL 
Todos conhecemos a expressão: “não podemos somar três maçãs com duas melancias”. 
Isso porque se trata de coisas distintas. Na verdade, é uma expressão simplificada de uma lei 
matemática mais fundamental e global – a lei da homogeneidade dimensional, enunciada como:
Todo termo aditivo de uma equação deve ter as mesmas dimensões.
 
Todas as equações teóricas, em qualquer ciência física, são dimensionalmente homogêneas. 
Analisemos os casos seguintes:
Eq. (01)
Eq. (02)
em que as unidades de V e Vo (m/s), g (m/s
2) e t (s). Vejamos, primeiramente, para a 
equação (01), segue que: [ . Agora, 
para a equação (02), segue que: [ . Note que a equação (01) 
é dimensionalmente consistente, enquanto que (02) não o é.
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Exemplo 10
A equação de Bernoulli é, provavelmente, a equação mais discutida e utilizada em Mecânica 
dos Fluidos. Essa equação, para um escoamento irrotacional de um fluido incompressível, 
é dada por: , tal que P é a pressão, é a massa específica, g a 
aceleração da gravidade, V a velocidade e z a cota referente à altura em relação à horizontal. 
Analisemos as dimensões de cada termo aditivo da equação de Bernoulli. Assim,
Como a dimensão de cada termo aditivo da equação de Bernoulli é a mesma, e igual a 
L, segue que essa equação segue o princípio da homogeneidade dimensional. Caso as 
dimensões de qualquer um dos termos fossem diferentes das outras, isso indicaria que um 
erro foi cometido em alguma parte da análise.
Para serem dimensionalmente homogêneos, os termos de uma equação devem 
ter a mesma unidade. 
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Exemplo 11
Uma importante equação na teoria das vibrações é
em que m é a massa, e x é a posição no instante t. Para uma equação dimensionalmente 
consistente, determine as dimensões de c, k e 
Solução: Sabemos que é a derivada segunda da posição em relação ao tempo, ou seja, é a 
aceleração. Sabemos também que é a derivada primeira da posição em relação ao tempo, 
ou seja, é a velocidade. Assim, o termo tem dimensão de , ou seja, 
tem dimensão de força. Assim, os termos e deverão ter dimensão de força para que 
a equação diferencial dada tenha consistência dimensional. Daí,
Portanto, as dimensões de c, k e f(t) são, respectivamente, e 
3. DEFINIÇÃO DE FLUIDOE CONCEITOS 
FUNDAMENTAIS EM MECÂNICA DOS FLUIDOS
Em Física, estuda-se que a matéria existe em três estados fundamentais: sólido, líquido 
e gasoso. Uma substância que se encontra no estado líquido ou gasoso é denominada fluido, e 
o que distingue um sólido de um fluido é a capacidade de a substância resistir à aplicação de 
uma tensão de cisalhamento. Dessa forma, um sólido é toda substância que resiste à tensão de 
cisalhamento aplicada nele e que se deforma. Por outro lado, um fluido é toda substância que, ao 
ser submetida a uma tensão de cisalhamento, deformar-se-á continuamente, independentemente 
da magnitude do valor da tensão de cisalhamento.
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Sabemos que toda matéria é constituída de átomos, os quais, segundo alguns modelos 
atômicos, são constituídos por núcleo e eletrosfera. Daí, de acordo com essas considerações, a 
matéria é amplamente espaçada, em particular no estado gasoso. No entanto, para facilitar nosso 
estudo em Mecânica dos Fluidos, assumiremos que a matéria é um meio contínuo e homogêneo. 
E, a partir daí, podemos definir algumas propriedades dos fluidos.
A massa específica do fluido é a massa do fluido por unidade de volume 
Assim,
Eq. (03)
A análise das dimensões dessa grandeza nos permite afirmar que as possíveis unidades 
são: , , etc.
O volume específico do fluido é o volume do fluido ocupado por unidade de 
massa Assim,
Eq. (04)
A análise das dimensões dessa grandeza nos permite afirmar que as possíveis unidades 
são: , , etc.
O peso específico do fluido é o produto da massa específica com a aceleração 
gravitacional Assim,
Eq. (05)
Considere que uma força de intensidade F seja aplicada sobre uma superfície 
cuja área é A, como indicado na Figura 1. Essa força pode ser decomposta de 
acordo com a direção normal à superfície e da tangente, dando origem a uma 
componente normal (FN) e outra tangencial (Ft), como ilustrado na figura a seguir.
Figura 1 – Decomposição do vetor força. Fonte: O autor.
Dessa maneira, a pressão é o resultado do quociente entre a força normal (FN) e a 
área A onde é aplicada. Por outro lado, a tensão de cisalhamento é o resultado do 
quociente entre a força tangencial (Ft) e a área A onde é aplicada. 
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com . A análise das dimensões dessa grandeza nos permite afirmar que as 
possíveis unidades: etc.
A densidade do fluido é a razão do valor da massa específica do fluido com o 
valor da massa específica de um fluido padrão. O fluido padrão para líquidos é a água e, para 
gases, é o ar. Assim,
Eq. (06)
A análise das dimensões dessa grandeza nos permite afirmar que essa grandeza é 
adimensional.
Exemplo 12
Um recipiente de 7,5 m3 é parcialmente preenchido com 900 kg de um líquido cuja massa 
específica é 2.400 kg/m3. O restante do volume do recipiente contém gás com massa 
específica igual a 3,6 kg/m3. Nessa situação, determine a massa de gás, em kg, no interior 
do recipiente.
Solução: Do enunciado, depreende-se que parte do recipiente está preenchida com líquido, 
e a outra parte, com gás. Assim, pela Eq. (01), podemos determinar o volume do líquido 
contido no interior do recipiente, ou seja,
Como o volume do recipiente é 7,5 m3, segue que o volume de gás é igual a 
 Aplicando-se, novamente, a Eq. (01), determina-se o valor da 
massa de gás no interior do tanque. Assim, 
Portanto, a massa de gás no interior do recipiente é igual a 25,65 kg.
Há que se ter cuidado com a nomenclatura estabelecida nesta apostila. O que 
é, normalmente, definido nos livros de Física como “densidade” é, aqui, definido 
como “massa específica”, vez que “densidade” é uma medida relativa.
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Exemplo 13
Dois líquidos X e Y possuem massas específicas a 25°C de 1000 kg/m3 e 1200 kg/m3, 
respectivamente. Em um tanque mantido à temperatura constante de 25°C, serão misturados 
160 m3 do líquido X com 240 m3 do líquido Y. Se os líquidos formarem uma mistura ideal, 
determine a massa específica média da mistura a 25°C, em kg/m3.
Solução: Do enunciado, depreende-se que, para o líquido X, 1000 kg/m3 e V = 160 
m3. Já para o líquido Y, 1200 kg/m3 e V = 240 m3. Como a mistura é ideal, segue que 
o volume final da mistura é igual à soma dos volumes dos líquidos X e Y, ou seja, 400 m3. 
Aplicando-se a Eq. (01), determinamos a massa dos líquidos X e Y na mistura. Assim,
A massa total da mistura é igual a 448.000 kg, e a massa específica da mistura é determinada 
aplicando-se a Eq. (01). Assim,
Logo, a massa específica da mistura é igual a 
A viscosidade do fluido é a propriedade que mede sua resistência em escoar. Para se 
obter uma equação para a viscosidade, considere que uma camada fluida seja colocada entre duas 
placas planas, paralelas e infinitas. Considere, ainda, que as placas estejam separadas por uma 
distância . No instante t = 0, considere que uma força F, constante e tangencial, seja aplicada sobre 
a placa superior, enquanto que a placa inferior permanece parada. Após um tempo, verifica-se 
que a placa superior se move continuamente sob a influência da força F, com velocidade constante 
V, tal como apresentado na Figura 2. Lembre-se de que essa força F horizontal está sendo aplicada 
sobre uma área A da placa. A razão entre F e A é denominada tensão de cisalhamento .
Figura 2 - Comportamento de um fluido entre placas quando a placa superior está em movimento. Fonte: O autor.
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O fluido em contato com a placa superior prende-se à superfície da placa e passa a 
deslocar-se com ela na mesma velocidade V. Aqui, temos a atuação da tensão de cisalhamento 
 agindo sobre a camada fluida. Por outro lado, o fluido que está aderido à placa inferior 
assume a velocidade dessa placa; logo, a velocidade é nula, porque a placa está parada. Assim, 
para um escoamento laminar e estacionário, temos entre as duas placas a criação do gradiente de 
velocidade, denotado por . O fato está ilustrado na Figura 3.
Figura 3 – Criação do gradiente de velocidade devido ao escoamento de um fluido entre placas quando a placa su-
perior está em movimento. Fonte: O autor.
Os fluidos para os quais o gradiente de velocidade criado é proporcional ao cisalhamento 
aplicado são denominados fluidos newtonianos. A constante de proporcionalidade entre essas 
grandezas é denominada viscosidade. Dessa forma, os fluidos newtonianos seguem a Lei de 
Newton da Viscosidade, que é escrita como
 
Eq. (07)
em que é a tensão de cisalhamento, é o gradiente de velocidade ou taxa de deformação, 
e é a viscosidade. A análise das dimensões da grandeza viscosidade nos permite afirmar as 
possíveis unidades: etc.
A maior parte dos fluidos comuns (como água, ar, gasolina e óleo) são fluidos newtonianos. 
Creme dental, piche, tintas e soluções de amido são exemplos de fluidos que não seguem a lei de 
Newton da viscosidade, sendo denominados fluidos não newtonianos. 
Para os fluidos newtonianos, há uma relação linear entre a tensão de cisalhamento e a 
taxa de deformação; para os fluidos não newtonianos, a relação é não linear, como pode ser 
observado na Figura 4.
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Figura 4 – Fluidos newtonianos e não newtonianos. Fonte: O autor.
Os fluidos não newtonianos apresentam viscosidade aparente . Os fluidos 
pseudoplásticos são aqueles para os quais os valores da viscosidade aparente diminuem à medida 
que se aumenta a taxa de deformação. São exemplos de fluidos pseudoplásticos as soluções com 
partículas em suspensão e as soluções poliméricas. Os fluidos dilatantes têm os valores da 
viscosidade aparente aumentados à medida que se aumenta a taxa de deformação. São exemplos 
de fluidos dilatantes aareia em suspensão e a solução de amido. Existem fluidos, como o creme 
dental, que, inicialmente, resistem a baixos valores de taxa de cisalhamento (e se comportam 
como sólidos, inicialmente), mas que, ao excederem um valor limite de tensão, passam a escoar 
como um fluido. Esse tipo de fluido é denominado plástico de Bingham.
A viscosidade em líquidos e gases é fortemente afetada pela temperatura. Em líquidos, 
o aumento da temperatura ocasiona diminuição no valor da viscosidade. Isso se deve ao fato de 
que, em líquidos, a viscosidade é causada pela coesão entre as moléculas e, à medida que se tem 
a temperatura aumentada, há distanciamento entre as moléculas, o que, por sua vez, diminui a 
coesão e, por consequência, há diminuição no valor da viscosidade. Já nos gases, a viscosidade 
é causada pelos choques entre as moléculas gasosas. Dessa maneira, o aumento na temperatura 
ocasionará aumento no número de colisões entre as moléculas, o que, consequentemente, 
aumentará o valor da viscosidade. 
A viscosidade cinemática do fluido é a razão entre os valores da viscosidade absoluta 
do fluido e sua massa específica. Assim,
Eq. (08)
A análise das dimensões dessa grandeza nos permite afirmar que as possíveis unidades 
são: etc.
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Exemplo 14
Um experimento consiste em um sistema de duas placas. Uma está imóvel (v1 = 0); a outra 
é puxada com uma força horizontal por unidade de área igual a 15 Pa, como ilustrado na 
Figura 5.
Figura 5 – Representação do exercício. Fonte: O autor.
Um fluido viscoso ocupa o espaço entre as duas placas que se situam a D = 15 mm uma da 
outra. Devido à viscosidade do fluido, a placa de cima se move paralelamente à primeira, 
com v2 = 300 cm/s. Determine a viscosidade absoluta do fluido.
Solução: Admitindo que o fluido em apreço seja newtoniano, podemos usar a Eq. (05) e 
determinar o valor da viscosidade absoluta desse fluido. Note que a referida equação é, na 
verdade, uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, que pode ser resolvida por 
separação de variáveis. Assim, 
Viscosidade absoluta, viscosidade aparente e viscosidade cinemática?! E agora, 
professor?? A viscosidade é a propriedade inerente ao fluido, segundo a qual ele 
oferece resistência ao cisalhamento; isto é, trata-se da medida da resistência 
do fluido à fluência quando, sobre ele, atua uma força exterior. Dessa maneira, 
não se pode confundir viscosidade absoluta, viscosidade aparente e viscosidade 
cinemática. A viscosidade absoluta (ou dinâmica) é a viscosidade apresentada 
por fluidos que seguem a Lei de Newton da Viscosidade (fluidos Newtonianos) 
e é constante, independentemente dos valores da tensão de cisalhamento e da 
taxa de deformação às quais o fluido está submetido. Por outro lado, os fluidos 
não newtonianos (aqueles que não seguem a Lei de Newton da Viscosidade) 
apresentam viscosidade aparente, cujo valor varia de acordo com a tensão de 
cisalhamento e com a taxa de deformação às quais esse fluido está submetido. 
Por fim, a viscosidade cinemática é a razão entre o valor da viscosidade (absoluta 
ou aparente) e a massa específica do fluido.
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Resolvendo-se as integrais anteriores, resulta que
Dessa forma, a viscosidade do fluido pode ser calculada por meio da equação
Como e substituindo na equação anterior, temos que a viscosidade de um fluido 
newtoniano pode ser determinada por meio da equação
Do enunciado, depreende-se que , D = 15 mm = 0,015 m e V = 300 cm/s = 
3 m/s. Substituindo, temos
Logo, o valor da viscosidade absoluta do fluido é igual a 0,075 Pa.s.
Exemplo 15
Na Figura 6, observa-se uma placa quadrada cuja área da base é 2 m2 e massa de 2 kg, que 
desliza sobre uma lâmina de óleo depositada sobre um plano inclinado em 30º em relação à 
horizontal. A viscosidade desse óleo é 0,4 Pa.s, e a espessura da lâmina é de 10mm. Admita 
que a lâmina de óleo não escorra pelo plano inclinado, que o escoamento entre a placa 
e o plano seja laminar e que a aceleração da gravidade local seja igual a 10 m/s2. Nessas 
condições, determine a velocidade terminal da placa escoando pelo plano inclinado.
A decomposição de forças em um plano inclinado é de grande 
importância para entendermos alguns fenômenos; além disso, isso 
nos auxiliará na resolução do próximo exemplo. Assista ao vídeo 
Dinâmica - entendendo o plano inclinado antes de passar para o 
próximo exemplo. O link de acesso é 
https://www.youtube.com/watch?v=99uVkglDDn0.
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Figura 6 – Representação do exercício. Fonte: O autor.
Solução: Como o fluido em apreço é óleo, que é fluido Newtoniano, a Eq. (05) pode ser 
empregada. No exemplo 3, já resolvemos essa equação diferencial e escrevemos a equação 
para determinar o valor da viscosidade. Agora, vamos reescrever a equação do exemplo 3 
para determinar a velocidade, ou seja,
que pode ser reescrita como
em que é a espessura da camada de óleo. Do enunciado, temos que 
; . A força que atua nesse sistema é a força peso, ou seja, 
. No entanto, devemos considerar apenas a componente da força que 
atua paralelamente ao escoamento. Assim, efetuando-se a decomposição dessa força, resulta 
que a força paralela ao escoamento será Assim, a velocidade 
terminal da placa é
Logo, a velocidade terminal da placa é igual a 0,125 m/s.
 
Exemplo 16
A placa da Figura 7 está apoiada no topo de um filme fino de água, que está a 25ºC. Quando 
uma força F é aplicada, o perfil de velocidade através da espessura de fluido é descrito por 
em que V está em m s, e y em m. Nessa situação, considerando que o fluido em escoamento 
seja newtoniano, de viscosidade cinemática e massa específica 1000 , 
determine:
A) o valor do módulo da tensão de cisalhamento no ponto localizado sobre a superfície 
fixa.
B) o valor do módulo da tensão de cisalhamento no ponto localizado sobre a placa móvel.
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Figura 7 – Representação do exercício. Fonte: O autor.
Solução: Por hipótese, o fluido em escoamento é newtoniano e, dessa maneira, podemos 
aplicar a lei de Newton da viscosidade – Eq. (05). Assim,
Note que a taxa de deformação – – é a derivada do perfil de velocidade em relação ao 
raio, isto é, 
Assim, a expressão que calcula o valor em módulo da tensão de cisalhamento é dada por:
Como segue que 
Do enunciado, depreende-se que substituindo na 
equação anterior, segue que
Logo, o valor do módulo da tensão de cisalhamento na superfície fixa (y = 0) é
Temos, ainda, que a tensão de cisalhamento em um ponto localizado sobre a placa móvel 
(y = 15 mm = 0,015 m) é 
 
Note que o maior valor de tensão de cisalhamento se desenvolveu sobre a superfície fixa, e 
não sobre a superfície móvel, pois o gradiente de velocidade é máximo na superfície fixa.
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O líquido mantém sua forma devido à atração de suas moléculas por forças de coesão, 
que é um tipo de força que faz com que os líquidos resistam à tensão por tração e, dessa forma, 
criam uma tensão superficial. 
O fenômeno da tensão superficial é explicado quando observamos as forças coesivas que 
atuam em moléculas de líquidos. Na Figura 8, observe que uma molécula localizada profundamente 
em um meio líquido possui forças coesivas atuando em todo o seu redor; como consequência, a 
força resultante que atua sobre ela é nula. Por outro lado, uma molécula localizada na superfície 
do meio líquido possui forças de coesão vindas de moléculas que estão abaixo dela e, também, de 
moléculas vizinhas. Na superfície livre, não há forças de coesão e, por conseguinte, teremos uma 
força resultante para baixo, que tentará puxar a superfície para baixo. 
Figura 8 – Tensãosuperficial em moléculas. Fonte: Hibbeler (2016).
O estudo reológico de diversas substâncias tem sido o foco de pesquisa de alguns 
pesquisadores. O estudo reológico nada mais é do que o estudo do comportamento 
da viscosidade de fluidos. Assim, ficam como indicação de leitura os artigos 
científicos a seguir:
- OLIVEIRA, R. C. de et al. Extraction of passion fruit seed oil using supercritical CO²: 
a study of mass transfer and rheological property by Bayesian inference. Grasas 
y Aceites, Sevilla, v. 64, n. 4, 2013. Disponível em: http://grasasyaceites.revistas.
csic.es/index.php/grasasyaceites/article/view/1446/1448.
- OLIVEIRA, R. C. de; ROSSI, R. M.; BARROS, S. T. D. Estudo reológico da polpa 
de morango (Fragaria vesca) em diferentes temperaturas. Acta Scientarium, 
Maringá, v. 34, n. 3, 2012. Disponível em: https://pdfs.semanticscholar.org/c408/
e173784f30dd5948be3d00b4a84a18297bf3.pdf.
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A separação das moléculas da superfície exige uma força de tração. Essa força de tração 
que surge na superfície gera uma tensão que atua no sentido paralelo à superfície e ocorre devido 
às forças atrativas entre as moléculas desse líquido, como apresentado na Figura 9. Essa força 
de tração por unidade de comprimento é denominada tensão superficial e é, em geral, 
expressa em N/m ou lbf/ft. O valor numérico dessa grandeza, em geral, depende da temperatura 
do líquido. 
Figura 9 – Tensão superficial na superfície livre. Fonte: Hibbeler (2016).
A tensão superficial em líquidos muda consideravelmente conforme o valor da 
temperatura. Para água a 0ºC, seu valor é 0,076 N/m e, para água a 300ºC, seu valor é 0,014 N/m. 
Isso ocorre, porque, quanto maior a temperatura, maior o grau de agitação dessas moléculas e, 
portanto, menor a tensão superficial. A tensão superficial também muda conforme a pureza do 
material. 
Para diminuir o valor da tensão superficial de líquidos, certos produtos químicos são 
adicionados, visando à redução dessa tensão superficial. Essas substâncias adicionadas são 
denominadas de agentes tensoativos. Por exemplo, sabões e detergentes diminuem a tensão 
superficial da água e permitem que ela entre em pequenas aberturas com vistas à lavagem mais 
eficiente de roupas. 
Separar as moléculas e quebrar a tensão superficial de um líquido exige trabalho, e a 
energia produzida por esse trabalho é chamada de energia de superfície livre.
O método da gota pendente (Figura 10) é bastante utilizado para se determinar 
a tensão superficial de materiais. O método da gota pendente baseia-se na 
determinação do perfil de uma gota pendente em ar em equilíbrio mecânico, como 
ilustrado pela figura a seguir.
Figura 10 – O método da gota para determinação da tensão superficial. Fonte: O autor.
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A coesão também é responsável pela formação de gotas líquidas que se formam quando 
um líquido é borrifado. Essas forças de coesão tendem a minimizar o formato de qualquer gota 
líquida, reduzindo a gota ao formato esférico. A diferença de pressão entre as partes interna e 
externa dessa gotícula é calculada por meio da equação:
Eq. (09)
em que R é o raio da gotícula. 
Outra consequência da tensão superficial é o efeito capilar, que é a ascensão ou depressão 
de um líquido em um tubo de pequeno diâmetro imerso em líquido. Esses tubos finos são 
denominados de capilares, e a superfície livre curva de um líquido em um capilar é denominada 
menisco, como ilustrado pelas Figuras 11 e 12. A capilaridade depende das forças de coesão e 
adesão.
 
O valor da ascensão capilar (h) é calculado por meio da equação:
Eq. (10)
em que é a massa específica do fluido; g a aceleração gravitacional; R é o raio do capilar 
e é o ângulo de contato, definido como o ângulo que a tangente à superfície do líquido faz com 
a superfície sólida no ponto de contato.
O mercúrio é um líquido não umectante, ou seja, as forças de adesão das 
moléculas da superfície são menores que as forças de coesão, e seu menisco 
será convexo. Por outro lado, a água é um líquido umectante, ou seja, as forças de 
adesão das moléculas da superfície são maiores que as forças de coesão, e seu 
menisco será côncavo. 
Figura 11 – Líquido umectante e não umectante. Fonte: Hibbeler (2016).
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Figura 12 – Ascensão capilar. Fonte: Adaptado de Hibbeler (2016).
Exemplo 17
Devido à tensão superficial do líquido de massa específica r, o líquido sobe dentro dos tubos 
1 e 2, como mostrado na figura a seguir. Sabe-se que , com base nessas informações 
determine .
Figura 13 – Representação do exercício. Fonte: O autor.
Solução: Temos a ascensão capilar de um mesmo líquido em capilares de diferentes 
diâmetros. Assim, as grandezas , e são idênticas nos dois capilares. Logo, as ascensões 
capilares nos tubos são
e,
Logo, 
Portanto, 
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2. ESTÁTICA DOS FLUIDOS
2.1 Pressão, Lei de Stevin e Princípio de Pascal
2.1.1. Pressão
 
As forças aplicadas em corpos rígidos por fluidos, tanto em repouso quanto em movimento, 
são situações estudadas em Estática dos Fluidos, e a propriedade do fluido responsável por tal 
fenômeno é denominada pressão, que nada mais é do que a força normal aplicada por um fluido 
por unidade de área. Pressão é um termo empregado quando discorremos sobre líquidos e gases 
(fluidos), ao passo que o termo equivalente para os sólidos é tensão normal.
Eq. (11)
A grandeza pressão tem como unidades: Pa, bar, atmosfera padrão (atm), mm de Hg, psi, 
dentre outras. 
Uma das áreas de materiais que mais tem despertado a atenção no 
mundo é a que inclui as chamadas blendas poliméricas. A tensão 
interfacial é o parâmetro chave no controle da compatibilidade 
entre os constituintes de uma mistura de polímeros. No artigo 
Comparação entre o Método da Gota Pendente e o Método da 
Gota Girante para Medida da Tensão Interfacial entre Polímeros, 
um estudo comparativo entre métodos diferentes é realizado para determinação 
da tensão interfacial entre polímeros. As autoras são Nicole R. Demarquette, da 
Escola Politécnica da Universidade de São Paulo - Departamento de Engenharia 
Metalúrgica e de Materiais, e Musa R. Kamal, da McGill University, Chemical 
Engineering Department. O artigo está disponível em 
http://www.scielo.br/pdf/po/v7n3/8889.pdf.
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A pressão em uma dada posição é denominada pressão absoluta e é medida em relação 
ao vácuo absoluto. No entanto, a maioria dos dispositivos medidores de pressão é calibrada 
para efetuar a leitura do zero na pressão atmosférica. Essa pressão é denominada de pressão 
manométrica, como pode ser observado na Figura 15. Na Figura 16, são apresentados alguns 
manômetros industriais. Assim,
Eq. (12)
Figura 15 – Pressão absoluta e pressão manométrica. Fonte: O autor.
Figura 16 – Manômetros industriais. Fonte: O autor. 
Observe a charge da Figura 14 e note que pressão e área são grandezas 
inversamente proporcionais.
 
Figura 14 – A relação de proporcionalidade entre pressão e área. Fonte: O autor.
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A pressão é uma grandeza escalar, isto é, ela tem uma intensidade, e não uma direção 
específica. Dessa forma, a pressão, em qualquer ponto de um fluido, é igual em todas as direções. 
A magnitude do valor da pressão em fluidos aumenta com o aumento do valor da profundidade. 
Esse fato é apresentado pelo Teorema de Stevin.
2.1.2. Teorema de Stevin
O valor da diferença de pressão entre dois pontos, em um fluido em repouso, é igual ao 
produto do peso específico desse fluido pela diferença de altura entre esses dois pontos.
Escrevendoo Teorema de Stevin como uma equação, temos
 Eq. (13)
em que é a diferença de altura entre dois pontos. Segundo Brunetti (2008), o Teorema 
de Stevin tem como consequências:
I. na diferença de pressão entre dois pontos, não interessa a distância entre eles, mas a 
diferença de cotas.
II. a pressão dos pontos em um mesmo plano ou nível horizontal é a mesma.
III. o formato do recipiente não é importante para o cálculo da pressão em algum ponto 
(princípio dos vasos comunicantes).
IV. em gases, como o peso específico é pequeno, se a diferença de cota entre dois pontos 
não é muito grande, pode-se desprezar a diferença de pressão entre eles.
Os vasos comunicantes são recipientes geralmente em formato de U, empregados 
na análise das relações entre as massas específicas de líquidos imiscíveis e na 
execução de estudos sobre a pressão exercida por colunas de líquidos. A Figura 
17 apresenta um vaso comunicante preenchido com água com corante.
Figura 17 – Os vasos comunicantes. Fonte: O autor.
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Exemplo 18
Um tanque cilíndrico é preenchido por um óleo cuja massa específica é igual a 2500 kg/m3. 
O óleo ocupa o tanque até a altura de 5 m, sendo que, na superfície do óleo, a pressão é a 
atmosférica, que foi estimada em 105 Pa. Determine a pressão absoluta na base do tanque, 
em kPa.
Solução: Da Eq. (08), segue que a pressão absoluta é a soma da pressão atmosférica, que 
no enunciado é dita ser 105 N/m2, com a pressão hidrostática, que é calculada pela Lei de 
Stevin. Assim, a pressão hidrostática é
Logo, a pressão absoluta no fundo do tanque é
Exemplo 19
A pressão absoluta medida em um ponto no fundo do oceano Atlântico foi de 100 atm. 
Sabe-se que: (i) a pressão atmosférica local equivale a 1 atm = 105 Pa; (ii) a massa específica 
da água do mar vale 1,05 x 103 kg/m3 e (iii) a aceleração da gravidade local é de 9,8 m/s2. 
Determine a profundidade, em relação ao nível do mar, onde foi feita a medição da pressão.
Solução: Sabemos que a pressão absoluta é a soma da pressão manométrica (ou 
hidrostática) com a pressão atmosférica. Dessa forma, depreende-se do enunciado que a 
pressão hidrostática no fundo do oceano é igual a . Aplicando a 
lei de Stevin, podemos determinar o valor da altura na qual ocorre esse valor de pressão 
hidrostática.
Logo, a profundidade, em relação ao nível do mar era de, aproximadamente, 962,1 m.
Os vasos comunicantes são dispositivos, em geral, com formato 
em U, empregados para analisar a relação entre massa específica 
de líquidos imiscíveis e a pressão exercida por colunas de líquidos. 
O vídeo Vasos Comunicantes apresenta o que são e como funciona 
o princípio dos vasos comunicantes. O link de acesso é 
https://www.youtube.com/watch?v=ZDTyfitx4A4.
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Exemplo 20
Em uma barragem, uma comporta quadrada, de 1 m de lado, está posicionada a 2 m de 
profundidade, como ilustrado pela Figura 18.
Figura 18 – Representação do exercício. Fonte: O autor.
Sabendo que a massa específica da água é 1000 kg/m3 e a aceleração gravitacional é 10 m/
s2, determine a força que a água exerce sobre essa comporta.
Solução: Sabemos que a pressão é a razão entre a força perpendicular que atua em um 
objeto pela área de atuação da força. Pela Lei de Stevin, a pressão hidrostática é 
Observe que e não 2 m. Isso, pois temos que recordar que a pressão atuará 
no centro de gravidade da comporta, que, nesse caso, está a 2,5 m abaixo do nível da água 
na placa. Temos que a área da comporta é igual a 1 m2. Daí, a força que atua na placa é 
 Logo, a força que atua na comporta é igual a 25 kN.
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2.1.3. O Princípio de Pascal
O princípio de Pascal, enunciado no século XVII, por Blaise Pascal, enuncia que: o 
aumento da pressão exercida em um líquido em equilíbrio é transmitido integralmente a todos os 
pontos do líquido bem como às paredes do recipiente em que ele está contido.
Para ficar clara a importância desse princípio, considere um recipiente que contenha um 
líquido, em cujo interior vamos marcar pontos: A, B e C. Considere que as pressões nesses pontos 
sejam A = 20 Pa, B = 30 Pa e C = 40 Pa, como ilustrado na Figura 19 (a). Considere que um 
êmbolo ideal seja acoplado ao recipiente e que esse êmbolo tenha área de A=0,5 m2. Considere, 
também, que uma força perpendicular de 100 N seja exercida sobre o êmbolo, o que produz uma 
pressão adicional sobre o sistema de 200 Pa. O Princípio de Pascal afirma que essa pressão de 200 
Pa é, agora, transmitida a todos os pontos no interior do tanque. Assim, as pressões nos pontos A, 
B e C serão iguais a A = 220 Pa, B = 230 Pa e C = 240 Pa, como ilustrado na Figura 19 (b).
Figura 19 – Ilustração do Princípio de Pascal. Fonte: O autor.
O princípio de Pascal tem muita importância para resolver problemas de dispositivos que 
transmitem e ampliam força por meio da pressão aplicada em fluidos, como a prensa hidráulica.
Exemplo 21
Em uma oficina, um carro encontra-se suspenso por meio de uma prensa hidráulica, como 
apresentado na Figura 20. 
Figura 20 – Representação do exercício. Fonte: O autor.
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O diâmetro, D, do êmbolo maior que sustenta o carro é igual a 30 cm, enquanto que o 
diâmetro, d, do êmbolo menor é igual a 2,5 cm. Considere que o fluido interno na prensa 
seja ideal e as massas dos êmbolos, desprezíveis. Se a massa do carro suspenso no êmbolo 
de maior diâmetro é de 2000 kg, determine o da força a ser desenvolvida pelo compressor 
de ar (B) para subir o macaco (A) à velocidade constante.
Solução: Segue, do Princípio de Pascal, que a pressão exercida pelo compressor é transmitida 
igualmente a todos os pontos no interior da prensa. Dessa forma, como o sistema está em 
equilíbrio estático, escrevemos
em que P é a pressão, F a força normal e A, a área. Como a força que atua no sistema é 
o peso, que é o produto da massa do objeto com a gravidade, segue, após simplificações 
algébricas, que
em que m é a massa e d, D são diâmetros dos êmbolos menor e maior, respectivamente, e g 
é a aceleração gravitacional. Daí,
Logo, a força a ser desenvolvida pelo compressor é de 138,9 N.
2.2 Manometria e Aplicações
O manômetro é o instrumento empregado para a medição do valor da pressão. Em geral, 
esse dispositivo é constituído de um tubo em U de plástico ou vidro. A Figura 21 ilustra alguns 
exemplos de manômetros com a forma em U.
Figura 21 – Exemplos de manômetros em U. Fonte: O autor.
A técnica da medida de pressão, por meio de um manômetro em U, é denominada de 
manometria. Os fluidos que estão no interior desses manômetros são denominados fluidos 
manométricos e, em geral, são empregados mercúrio, água ou óleo, com massas específicas 
diferentes e não miscíveis com o fluido do sistema cujo valor da pressão se medirá.
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Para a determinação do valor da pressão manométrica em uma das extremidades do 
manômetro, faz-se uso da seguinte regra prática: à medida que se desce em uma coluna de fluido, 
a pressão tem seu valor aumentado e, à medida que se sobe em uma coluna de fluido, a pressão 
tem seu valor diminuído. Aplicando a regra prática, a equação obtida é denominada de equação 
manométrica. 
Exemplo 22
Considere o manômetro em U da Figura 22 e determine a equação manométrica que 
permite o cálculo da diferença de pressão entre os pontos A e B. Na figura, considere que 
, e são os pesos específicos dos fluidos 1, 2 e 3, respectivamente, e que , e 
são, respectivamente, os valores das alturas das colunas de fluidos 1, 2 e 3.
Figura 22 – Representação do exercício. Fonte: O autor.
Solução: Admita que e sejam os valores das pressões nas tubulações nospontos A e B, 
respectivamente. Para determinar a equação manométrica dessa instalação, vamos iniciar 
as tomadas das medidas das pressões das colunas de fluidos a partir do lado esquerdo. 
Assim,
• No ponto A e no ponto 1, as pressões são as mesmas (lembre-se de que para pontos onde 
o fluido é o mesmo, na mesma cota as pressões são iguais).
• Entre os pontos 1 e 2, descemos uma coluna, contendo o fluido 1, de altura h1. Logo, essa 
pressão é positiva e, pela Lei de Stevin, seu valor é calculado por meio de .
• Nos pontos 2 e 3, as pressões são idênticas.
• Entre os pontos 3 e 4, subimos uma coluna, contendo o fluido 2, de altura h2. Logo, essa 
pressão é negativa e, pela Lei de Stevin, seu valor é calculado por meio de .
• Entre os pontos 4 e 5, subimos uma coluna, contendo o fluido 3, de altura h3. Logo, essa 
pressão é positiva e, pela Lei de Stevin, seu valor é calculado por meio de .
• Nos pontos 5 e B, as pressões são as mesmas.
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Assim, juntando esses valores, temos a equação manométrica, escrita como:
Assim, a diferença de pressão entre os pontos A e B é dada por:
Exemplo 23
O sistema ilustrado na Figura 23 foi utilizado para medir a pressão do gás contido no 
interior de um botijão de gás doméstico. O fluido manométrico é o mercúrio (Hg), cuja 
massa específica é 13600 kg.m–3.
Figura 23 – Representação do exercício. Fonte: O autor.
Sabendo-se que, no local, a aceleração da gravidade é 10 m.s–2 e a pressão atmosférica é 8,00 
x 104 Pa, determine o valor da pressão exercida pelo gás, em Pa.
Solução: Admita que seja o valor da pressão no interior do botijão. Assim, escrevemos a 
equação manométrica para o sistema da seguinte maneira:
Logo, a pressão absoluta no interior no botijão é igual a 134,4 kPa. Caso queiramos 
determinar apenas a pressão hidrostática, fazemo-lo na equação manométrica anterior 
 Assim, a pressão manométrica correspondente é 
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Exemplo 24
No manômetro ilustrado na Figura 24, instalado em uma aula prática de mecânica dos 
fluidos, o fluido manométrico é o mercúrio, de massa específica 13,6 g/cm3. Há água, de 
massa específica 1,00 g/cm3, no ramo esquerdo, e óleo, de massa específica 0,80 g/cm3, 
no ramo direito. Considerando a aceleração da gravidade local g = 10 m/s2, determine 
diferença de pressão, PB – PA, em kPa.
Figura 24 – Representação do exercício. Fonte: O autor.
Solução: Sejam e os valores das pressões nas tubulações nos pontos A e B, 
respectivamente. Segue do enunciado que os pesos específicos do mercúrio, água e óleo são 
iguais a 136000; 10000 e 8000 N/m3. Assim, escrevemos a equação manométrica:
Lembre-se de que, ao usarmos as medidas que constam na figura, as quais estão em 
centímetros, temos de transformá-las para metro. Daí, resolvendo a equação, temos que
Logo, a diferença de pressão entre os pontos B e A é igual a 38,7 kPa.
2.3 Empuxo
Acredito que todos que fazem a leitura deste material já entraram em uma piscina ou em 
um riacho. Ao fazê-lo, você já observou que nos sentimos mais leves quando estamos dentro da 
piscina? Pois bem, esse fato é explicado em virtude do surgimento de uma força normal orientada 
para cima, denominada empuxo. Note que o empuxo é um tipo de força, e suas unidades são: N, 
dyna, dentre outras.
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2.3.1. Princípio de Arquimedes
Todo corpo, quando imerso em um fluido, sofre ação da força empuxo, orientada 
verticalmente para cima, cuja intensidade é igual ao peso do fluido que esse corpo desloca.
Escrevendo o princípio de Arquimedes como uma equação, temos
Eq. (14)
em que é o empuxo; a massa específica do fluido; g a aceleração gravitacional e 
 é o volume de fluido deslocado.
O peso aparente de um corpo submerso em um fluido é calculado como:
Eq. (15)
Exemplo 25
Um bloco no formato de um cubo de 10 cm de aresta é parcialmente submerso em um 
fluido até1/4 de sua altura. Dado que a massa específica do fluido é 900 kg/m3 e a aceleração 
gravitacional é igual a 10 m/s2, determine o empuxo sobre o bloco em N.
Solução: Segue, do enunciado, que o volume de fluido deslocado é
 
Assim, o valor do empuxo, é
Logo, o valor do empuxo é igual a 
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
Nesta Unidade I, completamos nossos estudos quanto a alguns conceitos fundamentais 
da mecânica dos fluidos, tais como: força de cisalhamento, forças normais, tipos de fluidos e 
as propriedades de fluidos (massa específica, viscosidade, peso específico, tensão superficial e 
densidade). 
Discutimos, também, conceitos fundamentais em estática dos fluidos, a exemplo da lei 
de Stevin, princípio dos vasos comunicantes, princípio de Pascal e o princípio de Arquimedes. 
Por fim, foram apresentados alguns exercícios para fixação do conteúdo estudado. O 
objetivo geral desses exercícios de fixação é auxiliar você na estruturação da sua aprendizagem. 
Lembre-se de que a aprendizagem deve se iniciar de dentro para fora. Espero que você tenha 
apreciado os conteúdos estudados. Abraços e até a Unidade II!
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U N I D A D E
02
SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO ...............................................................................................................................................................39
1. CARACTERIZAÇÃO DO MOVIMENTO DOS FLUIDOS ............................................................................................40
2. VELOCIDADE MÉDIA E VAZÃO ...............................................................................................................................46
3. A EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE ........................................................................................................................... 51
CONSIDERAÇÕES FINAIS ...........................................................................................................................................59
CINEMÁTICA DOS FLUIDOS
PROF. DR. RICARDO CARDOSO DE OLIVEIRA
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
MECÂNICA DOS FLUIDOS
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INTRODUÇÃO
Na maior parte das situações industriais, os fluidos não permanecem parados: eles 
escoam. A cinemática dos fluidos é a parte da mecânica dos fluidos que vai se preocupar com o 
fluido em movimento. Esse movimento, muitas vezes, é ocasionado por forças e/ou momentos. 
Nossos objetivos nesta unidade são: definir a velocidade e a aceleração de um fluido 
segundo as visões Lagrangiana e euleriana; definir vazão em volume e em massa; classificar 
os diversos tipos de escoamento e discutir como eles ocorrem; definir e aplicar a equação da 
continuidade para escoamentos em regime permanente. 
Convido a você para efetuar uma leitura minuciosa desta unidade e, em seguida, resolver 
os exercícios propostos. Agarre sua xícara de café, aperte o cinto e bons estudos!
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1. CARACTERIZAÇÃO DO MOVIMENTO DOS FLUIDOS
Em se tratando da cinemática dos fluidos, as grandezas deslocamento, velocidade 
e aceleração são de interesse de estudo. Ao realizarmos este estudo, precisamos definir um 
referencial. Em mecânica dos fluidos, há dois tipos de referenciais: o Lagrangiano e o Euleriano. 
De acordo com Potter e Wiggert (2004), o deslocamento, a velocidade e a aceleração das partículas 
são relacionados por meio de , e , respectivamente. O 
ponto define o ponto a partir do qual o movimento será estudado para cada partícula. 
Essa descrição do movimento é denominada de lagrangiana e, nela, a descrição do movimento das 
partículas individuais é observada em função do tempo. No entanto, essa versão de observação é 
um tanto trabalhosa,pois teríamos de acompanhar o movimento de todas as partículas fluidas ao 
longo do escoamento. Para facilitar os estudos, a versão euleriana foi desenvolvida. Nela, pontos 
são marcados no espaço e, daí, observam-se as partículas passando em cada ponto. Assim, por 
exemplo, podemos analisar as taxas de variação das grandezas com a posição e tempo. Assim, a 
região de escoamento é denominada de campo de escoamento e podemos expressar as grandezas 
deslocamento, velocidade e aceleração como função da posição e tempo: , 
 e . O comportamento das funções deslocamento, velocidade 
e aceleração é descrito de maneira similar ao do cálculo vetorial.
Exemplo 1
Um campo de velocidade tridimensional, incompressível e permanente, é dado pela 
equação onde 
as coordenadas x, y e z estão em centímetro e a velocidade, em cm/s. Para esse campo de 
escoamento, resolva os itens a seguir.
A) Determine a velocidade de escoamento no ponto P(0,0,0).
B) Um ponto de estagnação é aquele no qual a velocidade é identicamente nula. Para o 
escoamento em apreço, verifique a existência de ponto de estagnação e, em caso afirmativo, 
determine onde ele ocorre.
Solução: 
A) Segue que, no ponto P(0,0,0), o vetor velocidade é . Assim, a 
velocidade é . Assim, no ponto P(0,0,0), a 
velocidade é, aproximadamente, igual a 
B) Como, no ponto de estagnação, a velocidade é identicamente nula, segue que isso 
ocorrerá quando as componentes do vetor velocidade forem identicamente nulas. Assim, 
temos que 
que pode ser reescrito como:
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que, por sua vez, é um sistema de equações lineares. Aplicando-se a regra de Cramer, 
encontramos x = 3, y = 1 e z = 2. Logo, nesse campo de escoamento, há apenas um ponto de 
estagnação, o qual ocorre em E = (3, 1, 2).
No exemplo 1, vimos a aplicação de um campo de 
escoamento para a velocidade. O campo de velocidade é escrito como 
 em que , e são as componentes do vetor vecidade nas direções , e 
. O campo de aceleração é calculado por meio da equação em que , e são as componentes 
do vetor aceleração e dadas por:
Exemplo 2
Considere o campo de velocidade descrito por meio da equação:
em que as coordenadas x, y e z estão em centímetro e a velocidade, em cm/s. Determine o 
vetor campo de aceleração para o escoamento e determine a aceleração do escoamento no 
ponto P(0,0,0).
Solução: Temos que , e 
. Assim,
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Dessa forma, o vetor aceleração é escrito como:
e o vetor aceleração no ponto P(0,0,0) é 
Logo, a aceleração no ponto P(0,0,0) é 39,8 cm s2.
Um fluido escoando pode ser entendido como um conjunto de partículas de fluidos 
em movimento. À medida que uma dessas partículas descreve sua trajetória, ela pode girar. 
As situações em que as partículas fluidas entram em rotação são de interesse da mecânica dos 
fluidos. Tais escoamentos são ditos rotacionais. Os escoamentos que não são rotacionais são 
denominados de irrotacionais.
Em escoamentos rotacionais, temos a formação de vórtices. O vetor taxa de rotação 
, ou velocidade angular, é definido, matematicamente, como:
Eq. (02)
A vorticidade ( do escoamento é a medida da rotação da partícula fluida e é definida 
como o dobro do valor da velocidade angular e, matematicamente, é definida como:
Eq. (03)
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Exemplo 3
Um campo de velocidade tridimensional, incompressível e permanente, é dado pela 
equação onde 
as coordenadas x, y e z estão em centímetro e a velocidade, em cm/s. Verifique se esse 
campo de escoamento é rotacional ou irrotacional.
Solução: Temos que , e 
. Para decidir se o escoamento é rotacional ou irrotacional, 
podemos aplicar a Eq. (03). Assim, o vetor vorticidade é
e, para o escoamento em apreço, segue que
Como o vetor vorticidade é diferente do vetor nulo, segue que o escoamento é rotacional.
Em mecânica dos fluidos, um escoamento está em regime permanente quando a variável 
de interesse não depende do tempo em um ponto P do campo. Caso contrário, dizemos que o 
regime é transiente. No regime permanente, o fenômeno é descrito por uma equação algébrica, 
ao passo que, no regime transiente, o fenômeno é descrito por uma equação diferencial. 
Para ilustrar a situação, considere água escoando em um canal e água sendo drenada de 
um tanque cilíndrico, como ilustra a Figura 1. Se a vazão for constante e a geometria do canal 
não for alterada, podemos afirmar que a velocidade de escoamento no canal é constante ao longo 
de todo o canal, e isso ilustra o regime permanente. Considere, agora, o caso da drenagem do 
tanque: se não houver reposição de água no tanque, a altura do nível de água no interior do 
tanque diminuirá, fato que ocasionará diminuição do valor da velocidade de saída da água na 
parte inferior do tanque, o que ilustra o regime transiente. 
Os vórtices são movimentos espirais ou circulares ao redor de 
um centro de rotação. O vídeo Introdução à dinâmica dos fluidos: 
experimentos - escoamento numa pia vórtice mostra o vórtice em 
um escoamento. O link de acesso é 
https://www.youtube.com/watch?v=16iCr_kfZIo.
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Figura 1 – Escoamento de água em um canal e drenagem de um tanque. Fonte: O autor.
Um escoamento é unidimensional quando apenas uma coordenada espacial é requerida 
para especificar o campo de velocidades. Quando duas ou três coordenadas espaciais são 
requeridas para especificar o campo de velocidade de um escoamento, tais escoamentos são ditos 
bidimensionais ou tridimensionais, respectivamente. A Figura 2 ilustra as situações descritas.
Figura 2 – Escoamento uni, bi e tridimensional. Fonte: Brunetti (2008).
Em mecânica dos fluidos, é comum caracterizarmos um escoamento como sendo laminar, 
de transição ou turbulento. Para isso, recorremos ao número de Reynolds, que é um número 
adimensional definido pela Eq.(04):
Eq. (04)
em que é a massa específica do fluido; é a velocidade média de escoamento do fluido; D 
é o diâmetro da tubulação e é a viscosidade do fluido. O número de Reynolds é uma razão entre 
forças. O numerador desse número – – quantifica forças de inércia; o denominador – – 
quantifica as forças viscosas do escoamento. Um escoamento é dito laminar quando Re < 2000; 
quando 2000 < Re < 2400, o escoamento é dito de transição; quando Re > 2400, o escoamento é 
dito turbulento.
O número de Reynolds é um número adimensional muito empregado em Mecânica 
dos Fluidos para caracterizar um escoamento laminar, de transição ou turbulento. 
No entanto, na equação desse número, aparece a grandeza diâmetro. A pergunta 
que surge é: “como determinar o número de Reynolds para tubulações que não 
apresentam seção transversal circular?”. E a resposta é simples: para essas 
situações, fazemos uso do diâmetro hidráulico. Assim, o diâmetro hidráulico é 
definido como a razão entre a área molhada e o perímetro molhado de uma dada 
seção transversal.
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 No escoamento laminar, as partículas fluidas movimentam-se ao longo de trajetórias 
bem definidas, apresentando lâminas. A viscosidade do fluido atua no sentido de amortecer a 
tendência de surgimento da turbulência. Esse tipo de escoamento é visto em situações em que 
o fluido apresenta baixa velocidade e altos valores de viscosidade. No escoamento turbulento, as 
partículas fluidas movimentam-se em trajetórias irregulares e com movimento aleatório, o que 
produz transferência da quantidade de movimento entre regiões do fluido. A distinção entre 
escoamento laminar e turbulento é ilustrada na Figura 3.
Figura 3 – Escoamento laminar e turbulento. Fonte: O autor.
Exemplo 4
Considere figura a seguir, que representa o aparato utilizado para reproduzir o experimentode Reynolds.
Figura 4 – Representação do exercício. Fonte: O autor.
Na Figura 4: 1 - reservatório de 20 L; 2 - visor de nível de água; 3 – união; 4 - reservatório 
de corante; 5 - tubo de vidro, 13 mm de diâmetro interno; 6 - mangueira plástica. Considere 
que dois experimentos, realizados nesse módulo experimental, tenham as seguintes 
características:
Experimento 1: água, massa específica = 1000 kg m3; viscosidade = 1cP; V = 0,02 m s.
Experimento 2: água, massa específica = 1000 kg m3; viscosidade = 1cP; V = 0,22 m s.
Para cada um dos experimentos, calcule o número de Reynolds e os classifique em laminar 
ou turbulento.
Solução: Segue, da Eq.(04), que o número de Reynolds é definido por
 
Dessa forma, para o experimento 1, temos que ; 
; e V = 0,02 m s. Daí,
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Como Re < 2000, para o experimento 1, conclui-se que o escoamento é laminar.
Por outro lado, no experimento 2, temos que ; 
; e V = 0,22 m s. Daí,
Como Re > 2000, para o experimento 2, conclui-se que o escoamento é turbulento.
2. VELOCIDADE MÉDIA E VAZÃO
A vazão mássica é a quantidade de massa (m) que atravessa a seção transversal 
de uma tubulação por unidade de tempo (t), como ilustrado na Figura 5. Dessa forma, 
matematicamente, escrevemos:
Eq. (04)
Figura 5 – Escoamento de um fluido numa tubulação. Fonte: Brunetti (2008).
A vazão volumétrica é o volume de fluido (Vol) que atravessa a seção transversal de 
uma tubulação por unidade de tempo (t). Dessa forma, matematicamente, escrevemos:
Eq. (05)
Note, na Figura 4, que, em um dado intervalo de tempo t, uma quantidade de massa m, 
que atravessou a seção transversal de área A, percorreu uma distância na tubulação, denotada por 
s. O produto entre as grandezas área (A) e a distância percorrida (s) define o volume de fluido na 
seção em observação. Assim, a Eq. (05) pode ser reescrita como:
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No entanto, o quociente entre distância percorrida e tempo define, em física, a grandeza 
velocidade. Assim,
 
Eq. (06)
em que V é a velocidade média de escoamento do fluido no interior da tubulação. 
É obvio que a Eq. (06) só é verdadeira quando a velocidade na seção é uniforme. No 
entanto, a maior parte dos escoamentos não é unidimensional, e a aplicação da Eq. (06) fica 
comprometida. Daí, para resolvermos esse impasse, tomemos um elemento infinitesimal de área 
(dA), que corresponde a uma parte infinitesimal de volume (dQ), como ilustrado na Figura 6.
Figura 6 – Elemento infinitesimal do escoamento. Fonte: Brunetti (2008).
Assim, a Eq. (06) pode ser reescrita como:
Ou, ainda,
Eq. (07)
Igualando-se as Eq. (06) e (07), segue que
Resolvendo a equação para a velocidade média, temos que 
Eq. (08)
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A Figura 7 ilustra o perfil de velocidade e o significado da velocidade média para um 
fluido escoando em uma tubulação. 
Figura 7 – Perfil de velocidade em escoamento de fluidos em tubos. Fonte: Brunetti (2008).
Exemplo 5
Uma torneira leva 200 s para encher um tanque de água de volume 10 litros. Considerando 
que a área de saída da torneira é A = 5 cm2, determine a velocidade de saída Vs da água na 
torneira, em m/s.
Solução: Considerando regime permanente e aplicando-se a Eq. (05), temos que a vazão 
volumétrica é igual a
 
Agora, aplicando-se a Eq. (06), segue que a velocidade de saída da água será igual a
Logo, a velocidade de saída da água pela torneira é igual a 
Exemplo 6
(FGV) Considerando uma rede de esgotos que escoa por uma tubulação circular de 100 
mm de diâmetro, determine a vazão desse esgoto, sendo a velocidade do fluido de 1,5 m/s:
(A) 0,0118 L/s. (B) 11,8 L/s. (C) 117,8 L/s. (D) 5,54 L/s. (E) 15,54 L/s.
Solução: Considerando o regime permanente e aplicando-se a Eq. (06), segue que
Logo, a vazão volumétrica é, aproximadamente, igual a . Logo, responde à questão 
a alternativa (B).
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Exemplo 7
O perfil de velocidade em um escoamento laminar, incompressível e completamente 
desenvolvido entre em um tubo circular de 15 m de comprimento é dado pela expressão:
 
em que R é o raio do tubo, r é a distância radial do centro do tubo e é a velocidade 
máxima do escoamento que ocorre no centro do tubo, como mostrado na Figura 8.
Figura 8 – Representação do exercício. Fonte: O autor.
Nessa situação, considerando que o fluido em escoamento seja newtoniano de massa 
específica 1000 , e que o raio da tubulação é R = 10 cm, determine a 
velocidade média desse escoamento, em .
Solução: Considerando regime permanente e fluido incompressível, temos, do enunciado, 
que o perfil de velocidade do escoamento pode ser escrito como:
Da Eq. (08), temos que
Na situação descrita, como a tubulação apresenta seção transversal na forma de círculo, 
segue que e, daí, . Assim, reescrevemos a Eq. (08) como:
Alguns problemas em Engenharia são resolvidos de maneira satisfatória ao se 
admitir que o fluido apresenta comportamento incompressível. Diz-se que um 
fluido é incompressível, tanto para escoamento em regime permanente como 
transiente, quando a relação entre a massa ocupada pelo fluido e o seu volume 
é constante; isto é, a massa específica tem valor constante na pressão e na 
temperatura de trabalho. Esse fato é observado com frequência em líquidos que 
apresentam pouca variação de volume quando comprimidos. Por outo lado, os 
gases, quando comprimidos, podem ter seu volume variado de forma significativa, 
o que, por sua vez, acarretará variação da massa específica.
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Na integral anterior, como o escoamento é unidimensional, a variação da velocidade é na 
direção radial, e o raio está variando de 0 a 0,10m. Assim,
Portanto, a velocidade média de escoamento é igual a .
Da Unidade I, sabemos que . Daí, substituindo na Eq. (04), segue que
Substituindo a Eq. (05), a equação anterior resulta em
Eq. (09)
Substituindo a Eq. (06) na Eq. (09), resulta-se em
Eq. (10)
Exemplo 8
Calcule a vazão mássica e volumétrica de um líquido que escoa por uma tubulação de 0,3 m de 
diâmetro, sendo que a velocidade de escoamento é igual a 1,0 m/s e a massa específica do fluido 
é igual a 950 kg m3.
Solução: Admitindo regime permanente, fluido incompressível e aplicando a Eq. (10), segue que
Logo, a vazão mássica de escoamento é, aproximadamente, igual a 
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Exemplo 9
Um fluido incompressível escoa, permanentemente, com velocidade de 0,8 m s em uma 
tubulação cilíndrica com 5,0 cm de diâmetro. Se a massa específica do fluido é igual a 750 
kg m3, determine a vazão mássica do escoamento.
Solução: Admitindo regime permanente, fluido incompressível e aplicando a Eq. (10), 
segue que
Logo, a vazão mássica de escoamento é, aproximadamente, igual a 
3. A EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
Considere um fluido escoando em uma tubulação, como apresentado na Figura 9. De 
acordo com a lei da conservação da massa, esta não pode ser criada nem destruída, o que implica 
sua conservação. Dessa forma, toda massa que entra no sistema em (1) deve sair em (2). 
Figura 9 – Escoamento de fluido em tubulação e lei de conservação da massa. Fonte: Brunetti (2008).
Esse fato fica equacionado como:
Eq. (10)
Substituindo a Eq. (10), segue que
Eq. (11)
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Exemplo 10
Um gás escoa, em regime permanente, no trecho de uma tubulação como apresentado na 
Figura 10. 
Figura 10 – Representação do exercício. Fonte: O autor.
Na seção (A), tem-se área igual a 20 cm2, massa específica 4 kg/m3 e velocidade igual a 30 
m/s. Na seção (B), tem-seárea igual a 10 cm2, massa específica 12kg/m3. Qual a velocidade 
na seção (B)?
Solução: Admitindo regime permanente e aplicando a Eq. (11), segue que
Substituindo os valores apresentados no enunciado, temos 
Logo, a velocidade na seção B é igual a .
Exemplo 11
Considere o escoamento de um fluido de processo industrial em um tubo convergente-
divergente, tal como o da Figura 11. Considerando-se o escoamento do fluido em regime 
permanente através do tubo de Venturi apresentado e que o índice 1 se refere à seção de 
entrada do tubo e o 2, à seção da garganta, tem-se, para a velocidade na seção de entrada, 
em m/s,
Figura 11 – Representação do exercício. Fonte: O autor.
(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 12 (E) 18
Solução: Admitindo regime permanente, fluido incompressível e aplicando a Eq. (11), 
segue que
Como o fluido em apreço é incompressível, segue que sua massa específica não será 
modificada no escoamento. Assim, temos que
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Daí,
Logo, a velocidade na seção 1 é igual a .
Caso o sistema da Figura 7 apresentasse n entradas e m saídas, a Eq. (11) fica reescrita 
como
Eq. (12)
A Eq. (12) é conhecida como equação da continuidade, ou lei da conservação da massa, 
e é sempre empregada quando o sistema em observação está em regime permanente.
O transporte do petróleo do oceano até às refinarias e indústrias 
é feito por meio de oleodutos, gasodutos, navios petroleiros e 
terminais marítimos. O vídeo Escoamento de óleo por oleodutos 
apresenta esse transporte realizado pela Petrobras. O link de acesso 
é o https://www.youtube.com/watch?v=BmZnA4CjN1o.
As tubulações em série são formadas por trechos de características distintas, 
interligadas nas extremidades e que conduzem vazão constante de um dado 
fluido. Por outro lado, as tubulações em paralelo são aquelas que possuem as 
extremidades de montante reunidas em um só ponto, e as de jusante, em outro 
ponto. 
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Exemplo 12
A Figura 12 ilustra dois sistemas com múltiplos tubos. Com relação à vazão (Q) dos dois 
sistemas, verifica-se que
Figura 12 – Representação do exercício. Fonte: O autor.
(A) Sistema 1: Q=Q1=Q2=Q3; Sistema 2: Q=Q1+Q2+Q3.
(B) Sistema 1: Q=Q1+Q2+Q3; Sistema 2: Q=Q1=Q2=Q3. 
(C) Sistema 1: Q=Q1=Q2=Q3; Sistema 2: Q=(Q1+Q2+Q3)/3. 
(D) Sistema 1: Q=(Q1+Q2+Q3)/3; Sistema 2: Q=Q1=Q2=Q3. 
(E) Sistema 1: Q=Q1=Q2=Q3; Sistema 2: Q=Q1=Q2=Q3.
Solução: Para o sistema 1 de tubulações, temos três tubos em série, e a vazão é igual nos 
três tubos. Assim, no sistema 1: Q=Q1=Q2=Q3. Para o sistema 2 de tubulações, temos três 
tubos em paralelo. Admitindo-se que os diâmetros sejam iguais, temos que as vazões em 
cada ramo são iguais. Daí, para o sistema 2, Q=Q1+Q2+Q3. Portanto, responde à questão a 
alternativa (A).
Exemplo 13
Um propulsor a jato queima 1,5 kg s de combustível quando o avião está à velocidade de 
200 , como ilustrado pela Figura 13. Considerando que a massa específica do ar é igual 
a 1,2 kg , dos gases de combustão de 0,5 kg e que, na figura A1 = 0,45m
2 e A2 = 0,30 
m2, determine a velocidade de saída dos gases de combustão (V2). 
Figura 13 – Representação do exercício. Fonte: O autor.
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Solução: Considerando regime permanente e fluido incompressível, a equação da 
continuidade para múltiplas entradas e saídas é escrita como
Como temos duas entradas e uma saída, a equação fica reescrita como:
em que os subíndices 1 e 2 denotam as entradas, e 3 denota a saída. Como as massas 
específicas das duas entradas e da saída são distintas, não podemos simplificar a expressão 
anterior. Substituindo-se os valores, segue que
Logo, a velocidade de saída dos gases de combustão é igual a .
Exemplo 14
Considere o escoamento em estado estacionário de um fluido incompressível com massa 
específica igual a 3,0 × 103 kg/m3 através da tubulação da Figura 14. Admitindo que as vazões 
mássicas nos pontos 2 e 3 (da figura a seguir) equivalem a 4,5 kg/s e 3 kg/s, respectivamente, 
determine a vazão volumétrica no ponto 1, em m3/h.
Figura 14 – Representação do exercício. Fonte: O autor.
Solução: Considerando o regime permanente, fluido incompressível e aplicando a Eq. (12), 
segue que
Aplicando a Eq. (09), segue que a vazão volumétrica é
Portanto, a vazão volumétrica no ponto é igual a .
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EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Exemplo 15
Considere o escoamento permanente de água em uma junção em T que une três tubos. As 
áreas das seções dos tubos são iguais a 0,15 m2, 0,2 m2 e 0,1 m2, respectivamente. Sabe-se, 
também, que a água entra apenas pela seção de área 0,15 m2. Há um vazamento para fora na 
junção, com vazão volumétrica estimada em 0,05 m3/s. As velocidades médias nas seções 
de 0,15 m2 e 0,1 m2 são de 15 m/s e 10 m/s, respectivamente. Qual o módulo da velocidade 
de escoamento no tubo de seção 0,2 m2, em m/s? 
(A) 1,5 (B) 2 (C) 3 (D) 5 (E) 6
Solução: Considerando regime permanente e fluido incompressível, a equação da 
continuidade para múltiplas entradas e saídas é escrita como
Como temos uma entrada e três saídas (a terceira saída é a perda devido ao furo), a equação 
fica reescrita como:
em que os subíndices 2 e 3 denotam saídas, 1 denota entrada e p, as perdas pelo vazamento. 
Como o fluido é o mesmo (água) e é incompressível, a equação anterior é reescrita como:
Logo, a velocidade de saída na seção 2 é igual a , e responde à questão a alternativa 
(E).
Exemplo 16
(CESGRANRIO) Um fluxo de água de 8,0 litros/s entra em uma extremidade de uma 
tubulação de raio R. O fluxo se divide e sai por duas extremidades de raio R/2. Na saída 1, 
o fluxo é de 2,0 litros/s, como ilustrado na Figura 15.
Figura 15 – Representação do exercício. Fonte: O autor.
Nessas condições, qual é a razão entre a velocidade na saída 2 e a velocidade na saída 1?
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(A) 0,33 (B) 0,50 (C) 1,0 (D) 2,0 (E) 3,0
Solução: Considerando regime permanente e fluido incompressível, a equação da 
continuidade para múltiplas entradas e saídas é escrita como
Como temos uma entrada e três saídas (a terceira saída é a perda devido ao furo), a equação 
fica reescrita como:
em que os subíndices 1 e 2 denotam saídas. Como o fluido é o mesmo (água) e é 
incompressível, a equação anterior é reescrita como:
Daí, a razão entre as velocidades 1 e 2 é calculada como na Eq. (06):
Observe que . Daí, Portanto, responde à questão a alternativa (E).
Exemplo 17
Um fluido de processo industrial ( = 1000 kg/m³.) é descarregado do reservatório (1) para 
os reservatórios (2) e (3), como ilustrado na Figura 16.
Figura 16 – Representação do exercício. Fonte: O autor.
Sabendo-se que Q2 = 3/4Q3 e que Q1 = 10 l/s:
A) Determine os diâmetros das tubulações (2) e (3), sabendo-se que a velocidade de saída 
é v2 = 1m/s e v3 = 1,5m/s.
B) Determine o tempo necessário para se encherem completamente os reservatórios (2) e 
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EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
(3).
Solução: Considerando o regime permanente, fluido incompressível e aplicando-se a Eq. 
(12), segue que
Ou, ainda,
e, ainda, . Aplicando a Eq. (06), temos que 
Admitindo que as seções transversais sejam circulares, segue que os diâmetros das 
tubulações 2 e 3 são iguais a
Logo, os diâmetros das tubulações 2 e 3 são, respectivamente, aproximadamente iguais a 
 e 
 Para determinarmos os tempos necessários para encher os tanques 2 e 3, usaremos 
a Eq. (05). Assim,
Logo, os tempos necessários para encher os tanques 2 e 3 são, aproximadamente, iguais a 
 e , respectivamente.
Em sua oitava edição, Introdução à Mecânica dos Fluidos, dos