Geometria Plana

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DR. WILLIAN GOULART GOMES VELASCO
ME. MÁRCIA ERONDINA DIAS DE SOUZA DA SILVA
GEOMETRIA 
PLANA, 
ESPACIAL E 
ANALÍTICA
Coordenador(a) de Conteúdo 
Priscilla Campiolo Manesco
Projeto Gráfico e Capa
Arthur Cantareli Silva
Editoração
Juliana Oliveira Duenha
Lucas Pinna Silveira Lima
Matheus Silva de Souza
Design Educacional
Patricia Peteck
Revisão Textual
Bruna da Silva, Carla Cristina Farinha, 
Carlos Augusto Brito Oliveira, Cristina 
Maria Costa Wecker, Elaine Machado, 
Érica Fernanda Ortega e Harry Wiese
Ilustração
Andre Luis Azevedo da Silva, Bruno 
Cesar Pardinho Figueiredo, Eduardo 
Aparecido Alves e Geison Ferreira da 
Silva
Fotos
Freepik
Shutterstock
Impresso por: 
Bibliotecária: Leila Regina do Nascimento - CRB- 9/1722.
Ficha catalográfica elaborada de acordo com os dados fornecidos pelo(a) autor(a).
Núcleo de Educação a Distância. VELASCO, Willian Goulart Gomes; 
SILVA, Márcia Erondina Dias de Souza da.
Geometria Plana, Espacial e Analítica / Willian Goulart Gomes 
Velasco (Org.); Márcia Erondina Dias de Souza da Silva (Org.). - Indaial, SC: 
Arqué, 2023.
360 p.
“Graduação - EaD”. 
1. Geometria Plana 2. Espacial 3. Analítica 4. EaD. I. Título. 
CDD - 516.32 
EXPEDIENTE
Centro Universitário Leonardo da Vinci.C397
FICHA CATALOGRÁFICA
RECURSOS DE IMERSÃO
Utilizado para temas, assuntos ou 
conceitos avançados, levando ao 
aprofundamento do que está sen-
do trabalhado naquele momento 
do texto. 
APROFUNDANDO
Professores especialistas e 
convidados, ampliando as 
discussões sobre os temas 
por meio de fantásticos 
podcasts.
PLAY NO CONHECIMENTO
Utilizado para agregar um 
conteúdo externo. Utilizando 
o QR-code você poderá 
acessar links de vídeos, 
artigos, sites, etc. Acres-
centando muito aprendizado 
em toda a sua trajetória.
EU INDICO
Este item corresponde a uma 
proposta de reflexão que pode 
ser apresentada por meio de uma 
frase, um trecho breve ou uma 
pergunta. 
PENSANDO JUNTOS
Utilizado para desmistificar pontos 
que possam gerar confusão 
sobre o tema. Após o texto trazer 
a explicação, essa interlocução 
pode trazer pontos adicionais que 
contribuam para que o estudante 
não fique com dúvidas sobre o 
tema. 
ZOOM NO CONHECIMENTO
Uma dose extra de conheci-
mento é sempre bem-vinda. 
Aqui você terá indicações de 
filmes que se conectam com 
o tema do conteúdo.
INDICAÇÃO DE FILME
Uma dose extra de conheci-
mento é sempre bem-vinda. 
Aqui você terá indicações de 
livros que agregarão muito 
na sua vida profissional.
INDICAÇÃO DE LIVRO
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207U N I D A D E 3
GEOMETRIA ANALÍTICA E O ESTUDO DO PONTO E RETA 208
GEOMETRIA ANALÍTICA E O ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA 256
A GEOMETRIA ANALÍTICA E O ESTUDO DAS CÔNICAS 306
5U N I D A D E 1
NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA 6
POLÍGONOS, TRIÂNGULOS, QUADRILÁTEROS E CÍRCULO 46
ESTUDO DAS RELAÇÕES E RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS 86
115U N I D A D E 2
ÁREA E PERÍMETRO DE FIGURAS PLANAS 116
POLIEDROS E PIRÂMIDES 144
SÓLIDOS REDONDOS 180
4
SUMÁRIO
MINHAS METAS
NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE 
GEOMETRIA
DR. WILLIAN GOULART GOMES VELASCO
Desenvolver o pensar geométrico e o raciocínio visual.
Compreender o modelo axiomático da geometria euclidiana.
Trabalhar as noções elementares: ponto, reta, plano e espaço.
Identificar ângulos e seus elementos.
Estudar proporcionalidade e o Teorema de Tales.
T E M A D E A P R E N D I Z A G E M 1
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INICIE SUA JORNADA
A palavra Geometria vem do grego: geo - terra, metria - medida e indica o 
ramo da matemática destinado a resolver questões de forma, tamanho e po-
sição relativa de figuras e ainda questões com propriedades do espaço.
A geometria teve início de forma independente em culturas antigas, como 
um conjunto de conhecimentos práticos sobre comprimento, área e volume. 
Por volta do século III a.C., a geometria foi posta em uma forma axiomática 
por Euclides, cujo tratamento, chamado de geometria euclidiana, estabeleceu 
um padrão que perdurou por séculos.
A geometria é aplicada em diversas áreas da atividade humana. Uma evi-
dência muito forte desse uso é encontrada na arquitetura. A geometria de po-
sição é fundamental para viabilizar a elaboração de projetos estruturais 
cujas formas arquitetônicas situam-se entre o limite da Matemática e da Física.
A natureza desperta a admiração do homem por sua beleza, harmonia de 
cores e perfeição das formas, incentivando-o a estudar essas formas encon-
tradas e compreender suas relações perfeitas. O homem começou a imitar a 
natureza em suas próprias construções, produzindo, assim, edificações cada 
vez mais rígidas e perfeitas.
A geometria desenvolve o pensar geométrico ou o raciocínio visual. Se 
essa matéria é deixada de lado, alguns transtornos podem ser causados no 
dia a dia do aluno, pois em seu cotidiano ele deve ter noção de paralelis-
mo, perpendicularismo, medição (comprimento, perímetro, área, volume), 
simetria, seja pelo visual (formas), seja pelo uso no lazer, na profissão ou na 
comunicação oral.
Antes de nos envolvermos nos conceitos geométricos, 
venha ouvir um resumo dessa área e alguns dos seus as-
pectos históricos mais marcantes.
PLAY NO CONHECIMENTO
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TEMA DE APRENDIZAGEM 1
DESENVOLVA SEU POTENCIAL
Vamos começar a fazer nossa caminhada por este mundo maravilhoso chamado 
Geometria, que é considerada por muitos estudiosos uma das áreas clássicas da 
matemática. Porém, para que possamos entender melhor o mundo da Geome-
tria é necessário que iniciemos nossos estudos pelo que há de mais elementar 
nesta disciplina, ou seja, suas noções primitivas: ponto, reta e espaço. A partir 
daí poderemos compreender as dimensões das formas geométricas. As noções 
de dimensão e espaço são relativamente simples, e você não terá dificuldade de 
compreendê-las. Na Geometria, essas noções são estabelecidas por meio de de-
finições que irão alicerçar os conceitos futuros trabalhados nesta disciplina. 
Antes de apresentarmos as regras básicas (axiomas) que fazem com que 
a geometria que estudamos seja similar ao que vemos ao nosso redor, vamos 
explorar as noções de ponto, reta e plano. Após estudarmos esses conceitos, 
vamos sedimentar o modelo geométrico com os axiomas que Euclides defi-
niu há centenas de anos.
No livro “A janela de Euclides” são apresentados aspectos 
da história da geometria O autor apresenta, desde os 
primórdios da geometria, com os axiomas de Euclides, até 
algumas pesquisas atuais da área. A linguagem é clara e 
voltada para divulgação.
INDICAÇÃO DE LIVRO
PONTO, RETA, PLANO E ESPAÇO
Partimos para nossa viagem de um ponto, passaremos por retas e planos. Estas 
figuras, como em uma viagem, são notadas no espaço físico. Na matemática, elas 
ganham um rigor conceitual específico sustentado às relações construídas no 
espaço de abstração matemática. Existe, neste ponto, uma relação estrita entre 
estas figuras no espaço físico e matemático. Deixando o rigor matemático para 
depois, vamos imaginar objetos reais que nos dão ideia destas formas:
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 ■ Um pequeno ponto em uma folha de papel nos dá a ideia de ponto 
geométrico.
 ■ Um fio elétrico esticado de um poste a outro nos dá a ideia de uma 
parte da reta.
 ■ A capa deste caderno de estudos nos dá a ideia de uma parte do plano.
 ■ O dado numerado que usamos para jogar nos dá a ideia de cubo.
É claro que podemos representar estas ideias, através de formas, numa folha de 
papel, e cada uma delas possui regras matemáticas claras para sua representação.Neste tópico, veremos como devem ser representadas.
Figura 1 – Ponto, reta, quadrado e cubo / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: são exibidos lado a lado a ilustração de um círculo, um segmento de reta, um quadrado 
e um cubo.
Temos na figura acima um ponto, uma reta, um quadrado e um cubo, represen-
tando, respectivamente, os espaços de zero, de uma, de duas e de três dimensões. 
Como vivemos num mundo de três dimensões, todas as formas com mais di-
mensões fogem a nossa percepção.
Um ponto não tem dimensão. Podemos imaginar que ao posicionar um objeto 
sobre um ponto não teríamos como movimentá-lo sem que ele não saia dos limites 
deste ponto. Ou seja, um local sem possibilidade de locomoção dimensional.
Uma reta tem apenas uma dimensão. Podemos dar o nome de compri-
mento à medida do segmento (parte, pedaço) de reta. Um segmento de reta é 
parte de uma reta, e pode ser medido, pois é finito. Por exemplo, poderia ser 
medido em centímetros.
Um plano tem duas dimensões. Podemos dar o nome de comprimento e 
largura aos lados do quadrado que está representando o plano. Neste caso, o 
quadrado é parte de um plano, e poderia ser medido, porque é finito e tem área. 
Por exemplo, poderia ser medido em centímetros quadrados.
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TEMA DE APRENDIZAGEM 1
Um espaço como este em que vivemos tem três dimensões. Podemos dar o 
nome de comprimento, largura e altura às dimensões do cubo representado na 
figura apresentada. Ele é parte de um espaço infinito, que pode ser medido. Por 
exemplo, poderia ser medido em centímetros cúbicos. Ele se assemelha muito 
aos objetos de nosso mundo físico.
• Um ponto pode ser colocado em uma reta, em um plano ou em um 
espaço como o nosso. 
• Uma reta pode ser colocada sobre outra, em um plano ou em nosso 
espaço tridimensional. 
• Um plano pode ser colocado sobre outro plano ou em um espaço 
tridimensional.
• Mas não é possível encaixar um objeto em um espaço que tenha um 
número menor de dimensões. Assim, uma reta não cabe em um pon-
to, um cubo não cabe em um plano nem em uma reta.
ZOOM NO CONHECIMENTO
A representação destas formas geométricas são:
a) O ponto é indicado por letras maiúsculas.
Exemplos:
Figura 2 – Pontos / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: são apresentados dois pontos. Um indicado pela letra A e o outro pela letra B. Abaixo do 
ponto A está escrito Ponto A e abaixo do ponto B está escrito Ponto B.
A
Ponto A
B
Ponto B
1
1
b) A reta é indicada por letras minúsculas.
Exemplos:
Figura 3 – Retas / Fonte: o autor.
Figura 4 – Planos alfa e beta / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: são apresentadas duas retas: uma indicada pela letra r e a outra pela letra s. Abaixo do 
reta s está escrito Reta s e abaixo da reta s está escrito Reta s.
Descrição da Imagem: são apresentados dois planos indicados pelas letras gregas alfa e beta. Abaixo do plano 
alfa está escrito Plano alfa e abaixo do plano beta está escrito Plano beta. 
r s
Reta r Reta s
c) O plano é indicado por letras gregas minúsculas: a (alfa), b (beta), g 
(gama) etc.
Exemplos:
α β
Plano α Plano β
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TEMA DE APRENDIZAGEM 1
SEGMENTO DE RETA
Dados dois pontos distintos, a reunião do conjunto desses dois pontos com o 
conjunto dos pontos que estão entre eles é um segmento de reta.
“Estar entre” é uma noção primitiva, que não definimos por ser muito básica.
Uma reta também pode ser indicada por dois de seus pontos, pois buscamos um 
modelo de geometria em que sempre é possível conectar pontos.
Exemplo:
Figura 5 – Reta definida por dois pontos / Fonte: o autor.
Figura 6 – Reta r que passa pelo ponto A / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: é apresentada uma reta passando pelos pontos A e B e abaixo é apresentada uma notação 
e sua pronúncia: AB com uma seta de duas pontas em cima, lê-se reta AB.
Descrição da Imagem: é apresentada uma reta, identificada por r, que passa pelo ponto A.
A B
Indicação: (lê-se: “reta AB”)AB
Perceba que os pontos A e B são as extremidades e os pontos que estão 
entre A e B são pontos internos do segmento dado. Se os pontos A e B 
coincidem ( A B= ), dizemos que o segmento é nulo.
SEMIRRETA
Observe a figura a seguir:
A r
Você pode verificar que em relação ao ponto A , a reta ficou dividida em duas partes:
1
1
Cada uma dessas partes é chamada semirreta, e o ponto A é chamado origem 
das semirretas.
Dados dois pontos distintos A e B , em uma reta r , conforme representa-
mos na figura a seguir. A semirreta AC
� ���
 de origem A é o conjunto dos pontos 
compreendidos no segmento AB e BC , para os quais B está entre A e C .
Figura 7 – Semirretas que passam pelo ponto A / Fonte: o autor.
Figura 8 – Reta r que passa pelos pontos A, B e C / Fonte: o autor.
Figura 9 – Reta r divide o 
plano alfa / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: são exibidos dois segmentos distintos da reta da figura anterior. O primeiro segmento é 
formado pelos pontos anteriores a A e o segundo, pelos pontos a partir de A
Descrição da Imagem: é exibida uma reta indicada por r e nela estão destacados os pontos A, B e C (nessa ordem).
Descrição da Imagem: é 
exibida uma reta indica-
da por r e que divide um 
plano alfa em dois semi-
planos, denotados por 
alfa1 e alfa2. Abaixo da 
figura está escrito alfa1 
união alfa2 é igual a alfa.
A
AA
A
C rBA
O ponto A é a origem da semirreta AC
� ���
. Se A estiver entre B e C , a semirreta 
AB
� ���
 e a semirreta AC
� ���
 são opostas.
SEMIPLANO
Se r ⊂ a (lê-se r está contido em alfa) e r divide o plano a em dois semiplanos. 
A reta r é chamada reta origem.
Exemplo:
r1
2
21 =
α α
α
α α α
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TEMA DE APRENDIZAGEM 1
AXIOMAS
Euclides sistematizou a geometria através do método dedu-
tivo, que consiste em aceitar sem demonstração certas pro-
posições a respeito de um sistema, neste caso, os axiomas, e 
demonstrar de maneira lógica, a partir dos axiomas, todas 
as proposições válidas do sistema, os teoremas.
Isto provocou uma série de discussões entre os 
matemáticos nos séculos seguintes. Atualmente ainda 
há postulados de Euclides, que são objetos de estudos 
e discussões. Este cenário é que originou o que chama-
mos hoje de Geometria Não Euclidiana.
Euclides foi o primeiro grande estudioso da Geometria e sua obra principal, 
denominada “Os elementos”, alcançou mais de 1.500 edições. Apesar disso, ainda 
hoje, mais de dois mil anos depois, os estudos de Euclides continuam válidos e 
são a base da geometria estudada nas escolas. Além disso, podemos observar 
aplicações dos teoremas e relações euclidianas em vários campos da ciência como 
nas engenharias e áreas tecnológicas em geral.
Os escritos deste grande matemático grego compõem-se de treze livros ou capí-
tulos que contêm 465 proposições, 93 problemas e 372 teoremas. Toda esta obra foi 
desenvolvida sobre um grupo de definições, quase todas resultantes de observações 
experimentais, e em noções comuns (ou axiomas) e postulados. 
Seguem alguns axiomas ou postulados relacionados aos elementos primitivos 
da geometria:
 ■ Em uma reta, bem como fora dela, há infinitos pontos. 
 ■ Em um plano há infinitos pontos.
 ■ Por um ponto passam infinitas retas.
 ■ É possível traçar uma reta ligando dois pontos.
 ■ Toda reta que tem dois pontos distintos num plano fica inteiramente 
contida no plano.
 ■ Dois pontos distintos determinam uma única reta que os contém.
 ■ Por três pontos não situados na mesma reta (não colineares) passa um e 
somente um plano.
 ■ Uma reta de um plano divide-o em dois semiplanos.
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 ■ Um plano divide o espaço em duas regiões chamadas semiespaços.
 ■ Dada uma reta r e um ponto exterior P , existe exatamente uma reta que 
passa em P e é paralela a r . 
Para utilizarmos os postulados de Euclides é importante definirmos os termos 
que utilizaremos: 
PONTOS COPLANARES: 
são pontos que pertencem a um mesmo plano.
PONTOS COLINEARES: 
são pontos que pertencem a uma mesma reta.
FIGURA: 
é qualquer conjunto de pontos.
FIGURA PLANA:é a figura que possui todos os seus pontos no mesmo plano.
FIGURA ESPACIAL: 
é a figura que possui seus pontos em mais de um plano.
GEOMETRIA PLANA: 
é parte da geometria que estuda as formas ou figuras planas.
GEOMETRIA ESPACIAL: 
é parte da geometria que estuda as formas ou figuras espaciais.
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TEMA DE APRENDIZAGEM 1
ÂNGULOS
Há inúmeras aplicações dos estudos sobre ângulos em várias áreas científicas. 
Na área tecnológica, na construção civil, e muitos outros campos de pesquisa, é 
possível observar sua aplicabilidade principalmente para fazer medidas de arco. 
Estas e outras análises serão feitas ao longo desse tópico.
Ao observar um canto qualquer da parede da sala onde você está, acompanhe a 
linha do rodapé até o canto de observação, você pode considerar a linha do rodapé 
como um segmento de reta. Este segmento se encontra no canto, com outro seg-
mento de reta que desce pela parede lateral. Os dois segmentos de reta, ou as duas 
retas-suporte concorrem neste ponto, formando um ângulo de 90º. O canto da pa-
rede onde as duas retas se encontraram, formando o ângulo, chamaremos de vértice.
Vamos continuar nossa viagem por mais um ponto muito importante da 
geometria.
ÂNGULO
A figura formada por duas semirretas de mesma origem chama-se ângulo.
O
A
B
Figura 10 – Ângulo / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: duas semirretas se originam de um mesmo ponto O. Em cada semirreta é destacado um 
ponto, chamados de A e B. Entre as semirretas existe uma região hachurada.
Na figura acima, o ponto O é denominado vértice do ângulo, e as semirretas OA
� ���
 
e OB
� ���
 são chamadas de lados do ângulo. 
Indicamos o ângulo AOB escrevendo: ˆAOB (lê-se “ângulo AOB”).
Observem que o símbolo ^ deve sinalizar o ângulo, por este motivo se en-
contrará sempre no centro da representação do ângulo.
1
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UNIDADES DE MEDIDA DE ÂNGULOS
A medida de ângulo é adotada internacionalmente por graus ( o ) e radianos 
(rad). O grau é representado por um número real positivo e tem por subdivi-
sões minutos e segundos. Um minuto se representa por 1’ e um segundo por 
1’’. Assim, um grau tem sessenta minutos (60’) e cada minuto se divide em 
sessenta segundos (60’’).
Exemplo: Se um ângulo mede 25º, 15 minutos e 6 segundos, escrevemos 25º15’6’’.
Por meio da medida do comprimento da circunferência determina-se a medida 
de um radiano que é a medida unitária considerada como o arco de circun-
ferência com mesmo comprimento do raio da circunferência.
Utilizando uma regra de três entre o comprimento de uma circunferência e seu 
raio, podemos perceber que p radianos =180o .
Para conversão de radianos para graus ou de graus para radianos basta montar 
uma regra de três utilizando uma das relações de equivalência.
Exemplo: Converter 20 graus em radianos utilizando a relação usual.
20
180
o
o
x−
−p rad
Logo 180 20
9
o x x� � �p prad rad .
Assim como os postulados de Euclides garantem a existência de um modelo 
de geometria, existem axiomas para garantir a medição de ângulos. São eles
• A todo ângulo corresponde um único número real maior ou igual a zero. 
Este número é zero se e somente se os lados do ângulo coincidem.
• Existe uma bijeção entre as semirretas de mesma origem que dividem 
um dado semiplano e os números entre zero e 180, de modo que a 
diferença entre os números é a medida do ângulo formado pelas sem-
irretas correspondentes.
• Se uma semirreta divide um ângulo, então esse ângulo pode ser escrito 
como a soma de outros dois.
APROFUNDANDO
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TEMA DE APRENDIZAGEM 1
 ■ ângulo raso ou de meia volta
A figura formada por duas semirretas opostas chama-se ângulo raso ou de 
meia volta. Indicamos por ˆ( ) 180� om AOB
A
O
B
Figura 11 – Ângulo raso / Fonte: o autor.
Figura 12 – Ângulo nulo / Fonte: o autor.
Figura 13 – Ângulo de uma volta / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: duas semirretas opostas com pontos A, O e B indicados nessa ordem. Ao redor do ponto 
O, existe um meio círculo.
Descrição da Imagem: uma semirreta com dois pontos. Um desses pontos é chamada de A e B e o outro O.
Descrição da Imagem: uma semirreta com dois pontos. Um desses pontos é chamada de A e B e o outro O. Ao 
redor do ponto O existe um círculo, indicando que foi feita uma volta completa.
Na figura apresentada, OA
� ���
 e OB
� ���
 são semirretas opostas. Então ˆAOB é um ân-
gulo raso.
A figura formada por duas semirretas coincidentes pode ser:
 ■ Ângulo nulo: ˆ( ) 0� om AOB
A
OB
 ■ Ângulo de uma volta: ˆ( ) 360� om AOB
A
OB
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ÂNGULOS CONSECUTIVOS
Dois ângulos são consecutivos 
quando possuem um vértice e um 
lado comuns.
Na figura a seguir
 ■ ˆAOB e ˆAOC são consecutivos 
porque o vértice O e o lado 
OA são comuns.
 ■ ˆBOC e ˆAOC são consecutivos 
porque o vértice O e o lado 
OC são comuns.
Na figura apresentada, os ângulos 
ˆAOB e ˆAOC são consecutivos, sendo 
a semirreta OA o lado comum. Mas, 
poderíamos dizer também que ˆAOB 
e ˆBOC são consecutivos, tendo a semirreta OB como lado comum. Ou ainda, 
ˆAOC e ˆBOC consecutivos, tendo a semirreta OC como lado comum.
ÂNGULOS CONGRUENTES
Dois ângulos são congruentes quando 
têm a mesma medida.
Figura 14 – Ângulos consecutivos / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: a partir do mesmo vértice O 
são traçadas três semirretas, onde uma está entre 
as outras duas. Em cada uma, um ponto é destacado 
nessa ordem e de baixo para cima: A, B e C.
A
B
C
O
A
B
O
50º
A
C
O
50º
Figura 15 – Ângulo congruentes
Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: são exibidos dois 
ângulos de medida igual a cinquenta graus, 
entre segmentos de retas diferentes.
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TEMA DE APRENDIZAGEM 1
Os ângulos ˆAOB e ˆAOC têm a mesma medida (50º).
Dizemos então que ˆAOB e ˆAOC são ângulos congruentes e escrevemos: 
ˆ ˆ�AOB AOC (lê-se: “ângulo AOB é congruente ao ângulo AOC”)
ÂNGULOS ADJACENTES
Dois ângulos são adjacentes quando possuem um vértice e um lado comum e 
não possuem ponto interno comum.
Observe na figura: ˆAOB e ˆBOC são consecutivos porque o vértice O e o lado 
OB são comuns. E são adjacentes porque não possuem ponto interno comum.
A
B
O
C
Figura 16 – Ângulos adjacentes / Fonte: o autor.
Figura 17 – Bissetriz de um ângulo / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: a partir do mesmo vértice O 
são traçadas três semirretas, onde uma está entre 
as outras duas. Em cada uma, um ponto é destacado 
nessa ordem e de baixo para cima: A, B e C.
Descrição da Imagem: a partir do mesmo vértice O 
são traçadas três semirretas, onde uma está entre 
as outras duas e tracejada. Em cada uma, um ponto 
é destacado nessa ordem e de baixo para cima: b, c 
e a. Os ângulos formados entre as três semirretas 
são indicados como iguais.
BISSETRIZ DE UM ÂNGULO
A bissetriz é um dos tipos de relações geométricas muito utilizada na geometria.
Vamos ao conceito: bissetriz de um ângulo é uma semirreta interna ao ângulo, 
com origem no vértice do ângulo e que o divide em dois ângulos congruentes.
bo
c
a
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1
CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS
De acordo com suas medidas, os ângulos recebem nomes especiais. Vamos 
estudá-los.
 ■ ÂNGULO RETO: é aquele que tem por medida 90º. Notação é um qua-
drado com um ponto no meio.
Figura 18 – Ângulo reto
Fonte: o autor.
Figura 19 – Ângulos agudos
Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: são indi-
cados dois segmentos formando 
um ângulo reto.
Descrição da Imagem: são indi-
cados dois segmentos formando 
um ângulo de 30º.
A
O
B
90º
A
B
O
30º
D
CO
120º
A
O
B
90º
A
B
O
30º
D
CO
120º
 ■ ÂNGULO AGUDO: é aquele cuja medida é menor que 90º, ou menor 
que um ângulo reto.
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1
TEMA DE APRENDIZAGEM 1
 ■ ÂNGULO OBTUSO: é aquele cuja medida é maior que 90º (ângulo 
reto) e menor que 180º.
A
O
B
90º
A
B
O
30º
D
CO
120º
Figura 20 – Ângulo obtuso / Fonte: o autor.
Figura 21 – Ângulos complementares com vértices distintos / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: são indicados dois segmentos formando um ângulo de 120º.Descrição da Imagem: em dois ângulos com vértices distintos, O e P são indicadas as seguintes medidas: ângu-
lo ˆCOD com quarenta graus e ˆFPE com cinquenta graus.
Destacamos que ainda podemos identificar mais uma situação de ângulo:
Ângulo côncavo é a abertura maior que 180° e menor que 360°.
SOMA DE ÂNGULOS
Ângulos Complementares
Dois ângulos que têm a soma de suas medidas igual a 90º são chamados ângulos 
complementares.
F
O
C
50º
P E
40º
D
F
O
C
50º
P E
40º
D
1
1
Veja que os ângulos ˆCOD e ˆFPE são complementares, pois 50 50 90o o o� � .
Se dois ângulos, além de complementares, são também adjacentes, serão cha-
mados ângulos adjacentes complementares.
Os ângulos ˆAOB e ˆBOC são adjacentes complementares.
Figura 22 – Ângulos adjacentes complementares / Fonte: o autor.
Figura 23 – Ângulos suplementares / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: em dois ângulos com mesmo vértice O. Os ângulos ˆCOB e ˆBOA são interiores ao ângulo 
reto ˆCOA.
Descrição da Imagem: dois ângulos com vértices distintos, O e P são indicadas as seguintes medidas: ângulo 
ˆAOB com trinta graus e ˆMPQ com cento e cinquenta graus.
AO
C
B
Ângulos Suplementares
Dois ângulos que têm a soma de suas medidas igual a 180º são chamados ângulos 
suplementares. 
A
O
B
30º
M
P Q
150º
A
O
B
30º
M
P Q
150º
Os ângulos ˆAOB e ˆMPQ são suplementares, pois a soma de suas medidas 
é 180º.
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TEMA DE APRENDIZAGEM 1
Se dois ângulos, além de suplementares, são também adjacentes, eles se de-
nominam ângulos adjacentes suplementares.
B
AC O
Figura 24 – Ângulos suplementares / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: dois ângulos com mesmo vértice O. Os ângulos ˆCOB e ˆBOA são interiores ao ângulo raso.
Exemplos:
 ■ A medida do complemento de um ângulo de 35º é 55º pois, 90º – 35º = 55º.
 ■ A medida do suplemento de um ângulo de 35º é 145º pois, 180 – 35º = 145º.
• A medida do complemento de um ângulo que mede x é 90º – x.
• A medida do suplemento de um ângulo que mede y é 180º – y.
ZOOM NO CONHECIMENTO
ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE
Dois ângulos são opostos pelo vértice se, e somente se, os lados de um deles são 
as respectivas semirretas opostas aos lados do outro.
Utilizando o programa Geogebra, podemos interagir e identi-
ficar visualmente ângulos opostos pelo vértice.
EU INDICO
1
4
https://www.geogebra.org/m/z29v6hcr
ÂNGULOS FORMADOS 
POR DUAS RETAS PARALE-
LAS E UMA TRANSVERSAL
Duas retas paralelas, r e s, corta-
das por uma transversal t, formam 
oito ângulos que, dois a dois, rece-
bem nomes especiais, como vere-
mos a seguir.
 ■ Ângulos correspondentes
Na figura são correspondentes: 1̂ 
e 5̂ , 4̂ e 8̂ , 2̂ e 6̂ , 3̂ e 7̂
Observe, também, que os 
ângulos correspondentes são 
congruentes.
Figura 25 – Ângulos correspondentes / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: duas retas paralelas, r e s, cor-
tadas por uma transversal t. São destacados os ângulos 
correspondentes 1̂ e 5̂ , 4̂ e 8̂ , 2̂ e 6̂ , 3̂ e 7̂
t
r
s
2
1
3 4
6 5
7 8
V
V
V
V
V
V
V
V
Vamos agora estudar detalhadamente cada par de ângulos:
 ■ Ângulos alternos internos 
 • Na figura, são alternos internos: 4̂ e 6̂ , 3 e 5̂ .
 • Lembre-se de que 4̂ é congruente a 6̂ e 3̂ é congruente a 5̂ .
 ■ Ângulos colaterais internos
 • Na figura são colaterais internos: 4̂ e 5̂ , 3̂ e 6̂ .
 • Lembre-se de que: ˆ ˆ(3) (6) 180� � om m e ˆ ˆ(4) (5) 180� � om m .
 ■ Ângulos alternos externos
 • Na figura são alternos externos: 1̂ e 7̂ , 8̂ e 8̂ .
 • Lembre-se de que 1̂ é congruente a 2̂ e 2̂ é congruente a 8̂ .
 ■ Ângulos colaterais externos
 • Na figura, são colaterais externos 1̂ e 8̂ , 2̂ e 7̂ .
 • Lembre-se de que: ˆ ˆ(2) (7) 180� � om m e ˆ ˆ(1) (8) 180� � om m .
UNIASSELVI
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TEMA DE APRENDIZAGEM 1
POSIÇÕES DE RETAS
Chegamos a mais um estágio de nossa viagem pela geometria. Neste momento 
iremos analisar a posição relativa de retas no plano. 
Ao escutar a palavra reta pode tentar visualizá-la em vários objetos que estão 
ao seu redor. Por exemplo: na fuga que divide dois pisos, na aresta de uma mesa, 
ou na superfície lateral de uma folha de caderno. Você pode também pensar em 
qualquer reta suporte de uma forma geométrica. 
Por isso, sugerimos que você tenha por perto um prisma qualquer (pode ser 
um cubo de qualquer material), que manter usado para analisar as diferentes 
posições de retas que estudaremos a partir de agora.
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
Retas coplanares
Duas ou mais retas são coplanares quando estão contidas no mesmo plano. Neste 
caso, algumas possibilidades podem ocorrer: paralelismo, concorrência ou per-
pendicularidade.
Na figura a seguir, vemos r s t r s t� � � �a a a, , , , , , coplanares .
Figura 26 – Retas coplanares / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: um plano, identificado por alfa, contendendo três retas chamadas s, r e t.
r
t
s
α
1
6
 ■ Concorrentes, 
quando têm 
apenas um pon-
to comum, isto é 
r s P∩ = .
Notação: r s× .
Figura 27 – Retas paralelas / Fonte: o autor.
Figura 28 – Retas concorrentes / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: um plano, identificado por alfa, duas retas pa-
ralelas chamadas r e s
Descrição da Imagem: um plano, identificado por alfa, duas retas con-
correntes no ponto P e chamadas r e s.
r
s
αDuas retas coplanares podem ser:
 ■ Paralelas, quan-
do não têm pon-
to comum, ou 
seja r s� �� .
Notação: r s/ / .
r
s
α
P
 ■ Perpendiculares, quando duas retas concorrentes formam entre si ângu-
los retos, dizemos que formam um tipo especial de concorrência e por 
isso são chamadas de retas perpendiculares. 
Notação: r s⊥ .
UNIASSELVI
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TEMA DE APRENDIZAGEM 1
Deste modo, duas 
retas são perpendicula-
res se, e somente se, são 
concorrentes (têm ponto 
comum) e formam ân-
gulos adjacentes suple-
mentares congruentes.
No plano cartesiano, 
a base de referência são 
duas retas concorrentes 
ortogonais. Você estu-
dará a representação 
cartesiana na disciplina 
de Geometria Analítica.
Figura 29 – Retas perpendiculares / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: um plano, identificado por alfa, duas retas per-
pendiculares com o ângulo de noventa graus.
α
Critério de paralelismo entre reta e plano
 ■ Critério1: se uma reta é paralela a uma reta de um plano, é paralela ao plano.
 ■ Critério 2: se um plano contém duas retas concorrentes paralelas a outro 
plano, os planos são paralelos.
Critério de perpendicularidade entre reta e plano
Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano, é perpen-
dicular ao plano.
Critério de perpendicularidade entre dois planos
Se um plano contém uma reta perpendicular a outro plano, os dois planos são 
perpendiculares. 
Uma reta e um plano são perpendiculares, se e somente se, eles têm um ponto 
comum e a reta é perpendicular a todas as retas que passam por este ponto comum.
Indicação: r ⊥ a .
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Retas reversas
Duas retas são reversas quando não são paralelas nem possuem ponto comum. 
Isto significa que não existe um plano que as contenha. Podemos imaginar uma 
reta r desenhada no chão de uma sala e uma reta t, não paralela a r, desenhada 
no teto da mesma sala.
Figura 31 – Segmento de reta / Fonte: o autor.
Figura 30 – Retas reversas
Fonte: Dalpiaz e Bona (2014, 
p. 169).
Descrição da Imagem: uma reta r pontilhada com um segmento destacado entre os pontos A e B.
Descrição da Imagem: 
temos 8 segmentos de 
restas dispostas como 
arestas de um paralelepí-
pedo. Dois segmentos 
estão destacados indica-
dos a situação de retas 
reversas.
A D
E H
CB
E G
SEGMENTOS DE RETA
Vamos estudar agora como podem ser dois ou mais segmentos de reta. Iniciamos 
observando a figura a seguir:
A B r
Como já vimos, o conjunto formado pelos pontos A , B e por todos os pontos 
da reta entre A e B é chamado segmento de reta.
Os pontos A e B são chamados extremos do segmento AB . Os pontos 
internos do segmento AB são os pontos que estão entre A e B .
Assim como os ângulos, podemos garantir a medição de segmentosde retas 
utilizando axiomas.
UNIASSELVI
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TEMA DE APRENDIZAGEM 1
Segmentos consecutivos
Dois segmentos de reta são consecutivos se uma extremidade de um deles é 
também extremidade do outro. Ou seja, a extremidade de um coincide com a 
extremidade do outro.
Os segmentos AB e C das duas figuras acima possuem um extremo comum, 
B . Logo, AB e BC são segmentos consecutivos.
A
B
C
A C
B
A
B
C
A C
B
Figura 32 – Segmentos consecutivos de reta / Fonte: o autor.
Figura 33 – Segmentos colineares / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: são apresentadas duas imagens com segmentos consecutivos. A primeira imagem exibe 
os pontos A, B e C colineares. A segunda imagem exibe os segmentos como os lados de um triângulo, sem um 
dos lados.
Descrição da Imagem: sobre uma reta r são destacados os pontos A, B, C e D (nesta ordem). Entre A e B está 
destacado um segmento e entre C e D está destacado outro segmento.
Segmentos colineares
Dois segmentos são colineares se estão numa mesma reta.
Exemplos:
Na figura a seguir, AB r⊂ e CD r⊂ . Logo AB e CD são segmentos 
colineares.
A D rCB
Dizemos que AB e BC são segmentos colineares e adjacentes se são colineares 
e consecutivos.
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Observe que nem todo segmento colinear é adjacente. E que nem todo seg-
mento adjacente é colinear.
Segmentos congruentes
A congruência de segmentos é uma noção primitiva aceita pelos postulados de 
Euclides. A congruência é a forma como dizemos que dois segmentos são “iguais”, 
mas são originados por pontos distintos.
A noção de congruência satisfaz as seguintes propriedades:
 ■ Todo segmento é congruente a si mesmo: AB AB≅ .
 ■ Se AB CD≅ , então CD AB≅ .
 ■ Se AB CD≅ e CD EF≅ , então AB EF≅ . Pela propriedade transitiva.
Ponto médio de um segmento
Um ponto M é ponto médio de um segmento AB se, e somente se, M está 
entre A e B de tal forma que AB MB≅ .
Figura 34 – Segmentos colineares e consecutivos / Fonte: o autor.
Figura 35 – Ponto médio / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: sobre uma reta r são destacados os pontos A, B e C (nesta ordem). Entre A e B está des-
tacado um segmento e entre B e C está destacado outro segmento adjacente ao segmento de extremos A e B.
Descrição da Imagem: sobre uma reta são destacados os pontos A, M e B (nessa ordem) com indicações de que 
M divide o segmento de extremos A e B ao meio.
A rCB
A
r
M B
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TEMA DE APRENDIZAGEM 1
Proporcionalidade
Vamos continuar nossa viagem pela geometria. Supondo que você queira 
calcular a altura de um determinado prédio ou igreja, ou que você trabalhe 
em uma profissão em que as unidades de medida de altura são importantes: 
como encontrar a medida de altura de qualquer objeto sem precisar subir 
nele? Será que é possível fazer isso?
Veremos que com alguns conceitos de proporcionalidade poderemos fazer 
este tipo de cálculo. Estes conceitos são importantes para vários ramos da ciência 
como, por exemplo, na construção civil.
TEOREMA DE TALES
Observe na figura a seguir: as retas r , s e t , que juntas formam um feixe (um 
conjunto) de retas paralelas. Todas estão cortadas pelas retas transversais u e m .
r
s
t
m u
P A
R B
Q C
Figura 36 – Feixe de retas paralelas / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: são exibidas as retas r, s e t que juntas formam um feixe de retas paralelas. Todas estão 
cortadas pelas retas transversais u e m. 
A reta u determina com as retas paralelas os segmentos AB e BC e a reta m 
determina os segmentos PR e RQ . A relação existente entre esses segmentos é 
assegurada pelo Teorema de Tales.
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1
Teorema de Tales: se duas retas são transversais de um feixe de paralelas, 
então, a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão 
entre os respectivos segmentos correspondentes da outra.
Vejamos como podemos aplicar o teorema de Tales. 
Vamos iniciar com a ideia do mapa de um bairro de uma cidade qualquer:
Figura 37 – Feixe de retas paralelas – exemplos ruas / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: são exibidas as retas Rua A, Rua B e Rua C que juntas formam um feixe de retas paralelas. 
Todas estão cortadas pelas retas transversais Av 1 e Av 2. A Av 1 é cortada em dois segmentos de comprimento 
40m e 25m. A Av 2 é cortada em dois segmentos de comprimento x e 30m.
Av. 1
Av. 2
25m 30m
40m X
Rua A
Rua B
Rua C
Observe que na Avenida 2, entre a Rua B e a Rua C, não conhecemos a distância 
em metros. Como se trata de um número desconhecido, a princípio chamaremos 
esta distância de x . 
Como as Ruas A, B e C são paralelas, podemos aplicar o teorema de Tales, 
considerando a proporcionalidade dos segmentos determinados pelas paralelas 
e pelas transversais avenidas 1 e 2.
Assim 
25
40
30
=
x
. Fazendo o produto dos meios e dos extremos, posterior-
mente, isolando a incógnita teremos: x m= 48 .
Então, a distância desconhecida no mapa é de 48 m.
UNIASSELVI
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TEMA DE APRENDIZAGEM 1
Relações no espaço
Vamos aprofundar nossos conhecimentos analisando objetos no espaço a partir 
das relações entre pontos, retas e planos.
É de fundamental importância que você desenvolva suas habilidades de ana-
lisar figuras no plano. Assim importa ter em mente os conhecimentos estudados 
seções anteriores, pois as mesmas relações para o plano são válidas no espaço.
RELAÇÕES ENTRE DUAS RETAS NO ESPAÇO
Para melhor compreensão das relações entre retas no espaço vamos observar a 
representação geométrica de uma ‘caixa’ em formato retangular:
Tales era um próspero negociante, engenheiro e astrônomo da antiga 
Grécia. Viveu numa época em que os estudiosos se dedicavam a todas as 
disciplinas, e ele era um deles. Certa ocasião, quando viajou para o Egito, o 
Faraó o convidou para determinar a altura da grande pirâmide.
Utilizando, o que hoje chamamos de semelhança de triângulo, Tales con-
seguiu medir a altura da pirâmide. Para realizar essa tarefa, Tales utilizou a 
comparação entre as sombras de seu cajado e da pirâmide.
APROFUNDANDO
A
B
F
E
C
G
D
H Figura 38 – Caixa em formato retangular
Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: são apresentadas 
doze retas formando uma caixa. Seus vérti-
ces identificados pelas letras A até H.
As retas AB , BC , CD e DA são coplanares porque o plano ( ABCD ) as contém. 
Também são retas coplanares as retas AE , EH , DH e DA porque o plano (
AEHD ) contém essas três retas.
3
4
Se duas retas distintas formam um plano, então, duas ou mais retas são retas 
coplanares quando existe um plano que as contém.
A relação também ocorre para os planos: BFGC , CGDH , BFEA e EFGH .
As retas coplanares AB e CD não têm ponto em comum. O mesmo ocorre 
com as retas coplanares BC e DA .
Retas coplanares distintas que não têm ponto em comum são chamadas de 
retas paralelas. 
Outros pares de retas paralelas distintas são: GH , EF , CG e DH
O par de retas AB e DA tem um único ponto comum, isto é, as retas intercep-
tam-se num ponto. O mesmo acontece em BC e CD .
Retas que têm um único ponto em comum são chamadas de retas concor-
rentes.
Outros pares de retas paralelas distintas são: FG e GH , CG e FG .
Para as retas AB e FG não existe um plano que contenha as duas.
Dadas duas retas, quando não existe um plano que as contenha, são chama-
das de retas reversas ou não coplanares.
Outros pares de retas reversas ou não coplanares são: GH e AD , BC e EF .
• Duas retas paralelas são sempre coplanares.
• Duas retas concorrentes são sempre coplanares.
ZOOM NO CONHECIMENTO
UNIASSELVI
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TEMA DE APRENDIZAGEM 1
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DOIS PLANOS DISTINTOS
As principais posições relativas entre dois planos distintos são:
 ■ Paralelos
 • caso especial: paralelos coincidentes.
 ■ Secantes
 • caso especial: secantes perpendiculares
Se dois planos secantes não forem perpendiculares, são chamados de oblíquos.
Vamos às representações:
 ■ Planos paralelos: quando não houver ponto em comum aos dois planos.
Figura 39 – Planos paralelos / Fonte: Dalpiaz e Bona (2014, p. 170).
Figura 40– Planos paralelos coincidentes / Fonte: Dalpiaz e Bona (2014, p. 170).
Descrição da Imagem: dois planos paralelos, denominados por alfa e beta.
Descrição da Imagem: um plano denominado por alfa e beta.
α
β
Planos paralelos coincidentes: quando possuem todos os pontos em comum.
α
β
β=α
r
β
α
3
6
Planos secantes: quando possuem uma reta comum
Figura 41 – Planos secantes / Fonte: Dalpiaz e Bona (2014, p. 170).
Figura 42 – Planos secantes perpendiculares / Fonte: Dalpiaz e Bona (2014, p. 170).
Descrição da Imagem: dois planos, chamados alfa e beta, se intersectando em uma reta.
Descrição da Imagem: dois planos, chamados alfa e beta, se intersectando em um ângulo de 90º.
α
β
β=α
r
β
α
α
β
β=α
r
β
α
Planos secantes perpendiculares: quando a reta de um plano é perpendicular 
ao outro.
UNIASSELVI
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TEMA DE APRENDIZAGEM 1
DETERMINAÇÃO DE UM PLANO
Quando temos três pontos não colineares, existe um único plano que passa pelos 
três. Esta afirmação consiste em um importante postulado da Geometria: Três 
pontos não colineares determinam um único plano.
A partir deste postulado, inferimos as possíveis formas de determinar um plano:
POR TRÊS PONTOS NÃO COLINEARES
POR UMA RETA E UM PONTO FORA DELA
α
A
B
C
α
A
r
αr s
α
r
s
Figura 43 – Plano determinado por três pontos / Fonte: Dalpiaz e Bona (2014, p. 174).
Figura 44 – Plano determinado por uma reta e um ponto fora dela / Fonte: Dalpiaz e Bona (2014, p. 174).
Descrição da Imagem: em um plano alfa temos três pontos A, B e C não colineares.
Descrição da Imagem: em um plano alfa temos uma reta r e um ponto A fora dela.
3
8
POR DUAS RETAS PARALELAS DISTINTAS
POR DUAS RETAS CONCORRENTES
NOVOS DESAFIOS 
A geometria é o ramo da Matemática que trata do estudo da medida, forma, 
tamanho e posição relativa de figuras e ainda questões com propriedades do 
espaço. Aqui foi possível conhecer alguns conceitos fundamentais da geometria 
para dar início ao seu estudo.
As construções geométricas apareceram na antiguidade e tiveram grande 
importância no desenvolvimento da Matemática. Mesmo que todo o modelo 
desenvolvido seja baseado em pouco axiomas, o poder da geometria é vivenciado 
por nós a todo momento.
α
A
r
αr s
α
r
s
α
A
r
αr s
α
r
s
Figura 45 – Plano determinado por duas relatas paralelas / Fonte: Dalpiaz e Bona (2014, p. 174).
Figura 46 – Plano determinado por duas retas concorrentes / Fonte: Dalpiaz e Bona (2014, p. 174).
Descrição da Imagem: 3m um plano alfa temos duas retas r e s paralelas e distintas.
Descrição da Imagem: em um plano alfa temos duas retas r e s concorrentes.
UNIASSELVI
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VAMOS PRATICAR
1. Apresentamos neste primeiro tema de aprendizagem o conceito de ângulos comple-
mentares e suplementares. Esses conceitos são importantes em muitos problemas 
matemáticos e da vida cotidiana. Existem muitas situações nas quais podemos nos 
deparar com medidas de ângulos, como, por exemplo, entre os ponteiros de um relógio, 
em caixas de produtos, em cruzamento de ruas ou placas de trânsito. Em algumas 
dessas situações, tão importante quando o valor do ângulo é o valor de seu comple-
mento ou suplemento.
SIQUEIRA, R. A. ; MARCUSSI, F. Geometria com construções geométricas. Maringá: 
Unicesumar, 2018. 152 p.
Em uma sala de aula, há dois alunos, Ana e Carlos, que estão sentados em carteiras ad-
jacentes. Ao olhar para suas mesas, eles percebem que suas mesas formam um ângulo. 
Ana mede o ângulo formado e encontra um valor de 120°. Carlos, curioso, decide medir o 
ângulo formado pela mesa dele com a mesa de Ana e encontra um valor de 60°.
Com base nessas informações, responda às seguintes perguntas:
a) Qual é o tipo de ângulo formado pelas mesas de Ana e Carlos? Explique.
b) Se Ana e Carlos deslizarem suas mesas para uma nova posição em que as mesas 
fiquem paralelas (uma ao lado da outra), que medida de ângulo será formada entre as 
mesas nessa nova configuração?
2. O modelo de geometria que mais utilizamos em nossas tarefas diárias é devido aos 
escritos do matemático Euclides. Seus vários livros, chamados Elementos, são a base 
da geometria axiomática e também do estilo de matemática que desenvolvemos até 
os dias de hoje. 
Em sua obra, Euclides elencou diversos axiomas que servem de base teórica para resul-
tados mais elaborados. Por exemplo, quando temos três pontos não colineares, existe um 
único plano que passa pelos três. Esta afirmação consiste em um importante postulado 
da Geometria, que nos diz que “três pontos não colineares determinam um único plano”.
DALPIAZ, M. V. A. D; BONA, J. Geometria. Indaial: Uniasselvi, 2014. 249 p. 
A partir desse postulado, inferimos quatro possíveis formas de determinar um plano. 
Quais são elas?
4
1
VAMOS PRATICAR
3. A Geometria Espacial é a área da Matemática que estuda os objetos geométricos em 
três dimensões, o que chamamos de figuras tridimensionais. Nela, aprendemos sobre 
os sólidos geométricos e suas diversas propriedades. 
DALPIAZ, M. V. A. D; BONA, J. Geometria. Indaial: Uniasselvi, 2014. 249 p. 
Analise as sentenças a seguir e assinale a alternativa correta:
I - Retas paralelas: são retas que possuem interseção e estão em um mesmo plano.
II - Pontos coplanares: são pontos que não pertencem a um mesmo plano.
III - Figura espacial: é a figura que possui seus pontos em mais de um plano.
É correto o que se afirma em:
a) I, apenas.
b) III, apenas.
c) I e III, apenas.
d) II e III, apenas.
e) I, II e III.
4
1
VAMOS PRATICAR
4. Os estudos matemáticos, além de lidarem com conceitos abstratos, se dedicam a es-
tudar e compreender objetos que podemos encontrar em nosso cotidiano. As formas 
mais simples que conhecemos são aquelas planas, cuja descrição pode ser feita com 
apenas duas dimensões. Por outro lado, o mundo que nos rodeia é repleto de objetos 
tridimensionais (que por sua vez podem ser decompostos em outros bidimensionais). 
Como são existem muito objetos tridimensionais, nos especializamos em estudar al-
gumas formas mais simples e que permitem a compreensão de outras mais elabora-
das (formadas por combinações). O ramo da matemática que estuda essas figuras de 
três dimensões é a Geometria Espacial, e exemplos desses objetos são os poliedros e 
corpos redondos.
DALPIAZ, M. V. A. D; BONA, J. Geometria. Indaial: Uniasselvi, 2014. 249 p. 
Com relação aos elementos primitivos da geometria espacial, assinale a alternativa cor-
reta:
a) Os conceitos iniciais da geometria espacial são: o ponto, a reta e o plano. O ponto 
é adimensional (não possui dimensão), a reta é unidimensional (possui uma única 
dimensão: o comprimento) e o plano é bidimensional (possui duas dimensões: com-
primento e largura).
b) As retas são elementos primitivos da geometria espacial, são representadas por le-
tras maiúsculas e podem ser classificadas de acordo com sua posição num plano 
(horizontal, vertical e diagonal) ou de acordo com outra reta próxima a ela (paralela 
ou concorrente). 
c) Os planos são elementos primitivos da geometria espacial, são representados por 
letras do alfabeto egípcio.
d) O ponto é um dos elementos primitivos da geometria espacial e é representado por 
letras minúsculas do alfabeto brasileiro.
e) Não existe elementos primitivos na geometria espacial, somente na geometria plana.
4
1
VAMOS PRATICAR
5. O estudo de geometria, segundo Euclides, se baseia em alguns termos primitivos e 
diversos axiomas. Graças a essa metodologia, entendemos que existem pontos, e que 
por dois pontos podemos traçar uma reta. Apesar de ser uma noção empiricamente 
verificável, para conceber essas ideias de um ponto de vista puramente racional, filó-
sofos e outros cientistas dedicaram anos de estudos. 
Um avanço dessas noções é compreender o que acontece com três dimensões. Isto 
é, gostaríamos de poder generalizar as ideias da Geometria plana para uma teoria que 
englobe mais objetos. Na Geometria Espacial, podemos fazer diversas relações entre os 
pontos, as retas e os planos. Em particular, dentre essas relações,estão as entre duas 
retas no espaço. 
DALPIAZ, M. V. A. D; BONA, J. Geometria. Indaial: Uniasselvi, 2014. 249 p. 
Com base nas informações apresentadas, avalie as asserções a seguir e a relação pro-
posta entre elas:
I - Duas retas paralelas são sempre coplanares
PORQUE
II - Duas retas concorrentes também são sempre coplanares. 
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:
a) As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
b) As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
c) A asserção I é uma proposição verdadeira e a II é uma proposição falsa.
d) A asserção I é uma proposição falsa e a II é uma proposição verdadeira.
e) As asserções I e II são falsas.
4
3
REFERÊNCIAS
BARBOSA, J. L. M. Geometria euclidiana plana. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de 
Matemática, 1985.
BOYER, C. B. História da matemática. Tradução de Elza F. Gomide. São Paulo: Edgard Blu-
cher, 1974.
DALPIAZ, M. V. A. D.; BONA, J. Geometria. Indaial: Uniasselvi, 2014.
DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos de matemática elementar: geometria espacial, 
posição e métrica. São Paulo: Atual, 2004. v. 10.
EUCLID. The thirteen books of the elements: translated with introduction and commen-
tary by Sir Thomas Heath. New York: Dover, 1956.
HILBERT, D. Fundamentos de geometria. Lisboa: Gradiva, 2003.
HILBERT, D. Fundamentos de matemática elementar: geometria plana. São Paulo: Atual, 
2004. v. 9.
LIMA, E. L. Medida e forma em geometria. Rio de Janeiro: BM, 1991. (Coleção do Professor 
de Matemática).
LIMA, E. L. Matemática e ensino. Rio de Janeiro: SBM, 2001. (Coleção do Professor de Ma-
temática).
SIQUEIRA, R. A. N.; MARCUSSI, F. Geometria com construções geométricas. Maringá: 
Unicesumar, 2018.
WAGNER, E.; CARNEIRO, J. P. Q. Construções geométricas. 4. ed. Rio de Janeiro: SBM, 
2000.
4
4
1. a). Observe que a soma dos ângulos encontrados é 120o + 60o = 180o. Logo, esses ân-
gulos são suplementares.
b). Como as duas mesas devem ficar paralelas e lado a lado, o ângulo formado entre elas 
deve ser 180o.
2. Um plano pode ser determinado por: três pontos não colineares; por uma reta e um ponto 
fora dela; por duas retas paralelas distintas; e por duas retas concorrentes.
3. I – Falso – Por definição, retas paralelas são retas que não possuem interseção e estão 
em um mesmo plano.
II - Falso – Por definição, pontos coplanares são pontos que pertencem a um mesmo plano.
III - Verdadeiro – Por definição, as figuras espaciais são figuras que possui seus pontos 
em mais de um plano.
4. Por definição de elementos primitivos, temos que os conceitos iniciais da geometria es-
pacial são: o ponto, a reta e o plano. O ponto é adimensional (não possui dimensão), a reta 
é unidimensional (possui uma única dimensão: o comprimento) e o plano é bidimensional 
(possui duas dimensões: comprimento e largura) .
5. Por definição, duas retas são sempre coplanares e duas retas concorrentes também são 
sempre coplanares, entretanto as duas não possuem relações diretas, isto é, uma não é 
justificativa da outra.
GABARITO
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1
MINHAS METAS
POLÍGONOS, TRIÂNGULOS, 
QUADRILÁTEROS E CÍRCULO
DR. WILLIAN GOULART GOMES VELASCO
Apresentar polígonos, seus elementos e principais tipos.
Estudar as relações de ângulos em polígonos.
Classificar triângulos e compreender suas principais propriedades.
Definir quadriláteros e reconhecer os principais exemplos.
Identificar os principais elementos de uma circunferência.
T E M A D E A P R E N D I Z A G E M 2
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6
INICIE SUA JORNADA
Nosso foco ao longo desta unidade de estudo são os polígonos, triângulos, qua-
driláteros e as circunferências. 
O estudo de circunferências é feito desde a antiguidade e pode ser aplicado 
a diversas áreas. Por exemplo, o cálculo do comprimento da circunferência 
da Terra feito pelo matemático grego e diretor da biblioteca de Alexandria, 
Eratóstenes (276–195 a.C.).
Em seus estudos, Eratóstenes percebeu que diferentes localidades produziam 
sombras com diferentes inclinações em um mesmo horário. Então, ele conjec-
turou que a determinação do ângulo entre essas medições indicaria um ângulo, 
e com esse ângulo, seria possível determinar o tamanho (aproximado) da terra.
O valor encontrado por ele foi apenas 15% maior do que o real, o que é bem 
razoável pelo método disponível na época. O erro ocorreu por duas razões: a 
distância entre as duas cidades não era sabida com exatidão, nem as duas cidades 
se localizam no mesmo meridiano. Se esses dois fatos fossem verdadeiros, o erro 
seria de aproximadamente 2%.
Com esse exemplo, é possível verificar que o estudo da Geometria teve início 
há muito tempo e, desde então, se mostra muito assertivo. 
Vamos conhecer os polígonos e circunferências e seus principais exemplos, 
bem como identificar a semelhança de triângulos.
Começamos nossos estudos apresentando algumas históri-
as relacionadas aos tópicos que abordaremos. Ouçam o pod-
cast a seguir e se preparem para nossa unidade de estudo.
PLAY NO CONHECIMENTO
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TEMA DE APRENDIZAGEM 2
DESENVOLVA SEU POTENCIAL
A partir deste tópico, vamos ampliar nossa capacidade de abstração analisando 
algumas figuras específicas chamadas polígonos. Em alguns momentos, vamos 
fazer demonstrações matemáticas utilizando a linguagem matemática e argu-
mentos encadeados em uma sequência lógica.
A palavra polígono é proveniente do grego, que quer dizer: poli (muitos) + go-
nos (ângulos). A grosso modo, podemos definir um polígono matematicamente 
como uma figura geométrica plana e fechada por segmentos de reta.
Sempre que tratarmos de polígonos, estaremos nos referindo a uma forma 
plana. Qualquer polígono é uma figura poligonal.
VAMOS RECORDAR?
A origem da Geometria é imprecisa, contudo, há uma certeza: um marco 
histórico na construção da Geometria ocorreu no século III a.C., quando o 
matemático grego Euclides de Alexandria organizou todo o conhecimento 
geométrico então disponível, grande parte de sua própria criação, em uma obra 
de treze volumes, denominada Os elementos (EUCLID, 1956).
Seguem alguns axiomas (também chamados de postulados) relacionados aos 
elementos primitivos da geometria (ponto, reta, plano, estar entre):
• Dois pontos distintos determinam uma única reta que os contém.
• Em uma reta, bem como fora dela, há infinitos pontos.
• Em um plano, há infinitos pontos.
• Por um ponto, passam infinitas retas.
• É possível traçar uma reta ligando dois pontos.
• Toda reta que tem dois pontos distintos num plano fica inteiramente contida 
no plano.
• Por três pontos não situados na mesma reta (não colineares), passa um e 
somente um plano.
• Uma reta de um plano divide-o em dois semiplanos.
• Um plano divide o espaço em duas regiões chamadas semiespaços.
• Dada uma reta r e um ponto exterior P , existe exatamente uma reta que 
passa em P e é paralela a r .
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8
São muitas as formas poligonais que nos circundam, um breve momento de 
observação de alguns objetos certamente lhe permitirá identificar triângulos, 
quadriláteros, pentágonos, entre outros.
Neste tópico, nosso objeto de estudo são os tipos de polígonos. Na sequência, de-
dicamos um tópico especialmente para o triângulo e outro para a circunferência por 
serem estas duas figuras primitivas de outras construções geométricas mais complexas.
Para o estudo das próximas páginas, vamos necessitar dos conceitos já apren-
didos sobre pontos, retas e planos. Preparado(a)? Então, vamos lá!
Bons estudos!
POLÍGONO
Uma linha poligonal fechada simples (isto é, a reta termina no ponto onde se 
inicia e não apresenta autointerseções) é chamada polígono. 
Podemos, também, definir polígono como uma figura plana formada por três ou 
mais segmentos chamados lados, de modo que cada lado tem interseção com somente 
outros dois lados adjacentes. Aqui, estamos pensando na linha que delimita essa figura.
Frequentemente a palavra polígono refere-se apenas ao contorno da figura. 
Contudo, outras vezes, refere-se ao contornoe à região plana que é seu interior. 
Por isso podemos dizer que um polígono divide o plano em duas regiões, sem 
pontos comuns: a região interior e a região exterior. 
Observe na figura a seguir o pentágono contido no plano a .
Exterior
Interior
α
Figura 1 - Pentágono no plano / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: um retângulo é identificado com um plano alfa. Em seu interior, temos um pentágono 
hachurado. Dentro do pentágono está escrito Interior, e fora, ainda dentro do plano, está escrito Exterior
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TEMA DE APRENDIZAGEM 2
Se o segmento que une dois pontos quaisquer da região interior de um polígono 
estiver contido nessa região, dizemos que o polígono é convexo. 
Podemos dizer, ainda, que um polígono convexo é um polígono construído de 
modo que os prolongamentos dos lados nunca ficarão no interior da figura original. 
Se dois pontos pertencem a um polígono convexo, então, todo o segmento ten-
do estes dois pontos como extremidades estará inteiramente contido no polígono.
Se existirem dois pontos no interior de um polígono tal que o segmento 
determinado por eles não esteja contido na região, dizemos que o polígono é 
côncavo ou não convexo.
Podemos dizer, ainda, que um polígono é côncavo se, dados dois pontos do 
polígono, o segmento que tem estes pontos como extremidades contiver pontos 
que estão fora do polígono.
As figuras a seguir são exemplos de polígonos convexos e não convexos:
A B A
A
A
B
B
BA B
Figura 2 - Polígonos convexos e não convexos / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: são apresentados cinco polígonos, em cada um, são identificados pontos A e B e um 
segmento entre eles. Os três primeiros são convexos e são: losango, triângulo e paralelogramo. Os dois últimos 
não são convexos e são: uma cruz e uma estrela de quatro pontas.
No dia a dia, podemos observar 
os polígonos nas construções 
das cidades, nas embalagens 
que nos cercam e na natureza. 
Vejamos alguns exemplos:
1. No formato das col-
meias das abelhas que 
mais parece uma re-
gião revestida por um 
mosaico de polígonos.
Figura 3 - Colmeia de abelha
Descrição da Imagem: uma colmeia de abelhas exibindo for-
mas poligonais
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1
2. Em obras de arte. Destacamos os artistas Piet Mondrian e Hélio Oiticica 
que se inspiraram em formas poligonais.
Figura 4 - Obras de arte
Descrição da Imagem: a figura exibe duas obras de artes. Uma pintura formada por quadrilateros nas cores 
branca, azul, amarelo e vermelho. A outra obra é uma escultura formada por paredes quadradas de cores rosa, 
laranja e azul.
3. Em diferentes construções, como prédios, antenas, abobadas de tetos de 
igrejas e estruturas externas de estádios esportivos.
Figura 5 - Prédios e estádio
Descrição da Imagem: duas imagens, uma exibindo prédios com formas geométricas distintas. A seu lado, a outra 
imagem exibe o exterior de um estádio esportivo.
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TEMA DE APRENDIZAGEM 2
4. Em grandes monumentos da humanidade, como a Calçada dos Gigantes 
(erupção vulcânica ocorrida há cerca de 60 milhões de anos localizada na 
Irlanda do Norte) e as construções incas.
Figura 6 - Calçada dos Gigantes
Descrição da Imagem: uma formação de rochas em formatos de polígonos.
Elementos de um polígono
Vamos conhecer elementos do polígono. De acordo com a imagem a seguir:
Figura 7 - Elementos do polígono / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: a figura apresenta um retângulo com vértices A, B, C e D. Os ângulos internos estão 
hachurados e possuem o mesmo nome do vértice. Os ângulos externos estão identificados e são nomeados por 
e1 (do vértice A), e2 (do vértice B), e3 (do vértice C) e e4 (do vértice D).
D
A
B
C
 
 B̂
D̂ Ĉ
1ê
2ê
3ê
4ê
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1
 ■ Vértices: são os pontos extremos dos segmentos da linha poligonal (pon-
tos A , B , C e D ).
 ■ Lados: são os segmentos da linha poligonal ( ,AB BC , CD, DA) .
 ■ Ângulos internos: são os ângulos formados por dois lados consecutivos 
do polígono (A^, B
^
, C
^
, )D^ .
 ■ Ângulos externos: são os ângulos formados por um lado do polígono 
e pelo prolongamento do lado a ele consecutivo. Na figura, os ângulos 
externos são: e1 , e2 , e3 , e4 .
Um polígono de n vértices possui n lados e n ângulos. A soma das medi-
das dos lados é o perímetro do polígono.
ZOOM NO CONHECIMENTO
Polígonos regulares e classificação
Um polígono é regular quando todos os seus lados e todos os seus ângulos são con-
gruentes. Um polígono que possui apenas os lados congruentes é chamado de equi-
látero. Quando somente os ângulos são congruentes, dizemos que é equiângulo.
As figuras a seguir são polígonos regulares. Observe que os lados e os ângulos 
de cada figura possuem a mesma medida.
NÚMERO 
DE LADOS
NOME
NÚMERO DE ÂN-
GULOS
IMAGEM DO POLÍGONO 
REGULAR
3 Triângulo 3
4 Quadrilátero 4
 
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TEMA DE APRENDIZAGEM 2
NÚMERO 
DE LADOS
NOME
NÚMERO DE ÂN-
GULOS
IMAGEM DO POLÍGONO 
REGULAR
5 Pentágono 5
6 Hexágono 6
7 Heptágono 7
8 Octógono 8
9 Eneágono 9
10 Decágono 10
11 Undecágono 11
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NÚMERO 
DE LADOS
NOME
NÚMERO DE ÂN-
GULOS
IMAGEM DO POLÍGONO 
REGULAR
12 Dodecágono 12
15 Pentadecágono 15
20 Icoságono 20
Tabela 1 - Polígonos regulares / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: cada linha exibe uma imagem com um polígono com o número de lados indicados. Observe 
que, quanto mais lados um polígono regular possui, mas próximo de uma circunferência ele fica. 
Os gregos, mesmo sem ferramentas de alta precisão, desen-
volveram métodos para construir figuras planas utilizando 
apenas régua e compasso.
Estas construções geométricas devem seguir algumas re-
gras básicas:
• Conhecendo-se dois pontos distintos, é possível 
traçar uma reta utilizando a régua.
• Com o compasso, é possível traçar uma circun-
ferência com centro em um ponto conhecido e que 
passa por um segundo ponto determinado.
O jogo Euclidea (disponível para celulares e, também, em 
versão on-line) nos apresenta quebra-cabeças geométricos 
que devemos resolver por meio de construções com régua 
e compasso. Assim como os gregos, porém de forma digital! 
Acesse o jogo a seguir.
EU INDICO
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https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/20558
TEMA DE APRENDIZAGEM 2
Diagonal de um polígono
Diagonal de um polígono é o segmento de reta cujos extremos são dois vértices 
não consecutivos do polígono.
Figura 8 - Diagonais do polígono / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: são apresentados três polígonos e algumas diagonais: um com quatro lados e uma dia-
gonal; um com seis lados e duas diagonais de vértices distintos; o último com cinco lados e duas diagonais do 
mesmo vértice 
Uma pergunta natural que surge é a seguinte: quantas diagonais são possíveis de 
se traçar em um polígono de n lados?
Para resolvermos esse problema, devemos perceber que, para cada vértice do 
polígono, formamos outros polígonos. No entanto, é importante notar que os la-
dos que formam esse vértice não podem ser computados. Dessa forma, utilizando 
argumentos de contagem, temos que o número d de diagonais será
d C n n
n
n n nn� � � �
� �
� �
�,
!
( )! !
( )
2 2 2
3
2
Esta expressão matemática quer dizer: uma combinação de n pontos tomados 
dois a dois, subtraindo-se os lados que não formam diagonais.
Exemplo: Quantas diagonais podem ser construídas em um quadrilátero?
Substituindo n = 4 , que é o número de lados de um quadrilátero, teremos: 
d � � � � �4 4 3
2
4
2
2( )
Apesar de ser um exemplo simples, podemos apreciar o poder de nossa fórmula.
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6
Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo
Já vimos que a soma das medidas de dois ângulos adjacentes suplementares é 
180º. Esse fato será importante para determinarmos a soma das medidas dos 
ângulos de um polígono convexo.
Consideremos o polígono ABCDE na figura a seguir, em que i i i i i1 2 3 4 5� � � � �, , , , . são as 
medidas dos ângulos internos e e e e e e1 2 3 4 5    , , , , são as medidas dos ângulos externos.
D
C
BA
E
1i 2i
3i
4i
5i
1ê
2ê
3ê
4ê
5ê
Figura9 - Diagonais do polígono / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: um pentágono com vértices A, B, C, D e E e em cada um são indicados os ângulos internos 
e externos.
Pela figura, podemos observar que a soma de um ângulo interno com seu res-
pectivo ângulo externo é igual a dois ângulos retos ou 180º. Também podemos 
perceber que, no pentágono, aparecem 5 somas desse tipo.
Então, somando todos os ângulos internos e externos em separado, temos
( ) ( )i i i i i e e e e e o1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 5 180� � � � � � � � � � � .
Indicando S i i i i ii � � � � �1 2 3 4 5 e S e e e e ee � � � � �1 2 3 4 5 teremos 
S Si e
o� � �5 180 .
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TEMA DE APRENDIZAGEM 2
Ampliando nosso raciocínio para um polígono com n lados, teremos:
( ) ( )i i i i e e e e n S S nn n
o
i e
o
1 2 3 1 2 3 180 180� � ��� � � � ��� � � � � � � .
Antes de apresentarmos a regra geral, observamos um fato relacionado à soma 
dos ângulos internos. Por indução matemática, podemos demonstrar que 
S ni
o� � �( )2 180 , para n > 2 . Assim, realizando esta alteração na fórmula an-
terior, encontrarmos 
S n n Se
o o
e
o� � � � � � �( )2 180 180 360
Ou seja, a soma dos ângulos externos de um polígono regular de n lados é 360º. 
Como Se
o o� � �360 2 180 , continuando a dedução da fórmula geral, vemos que
S S n S n S ni e
o
i
o o
i
o� � � � � � � � � � � �180 2 180 180 2 180( ) .
Medida do ângulo interno e externo
Para calcular a medida do ângulo interno e externo de um polígono regular de 
n lados, utilizamos a premissa que seus ângulos internos são congruentes. Logo, 
indicando cada ângulo interno por ai e cada ângulo externo por ae , utilizando 
as relações anteriores, podemos deduzir
n a S n a n
ni i
o
i
o
� � � � � � �
� �
( )
( )2 180 2 180
.
Analogamente, como os ângulos externos são congruentes e sua soma é 360º, 
vemos que
n a S a
ne e
o
e
o
� � � � �360 360
.
Como a soma de um ângulo interno e seu ângulo externo correspondente é 
sempre 180º, para calcular a medida do ângulo interno de um polígono regular é 
mais simples encontrar primeiro a medida do ângulo externo. Depois, pelo suple-
mento encontrar a medida do ângulo interno.
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TRIÂNGULOS
Como vimos no tópico anterior, o triângulo é uma das figuras geométricas mais 
básicas e por esta razão dedicamos o tópico para o estudo desta figura poligonal.
A principal característica do triângulo é o fato dele ser uma figura rígida. Este 
termo quer dizer que os triângulos podem ser rotacionais, ou espelhados e não 
ocorrem alterações nas medidas de seus lados, ou ângulos. 
Nas construções, é fácil notar a presença de triângulos. Este fato não está 
ligado apenas à sua estética, mas sim à rigidez.
Quando desejamos calcular a área de uma superfície irregular, é indicado di-
vidir a figura em vários triângulos capazes de cobrir toda a superfície e a partir 
deles fazemos o cálculo de área. Este processo é chamado de triangulação.
A triangulação é o mais antigo processo de levantamento de medidas 
topográficas, sendo, ainda hoje, o mais recomendado diante do baixo inves-
timento em instrumental e equipamentos auxiliares.
APROFUNDANDO
Assim como já vimos, o triângulo é o polígono que possui o menor número de 
lados de maneira a produzir uma figura fechada. 
Indica-se um triângulo ABC como o da figura a seguir por ABC (dize-
mos: “triângulo ABC”).
Observe na imagem a seguir os elementos de um triângulo:
ÂA
C
B
1ê
2ê
3ê
Figura 10 - Triângulo e seus elementos / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: um triângulo de vértices A, B e C. Com o ângulo interno do vértice A indicado por A
^
 e 
os externos por e1 , e2 e e3 
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TEMA DE APRENDIZAGEM 2
Os elementos de um triângulo são:
 ■ Os vértices: A , B e C .
 ■ Os lados: AB , AC e BC .
 ■ Os ângulos internos: BAC
^
 ou A
^
, ABC
^
 ou B
^
, ACB
^
 ou C
^
 ■ Os ângulos externos: e1 , e2 e e3
Observe que:
 ■ Cada ângulo interno é oposto ao lado determinado pelos outros dois 
ângulos.
 ■ Cada ângulo externo é suplementar do ângulo interno adjacente.
 ■ Em qualquer triângulo, a medida de cada lado é menor que a soma das 
medidas dos outros dois lados (condição de existência).
 ■ O interior de um triângulo é uma região convexa.
 ■ O exterior de um triângulo é uma região côncava.
Associados aos triângulos, destacamos alguns termos:
 ■ A mediatriz do lado de um triângulo é uma reta perpendicular ao lado 
passando por seu ponto Médio.
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� � �
�����������������������������
��������
����
Figura 11 - Mediatriz / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: um triângulo com vértices A, B e C. A mediatriz relativa ao ponto médio M do lado que 
passa por C e B.
6
1
 ■ A altura de um triângulo é o segmento perpendicular compreendido en-
tre o vértice e o lado oposto.
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� � �
������������������
��������������������
�������������
Figura 12 - Altura / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: um triângulo com vértices A, B e C. A altura relativa ao vértice A oposto ao lado que 
passa por C e B.
 ■ A mediana de um triângulo é o segmento de reta que une um vértice e o 
ponto médio do lado oposto.
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� � �
�����������������������������
������������������������
�
�����������
Figura 13 - Mediana / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: um triângulo com vértices A, B e C. A mediana relativa ao ponto médio M do lado que 
passa por C e B e partindo do vértice A.
Classificação dos triângulos
Os triângulos podem ser classificados quanto aos lados ou quanto aos ângulos.
Quanto aos lados, os triângulos se classificam em isósceles, equilátero ou 
escaleno.
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TEMA DE APRENDIZAGEM 2
Triângulos isósceles são triângulos que possuem dois lados congruentes.
Figura 14 - Triângulo isósceles / Fonte: o autor.
Descrição: um triângulo de vértices A, B e C. Com dois lados indicados como con-
gruentes.
Num triângulo isósceles, o ângulo formado pelos lados congruentes é chama-
do ângulo do vértice, o lado oposto a esse ângulo é chamado base e os ângulos 
adjacentes à base são chamados ângulos da base.
Triângulos equiláteros são triângulos que possuem os três lados congruentes.
Figura 15 - Triângulo equilátero / Fonte: o autor.
Descrição: um triângulo de vértices A, B e C. Com três lados indicados como con-
gruentes.
Todo triângulo equilátero é também triângulo isósceles.
�
� �
�
� �
6
1
Triângulos escalenos são triângulos que não possuem lados congruentes.
Figura 16 - Triângulo escaleno / Fonte: o autor.
Descrição: um triângulo de vértices A, B e C. Com os três lados indicados como não 
congruentes.
Quanto aos ângulos
Os triângulos se classificam em acutângulo, obtusângulo ou retângulo. 
Esses termos são emprestados do significado dos ângulos envolvidos, pois 
lembre-se que:
 ■ Ângulo agudos são aqueles com medida entre 0o e 90º;
 ■ Um ângulo reto tem exatamente 90º; e
 ■ Os ângulos obtusos estão entre as medidas de 90º e 180º.
Triângulos acutângulos são triângulos que possuem os três ângulos internos 
agudos, ou seja, menores 90º.
Figura 17 - Triângulo acutângulo / Fonte: o autor.
Descrição: um triângulo de vértices A, B e C. Com dois ângulos indicados como 
congruentes.
�
�
�
�
�
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TEMA DE APRENDIZAGEM 2
Triângulos obtusângulos são triângulos que possuem um ângulo interno 
obtuso, ou seja, maior que 90º.
Figura 18 - Triângulo obtusângulo / Fonte: o autor.
Descrição: um triângulo de vértices A, B e C. Com um ângulo indicado como maior 
que noventa graus.
Triângulos retângulos são triângulos que possuem um ângulo interno reto, ou 
seja, igual a 90º.
Figura 19 - Triângulo retângulo / Fonte: o autor.
Descrição: um triângulo de vértices A, B e C. Com um ângulo com medida igual a 
noventa graus.
Num triângulo retângulo, o lado oposto ao ângulo reto chama-se hipotenusa e os 
outros dois lados chamam-se catetos.
Propriedades dos triângulos
Vamos formalizar alguns conceitos por meio de algumas pequenas demonstra-
ções matemáticas.
1ª propriedade: A soma das medidas dos ângulos internos de qualquer triân-
gulo é iguala dois ângulos retos, ou seja, 180º.
Uma ideia para comprovação desta afirmação pode ser mostrada pela figura 
a seguir:
�
� �
�
� �
6
4
Considere o ABC e a reta r que passa por A e é paralela a BC . Utilizan-
do propriedades de ângulos alternos internos, podemos perceber que y C�
^
 e 
x B� ^ . Como x y A o180^ , vemos que a soma dos ângulos internos de um 
triângulo é 180º.
�
� �
� �
�
Figura 20 - Soma dos ângulos internos do triângulo / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem:um triângulo de vértices A, B e C. Com os ângulos internos hachurados. Pelo vértice 
A é traçada uma reta r paralela ao lado AB e os ângulos externos ao ângulo A são indicados por x e y.
VOCÊ SABE RESPONDER?
Observe que triângulos são polígonos convexos. Podemos demonstrar a soma 
dos ângulos internos de um triângulo de outra maneira? Dica: pense nas fór-
mulas de soma dos ângulos internos que deduzimos.
2ª propriedade: A medida do ângulo externo de um triângulo é igual à soma 
das medidas dos ângulos internos não adjacentes.
Considere a seguinte imagem, que servirá de inspiração para uma verificação 
desta propriedade:
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TEMA DE APRENDIZAGEM 2
Note que B x o180
^
, pois são adjacentes suplementares. Como 
A B C o180^^^ , pela Propriedade 1, temos que 
B x A B C x A C^ ^^^^^ .
3ª propriedade: Todo ângulo externo de um triângulo é maior que qualquer um 
dos ângulos internos não adjacentes.
Utilizando a imagem anterior para ilustrar nossas ideias, podemos perceber 
que x A C
^^
. Dessa forma, x A�
^
 e x C�
^
.
Pontos notáveis do triângulo
Algumas retas traçadas a partir dos vértices e dos lados de um triângulo constituem 
pontos especiais chamados de circuncentro, incentro, ortocentro e baricentro.
Vamos apresentar a característica e representação de cada um deles:
 ■ Circuncentro: Se traçarmos as mediatrizes dos três lados de um triângulo, 
seu ponto de interseção é chamado circuncentro. Este ponto é chamado 
circuncentro, porque está equidistante (à mesma distância) dos três vér-
tices do triângulo e é o centro de uma circunferência circunscrita a ele.
�
�
�
�
Figura 21 - Ângulo externo em um triângulo / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: um triângulo de vértices A, B e C e com o lado AB prolongado pelo vértice B. O ângulo 
externo ao ângulo B indicado por x.
6
6
 ■ Incentro: A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo é a semirreta 
interior do ângulo que o divide em dois ângulos geometricamente iguais. 
O ponto onde as bissetrizes dos ângulos internos de um triângulo se in-
terceptam é chamado incentro, e é equidistante dos lados do triângulo. 
Ao mesmo tempo, é centro de uma circunferência inscrita no triângulo.
�
� �
Figura 22 - Circuncentro / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem:um triângulo de vértices A, B e C com as mediatrizes de todos os lados traçadas. Esse 
triângulo está inscrito em uma circunferência cujo centro é a interseção das retas mediatrizes
Figura 23 - Incentro / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: um triângulo de vértices A, B e C com as bissetrizes de todos os ângulos internos traçadas. 
Esse triângulo tem uma circunferência em seu interior cujo centro é a interseção das retas bissetrizes.
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TEMA DE APRENDIZAGEM 2
 ■ Ortocentro: Um triângulo possui três alturas que se interceptam num 
ponto chamado ortocentro. O ortocentro pode estar no interior ou no 
exterior do triângulo, depende da forma deste.
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Figura 24 - Ortocentro / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: um triângulo de vértices A, B e C com as alturas dos três lados traçadas e cuja interseção 
está indicada por O.
 ■ Baricentro: Um triângulo tem três medianas que se interceptam num 
ponto chamado baricentro, que dista dois terços do vértice da mediana 
correspondente. O baricentro é o centro de gravidade do triângulo.
Centro de gravidade é um conceito da física e trata-se do ponto onde as forças 
(força peso) de aplicação se equilibram.
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Figura 25 - Baricentro / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: um triângulo de vértices A, B e C com as medianas dos três lados traçadas e cuja interseção 
está indicada por O. Os pontos médios são: do lado BC é M1, do lado AC é M2 e do lado BA é M3
6
8
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Vamos aprofundar um pouco mais nosso estudo sobre os triângulos a partir das 
relações de congruência. Neste tópico, nosso foco de análise será a formalização 
matemática dos conceitos de congruência e de semelhança de triângulos.
Ao conhecermos as informações sobre os triângulos, que nos permitem afir-
mar se são congruentes e/ou semelhantes, dispomos de um rico recurso para de-
monstrações de outras relações válidas, pois várias propriedades são decorrentes 
da congruência e semelhança de triângulos.
Noção de congruência e semelhança
Usualmente, utilizamos os termos congruente e semelhante para nos referirmos a 
“coisas parecidas”. No contexto matemático, só podemos afirmar que duas figuras 
são congruentes quando a sobrepomos e elas coincidem exatamente.
Em particular, o conceito de semelhança tem por base a proporcionalidade, 
assim, duas figuras proporcionais ao serem sobrepostas podem coincidir exata-
mente, sendo, portanto, congruentes.
A notação que usamos para indicar que duas figuras são equivalentes é ≡ .
É importante notar que a utilização do novo termo semelhante é mais ade-
quada na teoria matemática, pois igualdade é uma relação (em particular) em 
quantidades iguais. Aqui, estamos buscando comparar figuras e não valores.
A congruência ocorre entre duas figuras quando os lados e ângulos da 
primeira estão em correspondência com os lados e ângulos da segunda, de 
tal forma que os lados em correspondência têm a mesma medida, assim 
como os ângulos.
A semelhança entre duas figuras ocorre quando os lados correspondentes têm 
medidas proporcionais e os ângulos correspondentes são congruentes.
Figuras congruentes são semelhantes, mas nem todas as figuras semelhantes 
são congruentes.
ZOOM NO CONHECIMENTO
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TEMA DE APRENDIZAGEM 2
Congruência entre triângulos
Dois triângulos ABC e A B C′ ′ ′ são congruentes se seus lados e seus ângulos 
são congruentes. Isto é: AB A B� � � , AC AC� � � , BC B C� � � , A A�
^
, B B�
^
 
e C C�
^
.
Por notação,  ABC A B C� � � � 
Vejamos que, para concluir que dois triângulos são congruentes, podemos focar 
em seis casos com três relações entre os lados e três relações entre os ângulos. 
Assim, reduzimos os esforços para verificarmos congruência.
1º CASO - LADO-ÂNGULO-LADO (LAL):
Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois lados e o ângulo com-
preendido, então eles são congruentes.
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Figura 26 - Caso LAL de congruência
Fonte: o autor.
Descrição: dois triângulos com vértices ABC e A’B’C’ com AB congruente a A’B’, 
BC congruente a B’C’ e os ângulos B e B’ congruentes
7
1
2º CASO - ÂNGULO-LADO-ÂNGULO (ALA):
Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado e os dois ângulos a 
ele adjacentes, então, esses triângulos são congruentes.
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Figura 27 - Caso ALA de congruência
Fonte: o autor.
Descrição: dois triângulos com vértices ABC e A’B’C’ com AB congruente a A’B’, e 
os ângulos A e A’, B e B’ congruentes.
3º CASO - LADO-LADO-LADO (LLL):
Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes os três lados, então, esses 
triângulos são congruentes.
Figura 28 - Caso LLL de congruência
Fonte: o autor.
Descrição: Dois triângulos com vértices ABC e A’B’C’ com AB congruente a A’B’, 
AC congruente a A’C’ e BC congruente a B’C’.
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1
TEMA DE APRENDIZAGEM 2
4º CASO - LADO-ÂNGULO-ÂNGULO OPOSTO (LAAO):
Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado, um ângulo adja-
cente e o ângulo oposto a esse lado, então esses triângulos são congruentes.
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��
Figura 29 - Caso LAAo de congruência
Fonte: o autor.
Descrição: dois triângulos com vértices ABC e A’B’C’ com AB congruente a A’B’, os 
ângulos A congruente a A’ e C congruentea C’
Utilizando os casos anteriores, podemos deduzir mais dois casos para triângulos 
particulares.
 ■ 5º caso - Congruência de triângulos retângulos: se dois triângulos 
retângulos têm ordenadamente congruentes um cateto e a hipotenusa, 
então, esses triângulos são congruentes.
 ■ 6º caso: Congruência nos triângulos isósceles: se um triângulo é isós-
celes, os ângulos da base são congruentes. 
Semelhança de triângulos
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos orde-
nadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais. Isto é, existe uma 
relação de proporcionalidade entre os triângulos.
Notação: O símbolo ~ significa “é semelhante a”.
Ou seja,  ABC A B C~ ′ ′ ′ se AB A B~ ′ ′ , AC AC~ ′ ′ , BC B C~ ′ ′ em que 
vale a relação de congruência 
AB
A B
AC
AC
BC
B C
k
� �
�
� �
�
� �
� . O número real k é 
chamado razão de semelhança.
7
1
Note que se k =1 , então, temos uma relação de congruência entre os triângulos. 
Podemos ver que a semelhança torna rigorosa a noção de duas figuras pro-
porcionais em todas as suas medidas de lados e ângulos.
QUADRILÁTEROS E SEUS ELEMENTOS
Quadriláteros são polígonos simples de quatro lados. 
Diretamente da definição, podemos perceber que:
 ■ um quadrilátero tem apenas duas diagonais.
 ■ a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360º.
 ■ a soma dos ângulos externos também é 360º. 
Dois lados não consecutivos de um quadrilátero denominam-se lados opostos
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Figura 30 - Elementos de um polígono / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: um polígono com vértices A, B, C e D com A e C opostos e B e D opostos. Entre A e C e 
entre B e D são traçadas diagonais
Paralelogramos
Paralelogramos são quadriláteros planos convexos que têm os lados opostos paralelos. 
A próxima imagem ilustra um paralelogramo de vértices A , B , C e D , com 
altura DH relativa à base AB . 
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TEMA DE APRENDIZAGEM 2
Entre os paralelogramos, destacam-se os seguintes casos particulares:
Retângulos são paralelogramos que têm os quatro ângulos congruentes 
(retos).
Figura 32 - Retângulo / Fonte: o autor.
Descrição: um retângulo de vértices A, B, C e D, com os quatro ângulos retos assina-
lados por um quadrado
Losangos são paralelogramos que têm os quatro lados congruentes.
Figura 33 - Losango / Fonte: o autor.
Descrição: um losango de vértices A, B, C e D
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Figura 31 - Paralelogramo / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: um paralelogramo de vértices A, B, C e D, com altura DH relativa à base AB.
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4
Quadrados são paralelogramos que têm os quatro lados congruentes e os 
quatro ângulos congruentes (retos).
Figura 34 - Quadrado / Fonte: o autor.
Descrição: um quadrado de vértices A, B, C e D com os quatro ângulos retos assina-
lados por um quadrado.
Propriedades dos paralelogramos
 ■ Todo quadrado é um retângulo.
 ■ Todo quadrado é um losango.
 ■ Em todo paralelogramo, cada diagonal o divide em dois triângulos con-
gruentes.
 ■ Em todo paralelogramo, dois lados opostos quaisquer são congruentes.
 ■ Em todo paralelogramo, dois ângulos opostos quaisquer são congruentes.
 ■ Em todo paralelogramo, as diagonais interceptam-se nos respectivos 
pontos médios.
 ■ Todo paralelogramo que tem as diagonais congruentes é um retângulo.
 ■ Todo paralelogramo que tem as diagonais perpendiculares é um losango.
Em particular, o quadrado é ao mesmo tempo um retângulo e um losango; por-
tanto, possui as seguintes propriedades:
 ■ Suas diagonais são congruentes.
 ■ Suas diagonais são perpendiculares entre si.
 ■ Suas diagonais são bissetrizes dos ângulos internos.
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TEMA DE APRENDIZAGEM 2
Trapézios
Trapézios são quadriláteros que têm apenas dois de seus lados paralelos. 
Os lados paralelos são chamados bases e a distância entre as duas bases cha-
ma-se altura.
A figura a seguir ilustra um trapézio.
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Figura 35 - Trapézio / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: um trapézio de vértices A, B, C e D. Sua base maior é AB e a menor é DC. Sua altura é uma 
perpendicular ao lado AB traçada a partir do vértice D.
No trapézio verifica-se que os ângulos 
25 3
2
m
 e 
3
2
m, assim como os ângulos 
3 3
2
2m
 e C
^
, são 
colaterais internos, formados por duas paralelas ( AB e CD ) com uma transversal.
Os lados paralelos são as bases do trapézio. Se os outros dois lados forem con-
gruentes, o trapézio será isósceles. Se não forem congruentes, o trapézio será escaleno.
CIRCUNFERÊNCIA E SUPERFÍCIES ESFÉRICAS
Neste tópico, vamos analisar as características de uma circunferência e seus ele-
mentos, mostrando como ela é formalizada dentro da geometria. 
Definimos circunferência como um conjunto de pontos do plano equidis-
tantes de um ponto fixo desse plano. 
Os elementos de uma circunferência são:
7
6
 ■ o ponto fixo é chamado centro da circunferência;
 ■ um segmento cujos extremos são o centro e um ponto qualquer da cir-
cunferência é chamado raio;
 ■ o conjunto dos pontos internos a uma circunferência é seu interior.
 ■ o conjunto dos pontos externos a uma circunferência é seu exterior.
 ■ uma corda de uma circunferência é um segmento que tem seus extremos 
pertencentes à circunferência;
 ■ qualquer corda que passa pelo centro da circunferência é chamada diâmetro.
Notação C O r( , ) indica a circunferência de raio r e centro O .
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��������
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Figura 36 - Circunferência / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: uma circunferência de raio r, centro O com seu interior e seu exterior discriminados.
ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA E SEMICIRCUNFERÊNCIA
Vejamos o que é um arco de circunferência e uma semicircunferência.
Vamos considerar uma circunferência de centro O , com dois pontos A e B 
desta circunferência, que não sejam extremidades do diâmetro. Nestas condições, 
teremos dois arcos: um menor e um maior, como mostra a figura:
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TEMA DE APRENDIZAGEM 2
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�����
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Figura 37 - Arcos de circunferência / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: uma circunferência de centro O com pontos A e B destacados. Entre eles, está escrito 
Arco maior e Arco menor.
O arco menor AB

 é a reunião de todos os pontos da circunferência que estão 
no interior do ângulo AOB
^
 com extremidades nos pontos A e B .
O arco maior AB

 é a reunião de todos os pontos de que estão no exterior do 
ângulo AOB
^
 com extremidades nos pontos A e B .
Os pontos A e B (extremidades do arco) são indicados como 
AB

= arco menor e AxB

= arco maior .
Perceba que, se os pontos A e B são extremos de um diâmetro, então, a 
circunferência foi dividida em duas partes iguais, chamadas semicircunferências.
Assim, qualquer diâmetro divide a circunferência em duas semicircunferências.
Círculo
Um círculo é um conjunto de pontos de um plano cuja distância de um ponto 
dado desse plano é menor ou igual a uma distância, não nula, dada.
Podemos dizer, ainda, que círculo é a reunião de uma circunferência com a 
sua região interior.
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Observe que o centro, o raio, a corda, o diâmetro e o arco de um círculo são 
os mesmos da circunferência. A diferença é a seguinte:
 ■ a circunferência é apenas o traçado.
 ■ o círculo é o traçado e todos os pontos dentro dele.
Setor circular, segmento circular e semicírculo
Vamos considerar um círculo de centro O com dois pontos A e B da circun-
ferência que não sejam extremidades de um diâmetro.
O setor circular menor AOB é a reunião dos pontos dos raios AO , OB e 
de todos os pontos do círculo que estão no interior do ângulo AOB
^
 .
Analogamente, o setor circular maior AOB é a reunião dos pontos dos raios 
AO , OB e de todos os pontos do círculo que estão no exterior do ângulo AOB
^
.
Fazendo uma analogia com uma situação de nosso cotidiano, se o círculo 
fosse uma pizza cortada em fatias (de maneira usual, por diâmetros), um setor 
circular seria uma de suas fatias.
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Figura 38 - Setores circulares / Fonte: o autor.Descrição da Imagem: uma circunferência de centro O com pontos A e B destacados. Entre eles, está escrito setor.
O segmento circular é uma região limitada por uma corda e um arco do círculo.
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TEMA DE APRENDIZAGEM 2
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Figura 39 - Segmento circular / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: uma circunferência de centro O com pontos A e B destacados. Entre eles, é traçado um 
segmento. A palavra segmento está presente em ambos os lados da reta.
O segmento circular AB é a intersecção do círculo com o semiplano de origem 
na reta AB .
Note que, se A e B são extremidades de um diâmetro da circunferência, 
ou do círculo, este círculo está dividido em dois semicírculos.
NOVOS DESAFIOS
Uma vez que entendemos os polígonos e seus elementos, existem dois caminhos 
naturais para nossos estudos: estabelecer as áreas dessas figuras e generalizar 
nossas construções em duas dimensões para três dimensões. Em especial, essa 
generalização permite que mais aplicações da geometria (agora espacial) possam 
ser percebidas em nosso dia a dia.
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1
VAMOS PRATICAR
1. Um grupo formado por quatro estudantes notou que a disposição de suas carteiras 
formava a figura a seguir: (Cada um dos vértices representa a cadeira de um estudante)
Eles também notaram que valem as seguintes igualdades entre as medidas dos lados 
das carteiras: DA BC= e AB CD= .
Qual relação podemos deduzir entre os triângulos ABC e CDA ? Apresente sua 
resposta com justificativas e demonstrações.
2. Pode um setor circular coincidir com um segmento circular? Explique isso.
3. Para determinar o número de lados de um polígono, podemos utilizar a relação 
d n� �3 , e a soma dos ângulos internos é S ni
o� � �( )2 180 .
I - Um polígono que possui 25 diagonais, partindo de cada vértice, tem 28 lados.
II - O número d = 17 é o número de diagonais que parte de cada vértice de um polígono 
que possui 20 lados.
III - O dodecágono é o polígono cuja soma dos ângulos internos é 1800º.
É correto o que se afirma em: 
a) I, II e III.
b) III, apenas.
c) I e III.
d) II e III.
e) I apenas. 
Fonte: Siqueira e Marcussi (2018).
Descrição da Imagem: um quadrilátero de vértices A, B, C e D e uma diagonal entre os vértices A e C.
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1
VAMOS PRATICAR
4. Sobre as propriedades dos polígonos, analise as sentenças e classifique V para as 
verdadeiras e F para as falsas:
I - Todos os lados de um polígono qualquer têm a mesma medida.
II - Um polígono côncavo é também não convexo.
III - Os ângulos de um polígono regular têm a mesma medida.
IV - A diagonal de um polígono é igual a razão do quadrado dos lados mais o triplo do 
lado por dois.
Assinale a alternativa correta.
a) II e III estão corretas. 
b) I, II e IV estão corretas.
c) II, III e IV estão corretas.
d) I e IV estão corretas.
e) Todas as afirmativas são corretas.
5. Com base nas informações apresentadas, avalie as asserções a seguir e a relação 
proposta entre elas: 
I - Um triângulo retângulo é um triângulo que possui um dos seus ângulos internos 
medindo sempre 90°. 
PORQUE
II - A hipotenusa é o lado que fica oposto ao ângulo raso; e os catetos são os outros dois 
lados. 
A respeito destas asserções, assinale a opção correta.
a) As asserções I e II são verdadeiras, e a II é justificativa correta da I.
b) As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é justificativa correta da I.
c) A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é proposição falsa.
d) A asserção I é uma proposição falsa, e a II é proposição verdadeira.
e) As asserções I e II são falsas.
8
1
REFERÊNCIAS
Euclid. The thirteen books of the elements: translated with introduction and commentary 
by Sir Thomas Heath. New York: Dover, 1956.
8
3
1. Note que os triângulos CDA e ABC possuem os três lados congruentes (lado AC 
é comum a ambos). Assim, pelo caso LLL (Lado, Lado e Lado) de congruência, podemos 
concluir que ABC e CDA são congruentes.
2. Sim, é possível quando a corda que determina o segmento for um diâmetro do círculo. As-
sim, teremos um segmento que é um semicírculo e poderíamos ter um setor com essa área.
3. I - De acordo com os dados do enunciado, vemos que d n n n� � � � � � �3 25 2 28
II - Utilizando a relação fornecida, temos que d n d� � � � � �3 20 3 17 .
III - De acordo com a fórmula da soma dos ângulos internos,
S n n ni
o� � � � � � � � �( ) ( )2 180 1800 2 180 12 .
4. Analisando cada sentença, na ordem exibida no enunciado:
I - Falso: Um retângulo de lados 2cm e 3cm é um contraexemplo.
II - Verdadeiro: Um polígono pode ser côncavo ou convexo, e apenas uma dessas vale.
III - Verdadeiro: Por definição, os ângulos de um polígono regular têm a mesma medida.
IV - Falso: Um quadrado de lados 1cm tem como diagonal um segmento de medida 2
As únicas verdadeiras são II e III.
5. Um triângulo retângulo é um triângulo que possui um dos seus ângulos internos medin-
do 90º. Os lados de um triângulo retângulo recebem o nome de hipotenusa e catetos. A 
hipotenusa é o lado que fica oposto ao ângulo reto; e os catetos são os outros dois lados.
GABARITO
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MINHAS ANOTAÇÕES
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1
MINHAS METAS
ESTUDO DAS RELAÇÕES E RAZÕES
TRIGONOMÉTRICAS
DR. WILLIAN GOULART GOMES VELASCO
Estudar as relações métricas no triângulo retângulo.
Compreender as razões trigonométricas de um triângulo qualquer.
Estabelecer as relações trigonométricas em triângulos retângulos.
Entender as principais propriedades das relações trigonométricas.
Estender as relações trigonométricas em triângulos quaisquer.
T E M A D E A P R E N D I Z A G E M 3
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6
INICIE SUA JORNADA
A trigonometria se originou antes da Era Cristã, quando os astrônomos que-
riam calcular distâncias que não se podiam medir, como, por exemplo, a medida 
do raio da Terra, a distância da Terra à Lua e da Terra ao Sol. Inicialmente, 
usou-se valer das propriedades de triângulos semelhantes para o cálculo dessas 
distâncias. Por isso, a trigonometria foi considerada uma extensão natural da 
geometria. Daí vem o seu significado: medida dos triângulos, sendo trigono-
metria uma palavra de origem grega formada por três radicais: tri três, gonos 
= ângulos e metron = medir. 
Apesar de os egípcios e de os babilônios já terem utilizado, de forma rudi-
mentar, as relações existentes entre lados e ângulos dos triângulos para resolver 
problemas relacionados à agrimensura, navegação e astronomia, muitos historia-
dores presumem que o astrônomo grego Hiparco (190 a.C.–125 a.C.) tenha sido 
o iniciador da trigonometria, por ter empregado pela primeira vez relações entre 
os lados e os ângulos de um triângulo retângulo e por ter construído a primeira 
Tabela Trigonométrica. Por seus feitos, ele é considerado o “Pai da Trigonometria”.
Durante muito tempo, Ptolomeu (125 a.C.) influenciou o desenvolvimento 
da trigonometria. Sua mais importante contribuição foi o documento Alma-
gesto, baseado nos trabalhos de Hiparco e que contém uma tabela de cordas 
correspondentes a diversos ângulos, por ordem crescente e em função da me-
tade do ângulo, que é equivalente a uma tabela de senos, bem como uma série 
de proposições da atual disciplina.
Posteriormente, com o acesso ao manuscrito de Ptolomeu e aos trabalhos 
dos hindus, que eram um povo bastante familiarizado com esse ramo da Mate-
mática, os árabes fizeram notáveis avanços e disseminaram os conhecimentos da 
trigonometria pela Europa.
Atualmente, a Matemática Moderna ampliou o uso da trigonometria e a tor-
nou indispensável em outras áreas do conhecimento, como na eletricidade, me-
cânica, acústica, música, engenharia, arquitetura, medicina, eletrônica, navegação 
marítima e aérea, cartografia, entre outros campos. 
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TEMA DE APRENDIZAGEM 3
DESENVOLVA SEU POTENCIAL
Neste estudo, a abordagem da trigonometria está dividida em três tópicos, nos 
quais se apresentam a trigonometria no triângulo retângulo. Discutiremos as 
relações métricas em um triângulo retângulo, depois vamos explorar as princi-
pais razões trigonométricas (seno, cossenoe tangente), e, por fim, veremos como 
estender para triângulos quaisquer (Leis dos Senos e Cossenos).
TRIÂNGULO RETÂNGULO E SEUS ELEMENTOS
A trigonometria, desde o início dos seus estudos, é embasada no triângulo re-
tângulo. Por isso, é importante estudar tanto as suas características, como os seus 
elementos e as suas relações.
O triângulo retângulo é uma figura geométrica plana, composta por três lados 
e três ângulos internos (é formado por dois lados do triângulo). É assim definido 
por possuir um ângulo interno de 90° (ângulo reto).
Venham descobrir um pouco da história por trás dos triân-
gulos retângulos e das relações trigonométricas.
PLAY NO CONHECIMENTO
VAMOS RECORDAR?
Para que possamos estar bem preparados para nossa uni-
dade, é importante relembrarmos os principais aspectos e 
propriedades dos triângulos. Recomendamos a vídeoaula, 
a seguir, para relembrar tais fatos.
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https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/19312
Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes específicos: o lado 
que for oposto ao ângulo reto é denominado hipotenusa, e os demais lados, que 
formam o ângulo reto, serão chamados de catetos.
Cateto
Hipotenusa
Cateto
Figura 1 - Triângulo retângulo / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: um triângulo retângulo com identificação dos catetos, hipotenusa e ângulo reto.
Hipotenusa é uma palavra de origem grega que significa “se estende de-
baixo” (dos ângulos agudos) e designa o lado mais longo de um triângulo 
retângulo, oposto ao ângulo reto. A palavra cateto, também de origem grega, 
indica perpendicularidade ou ângulo reto, ou seja, designa os dois lados 
menores de um triângulo retângulo.
ZOOM NO CONHECIMENTO
Se analisarmos os catetos em relação ao ângulo, eles recebem um 
complemento em sua denominação.
Por exemplo, na figura a seguir.
UNIASSELVI
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TEMA DE APRENDIZAGEM 3
30º
Cateto adjacente ao
ângulo de 30º
Cateto oposto ao
ângulo de 30º
Figura 2 - Catetos de um triângulo retângulo / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: um triângulo retângulo com ângulo de 90º e 30º destacados. Os lados que formam o ângulo 
de 90º estão indicados como Cateto Adjacente ao ângulo de 30º e Cateto Oposto ao ângulo de 30º.
O cateto que forma o ângulo de 30°, juntamente com a hipotenusa, é 
denominado cateto adjacente, e o outro, que é o segmento oposto ao ângulo, é 
chamado de cateto oposto.
No triângulo retângulo da imagem a seguir, destacamos:
 ■ BC é a hipotenusa e a , a sua medida.
 ■ AB e AC são catetos e c e b , respectivamente, suas medidas.
 ■ AH é a altura relativa à hipotenusa e h , a sua medida.
 ■ HB é a projeção do cateto AB sobre a hipotenusa e m , sua medida.
 ■ HC é a projeção do cateto AC sobre a hipotenusa e n , sua medida.
 ■ A
^
, B
^
 e C
^
 são os ângulos internos e med BAC( )^ , med ABC( )^ e 
med ACB( )^ , respectivamente, suas medidas.
Figura3 - Elementos de um triângulo retângulo / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: um triângulo retângulo de vértices A, B e C com ângulo de 90º, altura relativa à hipote-
nusa indicada por h, catetos e hipotenusa indicados por b, c e a. A hipotenusa a está dividida pelo pé da altura 
em dois seguimentos m e n.
c
h b
n
a
m
B H
C
A
9
1
Relações métricas no triângulo retângulo
A partir dos elementos de um triângulo retângulo, podemos estabelecer 
relações entre estas medidas e as demonstrar a partir da semelhança de triângulos.
Em qualquer triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa divide o triângulo 
em dois outros triângulos retângulos, semelhantes ao triângulo dado e semel-
hantes entre si.
Considerando o triângulo da imagem anterior e utilizando conceitos de seme-
lhança, temos as seguintes relações:
 ■  ABH ABC~
 ■  ACH ABC~
 ■  ABH ACH~
Exploraremos algumas relações juntos:
1ª Relação: considere os triângulos ABH e ABC
A
B H
c h
m
A
c b
aB C
Figura 4 - Triângulos ABH e ABC / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: triângulo ABC com ângulo de 90º no vértice A, hipotenusa a catetos b e c, ângulo B 
hachurado. Triângulo ABH com ângulo de 90º no vértice H, hipotenusa c, catetos m e c, ângulo B hachurado.
Como H A�
^^
 e B
^
 aparece em ângulos os triângulos, temos que  ABH ABC~
Dessa proporção podemos escrever: 2c c a m c a m⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅ .
O mesmo ocorre com os triângulos ACH e ABC , podemos escrever 
b a n b a n� � � � � �2 .
UNIASSELVI
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1
TEMA DE APRENDIZAGEM 3
Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida de um cateto é igual ao 
produto da medida da hipotenusa pela medida da projeção do cateto considera-
do sobre a hipotenusa, ou seja b a n2 � � ou c a m2 � � .
Exemplo: neste triângulo retângulo, calcularemoss a medida da hipotenusa. As 
medidas estão indicadas em centímetros.
c
a
9 B
A
15
Figura 5 - Triângulo ABC / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: triângulo ABC com hipotenusa a, um cateto 15 e altura destacada. Uma parcela do cateto 
delimitada pela altura é indicada por 9.
Resolução: Sabemos que c a m2 � � e logo 15 92 � �a , desta forma a = =
225
9
25
Portanto, a hipotenusa desse triângulo mede 25 cm.
2ª Relação: considere os triângulos ABH e ACH .
Figura 6 - Triângulos ABH e AHC / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: triângulo AHC com ângulo de 90º no vértice H, hipotenusa b catetos h e n, ângulo C 
hachurado e ângulo A indicado por Â2. Triângulo ABH com ângulo de 90º no vértice H, catetos m e h, ângulo B 
hachurado e ângulo A indicado por Â1.
B H
A
h
m
A1
V
h
nH
b
c
A
A2
V
9
1
Note que H
^
 aparece em ambos e A C1� �
^
. Pela propriedade da semelhança 
de triângulos, temos:  ABH ACH~ . Dessa proporção, podemos escrever: 
h h m n h m n� � � � � �2 .
Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da altura relativa à 
hipotenusa é igual ao produto das medidas dos segmentos que ela determina 
sobre a hipotenusa, ou seja, h m n2 � � .
Exemplo: calcularemos o valor de x nesta figura a seguir:
x
a
12
Figura 7 - Triângulos retângulos com altura destacada / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: um triângulo retângulo com altura relativa à hipotenusa indicada por 12 e hipotenusa 
segmentada em a e x.
Resolução: em qualquer triângulo retângulo, tem-se: h m n2 � � . Neste caso, 
h =12 , n = 8 e m x= . Portanto: 12 8
144
8
182 � � � � �x x .
3ª Relação: considere os triângulos ABC e AHC , na seguinte figura, os 
quais vamos realizar a comparação entre hipotenusa e cateto maior.
UNIASSELVI
9
3
TEMA DE APRENDIZAGEM 3
c b
n
a
m
Figura 8 - Comparação entre triângulos ABC e AHC / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: um triângulo retângulo de vértices A, B e C com ângulo de 90º altura relativa à hipotenusa 
indicada por h, catetos e hipotenusa indicados por b,c e a. A hipotenusa a está dividida pelo pé da altura em dois 
seguimentos m e n.
Partindo das relações, onde b a n2 � � e c a m2 � � . Multiplicaremos membro a 
membro as igualdades e obteremos: b c a n m2 2 2� � � � . 
Como h m n2 � � , temos b c a h b c a h2 2 2 2� � � � � � � .
Em qualquer triângulo retângulo, o produto das medidas dos catetos é igual ao 
produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa à hipotenusa, ou 
seja, b c a h� � � .
Exemplo: determinaremos a altura do triângulo com catetos 3, 4 e hipotenusa 5.
Resolução: utilizando a relação b c a h� � � , temos 4 3 5 12
5
� � � � �h h .
A quarta propriedade das relações métricas é um dos mais importantes 
teoremas da matemática, conhecido como Teorema de Pitágoras, no qual dare-
mos maior enfoque a seguir.
O triângulo retângulo e o teorema de pitágoras
O Egito recebeu a dádiva de ter todo o seu território cortado pelo segundo 
maior rio do mundo, em extensão, o rio Nilo (o primeiro é o rio Amazonas). 
Aproveitando com sabedoria o rico húmus que as águas formavam ao longo das 
margens, os egípcios desenvolveram toda a sua agricultura. Contudo, a dificul-
9
4
dade era que as cheias anuais destruíam toda a demarcação das propriedades 
agrícolas. O apagamento das demarcações do Nilo tornou necessária a existênciados mensuradores, conhecidos pelos egípcios por “esticadores de cordas”. 
Para obter ângulos retos, os “esticadores de cordas” usavam uma corda 
com 12 nós, com a mesma distância um do outro, e com ela construíam um triân-
gulo com vértices em três desses nós. O triângulo, assim obtido, possui lados que 
medem três, quatro e cinco unidades de comprimento e é um triângulo retângulo. 
Esse método é baseado na relação enunciada por:
O quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas 
dos catetos.
c
B
A
C
b
a
a = b + c2 2 2
Figura 9 - Teorema de Pitágoras / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: um triângulo retângulo com vértices A, B e C, ângulo reto em A, catetos indicados por a 
e b e hipotenusa por a. Abaixo da hipotenusa está escrito a² = b² + c².
Apesar de terem sido os egípcios os primeiros a utilizarem essa relação 
para resolver problemas de medições de terras, foi Pitágoras de Samos (por volta 
de 570 a.C.), filósofo e matemático grego, quem provou que ela é válida para todo 
triângulo retângulo.
Demonstração do Teorema de Pitágoras 
Na história da matemática, muitas foram as demonstrações do Teorema de 
Pitágoras. Vejamos uma delas a partir de duas relações métricas do triângulo 
retângulo, demonstradas anteriormente.
UNIASSELVI
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1
TEMA DE APRENDIZAGEM 3
c b
n
a
m
Figura 10 - Demonstração Teorema de Pitágoras / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: um triângulo retângulo com altura relativa à hipotenusa indicada por catetos e hipotenusa 
indicados por b, c e a. A hipotenusa a está dividida pelo pé da altura em dois seguimentos m e n.
Utilizando as relações que já deduzimos, temos que b a n2 � � e c a m2 � � . So-
mando essas igualdades membro a membro e como m n a� � , obtemos:
b c a m n a a a2 2 2� � � � � � �( ) .
Existem diversas demonstrações do Teorema de Pitágoras, 
algumas utilizando outros elementos (mais visuais). Por ex-
emplo, podemos utilizar áreas. No link a seguir, podemos in-
teragir e explorar esta demonstração: 
ZOOM NO CONHECIMENTO
Exemplo: calcularemos a medida da hipotenusa do triângulo retângulo cujos 
catetos medem 4 e 7.
Utilizando o Teorema de Pitágoras e identificando a hipotenusa por x , temos 
x x2 2 24 7 65 65� � � � � .
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
No estudo anterior, estabelecemos as bases necessárias para a compreensão 
da Trigonometria, visto que esta é considerada uma extensão da Geometria. 
9
6
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/20483
Neste momento, daremos início ao estudo da Trigonometria. Focaremos as 
relações trigonométricas no triângulo retângulo, que relaciona as medidas dos 
lados de um triângulo com as medidas de seus ângulos e é de grande utilidade 
na medição de distâncias inacessíveis ao ser humano, como, a altura de torres e 
árvores, de montanhas ou a largura de rios e lagos.
Devido às propriedades de semelhanças entre triângulos, podemos construir 
triângulos retângulos que possuem as mesmas medidas de ângulos, mas com me-
didas variadas de catetos e hipotenusas. Entretanto, devido às propriedades das 
semelhanças, a razão entre cateto oposto e cateto adjacente, e a razão entre cateto 
adjacente e hipotenusa também é a mesma para triângulos retângulos semelhantes. 
Devido a estas propriedades, podemos estabelecer as relações trigonométri-
cas que apresentamos a seguir.
SENO
sen( )α α� cateto oposto ao ângulo 
 hipotenusa 
COSSENO
cos( )a a= medida do cateto adjacente a 
medida da hipotenusa 
TANGENTE
tg( )α α� medida do cateto oposto ao ângulo 
medida do cateto aad ângulo α
SENO
Uma das constantes obtidas ao relacionar as medidas dos lados em 
triângulos retângulos é conhecida por seno. 
Em um triângulo retângulo qualquer, o seno de um ângulo agudo (menor 
que 90°) é a razão entre a medida do cateto oposto a ele e a medida da hipotenusa, 
conforme observamos nos exemplos anteriores.
UNIASSELVI
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7
TEMA DE APRENDIZAGEM 3
Considerando, inicialmente, o ângulo de medida a1 da figura a seguir, de 
vértice V e lados VA e VB .
B B B B1 2 3 4
B
A
A
1
2
3A
A4 A
V α1
Figura 11 - Ângulo alfa1 e várias perpendiculares / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: um ângulo de vértice V e formado por segmentos VA e VB com perpendiculares A1B1, 
A2B2, A3B3 e A4B4 com relação a VB.
No lado VB , consideremos pontos quaisquer B1 , B2 , B3 , B4 e os segmen-
tos A B1 1 , A B2 2 , A B3 3 , A B4 4 perpendiculares a VB . Os triângulos VA B1 1
, VA B2 2 , VA B3 3 , VA B4 4 , são todos semelhantes. Logo:
A B
VA
A B
VA
A B
VA
A B
VA
K1 1
1
2 2
2
3 3
3
4 4
4
1= = = =
.
Destas igualdades, podemos deduzir que o valor de K1 não depende do triângulo 
retângulo escolhido. Ele é o mesmo para qualquer triângulo semelhante ao 
AVB .
Se procedermos de forma similar, alterando o valor do ângulo a2 , diferente 
de a1 , encontramos uma constante K2 que será diferente de K1 . Tal fato é de-
corrente da diferença dos valores dos ângulos.
Isto é, a razão K é uma característica de cada ângulo a, e seu valor é chamado 
de seno do ângulo.
Assim, definimos sen( )a
a
=
medida do cateto oposto a 
medida da hipotenusa
.
9
8
Exemplo: seja um triângulo retângulo com hipotenusa a , catetos 15 e 8 e ângulo 
a oposto ao cateto de medida 8. Determine o valor de sen( )a .
Por Pitágoras, a a2 2 28 15 289 17� � � � � . Dessa forma sen( )a =
8
17
.
COSSENO
Com um procedimento semelhante ao apresentado anteriormente, podemos 
definir outras razões entre as medidas de lados de um triângulo retângulo, cujos 
valores dependam apenas da medida do ângulo considerado. Portanto, outra 
constante obtida ao relacionar essas medidas é conhecida por cosseno.
Definimos o cosseno de um ângulo a como 
cos( )a a= medida do cateto adjacente a 
medida da hipotenusa 
.
Observe que A razão k é uma característica de cada ângulo, assim como discu-
timos no caso do seno.
Exemplo: seja um triângulo retângulo com hipotenusa a =10 , catetos b e 
c = 5 , determine o valor de cos( )a .
O ângulo a oposto ao cateto b e a medida da hipotenusa é a =10 , logo, 
cos( )a = 5
10
.
TANGENTE
Em um triângulo retângulo qualquer, a tangente de um ângulo agudo 
(menor do que 90°) é a razão entre a medida do cateto oposto a ele e a medida 
do cateto adjacente. 
Assim como antes, essa razão é uma característica de cada ângulo a e seu valor 
é chamado de tangente do ângulo a . 
A palavra seno é derivada do latim sinus, que significa “baía” ou “dobra”. O 
termo originalmente utilizado foi ardha-jiva (“meia-corda”), que foi abreviado 
para jiva e, então, transliterada pelos árabes como jiba. Tradutores europeus 
do século XII confundiram jiba com jaib, que significa “baía”, provavelmente 
porque jiba e jaib são escritas da mesma forma na escrita arábica.
ZOOM NO CONHECIMENTO
UNIASSELVI
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9
TEMA DE APRENDIZAGEM 3
Definimos tg( )α α� medida do cateto oposto ao ângulo 
medida do cateto aad ângulo α
.
Exemplo: num triângulo retângulo, as medidas dos lados são expressas por 
( )x −5 , x e ( )x + 5 . Determinaremos a tangente do ângulo agudo a , oposto 
ao menor cateto do triângulo.
Utilizando o Teorema de Pitágoras, 
( ) ( ) ( )x x x x x x x x x� � � � � � � � � � � � � � �5 5 20 0 20 0 0 202 2 2 2 ou 
Substituindo o valor de x , temos que o cateto adjacente ao ângulo a é b = 20 
e o cateto oposto ao ângulo é c � � �20 5 15 . Então, utilizando a razão da tan-
gente: 
tg( )a = =15
20
3
4
.
É comum confundirmos o nome de um ângulo com a sua medida. Quando 
estamos falando num ângulo a , estamos nos referindo ao próprio ângulo, mas 
usando sua medida em lugar de seu nome. É um “abuso” frequente e aceitável, 
que busca simplificar a linguagem.
Existem outras relações trigonométricas que são derivadas do seno e 
cosseno, chamadas: secante que vale 1
cosseno
, cossecante que vale 1
seno
 
e cotangente que é calculada por 1
tangente
.
Veja mais detalhes no vídeo a seguir: https://youtu.be/gbuYwEvH87o. Aces-
so em: 25 maio 2023.
APROFUNDANDO
1
1
1
https://youtu.be/gbuYwEvH87oÂngulos notáveis
Os ângulos de 30°, 45° e 60° aparecem com frequência nos cálculos e, por 
isso, são chamados notáveis. Veja como calcular o seno, o cosseno e a tangente 
desses ângulos.
Para calcular as razões trigonométricas para o ângulo de 45°, consideraremos 
o quadrado ABCD da figura seguinte.
Considere a seguinte imagem, que nos servirá de guia nos cálculos.
l l
l
l
A B
D C
d
45º
Figura 12 - Ângulo notável de 45º / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: quadrado de lados l com vértices A, B, C e D. Entre os vértices A e C é traçada uma diagonal 
indicada por d e o ângulo de 45º está demarcado no vértice A.
Como o ABC é retângulo, com ângulo reto no vértice B , usando o Teorema 
de Pitágoras temos que d l= 2 . 
Utilizando as definições de seno, cosseno e tangente:
sen l
d
l
l
o( )45
2
2
2
= = = , cos
l
d
l
l
o( )45
2
2
2
= = = , 
tg l
l
o( )45 1= = .
Para calcularmos as razões para os ângulos de 30º e 60º, usaremos um triângulo 
equilátero de lado l . Tal estratégia é baseada no fato de os ângulos internos deste 
triângulo medirem 60º. 
UNIASSELVI
1
1
1
TEMA DE APRENDIZAGEM 3
l
A
B
60º
CH
h
30º
l
2
l
2
l
Figura 13 - Ângulo notável de 30º e 60º / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: triângulo equilátero de lados l com vértices A, B e C. Do vértice A é traçada uma altura 
indicada por h e demarca um ângulo de 30º no vértice A. Um ângulo de 60º, no vértice C é indicado.
Como, em um triângulo equilátero, a altura é também a mediatriz e mediana, 
temos que o BH HC l= =
2
. Utilizando o Teorema de Pitágoras, podemos con-
cluir que h
l
=
3
2
.
Usando as definições de seno, cosseno e tangente:
sen
l
l
o( )30 2 1
2
= = , cos
h
l
l
l
o( )30
3
2 3
2
= = = , tg
l
h
l
l
o( )30 2 2
3
2
3
3
= = = .
Analogamente, para o ângulo de 60º 
sen h
l
l
l
o( )60
3
2 3
2
= = = , cos
l
l
o( )60 2 1
2
= = , tg
h
l
l
l
o( )30
2
3
2
2
3= = = .
1
1
1
TRIGONOMETRIA EM UM TRIÂNGULO QUALQUER
Nos tópicos anteriores, vimos que os problemas envolvendo trigonometria 
são resolvidos por meio da comparação com triângulos retângulos. Mas, no coti-
diano, nem sempre encontramos tamanha facilidade. Algumas situações podem 
envolver outros tipos de triângulo, como o triângulo acutângulo ou o triângulo 
obtusângulo. Para estes casos recorremos à lei dos senos e à lei dos cossenos, que 
veremos a seguir.
Para lembrar:
• Em um triângulo acutângulo, os três ângulos são agudos, ou seja, menores do 
que 90°.
• Um triângulo obtusângulo possui um ângulo obtuso e dois ângulos agudos, ou 
seja, um ângulo maior do que 90° e dois ângulos menores do que 90°.
Lei dos senos
Consideraremos o triângulo acutângulo ABC, conforme figura a seguir onde: 
 ■ a , b e c são as medidas dos lados.
 ■ h1 é a medida da altura AH1 .
 ■ h2 é a medida da altura AH2 .
Para cada ângulo agudo está associado um único valor para o 
seno, para o cosseno e para a tangente, em situações que envolvem ângulos 
não notáveis, não precisamos calculá-los sempre, para isso foi construída uma 
tabela trigonométrica (no quadro 8), que nos fornece esses valores.
APROFUNDANDO
UNIASSELVI
1
1
3
TEMA DE APRENDIZAGEM 3
B CH
b
A
H
c
a
1
h2
h1
Figura 14 - Lei dos senos / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: triângulo com vértices A, B e C e alturas h1 relativa ao vértice A e h2 relativa ao vértice 
C. Os pés das alturas são, respectivamente, H1 e H2. Os lados são indicados por c para AB, a para BC e b para AC.
Agora, consideremos os triângulos retângulos ABH1 e ACH1 .
No triângulo retângulo ABH1 , considere o ângulo B
^
, assim, temos: 
sen B h
c
h c sen B( ) ( )1 1
^ ^
.
A mesma relação podemos estabelecer no triângulo retângulo ACH1 com re-
lação ao ângulo C
^
sen C h
b
h b sen C( ) ( )1 1
^ ^
.
Comparando, podemos escrever:
c sen B b sen C c
sen C
b
sen B
( ) ( )
( ) ( )
^^
^ ^ .
Utilizando a mesma estratégia para os triângulos retângulos BCH2 e ACH2 , 
podemos concluir que: 
1
1
4
a sen B b sen A a
sen A
b
sen B
( ) ( )
( ) ( )
^ ^
^ ^ .
Combinando as equações, temos a Lei dos Senos.
Em um triângulo qualquer, as medidas dos lados são proporcionais aos senos 
dos ângulos opostos. Isto é a
sen A
b
sen B
c
sen C( ) ( ) ( )
� � ^^^
.
Exemplo: em um triângulo isósceles, a base mede 9 cm e o ângulo oposto a base 
mede 120°. Vamos determinar a medida dos lados congruentes do triângulo.
Note que, como o triângulo é isósceles e a soma dos ângulos internos de um 
triângulo é 180º, os ângulos adjacentes à base medem 30º.
Usando a lei dos senos, temos: 
9
120 30
9 30
120
9 3
3
3 3
sen
x x sen
seno o
o
o( )
( )
(
� � �
�
� � .
Portanto, cada um dos lados mede 3 3 cm.
UNIASSELVI
1
1
1
TEMA DE APRENDIZAGEM 3
Lei dos cossenos
Consideremos o triângulo acutângulo ABC da imagem:
B C
b
A
c
a
m n
Figura 15 - Lei de Cossenos / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: um triângulo retângulo de vértices A, B e C com ângulo de 90º altura relativa à hipotenusa 
indicada por h, catetos e hipotenusa indicados por b, c e a. A hipotenusa a está dividida pelo pé da altura em 
dois seguimentos m e n.
Temos:
 ■ a , b e c são as medidas dos lados do triângulo.
 ■ h é a medida da altura relativa ao lado BC do triângulo.
 ■ BH é a projeção do cateto AB sobre a hipotenusa e m , sua medida.
 ■ HC é a projeção do cateto AC sobre a hipotenusa e n , sua medida.
No triângulo retângulo ABH , aplicando o Teorema de Pitágoras, obtemos:
c h m h c m2 2 2 2 2 2� � � � � .
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ACH , obtemos:
b h n h b n2 2 2 2 2 2� � � � � .
Comparando as igualdades, temos:
b n c m b c m n2 2 2 2 2 2 2 2� � � � � � � .
Como a m n� � , podemos substituir n por a m− :
1
1
6
b c m a m b c m a am m b a c am2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2� � � � � � � � � � � � � �( )
No triângulo retângulo ABH , temos que: 
cos B m
c
m c cos B( ) ( )^^ .
Então, b a c a c cos B
2 2 2 2 ( ( ))^ .
Utilizando estratégias análogas para cos A( )^ e cos C( )^ , deduzimos o conjun-
to de equações que chamamos de Lei dos Cossenos.
Em todo triângulo, o quadrado da medida de um dos lados é igual à soma dos 
quadrados das medidas dos outros dois lados menos duas vezes o produto das 
medidas desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto ao primeiro lado.
Isto é,
a b c b c cos A2 2 2 2 ( )^ .
b a c a c cos B2 2 2 2 ( )^ .
c a b a b cos C2 2 2 2 ( )^ .
Exemplo: calcule a medida y indicada no triângulo a seguir:
A
B
60º
C
y
12 cm
12 cm
8 cm
Figura 16 - Exemplo para Lei de Cossenos / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: triângulo de vértices A, B e C. Com lado AB medindo 8, lado BC medindo 12 e lado AC 
medindo y. O ângulo B é 60º. 
UNIASSELVI
1
1
7
TEMA DE APRENDIZAGEM 3
Resolução: aplicando a lei dos cossenos e usando a =12 , b y= , c = 8 e B o� 60
^
, temos:
y cos y yo2 2 2 212 8 2 12 8 60 208 96 112 4 7� � � � � � � � � � � �( )
Logo, a medida y encontrada é 4 7 cm.
A Lei dos Cossenos é um conjunto de equações que valem para quaisquer 
triângulos, inclusive, os triângulos retângulos. Como o cosseno do ângulo de 
90º é zero, então, teremos o Teorema de Pitágoras.
APROFUNDANDO
NOVOS DESAFIOS
Estudamos algumas razões trigonométricas definidas para ângulo agudo no 
triângulo retângulo, tal qual ela surgiu há milhares de anos, com o objetivo de 
resolver triângulos. Agora, faremos um estudo mais abrangente de seno, cosseno 
e tangente, que é uma necessidade mais recente da matemática.
Neste novo contexto, o triângulo retângulo é insuficiente para as definições
Necessárias, e temos a necessidade de ampliar os conceitos da Trigonometria para 
um novo “ambiente”, denominado circunferência trigonométrica ou ciclotrigonomé-
trico. Até agora, operamos com os valores de seno, cosseno e tangente no triângulo 
retângulo, ângulo agudos. Mas o que acontece se o ângulo for superior a 90°?
Para responder a esta questão, é preciso ampliar os conceitos estudados no-
triângulo retângulo, levando-os à circunferência trigonométrica.1
1
8
VAMOS PRATICAR
1. Escreva o que representam as letras a, b, c, h, s e t no triângulo retângulo a seguir:
Figura – Elementos de um triângulo retângulo / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: triângulo retângulo de vértices A, B e C com ângulo de 90o no vértice e altura relativa à 
hipotenusa indicada por h, catetos e hipotenusa indicados por b, c e a. A hipotenusa a está dividida pelo pé da altura 
em dois seguimentos s e f.
2. Quais são as três principais razões trigonométricas em um triângulo retângulo?
3. Um triângulo STU, com S o� 90
^
, tem catetos com medidas iguais a 5 cm e 12 cm. 
Analise as alternativas a seguir:
I - A hipotenusa mede 13 cm.
II - A medida da altura relativa à hipotenusa é h =
13
60
.
III - As medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa são m =
25
13
 e n =
144
13
É correto o que se afirma em:
a) I e III, apenas.
b) III, apenas.
c) I, apenas.
d) II e III, apenas.
e) I, II e III.
1
1
9
VAMOS PRATICAR
4. Assinale a alternativa que apresenta o valor correto de x em cada triângulo retângulo 
a seguir, na ordem das imagens:
Figura – Três triângulos retângulos / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: são exibidos três triângulo retângulos com informações: a) hipotenusa medindo 10, cateto 
medindo x e ângulo entre eles medindo 33º ; b) hipotenusa medindo x, cateto medindo 55 e ângulo oposto a ele 
medindo 58º ; c) hipotenusa medindo 15, cateto medindo 12 e ângulo entre eles medindo x
a) 8,39 , 64,86 e 36º 
b) 36º , 64,86 e 8,39
c) 64,86 , 36º e 8,39
d) 64,86 , 8,39 e 36º
e) 8,39 , 36º e 64,86
5. Numa fazenda, o galpão fica 50 m distante da casa. Considerando que x e y são, respec-
tivamente, as distâncias da casa e do galpão ao transformador de energia, conforme 
mostra a figura a seguir, calcule as medidas x e y indicadas.
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VAMOS PRATICAR
Figura: Situação aplicada da Lei dos senos / Fonte: Castrucci e Giovanni Jr. (2009, p. 286).
Descrição da Imagem: a figura apresenta uma desenho com as mesmas informações do enunciado, indicando um 
triângulo com vértices no galpão, no transformador e na casa.
I - Podemos encontrar x m= 97 8, e y m= 95 1, .
PORQUE
II - Usamos o Teorema de Pitágoras e os valores das tangentes dos ângulos.
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:
a) A asserção I é uma proposição verdadeira e a II é uma proposição falsa. 
b) As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
c) As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
d) A asserção I é uma proposição falsa e a II é uma proposição verdadeira.
e) As asserções I e II são falsas.
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REFERÊNCIAS
BOYER, C. B. História da matemática. Trad. Elza F. Gomide. São Paulo: 
Blücher, 1996.
BRASIL. Parâmetros curriculares nacionais: matemática. Secretaria de Educação Fun-
damental. Brasília - DF: MEC, 2000.
CARMO, M. P. do; MORGADO, A. C.; VAGNER, E. Trigonometria e números complexos. São 
Paulo: SBM, 2001.
CASTRUCCI, B.; GIOVANNI JÚNIOR, J. R. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 2009.
FACCHINI, W. Matemática: volume único. São Paulo: Saraiva, 1996.
GIOVANNI, J. R; BONJORNO, J. R; GIOVANNI JÚNIOR, J. R. Matemática fundamental: uma 
nova abordagem. São Paulo: FTD, 2002.
GUELLI, O. Dando corda na trigonometria. São Paulo: Ática, 2000.
IEZZI, G. Fundamentos da matemática elementar: trigonometria. São Paulo: Atual, 2004. 
v. 3.
IEZZI, G. Fundamentos da matemática elementar: complexos, polinômios e equações. 
São Paulo: Atual, 1993. v. 6.
IMENES, L. M; LELLIS, M. Microdicionário de matemática. São Paulo: Scipione, 1998.
JODETTE, G. A.; SEIMETZ, R.; SCHIMITT, T. Trigonometria e números complexos. Brasília 
- DF: UNB, 2006.
JENSKE, G. Trigonometria e números complexos. Centro Universitário Leonardo da Vinci. 
Indaial: Uniasselvi, 2012. 
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1. a e b são medidas dos catetos;
- c é a medida da hipotenusa;
- h é a medida da altura relativa à hipotenusa;
- s é a medida da projeção ortogonal do cateto AB ;
- t é a medida da projeção ortogonal do cateto BC sobre a hipotenusa.
2. São elas, relativas a um ângulo a fixo:
sen( )a a= medida do cateto oposto a 
medida da hipotenusa
cos( )a a= medida do cateto adjacente a 
medida da hipotenusa 
tg( )α α� medida do cateto oposto ao ângulo 
medida do cateto aad ângulo α
.
3. I – Verdadeiro: Utilizando o Teorema de Pitágoras e identificando a hipotenusa por ${a}$, 
temos que 
a a2 2 25 12 169 169 13� � � � � � .
II – Falso: Utilizando as relações métricas em um triângulo retângulo e identificando a 
altura por h , temos que 
5 12 13 60 13 60
13
� � � � � �h h h
.
III – Verdadeiro: Utilizando as relações métricas em um triângulo retângulo, temos que
5 13 25
13
2 � � �m m
 e 
12 13 144
13
2 � � �n n
.
4. Utilizando os valores fornecidos e as definições de seno e cosseno:
a) cos
x x xo( ) , , ,33
10
0 839
10
0 839 10 8 39� � � � � � �
b) 
sen
x x
xo( ) ,
,
,58 55 0 848 55 55
0 848
64 86� � � � � 
GABARITO
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1
3
c) cos x x o( ) ,� � �
12
15
0 8 36
Use os seguintes dados cos o( ) ,33 0 839= , sen o( ) ,58 0 848= e cos o( ) ,36 0 8=
5. Utilizando a Lei dos Senos e utilizando os valores fornecidos, podemos garantir que I é 
verdadeira
a
sen A
b
sen B( ) ( )
� ^^ ⇒
50
0 5 0 978, ,
=
x
⇒ 0 5 48 9, ,x = ⇒ x = 97 8,
a
sen A
c
sen C( ) ( )
�^ ^ ⇒
50
0 5 0 951, ,
=
y
⇒ 0 5 47 55, ,y = ⇒ y = 95 1,
Como o triângulo não é retângulo, no podemos usar o cálculo da tangente para deter-
minar a incógnita.
Use as seguintes relações: sen o( ) ,30 0 5= , sen o( ) ,78 0 978= , sen o( ) ,72 0 951=
.
GABARITO
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UNIDADE 2
MINHAS METAS
ÁREA E PERÍMETRO DE FIGURAS 
PLANAS
DR. WILLIAN GOULART GOMES VELASCO
Compreender o conceito de área.
Conhecer áreas de figuras planas.
Desenvolver fórmulas de áreas de para paralelogramos.
Entender as deduções de áreas de triângulos.
Calcular áreas de hexágonos e regiões delimitadas por polígonos regulares.
Estudar área de círculos e setores.
T E M A D E A P R E N D I Z A G E M 4
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INICIE SUA JORNADA
Olá, pessoal, preciso da ajuda de vocês para pensar em uma situação que ocor-
reu quando eu brincava com um tangram, aquele quebra-cabeças formado por 
figuras geométricas.
Após algumas horas, eu consegui chegar nessa forma abaixo.
Figura 1 - Coração de tangram
Descrição da Imagem: foto de uma mão segurando entre os dedos polegar e indicador uma peça triangular de 
madeira sobre um fungo de madeira cor cinza. Próximo à mão, temos figuras geométricas de madeira organizadas 
e formando um coração. Neste coração falta uma peça, que estão na mão.
Eu gostaria de descobrir o espaço ocupado por essa figura; ou como costumamos 
dizer em Geometria, sua área.
Como fazemos para encontrar áreas de figuras formadas pela combinação 
de formas conhecidas?
PENSANDO JUNTOS
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TEMA DE APRENDIZAGEM 4
Observando com mais atenção, podemos perceber que nossa figura é forma-
da pela combinação de: quatro triângulos, um quadrado e um trapézio. 
A alternativa mais simples é compreender a área de cada uma dessas figuras 
e somar os valores. Ou seja, entender a área de toda a figura, se resume a saber a 
área de cada pedacinho que a compõe.
Ainda podemos simplificar um pouco mais, o que vocês acham? Para 
medirmos uma grandeza o ideal é utilizarmos uma superfície que será nossa 
unidade básica. A partir daí comparamos quantas vezes essa superfície cabe 
dentro das outras figuras.
No caso do nosso exemplo, a figura mais simples é o quadrado. Podemos 
então, comparar todas as outras peças a este quadrado e então teremos a porção 
do plano ocupada por este coração.
Por detrás desse exemplo simples, está toda uma dinâmica do estudo de áreas 
de figuras poligonais: comparar o espaço ocupado por uma figura com a forma 
mais simples que conhecemos, um quadrado.
VOCÊ SABE RESPONDER?
Caso nossa figura tenha curvas, ou seja, um círculo, como calcular sua área? 
Acredito que vocês ficaram intrigados com o tangram e 
como eu demorei horaspara fazer aquele coração. Neste 
link a seguir, vocês poderão brincar com uma versão digital 
desse jogo. Boa diversão!
EU INDICO
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https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/20178
Antes de sabermos o que são áreas e aprendermos a calcular as áreas das prin-
cipais figuras planos, precisamos recordar os nomes e algumas propriedades 
dessas figuras.
Neste podcast, vamos descobrir um pouco mais da história 
das fórmulas que aparecerão em nossos estudos. Por exem-
plo, vocês sabiam que foi Euler quem utilizou o símbolo para 
o valor de pi? Ou, vocês sabiam que a fórmula da área de 
triângulos como conhecemos já era conhecida desde 499? 
Venham comigo e play no conhecimento!
PLAY NO CONHECIMENTO
VAMOS RECORDAR?
Quadriláteros são polígonos simples de quatro lados. Um quadrilátero tem 
duas diagonais. A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360º e a 
soma dos ângulos externos também é 360º. Dois lados não consecutivos de 
um quadrilátero denominam-se lados opostos.
Paralelogramos são quadriláteros planos convexos que têm os lados 
opostos paralelos. Entre os paralelogramos, destacam-se os seguintes 
casos particulares: 
 RETÂNGULOS 
São paralelogramos que têm os quatro ângulos con-
gruentes (retos).
LOSANGOS 
São paralelogramos que têm os quatro lados con-
gruentes.
QUADRADOS 
São paralelogramos que têm os quatro lados con-
gruentes e os quatro ângulos congruentes (retos).
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https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/19313
TEMA DE APRENDIZAGEM 4
VAMOS RECORDAR?
PROPRIEDADES DOS PARALELOGRAMOS
DIAGONAIS E 
TRIÂNGULOS 
INTERNOS
Em todo paralelogramo, cada diagonal o divide 
em dois triângulos congruentes. 
LADOS OPOSTOS
Em todo paralelogramo dois lados opostos 
quaisquer são congruentes.
ÂNGULOS 
OPOSTOS
Em todo paralelogramo dois ângulos opostos 
quaisquer são congruentes.
INTERSEÇÃO DAS 
DIAGONAIS
Em todo paralelogramo as diagonais 
interceptam-se nos respectivos pontos médios.
QUANDO UM 
PARALELOGRAMO 
É UM RETÂNGULO
Todo paralelogramo que tem as diagonais 
congruentes é um retângulo.
QUANDO UM 
PARALELOGRAMO 
É UM LOSANGO
Todo paralelogramo que tem as diagonais 
perpendiculares é um losango.
Trapézios são quadriláteros que têm apenas dois de seus lados paralelos. Os 
lados paralelos são chamados bases e a distância entre as duas bases cha-
ma-se altura. Os lados paralelos são as bases do trapézio. Se os outros dois 
lados forem congruentes, o trapézio será isóscele. Se não forem congruentes, 
o trapézio será escaleno.
DESENVOLVA SEU POTENCIAL
Quando falamos em Áreas de Polígonos devemos entender que para determi-
nar a área de uma figura precisamos escolher uma unidade de medida e, então, 
comparar a figura com essa unidade, isto é, saber “quantas” unidades precisamos 
para “compor” a figura.
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Observe a figura que está no quadriculado a seguir. Os quadradinhos que 
estão no interior da figura representam sua superfície. 
Figura 2 - Rede quadriculada / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: imagem de uma malha formada por aproximadamente 24 quadrados. Desses 24, 16 estão 
delimitados por uma margem mais destacada.
Vamos calcular a área das principais figuras geométricas planas. Nas fórmulas a 
seguir, usadas para os cálculos de área, usaremos a letra “ S ” de superfície.
De um ponto de vista mais rigoroso, é assim que entendemos o conceito de área.
Dada uma região plana, delimitada por uma curva sem autointerseção e que 
começa e termina no mesmo ponto, a área S dessa região é um número real 
positivo que satisfaz as seguintes condições:
1. duas figuras congruentes possuem a mesma área;
2. se duas figuras se intersectam no máximo pela sua fronteira, a área for-
mada pela união dessas figuras é a soma de cada área;
3. um quadrado de lado igual a 1 possui área igual a 1.
Em nossos estudos a unidade de área mais utilizada é o metro quadrado m2 
e seus múltiplos; sempre vamos nos referir a “unidades de área”.
APROFUNDANDO
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TEMA DE APRENDIZAGEM 4
Áreas e perímetro de figuras poligonais
Neste tópico, vamos estudar como calcular a área e o perímetro de vários polígo-
nos conhecidos. Apresentamos primeiro a noção de perímetro.
Um polígono de n vértices possui n lados e n ângulos. A soma dos compri-
mentos dos lados é o perímetro do polígono.
É comum nos referirmos ao perímetro como a soma dos lados. Aqui, estamos 
cometendo um abuso de linguagem e interpretando a palavra lado como com-
primento/ medida do lado.
Uma dica para lembrar o que significa perímetro é pensar em molduras de qua-
dros de arte. Como assim, vocês devem estar se perguntando. 
Em geral, quadros artísticos são pintados em telas de formatos geométricos 
como retângulos e quadrados. Outra característica, que sempre vemos nesses qua-
dros, são as molduras e elas devem cobrir todos os lados (sem sobrar e nem faltar). 
Ou seja, para montarmos uma moldura precisamos saber o perímetro da tela.
Na sequência, analisamos as áreas dos quadriláteros mais usuais. Como cada 
caso necessita de um raciocínio próprio, apresentaremos um estudo por figura.
A primeira área que veremos é a dos quadrados. Lembre que essa são as fi-
guras mais simples, pois todos os lados têm a mesma medida e todos os ângulos 
são congruentes a noventa graus. 
QUADRADO 
A área de uma região quadrada, cujo 
lado mede l unidades de comprimento, é 
igual a l l l2 � � unidades de área, ou seja: 
S l l l� � � 2
ℓ
ℓ
Figura 3 – Quadrado de lados l / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: um quadrado cujos lados 
estão indicados pela letra l.
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Agora que já sabemos áreas de quadrados, podemos “complicar” um pouco mais 
nossas figuras. Vamos calcular áreas de retângulos, estes são muito parecidos com 
quadrados, mas agora não exigimos que os lados tenham mesma medida, apenas 
os ângulos são congruentes a noventa graus.
 RETÂNGULO 
A área de uma região retangular cujo comprimento é a e cuja largura é b 
é dada por a b⋅ unidades de área, ou seja: S a b� � .
A intuição que baseia este princípio é o fato de podermos subdividir qual-
quer retângulo em quadrados, mesmo quando as medidas de seus lados não 
são números inteiros.
Considere o projeto de um local externo de uma casa apresentado na 
imagem a seguir. Neste projeto, queremos construir um jardim quadrado em 
um pátio retangular.
Observe que nossa medida básica é um quadrado de lados medindo 1 unidade 
de área. Desta forma, para obter a relação l l⋅ para áreas de quadrados pre-
cisamos analisar casos particulares de medidas. Isto é:
a. l n= onde n é um número inteiro positivo: divida o quadrado em 
n2 quadrados internos;
b. l m
n
= onde m e n são números inteiros positivos e primos 
entre si: decompomos cada lado do quadrado em $m$ segmentos, 
onde cada um tem comprimento
1
n
;
c. l a= onde a é um número irracional: de forma indireta, podemos 
mostrar que se b e c são dois números tais que b a c< <2 , então 
b S c< < . Isto nos mostra que S a= 2 .
ZOOM NO CONHECIMENTO
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3
TEMA DE APRENDIZAGEM 4
Utilizando as fórmulas que apresentamos, podemos calcular as áreas ocupadas 
pelo jardim e pela parte cimentada.
PARALELOGRAMO
A área da região limitada 
por um paralelogramo é en-
contrada multiplicando-se 
o seu comprimento (base) 
pela sua largura (altura), ou 
seja: S a b� �
Isto se deve ao fato de que 
todo paralelogramo é equiva-
lente a um retângulo de base 
e altura respectivamente con-
gruentes às do paralelogramo. 
Figura 4 - Aplicação de área de quadrado e retângulo / Fonte: o autor.
Figura 5 - Paralelogramo / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: a figura apresenta um retângulo de lados 7m e 6m e dentro desse temos um quadrado 
de lados 3m. O retângulo é indicado como área cimentada e o quadrado como jardim.
Descrição da Imagem: Paralelogramo cuja altura mede h e 
a base mede b . A figura está subdividida internamente em 
quadrados e são indicados alguns quadrados hachurados. Es-
tes quadrados hachurados estão replicados ao lado de fora da 
figura, mostrandoque ela pode ser equivalente a um quadrado.
Área ciementada
3 m 6 m
7 m
3 m
Jardim
b
h
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De forma intuitiva, como os lados do paralelogramo são paralelos, se “forçarmos” 
os lados a formarem ângulos de noventa graus com as bases, formaremos um re-
tângulo.
A próxima forma que analisamos é a dos losangos. 
LOSANGO
Como um losango é um paralelogramo, se sabemos que seus lados medem a e 
sua altura é b , então S a b� � .
A área da região limitada por um losango pode ser calculada usando suas 
diagonais. Isto é, a área de um losango é igual à metade do produto das medidas 
das diagonais: 
S diagonal maior diagonal menor D d� � � �( ) ( )
2 2
.
Onde D é a diagonal maior e d é a diagonal menor.
Uma justificativa 
para a fórmula uti-
lizando as diago-
nais é a seguinte: 
como em um lo-
sango as diagonais 
se interceptam em 
um ângulo de no-
venta graus e se 
dividem nos seus 
pontos médios, 
podemos colocar o 
losango dentro de 
um retângulo cujos 
lados têm medidas 
iguais as diagonais. Desta forma, a área deste retângulo é o dobro da área 
ocupada pelo losango.
Figura 6 - Losango / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: um losango e suas duas diagonais estão com legendas 
indicando a maior e a menor.
Diagonal maior
Diagonal menor
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TEMA DE APRENDIZAGEM 4
Observe que para desenvolvermos as fórmulas das áreas, nossa ideia é utilizar os 
conhecimentos anteriores. Desta forma, buscamos formar e comparar as figuras 
novas com as áreas que já sabemos calcular. Em particular, buscamos os casos 
mais simples: formar quadrados e retângulos.
Antes de analisarmos figuras com três lados, apresentamos as áreas de trapézios.
TRAPÉZIO
A área da região limitada por um trapézio é igual à metade do produto da 
altura pela soma das bases maior e menor:
S base maior base menor altura B b h� � � � � �( ) ( ) ( )
2 2
.
Onde B é a base maior, b é a base menor e h a altura.
h
b
B
Figura 7 - Trapézio / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: temos um trapézio com base maior descrita por B , base menor por b e é demarcado 
sua altura pela letra h .
Podemos deduzir está fórmula formando um paralelogramo formado pela combi-
nação do trapézio com uma cópia sua, porém, rotacionada em cento e oitenta graus. 
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O triângulo é um polígono especial. Se você o conhecer bem, saberá lidar com 
os demais polígonos, pois todos podem ser triangularizados, ou seja, divididos 
em triângulos internos.
TRIÂNGULO
A área da região triangular é igual à metade do produto da base pela altura, 
ou seja: S
b h
�
�
2
.
Figura 8 - Paralelogramo formado a partir de dois trapézios iguais / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: Paralelogramo formado pela combinação do trapézio com uma cópia sua, porém, com 
rotacionada de cento e oitenta graus.
O Teorema de Pitágoras é umas das grandes ferramentas 
da Geometria. Este resultado nos permite calcular medidas 
de lados de triângulos retângulos, quando sabemos apenas 
duas (das três) medidas. 
Utilizando as áreas que apresentamos, podemos verificar 
este teorema. Vejam uma animação exibindo a relação entre 
o Teorema de Pitágoras e áreas no link a seguir: 
ZOOM NO CONHECIMENTO
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https://www.geogebra.org/m/xCYQdz5g
TEMA DE APRENDIZAGEM 4
Para obtermos essa 
fórmula geral, basta 
notarmos que ao com-
binarmos um triângulo 
de base b e altura h , 
formamos um parale-
logramo, cuja área é o 
dobro da área do triân-
gulo original.
A área limitada por 
um triângulo pode ser 
calculada de diferentes 
modos, dependendo 
dos elementos conhe-
cidos. Vejamos alguns 
exemplos.
Vamos ver agora 
como podemos calcu-
lar a área de um triân-
gulo equilátero de lado 
l . Iniciamos traçando 
a altura do triângulo, e 
com isso o dividimos 
em dois triângulos re-
tângulos congruentes. 
Com a ajuda do Teore-
ma de Pitágoras, encon-
traremos a medida do 
cateto do triângulo em 
destaque e, consequen-
temente, a altura do 
triângulo equilátero. De 
posse da altura do triân-
gulo, teremos condições 
de encontrar sua área. 
Figura 9 - Paralelogramo formado a partir de um triângulo
Fonte: o autor.
Figura 10 - Triângulo equilátero / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: triângulo e a partir do prolongamento de seus 
vértices é formado um paralelogramo, cuja área é o dobro da área do 
triângulo original.
Descrição da Imagem: Triângulo equilátero com elementos destacados: 
vértices A, B e C, e, lados l, altura h e o lado $BC$ está segmento em 
seu ponto médio onde uma das metades tem tamanho l
2
.
D C
BA
A
CB
2
h
ℓ
ℓ
1
1
8
Pelo Teorema de Pitágoras:
l l h l l h l l h2 2 2 2
2
2
2 2 2
2 4
4
4
4
4
� � � � � � �
�
( )
4 4 3 4 3
4
2 2 2 2 2 2
2
l l h l h h l� � � � � �
h l h l� � �3
4
3
2
2
.
Se o lado do triângulo equilátero em estudo mede l , sua base também mede l , 
então, conhecida sua altura, a área será:
S b h
l l l
�
�
�
�
�
2
3
2
2
3
4
2
.
Veremos agora como proceder para calcular a área de um triângulo qualquer 
quando são conhecidos os três lados ( a , b e c ).
A área da região triangular pode ser calculada pela fórmula de Heron. 
Heron de Alexandria foi um geômetra que viveu aproximad-
amente por volta de 10 d.C. e 75 d.C. Além de algumas in-
venções, foi responsável pela demonstração de várias fór-
mulas de áreas e volumes, presentes no seu livro A Métrica 
(que foi encontrado em 1896).
Mais informações a respeito de Heron podem ser vistas no 
texto da OBMEP, que pode ser acessado no link.
EU INDICO
Sabemos que em um triângulo S
b h
�
�
2
.
Porém, pelas relações métricas de triângulos, sua altura pode ser descrita 
usando a medida de seus lados. Isto é, h
p p a p b p c
b
�
� � �2 ( )( )( )
, em que 
a , b e c são os lados do triângulo, b é a base do triângulo e p
a b c
�
� �
2
 é o 
seu semiperímetro.
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TEMA DE APRENDIZAGEM 4
Temos então: 
S b h
b p p a p b p c
p p a p b p c� � �
� � � �
� � � �
2
2
2
( )( )( )
( )( )( ) .
Podemos ainda calcular a área do triângulo em função de dois lados e do seno 
do ângulo compreendido entre eles. Vamos analisar a figura a seguir:
A
C
B
h
b
c
a
Figura 11 - Triângulo de lados a,b e c / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: um triângulo com as seguintes informações destacadas: os lados medem a, b e c; os 
vértices são A, B e C e altura h.
Neste caso S
b h
�
�
2
 mas no triângulo ABC temos que h b C� � sen( ) , então, 
podemos afirmar S
b h a b C� � � � �
2
1
2
sen( ) .
Assim, podemos proceder com qualquer um dos três ângulos do triângulo.
A próxima figura que estudaremos será formada por triângulos equiláteros.
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3
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HEXÁGONO REGULAR
O hexágono regular é um polígono 
especial, pois é formado por seis 
triângulos equiláteros.
Sendo l o lado da região he-
xagonal, sua área será igual a 
S l l= =6 3
4
3 3
2
2 2
.
Outros casos similares a este do 
hexágona são os polígonos que 
podem ser divididas em triângu-
los isósceles.
Figura 12 - Hexágono / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: hexágono dividido em seis 
triângulo equiláteros. Um desses triângulos tem o 
lado destacado pela letra l e altura h .
h
ℓ
ÁREA DA REGIÃO LIMITADA POR UM POLÍGONO REGULAR
Observe alguns exemplos de polígonos regulares:
 ■ Triângulo equilátero – polígono regular de três lados.
 ■ Quadrado – polígono regular de quatro lados.
 ■ Pentágono regular – polígono regular de cinco lados.
 ■ Octógono regular – polígono regular de oito lados.
Podemos perceber que se o polígono regular tem n lados, a região limitada por 
ele pode ser decomposta em n regiões limitadas por triângulos isósceles. Em 
cada um desses triângulos, a base é o lado ( l ) e a altura é o apótema ( a ) do 
polígono regular.
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TEMA DE APRENDIZAGEM 4
Um apótema de um polígono regular é o segmento perpendicular a um dos lados 
do polígono com uma extremidade no centro da circunferência inscrita (ou cir-
cunscrita) e a outra extremidade no lado do polígono.
A área da regiãolimitada por um polígono regular de n lados pode então ser 
escrita assim:
S n la nl a pa� � � �
2 2
( )
.
Em que: l é o lado lado, a é a apótema, p é o semiperímetro e logo nl p= 2 
é o perímetro.
Nosso próximo estudo mudará a natureza das figura. Agora, vamos abor-
dar círculos.
Figura 13 - Apótemas de polígonos circunscritos / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: um triângulo, um quadrado e um hexágono com suas circunferências circuns-
critas. Em cada figura está indicada a apótema e sua medida. Respectivamente: , e .
Polígonos circunscritos e apótema
h
3
α=
L
2
α= L√3
2
α=
a=r a=r a=r
Um círculo é o conjunto de pontos de um plano cuja distância de um 
ponto dado desse plano é menor ou igual a uma distância, não nula, dada.
Uma circunferência é o conjunto dos pontos equidistantes a um ponto 
dado por uma medida fixada.
Os elementos dos círculos e circunferências são: centro, raio, diâmetro, corda 
e arcos.
APROFUNDANDO
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Áreas de figuras círculos e setores 
Os antigos escribas, encarregados de fazer a 
coleta de impostos, provavelmente come-
çaram a calcular a extensão dos campos 
por meio de um simples golpe de vista. 
Mas, certo dia, ao observar trabalha-
dores pavimentando com mosaicos 
quadrados uma superfície retangular, 
algum sacerdote deve ter notado que, 
para conhecer o total de mosaicos, bas-
tava contar os de uma fileira e repetir 
esse número tantas vezes quantas fileiras 
houvesse. Assim nasceu a fórmula da área do 
retângulo: multiplicar a base pela altura.
E a área do círculo? Conta-se que Ahmes (2000 a. 
C.) encontrou a área de um círculo partindo da área de um quadrado cujo 
lado tinha a mesma medida do raio. Desta forma, comprovou que o quadrado 
estava contido no círculo mais de 3 vezes e um sétimo, que hoje conhecemos 
como pi. Então que, para saber a área de um círculo, basta calcular a área 
de um quadrado construído sobre o raio e multiplicar a respectiva área por 
3,14. Interessante, não? 
Claro que existem outras maneiras de chegarmos ao cálculo da superfície 
do círculo, esta é apenas uma delas. Além disso, existem diferentes formas de 
se analisar estes cálculos de área no campo prático. Sem mais delongas vamos 
caminhar para mais uma etapa de nossa jornada pela geometria.
Neste vídeo aula do Instituto de Matemática Pura e Aplicada 
(IMPA), somos apresentados a uma dedução do número p .
A descrição do vídeo é a seguinte: O número p é definido como 
a razão entre o comprimento e o diâmetro de uma circunferên-
cia. Nesta aula discutimos como aproximações para o p po-
dem ser obtidas aproximando a circunferência por polígonos.
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https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/20185
TEMA DE APRENDIZAGEM 4
ÁREA DO CÍRCULO
Observe a sequência de regiões poligonais regulares inscritas na circunferência:
Figura 14 - Círculos e regiões poligonais / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: temos seis círculos em duas fileiras formados por três elementos. O primeiro círculo apre-
senta um triângulo inscrito, o segundo um quadrado inscrito, o terceiro um pentágono. O primeiro da segunda 
linha apresenta um hexágono, o seguinte possui um octógono inscrito e o último é uma circunferência.
À medida que o número de lados ( n ) aumenta, o polígono regular tende a con-
fundir-se com a circunferência.
Assim, o perímetro tende a se aproximar cada vez mais do comprimento da 
circunferência, que é 2pR , e o apótema tende a se aproximar cada vez mais do 
raio R da circunferência.
Então, a região poligonal tende a se confundir com o círculo e sua área tende 
a coincidir com a área do círculo.
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ÁREA DO SETOR 
CIRCULAR
A área de um setor cir-
cular é proporcional ao 
comprimento do arco, 
ou à medida do ângulo 
central. Para calcular sua 
área, basta fazermos uma 
regra de três.
Assim, comparando 
2prad com pR2 :
Figura 16 - Setor circular / Fonte: o autor.
Figura 15 - Área do círculo / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: círculo com uma circunferência de raio R e em 
destaque temos um setor circular de ângulo a .
Descrição da Imagem: a figura apresenta uma circunferência de raio 
r e com onze triângulos isósceles inscritos. Um desses triângulos tem 
destacado seus lados de comprimento r e sua altura h relativa à 
base de comprimento a .
r
h
r
a
R
α
Como a área da re-
gião limitada por um po-
lígono regular é dada pelo 
produto do semiperíme-
tro pelo apótema, então a 
área do círculo é:
S R R R� � � �1
2
2 2( )p p .
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TEMA DE APRENDIZAGEM 4
{α
π π α
rad
rad
�
� � �A
R
setorsetor
A R2
22
2
Se a estiver em graus:
{
α
π πα
o
setor
o
A
R
setor oA
R
�
� � �360
22
360
E se tivermos o comprimento do arco
{l A
R
setor
R
setor
A lR�
� � �2
22
2
p p
Claro que estas relações podem ser analisadas na prática. Exemplo na ima-
gem a seguir.
A área de um setor pode ser calculada dependendo das informações que o 
problema traz. Vamos analisar dois exemplos: 
1. Determine a área do setor usando que o raio é R cm= 8 e a = 30o . Use 
p = 3 14, .
Solução: como conhecemos o raio e a medida do ângulo central, basta substituir 
esses valores na fórmula da área do setor circular
A cmsetor
o
o�
� �
�
30 3 14 8
360
16 7
2
2, , .
2. Numa circunferência de área igual a 121 2pcm , calcule a área do setor 
circular delimitado por um ângulo central de 120o .
Solução: para a solução desse problema devemos verificar que no numerador da 
fórmula da área do setor circular, a medida do ângulo central a está multipli-
cando a área da circunferência, dessa forma, teremos:
A cmsetor
o
o�
� �
�
120 121
360
121
3
2p p .
Para escrever este valor na forma decimal, basta dividir 121 por 3 e multiplicar 
por 3,14.
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ÁREA DO SEGMENTO CIRCULAR
Um segmento circular é uma região limitada por uma corda e um arco do círculo. 
Para calcular a área do segmento circular, basta encontrar a área do setor e 
subtrair a área do triângulo formado pela corda e o ângulo central a = AOB .
A
B
α
Neste caso, temos que A A Asegmento setorAOB AOB� �  .
ÁREA DA COROA CIRCULAR 
Para o cálculo da coroa circular, basta 
encontrar a área dos dois círculos e 
fazer a diferença dos dois.
Ou seja
A R r R rcoroa � � � �p p p
2 2 2 2( ) .
Onde R é o raio do círculo maior e r 
o raio do círculo menor.
R
r
Figura 17 - Coroa circular / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: dois círculos concêntricos. O 
maior tem raio R e o menor raio r . A coroa circular 
formada pela diferença entre os raios está hachurada.
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TEMA DE APRENDIZAGEM 4
NOVOS DESAFIOS
Todo polígono, ou círculo, ocupa uma certa quantidade de superfície, uma certa 
área. Na vida prática, conhecer essa área pode ajudar a calcular várias coisas. 
Pode ser tamanho de um terreno, a quantidade de pisos necessários para cobrir 
determinada superfície, quanto tecido é necessário para fazer um vestido, quanto 
papel é necessário para imprimir um folder, e muitas outras coisas.
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VAMOS PRATICAR
1. Sabe-se que a área do círculo é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja 
distância a um ponto fixo 0 é menor ou igual que uma distância r dada. Além disso, a 
área do círculo é calculada pela fórmula , e a circunferência é calculada pela fórmula
, nas quais “pi” representa o valor constante de 3,1416 e r é o raio do círculo.
SIQUEIRA, R. A.; MARCUSSI, F. Geometria com construções geométricas. Maringá: 
Unicesumar, 2018. 152 p.
Calcule quantas pessoas cabem, aproximadamente, em uma praça circular de 20 m de 
raio, considerando 5 pessoas por metro quadrado.
2. Na natureza, nos deparamos com diversas formas geométricas. Dentre elas, busca-
mos aquelas que possuem mais simetria, pois isso nos proporciona computar cálculos 
mais simples. As formas mais simples, nesse sentido, são formadas por quatro lados 
dispostos de tal forma que estes lados se conectam e os ângulos internos são todos 
menores do que 180º. Também podemos caracterizar essas figuras ao tomarmos dois 
pontos distintos no seu interior,podendo traçar um segmento de reta totalmente no 
interior do quadrilátero.
SIQUEIRA, R. A.; MARCUSSI, F. Geometria com construções geométricas. Maringá: 
Unicesumar, 2018. 152 p.
Sabendo que os ângulos de um quadrilátero convexo medem x, 2x, 3x e 4x, calcule o 
valor de x.
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VAMOS PRATICAR
3. São muitas as formas poligonais que nos circundam. Um breve momento de observa-
ção de alguns objetos certamente lhe permitirá identificar triângulos, quadriláteros, 
pentágonos, circunferências, dentre outros. Essas formas são muito utilizadas em apli-
cações por serem as mais simples de deduzirmos relações; além do fato de podermos 
utilizá-las para decompor outras formas mais complexas em pedaços mais simples.
DALPIAZ, M. V. A. D; BONA, J. Geometria. Indaial: Uniasselvi, 2014. 249 p. 
Analise as sentenças a seguir:
I - O único vértice de uma circunferência é o seu centro.
II - A soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é igual a 360°.
III - Uma estrela de cinco pontas é um exemplo de polígono convexo.
IV - A soma dos ângulos externos de qualquer quadrilátero é igual a 360°.
É correto o que se afirma em:
a) II e IV, apenas.
b) III e IV, apenas.
c) I e III, apenas.
d) I, apenas.
e) I, II, III e IV.
4. A definição de círculo é o conjunto de pontos resultantes da união entre uma circun-
ferência e seus pontos internos. Em outras palavras, o círculo é a área cuja fronteira é 
uma circunferência. Dessa maneira, a diferença fundamental entre círculo e circun-
ferência é que o círculo é toda a área interna de uma circunferência.
SIQUEIRA, R. A.; MARCUSSI, F. Geometria com construções geométricas. Maringá: 
Unicesumar, 2018. 152 p.
Existem muitos objetos e construções que lembram a forma de uma circunferência. 
Assinale a alternativa correta que apresenta um deles:
a) Anel, bambolê e contorno de uma praça circular. 
b) Bola de futebol, anel e contorno de praças circular.
c) Pizza, bola de basquete e anel. 
d) Bola de futebol, bola de basquete e roda de bicicleta. 
e) Anel, bambolê e pizza.
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VAMOS PRATICAR
5. Em nosso cotidiano, constantemente nos deparemos com polígonos regulares e, tal-
vez, não percebemos. Um exemplo são os tradicionais balõezinhos de festas juninas. 
Os modelos mais simples são formados por quatro losangos unidos dois a dois por suas 
laterais e vértices, formando uma figura tridimensional. 
Sabe-se que o losango possui quatro lados iguais, ângulos opostos iguais, diagonais 
perpendiculares e dois eixos de simetria.
SIQUEIRA, R. A.; MARCUSSI, F. Geometria com construções geométricas. Maringá: 
Unicesumar, 2018. 152 p.
Com base nas informações apresentadas, avalie as asserções a seguir e a relação pro-
posta entre elas:
I - Um losango é também um paralelogramo. Todo losango é um paralelogramo
PORQUE
II - Um losango com ângulos retos é um quadrado
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:
a) As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
b) As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
c) A asserção I é uma proposição verdadeira e a II é uma proposição falsa.
d) A asserção I é uma proposição falsa e a II é uma proposição verdadeira.
e) As asserções I e II são falsas.
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REFERÊNCIAS
DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos de matemática elementar: geometria espacial, 
posição e métrica. São Paulo: Atual, 2004. v. 10.
EUCLID. The thirteen books of the elements: translated with introduction and commen-
tary by Sir Thomas Heath. New York: Dover, 1956.
HILBERT, D. Fundamentos de Geometria. Lisboa: Gradiva, 2003.
HILBERT, D. Fundamentos de matemática elementar: geometria plana. São Paulo: Atual, 
2004. v. 9.
LIMA, E. L. Medida e forma em geometria. Rio de Janeiro: SBM, 1991. (Coleção do Professor 
de Matemática).
LIMA, E. L. Matemática e Ensino. Rio de Janeiro: SBM, 2001. (Coleção do Professor de Ma-
temática).
WAGNER, E.; CARNEIRO, J. P. Q. Construções geométricas. 4. ed. Rio de Janeiro: SBM, 
2000.
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1. Como o problema nos deu o diâmetro, para encontrarmos a área da circunferência, temos:
Como a cada metro quadrado podemos alocar 5 pessoas, o valor que procuramos é
FÓRMULA:
Utilize 
2. Sabe-se que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é igual a 360°. Então: 
3. I - Falso. Por definição, um círculo não tem vértices.
II - Verdadeiro – a soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é igual a 360°.
III – Falso. Um segmento traçado entre dois vértices consecutivos da estrela não pertence 
a seu interior. Logo, essa figura não é convexa.
IV - Verdadeiro - A soma dos ângulos externos de qualquer quadrilátero é igual a 360º.
4. Existem muitos objetos e construções que lembram a forma de uma circunferência ou 
que possuem contorno na forma de uma circunferência, como as rodas de uma bicicleta 
ou de um automóvel, anéis, placas de trânsito, tampas de panelas, contornos de praças 
circulares, volante de um automóvel, dentre outros.
5. Losango ou rombo é um quadrilátero equilátero, ou seja, é um polígono formado por quatro 
lados de igual comprimento. Um losango é também um paralelogramo. Todo losango é 
um paralelogramo, e um losango com ângulos retos é um quadrado.
GABARITO
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MINHAS METAS
POLIEDROS E PIRÂMIDES
DR. WILLIAN GOULART GOMES VELASCO
Reconhecer poliedros.
Aprender a utilizar e o significado da relação de Euler.
Identificar os poliedros de Platão.
Estudar prismas, suas áreas e seus volumes.
Definir pirâmides e calcular seus volumes e áreas.
T E M A D E A P R E N D I Z A G E M 5
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INICIE SUA JORNADA
Você sabe qual a conexão que existe entre o lápis, uma área da matemática e joias 
de alto luxo? Se você pensou em “pressão”, não está errado, mas nosso foco é outro. 
Agora se você não compreendeu, vejamos o que está acontecendo.
Tanto o grafite que nós usamos para riscar e criar marcas no papel quanto 
os diamantes são feitos de carbono. Por um lado, temos um dos materiais mais 
resistentes (os diamantes) e do outro, um dos mais suaves (o grafite). Dentre 
diversos fatores, o mais importante na diferenciação da origem desses materiais 
é a pressão e temperatura sob as quais foram expostos.
Agora que sabemos da parte, digamos, química e geológica, focaremos nas 
características matemáticas e geométricas.
Um diamante, quando encontrado na natureza, é uma pedra sem apelo visual 
e estético. Cabe aos designers de joias o trabalho de lapidar essas pedras e desven-
darem a beleza por trás da pedra bruta. Nessa etapa do processo, a matemática 
permite que os diamantes brilhem mais.
A geometria (plana e espacial) é 
o ramo da matemática responsável 
por identificar formas, áreas e volu-
mes. Em especial, uma pedra bruta de 
diamante pode ser trabalhada de ma-
neira a se assemelhar uma forma geo-
métrica em três dimensões. Não só a 
pedra como um todo, mas suas faces 
também são lapidadas para apresen-
tar formas e desenhos com simetria.
O profissional que lida com 
diamantes precisa ter em mente os 
seguintes aspectos: como otimizar 
a forma natural da pedra bruta. Isto 
pode ser desmembrado em outras 
perguntas: qual a melhor forma 
para essa pedra bruta, o que ficaria 
mais proporcional? Quantas faces posso formar? Em cada face, quantas formas 
simétricas podem ser lapidadas? 
Figura 1 - Diamantes / Fonte: Freepik (2023, on-line).
Descrição da Imagem: 16 diamantes dispostos em 
4 linhas com 4 colunas. Cada diamante apresenta um 
formato geométrico distinto.
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TEMA DE APRENDIZAGEM 5
Ou seja, o designer está colocando em prática diversas ferramentas da geo-
metria matemática. 
Neste tema, abordaremos aspectos matemáticas relacionados a formas e vo-
lumes de figuras no mundo tridimensional. 
Além de presente em pedras preciosas, muitas formas da 
natureza apresentam simetrias. O artista venezuelano Rafael 
Araújo utiliza construções matemáticas em três dimensões 
para recriar figuras que vemos na natureza, ou construções 
arquitetônicas.
Vejam seu processo criativo nesta reportagem.
EUINDICO
Neste Podcast, abordaremos a relação entre os objetos 
matemáticos chamados poliedros e suas representações reais. 
PLAY NO CONHECIMENTO
VAMOS RECORDAR?
Ao longo das próximas seções, utilizaremos diversos 
resultados a respeito de polígonos. 
Clique aqui para conferir um resumo com as principais 
fórmulas. 
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DESENVOLVA SEU POTENCIAL
O mundo que nos rodeia é repleto de objetos que têm três dimensões, ou seja, 
podemos identificar os elementos altura, largura e profundidade. O ramo da 
matemática que estuda essas três dimensões é a Geometria Espacial, com os 
poliedros e corpos redondos.
Quando estudamos a Geometria Plana, estamos preocupados com apenas 
duas dimensões: altura e largura. Apesar de não representar a realidade que ve-
mos, essa abordagem nos permite desenvolver diversas aplicações. Por exemplo, 
dizer que “uma folha de papel é uma região retangular” é didaticamente adequado, 
mas é necessário desconsiderar a espessura do papel que, por mínima que seja, 
existe. A verdadeira representação geométrica de uma folha de papel seria um 
tipo de poliedro chamado prisma, com suas três dimensões, e não uma região 
retangular, com duas. Mas quando consideramos todas as características reais, os 
problemas podem se tornar muito difíceis de serem estudados.
Por estes motivos, nós estudamos primeiro as propriedades das figuras 
planas e, depois, passamos a estudar os sólidos geométricos. Nesse momento, 
ganhamos diversas novas figuras para analisarmos, como os poliedros, os 
prismas e as pirâmides. 
Também é importante perceber que a noção de área ganha uma nova di-
mensão, e passamos a estudar os volumes, que, intuitivamente, representam a 
quantidade que “cabe dentro” de uma figura em três dimensões.
Ao observarmos nosso entorno, encontraremos objetos que são limitados 
apenas por superfícies planas, outros limitados apenas por superfícies curvas e, 
ainda, outros limitados por superfícies planas e curvas. 
Dessa forma, podemos definir um sólido geométrico como uma figura que 
possui as dimensões de latitude, longitude e altitude e se classificam em poliedros 
e não poliedros:
 ■ Os poliedros são sólidos geométricos limitados somente por super-
fícies planas. 
 ■ Os não poliedros têm alguma superfície curvas.
A seguir, exploraremos estes sólidos com mais detalhes.
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TEMA DE APRENDIZAGEM 5
Poliedros
Já sabemos que poliedros são sólidos geométricos limitados por faces planas e 
poligonais como apresentado nas imagens:
Figura 2 - Poliedros / Fonte: o autor.
Figura 3 - Elementos do poliedro / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: quatro figuras com três dimensões, dispostas em uma linha. A primeira figura do lado 
esquerdo é um cubo, ao lado uma pirâmide com base retangular, ao seu lado um paralelepípedo e ao final, uma 
pirâmide com base triangular.
Descrição da Imagem: um paralelepípedo com os elementos vértice, aresta e face indicados.
Os minerais de cristais é um exemplo de poliedro. Os profissionais de Cristalogra-
fia utilizam os conceitos de geometria plana e espacial.
Um poliedro é formado por faces, arestas e vértices. Cada face está contida em um 
plano diferente. O encontro dos planos define um segmento de reta chamado de 
aresta e o encontro das destas arestas determinam os vértices da figura espacial.
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Note que cada aresta do poliedro pertence a duas faces e a dois vértices. 
Como veremos nos próximos tópicos, podemos classificar poliedros com 
relação às disposições de suas faces e a sua quantidade.
CONVEXIDADE DE UM POLIEDRO
Para caracterizar um poliedro convexo é necessário satisfazer às três condições 
de existência:
1. Não há dois polígonos-face em um mesmo plano.
2. Cada lado de um dos polígonos-face é comum a dois e apenas dois dos 
polígonos-face.
3. O plano de cada polígono deixa todos os outros polígonos em um mesmo 
semiespaço determinado por esta face.
Visualmente, podemos interpretar essa definição pela seguinte noção: qualquer 
reta que traçamos entre dois pontos de faces não coplanares sempre passa por 
“dentro” do poliedro.
Veja como esta definição se configura nas representações:
Figura 4 - Poliedros convexo e não convexo / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: são apresentados dois poliedros. No lado esquerdo, temos um poliedro com a descrição 
Convexo e no direito um poliedro com a descrição Não convexo.
Um poliedro não convexo é também chamado de côncavo. 
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TEMA DE APRENDIZAGEM 5
Conforme o número de faces um poliedro convexo recebe nomes especiais:
VOCÊ SABE RESPONDER?
Os poliedros ocorrem, naturalmente, na natureza, em formações minerais. Entre 
os convexos e os não convexos, quais vocês acham que são mais encontrados?
Nº FACES NOME
 4 Tetraedro
 5 Pentaedro
 6 Hexaedro
 7 Heptaedro
 8 Octaedro
 9 Eneaedro
10 Decaedro
11 Undecaedro
12 Dodecaedro
13 Tridecaedro
14 Tetradecaedro
15 Pentadecaedro
20 Icosaedro
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Até este momento, nós apresentamos classificações gerais de poliedros. Pode parecer 
que cada um deles é muito distinto dos demais, mas, como veremos a seguir, todo po-
liedro convexo satisfaz uma relação numérica envolvendo suas faces, arestas e vértices.
RELAÇÃO DE EULER
A relação numérica a seguir é um resultado matemático muito profundo sobre 
poliedros (e formas geométricas), conhecido como Relação, ou Fórmula, de Euler. 
Esta fórmula evidencia uma propriedade que estabelece uma relação entre o nú-
mero de vértices, o número de arestas e o número de faces de um poliedro convexo. 
O nome desse resultado é em homenagem a seu idealizador, o matemático suíço 
Leonhard Euler (1707-1783). Segundo correspondências da época, trocadas entre 
eles e colegas matemáticos, a descoberta deste fato ocorreu em novembro de 1750.
Para todo poliedro convexo, vale a fórmula: F V A� � � 2 , onde V é o núme-
ro de vértices, A é o número de arestas e F é o número de faces.
Os poliedros para os quais esta relação é válida são chamados poliedros eulerianos.
Exemplo:
a) Em um poliedro convexo, o número de arestas é 30 e o de vértice é 12.
Qual é o número de faces?
V A F F F F� � � � � � � � � � � � �2 12 30 2 2 12 30 20
Logo, o poliedro convexo tem 20 faces.
b) Vamos calcular o número de arestas e o número de vértices de um polie-
dro com seis faces quadrangulares e quatro faces triangulares.
Primeiro, determinaremos o número de arestas:
 ■ para cada face quadrangular temos 4 arestas, logo 6 4 24� �
 ■ para cada face triangular temos 3 arestas, logo 4 3 12� �
Como contamos cada aresta duas vezes sem considerar o “encontro”, temos 
que dividir por dois: 24 12
2
18� � .
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TEMA DE APRENDIZAGEM 5
É importante percebermos que todo poliedro convexo é euleriano, mas nem 
todo poliedro euleriano é convexo.
Veja o os exemplos:
Figura 5 - Poliedros eulerianos e não eulerianos / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: são apresentados dois poliedros, lado a lado. O do lado direito tem como descrição Poliedro 
convexo euleriano e uma expressão matemática verifica a Relação de Euler. Ao seu lado é apresentado outro 
poliedro, mas este é euleriano e não convexo.
Na prática matemática, a Relação de Euler pode ser utilizada para saber caracte-
rísticas imediatas dos sólidos sem precisar desenhar a figura.
A Relação de Euler possui diversas aplicações dentro da 
Ciência matemática, com resultados muito profundos a 
respeito de figuras que possuem formas diferentes, mas 
descrevem a mesma figura. Tais estudos e reflexões levar-
am o matemático Henri Poincaré a conjecturar (um palpite 
matemático que não foi comprovado), aproximadamente, em 
1904, que sob certas hipóteses, qualquer objeto matemático 
com mais de duas dimensões e sem buracos pode ser mod-
elado em uma esfera.
A complexidade por trás desta ideia fez com que este re-
sultado se tornasse um dos problemas mais difíceis de se 
resolver. Apenas mais um século depois que Grigory Perel-man, um matemático russo, conseguiu responder este prob-
lema e confirmou a intuição de Poincaré.
Para saber mais a respeito do matemático russo que desven-
dou a solução deste problema, confira a matéria.
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https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/20469
Poliedros de Platão
Para tratarmos dos poliedros de Platão, inicialmente, apresentaremos as 
condições para definir poliedros convexos regulares. São elas:
1. As suas faces são polígonos regulares (com o mesmo nº de lados).
2. Os seus ângulos poliédricos possuem a mesma medida.
Figura 6 - Ângulo poliédrico / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: é apresentado o “bico” de um poliedro, com a legenda Ângulo poliédrico.
Ângulo Poliédrico é constituído por todas as faces que convergem em um vértice. 
São os ‘bicos’ do poliedro
Assim, podemos definir um poliedro convexo de Platão:
1. Todas as faces tiverem o mesmo número de arestas;
2. De todos os vértices partirem o mesmo de arestas;
3. Satisfazem a relação de Euler. 
Pela definição de poliedro regular e de Platão, podemos concluir que todo 
Poliedro de Platão é regular.
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TEMA DE APRENDIZAGEM 5
Só existem cinco poliedros regulares, que são os de Platão e recebem nomes 
especiais. Vamos nomeá-los a partir da relação de Euler.
Um poliedro de Platão é poliedro euleriano, portanto, satisfaz à relação de 
Euler: V A F� � � 2 .
Os poliedros de Platão recebem nomes especiais:
 QUATRO FACES TRIANGULARES - TETRAEDRO
4 – 6 + 4 = 2
SEIS FACES QUADRANGULARES - HEXAEDRO
8 – 12 + 6 = 2
Figura 7 - Poliedros de Platão / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: quatro poliedros em duas filas e duas colunas. Na fila da esquerda, a legenda Exemplo 
de poliedro de Platão. No lado direito, temos a legenda Não exemplo de Poliedro de Platão e são exibidos dois 
poliedros. Nesses poliedros, são identificados os elementos que não os caracterizam como poliedros de Platão. 
São apresentadas as legendas: Não convexo e não parte o mesmo número de arestas de cada vértice.
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OITO FACES TRIANGULARES - OCTAEDRO
6 – 12 + 8 = 2
 DOZES FACES PENTAGONAIS - DODECAEDRO
20 – 30 + 12 = 2
VINTE FACES TRIANGULARES - ICOSAEDRO
12 – 30 + 20 = 2
Como poliedro é um sólido geométrico, os poliedros de Platão também são 
chamados de Sólidos de Platão.
Todo poliedro de Platão é um sólido geométrico, mas nem todos os sólidos 
geométricos são de Platão.
Podemos construir os poliedros de Platão em diversos materiais a partir 
da planificação, que são uma forma de representear em duas dimensões uma 
figura de três dimensões, como uma caixa de papelão aberta.
Uma planificação de um poliedro é o resultado do processo de se cortar o 
poliedro ao longo de curvas e, então, abri-lo de forma que ele possa ser disposto 
sobre uma superfície plana, sem sobreposições e sem deformações das faces.
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TEMA DE APRENDIZAGEM 5
TETRAEDRO
4 faces triangulares, 4 vértices, 
6 arestas
HEXAEDRO
4 faces quadrangulares, 8 
vértices, 12 arestas
OCTAEDRO
4 faces triangulares, 6 vértices, 
12 arestas
DODECAEDRO
4 faces pentagonais, 20 
vértices, 30 arestas
ICOSAEDRO
20 faces triangulares, 12 
vértices, 30 arestas
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Para responder a esta pergunta, observaremos como ocorre a construção 
de um poliedro a partir dos ângulos poliédricos (‘bicos’). Para construir um 
ângulo poliédrico são necessários pelo menos três polígonos e a soma dos ângu-
los poliédricos será sempre menor que 360o independentemente do número de 
faces. Assim, as faces só podem ser triângulos (ângulo interno 60º), quadrados 
(ângulos internos 90º) e por pentágonos (108º). Vamos analisar:
POLÍGONO
ÂNGULO 
INTERNO
Nº POSSÍVEL EM 
CADA VÉRTICE
POLIEDRO
Triângulos equiláteros 60º
3 triângulos Tetraedro
4 triângulos Octaedro
5 triângulos Icosaedro
Quadrado 90º 3 quadrados Hexaedro
Pentágonos 108º 3 pentágonos Dodecaedro
Tabela 1 - Ângulo poliédricos / Fonte: o autor.
Agora, mostraremos que não é possível formar um ângulo poliédrico 
com mais de três quadrados, hexágonos, heptágonos, octógonos, pois a soma dos 
ângulos é igual ou maior a , 360o o que não forma um ‘bico’.
VOCÊ SABE RESPONDER?
Por que só existem cinco poliedros de Platão?
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TEMA DE APRENDIZAGEM 5
Conclui-se que só existem cinco poliedros de Platão nos quais a soma dos 
ângulos poliédricos é sempre menor que 360o .
Primas
Estudaremos alguns poliedros convexos em relação ao cálculo de sua área e seu 
volume. Iniciaremos a partir da forma de uma geladeira. Você já observou que 
ela tem a forma de um poliedro? Trata-se de um prisma também chamado de 
paralelepípedo retângulo ou bloco retangular.
Quando você vai adquirir uma geladeira, além do seu custo e consumo de 
energia, certamente, você procurará comprar uma que se adapte ao espaço dis-
ponível em sua cozinha e a capacidade de armazenar a quantidade de alimentos 
que você e sua família necessitam. Se fizermos um cálculo de volume da geladeira, 
calcularemos o espaço que ela ocupará na cozinha. 
A maioria das geladeiras que estão no mercado hoje tem sua capacidade re-
gistrada em litros. Este cálculo nos informa a quantidade de alimentos que ela é 
capaz de conter. Deste modo, estudar esta parte da geometria não é apenas fazer 
cálculos e relações, mas sim entender um pouco mais da realidade que nos cerca.
PRISMAS
Um prisma é um poliedro convexo satisfazendo as seguintes condições:
a) Dois polígonos não estão no mesmo plano.
Figura 8 - Soma de ângulos internos de vértices / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: quatro planificações geométricas. Em cada uma estamos analisando a possibilidade de 
um vértice ter soma dos ângulos internos maior ou igual a 360º. 
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b) Cada lado de polígono é comum a dois e somente dois polígonos.
A seguir, formalizaremos mais algumas características dos prismas.
CLASSIFICAÇÃO
De acordo com a inclinação das arestas laterais, um prisma pode ser reto ou oblíquo: 
 ■ É reto quando as arestas laterais são perpendiculares às bases, e 
 ■ Oblíquo quando não o são. 
Com relação às bases, os prismas classificam-se em:
 ■ Prisma triangular: as bases são regiões triangulares.
 ■ Prisma quadrangular: as bases são regiões quadriláteras.
 ■ Prisma pentagonal: as bases são regiões pentagonais.
E assim por diante.
Ainda com relação às bases, um prisma é regular se, em cada base, o contorno 
da região poligonal é um polígono regular.
Um prisma possui os seguintes elementos:
• A distância entre os planos a e b , que contêm as bases, é a altura ( h
) do prisma;
• Os polígonos A B C D E F′ ′ ′ ′ ′ ′ e ABCDEF , chamados bases do 
prisma, são congruentes e estão situados em planos paralelos entre si, 
denominados de planos da base a e b ;
• Os lados dos polígonos, A B′ ′ , B C′ ′ , C D′ ′ , D E′ ′ , E F′ ′ , F A′ ′ e 
AB , BC , CD , DE , EF , FA são as arestas da base;
• Os segmentos AA′ , BB′ , CC′ , DD′ , EE′ , FF ′ são as arestas 
laterais;
• os paralelogramos AA BB′ ′ , BB CC′ ′ , CC DD′ ′ , DD EE′ ′ , 
EE FF′ ′ , FF AA′ ′ são as faces laterais.
ZOOM NO CONHECIMENTO
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TEMA DE APRENDIZAGEM 5
PARALELEPÍPEDO
Um prisma cujas bases têm forma de paralelo-
gramos é um paralelepípedo.
Em um paralelepípedo, todas as faces são pa-
ralelogramos e, em particular, podem ser retân-
gulos. A superfície total de um paralelepípedo é 
a reunião de seis paralelogramos. 
Um prisma reto de bases retangulares é cha-
mado de paralelepípedo retângulo, paralelepípe-
do reto retângulo, bloco retangular ou ortoedro. 
Observe que esta forma geométrica é delimitada 
por seis retângulos cujas faces opostas são retân-
gulos idênticos. 
Observe, também, que em cada vértice as 
arestas são perpendiculares duas a duas. 
 ■ Paralelepípedo reto retangular ou para-
lelepípedo retângulo:
Figura 9 - Paralelepípedo retângulo
Fonte: o autor.
Figura 10 - Paralelepípedo planificado / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: um paralelepí-
pedo sobre fundo branco.
Descrição da Imagem: um paralelepípedo planificado sobre um fundo branco.■ Paralelepípedo retângulo planificado: 
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Cubo
O cubo, ou hexaedro, é um paralelepípedo retângulo ou prisma especial cujas 
seis faces são congruentes.
Figura 11 - Cubo e cubo planificado / Fonte: o autor.
Figura 12 - Diagonais de 
um cubo / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: um cubo e um cubo planificado lado a lado sobre um fundo branco.
Descrição da Ima-
gem: um cubo e 
em destaque temos 
uma diagonal inter-
na e outra diagonal 
na face. Também 
é apresentado o 
triângulo retângulo 
formado por essas 
diagonais e uma 
aresta do cubo.
Assim, como podemos estudar as diagonais de um polígono, existem diago-
nais de primas.
A diagonal de um prisma é um segmento que tem extremidades em dois 
vértices que não pertencem a uma mesma face do prisma. 
Observe o desenho a seguir para distinguir diagonal da face e a diagonal do cubo:
C’
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TEMA DE APRENDIZAGEM 5
Temos um cubo de lado a , diagonal da face f e diagonal do cubo d . Ob-
serve que estas três medidas formam um triângulo retângulo. Então, com o 
Teorema de Pitágoras, conhecidas duas delas, é possível encontrar a terceira.
Iniciaremos calculando a diagonal da face do cubo: 
f a a a f a2 2 2 22 2� � � � � .
Agora, calcularemos a diagonal do cubo: 
d a f a a a a a d a2 2 2 2 2 2 2 22 2 3 3� � � � � � � � �( ) .
Este exemplo nos mostra que ao decompormos os elementos de um pris-
ma, nesse caso, um cubo; podemos encontrar relações entre suas medidas.
ÁREA E VOLUME DO CUBO 
Como já sabemos, o cubo é um prisma com todas as faces congruentes. As-
sim, todas as suas faces são quadradas. Podemos, então, chamá-lo de prisma 
quadrangular regular, em que sua altura é igual a medida da aresta da base.
Sabemos, também, que para calcular a área de um quadrado de lados l 
fazemos S l= 2 .
Como o cubo é formado por 6 quadrados de mesma medida, conhecendo 
a área de um e multiplicando por 6 teremos a área total do cubo: 
A l A llateral total= =
2 26 e .
Neste momento, veremos apenas o volume do cubo. O cálculo do volume dos 
demais prismas será visto ainda neste tópico, um pouco mais adiante.
Para calcular o volume de um cubo, basta multiplicar as medidas das três 
dimensões: comprimento, largura e altura. Como as três têm a mesma medi-
da, temos: V l= 3 .
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Observe, agora, a figura a seguir. Ela não é um cubo, pois suas arestas têm 
medidas diferentes. Chamamos esta forma de prisma retangular, porém a 
base de cálculo continua sendo o cubo. 
As dimensões do prisma são: 5 cm de comprimento, 3 cm de largura e 4 
cm de altura. A unidade de medida é o centímetro.
Calcular o volume e dizer quantas vezes um cubo de 1 cm3 cabe dentro 
deste prisma.
A definição formal de áreas utiliza como unidade padrão um quadrado de 
lados medindo l =1 . Como um cubo é a “versão” em três dimensões do 
quadrado, é natural generalizar essa ideia de medida unitária.
Imagine um cubo com aresta medindo 1 m. Esse cubo tem volume igual a 
1 metro cúbico (1 m3 ), que é a unidade de medida de volume no sistema 
métrico decimal.
Ou, um cubo de aresta medindo 1 cm. Seu volume seria de 1 centímetro 
cúbico (1 cm3 ). Ou ainda um cubo de aresta 1 dm, seu volume seria: 
3 31 1 1 1V dm dm= ⋅ ⋅ =
PENSANDO JUNTOS
Figura 13 - Prisma dividido em cubos / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: um prisma com as faces subdividas em cubos com arestas de 1 cm e volume 1 cm3. As 
dimensões do cubo estão indicadas por 5 cm, 3 cm e 4 cm. 
V cm cmprimsa � � � � � � �comprimento largura altura 5 3 4 60
3 3
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TEMA DE APRENDIZAGEM 5
Outra novidade que mais uma dimensão nos fornece, em comparação com os 
polígonos, é que podemos calcular o espaço ocupado por cada face de um prisma.
ÁREA DA SUPERFÍCIE DE UM PRISMA
Em todo prisma, consideramos:
 ■ Superfície lateral: formada pelas faces laterais.
 ■ Área lateral ( Al ): a área da superfície lateral.
 ■ Superfície total: formada pelas faces laterais e pelas bases.
 ■ Área total ( At ): a área da superfície total.
Vamos resolver um problema para entendermos melhor tudo isso.
Ao analisarmos volumes, que é a generalização da noção de área, por 
termos mais uma dimensão algumas novas situações precisam ser levadas 
em consideração. Por exemplo, é de se esperar que se empilharmos caixas 
de papelão, não importa como essa disposição seja feita, pois o volume de 
todas as possíveis pilhas de caixa deve ser o mesmo.
Esta ideia intuitiva foi transformada em uma importante proposição pelo 
matemático, professor da Universidade de Bolonha (Itália), Bonaventura 
Cavalieri. O italiano Bonaventura Francesco Cavalieri (1598-1647), que foi 
discípulo de Galileu, publicou em 1635 sua teoria do indivisível, contendo o 
que hoje é conhecido como “princípio de Cavalieri”.
Em 1647, Cavalieri publicou a obra “Exercitationes geometricae sex”, na qual 
apresentou de maneira mais clara sua teoria.
A obra mais importante de Cavalieri, “Geometria indivisibilibus continuorum” 
(Geometria dos indivisíveis contínuos), publicada em 1635, apresenta o 
princípio, enunciado a seguir, para comparação dos volumes de dois sólidos 
geométricos. 
Sejam dois sólidos geométricos P1 e P2 e um plano α. Se qualquer plano β, 
paralelo a α, que intercepta um dos sólidos também intercepta o outro e 
determina nesses sólidos secções de mesma área, então os sólidos P1 e P2 
têm volumes iguais.
Assim, o volume de um prisma qualquer é igual ao produto da área de sua 
base por sua altura.
APROFUNDANDO
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Exemplo: Calcularemos a área total de um prisma hexagonal regular cuja 
aresta da base mede 3 cm e a aresta da face lateral mede 6 cm.
Figura 14 - Prisma de aresta da base 3 cm e altura 6 cm / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: um prisma hexagonal regular cuja aresta da base mede 3 cm e a aresta da face lateral 
mede 6 cm e ao lado sua planificação.
De acordo com o enunciado, temos:
 ■ A medida da aresta lateral = 6 cm
 ■ A medida da aresta da base = 3 cm
Note que as faces laterais do prisma em questão são 6 retângulos medindo 3 cm 
de base e 6 cm de altura. Encontrando a área de um deles e multiplicando por 6 
teremos a área lateral:
Area lateral base altura� � � � � �A cml 6 6 6 3 108
2( ) ( ) .
Agora, calcularemos a área da base, que é a área da região limitada pelo he-
xágono regular. 
A região hexagonal é formada por 6 regiões triangulares equiláteras cuja ares-
ta chamaremos de s. 
Já vimos que a área de uma região triangular equilátera de lado a é dada
por: 
a2 3
4
. Desta forma, temos que:
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TEMA DE APRENDIZAGEM 5
A a cmb �
�
�
�
�
6 3
4
6 3 3
4
27 3
2
2 2
2 .
Como são duas bases, temos: Area base � � �2
27 3
2
27 3 2cm .
No nosso caso, a área total é dada por:
Area total area lateral area das bases� � � � � �A A cml b 108 27 3
2 .
Nosso próximo tópico, são os volumes de prisma, e não somente os cubos, como 
já tratamos.
Volume do Prisma
Já falamos, anteriormente, sobre o volume de um cubo. Estudaremos, agora, o cálcu-
lo de volume dos demais prismas. Inicialmente, definiremos volume de um sólido.
Volume de um sólido é um número real positivo associado ao sólido, de 
forma que:
 ■ Sólidos congruentes têm volumes iguais.
 ■ Se um sólido S é a reunião de dois sólidos que não têm pontos interiores 
comuns, então o volume de S é a soma dos volumes dos dois sólidos.
A ferramenta teórica que nos permite deduzir a fórmula geral do volume de um 
prisma é o Princípio de Cavalieri.
Princípio de Cavalieri: Sejam A e B dois sólidos. Se qualquer plano horizontal 
secciona A e B formando figuras planas com áreas iguais, então, os volumes 
de A e B são iguais.
Os sólidos são medidos por uma unidade que, normalmente, é um cubo. O vo-
lume de um prisma é igual ao produto da área da base pela medida da altura: 
V A hprisma base� � .
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Exemplos:
1. Calcularemos o volume de concreto necessário para fazer uma laje de 
20 cm de espessura em uma sala de 3 m por 4 m. Primeiro a área da base
Area da base � � � �A cmb 3 4 12
2 .
Agora, o volume:
V A h mbAreada base altura 12 0 20 2 40
3, , .
São necessários 2,40 m3 de concreto.
2. Sabendo que foram gastos 0,96 m2 de material para se montar uma caixa 
cúbica, calcularemos o volume dessa caixa. 
Neste caso, temos que a área total do cubo é 0,96 m2 .
Sabendo que A at � �6
2 , temos que 
0 96 6 0 16 0 42 2, , ,� � � � � �a a a cm .
Como V a= 3 , temos que
V cm m= =( , ) ,0 4 0 0643 3 .
Continuaremos com nossa caminhada pela geometria, estudando um sólido 
clássico dentro da Geometria.
Figura 15 - Volume de prismas / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: três prisma com bases distintas: retangular, quadrada e triangular. Em cada prima, sua 
base está hachurada e indicada com Área da base e ao lado temos sua altura indicada por h.
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TEMA DE APRENDIZAGEM 5
Pirâmides
Neste tópico, estudaremos algumas relações que envolvem as pirâmides, como: 
cálculo de volume e de área da superfície lateral. Porém, antes estudaremos um 
pouco de história. Talvez, seja a pirâmide um dos mais antigos sólidos geomé-
tricos construídos pelo homem. Uma das mais famosas é a Pirâmide de Quéops, 
construída em 2.500 a.C., com, aproximadamente, 150 m de altura.
Figura 16 - Pirâmide
Descrição da Imagem: a imagem exibe três grandes pirâmides, uma em frente da outra, com o céu estrelado no 
fundo. Em frente as pirâmides estão duas pirâmides menores 
Quando pensamos numa pirâmide, vem à nossa cabeça a imagem da pirâmide 
egípcia cuja base é um quadrado. Contudo o conceito geométrico de pirâmide 
um pouco mais amplo: sua base pode ser formada por qualquer polígono.
Denominamos pirâmide a todo poliedro convexo com uma face chamada 
base num plano e apenas um vértice fora desse plano. As demais faces da pirâmide 
são triângulos determinados por um lado da base e o vértice da pirâmide. Estas 
faces são chamadas faces laterais.
Feita esta primeira abordagem, começaremos a analisar algumas relações 
ligadas à linguagem definidas, matematicamente. 
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PIRÂMIDE
Consideremos um plano a , uma região poligonal B contida em a e um ponto 
P não pertencente a a . O conjunto de todos os segmentos que ligam o ponto 
P a um ponto de B forma uma pirâmide
Figura 16 - Elementos da pirâmide / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: são apresentadas duas figuras. Na figura da esquerda, temos um plano com uma região 
B delimitada em um plano um ponto P acima do plano. Na figura da direita, temos a pirâmide formada pela união 
dos segmentos que partem da região B para o ponto P. Nessa imagem, são destacados os elementos: aresta 
lateral, altura, apótema da pirâmide, apótema da base
Uma pirâmide é um poliedro cuja base é uma região poligonal e as faces são 
regiões triangulares:
 ■ O ponto P é chamado vértice da pirâmide.
 ■ A região poligonal B é chamada base da pirâmide.
 ■ A distância do vértice ao plano da base é chamada altura da pirâmide.
 ■ A altura de uma face lateral relativa ao lado da base é chamada apótema 
da pirâmide.
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TEMA DE APRENDIZAGEM 5
Numa pirâmide regular, as faces laterais são triângulos isósceles congru-
entes. A altura de qualquer um desses triângulos, relativa ao lado da base, é 
denominada apótema da pirâmide. O apótema liga o vértice da pirâmide ao 
ponto médio de uma das arestas da base. 
Já no polígono da base, o segmento que liga o centro ao ponto médio de um 
lado é chamado apótema da base. Observe:
Observe que a altura da pirâmide, o apótema da base e o apótema da pirâmide 
formam juntos um triângulo retângulo. Portanto, conhecidas duas de suas me-
didas, é possível encontrar a terceira fazendo uso do Teorema de Pitágoras.
ZOOM NO CONHECIMENTO
Figura 17 - Apótemas da pirâmide / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: uma pirâmide onde são destacados os seguintes elementos: aresta lateral 
a, aresta da base b, altura h, apótema da base m e apótema da pirâmide n.
CLASSIFICAÇÃO DE PIRÂMIDES
Com relação à base, as pirâmides classificam-se em:
 ■ Pirâmide triangular: a base é uma região triangular.
 ■ Pirâmide quadrangular: a base é uma região quadrilátera.
 ■ Pirâmide pentagonal: a base é uma região pentagonal.
E assim por diante. 
Com relação às arestas laterais:
 ■ Se todas elas forem congruentes, a pirâmide é reta; 
 ■ Caso contrário é oblíqua.
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Ainda com relação à base, uma pirâmide é regular quando sua base é uma região 
poligonal limitada por um polígono regular e a projeção ortogonal do vértice no 
plano da base coincide com o centro desse polígono.
Um caso particular de pirâmide regular é aquela formada por quatro regiões 
triangulares congruentes e equiláteras: o tetraedro. Nele, qualquer das faces pode 
ser considerada base. 
Observe algumas pirâmides com seus nomes:
Figura 18 - Nomenclatura de pirâmides / Fonte: o autor.
Figura 19 - Decomposição de prisma em pirâmides / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: quatro pirâmides com bases distintas. Temos as identificações: pirâmide triangular (te-
traedro), pirâmide quadrangular, pirâmide pentagonal, pirâmide hexagonal.
Descrição da Imagem: um prisma triangular e uma pirâmide. Ambos os sólidos estão situados em um mesmo 
plano e entre eles são traçadas duas linhas paralelas, uma partindo de um vértice no topo e outra de vértice na 
base. Na pirâmide, a linha superior encontra um vértice a inferior termina no centro da figura. Entre essas duas 
linhas, na pirâmide, é indicado um segmento formando um ângulo reto com a linha inferior e ao lado o comprimento 
desse segmento é indicado como h.
VOLUME DE UMA PIRÂMIDE
Se fizermos a decomposição de um prisma triangular em três pirâmides, pode-
mos concluir que as três pirâmides juntas têm o mesmo volume que o prisma.
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TEMA DE APRENDIZAGEM 5
As três pirâmides são congruentes, pois têm a mesma base e a mesma altura. Logo
V V V
V
I II III
prisma= = =
3
.
Como Vprisma Area da base altura, temos
V A hpirâmide base
área da base altura
3 3 .
Agora, para determinarmos o volume de uma pirâmide qualquer, usamos a con-
clusão anterior. Assim, dada uma pirâmide qualquer, consideramos uma pirâmide 
triangular que tenha a mesma área da base e a mesma altura que a pirâmide qualquer.
Decorre do Princípio de Cavalieri que duas pirâmides com áreas das bases 
iguais e com a mesma altura têm volumes iguais. Então:
V = area da base altura
3
= A h
3piramide
b⋅ ⋅ .
ÁREA LATERAL E ÁREA TOTAL DA PIRÂMIDE
A área lateral de uma pirâmide é a soma das áreas das faces laterais. Como as faces 
laterais são triangulares, basta encontrar a área de um triângulo e multiplicar pelo 
número de faces laterais.
A área total de uma pirâmide é a soma das áreas das faces laterais com a área 
da base: A A Atotal lateral base� � .
Exemplo: Calcularemos o volume de uma pirâmide quadrada cuja aresta da 
base mede 4 cm e a altura 7 cm. Logo, temos que:
V A h cmb� � � � � �
3
4 4 7
3
112
3
3 .
O volume da pirâmide é de, aproximadamente, 37,3 cm3 . 
Agora, calcularemos a área total desta pirâmide. Se a aresta da base é de 4 
cm, sua área é: A cmb � � �4 4 16
2 . 
Nas faces laterais, temos 4 triângulos isósceles de base 4 cm, porém, desconhe-
cemos sua altura. Para chegarmos à altura do triângulo, ou apótema da pirâmide, 
antes, calcularemos a medida do lado do triângulo, iniciando pelo apótema da base.
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Se a aresta do quadrado da base 
mede 4 cm, o apótema da base mede 
2 cm. Já tivemos oportunidade de 
falar sobre isso anteriormente.
Veja que a altura da pirâmide, 
o apótema da pirâmide e o apóte-
ma de base formam, entre si, um 
triângulo retângulo. Então, é pos-
sível calcular a aresta lateral, pois 
é a única medida desconhecida: 
a a2 2 27 2 54� � �� � .
Veja, agora, na figura uma face 
lateral da pirâmide, temos um triân-
gulo isósceles com base medindo 4 
cm e altura medindo 54 cm. En-
tão, sua área é:
S cmtriangulo �
�
�
54 4
2
14 56 2, .
Assim, a área lateral será: 4 14 56 58 24 2� �, , cm . 
Portanto, a área total da superfície da pirâmide em estudo é:
A A A cmtotal lateral base� � � � �58 24 16 74 24
2,, .
NOVOS DESAFIOS
Além de exemplos numéricos, não podemos deixar de observar que as pirâmides 
estão presentes na história da construção civil. Diversas civilizações deixaram 
construções que permanecem erguidas até os dias atuais. Tal longevidade se dá 
pela utilização de figuras geométricas nessas construções. Por exemplo, as pirâ-
mides, como relatamos. 
Certamente, não vemos muitas pirâmides novas em construção, mas a geo-
metria espacial continua guiando os engenheiros em seus projetos.
Figura 20 - Pirâmide com triângulo retângulo dentro
Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: uma pirâmide de base qua-
drada com aresta da base medindo 4 cm. A altura da 
pirâmide mede 7 cm e é formada pela altura e apótema 
da base, temos um triângulo retângulo.
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VAMOS PRATICAR
1. O estudo de sólidos tridimensionais é vasto e com muitos desdobramentos. Uma 
maneira de podermos estabelecer fórmulas e relações entre faces, arestas e vértices 
é por meio de uma subdivisão. Dessa forma, agrupamos aqueles sólidos nos quais 
podemos deduzir as propriedades que nos permitam, sem a visualização da figura, 
estabelecermos a quantidade de faces, arestas e vértices. 
Destacam-se os poliedros que são chamados de poliedros eulerianos, pois uma das 
características de tais sólidos é que podemos utilizar a Relação de Euler para obter 
informações a respeito de suas faces, arestas e vértices.
SIQUEIRA, R. A. N.; MARCUSSI, F. Geometria com construções geométricas. Ma-
ringá: Unicesumar, 2018. 152 p.
Um poliedro convexo é constituído por 25 arestas e 15 faces. Quantos vértices possui 
esse poliedro?
2. Poliedros e prismas são objetos geométricos que nos rodeiam em nosso dia a dia. 
Por exemplo, paralelepípedos são as formas que usamos para as caixas de papelão, 
as mais utilizadas por empresas.
Além das características específicas das figuras em três dimensões, podemos utilizar 
conhecimentos de polígonos, via planificações. Novamente, no caso dos paralelepípe-
dos, sua planificação nos exibe quadrados e retângulo.
SIQUEIRA, R. A. N.; MARCUSSI, F. Geometria com construções geométricas. Ma-
ringá: Unicesumar, 2018. 152 p.
Uma indústria precisa fabricar 10000 caixas de papelão com as medidas de 14 cm, 20 
cm e 40 cm. Desprezando as abas, calcule, aproximadamente, quantos metros qua-
drados de papelão serão necessários.
3. Uma das maneiras de classificarmos poliedros é com relação a sua convexidade. 
De forma sucinta, a convexidade caracteriza aqueles poliedros nos quais todos os 
segmentos entre pontos de faces distintas permanecem no interior do poliedro.
DALPIAZ, M. V. A. D.; BONA, J. Geometria. Indaial: Uniasselvi, 2014. 249 p. 
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7
4
VAMOS PRATICAR
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
a) C, NC, C, C, NC.
b) NC, NC, C, C, NC.
c) C, NC, NC, C, C.
d) C, NC, C, NC, NC.
e) NC, NC, C, C, NC.
4. Em matemática, precisamos ser cuidadosos com o inverso das afirmações (chamadas 
recíprocas). Do ponto de vista da lógica, a recíproca de um resultado matemático é 
um outro teorema e independe da afirmação direta. Por esse motivo, uma implicação 
ser verdadeira não garante que sua recíproca também seja verdadeira. Por exemplo: 
todo poliedro é um sólido geométrico, mas nem todo sólido geométrico é um poliedro.
DALPIAZ, M. V. A. D.; BONA, J. Geometria. Indaial: Uniasselvi, 2014. 249 p. 
Nesse sentido, classifique as afirmações a seguir em V para as verdadeiras ou F para as 
falsas:
( ) Todo poliedro convexo é um sólido geométrico.
( ) Todo sólido geométrico é de Platão.
( ) Todo poliedro de Platão é um sólido geométrico.
( ) Todo poliedro convexo é euleriano.
( ) Todo poliedro euleriano é de Platão.
( ) Todo poliedro de Platão é euleriano.
Figura – Poliedros convexos e não convexos / Fonte: Dalpiaz e Bona (2014, p. 187).
Descrição da Imagem: são apresentados cinco poliedros, alguns convexos e outros não convexos.
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1
VAMOS PRATICAR
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
a) V – F – V – V – F – V.
b) V – V – V – F – V – V.
c) F – F – V – V – V – F.
d) F – V – V – F – V – F.
e) F – V – V – F – F – V.
5. Uma figura em três dimensões que é muito utilizada por diferentes civilizações, em 
períodos históricos distintos, é a pirâmide. Esses objetos geométricos apresentam 
bases formadas por um polígono regular e um ponto no qual as arestas da base estão 
conectadas. 
DALPIAZ, M. V. A. D.; BONA, J. Geometria. Indaial: Uniasselvi, 2014. 249 p.
Um grupo de casais foi acampar e levou uma barraca de lona que, depois de montada, 
tinha a forma de uma pirâmide regular hexagonal, cuja aresta da base media 1 m. Depois 
de montada, o ar em seu interior ocupava um volume de 25 3
2
m .
Considere as seguintes afirmativas:
I - 
3
2
m é o apótema da base da barraca.
II - 5 m é a altura.
III - 3 3
2
2m é a área da base da barraca.
IV - 5 m é o apótema da base.
É correto o que se afirma em:
a) I, II e III, apenas.
b) II e III, apenas.
c) III e IV, apenas.
d) I e IV, apenas.
e) II, III e IV, apenas.
1
7
6
REFERÊNCIAS
BARBOSA, J. L. M. Geometria euclidiana plana. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de 
Matemática, 1985.
BOYER, C. B. História da Matemática. Tradução de Elza F. Gomide. São Paulo: Edgard Blu-
cher, 1974.
DALPIAZ, M. V. A. D.; BONA, J. Geometria. Indaial: Uniasselvi, 2014. 249 p.
DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos de matemática elementar: geometria espacial, 
posição e métrica. São Paulo: Atual, 2004. v. 10.
EUCLID. The thirteen books of the elements: translated with introduction and commen-
tary by Sir Thomas Heath. New York: Dover, 1956.
FREEPIK. 2023. 1 figura. Disponível em: https://br.freepik.com/vetores-gratis/icones-de-dia-
mante_1528616.htm#query=diamante&position=1&from_view=search&track=sph. Acesso 
em: 30 maio 2023.
HILBERT, D. Fundamentos de geometria. Lisboa: Gradiva, 2003.
HILBERT, D. Fundamentos de matemática elementar: geometria plana. São Paulo: Atual, 
2004. v. 9.
LIMA, E. L. Matemática e Ensino. Rio de Janeiro: SBM, 2001. (Coleção do Professor de Ma-
temática).
LIMA, E. L. Medida e forma em geometria. Rio de Janeiro: SBM, 1991. (Coleção do Professor 
de Matemática).
SIQUEIRA, R. A. N.; MARCUSSI, F. Geometria com construções geométricas. Maringá: 
Unicesumar, 2018. 
WAGNER, E.; CARNEIRO, J. P. Q. Construções geométricas. 4. ed. Rio de Janeiro: SBM, 
2000.
1
7
7
1. A F eV= = =25 15, ?
V A F� � � 2
V F A� � �2
V � � �15 2 25
V � �15 27
V � �27 15
V =12
FÓRMULA:
Utilize a Relação de Euler: F V A� � � 2
2. Iniciamos convertendo as medidas em metros: 0,14 m, 0,2 m e 0,4 m. 
A área total da caixa é dada por:
AT � � � � � � � � �2 0 14 0 2 2 0 14 0 4 2 0 2 0 4, , , , , ,
AT � � �0 056 0 112 0 16, , ,
AT = 0 328,
Multiplicando pela quantidade de caixas obtemos: 10000 0 328 3280 2� �, m .
3. De acordo com a definição de convexidade, podemos observar que os poliedros B e E são 
não convexos e os demais (A, C e D) são convexos.
4. Vamos analisar cada frase:
• Todo poliedro convexo é um sólido geométrico: é verdadeira, pois poliedros são sólidos 
geométricos com três dimensões, independentemente de ser convexo ou não.
• Todo sólido geométrico é de Platão: falso, pois vimos que são apenas cinco.
• Todo poliedro de Platão é um sólido geométrico: é verdadeira, pois poliedros são sólidos 
geométricos com três dimensões.
• Todo poliedro convexo é euleriano: verdadeiro, assim como vimos no texto.
• Todo poliedro euleriano é de Platão: falso, pois existem poliedros eulerianos não con-
vexos.
• Todo poliedro de Platão é euleriano: verdadeiro, pois existem apenas cinco sólidos de 
Platão, e podemos calcular a Relação de Euler para todos.
GABARITO
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8
5. Vamos utilizar as fórmulas indicadas, com l =1 :
• a �
�
�
1 3
2
3
2
• Ab �
�
� �
6 1 3
4
6 3
4
3 3
2
2
 
• 
5 3
2 3
3 3
2
3
30 3
6 3
5� � � �
�
� � �V A h
h
hb
Dessa forma, podemos verificar que apenas I, II e III estão corretas.
FÓRMULA:
Lembre-se de que: 
• O apótema da base de um hexágono é a
l
=
3
2
;
•a área da base de um hexágono pode ser calculada por A
l
b =
6 3
4
2
;
• o volume de uma pirâmide é V
A hb� �
3
.
GABARITO
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9
MINHAS METAS
SÓLIDOS REDONDOS
DR. WILLIAN GOULART GOMES VELASCO
Definir cilindro e elementos dele.
Estudar cones.
Compreender os elementos de esferas.
Calcular áreas em sólidos redondos.
Desenvolver a noção de volume.
T E M A D E A P R E N D I Z A G E M 6
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INICIE SUA JORNADA
Observadas as propriedades físicas e geométricas dos objetos da natureza, o 
homem teve inspiração para grandes descobertas e invenções. Por exemplo, a 
invenção da roda, uma das mais importantes criações humanas, provavelmente, 
teve origem na constatação de que objetos pesados podem ser deslocados, e com 
facilidade, sobre troncos de árvores.
Ao estudar a forma aerodinâmica das asas dos pássaros, o homem conseguiu 
criar várias formas eficientes de asas de avião. Muitos tipos de asas têm a face su-
perior arredondada e a inferior quase plana. Assim, quando o avião avança, a parte 
dianteira da asa divide o ar, de modo que o ar que passa sobre a superfície superior 
se expande (se rarefaz), a fim de reduzir a pressão. Em consequência, a pressão 
exercida no lado de baixo da asa produz a força que empurra o avião para cima. 
De forma simplificada, podemos identificar algumas partes de um avião 
com sólidos mais fáceis de estudo, como o cilindro, o cone e a esfera. Por serem 
menos complexos, podemos, facilmente, deduzir fórmulas que envolvem as 
medidas desses sólidos e, com isso, contribuir para a criação de máquinas tão 
incríveis, como os aviões.
Nesta unidade, serão estudadas algumas formas arredondadas, também, de-
nominadas de corpos redondos: cilindro, cone e esfera.
Neste Podcast, você aprenderá mais a respeito da história 
dos sólidos redondos, tão comuns no nosso cotidiano.
PLAY NO CONHECIMENTO
DESENVOLVA SEU POTENCIAL
O estudo que desenvolveremos envolve figuras que podemos obter através da 
rotação de superfícies planas ao redor de um eixo. Focaremos naquelas chamadas 
de regulares: cilindro, cone e esfera.
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TEMA DE APRENDIZAGEM 6
CILINDRO
Neste tópico, estudaremos o volume de um sóli-
do clássico estudado na geometria: cilindro. Po-
deremos perceber, e muito, a presença dele em 
vários locais nos quais circulamos todos os dias.
O cilindro circular reto é, também, chamado 
de sólido de revolução, por ser gerado pela rota-
ção completa de um retângulo por um dos lados. 
Assim, a rotação do retângulo ABCD , pelo 
lado AB , gera o cilindro da imagem. 
De uma forma menos rigorosa, podemos dizer 
que o cilindro é um sólido que possui formas arre-
dondadas e alongado, cujo diâmetro tem a mesma 
medida em qualquer parte do comprimento. 
Em nosso cotidiano, é comum encontrarmos 
objetos com forma cilíndrica, como um lápis sem 
ponta, uma lâmpada fluorescente, uma lata de 
óleo, um cano etc.
Agora, voltemos ao nosso retângulo. Observe 
a figura anterior novamente. Quando giramos o 
retângulo em torno da reta, com uma rotação 
completa (360º), o retângulo descreve um sólido 
de revolução que chamamos de cilindro.
A reta forma o eixo do cilindro e os círculos 
gerados pela rotação dos lados AC e BD são as 
bases do cilindro. 
Figura 1- Revolução do retângulo
Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: a imagem 
exibe um retângulo de vértices A, 
B, C e D. No lado dos vértices A e B, 
é exibida uma linha com uma seta 
que aponta para baixo. No lado dos 
vértices A e C, é exibida uma flexa 
curvada.
A superfície gerada pelo lado CD é chamada de superfície lateral do cilindro. 
A medida do segmento AC BD r= = é o raio do círculo das bases, e a me-
dida do segmento AB CD h= = é a altura do cilindro. 
O segmento CD , ou qualquer outro paralelo ao eixo, com uma extremidade 
em cada circunferência das bases, é denominado de geratriz.
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A seguir, listaremos alguns dos ele-
mentos dos cilindros:
 ■ No cilindro circular reto, a me-
dida da geratriz é igual à medi-
da da altura. 
 ■ A superfície lateral é a reunião 
das geratrizes. A área dessa 
superfície é chamada de área 
lateral.
 ■ A superfície total é a reunião 
da superfície lateral com os 
círculos das bases. A área dessa 
superfície é a área total. 
 ■ A secção meridiana é a inter-
seção do cilindro com o plano 
que contém a reta determina-
da pelos centros das bases. 
Note que a secção meridiana de um ci-
lindro circular reto é um retângulo de 
dimensões 2R (diâmetro da base) e h 
(altura). Quando 2R h= , essa secção 
forma um quadrado e o cilindro, en-
tão, é chamado de cilindro equilátero. 
Na parte colorida do cilindro, a 
seguir, será representada a secção me-
ridiana de um cilindro equilátero.
Além destas características que já 
listamos aqui na introdução, ao longo 
deste tópico, estudaremos de que for-
ma podemos calcular o volume de um 
cilindro e as áreas lateral e total.
Figura 2 - Geratriz do cilindro / Fonte: o autor. 
Figura 3 - Secção meridiana / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: um cilindro circular reto com 
a medida da geratriz, que é igual à medida da altura.
Descrição da Imagem: um cilindro de altura indicada 
por h=2R e um retângulo hachurado inscrito no cilin-
dro, cujas medidas são 2R de base e h=2R de altura.
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TEMA DE APRENDIZAGEM 6
ÁREA DA SUPERFÍCIE DE UM CILINDRO RETO
Observe a figura a seguir.
Um exemplo de utilização de cilindros é em peças mecâni-
cas em automóveis. 
Você pode descobrir mais a respeito da utilização de cilin-
dros no link.
EU INDICO
Figura 4 - Cilindro planificado / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: são apresentadas duas figuras. À direita, há um cilindro reto com as bases hachuradas e 
altura identificada por h. Ao lado, na esquerda, é exibido o cilindro planificado com altura h e base 2πr.
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https://www.mecanicaindustrial.com.br/47-como-funciona-um-cilindro/
A superfície total do cilindro é formada pela superfície lateral mais as superfícies 
das duas bases. Assim:
 ■ Área lateral: A r hl � � �( )2p
 ■ Área das bases: A rb � �2
2p
 ■ Área total: A A A r h rt l b� � � � � � �2 2
2p p
Exemplo: Calcularemos a altura de um tubo de forma cilíndrica, com as bases 
fechadas. Sabemos que a superfície total pode ser coberta com 43,7088 cm2 de 
plástico e o diâmetro de cada base tem 8 mm (Usaremos p = 3 14, ).
Desconhecemos a altura, portanto, devemos chamá-la de x . O diâmetro da 
base é 8 0 8mm cm= , . Logo, r cm= 0 4, . Dessa forma, temos que:
 ■ Ab � � � �2 3 14 0 4 1 0048
2, , ,
 ■ A r h x xl � � � � � � � �( ) , , ,2 2 3 14 0 4 2 512p
 ■ A A A x xt b l� � � � � � � �43 7088 1 0048 2 512 43 7088 17, , , ,
Portanto, a altura do tubo deve ser de 17 cm.
Temos um cilindro fechado e o mesmo cilindro planificado. Na planificação, 
podemos ver os dois círculos das bases e o retângulo formado pelo comprimento 
da circunferência e altura do cilindro.
O origami, de origem desconhecida, tem etimologia japonesa e significa dobrar 
(ori) papel (kami). No Brasil, utiliza-se, também, a palavra dobradura, mas o 
termo origami é, mundialmente, conhecido e utilizado. O origami é uma arte 
tradicional de origem japonesa que consiste na criação de figuras geométricas 
representativas de objetos, seres humanos, animais etc., sem o uso de com-
passo, tesoura ou cola, apenas, com dobraduras de um papel. Esse tipo de 
artesanato é muito comum no Japão, porém, espalhou-se pelo mundo todo.
Por meio da técnica do origami modular, que se baseia na confecção de várias 
partes iguais, ou módulos, que são encaixadas para formar cada peça, é pos-
sível construir os cinco poliedros de Platão e muitos outros.
Você consegue elencar que conceitos geométricos estão presentes na arte da 
dobradura? Dica: tente fazer um cubo de dobradura e busque, em cada etapa, 
observar um conhecimento de geometria.
APROFUNDANDO
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TEMA DE APRENDIZAGEM 6
VOLUME DO CILINDRO
O volume de um cilindro é obtido da mesma maneira em comparação ao doprisma:
Volume do cilindro = área da base altura � .
Como a base do cilindro é um círculo de raio r e área igual a pr2 , temos:
V A h r hcilindro base� � � � �p
2
Figura 5 - Volume cilindro / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: um cilindro circular 
reto com altura destacada por h e área da 
base pr2 . Abaixo da figura, está indicada 
a fórmula de volume do cilindro.
Explore a relação entre os elementos de um cilindro e o vol-
ume no aplicativo interativo, baseado em Geogebra.
EU INDICO
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Exemplo: um cilindro circular reto tem 10 cm de altura e a base tem 12 cm de 
diâmetro. Calcularemos a área lateral, a área total e o volume do cilindro. 
Se o diâmetro é igual a 12 cm, então, r = 6 cm.
 ■ Área da base: A r cmb � � � �p p p
2 2 26 36
 ■ Área lateral: A r h cml � � � � � � �2 2 6 10 120
2 2p p
 ■ Área total: A A A cmt l b� � � � �2 120 2 36 192
2p p p( )
 ■ Volume: V A h r h cmb� � � � � � � � �p p p
2 2 36 10 360
Portanto, a área lateral é 120 2p cm , a área total é 192 2p cm e o volume é 360 3p cm .
Cuidado com a diferença entre volume e capacidade em problemas práticos. 
Os valores são muito próximos, pois, do ponto de vista matemático, estamos 
desconsiderando a espessura das faces laterais.
ZOOM NO CONHECIMENTO
CONE
Quando olhamos para uma montanha, muitas vezes, podemos encontrar o for-
mato de um cone, ou, para um vulcão, temos a ideia de uma forma que se as-
semelha a um cone. Ainda, no nosso cotidiano, um funil, ou uma casquinha de 
sorvete, dá-nos a ideia desse sólido geométrico, chamado de cone. Assim como 
o cilindro, o cone, também, é um sólido de revolução.
Se fazemos um corte no cone circular reto, a depender do ângulo do corte, 
a secção formada revela formas matemáticas muito importantes, chamadas de 
cônicas que já começaram a ser estudadas pelos antigos matemáticos, como Eu-
clides e Arquimedes. São elas: a elipse, a parábola, a hipérbole e a circunferência.
Se imaginamos um plano que secciona o cone, conforme a variação do ân-
gulo, obtemos uma das cônicas citadas. Por exemplo, se o plano é paralelo à base 
do cone, há uma circunferência. Apenas, para você ter uma ideia da importância 
desses estudos, a trajetória descrita pela Terra, em torno do Sol, tem o formato 
de elipse. Os espelhos dos refletores dos telescópios têm formatos parabólicos. 
Ainda, alguns cometas têm trajetórias parabólicas ao redor do Sol. 
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TEMA DE APRENDIZAGEM 6
Para entendermos tudo isso melhor, precisamos, inicialmente, conhecer o cone. 
Um cone de revolução (mais precisamente, um cone circular reto) é o sólido 
obtido pela rotação completa de um triângulo retângulo em torno de um eixo 
que contém um dos catetos.
O eixo de rotação do sólido de revolução é o eixo do cone. O círculo gerado 
pela rotação do cateto AB do triângulo é a base do cone e a superfície gerada 
pela hipotenusa BC é a superfície lateral do cone. 
A distância AB r= é o raio da base do cone, a distância AC h= é a altura do 
cone, o ponto C é o vértice do cone e a distância BC g= é a geratriz do cone.
Para visualizar as seções em um cone, você pode explorar 
elementos das cônicas no Geogebra.
EU INDICO
Figura 6 - Cone de revolução / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: No lado esquerdo, um triângulo retângulo com uma flecha que indica que o triângulo é 
rotacionado pela altura dele. No lado direito, é apresentado um cone de rotação.
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Além do segmento BC , qualquer outro com uma extremidade no vértice A e 
outra na circunferência da base é, também, denominado de geratriz. Em um cone 
circular reto, todas as geratrizes têm a mesma medida.
Figura 7 - Cone com secção meridiana / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: é apresentado um cone com a secção meridiana destacada. Ainda, apenas, a secção 
meridiana, que é um triângulo isósceles com lados que medem g e a base 2r.
Existem, também, cones circulares não retos, que não são cones 
de revolução. São chamados de cones circulares oblíquos.
Explore, interativamente, um cone oblíquo no seguinte link.
EU INDICO
Além destes elementos, neste tópico, analisaremos, com mais profundidade, al-
gumas relações geométricas que envolvem o cone. Entre elas, podemos destacar: 
cálculo da superfície lateral e cálculo de volume. 
Começaremos definindo alguns aspectos ligados a algumas definições e 
termos comuns.
A seção meridiana de um cone é uma região triangular obtida pela interseção 
do cone com um plano que contém o eixo dele. Um cone circular reto é um cone 
equilátero se a seção meridiana é uma região triangular equilátera. Nesse caso, a 
medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.
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TEMA DE APRENDIZAGEM 6
Área Total da Superfície de um Cone Reto
A superfície total do cone reto é formada pela superfície lateral (um setor circu-
lar) mais a superfície da base (um círculo), isto é A A At l b� � .
A superfície lateral de um cone de revolução, desenvolvida em um plano, 
é equivalente a um setor circular de raio igual à medida g da geratriz e arco de 
comprimento igual ao perímetro da base do cone ( 2p ⋅ r) .
Considere a figura a seguir, na qual veremos um cone de raio da base r , altura 
h e geratriz g .
Figura 8 - Cone planificado / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: há duas figuras que representam um cone. Na figura da esquerda, é apresentada a pla-
nificação; e, no lado direito, segue um cone.
Inicialmente, calculamos a área do setor ( Al ) cujo arco correspondente é 
2p ⋅ r , lembrando que o raio da circunferência maior é a geratriz ( r g= ):
Arco Area
Circulo todo
Se
2 2
2
2
2
p p
p p
p
p� � � � �
� � �
�
� � �g g A r g
g
r gl
( ) ( )
ttor 2p � �r Al
.
Logo, a área total do cone reto é A r g rt � � � � �p p
2 .
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Observação: O ângulo a do setor circular contempla a relação:
360 2
2
360o og l
g
l
� � � �
�
�
�
π α
π
α
Sendo l r� �2p .
Exemplo: temos um cone com 10 cm de altura e raio da base igual a 4 cm.
Calcularemos os elementos, com valores decimais aproximados. 
 ■ Medida da geratriz: g g cm2 2 210 4 116 10 7� � � �  ,
 ■ Área lateral: A r g cml � � � � � � �p 3 14 4 10 7 134 4, , ,
 ■ Área da base: A r cmb � � � � �p
2 2 23 14 4 50 24, ,
 ■ Área total: A A A cmt l t� � � � �134 4 50 24 184 64
2, , ,
 ■ Ângulo do setor circular: α
π
π
�
�
�
� � �
8 360
2 10 7
134 5 134 03
o
o o
,
,
Na descrição do ângulo do setor circular, empregamos a conversão de graus em 
minutos. Como 1º corresponde a 60’ (minutos), temos que 0,5º corresponde a 30’.
Figura 9 - Volume do cone
Descrição da Imagem: um cone com 
elementos destacados: altura (h), 
raio da base (r) e geratriz (s). No topo 
da imagem, está indicada a fórmula 
do volume do cone.
VOLUME DO CONE
O volume de um cone é obtido da mesma maneira 
em comparação ao de uma pirâmide:
V A h r hcone base�
�
�
� �
3 3
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TEMA DE APRENDIZAGEM 6
Exemplos: 
1. Calcularemos o volume de um cone de raio 7 cm e altura 12 cm.
Temos todas as medidas que precisamos, basta utilizarmos a relação estabelecida 
anteriormente:
V r h cm� � � � � � �p p p
2 2
3
3
7 12
3
196 .
2. Calcularemos a área lateral, a área total e o volume de um cone equilátero 
com 30 mm de altura.
Acabamos de ver que, em um cone equilátero, a secção meridiana é um triângulo 
equilátero. Portanto, esse será o nosso ponto de partida. Na figura ao lado, temos 
a secção meridiana do cone em questão.
Iniciamos calculando as medidas r e g , com o auxílio do Teorema de Pitágoras:
( )2 30 4 90 900
3
300 10 32 2 2 2 2� � � � � � � � � �r r r r r .
Se g r= 2 , então, g = 20 3 .
 ■ Agora, já podemos calcular o que o problema pede, com p = 3 14, :
 ■ Área lateral: A r g mml � � � � � �p 3 14 10 3 20 3 1879 54
2, ,
 ■ Área da base: A r mmb � � � �p
2 2 23 14 10 3 942, ( ) 
 ■ Área total: A A A mmt l t� � � � �1879 54 942 2821 54
2, ,
 ■ Volume: V
A h mmb�� � � �
3
942 30
3
9420 3.
Uma possível demonstração desta fórmula se baseia na 
verificação de que o volume de um cone é um terço do 
volume de um cilindro de mesmas dimensões de raio da 
base e altura. Visualmente, podemos motivar esta prova 
com a seguinte animação.
APROFUNDANDO
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https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/20549
Esfera
Agora, para terminar, falta-nos, ainda, estudar mais um sólido muito importante 
no estudo de geometria: a esfera.
A esfera é o sólido obtido ao se fazer a rotação completa de um semicírculo em 
torno de um eixo que con-
tém o diâmetro. Com este 
movimento, cada ponto 
do semicírculo descreve 
uma circunferência que 
tem, como centro, um 
ponto qualquer do diâ-
metro e cujo raio se torna 
maior à medida que au-
menta a distância ao eixo.
Todos os pontos da 
superfície esférica estão 
com a mesma distância 
de um ponto O , chama-
do de centro.
O maior círculo for-
mado pelo corte da esfera, 
no centro, é chamado de 
círculo máximo.
Se um plano e uma esfera se intersectam, temos as seguintes situações:
 ■ A interseção de um plano com uma esfera que se corta é, sempre, um 
círculo. 
 ■ Quando o plano passa pelo centro da esfera, a secção é um círculo 
máximo. Quando o plano passa fora do centro, determina uma secção 
de raio s . 
 ■ A relação entre a distância do centro, o raio da secção e o raio da esfera é 
dada pelo Teorema de Pitágoras: r d s2 2 2� � .
Figura 10 - Rotação de meio círculo e esfera / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: a imagem apresenta um meio círculo, com uma 
seta que indica o sentindo de rotação. Ao lado, há a esfera gerada por 
essa rotação. Em ambos, o raio é denotado por R e os centros são O.
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TEMA DE APRENDIZAGEM 6
Para fins de cálculo, consideraremos a Terra como uma esfera perfeita. Se cor-
tássemos a Terra ao meio, pela linha do Equador, conseguiríamos dividi-la em 
dois hemisférios (Norte e Sul). Na região do corte, teríamos o círculo máximo.
Imaginaremos o eixo imaginário da Terra passando pelo centro da esfera. Os 
pontos, por meio dos quais o eixo sai da esfera, são chamados de polos. A secção 
determinada por um plano que contém o eixo é uma circunferência máxima, 
intitulada de meridiano. Já a secção estabelecida por um plano perpendicular 
ao eixo, que passa pelo centro, uma circunferência máxima, é conhecida como 
Equador. Outros planos perpendiculares ao eixo determinam secções, as quais 
são chamadas de paralelos.
Figura 11 - Interseção de um plano com uma esfera / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: é apresentada uma esfera de raio r e um plano corta a esfera fora do centro. É destacado 
o círculo de raio s, formado pela interseção.
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VOLUME DA ESFERA
Para o cálculo do volume da esfera, devemos nos apoiar no princípio de Cavalieri: 
Sejam A e B dois sólidos cujas bases se apoiam em um mesmo plano a . Se 
todo plano b intersecciona esses sólidos em secções paralelas ao plano da 
base, de mesma área, então, os volumes serão iguais.
Figura 12 - Planeta Terra em duas metades
Descrição da Imagem: uma representação do planeta Terra cortado ao meio pela linha do Equador.
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TEMA DE APRENDIZAGEM 6
Consideremos uma esfera de raio R apoiada sobre um plano a . Ainda, sobre 
o mesmo plano, tomemos um cilindro circular reto equilátero cujo raio da 
base, também, meça R e com altura 2R . 
Do cilindro trazido, precisamos retirar dois cones retos cujas bases são 
as do cilindro e vértice comum no ponto A . Ao sólido obtido, chamamos S
. O vértice A é o ponto médio do segmento, com extremidades nos centros 
O1 e O2 das bases do cilindro.
O duplo cone retirado é chamado de clepsidra, parecido com uma am-
pulheta. O restante do cilindro fica conhecido como anticlepsidra. Assim, 
provemos que o volume da esfera é igual ao volume do sólido S .
Seccionados a esfera e o sólido S por um plano a paralelo ao plano a , com 
uma distância d do centro O da esfera, obtemos, respectivamente, como secções, 
um círculo de raio r e uma coroa circular de raio interno d e externo R .
Ao analisarmos volumes, o que é a generalização da noção de área, por 
termos mais uma dimensão, algumas novas situações precisam ser 
levadas em consideração. É de se esperar que, se empilhamos caixas de 
papelão, não importa como essa disposição seja feita, pois o volume de 
todas as possíveis pilhas de caixa deve ser o mesmo.
A ideia intuitiva foi transformada em uma importante proposição pelo 
matemático, e professor da Universidade de Bolonha (Itália), Bonaventura 
Cavalieri (1598-1647), que foi discípulo de Galileu, publicou, em 1635, a 
teoria do indivisível, contendo o que, hoje, é conhecido como “princípio de 
Cavalieri”.
Em 1647, Cavalieri publicou a obra Exercitationes Geometricae Sex, na 
qual apresentou, de maneira mais clara, a própria teoria.
A obra mais importante de Cavalieri, Geometria Indivisibilibus Continuo-
rum (Geometria dos Indivisíveis Contínuos), publicada em 1635, apre-
senta o princípio, enunciado a seguir, para a comparação dos volumes de 
dois sólidos geométricos. 
APROFUNDANDO
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Vamos, então, calcular. 
Iniciamos pela área do círculo: A rcirculo � �p
2 , mas como r R d2 2 2� � , 
temos que A R dcirculo � � �p ( )
2 2 .
Necessitamos calcular, agora, a área da coroa circular:
A R d R dcoroa � � � � � � �p p p
2 2 2 2( ) .
Como as duas áreas são iguais, pelo princípio de Cavalieri, afirma-se que a esfera 
e o sólido S têm o mesmo volume.
O cilindro original tem um volume dado por V R R R� � � � �p p2 32 2 . 
Sabemos, também, o seguinte: um cone com base e altura iguais às de um cilindro 
em 1/3 do volume deste; então, cada cone tem um volume V
R R R� � � � �p p
2 3
3 3
.
Como eliminamos dois cones do cilindro, frente ao volume do sólido S (an-
ticlepsidra), ficamos com V R
R R� � � � � � �2 2
3
4
3
3
3
3p
p
p .
Figura 13 - Dedução do volume da esfera / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: a imagem apresenta a construção descrita no parágrafo anterior.
Visualmente, podemos interpretar os passos desta demon-
stração com a animação a seguir: 
EU INDICO
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https://www.geogebra.org/m/B3Hygpmb.
TEMA DE APRENDIZAGEM 6
Na sequência, veremos como se calcula a 
área da superfície de uma esfera.
ÁREA DA SUPERFÍCIE DA ESFERA
Uma esfera é gerada pela rotação de um se-
micírculo em torno do diâmetro, então, a 
superfície esférica é obtida pela rotação de 
uma semicircunferência em torno do diâ-
metro. Considera-se que a esfera é dividida 
em muitas pirâmides finíssimas, cada uma delas com o vértice no centro da 
esfera e as bases dispostas de maneira a formarem um poliedro inscrito na 
esfera com um número muito elevado de faces.
A área da superfície esférica é obtida ao se multiplicar, 
por 4, a área de um círculo máximo: A R= 4p .
Duas demonstrações para o fato exposto, com justifi-
cativas e animações, podem ser encontradas no seguinte 
link: https://www.youtube.com/watch?v=GNcFjFmqEc8.
Exemplo:
1. Qual é o seu volume e qual é a área da superfície do 
globo terrestre se o consideramos uma esfera? Utilize a linha do Equador 
com 40.000 km, aproximadamente. 
Considerando C = 40000 km e C R� �2p , devemos determinar R , com 
p = 3 14, : 40000 2 3 14
40000
6 28
6369� � � � �,
,
R R km .
Já descobrimos o valor de $R$, agora, utilizamos a fórmula do formule do 
volume: V
R km� � � � � �4
3
4 2 14 6369
3
1 08 10
3 3
12 3p , , : .
A área da superfície da esfera é dada por A R� �4 2p . No caso do planeta 
Terra, como R km6369 , temos:
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https://www.youtube.com/watch?v=GNcFjFmqEc8
A km� � � � �4 3 14 6369 509485862 16 5 09 102 8 2, , , .
2. Qual é a área coberta de água (em quilômetros quadrados) na superfície 
do globo terrestre? Utilize o seguinte: 2 3/ da superfície do globo são 
cobertos por água, incluindo as informações do exemplo anterior.
Como A = 509485862 16, , temos que a área ocupada por água é
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3
339657241 4 2A km= . .
NOVOS DESAFIOS
Desenvolvemos os resultados básicos dos corposredondos mais usados: es-
fera, cilindro e cone. Abordamos os cilindros e os cones, tão frequentes na 
natureza. Também, estão presente nas construções feitas pelo homem. Ainda, 
desde uma simples casquinha de sorvete até grandes estruturas, por exemplo, 
em partes de silos de armazenamento de grãos. Ainda, no estudo do cone, 
destacamos as relações dele com o estudo das cônicas. Por fim, estudamos 
as esferas. Em particular, vimos como estratégias simples puderam levar o 
homem a calcular o raio da terra. 
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VAMOS PRATICAR
1. De todos os ramos da Matemática, a geometria é uma das mais vistas em aplicação 
no universo, no cotidiano e na natureza. Em especial, temos os sólidos (figuras de três 
dimensões) que apresentam curvas. São eles: cilindro, cone e esfera.
SIQUEIRA, R. A. N.; MARCUSSI, F. Geometria com construções geométricas. Maringá: 
Unicesumar, 2018. 152 p.
Identifique quais das figuras abaixo nunca poderão ser a sombra de um cilindro:
Figura – Figuras e sombras de cilindro / 
Fonte: Siqueira e Marcussi (2018, p. 143).
Descrição da Imagem: são exibidas 
cinco figuras planas: a) retângulo, b) um 
círculo, c) um triângulo, d) um cilindro, e) 
a lateral de um cilindro.
2. Em um primeiro momento, o estudo que realizamos em geometria se preocupa em 
fundamentar o modelo geométrico (axiomático) de Euclides. Após compreendermos as 
possibilidades dessa geometria, começamos a nos especializar em identificar figuras 
planas e suas propriedades. Naturalmente, generalizamos alguns dos conceitos da 
geometria plana e podemos estudar objetos com três dimensões. Grande parte das 
novas propriedades a respeito destes sólidos é possível devido aos estudos das figuras 
planas que compões esses novos sólidos.
SIQUEIRA, R. A. N.; MARCUSSI, F. Geometria com construções geométricas. Maringá: 
Unicesumar, 2018. 152 p.
A base de um cilindro reto tem 4 cm de diâmetro. A altura do cilindro mede também 4 
cm. Determine:
a) A área da base;
b) A área lateral;
c) A área total.
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VAMOS PRATICAR
3. Em algumas teorias matemáticas, buscamos simplificar problemas complexos por meio 
de outros mais simples. No estudo da geometria espacial, também podemos realizar 
essa abordagem. Mas precisamos adaptar para a natureza dos problemas que são de 
interesse, neste caso os, sólidos. 
Uma maneira de apresentar algumas figuras tridimensionais é por meio de rotações de 
figuras com duas dimensões.
SIQUEIRA, R. A. N.; MARCUSSI, F. Geometria com construções geométricas. Marin-
gá. Unicesumar, 2018. 152 p.
Considere as seguintes figuras planas :
Figura – Cones e planificações / Fonte: Siqueira e Marcussi (2018, p. 145).
Descrição da Imagem: são exibidas cinco figuras planas: a) um quarto de círculo, b) um triângulo, d) a lateral de 
um cilindro, d) um formato de cunha, e) um quadrilátero formado por três segmentos retos e um segmento convexo
I - A partir de uma rotação da figura b) por uma reta que passa por um de seus vértices, 
podemos obter um cone.
II - As rotações das figuras b) e d) originam sólidos de mesma forma.
III - A partir de uma rotação da figura a) podemos obter a metade de uma esfera.
IV - As rotações das figuras a) e e) originam o mesmo sólido.
V - A partir de uma rotação da figura e), podemos obter um cilindro reto.
É correto o que se afirma em:
a) I e III apenas.
b) I, apenas.
c) II e III, apenas.
d) I e IV, apenas.
e) I, II e V.
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VAMOS PRATICAR
4. Quando definimos figura planas como os quadriláteros, estudamos a porção do plano 
delimitada por eles. Tal noção é chamada de área e se baseia na decomposição em 
unidades básicas, que escolhemos como quadrados de lados medindo 1 unidade. Um 
estudo análogo pode ser empregado para sólidos, porém precisamos adaptar as áreas 
para suas versões tridimensionais. Isso é o que chamamos de volumes e, assim como 
no caso plano, nos baseamos em volumes básicos que são determinados por cubos 
cujas arestas medem 1 unidade. Assim, a geometria espacial nos fornece relações e 
fórmulas que calculam volumes e áreas totais. Em especial, sabemos calcular volumes 
de cones, cilindros e esferas.
DALPIAZ, M. V. A. D; BONA, J. Geometria. Indaial: Uniasselvi, 2014. 249 p. 
Dois reservatórios, um cilíndrico e outro cônico, de mesma altura e mesmo raio, estão 
totalmente vazios, e cada um será alimentado por uma torneira, ambas com mesma va-
zão. O reservatório cilíndrico levou 5 horas e meia para ficar completamente cheio. Qual 
é o tempo necessário para que isso ocorra com o reservatório cônico?
a) 1 hora e 50 minutos.
b) 2 horas.
c) 1 hora.
d) 2 horas e 15 minutos.
e) 30 minutos
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VAMOS PRATICAR
5. Podemos pensar em vários objetos comuns no espaço escolar e que podem servir de 
modelo para sólidos de revolução. Exemplos de objetos que costumam ter o formato 
de um cilindro e que podem ser encontrados facilmente: lápis, cabo da vassoura, 
panelas, giz, lata de lixo, vigas do prédio da escola, dentre outros.
DALPIAZ, M. V. A. D; BONA, J. Geometria. Indaial : Uniasselvi, 2014. 249 p.
Com base nas informações apresentadas, avalie as asserções a seguir e a relação pro-
posta entre elas:
I - No cilindro circular reto, a medida da geratriz não é igual à medida da altura.
PORQUE
II - O cilindro circular reto é um sólido de revolução, gerado pela rotação completa de 
um trapézio por um de seus lados.
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:
a) As asserções I e II são falsas. 
b) As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
c) A asserção I é uma proposição verdadeira e a II é uma proposição falsa.
d) A asserção I é uma proposição falsa e a II é uma proposição verdadeira.
e) As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
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REFERÊNCIAS
BARBOSA, J. L. M. Geometria euclidiana plana. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de 
Matemática, 1985.
BOYER, C. B. História da matemática. Tradução Elza F. Gomide. São Paulo: Edgard Blucher, 
1974.
DALPIAZ, M. V. A. D.; BONA, J. Geometria. Indaial: Uniasselvi, 2014.
DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos de matemática elementar: geometria espacial, 
posição e métrica. São Paulo: Atual, 2004.
HILBERT, D. Fundamentos de matemática elementar: geometria plana. São Paulo: Atual, 
2004.
HILBERT, D. Fundamentos de geometria. Lisboa: Gradiva, 2003.
LIMA, E. L. Matemática e ensino. Rio de Janeiro: SBM, 2001.
LIMA, E. L. Medida e forma em geometria. Rio de Janeiro: SBM, 1991.
SIQUEIRA, R. A. N.; MARCUSSI, F. Geometria com construções geométricas. Maringá -PR: 
UniCesumar, 2018.
WAGNER, E.; CARNEIRO, J. P. Q. Construções geométricas. 4. ed. Rio de Janeiro: SBM, 
2000.
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1. Temos que a sombra da lateral de um cilindro possui a forma de uma região retangular 
(a), a sombra projetada pelo cilindro visto pelo topo possui a forma de um círculo (b) e a 
sombra projetada pelo cilindro quando ele está inclinado tem a forma composta por duas 
regiões elípticas e uma região retangular sobrepostas (d).
Assim, c) e e) não podem ser a sombra de um cilindro.
2. De acordo com os dados do exercício, sabemos que o diâmetro mede 4 cm, logo 
cm. Também, nos é informado que a altura é cm. Vamos calcular o que é pedido 
em cada item:
a. Como A rb � �p
2
, temos que A cmb � � �p p2 4
2 2
.
b, Sabemos que A r hl � � � �2 p , logo A cml � � � � �2 2 4 16
2p p .
c. Utilizando a área da base e a área lateral, temos que A A At l b� � �2 . Dessa forma, 
A cmt � � � �16 2 4 24
2p p p .
3. I – Verdadeiro: note que se o eixo de rotação é a altura do vértice A, então uma rotação 
em torno desta altura originará um cone.
II – Falso: a figura d) possui formas arredondadas, já a figura b) é formada por segmentos 
de reta. Assim, as rotações formarão figuras distintas.
III – Verdadeiro: se realizarmos uma rotação pelo segmento de reta que passa pelos vér-
tices A e B, teremos a metade de uma esfera.
IV – Falso: na figura a), tanto uma rotação pela reta que passa por A e B, quanto uma 
rotação que passa pelos vérticesB e C, dará origem a metade de uma esfera. Por outro 
lado, nenhuma rotação da figura poderá formar metade de uma esfera.
V – Falso: para um cilindro reto, é necessária a rotação de um retângulo, mas a figura e) 
não é um retângulo.
4. De acordo com as fórmulas de cada volume, o volume do cilindro é 3 vezes o volume do 
cone. Dessa forma, dentro do cilindro cabem 3 cones. Para encher o cilindro, leva-se 5 
horas e meia, 5h30min, ou ainda, 330 minutos.
Para encher o cone, temos: T
tempodocilindro
cone = = =3
330
3
110 minutos.
Portanto, 110 minutos é igual a 1 hora e 50 minutos. Letra “a”.
FÓRMULA:
GABARITO
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1
Volume do cilindro: V r h� � �p 2
Volume do cone: V
r h
�
� �p 2
3
5. I – FALSO: Por definição, qualquer segmento paralelo ao eixo e com uma extremidade 
em cada circunferência das bases é denominado geratriz. Logo, a geratriz tem medida 
igual a altura.
II – FALSO: Por definição, o cilindro circular reto é um sólido de revolução, gerado pela 
rotação completa de um retângulo por um de seus lados.
GABARITO
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UNIDADE 3
MINHAS METAS
GEOMETRIA ANALÍTICA E O ESTUDO 
DO PONTO E RETA
ME. MÁRCIA ERONDINA DIAS DE SOUZA DA SILVA
Compreender os conceitos iniciais da Geometria Analítica e os relacionar 
com a sua utilidade prática.
Calcular a distância entre dois pontos e identificar o ponto médio entre eles.
Analisar a condição de alinhamento de três pontos.
Examinar as diferentes apresentações da equação da reta.
Diferenciar as condições para posição entre duas retas (concorrentes, per-
pendiculares e interseção).
T E M A D E A P R E N D I Z A G E M 7
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INICIE SUA JORNADA
Prezado(a) aluno(a), nesta unidade, você estudará os principais elementos da 
Geometria Analítica no plano.  Por isso, neste momento, nós nos dedicaremos a 
estudar os conceitos: Ponto e Reta. 
Vamos ouvir um resumo do que estudaremos nesta unidade. 
Volte sempre a ouvir este Podcast para retomar os conteú-
dos estudados. 
PLAY NO CONHECIMENTO
De um ponto de vista histórico, pode-se dizer que a Geometria Analítica teve 
início com a obra La geométrie, escrita por René Descartes. Descartes (1596-
1650), embora fosse licenciado em Direito, realizou brilhantes contribuições às 
áreas de Física e Matemática. Ele introduziu as bases da Geometria Analítica, ao 
introduzir as ideias de eixos e de coordenadas (o conhecido plano cartesiano), 
que permitiram traduzir um problema geométrico para a linguagem algébrica 
e, reciprocamente, dar uma interpretação geométrica a determinadas equações.
Desde então, a Geometria Analítica tem evoluído e se tornado um item de 
fundamental importância em áreas como engenharia e computação.
Apresentamos, aqui, um pequeno exemplo ilustrativo que ressalta a impor-
tância da Geometria Analítica. Imagine a seguinte situação intrigante: você des-
cobre um antigo mapa deixado pelo seu falecido bisavô, que revela a localização 
precisa de um tesouro enterrado na propriedade da família. No entanto decifrar 
o mapa não é uma tarefa simples e, para preservar as características originais do 
local, seu bisavô estipulou que apenas uma única escavação seria permitida para 
desenterrar o tesouro.
O mapa era baseado em um pé de goiaba e dois pés de manga, localizados 
próximos à casa do sítio. As instruções do seu bisavô eram as seguintes:
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https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/19313
TEMA DE APRENDIZAGEM 7
1. Partindo do pé de goiaba, caminhe até o pé de manga a sua esquerda, 
contando os passos. Chegando lá, gire à direita 90 graus e caminhe o 
mesmo número de passos. Onde chegar, faça uma marca.
2. Voltando novamente ao pé de goiaba, ande até chegar ao pé de manga à 
sua direita, contando os passos. Chegando lá, gire à esquerda 90 graus, 
caminhe o mesmo número de passos e faça uma marca nesta posição.
3. O tesouro está enterrado exatamente na reta que liga estas duas marcas e 
a mesma distância das duas marcas. 
A Figura 1 traz um esboço do problema proposto, incluindo as goiabeiras e a 
mangueira.
��
��
�
Figura 1 - Mapa do tesouro / Fonte: a autora.
Descrição da Imagem: esboço do mapa do quintal. O ponto G representa a goiabeira. O ponto M1 representa a 
mangueira à esquerda da goiabeira. O ponto M2 representa a mangueira à direita da goiabeira.
Como você resolverá o problema do tesouro?
PENSANDO JUNTOS
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Antes de solucionar este problema, você deve estudar os conteúdos de Geometria 
Analítica, os quais serão de grande valia na solução desta tarefa. Nesta unidade, 
iniciaremos o estudo sobre Ponto e Plano Cartesiano.
VAMOS RECORDAR?
Nesta unidade, precisaremos calcular determinantes de 
ordem três, então, vamos relembrar? 
DESENVOLVA SEU POTENCIAL
PONTO E PLANO CARTESIANO
A representação gráfica de pontos no plano é feita por meio do plano cartesia-
no. Este nome é homenagem a Renê Descartes, que foi um dos precursores da 
Geometria Analítica. Utilizando o plano cartesiano, torna-se possível realizar 
a representação da posição de qualquer objeto no plano. Diversas atividades o 
utilizam, como a cartografia. 
Nesse sentido, a localização de um ponto no plano cartesiano é feita pelas 
coordenadas do plano P (abscissa, ordenada)=P(x,y). A localização do ponto 
no eixo x é denominada abscissa, enquanto no eixo y é denominada ordenada, 
as quais são denominadas coordenadas do ponto. Tais valores correspondem a 
uma espécie de endereço do ponto. É importante que você saiba que a ordem 
das coordenadas é fundamental; caso você troque a ordem da abscissa com a 
ordenada, o ponto representado se modifica. 
Vejamos alguns exemplos:
 ■ O ponto A (5,-3) possui as coordenadas 5 e -3, sendo 5 sua abscissa e -3 
sua ordenada.
 ■ O ponto B (6,5) possui as coordenadas 6 e 5, sendo 6 sua abscissa e 5 sua 
ordenada.
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TEMA DE APRENDIZAGEM 7
 ■ O ponto C (4,5, -3,5) possui as coordenadas 4,5 e -3,5, sendo 4,5 sua 
abscissa e -3,5 sua ordenada.
 ■ O ponto D (0,0) possui coordenadas 0 e 0, sendo 0 sua abscissa e 0 sua 
ordenada. O ponto D é denominado origem.
Os pontos exemplificados estão esboçados na Figura 2.
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Figura 2 - Representação gráfica de pontos / Fonte: a autora.
Descrição da Imagem: representação do plano cartesiano, o ponto A tem abscissa -5 e ordenada 3, está localizado 
no segundo quadrante. O ponto B tem abscissa 6 e ordenada 5, está localizado no primeiro quadrante. O ponto 
C tem abscissa 4,5 e ordenada 3.5 negativo, está localizado no quarto quadrante. O ponto D tem abscissa 0 e 
ordenada 0, está localizado na origem do plano cartesiano.
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Uma consideração importante sobre o plano cartesiano é a seguinte: os eixos 
x e y dividem o plano em quatro regiões denominadas quadrantes (BOULOS; 
CAMARGO, 2004).
 ■ Os pontos pertencentes ao primeiro quadrante possuem abscissas e or-
denadas positivas.
 ■ Os pontos pertencentes ao segundo quadrante possuem abscissas nega-
tivas e ordenadas positivas.
 ■ Os pontos pertencentes ao terceiro quadrante possuem abscissas e orde-
nadas negativas.
 ■ Os pontos pertencentes ao quarto quadrante possuem abcissas positivas 
e ordenadas negativas.
Exemplo 1: o triângulo a seguir foi construído no plano cartesiano, indique em 
qual quadrante cada um dos vértices se encontra:
�������
������
�������
Figura 3 - Triângulo construído no plano cartesiano / Fonte: a autora.
Solução: o ponto (3,1) tem abscissas e ordenadas positivas, por isso está locali-
zado no primeiro quadrante. O ponto (-2,3) está no segundo quadrante porque 
possui abscissa negativa e ordenada positiva. O ponto (-4,-2) está no terceiro 
quadrante possui abscissa e ordenada negativa.
Descrição da Imagem: triângulo lilás com os vértices (-2,3), (3,1) e (-4,-2).
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TEMA DE APRENDIZAGEM 7
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
Agora que você já sabe representar um ponto no plano cartesiano, poderá ima-
ginar como determinar a distância entredois pontos. 
VAMOS RECORDAR?
Dados dois pontos, como você pode calcular a distância entre eles? 
O nosso objetivo é descobrir a distância entre os pontos A e B. Para isso, utiliza-
remos o conhecido Teorema de Pitágoras.
B
AC
2y
1y
1x2x
Figura 4 - Distância entre dois pontos / Fonte: a autora.
Observe que as coordenadas dos pontos são coordenadas dos pontos A x yA A( , ) 
e B x yB B( , ). Note também que os pontos A, B e C formam um triângulo retân-
gulo, com o lado AB representando sua hipotenusa. Os catetos AC e BC medem 
respectivamente x xA B− e y yA B− . Denominada a medida do lado AB por d, 
temos que a distância entre os pontos A e B é dada por:
Descrição da Imagem: representação geométrica no plano cartesiano do Teorema de Pitágoras.
1
1
4
d x x y yA B A B� � � �( ) ( )2 2 (1)
Para que você compreenda melhor, façamos dois exemplos.
Exemplo 2: calcule a distância entre os pontos A( , )1 1− e B( , )3 1 .
Portanto, temos que:
x
x
y
y
A
B
A
B
�
�
� �
�
1
3
1
1
 .
Você pode calcular a distância entre os pontos A e B utilizando a Equação (1). 
Fazendo isso, obtemos:
d
d
d
d
d
� � � � �
� � � �
� �
�
�
( ) ( )
( ) ( )
1 3 1 1
2 2
4 4
8
2 2
2 2
2 2
Exemplo 3: ache o comprimento do segmento cujos extremos são dados pelos 
pontos (2,-1) e (-1,3).
O comprimento do segmento que possui os pontos dados como extremos 
nada mais é que a distância entre tais pontos. Portanto, temos que:
x
x
y
y
A
B
A
B
�
� �
� �
�
2
1
1
3
 .
Sendo assim, você pode calcular da mesma forma que no exemplo anterior:
UNIASSELVI
1
1
1
TEMA DE APRENDIZAGEM 7
d
d
d
d
d
� � � � � �
� � � � �
� � �
� �
�
( ( )) (( ) )
( ) ( )
( ) ( )
2 1 1 3
2 1 1 3
3 4
9 16
2
2 2
2 2
2 2
55
5d �
 
PONTO MÉDIO
A pergunta que você deve responder agora é outra: dados dois pontos no plano 
cartesiano, como você faria para determinar as coordenadas do ponto médio do 
segmento que liga esses dois pontos? Este é um problema muito importante da 
Geometria Analítica plana, e você o utilizará para resolver o problema motivador 
do início da unidade. Para isso, considere a figura a seguir.
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
��
Figura 5 - Ponto médio / Fonte: a autora.
Para determinar as coordenadas do ponto médio do segmento que une os pon-
tos A e B , você deve considerar que a distância entre A e M é a mesma 
entre B e M . Assim, denominando dAM como a distância entre A e M ; dBM 
Descrição da Imagem: representação do ponto médio M do segmento AB, no plano cartesiano.
1
1
6
como a distância entre B e M ; e ( , )x yM M como as como as coordenadas do 
ponto M , temos:
d dAM BM= 
( ) ( ) ( ) ( )x x y y x x y yM A M A B M B M� � � � � � �2 2 2 2
Elevando ambos os membros ao quadrado e desenvolvendo os produtos notáveis, 
obtemos:
x x x x y y y y x x x x y y y yM M A A M M A A B B M M B B M M
2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2� � � � � � � � � � � 
Simplificando a última equação, podemos escrever:
2 2 2 2 2 2x x x y y y x x y yM A M A B B A B AB( ) ( )� � � � � � �
Reconhecemos do membro direito da equação o produto da soma pela diferença. 
Assim, temos:
2 2x x x y y y x x x x y y y yM A M A B A A B A B A BB B( ) ( ) ( )( ) ( )( )� � � � � � � � �
Comparando os dois membros da equação anterior, percebemos que, para a 
igualdade ser mantida, devemos ter:
2
2
x x x
y y y
M A
M A B
B� �
� �
( )
( )
 
O que nos leva às coordenadas do ponto médio de um segmento:
x x x
y y y
M
A
M
A B
B�
�
�
�
( )
( )
2
2
 
Para que você fixe esta ideia, façamos um exemplo.
UNIASSELVI
1
1
7
TEMA DE APRENDIZAGEM 7
Exemplo 4: determine as coordenadas do ponto médio do segmento cujos ex-
tremos são os pontos (2,-1) e (-1,3).
Para resolver este exemplo, você deve utilizar as equações deduzidas ante-
riormente. 
Dessa forma,
x
y
M
M
�
� �
�
� �
( ( ))
(( ) )
2 1
2
1 3
2
 
Com isso, as coordenadas do ponto médio do segmento dado são:
x
y
M
M
=
=
1
2
1
Ou seja, 
1
2
1,
�
�
�
�
�
� .
1
1
8
ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS
Quando três pontos estão em linha reta, dizemos que eles são colineares, con-
forme podemos observar na Figura 6.
�
�
�
Figura 6 - Os pontos A, B e C são colineares / Fonte: a autora.
Na Figura 7, temos um exemplo dos pontos D, E e F são não colineares, pois o 
ponto F está fora da reta.
�
�
�
Figura 7 - Os pontos D, E e F são não colineares / Fonte: a autora.
Descrição da Imagem: representação de uma reta, com os pontos A, B e C estão nesta reta e, por isso, são colineares.
Descrição da Imagem: representação de uma reta, os pontos E e D pertencem a reta e o ponto F está fora da 
reta, ou seja, ou pontos são não colineares.
Para compreender a demonstração da condição de alinhamen-
to de três pontos, relembraremos Semelhança de triângulos.
EU INDICO
UNIASSELVI
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1
9
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/20554
TEMA DE APRENDIZAGEM 7
Observe a Figura 8, nela, temos os pontos A x yA A( , ) , B x yB B( , ) e C x yC C( , ) , 
três pontos distintos em linha reta, ou seja, colineares (alinhados). Temos que 
os triângulos ABC e BCE são retângulos em D e E, respectivamente, bem como 
apresentam lados proporcionais, logo são semelhantes.
��
��
��
�� �� ��
�
�
�
�
�
�
Figura 8 - Alinhamento de três pontos / Fonte: a autora.
Como o triângulo ABD é semelhante ao triângulo BCE, podemos escrever a relação:
x x
x x
y y
y y
b a
c b
b a
c b
�
�
�
�
�
Multiplicando meios e extremos, temos:
( ).( ) ( ).( )x x y y x x y yb a c b c b b a� � � � �
Equação esta que podemos expressar na forma:
( ).( ) ( ).( ) 0b a c b c b b ax x y y x x y y− − − − − = 
Resolvendo os produtos, utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, 
temos:
x y x y x y x y x y x y x y x yb c b b a c a b c b c a b b b a� � � � � � � �( ) 0
Descrição da Imagem: representação do Triângulo ADB retângulo em D, e do triângulo retângulo BEC em E.
1
1
1
Fazendo a regra de sinais:
x y x y x y x y x y x y x y x yb c b b a c a b c b c a b b b a� � � � � � � � 0
Juntando os termos semelhantes: 
x y x y x y x y x y x yb c a c a b c b c a b a� � � � � � 0
Agrupando xa e ya , temos:
( ) ( ) ( )x y x y x y x y x y x ya b a c c a b a b c c b� � � � � � 0
Colocando os termos comuns em evidência: 
x y y y x x x y x ya b c a c b b c c b( ) ( ) ( )� � � � � � 0
Que podemos escrever em forma de determinante:
x y
x y
x y
a a
b b
c c
1
1
1
0=
Dessa forma, concluímos que:
Três pontos A x yA A( , ) , B x yB B( , ) e C x yC C( , ) estão alinhados ou colineares, 
se, e somente se, o determinante 
x y
x y
x y
a a
b b
c c
1
1
1
0= . Quando o determinante não 
for igual a zero, é porque os pontos A x yA A( , ) , B x yB B( , ) e C x yC C( , ) são vérti-
ces de um triângulo.
Substituindo as coordenadas dos pontos na matriz 
x y
x y
x y
a a
b b
c c
1
1
1
0= e apli-
cando a Regra de Sarrus, podemos verificar se o determinante desta matriz é igual 
a zero, se for, os pontos são colineares, se não for igual a zero, é porque os pontos 
não são colineares (formam um triângulo).
UNIASSELVI
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TEMA DE APRENDIZAGEM 7
Solução geométrica: por meio da localização dos pontos no plano cartesiano.
Solução algebricamente: por meio do cálculo.
Exemplo 5: verificaremos, geométrica e algebricamente, se os pontos A(2,5), 
B(3,7), e C(5,11) estão alinhados (são colineares):
Solução geométrica: observaremos a localização dos pontos no plano car-
tesiano na Figura 9.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
-12-11-10 -9 -8
-8
-7
-7
-6
-6
-5
-5
-4
-4
-3
-3
-2
-2
-1-
A
B
Cy
x
Figura 9 - Solução geométrica do Exercício 5 / Fonte: a autora.
Observamos, no plano cartesiano (Figura 9), que os pontos A, B e C estão ali-
nhados e são colineares.
Solução algébrica: temos xa = 2 e ya = 5 , xb = 3 e yb = 7 , e xc = 5 e 
yc =11.
Descrição da Imagem: representação geométrica dos pontos A, B, C, e são colineares.
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1
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Substituindo na condição de alinhamento de trêspontos 
x y
x y
x y
a a
b b
c c
1
1
1
0= , temos: 
2 5 1
3 7 1
5 11 1
0= calculando o determinante da matriz pela Regra de Sarrus, teremos:
1º Passo: repetimos as duas primeiras colunas matriz original.
2 5 1
3 7 1
5 11 1
2 5
3 7
5 11
 
2º Passo: calculamos o valor na direção da diagonal principal da matriz, multi-
plicando os elementos:
2 5 1
3 7 1
5 11 1
2 5
3 7
5 11
0� 
Teremos: 
D
D
D
P
P
P
� � �
� � �
�
( . . ) ( . . ) ( . . )2 7 1 5 1 5 1 3 11
14 25 33
72
 
3º Passo: calculamos o valor na direção da diagonal secundária da matriz, mul-
tiplicando os elementos: 
2 5 1
3 7 1
5 11 1
2 5
3 7
5 11
0�
t
l
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TEMA DE APRENDIZAGEM 7
Teremos: 
D
D
D
S
S
S
� � �
� � �
�
( . . ) ( . . ) ( . . )5 3 1 2 1 11 1 7 5
15 22 35
72
 
4º Passo: subtraímos o valor da diagonal secundária do valor 
diagonal principal, para encontrar o valor do determinante 
da matriz, se ele for igual a zero, os pontos estão alinhados:
D D DP S� � � � �72 72 0
Portanto, os pontos A, B e C estão alinhados, ou seja, são co-
lineares.
Exemplo 6: considerando os pontos A(2,2), B(-2,-1) e 
C(-3,1), verifique se eles estão alinhados e represente, geo-
metricamente.
2 2 1
2 1 1
3 1 1
2 2
2 1
3 1
0� �
�
� �
�
�
D
D
D
P
P
P
� � � � � �
� � � �
� �
( .( ). ) ( . .( )) ( .( ). )2 1 1 2 1 3 1 2 1
2 6 2
10
D
D
D
S
S
S
� � � � � �
� � � �
�
( .( ). ) ( . . ) ( .( ).( ))2 2 1 2 1 1 1 1 3
4 2 3
1
 
D D DP S� � � � � � �10 1 11 
Portanto, os pontos A, B e C não estão alinhados, ou seja, não 
colineares.
Quando o determinante é diferente zero, os pontos NÃO 
estão alinhados.
1
1
4
Representação geométrica:
1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
4
5
6
7
8
-7 -6 -5 -4 -3 -2
-2
-1
-1
y
x
C
(-3,1)
(-2,-1)
(2,2)
A
B
Figura 10 - Representação geométrica do Exemplo 6 / Fonte: a autora.
Descrição da Imagem: representação geométrica dos pontos A, B, C, e não são colineares.
UNIASSELVI
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1
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TEMA DE APRENDIZAGEM 7
EQUAÇÃO DA RETA
É possível determinar a equação da reta no plano cartesiano quando são conhe-
cidos: um ponto e o coeficiente angular da reta ou dois pontos da reta.
Coeficiente angular é o número que mede a inclinação (ou declividade) de 
uma reta em relação ao eixo das abscissas. Logo, na equação reduzida da 
reta, segundo a lei de formação y mx n� � , dizemos que m é o 
coeficiente angular dessa reta, ou, então, dada a equação geral de uma reta: 
ax by c� � � 0 , dizemos que − a
b
 é o coeficiente angular dessa reta.
Esta equação pode receber as seguintes denotações: equação geral da 
reta, equação reduzida da reta e equação segmentária da reta. Agora vamos 
estudar as regularidades de cada uma delas.
APROFUNDANDO
Equação Geral da Reta
a) Equação geral da reta quando é conhecido um ponto e o seu coefi-
ciente angular.
Uma das formas de representar uma reta r, no plano cartesiano, por meio de uma 
equação, é conhecendo um ponto dessa reta e a sua inclinação (coeficiente angular).
Temos a reta r (não vertical) que passa pelo ponto A x yA A( , ) e tem coeficiente 
angular (m). Para obter a equação dessa reta, é preciso o ponto P(x,y) tal que o 
ponto P seja diferente do ponto A ( )P A≠ .
1
1
6
x - xA
y - yA
P(x,y)
A(xA,yA)
y
x
� m tga�
Ax
Ay
y
x
Figura 11 - Equação geral da reta / Fonte: a autora.
Como podemos observar na Figura 11, o coeficiente angular (m) é obtido por 
meio das propriedades trigonométricas do triângulo retângulo, dado pela fór-
mula: m tg� � .
Sendo que tg
catop
catad
� � , em que cat op é cateto oposto e cat ad é cateto adja-
cente, logo, podemos escrever: m
y y
x x
A
A
�
�
�
 multiplicando meios e extremos, temos: 
y y m x xA A� � �( )
Assim, obtemos uma equação da reta.
Exemplo 7: determine a equação da reta r que passa pelo ponto A (2,1) e tem 
coeficiente angular igual a 2 (m=2). 
Temos xA = 2 , yA = 2 e m = 2 .
Substituindo em y y m x xA A� � �( ) teremos:
y x� � �1 2 2( ) , aplicando a propriedade distributiva temos:
y x� � �1 2 4 , igualando a zero, teremos:
y x� � � �1 2 4 0 , resolvendo os termos semelhantes:
y x� � �2 3 0 esta é a equação da reta que passa pelo ponto A, com o coe-
ficiente angular igual a 2.
Descrição da Imagem: representação da reta r com coeficiente angular (m), passa pelo ponto P(x,y).
UNIASSELVI
1
1
7
TEMA DE APRENDIZAGEM 7
b) Equação geral da reta quando são conhecidos dois de seus pontos.
Por dois pontos distintos passa uma única reta. Assim, também podemos deter-
minar a equação da reta quando são conhecidos dois de seus pontos.
x y
x y
x y
a a
b b
1
1
1
0= 
x y
x y
x y
x y
x y
x y
a a
b b
a a
b b
1
1
1
 
xy x y x y x y xy x y
x y y y x x x y x y
A B A B B A B A
A B B A A B B A
� � � � � �
� � � � � �
0
0( ) ( ) ( ) 
Como xA , xB , yA e yB são valores reais, podemos fazer:
y y a
x x b
x y x y c
A B
B A
A B B A
� �
� �
� �
Exemplo 8: determine a equação da reta que passa pelos pontos A(2,5) e B(3,7), 
e represente geometricamente:
Solução: temos xA = 2 , yA = 5 e xB = 3 , yB = 7 .
1º Passo: substituir as coordenadas dos pontos na fórmula e resolver:
x y
x y
x y
a a
b b
1
1
1
0= 
Assim, teremos a 
fórmula da equação 
geral da reta 
ax by c� � � 0 .
1
1
8
x y x y1
2 5 1
3 7 1
2 5
3 7
0= 
Temos na diagonal principal: 
D x y
D x y
P
P
� � �
� � �
( . . ) ( . . ) ( . . )5 1 1 3 1 2 7
5 3 14
 
E, na diagonal secundária: 
D y x
D y x
S
S
� � �
� � �
( . . ) ( . . ) ( . . )2 1 1 7 1 5 3
2 7 15
 
Como temos D DP S� � 0 :
5 3 14 7 2 15 0x y x y� � � � � �( ) 
Resolvendo: � � � �2 1 0x y , essa é a equação geral da reta que passa pelos pontos 
A(2,5) e B(3,7).
Todas as retas no plano cartesiano apresentam uma equação na forma 
ax by c� � � 0 , em que a, b e c são constantes e a e b não são, simultane-
amente, nulos. E quando a é nulo, a reta é paralela ao eixo x e, consequente-
mente, quando b é nulo, a reta é paralela ao eixo y.
PENSANDO JUNTOS
Equação reduzida da reta
Para determinarmos a equação reduzida da reta, isolamos y, na equação geral da 
reta ( )ax by c� � � 0 .
Na equação ax by c� � � 0 , em que a, b e c são números reais, ao isolarmos 
y temos:
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1
9
TEMA DE APRENDIZAGEM 7
by ax c� � � y
a
b
x c
b
� � �
Em que −
a
b
 é o coeficiente angular (m) da reta e −
c
b
 é o coeficiente linear (n) 
da reta.
Sendo assim, y mx n� � é a forma reduzida da equação da reta.
Quando temos a equação geral da reta, basta isolarmos y para termos a equa-
ção reduzida da reta.
Exemplo 9: determinaremos a equação reduzida da reta, que passa pelos pontos 
A(2,5) e B(3,7):
Solução: temos xA = 2 , yA = 5 e xB = 3 , yB = 7 .
Já resolvemos este exemplo anteriormente, encontrando a equação geral des-
sa reta pela condição de alinhamento dos pontos. Agora, primeiro, determina-
remos o coeficiente angular, usando a fórmula: m y y
x x
A
A
�
�
�
 em x e y, neste caso, 
são xB e yB , logo:
m � �
�
� �
7 5
3 2
2
1
2 considerando o ponto A(2,5) e substituindo na fórmula 
y y m x xA A� � �( ) , temos:
y x
y x
y x
y x
� � �
� � �
� � �
� �
5 2 2
5 2 4
2 4 5
2 1
( )
 
Esta é a equação reduzida da reta que passa pelos pontos A(2,5) e B(3,7) e tem 
coeficiente angular 2 e coeficiente linear 1.
O coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta intercepta (corta) o eixo 
das ordenadas (eixo y).
1
3
1
ÂNGULOS ENTRE DUAS RETAS
Consideraremos duas retas distintas (r e s) e concorrentes do plano, não perpen-
diculares entre si e oblíquas aos eixos coordenados. Como podemos observar 
na Figura 12, temos um ângulo formado entre essas retas, denominado por α .
r
y
s
0
x�
�
�
Figura 12 - Ângulo entre duas retas / Fonte: a autora.
Descrição da Imagem: representação do plano cartesiano, com as retas r, em azul e reta s, em vermelho, formando 
o ângulo a entre elas.
UNIASSELVI
1
3
1
TEMA DE APRENDIZAGEM 7
Para determinar o ângulo α formado entre as retas, utilizaremos a fórmula da 
tangente e o coeficiente angular das retas, no triânguloABC, podemos observar 
na Figura 13:
ry
s
0 x
�
�
A C
B
180º -
r�s�
Figura 13 - Representação das retas r e s / Fonte: a autora.
Temos � � �r s� � � � �� �r s tg tg r s� � �� �( ) utilizando a 
igualdade trigonométrica, temos: tg
tg tg
tg tg
r s
r s
�
� �
� �
�
�
�1 .
 tg
m m
m m
r s
r s
� �
�
�1 .
.
Como β é um ângulo agudo, tgβ >0 e β pode ser calculado pela expressão:
tg m m
m m
r s
r s
� �
�
�1 .
 
Exemplo 10: determine o ângulo formado entre as retas r x y: � � 0 e 
s x y: 2 4 0� � .
Solução: para determinar o ângulo formado entre estas retas, precisamos do 
coeficiente angular, então, passaremos as equações da forma geral para forma 
reduzida e verificaremos o valor de m (coeficiente angular).
Descrição da Imagem: representação das retas r e s no plano cartesiano e os ângulos formados entre as retas 
e o eixo x.
1
3
1
Temos a equação da geral da reta r x y: � � 0 , logo a equação reduzida é 
y x� � , e o coeficiente angular dessa reta é -1 ( )mr � �1 .
A equação geral da reta s x y: 2 4 0� � , logo, a equação reduzida será: 
4 12 2y x� � y
x
� �
12
4
2
4
 y
x
� �3
2
 , portanto, o coeficiente angu-
lar da reta s é −
1
2
 , ms � �( )
1
2
.
Agora que já conhecemos os valores dos coeficientes angulares, substituire-
mos na fórmula do ângulo entre duas retas: 
tg m m
m m
r s
r s
� �
�
�1 .
 tg� �
� � �
� � �
( ) ( )
( ).( )
1
2
1
1 1
2
1
 tg� �
� �
�
( )1
2
1
1 1
2
 
tg� �
1
2
3
2
 tg� �
1
2
2
3
. tg� �
1
3
 
Para determinarmos o ângulo β , fazemos arctg
1
3
, ou seja, aproximadamente, 18º. 
DISTÂNCIA ENTRE O PONTO E RETA
Para calcularmos a distância entre um ponto P x yP P( , ) e uma reta 
r ax by c: � � � 0 , precisamos da equação da reta e das coordenadas do ponto, 
pois unindo o ponto à reta, por meio de um segmento que forma com a reta um 
ângulo reto (90º), é possível determinar a distância entre eles, como podemos 
visualizar na Figura 14, pois a distância é definida traçando um segmento entre 
o ponto e a reta, formando com esta, um ângulo reto.
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1
3
3
TEMA DE APRENDIZAGEM 7
Y
0 XXA XB
YB
YA
A AA(x ;y )
AB
B(x ;y )B B
ax+
by+
c=0
P(x ;y )P P
d
d
Figura 14 - Distância entre ponto e reta / Fonte: a autora.
No triângulo PAB, temos sua área determinada por base x altura, divididos por 2.
A b h= .
2
, substituindo pelas coordenadas da Figura 14, temos: A
d dAB
=
.
2
.
Definindo d d DAB. = e isolando d, obtemos: 
d
D
dAB
= (1)
 ■ Cálculo da distância dAB :
A distância dAB , obtemos aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retân-
gulo formado.
a b c
d x x y y
d x x y y
AB A B A B
AB A B A B
2 2 2
2 2
2 2
� �
� � � �
� � � �
( ) ( )
( ) ( )
 
Definindo x x aA B� � e y y bA B� � , substituindo:
d a bAB � �2 2 (2)
Descrição da Imagem: representação dos pontos A e B, que pertencem à reta r e o ponto P fora da reta.
1
3
4
 ■ Cálculo de D
As coordenadas dos vértices do triângulo PAB são: ( , )x yP P , ( , )x yA A e ( , )x yB B
respectivamente.
Calculando o determinante, temos:
x y
x y
x y
x y
x y
x y
P P
A A
B B
P P
A B
B B
1
1
1
 
D x y y x x y x y y x x yP A P B A B B A B P A P� � � � � �( . . . . . . ) ( . . . . . . )1 1 1 1 1 1 
Efetuando as multiplicações e aplicando a aplicando a propriedade distributiva:
D x y y x x y x y y x x yP A P B A B B A B P A P� � � � � �. 
Colocando xP e yP em evidência:
D x y y y x x x y x yP A B P B A A B B A� � � � � �( ) ( ) ( ) 
Definindo ( )y y aA B� � , x x bB A� � e x y x y cA B B A� � substituindo:
P PD ax by c= + + (3)
Substituindo as equações 2 e 3 na primeira equação, temos:
d
D
dAB
= d
ax by c
a b
P P�
� �
�2 2
A área de um triângulo é obtida multiplicando 1
2
 pelo módulo do determi-
nante das coordenadas dos vértices.
ZOOM NO CONHECIMENTO
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1
3
1
TEMA DE APRENDIZAGEM 7
Substituindo os valores da equação e das coordenadas do ponto na fórmula
d
ax by c
a b
P P
Pr �
� �
�2 2
, determinamos a distância entre o ponto e a reta.
Exemplo 11: calcularemos a distância do ponto P(1,2) à reta r x y: � � �2 1 0
Solução: temos as coordenadas do ponto P, x1 1= e y1 2= e coeficientes da 
reta r a=1, b=2 e c=1. Substituindo na fórmula da distância entre o ponto e a reta 
d
ax by c
a b
Pr �
� �
�
1 1
2 2
, teremos:
d
d
d
Pr
Pr
Pr
. .
�
� �
�
�
� �
�
�
1 1 2 1 1
1 2
1 2 1
1 4
4
5
2 2
 Prd = distância 
entre o ponto P e a 
reta r.
1
3
6
Racionalizando (multiplicando o numerador e o denominador pela raiz quadrada):
d Pr .= =
4
5
5
5
4 5
5
Representação geométrica:
1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
4
5
6
-7 -6 -5
-5
-4
-4
-3
-3
-2 -1
-2
-1
y
x
(1,2)
(1)x=(2)y=-1
Figura 15 - Representação geométrica do Exemplo 10 / Fonte: a autora.
Descrição da Imagem: representação no plano cartesiano da reta r e do ponto P.
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7
TEMA DE APRENDIZAGEM 7
RETAS CONCORRENTES
Duas retas são concorrentes no plano cartesiano quando possuem um ponto 
P x y( , )0 0 em comum e coeficientes angulares diferentes, ou seja, se duas retas 
distintas e coplanares tiverem um único ponto em comum são denominadas 
concorrentes, e seus gráficos concorrem neste ponto. 
y
y
xx
r
t
A
0
0 0
Figura 16 - Retas concorrentes / Fonte: a autora.
Como representado na Figura 16, a reta t é con-
corrente à reta r, se, e somente se, o coeficiente 
angular da reta t for diferente do coeficiente angu-
lar da reta r ( )m mt r≠ .
Exemplo 12: verifique se as retas r x y: 2 6 0� � � e 
s x: 2 3 6 0� � � são concorrentes e represente geo-
metricamente.
Solução: basta encontrar o coeficiente angular da reta r e da reta s.
 ■ Coeficiente angular da reta r ( )mr :
2 3 6 0x t� � � , isolando y na equação da reta:
� � � �y x2 6 , multiplicando ambos os lados da igualdade por -1. 
Descrição da Imagem: representação da reta r concorrente com a reta t em ponto A.
Duas retas são 
concorrentes 
quando seus 
coeficientes 
angulares são 
diferentes.
1
3
8
y x� �2 6 , logo mr = 2
 ■ Coeficiente angular da reta s ( )ms :
2 3 6 0
3 2 6
2
3
6
3
2
3
2
x y
y x
y x
y x
� � �
� � �
� � �
� � �
Logo ms � �
2
3
.
Concluímos que os coeficientes angulares são diferentes ( )m mr s≠ , portanto, as 
retas r x y: 2 6 0� � � e s x: 2 3 6 0� � � são concorrentes.
Representação geométrica:
2x-y+6=0
2x+3y-6=0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1
2
4
3
5
6
7
8
9
10
11
-12-11-10 -9 -8
-8
-7
-7
-6
-6
-5
-5
-4
-4
-3
-3
-2
-2
-1-
y
x
Figura 17 - Representação geométrica do Exemplo 12. / Fonte: a autora.
Descrição da Imagem: representação geométrica das retas r e s no plano cartesiano.
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TEMA DE APRENDIZAGEM 7
PERPENDICULARIDADE DE DUAS RETAS
Duas retas concorrentes são perpendiculares quando formam ângulo reto (90º), 
vamos considerar duas retas perpendiculares r e s, conforme a figura a seguir.
y
x
r s
C
0 A B
Figura 18 - Perpendicularidade de duas retas / Fonte: a autora.
Considerando as retas r e s, perpendiculares no ponto C, representadas em um pla-
no cartesiano. O ângulo de inclinação da reta s como sendo β , pois é o ângulo ex-
terno ao triângulo formado pelo ponto de interseção das duas retas com o eixo Ox.
Descrição da Imagem: representação das retas r e s com intersecção no ponto C e o ângulo formado entre elas 
é de 90º.
1
4
1
y
r s
0
x
90°+β
β
Figura 19 – Retas perpendiculares / Fonte: a autora.
Coeficiente angular da reta s m tgs: � � 
Coeficiente angular da reta r m tgr: ( º )� �90 � 
Usando as fórmulas de adição de arcos, é possível comparar o coeficiente 
angular das duas retas:
tg sen
tg sen sen
( º )
( º )
cos( º )
( º )
º .cos .c
90
90
90
90
90
� �
�
�
� �
�
�
�
�
�
� � oos º
cos º .cos º .
( º )
.cos .
.cos
90
90 90
90
1 0
0
� �
�
� �
�
�
� �
�
sen sen
tg sen
��
� �
�
� � �
1
90
90
1
.
( º )
cos
( º )
sen
tg
sen
tg
tg
�
�
�
�
�
�
 
Como m tgs � � e m
tg
r � �
1
�
, então m
m
s
r
� �
1
, portanto:
mm
tg
tg
m m
s r
s r
. .
.
� �
� �
1
1
�
�
Descrição da Imagem: representação das retas r e s no plano cartesiano e os ângulos formados entre as retas 
é de 90º e o ângulo entre a reta s e o eixo x é b.
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4
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TEMA DE APRENDIZAGEM 7
Duas retas são perpendiculares quando o ângulo formado entre elas é de 90º, 
representamos que a reta r é perpendicular à reta s pela simbologia: r s⊥ , e o 
produto dos seus coeficientes angulares for igual a um negativo (m ms r. � �1).
Exemplo 13: determine se as r x y: � � �2 3 0 e s x y:� � � �16 8 10 0 são per-
pendiculares e confirme com a representação geométrica.
Solução 1: vamos determinar o coeficiente angular da r e da reta s.
 ■ Coeficiente angular da reta r (mr ):
x y
y x
y x
� � �
� � �
� � �
2 3 0
2 3
2
3
2
 
Logo mr � �
1
2
 ■ Coeficiente angular da reta s (ms ):
� � � �
� �
� �
� �
16 8 10 0
8 16 10
16
8
10
8
2
5
2
x y
y x
y x
y x
 
Logo ms = 2
Portanto, verificaremos se m ms r. � �1 : 
� � � � �
1
2
2
2
2
1. 
Logo, as retas r x y: � � �2 3 0 e s x y:� � � �16 8 10 0 são perpendiculares.
1
4
1
Representação geométrica:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-9 -8
-8
-9
-7
-7
-6
-6
-5
-5
-4
-4
-3
-3
-2
-2
-1-
y
x
x+2y+3=0
-16x+8y+10=0
Figura 20 - Representação geométrica do Exemplo 13 / Fonte: a autora.
INTERSEÇÃO DE DUAS RETAS
Encontramos o ponto de interseção, ou seja, o ponto em comum entre duas retas, 
resolvendo o sistema linear formado pelas equações das retas.
Exemplo 14: encontre o ponto de interseção entre as retas r x y: � � �1 0 e 
s x y:� � � �2 2 0 e confirme o resultado com a representação geométrica:
Descrição da Imagem: representação das retas r e s no plano cartesiano.
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3
TEMA DE APRENDIZAGEM 7
Solução: estabeleceremos o sistema de equações: 
x y
x y
� � �
� � � �
�
�
�
1 0
2 2 0
 
Utilizaremos o método da substituição para resolver o sistema linear, você 
pode utilizar outro método que preferir para resolução de sistemas lineares.
1º Passo: isolar y em uma das equações, de preferência na equação mais sim-
plificada:
x y
y x
� � �
� �
1 0
1
2º Passo: substituir o valor isolado na outra equação:
� � � �
� � � � �
� � � � �
� � � �
� � �
�
2 2 0
2 1 2 0
2 1 2 0
2 1 2
1
1
x y
x x
x x
x x
x
x
( )
3º Passo: substituir o valor de x na equação isolada que é o resultado do 1º passo.
y x
y
y
� �
� �
�
1
1 1
0
Portanto, o ponto de interseção da reta r x y: � � �1 0 e s x y:� � � �2 2 0 é 
P( , )1 0
1
4
4
Representação geométrica:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-8
-9
-7
-6
-5
-5
-4
-4
-3
-3
-2
-2
-1-
y
x
-2x-y+2=0
(1,0)
y=1-x
Figura 21 - Representação geométrica do Exemplo 14 / Fonte: a autora.
Descrição da Imagem: representação das retas r e s no plano cartesiano.
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TEMA DE APRENDIZAGEM 7
NOVOS DESAFIOS
Nesta unidade, estudamos os conceitos iniciais da Geometria Analítica, compreen-
demos o que é um plano cartesiano, calculamos a distância entre dois pontos, como 
encontrar o ponto médio e a condição de alinhamento de três pontos. Com estes 
conhecimentos iniciais é que se baseiam alguns estudos de segurança no trânsito. 
VOCÊ SABE RESPONDER?
Por que as faixas de segurança são perpendiculares às calçadas?
Pelo que estudamos em distância entre dois pontos, esta será a menor distância 
percorrida pelo pedestre, ou seja, diminuindo o tempo exposto ao perigo.
Na continuação da nossa unidade, avançamos os estudos sobre a reta e nos 
dedicamos a compreender a sua equação e diferentes posições entre duas retas. 
Aqui, apresentaremos os conceitos que você precisará para seguir os seus estudos. 
A Geometria Analítica contribuiu para a criação do Global Positioning System 
(GPS), esta tecnologia que está disponível para nós e auxilia o deslocamento rapida-
mente, apresentando diferentes alternativas de rotas, o conceito-base de funciona-
mento é escolhermos o local que desejamos ir, ou seja, o GPS associa este local ao um 
ponto, local de partida é outro ponto, e ele traça a distância entre esses dois pontos.
Na computação gráfica, a Geometria Analítica também é um dos princípios 
básicos, com esses conhecimentos é possível criar imagens, desenvolver objetos 
tridimensionais
Nos estudos mais avançados da Geometria Analítica, ela é muito útil na cons-
trução civil, pois é possível calcular altura, largura, peso das estruturas e planejar 
onde é o melhor local para uma viga de sustentação.
Para a sua atuação profissional, é importante que você compreenda os conceitos 
estudados nesta unidade, desafie-se a compreender cada umas das deduções mate-
máticas aqui apresentadas, isso servirá de aporte teórico para as disciplinas futuras.
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VAMOS PRATICAR
1. A Geometria Analítica é essencial em sistemas de posicionamento global, como o Sis-
tema de Posicionamento Global (GPS). Ela permite determinar a posição de um objeto 
ou pessoa por meio de coordenadas e cálculos trigonométricos. O funcionamento de 
um aparelho de GPS é interessante de ser estudado, embora complexo.
Utilizando o sistema de coordenadas cartesianas, consideraremos como origem o cor-
respondente ao centro da Terra.
É comum cada vez mais utilizarmos de serviços de delivery, como para compra de 
alimentação, remédios, recebimentos de documentos, enfim, agiliza o nosso cotidiano.
Para realizarem as entregas o mais rápido possível, é comum a utilização do GPS para 
traçarem as rotas.
AMORIM, R. G. G. de; FRAGELLI, R. R.; RISPOLI, V. de C. Geometria analítica e álgebra linear. 
Maringá-PR: UniCesumar, 2018.
4
4 6
2
2
-2
-2 0
Farmácia = (1,2)
Casa = (5, -2)
Figura 1 - Posicionamento global / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: a imagem apresenta um mapa com duas retas traçadas, a primeira está na horizontal, 
um pouco abaixo do meio, com as seguintes marcações, da esquerda para a direita: -2, 0, 2, 4, 6. A segunda 
está na vertical, mais à esquerda do meio, com as seguintes marcações, de baixo para cima: -2, 0, 2, 4. Duas 
localizações estão sinalizadas no mapa: Farmácia = (1,2) na parte de cima e Casa = (5, -2) na parte de baixo.
1
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8
VAMOS PRATICAR
O Motoboy sairá da farmácia, precisa realizar uma entrega na metade do caminho e a 
segunda entrega é na casa. Calcule a localização da primeira entrega e a distância da 
farmácia até a casa.
2. As posições relativas correspondem a posições entre duas ou mais retas do plano. 
Duas retas podem ser paralelas, concorrentes ou perpendiculares. Em algumas dessas 
situações, as retas possuem um ponto em comum, ou seja, um ponto de intersecção.
NICOLODI, J. E.; NICOLODI, R. Geometria analítica. Indaial: Uniasselvi, 2013.
Determine se a reta r x y: 3 2 3 0� � � e a reta s x y:� � � �1 0 são concorrentes 
ou perpendiculares entre si. Apresente o ponto de interseção entre as retas r e s.
3. As calçadas do bairro de Vila Isabel na cidade do Rio de Janeiro – as famosas “Calça-
das Musicais” – tombadas pelo Instituto do Patrimônio Histórico e Artístico Nacional 
(IPHAN), cuja decoração em pedras portuguesas reproduzem trechos de canções do 
músico Noel Rosa, figura ilustre do bairro e da cultura brasileira. Tanto as linhas das 
partituras quanto os meios-fios do Boulevard (avenida) 28 de setembro, trata-se de 
representações de retas coplanares e paralelas.
Duas retas distintas e coplanares que possuem um único ponto em comum são deno-
minadas concorrentes e seus gráficos concorrem neste ponto.
NICOLODI, J. E.; NICOLODI, R. Geometria analítica. Indaial: Uniasselvi, 2013.
Classifique as afirmativas a seguir em verdadeira (V) ou falsa (F):
I - Duas retas são concorrentes quando seus coeficientes angulares são iguais.
II - Duas retas são concorrentes se elas têm um ponto em comum.
III - A equação geral da reta é ax by c� � � 0 .
É correto o que se afirma em:
a) I, apenas.
b) III, apenas.
c) I e III.
d) II e III.
e) I, II e III.
1
4
9
VAMOS PRATICAR
4. Duas retas concorrentes são perpendiculares quando formamângulo reto (90º).
NICOLODI, J. E.; NICOLODI, R. Geometria analítica. Indaial: Uniasselvi, 2013.
Qual a equação geral da reta que passa pelo ponto P (1, 5) e é perpendicular à reta de 
equação 
x y � � �3 12 0 ?
a) y
x
� �
3
4 - .
b) x y � �5 0 .
c) � � � �3 2 0x y .
d) x � �2 0 .
e) Não, é possível encontrar a reta perpendicular à reta x y � � �3 12 0que passa 
pelo ponto P(1,5).
1
1
1
VAMOS PRATICAR
5. Analisar condições de alinhamentos de pontos em Geometria Analítica vai muito além 
de só analisar se os três pontos estão na mesma reta, pois, na prática, podemos inves-
tigar se três locais estão na mesma caminho.
Pontos colineares estão alinhados quando existe uma reta que passa por esses três 
pontos.
NICOLODI, J. E.; NICOLODI, R. Geometria analítica. Indaial: Uniasselvi, 2013.
Com base nas informações apresentadas, avalie as asserções a seguir e a relação pro-
posta entre elas:
I - Três pontos A x yA A( , ) , B x yB B( , ) e C x yC C( , ) estão alinhados ou colineares, se, 
e somente se, o determinante x y
x y
x y
a a
b b
c c
1
1
1
0=
. 
PORQUE
II - Quando o determinante não for igual a zero, é porque os pontos A x yA A( , ) , B x yB B( , ) 
e C x yC C( , ) são vértices de um triângulo.
A respeito destas asserções, assinale a opção correta.
a) As asserções I e II são verdadeiras, e a II é justificativa correta da I.
b) As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é justificativa correta da I.
c) A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é proposição falsa.
d) A asserção I é uma proposição falsa, e a II é proposição verdadeira.
e) As asserções I e II são falsas.
1
1
1
REFERÊNCIAS
BOULOS, P.; CAMARGO, I. de. Geometria analítica: um tratamento vetorial. 3. ed. São Paulo: 
Pearson Universidades, 2004.
GEOGEBRA: aplicativos matemáticos. GeoGebra, [s. l.], c2023. Disponível em: https://www.
geogebra.org/m/geh2mukk. Acesso em: 31 maio 2023. 
1
1
1
1. Fórmula
Distância entre dois pontos:
d x x y yA B A B� � � �( ) ( )
2 2
Ponto Médio:
x x x
y y y
M
M
�
�
�
�
( )
( )
1 2
1 2
2
2
Resposta:
d A B,� � � 4 2 
PM (A, B) = ( , )2 0 
2. A reta r e reta s são concorrentes e o ponto de interseção entre as duas retas é (-1,-2).
3 2 3 0
1 0
3 2 3 0
1
3 2 2 3 0
1 0
1
x y
x y
x y
x y
x x
x
x
� � �
� � � �
�
�
�
� � �
� � �
�
�
�
� � � �
� �
� �
 
y x
y
y
� � �
� � �
� �
1
1 1
2
3. D.
I. Falso. Duas retas são concorrentes quando seus coeficientes angulares são diferentes.
II. Verdadeiro. As retas concorrentes possuem um único ponto em comum, o ponto de 
interseção.
III. Verdadeiro. ax by c� � � 0 é a equação geral da reta.
GABARITO
1
1
3
4. C. 
Para encontrar a reta perpendicular, precisamos encontrar o coeficiente angular da reta 
x y � � �3 12 0 , mr � �
1
3
 . Pela propriedade estudada, o coeficiente angular 
da reta perpendicular será mp = 3 .
Como temos o coeficiente angular e o ponto, é possível determinar a reta perpendicular: 
� � � �3 2 0x y 
5. A
GABARITO
1
1
4
MINHAS ANOTAÇÕES
1
1
1
MINHAS METAS
GEOMETRIA ANALÍTICA E O ESTUDO 
DA CIRCUNFERÊNCIA
ME. MÁRCIA ERONDINA DIAS DE SOUZA DA SILVA
Adquirir noções sobre as circunferências.
Reconhecer as equações das circunferências.
Identificar a posição relativa entre ponto e circunferência.
Discutir a posição relativa entre reta e circunferência.
Analisar a posição relativa entre duas circunferências.
T E M A D E A P R E N D I Z A G E M 8
1
1
6
INICIE SUA JORNADA
A Geometria Analítica é a união da Álgebra com a geometria, ou seja, estuda 
a geometria algebricamente. No plano cartesiano, podemos realizar o trabalho 
algébrico com a representação geométrica.
Neste estudo, você aprofundará seus conhecimentos sobre a circunferência, 
sua definição, suas propriedades, bem como as posições relativas ao ponto, à reta 
e a outra circunferência.
Toda a circunferência tem uma equação que a representa. Conheceremos os 
elementos da circunferência, sua posição no plano cartesiano e a equação geral. 
Também estudaremos as posições relativas ao sistema cartesiano entre circunfe-
rências e pontos, entre duas circunferências e circunferências e retas. 
Para compreendermos as posições relativas de um ponto, uma reta ou uma cir-
cunferência em relação a uma circunferência, utilizaremos os cálculos de distância 
entre o ponto e o centro da circunferência e entre o centro da circunferência e a reta.
Um ponto pode assumir três posições diferentes em relação a uma circunfe-
rência: interno, pertencente à circunferência e externo. Para verificar a posição 
de um ponto no plano cartesiano em relação a uma circunferência, calcularemos 
a distância do ponto até o centro da circunferência, ou então substituir as coor-
denadas do ponto na equação da circunferência e analisar o resultado obtido.
Existem três posições possíveis entre uma circunferência e uma reta no sis-
tema cartesiano ortogonal: a reta pode ser secante à circunferência, tangente à 
circunferência, ou externa à circunferência. No cotidiano, este conhecimento 
é aplicado em muitas áreas do conhecimento, uma das tecnologias que está na 
palma da nossa mão nos Smartphones, é o GPS. Para desenvolver o GPS, foram 
necessários conhecimentos estudados nesta aula.
Neste Podcast, apresentamos algumas curiosidades rela-
cionadas às aplicações práticas da geometria analítica no 
cotidiano. Você sabe onde usamos? Para que serve a ge-
ometria analítica? Vamos ouvir juntos esse Podcast.
PLAY NO CONHECIMENTO
UNIASSELVI
1
1
7
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/19317
TEMA DE APRENDIZAGEM 8
DESENVOLVA SEU POTENCIAL
EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA
A circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes (a mes-
ma distância) de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circun-
ferência (C). Sendo que se denomina raio (R) a medida da distância de qualquer 
ponto da circunferência ao centro (C), e essa distância (raio) é sempre constante.
A circunferência pode ser considerada uma linha curva fechada, onde a distância 
entre a extremidade e qualquer ponto possui medida igual, denominada diâmet-
ro, enquanto o círculo é a figura plana delimitada pela circunferência, conforme 
podemos verificar na Figura 1.
VAMOS RECORDAR?
Para o estudo desta unidade, recordaremos como cal-
culamos a distância de um ponto a uma reta. Assista ao 
vídeo e anote as informações importantes, pois utilizare-
mos ao longo da nossa unidade.
1
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Figura 1 - Círculo e Circunferência / Fonte: o autor.
Para estabelecer a fórmula da equação da circunferência, tomemos uma circunfe-
rência de centro com coordenadas C(a, b) e um ponto qualquer com coordenadas 
P(x, y) pertencente à circunferência, conforme a Figura 2.
Figura 2 - Circunferência no plano cartesiano / Fonte: os autores.
Descrição da Imagem: circunferência em linha vermelha, o segmento CA representa o diâmetro, o segmento 
OB é o raio da circunferência, e o segmento DE é corda, a região interna a linha vermelha chamamos de círculo.
Descrição da Imagem: plano cartesiano com a circunferência com centro em C localizada no primeiro quadrante.
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TEMA DE APRENDIZAGEM 8
Utilizando a fórmula da distância de dois pontos, o centro (C) da circunferência 
e o ponto P, ou seja, o raio da circunferência, podemos escrever:
D x a y bC P, ( ) ( )� � � �2 2 ; (elevando ambos os lados da equação ao quadrado);
( ) ( ( ) ( ) ),D x a y bC P 2 2 2 2� � � � (Resolvendo a raiz elevada ao quadrado).
D x a y bC P2 2 2, ( ) ( )� � � �
Como a distância entre o centro (C) e o ponto P é a medida do raio da circunfe-
rência, substituiremos D C P2 , por R2 , logo teremos R x a y b2 2 2� � � �( ) ( ) .
Esta é a fórmula para equação reduzida da circunferência, ou seja, a ex-
pressão ( ) ( )x a y b R� � � �2 2 2 . Para determinar a equação de uma circun-
ferência, precisamos saber o seu centro C (a,b) e o seu raio (R).
APROFUNDANDO
EXEMPLO 1: Determine a equação reduzida da circunferência com centroC(1,2) e raio 2.
SOLUÇÃO: temos o centro da circunferência com as coordenadas, a=1 e 
b=2 e a medida do raio da circunferência, R=2, logo:
( ) ( )x a y b R� � � �2 2 2 (fórmula da equação da circunferência).
( ) ( )x y� � � �1 2 22 2 2 (substituindo os valores das coordenadas e do raio).
( ) ( )x y� � � �1 2 42 2 (Resolvendo a potência, 22 ).
A equação da circunferência com centro C(1,2) e raio 2, é: ( ) ( )x y� � � �1 2 42 2 .
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EXEMPLO 2: Determine a equação da circunferência com centro no ponto 
C(2,3) e que passa pelo A(1,1).
SOLUÇÃO: temos as coordenadas do centro da circunferência C(2,3), a=2 
e b=3, e as coordenadas do ponto A(1,1), x=1 e y=1, primeiramente, determi-
naremos a medida do raio da circunferência.
D x a y bC P, ( ) ( )� � � �2 2 ; (Fórmula da distância entre dois pontos).
DC P, ( ) ( )� � � �1 2 1 32 2 (substituindo os valores das coordenadas do cen-
tro e do ponto).
DC P, ( ) ( )� � � �1 22 2 (resolvendo as subtrações).
DC P, � � �1 4 5 (resolvendo as potências e a raiz).
A distância entre o centro C e o ponto A é a medida do raio da circunferên-
cia, logo R = 5 . Determinaremos a equação reduzida dessa circunferência.
( ) ( )x a y b R� � � �2 2 2 (fórmula da equação da circunferência).
( ) ( ) ( )x y� � � �2 3 52 2 2 (substituindo os valores das coordenadas e do raio).
( ) ( )x y� � � �2 3 52 2 (Resolvendo a potência, ( )5 52 = ).
Portanto, a equação da circunferência com centro no ponto C(2,3), que pas-
sa pelo ponto A(1,1), e tem raio igual a 5 é: ( ) ( )x y� � � �2 3 52 2 .
EXEMPLO 3: Determine o centro e o raio da circunferência da equação 
( ) ( )x y� � � �4 5 92 2 .
SOLUÇÃO: comparando a fórmula da equação da circunferência, 
( ) ( )x a y b R� � � �2 2 2 , temos que as coordenadas do centro da circunferência 
são a e b, portanto, a=4 e b=5, logo C(4,5) e a medida do raio da circunferência 
será: R2 9= , R = 9 , R = 3 .
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TEMA DE APRENDIZAGEM 8
EXEMPLO 4: Qual é a equação da circunferência de centro C(-2,3) que é tan-
gente ao eixo dos y?
SOLUÇÃO:
Figura 3 - Centro da Circunferência / Fonte: os autores.
O ponto C está no terceiro quadrante conforme a Figura 3. A circunferência está 
afastada do eixo y duas unidades, O raio, portanto vale 2.
Equação reduzida é [ ( )] ( )x y� � � � �2 3 22 2 2 , temos ( ) ( )x y� � � �2 3 42 2 .
EXEMPLO 5: Qual é a equação da circunferência de centro C(-3,4) e que passa 
pela origem do plano cartesiano?
SOLUÇÃO: se a circunferência passa pela origem do sistema cartesiano, logo, 
o ponto P(0,0) pertence à circunferência, desta forma, podemos determinar o raio.
Descrição da Imagem: plano cartesiano com o ponto C (-2,3) marcado no segundo quadrante.
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Figura 4 - Exemplo 5 / Fonte: os autores.
 
( ) ( )x a y b R� � � �2 2 2 (fórmula da equação da circunferência).
[ ( )] ( )0 3 0 42 2 2� � � � � R (substituindo os valores das coordenadas do ponto 
e do centro).
( ) ( )3 42 2 2� � � R (Resolvendo os sinais e a potência).
9 16
25
25
5
2
2
2
� �
�
�
�
R
R
R
R
A equação da circunferência com centro C(-3,4) e raio 5, é:
 
[ ( )] ( )
( ) ( )
x y
x y
� � � � �
� � � �
3 4 5
3 4 25
2 2 2
2 2
.
Descrição da Imagem: representação da circunferência com centro em (-3,4) passando pela origem do sistema 
cartesiano.
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TEMA DE APRENDIZAGEM 8
POSIÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA NO PLANO CARTESIANO
No plano cartesiano, a circunferência pode assumir posições diferentes, deter-
minando, assim, equações particulares.
 ■ O centro da circunferência na origem: neste caso, a = b = 0, a equação da 
circunferência será x y R2 2 2� � e C(0,0).
Figura 5 - Circunferência com centro na Origem / Fonte: os autores.
 ■ O centro da circunferência no eixo Ox: neste caso, y=0, então, não tere-
mos o valor de b e a equação da circunferência será ( )x a y R� � �2 2 2 
e centro C(a,0).
Descrição da Imagem: representação da circunferência de raio R centrada na origem do Plano cartesiano.
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Figura 6 - Circunferência com centro no Eixo OX / Fonte: os autores.
 ■ O centro da circunferência no eixo Oy: neste caso, x=0, então não tere-
mos o valor de a e a equação da circunferência será x y b R2 2 2� � �( ) 
e centro C(0,b).
Figura 7 - Circunferência com centro no eixo OY / Fonte: os autores.
Descrição da Imagem: representação da circunferência de raio R com centro C, no eixo x, do Plano Cartesiano.
Descrição da Imagem: representação da circunferência de raio R com centro C, no eixo y, do Plano Cartesiano.
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TEMA DE APRENDIZAGEM 8
A seguir, apresentamos um esquema que irá facilitar para você identificar a po-
sição relativa da circunferência no plano cartesiano
Centro na Origem 
O centro da circunferência na origem: 
neste caso, a = b = 0, a equação da 
circunferência será x y R2 2 2� � e 
C(0,0).
Centro no Eixo OX 
O centro da circunferência no 
eixo Ox: neste caso, y=0, então, 
não teremos o valor de b, e a 
equação da circunferência será 
( )x a y R� � �2 2 2 e centro C(a,0).
Nem solorem quiatur? Bit volor sen-
diant repudam illes
Centro no Eixo OY 
O centro da circunferência no 
eixo Oy: neste caso, x=0, então, 
não teremos o valor de a e a 
equação da circunferência será 
x y b R2 2 2� � �( ) , e centro 
C(0,b).
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EXEMPLO 6: Encontre o centro e o raio da circunferência de equação 
x y2 2 2� �
SOLUÇÃO: pela equação, percebemos que é uma circunferência com C em 
(0,0). Temos: x y R2 2 2� � , comparando as equações, temos R2 2= . Logo, a 
medida do raio é R2 2= , assim, R = 2 .
EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA
Para encontrarmos a equação geral da circunferên-
cia, é preciso resolver os produtos notáveis (quadra-
dos) da equação da circunferência.
Então, a equação ( ) ( )x a y b R� � � �2 2 2 é co-
nhecida como equação reduzida da circunferência, 
desenvolvendo os quadrados, teremos:
( ) ( )
( ) ( )
x a y b R
x ax a y by b R
x ax a y by
� � � �
� � � � � �
� � � �
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
2 2
2 2 �� �
� � � � � � �
b R
x y ax by a b R
2 2
2 2 2 2 22 2 0
Com o objetivo de simplificar a equação, consideramos: � � �2a , � � �2b e 
� � � �a b R2 2 2 , teremos a equação geral da circunferência:
 x y x y2 2 0� � � � �� � �
EXEMPLO 7: Determine a equação geral da circunferência de centro C(3,2) e 
raio R=6.
SOLUÇÃO: temos o centro da circunferência com as coordenadas, a=3 e b=2 
e a medida do raio da circunferência, R=6, substituindo na equação reduzida da 
circunferência teremos:
( ) ( )x y� � � �3 2 62 2 2 (Resolvendo as potências);
Lembrete para 
resolver os produtos 
notáveis:
( )a b a ab b� � � �2 2 22
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TEMA DE APRENDIZAGEM 8
x2- 6x + 9 + y2-4y + 4 - 36 = 0 (Reduzindo os termos semelhantes);
x y x y2 2 6 4 23 0� � � � � , essa é a equação geral da circunferência de centro 
C(3,2) e raio R=6.
EXEMPLO 8: Determine o centro e o raio da circunferência de equação 
x y x y2 2 6 4 36 0� � � � � .
SOLUÇÃO: temos a fórmula x y ax by a b R2 2 2 2 22 2 0� � � � � � � , ain-
da definimos que: � � �2a , � � �2b e � � � �a b R2 2 2 e comparando com a 
equação do Exemplo 8, temos:
� � �
� � �
�
�
�
�
2
6 2
6
2
3
a
a
a
a
 
� � �
� � �
�
�
�
�
2
4 2
4
2
2
b
b
b
b
 
� � � �
� � � �
� � � �
� �
�
�
�
a b R
R
R
R
R
R
R
2 2 2
2 2 2
2
2
2
2
36 3 2
36 9 4
36 13
49
49
7
Logo, o Centro é C(3,2) e o Raio é 7.
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POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PONTO E CIRCUNFERÊNCIA
Um ponto pode assumir três posições diferentes em relação a uma circunferên-
cia: interna, pertencente à circunferência e externo. Para verificar a posição de 
um ponto no plano cartesiano em relação e uma circunferência calcularemos a 
distância do ponto até o centro da circunferência e analisar o resultado obtido.
O ponto é interno à circunferência
Quando a distância do ponto ao centro da circunferência for menor que a me-
dida do raio da circunferência ( )D RPC < , dizemos que o ponto é interno à 
circunferência.
Figura 8 - Ponto é interno à circunferência / Fonte: os autores.O ponto pertence à circunferência
Quando a distância do ponto ao centro da circunferência for igual à medida do raio 
da circunferência ( )D RPC = , dizemos que o ponto pertence à circunferência.
Descrição da Imagem: circunferência de raio R e ponto A interno à circunferência.
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TEMA DE APRENDIZAGEM 8
Figura 9 - Ponto pertencente à circunferência / Fonte: os autores.
O ponto é externo à circunferência
Quando a distância do ponto ao centro da circunferência for maior que a medida do 
raio da circunferência ( )D RPC > , dizemos que o ponto é externo à circunferência.
Figura 10 - Ponto é Externo à circunferência / Fonte: os autores.
Para verificar a posição relativa de um ponto em relação a uma circunferência, 
podemos calcular a distância entre o centro da circunferência e o ponto, ou então 
substituir as coordenadas do ponto na equação da circunferência e verificar a 
condição de igualdade da equação.
Descrição da Imagem: circunferência de raio R e ponto A externo a circunferência.
Descrição da Imagem: circunferência de raio R e ponto A pertencente à circunferência.
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EXEMPLO 9: Verifique as posições relativas dos pontos A(2,3), B(2,1) e C(-1,-
1) em relação a circunferência de equação ( ) ( )x y� � � �2 1 162 2 e comprove 
a representação geométrica.
SOLUÇÃO: substituiremos as coordenadas dos pontos na equação da cir-
cunferência para verificar a posição do ponto.
 ■ Ponto A(2,3)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
x y� � � �
� � � �
� �
� �
�
2 1 16
2 2 3 1 16
4 2 16
16 4 16
20 16
2 2
2 2
2 2
20 é maior que 16, logo, o ponto A é externo à circunferência.
 ■ Ponto B(2,1)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
x y� � � �
� � � �
� �
� �
�
2 1 16
2 2 1 1 16
4 0 16
16 0 16
16 16
2 2
2 2
2 2
Logo, o ponto C pertence à circunferência.
 ■ Ponto C(-1,-1)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
x y� � � �
� � � � � �
� � �
� �
�
2 1 16
1 2 1 1 16
1 2 16
1 4 16
5 16
2 2
2 2
2 2
5 é menor que 16, logo, o ponto D é interno à circunferência.
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TEMA DE APRENDIZAGEM 8
Figura 11 - Posição dos pontos à circunferência do Exemplo 9 /Fonte: os autores.
EXEMPLO 10: verifique as posições relativas dos pontos A(2,1), B(0,0) e C(-3,1) 
em relação à circunferência de equação x y x y2 2 4 8 0� � � � .
SOLUÇÃO: substituiremos as coordenadas dos pontos na equação da cir-
cunferência para verificar a posição do ponto.
 ■ Ponto A(2,1)
x y x y2 2
2 2
4 8 0
2 1 4 2 8 1 0
4 1 8 8 0
5 0
� � � �
� � � �
� � � �
�
. . .
5 é maior que 0, logo, o ponto A é externo à circunferência.
 ■ Ponto B(0,0)
x y x y2 2
2 2
4 8 0
0 0 4 0 8 0 0
0 0 0 0 0
0 0
� � � �
� � � �
� � � �
�
. .
Descrição da Imagem: representação da circunferência do Exemplo 9 e dos pontos A, B e C.
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Logo, o ponto B pertence à circunferência.
 ■ Ponto C(-3,1)
x y x y2 2
2 2
4 8 0
3 1 4 3 8 1 0
9 1 12 8 0
10 20 0
10 0
� � � �
� � � � � �
� � � �
� �
� �
( ) .( ) .
-10 é menor que 0, logo, o ponto C é interno à circunferência.
Representação geométrica:
Figura 12 - Posição dos pontos à circunferência do Exemplo 10 / Fonte: os autores.
Descrição da Imagem: representação da circunferência do Exemplo 10 e dos pontos A, B e C.
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TEMA DE APRENDIZAGEM 8
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA
Existem três posições possíveis entre uma circunferência e uma reta no sistema 
cartesiano ortogonal: a reta pode ser secante à circunferência, tangente à circun-
ferência, ou externa à circunferência.
Para determinar a posição da reta em relação à circunferência, calculare-
mos a distância entre a reta e o centro da circunferência utilizando a fórmula da 
distância da reta a um ponto. Quando a distância da reta ao centro for inferior 
à medida do raio da circunferência a reta é secante, quando a medida for igual 
à reta é tangente, e quando a distância for maior que a medida do raio, a reta é 
externa à circunferência.
Reta Secante à Circunferência
Conforme podemos observar na Figura 13, a reta será secante à circunferência 
quando possuir dois pontos em comum. Para verificar se a reta r é secante a cir-
cunferência, é preciso calcular a distância entre o centro da circunferência e a reta. 
Se a distância for menor que a medida do raio da circunferência a reta será secante.
Figura 13 - Reta é secante à circunferência / Fonte: os autores.
Descrição da Imagem: representação da circunferência com centro C e a reta r secante à circunferência.
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Reta Tangente à Circunferência
A reta é dita tangente à circunferência quando possui um ponto em comum. Para 
verificar se a reta r é tangente à circunferência, é preciso calcular a distância entre 
o centro da circunferência e a reta, se a distância for igual à medida do raio da 
circunferência, a reta será tangente.
Figura 15 - Reta é tangente à circunferência / Fonte: os autores.
Reta Externa à Circunferência
A reta é dita externa à circunferência quando não possuir pontos em comum. 
Para verificar se a reta r é externa à circunferência, é preciso calcular a distância 
entre o centro da circunferência e a reta, se a distância for maior do que a medida 
do raio da circunferência a reta será externa.
Descrição da Imagem: representação da circunferência com centro C e a reta r tangente à circunferência.
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TEMA DE APRENDIZAGEM 8
Figura 16 - Reta é externa à circunferência / Fonte: os autores.
EXEMPLO 12: Verifique qual a posição relativa da reta de equação 
3 4 22 0x y� � � e a circunferência ( )x y� � �1 252 2 e confirme com a repre-
sentação geométrica.
SOLUÇÃO: verificaremos a posição da reta à circunferência, calculando a 
distância entre o centro (-1,0) da circunferência e a reta por meio da fórmula da 
distância entre um ponto e um reta.
Temos o C(-1,0), com coordenadas x1 1� � e y1 0= e os coeficientes da 
equação da reta, a=3, b=4 e c=-22, substituiremos na fórmula da distância já 
estudada na unidade anterior:
Descrição da Imagem: representação da circunferência com centro C e a reta r secante à circunferência.
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6
D
ax by c
a b
pr �
� �
�
1 1
2 2
D
D
D
D
D
pr
pr
pr
pr
p
�
� � � �
�
�
� � �
�
�
�
�
3 1 4 0 22
3 4
3 0 22
9 16
25
25
25
5
2 2
.( ) . ( )
rr � 5
Na equação da circunferência, temos a medida do raio, R2 25= , R2 25= , 
R = 5 , logo, como a distância entre o centro da circunferência é igual à medida 
do raio, temos que a nossa reta é tangente à circunferência.
Representação geométrica: 
Figura 17 - Representação geométrica do Exemplo 12 / Fonte: os autores.
Descrição da Imagem: representação da circunferência com centro C, no eixo x e a reta r tangente à circunferência.
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TEMA DE APRENDIZAGEM 8
EXEMPLO 13: Determine a posição relativa da reta de equação 2 1 0x y� � � 
e a circunferência x y x2 2 2 0� � � , e confirme com a representação geométrica.
SOLUÇÃO: verificaremos o centro da circunferência x y x2 2 2 0� � � e o raio.
Temos:
� � �
�
�
�
�
2 2
2
2
1
ax x
a x
x
a
 
� �
�
�
�
2 0
0
2
0
by
b
y
b
 
R a b
R
R
R
R
2 2 2
2 2 2
2
2
1 0 0
1
1
1
� � �
� � �
�
�
�
�
 
C(1,0)
Agora, calcularemos a distância do centro da circunferência a reta: 2 1 0x y� � �
, a=2, b=-1 e c=1.
D
ax by c
a b
pr �
� �
�
1 1
2 2
D
D
D
D
pr
pr
pr
pr
�
� � �
� �
�
� �
�
�
�
2 1 1 0 1
2 1
2 0 1
4 1
3
5
3
5
5
5
2 2
.( ) ( ).
( )
.
 
D
D
D
D
pr
pr
pr
pr
�
�
�
�
3 5
25
3 5
5
6 708
5
1 34
.
.
,
,
 
1
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8
Como a distância (d=1,34) entre o centro da circunferência e a reta é maior que a 
medida do raio da circunferência (R=1), a reta é externa à circunferência (d<R).
Representação geométrica:
Figura 18 - Representação Geométrica do exemplo 13 / Fonte: os autores.
EXEMPLO 14: Qual é a posição da reta 2 1 0x y� � � em relação à circunfe-
rência de equação x y2 2 9� � .
SOLUÇÃO: temos o centro da circunferência C(0,0) e o raio, R2 9= , 
R2 9= R = 3 .
Agora, calcularemos a distância do centro à circunferênciaà reta:
Descrição da Imagem: representação da circunferência com centro C, no eixo x, e a reta r externa à circunferência.
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D
ax by c
a b
pr �
� �
�
1 1
2 2
D
D
D
D
pr
pr
pr
pr
�
� � �
�
�
� �
�
�
�
�
�
2 0 1 0 1
2 1
0 0 1
4 1
1
5
1
5
5
5
2 2
.( ) ( ). ( )
( )
.
 
D
D
D
D
pr
pr
pr
pr
�
�
�
�
1 5
25
5
5
2 236
5
0 45
.
,
,
 
Como a distância (D=0,45) entre o centro da circunferência e a reta é menor que 
a medida do raio da circunferência 9R=3), a reta é secante à circunferência (d>R)
Figura 19 - Representação geométrica do exemplo 14 / Fonte: os autores.
Descrição da Imagem: representação da circunferência com centro C, na origem, e a reta r secante à circunferência.
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1
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS
Veremos que duas circunferências podem ser tangentes, secantes, interna, exter-
na ou concêntricas, para isso, precisaremos calcular a distância entre os centros 
das circunferências, ou seja, a distância entre os dois pontos e os elementos raio, 
diâmetro e centro serão fundamentais para o nosso estudo.
Circunferências tangentes externas
Duas circunferências são ditas tangentes externas quando possuem somente um 
ponto em comum e uma é exterior à outra. Para isso acontecer a distância entre os 
centros das duas circunferências deve ser equivalente (igual) à soma das medidas 
de seus raios: (D R ROC � �1 2 ).
Figura 20 - Circunferência tangentes externas / Fonte: os autores.
EXEMPLO 15: Verifique se a posição relativa das circunferências de equações: 
( ) ( )x y� � � �2 1 42 2 e ( ) ( )x y� � � �2 1 42 2
No plano cartesiano é considerada como tangentes externas.
Descrição da Imagem: circunferência de raio 1 e centro O é tangente a circunferência de raio 2 e centro C.
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TEMA DE APRENDIZAGEM 8
SOLUÇÃO: primeiramente, determinaremos o centro e o raio de cada cir-
cunferência; depois, calcularemos a distância entre os centros e verificar a posição 
das circunferências
 ( ) ( )x y� � � �2 1 42 2 ( ) ( )x y� � � �2 1 42 2
Co( , )2 1 
R
R
R
o
o
o
2
2
4
4
2
=
=
=
 Cc( , )−2 1 
R
R
R
c
c
c
2
2
4
4
4
=
=
=
Calculando a distância entre os centros das circunferências, temos:
D x x y y
D
D
o c c o c o
o c
o c
,
,
,
( ) ( )
[( ) ] ( )
( ) ( )
� � � �
� � � � �
� � �
2 2
2 2
2 2
2 2 1 1
4 0
DD
D
o c
o c
,
,
�
�
16
4
Agora, verificaremos se as circunferências são tangentes externas:
D R R
D
D
oc
oc
oc
� �
� �
�
1 2
2 2
4
Como a distância entre os centros das circunferências, é igual à soma da medida 
dos raios das circunferências, elas são tangentes externas.
1
8
1
Representação geométrica:
Figura 21- Representação geométrica no plano cartesiano do Exemplo 15 / Fonte: os autores.
Circunferências tangentes internas
Isso ocorre quando duas circunferências possuem apenas um ponto comum e 
uma está no interior da outra. Para que isso ocorra, a distância entre os centros das 
circunferências é igual à diferença (subtração) dos dois raios: D R ROC � �1 2 
Descrição da Imagem: circunferência de raio 1 e centro O é tangente a circunferência com raio 2 e centro C.
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1
8
3
TEMA DE APRENDIZAGEM 8
Figura 22 - Circunferências tangentes internas / Fonte: os autores.
EXEMPLO 17: Determine a posição relativa das circunferências de equações 
no plano cartesiano e comprove com a representação geométrica: 
( ) ( )x y� � � �2 1 42 2 e ( ) ( )x y� � � �2 2 12 2
SOLUÇÃO: primeiramente, determinaremos o centro e o raio de cada circun-
ferência; depois, calcularemos a distância entre os centros e verificar a posição 
das circunferências
 ( ) ( )x y� � � �2 1 42 2 ( ) ( )x y� � � �2 2 12 2
Co( , )2 1 
R
R
R
o
o
o
2
2
4
4
2
=
=
=
 Cc( , )2 2 
R
R
R
c
c
c
2
2
1
1
1
=
=
=
Calculando a distância entre os centros das circunferências, temos:
D x x y y
D
D
D
o c c o c o
o c
o c
o c
,
,
,
,
( ) ( )
[ ] ( )
( ) ( )
� � � �
� � � �
� �
2 2
2 2
2 2
2 2 2 1
0 1
��
�
1
1Do c,
Descrição da Imagem: circunferência com centro C é tangente e interna à circunferência com centro O.
1
8
4
Agora, verificaremos a posição relativa das circunferências: 
D R R
D
D
oc o c
oc
oc
� �
� �
�
2 1
3
 
A medida da distância entre os centros das circunferências é diferente da soma 
da medida dos raios das circunferências, então, elas não são tangentes externas.
D R R
D
D
oc o c
oc
oc
� �
� �
�
2 1
1
A medida da distância entre os centros das circunferências é igual à diferença da 
medida dos raios das circunferências, então, elas são tangentes internas.
Representação geométrica
Figura 23 - Representação geométrica do Exemplo 17 / Fonte: a autora.
Descrição da Imagem: circunferência com centro O é tangente e interna a circunferência com centro C.
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8
1
TEMA DE APRENDIZAGEM 8
É possível notar que as circunferências possuem apenas um ponto em comum e 
uma está no interior da outra, por isso, são tangentes internas.
Circunferências externas
Quando duas circunferências não possuem pontos em comum são consideradas 
externas; para isso acontecer a distância entre os centros das circunferências deve 
ser maior que soma das medidas de seus raios: D R ROC � �1 2
Figura 24 - Circunferências externas / Fonte: os autores.
EXEMPLO 18: Determine a posição relativa das circunferências de equações: 
( ) ( )x y� � � �2 1 42 2 e ( ) ( )x y� � � �2 1 22 2
Sabendo que a distância entre os centros das circunferências é igual a 4, comprove 
com a representação geométrica.
SOLUÇÃO: determinaremos o raio de cada circunferência, para verificar a 
posição das circunferências
 ( ) ( )x y� � � �2 1 42 2 ( ) ( )x y� � � �2 1 22 2
Co( , )2 1 
R
R
R
o
o
o
2
2
4
4
2
=
=
=
 Cc( , )−2 1 
R
R
R
R
c
c
c
c
2
2
2
2
2
1 43
�
�
�
� ,
Descrição da Imagem: circunferência com centro O é externa a circunferência com centro C.
1
8
6
Como a distância entre os centros das circunferências é igual a 4, temos:
Do c, = 4
Agora, verificaremos a posição relativa das circunferências: 
D R R
D
D
oc
oc
oc
� �
� �
�
1 2
2 1 43
3 43
,
,
 
A medida da distância entre os centros das circunferências é diferente da soma 
da medida dos raios das circunferências, a medida da distância é maior que a 
soma da medida dos raios, logo as circunferências são externas: D R ROC � �1 2
Representação geométrica: 
Figura 25 - Representação geométrica do exemplo 18 / Fonte: os autores.
Descrição da Imagem: circunferência com centro O é externa a circunferência com centro C.
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8
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TEMA DE APRENDIZAGEM 8
Circunferências Secantes
Duas circunferências são secantes quando possuem dois pontos em comum. Para 
isso, a distância entre os centros das circunferências deve ser menor que soma 
das medidas de seus raios: D R ROC � �1 2 
Figura 26 - Circunferências Secantes / Fonte: os autores.
Exemplo 19: A circunferência ( ) ( )x y� � � �2 1 42 2 é secante à circunferência 
x y2 21 2� � �( )
SOLUÇÃO: determinaremos o centro e o raio de cada circunferência: 
 ( ) ( )x y� � � �2 1 42 2 x y2 21 2� � �( )
Co( , )2 1 
R
R
R
o
o
o
2
2
4
4
2
=
=
=
 Cc( , )0 1 
R
R
R
R
c
c
c
c
2
2
2
2
2
1 43
�
�
�
� ,
Calculando a distância entre os centros das circunferências, temos:
D x x y y
D
D
D
o c c o c o
o c
o c
,
,
,
( ) ( )
[( ) ] ( )
( ) ( )
� � � �
� � � �
� � �
2 2
2 2
2 2
0 2 1 1
2 0
oo c
o cD
,
,
�
�
4
2
Descrição da Imagem: circunferência com centro C é secante a circunferência com centro O.
1
8
8
Agora, verificaremos se as circunferências são secantes: 
D R Roc � �
� �
�
1 2
2 2 1 43
2 3 43
,
,
Logo as circunferências são secantes. 
Representação geométrica: 
Figura 27 - Representação geométrica do Exemplo 19 / Fonte: os autores.
Circunferências Internas
Quando duas circunferênciasnão possuem pontos em comum e uma está lo-
calizada no interior da outra são consideradas internas. Para que isso ocorra, a 
distância entre os centros das circunferências deve ser menor à diferença entre 
as medidas de seus raios: D R ROC � �1 2 
Descrição da Imagem: circunferência com centro C é secante a circunferência com centro O.
UNIASSELVI
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8
9
TEMA DE APRENDIZAGEM 8
Figura 28 - Circunferência internas / Fonte: os autores.
Exemplo 20: Verifique a posição das circunferências ( ) ( )x y� � � �2 1 92 2 e 
( ) ( )x y� � � �1 1 12 2 e faça representação geométrica.
SOLUÇÃO: determinaremos o centro e o raio de cada circunferência para 
verificar a posição das circunferências.
 ( ) ( )x y� � � �2 1 92 2 ( ) ( )x y� � � �1 1 12 2 
Co( , )2 1 
R
R
R
o
o
o
2
2
9
9
3
=
=
=
 Cc( , )1 1 
R
R
R
c
c
c
2
2
1
1
1
=
=
=
Calculando a distância entre os centros das circunferências, temos:
D x x y y
D
D
D
o c c o c o
o c
o c
o
,
,
,
,
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
� � � �
� � � �
� � �
2 2
2 2
2 2
1 2 1 1
1 0
cc
o cD
�
�
1
1,
Descrição da Imagem: circunferência de centro C é interna a circunferência de centro O.
1
9
1
A posição relativa das circunferências será: 
D R Roc � �
� �
�
1 2
1 3 1
1 4
Portanto, as circunferências são internas.
Representação geométrica: 
Figura 29 - Representação geométrica do Exemplo 20 / Fonte: os autores.
Descrição da Imagem: circunferência de centro C é interna a circunferência de centro O.
UNIASSELVI
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9
1
TEMA DE APRENDIZAGEM 8
Circunferências Concêntricas
Duas circunferências são consideras concêntricas quando possuem o centro em 
comum. Nesse caso, a distância entre os centros é igual a zero DOC = 0 
Figura 30 - Circunferência concêntricas / Fonte: os autores.
Exemplo 21: Qual deve ser o centro da circunferência concêntrica a circunfe-
rência de equação ( ) ( )x y� � � �2 1 42 2 e faça representação geométrica.
SOLUÇÃO: para as circunferências serem concêntricas a distância entre 
os centros tem que ser nula, ou seja, as circunferências precisam ter as mesmas 
coordenadas para o centro. 
Verificaremos o centro da circunferência ( ) ( )x y� � � �2 1 42 2
Co( , )2 1 
R
R
R
o
o
o
2
2
4
4
2
=
=
=
 
Portanto, para circunferência ser concêntrica, essa tem que ter o centro em C(2,1)
Descrição da Imagem: duas circunferências com o mesmo centro, ou seja, concêntricas, com raios de tamanhos 
diferentes.
1
9
1
Representação geométrica:
Figura 31- Representação geométrica do Exemplo 21 / Fonte: os autores.
Descrição da Imagem: as circunferências com o mesmo centro, ou seja, concêntricas, com raios de tamanhos diferentes.
Neste vídeo, temos um breve resumo da posição relativa en-
tre duas circunferências.
EU INDICO
UNIASSELVI
1
9
3
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/20566
TEMA DE APRENDIZAGEM 8
NOVOS DESAFIOS
Agora, já estudamos:
 ■ A equação geral da circunferência.
 ■ A posição relativa entre ponto e circunferência, entre a reta e a circunfe-
rência e entre duas circunferências.
Alguns anos atrás, foi construído, na cidade de Campinas, em São Paulo, um 
acelerador de partículas nucleares, o Sírius. Para a sua construção, foi necessário 
o conhecimento destes conceitos estudados nesta unidade. O funcionamento 
consiste em: os aceleradores de elétrons mantêm essas partículas circulando em 
órbitas estáveis por várias horas, em ultra-alto vácuo.
Para a sua atuação profissional, é importante que você compreenda os concei-
tos estudados nesta unidade, desafie-se a compreender cada umas das deduções 
matemáticas aqui apresentadas. 
1
9
4
VAMOS PRATICAR
1. Wassily Kandinsky (1866-1944) foi um pintor russo apontado como um dos grandes 
artistas do século XX. Precursor no campo da arte abstrata, foi também teórico e pro-
fessor da Bauhaus, a célebre escola alemã.
Apesar da sua participação na vida política russa, as concepções e os preceitos artísticos 
de Kandinsky não se enquadravam na cultura soviética, que se tornava cada vez mais 
engajada. Assim, em 1921, o pintor decidiu voltar para a Alemanha.
No ano seguinte, começou a dar aulas de diversas matérias na escola de arte vanguar-
dista Bauhaus. Nessa época, influenciada pela arte avant-garde, a sua produção foi 
extremamente rica e o seu trabalho se tornou cada vez mais célebre.
Composição VIII é uma obra constituída por formas geométricas entre as quais se destaca 
o círculo, símbolo da perfeição que viria a se tornar fundamental na pintura do artista.
Por meio de um jogo de contrastes, a composição dos elementos também pode sugerir 
uma paisagem, na qual os triângulos seriam montanhas e, no canto superior esquerdo, 
os círculos representariam o sol.
Figura 1 - Composição VIII de Wassily Kandinsky / Fonte: Marcello (2023, on-line).
Descrição da Imagem: a figura apresenta uma pintura abstrata colorida, com círculos, quadrados, triângulos, 
retas e linhas sinuosas. 
1
9
1
VAMOS PRATICAR
MARCELLO, C. 10 principais obras de Wassily Kandinsky para conhecer a vida do pintor. Cultura 
Genial, 2023. Disponível em: https://www.culturagenial.com/obras-wassily-kandinsky-conhecer-
-vida-do-pintor/. Acesso em: 31 maio 2023.
No estudo da circunferência e da posição relativa a retas, existem três posições possíveis 
entre uma circunferência e uma reta, no sistema cartesiano ortogonal: a reta pode ser 
secante à circunferência, tangente à circunferência, ou externa à circunferência.
E, no estudo da posição relativa de duas circunferências, podem ser tangentes, secantes, 
interna, externa ou concêntricas.
Na obra Composição VIII, de Wassily Kandinsky, encontramos muitos elementos geomé-
tricos. 
1 - Analise a posição relativa entre as circunferências da parte da obra destacada abaixo:
 
Sabendo que o raio da circunferência vermelha maior mede 5, que o raio da circunferência 
preta mede 4, o raio da circunferência roxa mede 3, e o raio da circunferência vermelha 
pequena mede 2, o ponto A(-10, 6) e E(-6,3):
a) Descreva a posição relativa da circunferência roxa em relação à circunferência preta. 
Justifique.
b) Descreva a posição relativa da circunferência preta em relação à circunferência ver-
melha pequena. Justifique.
c) Descreva a posição relativa da circunferência roxa em relação à circunferência ver-
melha pequena. Justifique.
1
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https://www.culturagenial.com/obras-wassily-kandinsky-conhecer-vida-do-pintor/
https://www.culturagenial.com/obras-wassily-kandinsky-conhecer-vida-do-pintor/
VAMOS PRATICAR
2. Existem três posições possíveis entre uma circunferência e uma reta, no sistema car-
tesiano ortogonal: a reta pode ser secante à circunferência, tangente à circunferência, 
ou externa à circunferência.
NICOLODI, J. E.; NICOLODI, R. Geometria Analítica. Indaial: Uniasselvi, 2013. 
Figura 2 - Equação ( ) ( )x y� � � �2 2 82 2 / Fonte: o autor.
Na figura, temos representada a circunferência de equação ( ) ( )x y� � � �2 2 82 2 , e 
os seguintes pontos: A (0,4), B(2,6), D(10,-1), E(2,-1), F(0,0) e G(-2,3).
Qual será a posição relativa da reta que passa por: AB, BD e EG? Justifique com argu-
mentos matemáticos a sua resposta.
1
9
7
VAMOS PRATICAR
3. Duas circunferências podem ser tangentes, secantes, interna, externa ou concêntricas, 
para isso, precisaremos calcular a distância entre os centros das circunferências, ou 
seja, a distância entre os dois pontos.
NICOLODI, J. E.; NICOLODI, R. Geometria Analítica. Indaial: Uniasselvi, 2013. 
Classifique as afirmativas em verdadeira (V) ou falsa (F):
I - As circunferências são tangentes externas quando as duas circunferências possuem 
somente um ponto em comum, e uma é exterior à outra (D R ROC � �1 2 ).
II - As circunferências são externas, quando duas circunferências possuem todos os 
pontos em comum (D R ROC � �1 2 ).
III - As circunferências são secantes quando possuem um ponto em comum
(D R ROC � �1 2 ).
É correto o que se afirma em:
a) I, apenas.
b) III, apenas.
c) I e III.
d)II e III.
e) I, II e III.
4. A fórmula para equação reduzida da circunferência é a expressão ( ) ( )x a y b R� � � �2 2 2 . 
Para determinar a equação de uma circunferência, precisamos saber o seu centro C(a,b) e 
o seu raio (R).
NICOLODI, J. E.; NICOLODI, R. Geometria Analítica. Indaial: Uniasselvi, 2013. 
Qual a equação reduzida das circunferências que tem: C(-2,5) e r=3 e C(1,2) e R=4, res-
pectivamente.
1
9
8
VAMOS PRATICAR
a) ( ) ( )x y� � � �2 5 32 2 e ( ) ( )x y� � � �1 2 42 2
b) ( ) ( )x y� � � �2 5 92 2 e ( ) ( )x y� � � �1 2 162 2
c) ( ) ( )x y� � � �2 5 92 2 e ( ) ( )x y� � � �1 2 42 2
d) ( ) ( )x y� � �2 32 2 e ( ) ( )x y� � � �1 2 162 2
e) x y2 25 9� � �( ) e ( ) ( )x y� � � �1 2 42 2
5. Um ponto pode assumir três posições diferentes em relação a uma circunferência: 
interna, pertencente à circunferência e externo. Para verificar a posição de um ponto 
no plano cartesiano em relação e uma circunferência vamos calcular a distância do 
ponto até o centro da circunferência e analisar o resultado obtido.
NICOLODI, J. E.; NICOLODI, R. Geometria Analítica. Indaial: Uniasselvi, 2013. 
Com base nas informações apresentadas, avalie as asserções a seguir e a relação pro-
posta entre elas:
I - O ponto é interno à circunferência.
PORQUE
II - A distância do ponto ao centro da circunferência é igual à medida do raio da circun-
ferência.
A respeito destas asserções, assinale a opção correta.
a) As asserções I e II são verdadeiras, e a II é justificativa correta da I.
b) As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é justificativa correta da I.
c) A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
d) A asserção I é uma proposição falsa, e a II é proposição verdadeira.
e) As asserções I e II são falsas.
1
9
9
REFERÊNCIAS
CONDE, A. Geometria analítica. São Paulo: Atlas, 2004.
CORRÊA, P. S. Q. Álgebra linear e geometria analítica. Rio de Janeiro: Interciência, 2006.
IEZZI, G. Fundamentos de matemática elementar: geometria analítica. 5. ed. São Paulo: 
Atual, 2005.
JULIANELLI, J. R. Cálculo vetorial e geometria analítica. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 
2008.
MELLO, D. A. de; WATANEBE, R. G. Vetores e uma iniciação a geometria analítica. São 
Paulo: [s. n.], 2009.
PROBLEMAS. 2023. Disponível em: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm27/proble-
mas.htm. Acesso em: 30 ago. 2013.
REIS, G. L. dos. Geometria analítica. 2. ed. Rio de Janeiro: [s. n.], 2008.
SANTOS, F. J. dos; FERREIRA, S. F. Geometria analítica. Porto Alegre: Bookman, 2009.
3
1
1
1. 
Fórmula
D x x y yA B B A B A, ( ) ( )� � � �2 2
a. São concêntricas e internas. Porque o ponto A é o centro das duas circunferências, 
e uma está dentro da outra.
b. São secantes, pois a soma dos raios é menor que a distância entre os centros das 
duas circunferências.
c. São externas, pois a soma dos raios é maior que a distância entre os centros das 
duas circunferências.
2. 
Fórmula
ax c by� � 
D
ax by c
a b
pr �
� �
�
1 1
2 2
A medida do raio da circunferência é: 
R
R
R
2 8
8
2 2 2 83
�
�
� � ,
 
1. Vamos encontrar a equação da reta AB:
ax c y� �
Substituindo os valores do ponto A: Substituindo os valores do ponto B:
 
a c
c
0 4
4
� �
�
 
2 4 6
6 4
2
1
a
a
a
� �
�
�
�
 
GABARITO
3
1
1
x y� � �4 0
D
ax by c
a b
D
D
D
D
pr
pr
pr
pr
pr
�
� �
�
�
� �
�
�
�
�
1 1
2 2
2 2
1 2 1 2 4
1 1
4
2
4
2
2
2
4 2
2
* *
*
�� 2 2
Como a distância da reta AB ao centro da circunferência é exatamente o tamanho do raio, 
a reta é tangente à circunferência.
2. Vamos encontrar a equação da reta BD:
ax c y� �
Substituindo os valores do ponto B: Substituindo os valores do ponto D:
 2 6a c� � 10 1a c� � � 
Realizando as contas, a equação da reta é � � � �
7
8
31
4
0x y ou 7 8 62 0x y� � � 
GABARITO
3
1
1
D
ax by c
a b
D
D
D
pr
pr
pr
pr
�
� �
�
�
� �
�
�
�
�
1 1
2 2
2 2
7 2 8 2 62
7 8
32
113
32
113
1
* *
*
113
113
32 113
113
3 01Dpr � � ,
Como a distância da reta BD ao centro da circunferência é maior que a medida do raio, a 
reta é externa a circunferência.
3. Vamos encontrar a equação da reta EG:
ax c y� �
Substituindo os valores do ponto E: Substituindo os valores do ponto G:
 2 1a c� � � � � �2 3a c 
Realizando as contas a equação da reta é x y� � �1 0 .
GABARITO
3
1
3
D
ax by c
a b
D
D
D
pr
pr
pr
pr
�
� �
�
�
� � � �
� � �
�
�
1 1
2 2
2 2
1 2 1 2 1
1 1
3
2
( )* ( )*
( ) ( )
��
� �
3
2
2
2
3 2
2
2 12
*
,Dpr
Como a distância da reta EG ao centro da circunferência é menor que a medida do raio, 
a reta é secante à circunferência.
3. A.
I. Correta
II. Falsa: a afirmação verdadeira seria: as circunferências são externas quando duas 
circunferências NÃO possuem pontos em comum (D R ROC � �1 2 ).
III. Falsa: a afirmação verdadeira seria: As circunferências são secantes quando possuem 
DOIS pontos em comum (D R ROC � �1 2 ).
4. B.
Sabendo o centro e o raio, é possível escrever a equação da circunferência:
C(a, b) é: x a y b R � �� � � �� �2 2 2 .
5. C.
A segunda asserção está errada:
I. A distância do ponto ao centro da circunferência é igual à medida do raio da circun-
ferência.
GABARITO
3
1
4
MINHAS ANOTAÇÕES
3
1
1
MINHAS METAS
A GEOMETRIA ANALÍTICA E O 
ESTUDO DAS CÔNICAS
ME. MÁRCIA ERONDINA DIAS DE SOUZA DA SILVA
Identificar uma secção cônica por meio dos seus elementos.
Classificar a cônica descrita pela equação geral.
Representar, geometricamente, as cônicas estudadas nesta unidade.
Diferenciar os elementos geométricos da elipse, da parábola e da hipérbole.
Relacionar o estudo das cônicas com o nosso cotidiano profissional.
T E M A D E A P R E N D I Z A G E M 9
3
1
6
INICIE SUA JORNADA
Prezado(a) aluno(a), proporemos um pequeno desafio. O dono de um pes-
queiro tem dois tanques. Neles, é criada uma variedade de espécies de peixes, 
para que os clientes realizem a pescaria e, depois, paguem. O primeiro tanque 
tem formato circular, enquanto o segundo tem formato quadrado. Com o 
objetivo de ampliar a renda e estilizar o estabelecimento, o dono do pesquei-
ro decidiu destinar outra área do terreno para a construção de um terceiro 
tanque. Essa área tem forma retangular, mas, dentro dela, o tanque deverá ter 
a forma de uma elipse. O que você faria para ajudá-lo? De quais informações 
e dados você precisa dispor para resolver esse problema?
As cônicas ou secções cônicas são curvas que podem ser obtidas a partir 
da intersecção entre um plano e um cone duplo. De acordo com a inclinação 
desse plano, a curva será chamada de elipse, hipérbole ou parábola. Essas 
curvas já eram conhecidas, admiradas e estudadas desde a Antiguidade. Por 
exemplo, o filósofo e astrônomo Johannes Kepler (1571–1630) foi quem de-
duziu que as órbitas planetárias eram elípticas, e não circulares, assim como 
se pensava na época. Já Apolônio de Perga (262 a.C.–194 a.C.), matemático 
e astrônomo grego, dedicou parte da vida ao estudo das cônicas, dando uma 
contribuição ímpar para a matemática com a obra As Cônicas. 
É interessante ressaltar que as curvas estudadas nesta unidade podem 
simplesmente ser obtidas por meio de uma interseção entre um plano e um 
cone, mas a representação matemática delas se dá justamente pelas equações 
de grau dois. Assim, conhecer e identificar uma secção cônica, a equação e 
a curva dela com os demais elementos é o principal objetivo desta unidade.
Neste podcast, resolveremos o problema do pesqueiro, 
como construir o tanque elíptico e quais as medidas utiliza-
das. Ouça atentamente.
PLAY NO CONHECIMENTO
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TEMA DE APRENDIZAGEM 9
DESENVOLVA SEU POTENCIAL 
CURVAS CÔNICAS
As curvas elíticas são objetos de estudos desde a Antiguidade. Apolônio de Perga,matemático e astrônomo grego, é considerado um dos pioneiros no estudo das 
cônicas. Outro ilustre estudioso que se dedicou aos estudos dessas curvas foi 
Johannes Kleper (1571–1630), filósofo e astrônomo que deduziu que as órbitas 
planetárias eram elípticas, e não circulares. Devido às propriedades físicas, es-
sas curvas têm inúmeras aplicações, como na acústica, na natureza, na arte e na 
arquitetura. Enfim, são inúmeras as aplicações das curvas elípticas e conhecer a 
teoria que as embasa é de extrema importância para a ciência.
Primeiramente, para que possamos dar sequência ao desafio, é necessário 
saber o que é uma elipse. Afinal, o que caracteriza essa curva? Para efeitos ilustrati-
vos, faremos uma experiência e precisamos de alguns objetos: uma madeira plana 
no formato retangular, dois pregos, um barbante e um lápis. Na madeira, com o 
maior lado na horizontal, na “posição paisagem”, marque, aproximadamente, o 
centro da madeira com um lápis. Depois, desenhe duas retas passando pelo centro 
da madeira, sendo uma reta horizontal e a outra reta vertical (perpendiculares).
Ainda, na reta horizontal, marque dois pontos simétricos em relação ao cen-
tro, ou seja, um ponto à esquerda e outro ponto à direita. Agora, sobre cada um 
desses novos pontos, pregue um prego e, em cada prego, amarre o barbante com 
certa folga, mas de tal maneira que, ao esticá-lo para qualquer lado, o barbante 
não saia da madeira. Para finalizar, use o lápis apoiado no barbante esticado e 
faça um contorno ao redor dos pregos até completar uma volta completa. Esse 
é o desenho de uma elipse. Acabamos de desenhar uma elipse, mas nada foi for-
malmente definido. Desse modo, precisamos analisar algumas questões:
VAMOS RECORDAR?
Nesta unidade de estudo, teremos algumas deduções 
matemáticas e utilizaremos muitas propriedades algébri-
cas. Vamos recordar a conhecida como completar quad-
rados? Assista ao vídeo a seguir.
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Elipse
Agora nos dedicaremos a estudar 
os elementos do objeto que dese-
nhamos, a ELIPSE. Nomearemos 
os pregos, como os focos F1 e F 2 .
Geometricamente, é possível 
obter uma elipse por meio da in-
tersecção do cone com um plano.
Sejam F1 e F 2 dois pontos do 
plano xy , cuja distância entre eles 
é igual a 2c ao conjunto de pontos 
P (x,y) do plano xy , tais que: 
d P F d P F a( , ) ( , )1 2 2� � 
Em que a c> damos o nome de 
elipse. Assim, a elipse é o lugar 
geométrico dos pontos P (x,y), 
cuja soma das distâncias de dois 
pontos fixos é uma constante. Essa 
curva pode ser obtida por meio da 
interseção entre o plano e o cone. 
O plano deve ser inclinado em re-
lação ao eixo do cone, e não para-
lelo à geratriz.
Os pontos F1 e F 2 são focos 
da elipse e o ponto médio do seg-
mento F F1 2 é o centro C da elip-
se. O segmento A A1 2 é chamado 
de eixo maior (contém os focos) 
e a distância 2c entre F1 e F 2 é 
chamada de distância focal.
Figura 1 - Interseção entre um cone e um plano
Fonte: os autores.
Figura 2 - Elipse com o auxílio de dois pregos, um bar-
bante e uma caneta / Fonte: os autores.
Descrição da Imagem: na figura, há um cone cortado por 
um plano inclinado em relação ao eixo dele. Isso resulta 
em uma curva chamada elipse.
Descrição da Imagem: na figura, há o desenho de uma 
elipse, o qual foi obtido a partir de dois pregos represen-
tados pelos pontos F1 e F2, conhecidos como focos. Há 
um barbante esticado e preso aos pregos e um lápis foi 
utilizado para obter o traçado da curva.
1F 2F
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TEMA DE APRENDIZAGEM 9
O segmento B B1 2 é o eixo menor e é perpendicular ao segmento A A1 2 . Os 
pontos A1 , A2 , B1 e B2 são os vértices e o número e
c
a
= é chamado de excen-
tricidade da elipse. Note que, a partir do Teorema de Pitágoras, temos:
C 2b
2c
2a
2F1F
1A 2A
2B
1B
Figura 3 - Elementos e eixos / Fonte: os autores.
Figura 4 - Elipse e relação de Pitágoras / Fonte: os autores.
Descrição da Imagem: na figura, há uma elipse com o eixo maior na horizontal e o eixo menor na vertical. Também 
há o centro C, os vértices A1, A2, B1, B2 e os focos F1 e F2. Além disso, estão representadas as medidas do eixo 
maior 2a, do eixo menor 2b e da distância focal 2c.
Descrição da Imagem: na figura, há uma elipse com os pontos focais F1 e F2, um triângulo retângulo com catetos 
b, c e hipotenusa a.
1F 2F
a
b
c
2 2 2a b c� �
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1
Em que 0 1< <e , pois c a< .
1º Caso: eixo maior está sobre o eixo x com centro na origem O.
Considere a elipse com foco F c1 0( , )− , F c2 0( , ) e a b> . Se P x y( , ) é um 
ponto da elipse, temos:
Figura 5 - Elipse como lugar geométrico / Fonte: os autores.
Descrição da Imagem: na figura, há uma elipse desenhada em um plano cartesiano com eixos x e y. No eixo 
horizontal, encontram-se, à esquerda da origem, os pontos -a, F1(-c,0). Por outro lado, à direita, estão os pontos 
F2(c,0) e +a. No eixo vertical y, abaixo da origem, encontram-se o ponto -b e, acima da origem, o ponto b.
-a a
x
y
b P
-b
1F (-c,0) 2F (c,0)
d P F d P F a( , ) ( , )1 2 2� �
( ) ( ) ( ) ( )x c y x c y a� � � � � � � �2 2 2 20 0 2 (utilizando a fórmula da 
distância entre dois pontos)
� ( ) ( )x c y x c y a� � � � � �2 2 2 2 2 (resolvendo ( )y −0 2 )
( ) ( )x c y a x c y� � � � � �2 2 2 22 (subtraindo em ambos os lados da 
igualdade o termo: ( )x c y� �2 2 )
( ( ) ) ( ( ) )x c y a x c y� � � � � �2 2 2 2 2 22 (elevando ambos os lados da 
igualdade ao quadrado)
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TEMA DE APRENDIZAGEM 9
( ) ( ) ( )x c y a a x c y x c y� � � � � � � � �2 2 2 2 2 2 24 4 
x xc c a a x c y x xc c2 2 2 2 2 2 22 4 4 2� � � � � � � � �( ) (subtraindo y2 em 
ambos os lados da igualdade e desenvolvendo os termos ( )x c− 2 e ( )x c+ 2 )
4 4 42 2 2a x c y a xc( )� � � � (reduzindo os termos semelhantes)
a x c y a xc( )� � � �2 2 2 (dividindo ambos os lados da igualdade por 4)
( ( ) ) ( )a x c y a xc� � � �2 2 2 2 2 (elevando ambos os lados da igualdade 
ao quadrado)
a x c y a a xc x c2 2 2 4 2 2 22[( ) ]� � � � �
a x xc c y a a xc x c2 2 2 2 4 2 2 22 2( )� � � � � � (resolvendo o termo ( )x c− 2 )
a x a xc a c a y a a xc x c2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 22 2� � � � � �
a x a c a y a x c2 2 2 2 2 2 4 2 2� � � � (reduzindo os temos semelhantes)
a x x c a y a a c2 2 2 2 2 2 4 2 2� � � �
x a c a y a a c2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( )� � � � (colocando em evidência x² e a²)
Na elipse, temos: a b c2 2 2� � , logo a c b2 2 2� � . Substituindo na equação 
anterior, há o seguinte resultado:
x b a y a b2 2 2 2 2 2� �
Dividindo ambos os lados da igualdade por a b2 2 , obtemos:
x
a
y
b
2
2
2
2 1� �
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A última equação é chamada equação reduzida da elipse.
2º Caso: eixo maior está sobre o eixo y com centro na origem O.
Sejam F c1 0( , )− , F c2 0( , ) os focos da elipse, utilizando o raciocínio do caso 
anterior, podemos deduzir a equação:
x
b
y
a
2
2
2
2 1� �
Note que a , b e c são constantes reais positivas. Além disso, a b c2 2 2� � , logo, 
a b2 2> . Portanto, a b> . Isso significa que o eixo maior será aquele cujo deno-
minador é maior.
y
x
y
x
2F (c,0)
1F (c,0)
aa
a
b
b
c
1A
2A
2B
1B
a) Elementos, vértices e focos b) Teorema de Pitágoras
Figura 6 (a) - Elementos, vértices e focos; (b) Teorema de Pitágoras / Fonte: os autores.
Descrição da Imagem: na Figura 6(a), há um plano cartesiano com eixos x e y. Nele, encontra-se o desenho de 
uma elipse. A curva tem eixo maior vertical, com focos F1(0,-c) e F2(0,c). Ainda na vertical, estão os vértices A1 e 
A2. No eixo horizontal x, encontram-se os vértices do eixo menor B1, à esquerda da origem do plano cartesiano, 
e, à direita, o vértice B2. Já na Figura 6 (b), encontra-se outro plano cartesiano. Nele, há uma elipse com eixo 
maior vertical e, dentro dessa curva, um triângulo retângulo com catetos medindo b e c e hipotenusa medindo a.
EXEMPLO 1: esboce o gráfico da elipse cuja equação é 9 16 1442 2x y� � . De-
pois, obtenha os elementos, isto é, os focos, os vértices, os eixos, a distância focal, 
o centro e a excentricidade.SOLUÇÃO: temos:
9 16 1442 2x y� �
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1
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TEMA DE APRENDIZAGEM 9
Dividindo ambos os lados da igualdade por 144, obtemos:
9
144
16
144
144
144
2 2x y
� �
Simplificando:
x y
x y
2 2
2
2
2
2
16 9
1
4 3
1
� �
� �
Para x = 0 , temos y � �3 , ou seja, os pontos (0, -3) e (0,3) são pontos da elipse. 
Para y = 0 , temos x � �4 , isto é, (-4,0) e (4,0), também, são pontos da elipse. Além 
disso, como 16 > 9, o eixo maior está sobre o eixo x , em que a = 4 e b = 3 . Agora, 
obteremos os focos dessa elipse, cujo centro está na origem C(0,0). Assim, temos:
a b c
c
c
2 2 2
2 2 24 3
7
� �
� �
�
Portanto, os focos são F1 7 0( , )− , F 2 7 0( , ) , com distância focal 
d F F( , )1 2 2 7= , eixo maior com extremidades nos pontos A1 4 0( , )− e A2 4 0( , ) 
e tamanho d A A(� , )1 2 8= . O eixo menor tem vértices nos pontos B1 0 3( , )− e 
B2 0 3( , ) e tamanho d B B(� , )1 2 6= . Segue que e
c
a
= , logo, e =
7
4
, ou seja, 
e ≅ 0 66, . Graficamente, temos:
y
x
-3
4-4
3
1B
2B
2A1A 1F 2F
7� 7
Figura 7 - Representação geométrica do 
Exemplo 1 / Fonte: os autores.
Descrição da Imagem: na figura, há uma elipse 
com centro na origem, eixo maior na horizontal 
(x) e vértices A1, A2, cujas abscissas são -4 e 4, 
respectivamente. Os focos estão na horizontal, 
F1 e F2, com coordenadas e . No eixo vertical 
(y), estão os vértices do eixo menor, B1 e B2, com 
coordenadas -3 e 3, respectivamente. 
3
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4
Perceba que, dada equação reduzida 
x
a
y
b
2
2
2
2 1� � , em que a > b, o valor de a nos 
fornece as coordenadas dos vértices do eixo maior, A1 e A2 , enquanto o valor b nos 
fornece as coordenadas dos vértices do eixo menor B1 e B2 . Por fim, o valor de c, 
obtido pela relação de Pitágoras, fornece-nos as coordenadas dos focos F1 e F 2 .
Figura 8 - Equação elementos e gráfico / Fonte: os autores.
Descrição da Imagem: na figura, há um esquema para a construção da elipse. Caso a > b, primeiro, encontra-se 
a equação reduzida. A partir dos valores de a e b, calcula-se o valor de c (Teorema de Pitágoras). De posse dos 
valores de a, b e c, podem ser obtidas as coordenadas de A1 e A2 a partir de a, depois, B1 e B2 a partir de b e, 
por último, as coordenadas de F1 e F2 partindo do valor de c. Para finalizar, no plano cartesiano, são marcados 
os seis pontos obtidos e é traçado o gráfico da elipse.
1 2a - A (-a,0) e A (a,0)
y
x
1A 2A
2B
1B
1F 2F
Elipse com eixo
maior horizontal
Para o caso; a>b
2 2
2 2 1
x y
a b
� �
2 2c= a -b
1 2a - A (-a,0) e A (a,0)
1 2b - B (0,-b) e B (0,b)
1 2c - F (-c,0) e F (c,0)
EXEMPLO 2: esboce o gráfico da elipse cuja equação é 49 4 196 02 2x y� � � . 
Obtenha os elementos e construa o gráfico dela. 
SOLUÇÃO: temos:
49 4 196 0
49 4 196
49
196
4
196
196
196
4 49
1
2 2
2 2
2 2
2 2
x y
x y
x y
x y
x
� � �
� �
� �
� �
22
2
2
22 7
1� �y
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TEMA DE APRENDIZAGEM 9
Como 49 > 4, logo, o eixo maior está sobre o eixo y, em que a = 7 e b = 2. A 
partir de Pitágoras, temos:
a b c
c
c
2 2 2
2 2 27 2
3 5
� �
� �
�
Para x = 0 , temos y � �7 . Logo os vértices do eixo maior são A1 0 7,�� � e 
A2 0 7,� � . Para y = 0 , temos x � �2 . Assim, os vértices do eixo menor são 
B1 2 0�� �, e B2 2 0,� � . Os focos dessa elipse, cujo centro está na origem C(0,0), 
são F1 0 3 5( , )− , F 2 0 3 5( , ) , cuja distância focal d F F( , )1 2 6 5= e a excen-
tricidade é e =
3 5
7
, ou seja, e ≅ 0 96, . 
Figura 9 - Representação geométrica do exemplo 2 / Fonte: os autores.
Descrição da Imagem: na figura, há um plano cartesiano com eixos x e y. Nele, há uma elipse com eixo maior 
vertical e vértices A1 e A2, com ordenadas -7 e 7. Também, há o eixo menor horizontal com vértices B1 e B2 e 
abscissas -2 e 2, respectivamente.
y
x
-2 2
7
-7
1A
2A
2B1B
1 2a - A (-a,0) e A (a,0)
EXEMPLO 3: um caso particular 
x y2 2
25 25
1� �
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SOLUÇÃO: no exemplo, temos 25 = 25. Logo, a = b = 5 e, sendo a b c2 2 2� � 
segue que c = 0. Assim, F F C1 20 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , )= = , ou seja, a elipse se reduz a 
uma circunferência de raio igual a 5.
Figura 10 (a) - Circunferência; (b) - Intersecção entre o cone e o plano / Fonte: os autores.
Figura 11 - Elipse conhecendo o centro, o foco e a medida do eixo maior / Fonte: os autores.
Descrição da Imagem: na Figura 10 (a), há um plano cartesiano com eixos x e y. Nele, observa-se o desenho de 
uma circunferência de raio 5. Na Figura 10 (b), há um cone e um plano perpendicular ao eixo desse cone, cuja 
interseção resulta em um caso particular da elipse, conhecido como “circunferência”.
Descrição da Imagem: na figura, há um plano cartesiano com eixos x e y. Também, há centro C na origem, foco 
F sobre o eixo x distante três unidades à direita do centro.
y
x
5
5
-5
-5
a) circunferência b) Intersecção entre o cone e o plano
1 2a - A (-a,0) e A (a,0)
Note a excentricidade e
c
a
= = =
0
5
0 , ou seja, a circunferência é um caso particu-
lar da elipse, cuja excentricidade é nula. Assim, quanto menor for a excentricidade, 
menor será a distância focal e mais “semelhante” a uma circunferência se torna a 
elipse. Por outro lado, quanto maior for a excentricidade, isto é, mais próxima de 
valor 1, mais “achatada” fica elipse, ou seja, ela se aproxima do eixo maior.
EXEMPLO 4: obtenha o gráfico e a equação da elipse com centro na origem 
C( , )0 0 , sabendo que um dos focos é F ( , )3 0 e a medida do eixo maior é igual a 8.
SOLUÇÃO: geometricamente, temos a seguinte informação: 
C F
x
y
1 2a - A (-a,0) e A (a,0)
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TEMA DE APRENDIZAGEM 9
Como um dos focos tem coordenadas (3,0) e o centro é C(0,0), logo, pela simetria, 
o outro foco é (-3,0) e o eixo maior está sobre o eixo x, em que c = 3. Além disso, 
a elipse tem equação do tipo:
x
a
y
b
2
2
2
2 1� �
Por hipótese, o eixo maior igual mede oito unidades, ou seja, 2 8a = , logo, a = 4
. Pelo Teorema de Pitágoras, temos:
a b c
b
b
2 2 2
2 2 24 3
7
� �
� �
�
Portanto, a equação reduzida é: 
x y2
2
2
24 7
1� �
( )
 ou 
x y2 2
16 7
1� �
Os elementos dessa curva cônica são A1 4 0�� �, , A2 4 0,� � , B1 0 7,�� � , 
B2 0 7,� � , F1 3 0( , )− e F 2 3 0( , ) e a excentricidade é e = =34 0 75, .
y
x
-4 4
1F 2F
7�
7
1 2a - A (-a,0) e A (a,0)
Figura 12 - Elipse com eixo maior horizontal / Fonte: os autores.
Descrição da Imagem: na figura, há um plano cartesiano com eixos x e y. Nele, há o gráfico de uma elipse com 
eixo maior horizontal (x) com abscissas -4 e 4. Também, há o eixo menor (y) com ordenadas - e . Além disso, sobre 
o eixo x, estão localizados os focos F1 e F2, cujas abscissas são -3 e 3, respectivamente.
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Elipse com centro fora da origem do sistema cartesiano
1º Caso: eixo maior paralelo ao eixo x.
Partindo da definição de lugar geométrico, é possível deduzir a equação da 
elipse com centro fora da origem do sistema cartesiano de maneira análoga à 
equação geral da elipse com centro na origem.
Sejam a o centro e P x y( , ) um ponto genérico dessa elipse com focos 
F h c k1( , )− e F h c k2( , )+ . Assim, temos:
Figura 13 - Elipse com eixo maior horizontal e centro C h k( , ) / Fonte: os autores.
Descrição da Imagem: na figura, há uma elipse com centro no ponto C(h,k), eixo maior horizontal e vértices 
A1(h-a,k) e A2(h+a,k). Também, há o eixo menor com vértices B1(h,k-b) e B2(h,k+b) bem como focos F1 e F2 
sobre o eixo maior.
1 2a - A (-a,0) e A (a,0)
k-b
k
k+b
y
h-a h+ah
2B
1B
1F 2F
2A
1A C
P
d P F d P F a( , ) ( , )1 2 2� �
[ ( )] ( ) [ ( )] ( )x h c y k x h c y k a� � � � � � � � � �2 2 2 2 2
Calculando algebricamente, concluímos que:
( ) ( )x h
a
y k
b
�
�
�
�
2
2
2
2 1
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TEMA DE APRENDIZAGEM 9
Ela representa a equação reduzida da elipse com centro em C h k,� � e 
eixo maior paralelo ao eixo x . Observe que os vértices têm coordena-
das A h a k1( , )− , A h a k2( , )+ , B h k b1( , )− e B h k b2( , )+ e os focos são 
F h c k1( , )−e F h c k2( , )+ . Note ainda, que, para h k= = 0 , o centro tem 
coordenadas C( , )0 0 , o que corresponde ao caso da elipse com centro na 
origem do plano cartesiano.
EXEMPLO 5: esboce o gráfico da elipse cuja equação é dada por 
( ) ( )x y�
�
�
�
1
4
3
1
1
2 2
SOLUÇÃO: como 4 > 1, então, o eixo maior é paralelo ao eixo x e o centro 
tem coordenadas C( , )−1 3 . Para obteremos as coordenadas dos vértices, po-
demos substituir por y = 3 e obtemos x � �3 ou x =1 . Analogamente, para 
x � �1 , temos y = 2 ou y = 4 . Logo, os vértices têm coordenadas A1 3 3( , )− , 
A2 1 3( , ) , B1 1 2( , )− e B2 1 4( , )− .
Além disso, temos 2 12 2 2� � c , ou seja, c = 3 . Portanto, a excentricidade 
é e =
3
2
 e os focos são F1 1 3 3( , )− − e F 2 1 3 3( , )� � .
Figura 14 - Elipse com eixo maior horizontal e centro C(-1,3) / Fonte: os autores.
Descrição da Imagem: na figura, há um plano cartesiano com eixos x e y. Nele, há uma elipse com eixo maior 
paralelo ao eixo x e vértices A1(-3,3) e A2(1,3). O centro é C(-1,3) e o eixo menor é vertical, com coordenadas 
B1(-1,2) e B2(-1,4).
y
4
-3 -1 1
2
1A 2A
2B
1B
1F 2F
1 2a - A (-a,0) e A (a,0)
3
1
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EXEMPLO 6: dada a equação 4 9 8 36 4 02 2x y x y� � � � � , obtenha a equação 
reduzida, o centro, os vértices e os focos.
Figura 15 - Equação, elementos e gráfico / Fonte: os autores.
Descrição da Imagem: na figura, há um esquema para a construção da elipse com eixo maior horizontal e centro 
C(h,k). Quando a>b, primeiro, encontra-se a equação reduzida. A partir dos valores de a e b, calcula-se o valor de 
c (Teorema de Pitágoras). De posse dos valores de a, b e c, partindo das coordenadas h e k, podem ser obtidas 
as coordenadas de A1 e A2 utilizando o valor de a, depois, de B1 e B2 utilizando o valor de b e, por último, as 
coordenadas de F1 e F2 utilizando o valor de c. Para finalizar, no plano cartesiano, marcam-se os sete pontos 
obtidos e é traçado o gráfico da elipse.
Para obtermos as coordenadas dos elementos de uma elipse, primeiro, 
escrevemos a equação de forma reduzida e retiramos os valores de a e b .
( ) ( )x h
a
y k
b
�
�
�
�
2
2
2
2 1
Para encontrar o c, utilizamos o Teorema de Pitágoras: a b c2 2 2� � .
a nos fornece as coordenadas de A h a k1( , )− e A h a k2( , )+
b nos fornece as coordenadas de B h k b1( , )− e B h k b2( , )+
c nos fornece as coordenadas de F h c k1( , )− e F h c k2( , )+
ZOOM NO CONHECIMENTO
y
x1
A 2A
2B
1B
1F 2F
Elipse com eixo
maior na horizontal
Para o caso: C9h,k) e a>b
2 2
2 2
(x-h) (y-k)+ =1
a b
2 2c= a -b
c
1 2b - B (h,k - b) e B (h,k + b)
1 2a - A (h - a,k) e B (h + a,k)
1 2c - F (h - c,k) e F (h + c,k)
1 2a - A (-a,0) e A (a,0)
k
h
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1
1
TEMA DE APRENDIZAGEM 9
SOLUÇÃO: temos: 
4 9 8 36 4 0
4 8 9 36 4 0
4 2 9 4 4 0
2 2
2 2
2 2
x y x y
x x y y
x x y y
� � � � �
� � � � �
� � � � �( ) ( )
Completando o quadrado: 
4 2 1 1 9 4 4 4 4 02 2( ) ( )x x y y� � � � � � � � �
4 1 1 9 2 4 4 0
4 1 4 9 2 36 4 0
4
2 2 2 2
2 2 2 2
[( ) ] [( ) ]
( ) ( )
(
x y
x y
x
� � � � � � �
� � � � � � �
22 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2
2
1
36
9 2
36
36
36
1
9
2
4
1
1
3
2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
) ( )
( ) ( )
( ) (
y
x y
x y ))2
22
1�
Como 9 > 4, então, o eixo maior é paralelo ao eixo x , cujo centro é C( , )1 2
. Além disso, temos a = 3 e b = 2 , logo, c = 5 . Os vértices têm coordena-
das A A1 11 3 2 2 2( , ) ( , )� � � e A A2 21 3 2 4 2( , ) ( , )� � , B B1 11 2 2 1 0( , ) ( , )� � e 
B B2 21 2 2 1 4( , ) ( , )� � , F1 1 5 2( , )− e F 2 1 5 2( , )+ .
Figura 16 - Elipse com eixo maior 
horizontal e centro C(1,2)
Fonte: os autores.
Descrição da Imagem: na fi-
gura, há um plano cartesiano 
com eixos x e y. Nele, obser-
va-se o desenho de uma elip-
se com eixo maior horizontal 
paralelo ao eixo x. Também, 
são expostos os vértices A1(-
2,2) e A2(4,2) e o eixo menor 
vertical paralelo ao eixo y, com 
vértices B1(1,0) e B2(1,4).
y
2
-2 1 4
1A 2A
2B
1B
1F 2F
4
1 2a - A (-a,0) e A (a,0)
3
1
1
2º Caso: eixo maior paralelo ao eixo y.
A equação da elipse com centro em C h k( , ) é dada por:
( ) ( )x h
b
y k
a
�
�
�
�
2
2
2
2 1
E pode ser deduzida de forma análoga à anterior:
Figura 17 - Elipse com eixo maior vertical 
e centro C(h,k) / Fonte: os autores.
Descrição da Imagem: na figura, há 
um plano cartesiano com eixos x e y. 
Nele, há uma elipse com centro C(h,k), 
eixo maior vertical e vértices A1(h,k-a) 
e A2(h,k+a). Também, são expressos 
o eixo menor horizontal com vértices 
B1(h-b,k) e B2(h+b,k) e os focos F1 e 
F2 sobre o eixo vertical.
y A2
A1
B2
x
B1
k
k + a
k - a
F2
C
F1
h - b h h + b
Em que os vértices são A h k a1( , )− e A h k a2( , )+ , B h b k1( , )− e B h b k2( , )+
EXEMPLO 7: construa uma elipse com centro C( , )2 3 , eixo maior medin-
do dez unidades e paralelo ao eixo y , eixo menor medindo oito unidades e a 
equação reduzida.
SOLUÇÃO: o eixo maior dessa elipse tem medida igual a 10, logo, 2 10a =
, a = 5 , e 2 8b = , b = 4 , ou seja, a = 5 , b = 4 , e, consequentemente, c = 3 . A 
equação é reduzida é: 
( ) ( )x y�
�
�
�
2
4
3
5
1
2
2
2
2
Como o centro é C( , )2 3 e o eixo maior é paralelo ao eixo y , então, os vértices 
são A A1 12 3 5 2 2( , ) ( , )� � � , A A2 22 3 5 2 8( , ) ( , )� � , B B1 12 4 3 2 3( , ) ( , )� � �
, B B2 22 4 3 6 3( , ) ( , )� � e os focos são F F1 12 3 3 2 0( , ) ( , )� � e 
F F2 22 3 3 2 6( , ) ( , )� � .
UNIASSELVI
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1
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TEMA DE APRENDIZAGEM 9
EXEMPLO 8: determine o centro, os vértices, os focos e a excentricidade da 
elipse de equação 25 9 50 36 164 02 2x y x y� � � � � 
SOLUÇÃO: a equação pode ser reescrita por:
25 9 50 36 164 0
25 2 9 4 164 0
25 2 1 1
2 2
2 2
2
x y x y
x x y y
x x
� � � � �
� � � � �
� � �
( ) ( )
( )) ( )
[( ) ] [( ) ]
( )
� � � � � �
� � � � � � �
�
9 4 4 4 164 0
25 1 1 9 2 4 164 0
25 1
2
2 2
y y
x y
x 22 2
2 2
2
25 9 2 36 164 0
25 1 9 2 225
25 1
225
9
� � � � � �
� � � �
�
�
�
( )
( ) ( )
( ) (
y
x y
x y 22
225
225
225
1
9
2
25
1
2
2 2
)
( ) ( )
�
�
�
�
�
x y
Figura 18 - Elipse com eixo maior verti-
cal e centro C(2,3) / Fonte: os autores.
Descrição da Imagem: na figu-
ra, há um plano cartesiano com 
eixos x e y. Nele, há uma elipse 
com eixo maior vertical e vérti-
ces A1(2,-2) e A2(2,8). Também, 
há focos F1(2,0) e F2(2,6) e eixo 
menor com vértices B1(-2,3) e 
B2(6,3).
y
8
A2
F2
B1
6
-2
-2
A1
F1
B2
6
x
3
1
4
Portanto, 
( ( )) ( )x y� �
�
�
�
1
3
2
5
1
2
2
2
2
Assim, temos a = 5 , e b = 3 , logo, c = 4 . Além disso, o centro é C( , )−1 2 . Os 
vértices são A1 1 3( , )− − , A2 1 7( , )− , B1 4 2( , )− e B2 2 2( , ) , os focos são F1 1 6( , )− 
e F 2 1 6( , )− e a excentricidade é e = =
4
5
0 8, . 
Figura 19 - Elipse com eixo maior vertical e 
centro C(-1,2) / Fonte: os autores.
Descrição da Imagem: na figura, há um 
plano cartesiano com eixos x e y. Nele, há 
uma elipse com eixo maior vertical e vér-
tices A1(-1,-3) e A2(-1,7). Também, há os 
focos F1(-1-2) e F2(-1,6) e o eixo menor 
com vértices B1(-4,2) e B2(2,2). 
y
7
A2
F2
B1
6
-4
-3
A1
F1
B2
x
2
C
EXEMPLO 9: contextualizando o assunto que estudamos até agora, imaginemos 
que, na sua cidade, há disponível um terreno retangular com medidas 68 m x 100 
m, e o prefeito idealizou uma praça com pista de caminhada/corrida, de forma 
elíptica. Conforme a figura a seguir, nos focos da elipse maior, ou seja, os pontos 
F1 e F2, serão instalados postes de iluminação. Indique a distância entre os postes, 
sabendo que a distância mínima do muro do terreno é de 2 m em cada dos lados.
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TEMA DE APRENDIZAGEM 9
O lado maior do terreno mede 100 m e, como a pista está distante a 2 m de cada 
um dos lados do terreno, o eixo maior da elipse medirá 96 m. O lado menor de 
terreno mede 68 m, portanto, o eixo menor medirá 64 m. Temos os seguintes 
elementos da elipse:
 ■ Centro (0,0) - A1 48 0( , ) eA2 48 0( , )− - B1 0 32( , ) e B2 0 32( , )−
Com essas informações, é possível encontrar os pontos F1 e F2 e, assim, calcular 
a distância entre os postes.
c
c
c
c
� �
� �
�
�
48 32
2304 1024
1280
35 8
2 2
,
Logo F1 35 8 0( , ; ) e F2 35 8 0( , ; )− , assim, para calcular as distâncias entre os pos-
tes, basta calcular 2 35 8 71 6* , ,= . 
Podemos afirmar que a distância entre os postes será de 71,6 m.
A1A1A2A2
B1B1
B2B2
-20
-40 -20 0 20 40
4U
20
Figura 20 * Esboço do terreno e da pista de caminhada / Fonte: os autores.
Descrição da Imagem: a figura apresenta um retângulo, em verde, medindo 68 m x 100 m. Uma elipse, em 
cinza claro, com equação: x y2
2
2
248 32
1� �
 e a segunda elipse, em cinza escuro, com a equação x y2
2
2
250 34
1� �
, represen-
tando os limites da pista de caminhada a ser construída. 
3
1
6
Parábola
Estudaremos a Parábola, que, geometricamente, é uma seção cônica obtida pela 
intersecção da superfície de um cone reto com um plano, conforme podemos 
observar na Figura 21.
Figura 21 - Interseção entre o cone e o plano / Fonte: os autores.
Figura 22 - O lugar geométrico da 
parábola / Fonte: os autores.
Descrição da Imagem: na figura, há um cone cortado por um plano paralelo à reta geratriz do cone, resultando 
em uma curva chamada parábola.
Descrição da Imagem: na 
figura, há o desenho de uma 
parábola definida a partir da 
reta diretriz d e o foco F. Ain-
da, há o ponto A, no qual pas-
sa a reta diretriz d, o ponto V, 
chamado vértice da parábola, 
e um ponto P, que é genérico 
e representa o lugar geomé-
trico dos pontos que equidis-
tam do ponto F e da reta d.
geratriz
Sejam d uma reta e F um ponto não pertencente a d , ambos no plano xy . Uma 
parábola é o conjunto dos pontos xy, P x y,� � no plano que são equidistantes do 
ponto F e da reta. O ponto F é chamado de foco e d é a diretriz da parábola.
P
F
eixo
V
Ad
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1
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TEMA DE APRENDIZAGEM 9
Assim, se P x y,� � é um ponto da parábola, então, d P F d P d( , ) ( , )= .
O eixo da parábola é uma reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz. 
A interseção entre seu eixo e a parábola é o ponto chamado vértice e denotado 
por V . Geometricamente, a parábola é obtida a partir da interseção entre um 
plano e um cone, em que o plano é paralelo à geratriz desse cone.
Parábola com vértice na origem do sistema cartesiano
1º Caso: eixo da parábola é o próprio eixo y . Seja P x y,� � um ponto da pará-
bola com foco F
p0
2
,�
�
�
�
�
� , diretriz d e D um ponto da reta d :
Figura 23 - Parábola com a concavidade voltada para cima / Fonte: os autores.
Descrição da Imagem: na figura, há um plano cartesiano com eixos x e y. Nele, observa-se uma parábola com a 
concavidade voltada para cima, foco , vértice V(0,0) e um ponto com coordenadas , no qual passa a reta diretriz 
d. Observa-se, também, um ponto P(x,y) que equidista do ponto F e do ponto D sobre a diretriz.
x
y
d
D(x, - p)
2
 (0, - p)
2
V(0,0)
F(0,p)
2
P(x,y)
Assim, temos:
3
1
8
d F P d D P
x y p x x y p
x y p
( , ) ( , )
( ) ( )
�
� � ��
�
�
�
�
� � � � �
�
�
�
�
�
�
� ��
0
2 2
2
2
2
2
2
2
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� ��
�
�
�
�
� � �
�
�
2
2
2
2
2
2
2
2 2
y p
x y p y p��
�
�
�
� � � � � �
�
2
2 2
2
2
2
2
4 4
2
x y yp p y yp p
x py
Essa é a equação reduzida da pará-
bola com vértice na origem do plano 
cartesiano e eixo da parábola coinci-
dindo com o eixo y . Note que, como 
x2 0≥ , logo, 2yp deve ser positivo, o 
que significa que y e p devem ter o 
mesmo sinal. Em particular, se p > 0
, a concavidade é voltada para cima. 
Por outro lado, se p < 0 , a parábola 
tem concavidade voltada para baixo.
Figura 24 (a) - Parábola com concavidade voltada 
cima; (b) - Parábola com concavidade voltada para 
baixo / Fonte: os autores.
Descrição da Imagem: na Figura 24 (a), há um 
plano com eixos x e y. Nele, temos uma parábola 
côncava para cima, pois p é positivo, com vértice 
V na origem do plano cartesiano. Também, há uma 
reta d, logo abaixo do ponto V e paralela ao eixo x, 
enquanto o foco F é interior à parábola. Na Figu-
ra 23 (b), há outra parábola no plano cartesiano, 
com vértice V sobre a origem. A concavidade está 
voltada para baixo, uma vez que p é negativo, há 
um ponto F interior à parábola e, acima do vértice, 
encontra-se a diretriz d paralela ao eixo x.
a) Concavidade coltada para cima 
d
y
F
V
x
p>0
a) Concavidade coltada para baixo
d
y
V
F
x
p>0
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1
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TEMA DE APRENDIZAGEM 9
2º Caso: eixo da parábola é o próprio eixo x . Seja P x y,� � um ponto da pará-
bola com foco F
p
2
0,�
�
�
�
�
� , diretriz d , usando o raciocínio anterior, deduzimos 
a equação y px2 2= . 
a) Concavidade voltada para direita
d
y
V F
x
p>0
b) Concavidade voltada para esquerda
y
d
F V
x
p>0
a) Concavidade voltada para direita
d
y
V F
x
p>0
b) Concavidade voltada para esquerda
y
d
F V
x
p>0
Figura 25 (a) - Parábola com a concavidade voltada para a direita; (b) Parábola com a concavidade voltada para 
a esquerda / Fonte: os autores.
Descrição da Imagem: na Figura 25(a), há uma parábola com a concavidade voltada para a direita, pois p é positivo. 
O foco F é interior à curva e um ponto V coincide com a origem do plano cartesiano. Há uma reta d paralela e à 
esquerda do eixo y, chamada diretriz. Na figura 25 (b), há outra parábola, mas com a concavidade voltada para 
a esquerda, pois p é negativo. O foco F é interior à parábola, o vértice V está na origem do plano cartesiano, e a 
reta diretriz d está localizada à direita e é paralela ao eixo y.
Quando p > 0 , a concavidade é voltada para a direita e, se p < 0 , a concavidade 
é voltada para a esquerda. 
EXEMPLO 10: dada a equação y x2 20� � , obtenha o gráfico, o foco e a 
diretriz da parábola.
 SOLUÇÃO: a equação é do tipo y px2 2= , logo, 2 20p � � , ou seja, p � �10
. Portanto, a concavidade é voltada para a esquerda. Como o vértice é V 0 0, �� � , 
logo, o foco é F F0
10
2
0 5 0��
�
�
�
�
� � �� �, , e a diretriz é x � � �0
10
2
5 .
3
3
1
Parábola com vértice fora da origem do sistema cartesiano
1º Caso: parábola com eixo paralelo ao eixo y .
Seja V h k( , ) o vértice da parábola, partindo da definição d P F d P d( , ) ( , )= , 
é fácil deduzir a equação, que é dada por ( ) ( )x h p y k� � �2 2 
Figura 26 - Parábola com vértice na origem e 
côncava para cima / Fonte: os autores.
Figura 27 - Parábola com eixo vertical e vértice V(h,k) / Fonte: os autores.
Descrição da Imagem: na figura, há um 
plano cartesiano com eixos x e y. Nele, há 
uma parábola com vértice V na origem. O 
foco dela está acima do vértice e tem coor-
denadas F(0,). Logo abaixo do vértice, ob-
serva-se a reta diretriz, com equação y=-, 
paralela ao eixo x. 
Descrição da Imagem: na figura, há um plano cartesiano com eixos x e y. Nele, há uma parábola com vértice no 
ponto V(h,k), cuja concavidade é voltada para cima, pois p é positivo. Além disso, há o foco, com coordenadas , e 
a diretriz, uma reta paralela ao eixo x definida pela equação .
y
d
F(-5,0)
x
X=5
V(0,0)
F
x
h
V
d
p
y
P
p>0
y=k - p
2
k + p
2
k
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3
1
TEMA DE APRENDIZAGEM 9
2º Caso: Parábola com eixo paralelo ao eixo x .
Seja V h k( , ) o vértice da parábola, a equação é dada por ( ) ( )y k p x h� � �2 2 .
Figura 28 - Parábola com eixo horizontal e vértice V(h,k) 
Fonte: os autores.
Figura 29 - Elementos de uma diretriz, foco F(5,2) e diretriz x=1 / Fonte: os autores.
Descrição da Imagem: na figura, há um plano cartesia-
no com eixos x e y. Nele, há uma parábola com vértice 
no ponto V(h,k), cuja concavidade está voltada para a 
direita, pois p é positivo. Ainda, é demonstrado o foco, 
com coordenadas , e expressa a diretriz, uma reta pa-
ralela ao eixo y, definida pela equação .
Descrição da Imagem: na figura, há um plano cartesiano com eixos x e y. Nele, estão marcadosos elementos, 
incluindo o foco F(5,2) e a reta diretriz d vertical e paralela ao eixo y, com equação x=1. 
x
y
k V F
d
0 h
p>0
eixo
h + p
2
x = h - p
2
EXEMPLO 11: determine a equação da parábola cuja diretriz é x =1 e tem foco 
no ponto F ( , )5 2 .
5
x
0 1
d
y
2
A F
SOLUÇÃO: sabemos que a diretriz é x =1 , logo, o eixo da parábola é paralelo ao 
eixo x e passa pelos pontos F 5 2,� � e A 1 2,� � . Como o vértice é o ponto médio 
3
3
1
do segmento AF , logo, V V
5 1
2
2 2
2
3 2� ��
�
�
�
�
� � � �, , , ou seja, h = 3 e k = 2 . Note 
que, como o foco está à direita do vértice, então, a concavidade é voltada para a 
direita, o que significa que p é positivo. Além disso, temos:
p d A F
p
p
�
� � � �
�
( , )
( ) ( )5 1 2 2
4
2 2 
Substituindo na equação a seguir:
( ) ( )
( ) .( )( )
y k p x h
y x
y y x
y y x
� � �
� � �
� � � �
� � � �
2
2
2
2
2
2 2 4 3
4 4 8 24
4 8 28 0
 
Que é a equação da parábola.
Figura 30 - Parábola com a concavidade voltada para a direita e vértice V(3,2) / Fonte: os autores.
Descrição da Imagem: na figura, há um plano cartesiano com eixos x e y. Nele, há uma parábola com a concavi-
dade voltada para a direita, vértice V(3,2) e foco F(5,2). A diretriz d é uma reta paralela ao eixo y, definida pela 
equação x=1 e que passa pelo ponto A(1,2). 
3 5
V F
x
0 1
2
A
y
d
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3
3
3
TEMA DE APRENDIZAGEM 9
Exemplo 12: contextualizando o que estudamos. Voltando ao Exemplo 9, no 
terreno, a prefeitura, também, decidiu incluir uma pista de skate. Ela ocupará o 
espaço interno à pista de caminhada, a 5,8 m de distância de cada poste de luz. 
Encontre a equação da parábola que será a base da pista de skate, sabendo que a 
altura máxima a ser atingida pela pista é de 3 m.
Figura 31 - Esboço da pista de skate / Fonte: os autores.
Descrição da Imagem: a figura mostra os eixos do plano cartesiano com o esboço da pista de skate em rosa, e 
os pontos A e B marcados na parábola.
-30 -20 -10 0 10 20 30
4
2
V
B A
SOLUÇÃO: se a altura máxima a ser atingida pela pista é de 3 m e a pista estará 
distante a 5,8 m do poste de luz, então, estará 30 m de distância do eixo y. Temos 
que o ponto A(30,3) e B(-30,3). Como vimos, a equação de uma parábola com o 
vértice na origem é: x yp2 2= .
30 2 3
900 6
900
6
150
2 =
=
=
=
* p
p
p
p
 
Então, a equação geral da parábola que será a base da pista de skate é: 
y x
p
y x
=
=
2
2
2
300
3
3
4
A hipérbole
A seção cônica, obtida pela intersec-
ção das duas folhas de um cone du-
plo reto com um plano que não passa 
pelo vértice, é chamada HIPÉRBO-
LE, que nos dedicaremos a estudar 
daqui para frente.
Sejam F1 e F 2 dois pontos do 
plano com d F F c( , )1 2 2= ao conjun-
to dos pontos P x y ,� � , tais que o 
módulo da diferença entre d P F( , )1 
e d P F( , )2 é uma constante, damos o 
nome de hipérbole. Em outras pala-
vras, se a é um número real positivo 
tal que 2 2a c< , a hipérbole será o 
conjunto dos pontos que satisfaz 
d P F d P F a( , ) ( , )1 2 2� � . 
Figura 33 - Hipérbole / Fonte: os autores.
Descrição da Imagem: na figura, há duas curvas chamadas hipérbole. Também, há dois pontos, F1 e F2, chamados 
focos, e um ponto P genérico sobre a curva, que representa o lugar geométrico resultante da diferença entre as 
distâncias de P e F1 com P e F2.
Figura 32 - Interseção entre o cone duplo e o plano 
Fonte: os autores.
Descrição da Imagem: na figura, há um cone 
duplo cortado por um plano paralelo ao eixo, 
resultando em uma curva chamada hipérbole.
F1 F2
P
UNIASSELVI
3
3
1
TEMA DE APRENDIZAGEM 9
Os pontos F1 e F 2 são os focos, e d F F c( , )1 2 2= é a distância focal. O centro 
C da hipérbole é o ponto médio do segmento F1 F 2 e os pontos A1 e A2 são 
os vértices, em que d A A a( , )1 2 2= . O eixo real é o segmento A1 A2 . O eixo 
imaginário é o segmento B B1 2 , com d B B b( , )1 2 2= . Além disso, o segmento 
B B1 2 é perpendicular ao segmento A A1 2 no ponto C.
Figura 34 - Elementos da hipérbole / Fonte: os autores.
Descrição da Imagem: na figura, há uma hipérbole com eixo real horizontal, focos F1 e F2 e distância focal 2c. 
Há, ainda, dois pontos, A1 e A2, com distância 2a. Na vertical, estão os vértices do eixo imaginário, B1 e B2, e 
um triângulo retângulo com catetos a e b e hipotenusa c.
a
c
b
C
A1
B1
B2
A2
F2F1
2
a
2
c
Temos a seguinte relação c a b2 2 2� � e chamamos de excentricidade a razão 
e c
a
= . Além disso, como c a> , logo, e >1 .
Considere o retângulo MNOP , cujos pontos A1 , A2 , B1 e B2 são pontos 
médios dos segmentos MN, OP , NO e MP , respectivamente. As retas r e s, que 
passam pelos segmentos MO e NP são chamadas assíntotas da hipérbole. Essas 
retas têm a seguinte propriedade: à medida que os pontos da hipérbole se afastam 
do foco, esses pontos se aproximam cada vez mais de uma dessas retas, porém 
nunca tocam nela. Além disso, as razões 
b
a
 e −
b
a
 correspondem às inclinações 
das retas s e r, respectivamente.
3
3
6
Hipérbole com centro na origem do plano cartesiano
1º caso: eixo real sobre o eixo x . 
Seja P x y( , ) um ponto da hipérbole com centro C( , )0 0 e focos F c1 0( , )− 
e F c2 0( , ) :
Figura 35 - Hipérbole e elementos com eixo 
real horizontal / Fonte: os autores.
Figura 36 - Hipérbole com eixo real hori-
zontal e elementos vértices e focos
Fonte: os autores.
Descrição da Imagem: na figura, há 
duas curvas que representam uma hi-
pérbole com focos F1 e F2 e vértices 
do eixo real A1 e A2. Também, há os 
pontos B1 e B2 do eixo imaginário, com 
assíntotas r e s. Além disso, há um re-
tângulo auxiliar formado pelos pontos 
M, N, O e P e, finalmente, temos um 
triângulo retângulo com catetos a e b 
e hipotenusa c.
Descrição da Imagem: na figura, há 
um plano cartesiano com eixos x e y. 
Também, há duas curvas da hipérbole 
com focos F1 e F2, que distam c uni-
dades da origem. Há, ainda, os vérti-
ces A1 e A2, que distam a unidades 
do centro dessa curva. Por fim, há um 
ponto P genérico da hipérbole.
a
c
b
r
M PB2
F2
A2
B1 ON
A1
F1
s
a
P
F2
A2
c
A1
F1
s
y
x
Temos: d F P d F P a( , ) ( , )1 2 2� � , utilizando o mesmo processo da elipse, ob-
temos: 
x
a
y
b
2
2
2
2 1� �
UNIASSELVI
3
3
7
TEMA DE APRENDIZAGEM 9
Que é a equação reduzida da hipérbole com vértices A a1 0( , )− e A a2 0( , ) e 
assíntotas y
b
a
x� � (equação da reta passando pela origem).
2º caso: eixo real sobre o eixo y . 
Partindo da definição da hipérbole d F P d F P a( , ) ( , )1 2 2� � , podemos 
deduzir de maneira análoga a equação: 
y
a
x
b
2
2
2
2 1� �
Que é a equação da hipérbole com focos F c1 0( , )− e F c2 0( , ) , vértices A a1 0( , )− 
e A a2 0( , ) e assíntotas y
a
b
x� � , em que c a b2 2 2� � . 
Figura 37 - Hipérbole com eixo real vertical / Fonte: os autores.
Descrição da Imagem: na figura, há um plano cartesiano com eixos x e y. Nele, há uma hipérbole com eixo real 
vertical, vértices A1 e A2, que distam a unidades da origem, e focos F1 e F2, os quais distam c unidades da origem.
A1
C
F2
a
A2
y
x
F1
3
3
8
EXEMPLO 13: obtenha o gráfico da hipérbole cuja equação reduzida é 
x y2 2
25 16
1� � . Também, demonstre os elementos dela, incluindo centro, focos, 
vértices, excentricidade e assíntotas. 
SOLUÇÃO: a equação é do tipo 
x
a
y
b
2
2
2
2 1� � , logo, a = 5 e b = 4 . O eixo 
real está sobre o eixo x , como c a b2 2 2� � , c = 41 . Para y=0, temos x � �5 , 
logo, A1 5 0( , )− e A2 5 0( , ) são os vértices da hipérbole. Note que, para x = 0 , a 
equação y2 16� � não admite solução no conjunto dos números reais, ou seja, 
a hipérbole não intercepta o eixo y . Assim, o centro da hipérbole é C( , )0 0 , os 
focos são F1 41 0( , )− e F 2 41 0( , ) e a excentricidade é e = =
41
5
1 28, .
Agora, as assíntotas são retas que passam pela origem, cujas equações são 
y x= 4
5
 e y x� �
4
5
 
Figura 38 - Hipérbole com eixo real horizontal / Fonte: os autores.Descrição da Imagem: na figura, há um plano cartesiano com eixos x e y. Nele, encontram-se as duas curvas de 
uma hipérbole com eixo real horizontal, vértices A1(-5,0) e A2(5,0), focos F1 e F2 sobre o eixo x e assíntotas e .
y
xF1 F2
-5 5
A1 A2
y = 4 x
5
y = -4 x
5
UNIASSELVI
3
3
9
TEMA DE APRENDIZAGEM 9
EXEMPLO 14: dada a equação 4 9 362 2y x� � , obtenha os elementos e o 
gráfico da hipérbole. 
SOLUÇÃO: temos: 
4 9 36
4
36
9
36
36
36
9 4
1
3 2
1
2 2
2 2
2 2
2
2
2
2
y x
y x
y x
y x
� �
� �
� �
� �
A última equação nos indica que o eixo real está sobre o eixo y. Assim, a = 3 e 
b = 2 . Lembre-se de que c a b2 2 2� � , logo, c = 13 . Os focos são F1 0 13( , )− 
e F1 0 13( , ) . Inserindo x = 0 , obtemos y � �3 , ou seja, os vértices são A1 0 3( , )− 
e A1 0 3( , ) . Já as assíntotas são y x� �
3
2
 e a excentricidade é e � �
13
3
1 20, 
Figura 39 - Hipérbole com eixo real 
vertical / Fonte: os autores.
Descrição da Imagem: na figura, 
há um plano cartesiano com eixos 
x e y. Também, é desenhada uma 
hipérbole com eixo real vertical, 
vértices A1(0,-3) e A2(0,3), focos 
F1(0, ) e F2(0, ) e assíntotas e .
y
x
A2
F2
y = -3x
2
13
A1
F1
-3
y = 3x
2
3
4
1
Equação da hipérbole com centro fora da origem do plano cartesiano
1º caso: eixo real paralelo ao eixo x
De maneira análoga ao caso da elipse, podemos deduzir a equação da hipér-
bole com centro C h k( , ) , focos F h c k1( , )− e F h c k2( , )+ e vértices A h a k1( , )− 
e A h a k2( , )+ .
( ) ( )x h
a
y k
b
�
�
�
�
2
2
2
2 1
Figura 40 - Hipérbole com centro transladado C(h,k) e eixo real horizontal / Fonte: os autores.
Descrição da Imagem: na figura, há um plano cartesiano com eixos x e y. Também, é desenhada uma hipérbole 
no centro C(h,k), eixo real paralelo ao eixo x, com vértices A1(h-a,k) e A2(h+a,k) e focos F1(h-c,k) e F2(h+c,k).
x
k
y
F1 A1 C A2
F2
h - c h h + a
2º caso: eixo real paralelo ao eixo y
Nesse caso, temos C h k( , ) , F h k c1( , )− e F h k c2( , )+ bem como 
A h k a1( , )− e A h k a2( , )+ , e a equação é dada por:
( ) ( )y k
a
x h
b
�
�
�
�
2
2
2
2 1 ,
UNIASSELVI
3
4
1
TEMA DE APRENDIZAGEM 9
EXEMPLO 15: obtenha a equação da hipérbole, sabendo que os vértices são 
A1 0 3( , ) e A2 2 3( , ) , e um dos focos é F ( , )3 3 .
 SOLUÇÃO: o eixo real é o segmento A A1 2 e paralelo ao eixo x . O centro C 
é o ponto médio do segmento A A1 2 , ou seja, C C
0 2
2
3 3
2
1 3� ��
�
�
�
�
� � � �, , . Assim, 
c d C F� � � � � �( , ) ( ) ( )3 1 3 3 22 2 
Figura 41 - Hipérbole com centro transladado 
C(h,k) e eixo real vertical / Fonte: os autores.
Figura 42 - Centro, vértices e um dos focos 
de uma hipérbole / Fonte: os autores.
Descrição da Imagem: na figura, há um 
plano cartesiano com eixos x e y. Tam-
bém, é desenhada uma hipérbole no centro 
C(h,k), há um eixo real paralelo ao eixo y, 
com vértices A1(h,k-a) e A2(h,k+a) e focos 
F1(h,k-c) e F2(h,k+c).
Descrição da Imagem: na figura, há um 
plano cartesiano com eixos x e y. Nele, 
estão marcados os vértices A1(0,3) e 
A2(2,3), o centro C(1,3) e um dos focos, 
com coordenadas F(3,3).
h
x
k - a
k
k + c
y
F2
A2
C
A1
F1
2 3
x
y
A1
A2
F(3,3)
C(1,3)
3
4
1
Além disso, a d C A� � � � � �( , ) ( ) ( )1 2 20 1 3 3 1 , como c a b2 2 2� � . Logo, 
b = 3 . Portanto: 
( ) ( )
( )
( )
( )
x y
x y
�
�
�
�
� �
�
�
1
1
3
3
1
1 3
3
1
2
2
2
2
2
2
Desenvolvendo, obtemos: 3 6 6 9 02 2x y x y� � � � � 
Figura 43 - Hipérbole com eixo real horizontal paralelo ao eixo x / Fonte: os autores.
Descrição da Imagem: na figura, há um plano cartesiano com eixos x e y. Nele, há uma hipérbole cujo eixo real 
é paralelo à abcissa x. Os focos têm coordenadas F1(-1,3) e F2(3,3), e vértices A1(0,3) e A2(2,3).
x
y
F1 F2
-1 1 3
x
A1 A2
EXEMPLO 16: dada a equação da hipérbole 16 9 64 54 127 02 2x y x y� � � � � , 
obtenha o centro, os vértices, os focos, o gráfico, a excentricidade e as assíntotas.
SOLUÇÃO: temos: 
UNIASSELVI
3
4
3
TEMA DE APRENDIZAGEM 9
16 9 64 54 127 0
16 4 9 6 127 0
16 4 4 4
2 2
2 2
2
x y x y
x x y y
x x
� � � � �
� � � � �
� � �
( ) ( )
( )) ( )
[( ) ] [( ) ]
( )
� � � � � �
� � � � � � �
�
9 6 9 9 127 0
16 2 4 9 3 9 127 0
16 2
2
2 2
y y
x y
x 22 2
2 2
64 9 3 81 127 0
16 2
144
9 3
144
144
144
� � � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
( )
( ) ( )
(
y
x y
x ��
�
�
�
�
�
�
�
2
9
3
16
1
3
4
2
3
1
2 2
2
2
2
2
) ( )
( ) ( )
y
y x
Assim, o centro é C(-2,-3),e o eixo real é paralelo ao eixo y , a = 4 e b = 3 , sen-
do c a b2 2 2� � , logo, c = 5 . Os focos são F F1 12 3 5 2 8( , ) ( , )� � � � � � e 
F F2 22 3 5 2 2( , ) ( , )� � � � � , e os vértices são A A1 12 3 4 2 7( , ) ( , )� � � � � � e 
A A2 22 3 4 2 1( , ) ( , )� � � � � 
x
y
2F2
-2
A2
A1
F1
-8
Figura 44 - Hipérbole com eixo real vertical paralelo ao 
eixo / Fonte: os autores.
Descrição da Imagem: na figura, há um plano car-
tesiano com eixos x e y. Nele, uma hipérbole cujo 
eixo real é paralelo ao eixo da ordenada y. Os focos 
têm coordenadas F1(-2,-8) e F2(-2,2), e os vértices 
são A1(-2,-7) e A2(-2,1).
3
4
4
A excentricidade dessa curva é e
c
a
= = =
5
4
1 25, , e as assíntotas são retas do tipo 
y mx k� � , ou seja: 
y mx k
y a
b
x k
y x k
� �
� � �
� � �
4
3
,
O ponto C(-2,-3) pertence às assíntotas, logo, para y x k1 1
4
3
� � , temos:
� � � �3 4
3
2 1( ) k � � �3
8
3
1k k1
1
3
� � y x1
4
3
1
3
� � .
Analogamente, para y x k2 2
4
3
� � � , temos: 
� � � � �3 4
3
2 2( ) k � � �3
8
3
2k k2
17
3
� � y x2
4
3
17
3
� � � .
Figura 45 - Hipérbole e assíntotas
Fonte: os autores.
Descrição da Imagem: na figura, há 
as curvas da hipérbole e as assíntotas 
e 
y
x
y2= -4x - 17
3 3
y1= -4x - 1
3 3
UNIASSELVI
3
4
1
TEMA DE APRENDIZAGEM 9
Exemplo 17: contextualizando o que estudamos. Uma quadra de futsal tem 
medidas 42 m x 24 m, e a área de cada goleiro é delimitada por uma hipérbole, 
como mostra a Figura 46. Encontre a equação que descreve a hipérbole que 
delimita a área dos goleiros. Sabendo que F1 18 0( , )− , F 2 18 0( , ) , A1 15 0( , )− e 
A2 15 0( , ) . 
Figura 46 - Esboço do campo de futsal / Fonte: os autores.
Descrição da Imagem: a figura apresenta um retângulo verde com lados medindo 42 x 24 com as retas que 
representam as assíntotas da hipérbole tracejadas, e as curvas da hipérbole que têm foco F1 e F2. 
SOLUÇÃO: precisamos encontrar o valor de b, para isso, analisaremos a reta 
assíntota que passa pelo ponto C (21,12).
y b
a
x
b
b
b
b
=
=
=
=
=
12
15
21
12
5
7
12 5
7
8 5
*
,
 
x y2
2
2
215 8 5
1� �
( , )
3
4
6
NOVOS DESAFIOS
Prezado(a) aluno(a), nesta unidade, visitamos os principais conceitos das 
cônicas: a elipse, a parábola e a hipérbole. É possível concluir que a elipse é o 
conjunto dos pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos é 
igual a uma constante. A partir dessa definição, foi possível deduzir a equação 
que representa essa curva e conhecer os elementos dela, isto é, os focos, os 
vértices, o centro e a excentricidade.
Também, conhecemos um caso particular da elipse, que é a circunferência, 
cujos focos coincidem com o centro, e concluímos o estudo com casos em que 
a cônica tinha centro fora da origem do plano cartesiano, porém com eixo 
maior e paralelo a um dos eixos coordenados. A elipse tem inúmeras aplica-
ções: aparece nas curvas que descrevem as órbitas dos planetas, em estruturas 
de engenharia para aumentar a rigidez e nas mais belas arquiteturas.
Na segunda parte desta unidade, realizamos o estudo da parábola, que 
consiste no conjunto de pontos no plano cuja distância a um ponto fixo e a 
uma reta dada é uma constante. Partindo dessa definição, foi possível obter a 
equação da parábola e definir os elementos dela, a saber: foco, diretriz, vértice 
e eixo. A aplicação da parábola está presente nos faróis dos carros, nos fornos 
solares, nas antenas parabólicase nas construções de pontes, proporcionando 
estabilidade e economia.
Para finalizar esta unidade, estudamos hipérbole, que corresponde ao con-
junto de pontos do plano cujo módulo da diferença das distâncias entre dois 
pontos fixos é igual a uma constante. A partir dessa definição, foi possível 
deduzir a equação da hipérbole e apresentar os elementos dela, incluindo 
focos, vértices, centro, eixos real e imaginário, excentricidade e assíntotas. 
Assim como na elipse, verificamos os casos em que o centro não era a origem 
do sistema de coordenadas. A aplicação da hipérbole aparece na construção 
de telescópios refletores, nas órbitas dos cometas e nas engenharias, devido 
às propriedades físicas e estéticas dela. Além disso, aparece nos gráficos de 
funções de vários ramos das ciências exatas.
UNIASSELVI
3
4
7
VAMOS PRATICAR
1. Temos um terreno medindo 30 m de comprimento e 20 m de largura. Será dividido ao 
meio, em que, em uma metade, será planejada a construção de uma casa e, na outra 
metade do terreno, foi planejado construir uma piscina de forma elíptica, conforme 
mostra a figura a seguir:
Figura - Terreno / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: a figura apresenta um retângulo verde com as medidas 20 m x 30 m. À esquerda, temos 
uma forma elíptica azul. 
O comprimento da piscina é de 10 m e a largura é de 8 m, o centro da piscina está indi-
cado como o ponto C. 
A equação da elipse com centro em C h k( , ) e eixo maior paralelo ao eixo y é dada por:
( ) ( )x h
b
y k
a
�
�
�
�
2
2
2
2 1
SUGUIMOTO, A. S. Geometria Analítica. Maringá: Unicesumar, 2021.
Foi decidido que o motor será instalado equidistante da beirada da piscina (no ponto E) 
em relação ao ponto F2 . Determine qual será a distância da piscina em que o motor será 
instalado. 
3
4
8
VAMOS PRATICAR
2. Sejam d uma reta e F um ponto não pertencente a d , ambos no plano xy , uma pa-
rábola é o conjunto dos pontos xy, P x y,� � no plano que são equidistantes do ponto 
F e da reta. O ponto F é chamado de foco e d é a diretriz da parábola. A trajetória 
do movimento uniformemente variado é descrito por uma parábola.
SUGUIMOTO, A. S. Geometria Analítica. Maringá: Unicesumar, 2021.
A curva, em verde, descreve o percurso realizado por uma partícula, desde o lançamento 
no ponto x=0, atinge o máximo no ponto (2,1). Encontre a equação da parábola.
3. A hipérbole aparece na construção de telescópios refletores, nas órbitas dos cometas 
e nas engenharias, devido às propriedades físicas e estéticas dela. Além disso, aparece 
nos gráficos de funções de vários ramos das ciências exatas.
Sejam F1 e F 2 dois pontos do plano com d F F c( , )1 2 2= ao conjunto dos pontos
P x y ,� � , tais que o módulo da diferença entre d P F( , )1 e d P F( , )2 é uma cons-
tante, damos o nome de hipérbole.
SUGUIMOTO, A. S. Geometria Analítica. Maringá: Unicesumar, 2021.
Sobre as propriedades e aplicações da hipérbole, analise as afirmativas a seguir:
I - A hipérbole é definida como um conjunto de pontos em um plano, que tem uma di-
ferença constante das distâncias dos dois focos.
II - A excentricidade da hipérbole é sempre menor que 1.
III - A hipérbole é descrita pela equação ( ) ( )y x� � � �4
4
2
3
1
2
2
2
2
 e o eixo real é vertical, ou seja, é 
paralelo ao eixo y, com Centro em C(-2,-4).
3
4
9
VAMOS PRATICAR
É correto o que se afirma em:
a) I, apenas.
b) III, apenas.
c) I e III, apenas.
d) II e III, apenas.
e) I, II e III.
4. Sejam F1 e F 2 dois pontos do plano xy , cuja distância entre eles é igual a 2c ao 
conjunto de pontos P (x,y) do plano xy , tais que: 
d P F d P F a( , ) ( , )1 2 2� � , em que a c> damos o nome de elipse.
SUGUIMOTO, A. S. Geometria Analítica. Maringá: Unicesumar, 2021.
Analise o esboço da elipse:
Figura - Esboço elipse / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: a figura apresenta uma forma elíptica com uma reta na horizontal, na parte de cima, e 
uma reta na vertical, do lado esquerdo.
3
1
1
VAMOS PRATICAR
a) A abscissa dos focos é 9. 
b) O maior eixo é horizontal e mede 20.
c) O centro está na origem do sistema cartesiano.
d) Os pontos B e C e D e E são os vértices horizontal e vertical, respectivamente, da elipse.
e) A equação geral da elipse é x y�� � � �� � �9
8
8
10
1
2
2
2
2
5. A hipérbole aparece na construção de telescópios refletores, nas órbitas dos cometas 
e nas engenharias, devido às propriedades físicas e estéticas dela. Além disso, aparece 
nos gráficos de funções de vários ramos das ciências exatas. Então, podemos dizer 
que, se a é um número real positivo tal que 2 2a c< , a hipérbole será o conjunto dos 
pontos que satisfaz d P F d P F a( , ) ( , )1 2 2� � 
SUGUIMOTO, A. S. Geometria Analítica. Maringá: Unicesumar, 2021.
Com base nas informações apresentadas, avalie as asserções a seguir e a relação pro-
posta entre elas:
I - O eixo real é paralelo ao eixo x, com centro C h k( , ) , focos F h c k1( , )− e 
F h c k2( , )+ e vértices A h a k1( , )− e A h a k2( , )+
PORQUE
II - A Equação geral é 
( ) ( )x h
a
y k
b
�
�
�
�
2
2
2
2 1 
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:
a) As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
b) As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
c) A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
d) A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
e) As asserções I e II são falsas.
3
1
1
REFERÊNCIAS
BOLDRINI, J. M. et al. Álgebra linear. 3. ed. São Paulo: Harper & Row do Brasil, 1980.
BOULOS, P.; CAMARGO, I. de.; Geometria analítica: um tratamento vetorial. São Paulo: Ma-
kron Books do Brasil, 1987.
CALLIOLI, C. A. et al. Álgebra linear e aplicações. 6. ed. São Paulo: Atual, 1990.
SANTOS, N. M. dos. Vetores e matrizes. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1985.
STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Geometria analítica. 2. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 1987.
3
1
1
1. Note que o eixo maior é paralelo ao eixo y , logo, 2 10a = , ou seja, a = 5 . Além disso, 
como o eixo menor mede oito unidades, temos 2 6b = , isto é, b = 4 . Pelo Teorema 
de Pitágoras, obtemos c � � � �25 16 9 3 . Como C( , )−8 2 , F h k c1( , )− e 
F h k c2 ( , )+
F h k c2 8 2 3 8 5( , ) ( , ) ( , )� � � � � �
Como o ponto E é (h,k+a), temos E(-8,2+5)=(-8,7), ou seja, a distância entre o foco e o 
ponto E, que é a beirada da piscina, e o foco é de 2 m, pois 7 – 5 = 2, logo o motor será 
instalado a 2 m de distância da piscina, ou seja, nas coordenadas cartesianas (-8, 9)
a b c2 2 2� �
 
F h k c1( , )− e F h k c2 ( , )+
( ) ( )x h
b
y k
a
�
�
�
�
2
2
2
2 1
 
2. ax bx c y2 � � � 
(0,0) (4,0) (2,1)
a b c
c
0 0 0
0
2 � � �
�
 
a b
a b
4 4 0 0
16 4 0
2 � � �
� �
 
a b
a b
2 2 0 1
4 2 1
2 � � �
� �
 
16 4 0
4 2 1
8 2 0
4 2 1
4 1
1
4
a b
a b
a b
a b
a
a
� �
� �
�
�
�
� � �
� �
�
�
�
� �
� �
 4 2 1
4 1
4
2 1
1 2 1
2 2
1
a b
b
b
b
b
� �
� � �
� � �
�
�
( )
 
Sendo assim, a equação da trajetória da partícula é y
x x� � �
4
 
ax bx c y2 � � �
GABARITO
3
1
3
3. A afirmativa I está correta, pois apresenta a definição da hipérbole, inclusive, está no 
enunciado da questão. A afirmativa II está incorreta, pois a excentricidade da hipérbole é 
sempre maior que 1. A afirmativa III está correta, pois o termo positivo na equação é com y, 
ou seja, o eixo real é paralelo ao eixo y, portanto, vertical. 
y b
a
x� �
c a b2 2 2� �
x
a
y
b
2
2
2
2 1� �
4. A primeira alternativa está correta, pois o foco estará no eixo maior da elipse, ou seja, na 
reta x=9. A segunda alternativa está incorreta, pois o eixo maior é vertical e mede 20. A 
terceira alternativa está incorreta, pois o centro é (9,-8). A quarta alternativa está incor-
reta, pois o vértice horizontal é D e E e vertical é B e C. Aquinta alternativa está incorre-
ta, pois a equação geral é x y�� � � �� � �9
8
8
10
1
2
2
2
2
5. A alternativa "A" é a correta.
GABARITO
3
1
4
MINHAS ANOTAÇÕES
3
1
1
MINHAS ANOTAÇÕES
3
1
6
MINHAS ANOTAÇÕES
3
1
7
MINHAS ANOTAÇÕES
3
1
8
MINHAS ANOTAÇÕES
3
1
9
MINHAS ANOTAÇÕES
3
6
1
	unidade 1
	Noções Fundamentais de Geometria
	Polígonos, Triângulos, 
Quadriláteros e Círculo
	Estudo das Relações e Razões
	Trigonométricas
	unidade 2
	Área e Perímetro de figuras planas
	Poliedros e Pirâmides
	Sólidos Redondos
	unidade 3
	GEOMETRIA ANALÍTICA E O ESTUDO DO PONTO E RETA
	Geometria Analítica e o Estudo da Circunferência
	A Geometria Analítica e o estudo das Cônicas
	_Hlk136442875
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