prova A2 Matemática Aplicada

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1) O conceito de limite ocupa um papel central no cálculo infinitesimal. Isso ocorre porque, no cálculo 
diferencial, a derivada de uma função, de acordo com a definição de Cauchy, é introduzida por meio de um 
processo limite e, no cálculo integral, para introduzir a integral de uma determinada função em um dado 
intervalo, considera-se o limite de uma soma de Riemann. Limite é, portanto, um conceito básico do Cálculo 
e da Análise Matemática. 
 Assim, considerando uma função arbitrária , quando escrevemos , que se lê “o limite da 
função quando tende a é ”, isso significa que pode ser feita tão próxima de quanto 
desejarmos, tomando valores de suficientemente próximos de , mas, em geral, diferentes de . 
 
Formalmente, considere uma função definida em um intervalo aberto que contém o número . Dizemos 
que o limite da função é , quando tende a , e representamos este fato por , se, e 
somente se, para todo número houver um número , tal que sempre que 
. 
 
MARQUES, Gil da Costa. Fundamentos de Matemática I. São Paulo: USP/Univesp/Edusp, 2014. 
 
Com base nessas informações, considere a função , explicitada no gráfico a seguir. 
 
 
Considerando o que se pode concluir do exposto, julgue os itens a seguir. 
 
I. O gráfico da função coincide com o gráfico da função , exceto no ponto , onde 
não está definida. 
II. O limite de quando tende a 4 não existe, pois a função não está definida em . 
III. A função é contínua em todo ponto do seu domínio, sendo . 
 
É correto o que se afirma em 
Alternativas 
A) III, apenas. 
B) II e III, apenas. 
C) I, II e III. 
D) I e II, apenas. 
E) I, apenas. Gabarito da questão 
 
 
2) A função do 2.º grau, também conhecida como função quadrática, quando exposta no plano cartesiano, 
resulta sempre em uma parábola. Essa parábola pode ter a concavidade para cima ou a concavidade para 
baixo, e é escrita sob a forma f(x) = ax2 + bx + c. As funções quadráticas possuem várias aplicações, nas 
ciências, na administração, na economia, na engenharia, e em outras áreas do conhecimento. Na 
administração, por exemplo, sua aplicação está na função custo, na função receita e na função lucro, que 
estão relacionadas aos fundamentos administrativos de qualquer empresa. Normalmente, para 
representarmos graficamente uma função quadrática, seguimos estes passos: 
 
- atribuir valores para x, a fim de encontrar os valores de y; 
- usando os valores de x e y, expor gráfico, ligando os pontos de x e y. 
 
Com base no texto, analise o gráfico da função quadrática a seguir. 
 
 
 
Considerando o gráfico apresentado, pode-se afirmar que a função quadrática que melhor o representa é 
Alternativas 
 
A) f(x)= x2+2x +2. 
B) f(x)= - x2+2x +2. 
C) f(x)= 2x2+2x. 
D) f(x)= 2x2+2x +1. 
E) f(x)= x2+2. Gabarito da questão 
 
3) Uma das aplicações de integral de uma função é o cálculo de volume de um sólido. Um sólido de 
revolução é um sólido obtido quando fazemos uma região plana girar em torno de uma reta no plano. A reta 
ao redor da qual a região gira é chamada eixo de revolução. Por exemplo, fazendo a região limitada pelas 
retas y = 0, y = x e x = 4 girar em torno do eixo dos x, o sólido de revolução obtido é um cone. Seja y = f(x) 
uma função contínua não negativa em [a,b], seja R a região sob o gráfico de f de a até b, o volume do sólido 
T, gerado pela revolução de R em torno do eixo dos x, é definido por 
 
 
 
Esta é uma soma de Riemann da função . Como f é contínua, o limite existe, e então, pela definição 
de integral, temos 
 
 
 
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limite, derivação, integração. São Paulo: 
Pearson, 2007 (adaptado). 
 
Observe a situação-problema e responda. 
Uma parte de um monumento projetado por um engenheiro compreende a região R, limitada pela curva 
, o eixo x e as retas x = 1 e x = 2. Se essa região sofrer uma rotação em torno do eixo do x, o volume 
do sólido de revolução gerado será dado por 
Alternativas 
 
A) 
 
B) 
 
C) Marcada pelo aluno 
 
D) 
 
 
E) 
 
4) As duas principais operações do Cálculo, derivação e integração, têm como base o Teorema Fundamental 
do Cálculo, que diz que essas operações são consideradas inversas uma da outra. O Cálculo Diferencial 
surgiu da necessidade de se determinar a reta tangente a uma curva em determinado ponto, enquanto que 
o Cálculo Integral surgiu a partir do problema de se determinar a área de uma superfície localizada abaixo 
de uma determinada curva. Apesar desses dois problemas não aparentarem nenhuma relação, Barrow 
(1630-1677) e, posteriormente, Newton (1643-1727) e Leibniz (1646-1716) perceberam a conexão entre as 
operações de derivação e integração. A partir daí, surgiu o chamado Segundo Teorema Fundamental do 
Cálculo, que diz que se pode usar a integral definida para obter a sua antiderivada. Resumidamente, isso 
pode ser feito transformando a integral definida numa função considerando o limite superior de integração 
como uma variável ao invés de uma constante, conforme apresentado a seguir. 
 
 
 
De acordo com o Segundo Teorema Fundamental do Cálculo e a definição de antiderivada, considere a 
função apresentada a seguir. 
 
 
 
Diante disso, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a expressão de e o valor aproximado 
de . 
Alternativas 
 
A) c 
 
B) Gabarito da questão 
C) 
D) 
E) 
 
5) Consideremos a área da região delimitada por duas curvas no plano. Admitamos que essas curvas sejam 
descritas pelas funções e , ambas não negativas. Consideremos a área associada ao 
intervalo , conforme ilustrado na figura a seguir. 
 
As áreas e compreendidas entre o gráfico das funções e o eixo , no intervalo considerado, são dadas 
respectivamente por 
 
 e 
 
Consequentemente, de acordo com as figuras I e II, a área delimitada pelas curvas no intervalo é 
dada pela diferença entre as áreas 
 
 
 
É preciso observar que se e não forem ambas positivas, para calcular a área da região delimitada por 
elas no intervalo , basta considerar as duas funções acrescidas de uma mesma constante, de maneira 
que ambas deem origem a gráficos situados acima do eixo . 
 
MARQUES, Gil da Costa. Fundamentos de Matemática I. São Paulo: USP/Univesp/Edusp, 2014. 
 
Considere as funções e , cujos gráficos estão ilustrados a seguir. 
 
 
 
 Pode-se afirmar que a área A definida no intervalo 0, 1, considerando o metro como unidade de 
comprimento, será 
Alternativas 
 
A) . Gabarito da questão 
B) . 
C) 
D) . 
E) M . 
 
6) Uma função de segundo grau, também conhecida como função quadrática, é uma função polinomial de 
grau 2 dada pela forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c, são constantes reais e . O gráfico de toda função 
do segundo grau é uma parábola de concavidade para cima ou para baixo, dependendo do coeficiente 
principal. Qualquer gráfico de uma função do segundo grau pode ser obtido do gráfico da função f(x) = x2 
por uma sequência de transformações, a saber: translações, reflexões, “esticamentos” e “encolhimentos”. 
O gráfico de f(x) = ax2, com , é uma parábola com concavidade para cima. Quando , o gráfico é 
uma parábola com concavidade para baixo. Independente do sinal de a, o eixo vertical y é a reta de simetria 
para o gráfico de f(x) = ax2. A reta de simetria para uma parábola é seu eixo de simetria. O ponto sobre a 
parábola que cruza seu eixo de simetria é o vértice da parábola, e ele é sempre o ponto mais baixo da 
parábola com concavidade para cima, ou o ponto mais alto da parábola com concavidade para baixo. O 
vértice de f(x) = ax2 é sempre a origem. 
 
Toda função do segundo grau f(x) = ax2 + bx + c, sendo , pode ser escrita na forma canônica f(x) = a(x 
- h)2 + k. O gráfico de f é uma parábola com vértice (h, k) e eixo de simetria x = h, com e k = c - ah2. 
O valor de k também é conhecido como . 
 
DEMANA, F. et al. Pré-Cálculo. 2 ed. São Paulo:Pearson Education do Brasil, 2013. 
 
Um jogador de futebol chuta uma bola de forma que sua trajetória, modelada pela equação y= -x2 + 7x, forma 
uma parábola. Observa-se que a bola sai do solo, no ponto (0, 0), atinge um valor máximo e depois começa 
decrescer em direção ao solo novamente. 
Com base nessas informações e considerando que x e y são dados em metros, julgue as afirmações a 
seguir. 
I. A trajetória da bola descreve uma parábola com concavidade voltada para cima. 
II. A bola atinge altura máxima de 3,5 metros. 
III. A bola volta a tocar novamente o solo após 7 metros. 
 
É correto o que se afirma em 
Alternativas 
 
A) I, apenas. 
B) II, apenas. 
C) I, II e III. 
D) II e III, apenas. Gabarito da questão 
E) I e III, apenas. 
 
 
7) Uma empresa de colchões encomendou uma pesquisa de mercado para que fosse determinada a 
demanda mensal de suas vendas de colchões em relação ao preço de venda praticado e chegou à 
seguinte informação: Q(p) = 9.500 – 10p, em que 300 < p < 10.000. 
O preço que deve ser cobrado para que a receita seja maximizada é: 
 
Alternativas 
 
A) R$ 575,00. 
B) R$ 425,00. 
C) R$ 475,00. Marcada pelo aluno 
D) R$ 925,00. 
E) R$ 655,00. 
 
8)As equações do segundo grau são equações da forma . Nas equações, buscamos 
encontrar os valores de que as tornam iguais a zero, ou seja, buscamos encontrar as suas raízes. Nas 
inequações, por outro lado, não temos uma igualdade, mas sim uma desigualdade que pode ser expressa 
pelos sinais: (maior que), (menor que), (maior ou igual), (menor ou igual) e (diferente). 
A resolução de inequações do segundo grau envolve a utilização do teorema de Bhaskara e, em seguida, um 
estudo de sinais e a análise da desigualdade em questão. Dois tipos de inequações são comumente 
encontrados na Matemática: as inequações-produto e as inequações-quociente. Uma inequação-produto de 
2° grau é uma inequação de 2° grau escrita como o produto de duas equações de 1° grau. Nesse caso, o 
estudo de sinal deve ser feito para cada equação e, em seguida, analisado o produto dos sinais tendo em 
vista a desigualdade em questão. De modo análogo, uma inequação-quociente é uma inequação escrita 
como o quociente de duas equações de 1° grau. O modo de resolução é semelhante ao das inequações-
produto, tendo como ressalva as condições de existência do denominador (diferente de zero). 
 
Diante do exposto, considerando as inequações e , julgue os itens a 
seguir. 
 
 
I. A inequação A pode ser escrita como a inequação-produto . 
II. A inequação A apresenta como solução: . 
 
III. A inequação B apresenta como solução: . 
 
É correto o que se afirma em 
Alternativas 
 
A) I, II e III. 
B) II e III, apenas. 
C) I e III, apenas. Gabarito da questão 
D) I, apenas. 
E) II, apenas.