Geometria Plana

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DR. WILLIAN GOULART GOMES VELASCO
ME. MÁRCIA ERONDINA DIAS DE SOUZA DA SILVA
GEOMETRIA 
PLANA, 
ESPACIAL E 
ANALÍTICA
Coordenador(a) de Conteúdo 
Priscilla Campiolo Manesco
Projeto Gráfico e Capa
Arthur Cantareli Silva
Editoração
Juliana Oliveira Duenha
Lucas Pinna Silveira Lima
Matheus Silva de Souza
Design Educacional
Patricia Peteck
Revisão Textual
Bruna da Silva, Carla Cristina Farinha, 
Carlos Augusto Brito Oliveira, Cristina 
Maria Costa Wecker, Elaine Machado, 
Érica Fernanda Ortega e Harry Wiese
Ilustração
Andre Luis Azevedo da Silva, Bruno 
Cesar Pardinho Figueiredo, Eduardo 
Aparecido Alves e Geison Ferreira da 
Silva
Fotos
Freepik
Shutterstock
Impresso por: 
Bibliotecária: Leila Regina do Nascimento - CRB- 9/1722.
Ficha catalográfica elaborada de acordo com os dados fornecidos pelo(a) autor(a).
Núcleo de Educação a Distância. VELASCO, Willian Goulart Gomes; 
SILVA, Márcia Erondina Dias de Souza da.
Geometria Plana, Espacial e Analítica / Willian Goulart Gomes 
Velasco (Org.); Márcia Erondina Dias de Souza da Silva (Org.). - Indaial, SC: 
Arqué, 2023.
360 p.
“Graduação - EaD”. 
1. Geometria Plana 2. Espacial 3. Analítica 4. EaD. I. Título. 
CDD - 516.32 
EXPEDIENTE
Centro Universitário Leonardo da Vinci.C397
FICHA CATALOGRÁFICA
RECURSOS DE IMERSÃO
Utilizado para temas, assuntos ou 
conceitos avançados, levando ao 
aprofundamento do que está sen-
do trabalhado naquele momento 
do texto. 
APROFUNDANDO
Professores especialistas e 
convidados, ampliando as 
discussões sobre os temas 
por meio de fantásticos 
podcasts.
PLAY NO CONHECIMENTO
Utilizado para agregar um 
conteúdo externo. Utilizando 
o QR-code você poderá 
acessar links de vídeos, 
artigos, sites, etc. Acres-
centando muito aprendizado 
em toda a sua trajetória.
EU INDICO
Este item corresponde a uma 
proposta de reflexão que pode 
ser apresentada por meio de uma 
frase, um trecho breve ou uma 
pergunta. 
PENSANDO JUNTOS
Utilizado para desmistificar pontos 
que possam gerar confusão 
sobre o tema. Após o texto trazer 
a explicação, essa interlocução 
pode trazer pontos adicionais que 
contribuam para que o estudante 
não fique com dúvidas sobre o 
tema. 
ZOOM NO CONHECIMENTO
Uma dose extra de conheci-
mento é sempre bem-vinda. 
Aqui você terá indicações de 
filmes que se conectam com 
o tema do conteúdo.
INDICAÇÃO DE FILME
Uma dose extra de conheci-
mento é sempre bem-vinda. 
Aqui você terá indicações de 
livros que agregarão muito 
na sua vida profissional.
INDICAÇÃO DE LIVRO
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207U N I D A D E 3
GEOMETRIA ANALÍTICA E O ESTUDO DO PONTO E RETA 208
GEOMETRIA ANALÍTICA E O ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA 256
A GEOMETRIA ANALÍTICA E O ESTUDO DAS CÔNICAS 306
5U N I D A D E 1
NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA 6
POLÍGONOS, TRIÂNGULOS, QUADRILÁTEROS E CÍRCULO 46
ESTUDO DAS RELAÇÕES E RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS 86
115U N I D A D E 2
ÁREA E PERÍMETRO DE FIGURAS PLANAS 116
POLIEDROS E PIRÂMIDES 144
SÓLIDOS REDONDOS 180
4
SUMÁRIO
MINHAS METAS
NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE 
GEOMETRIA
DR. WILLIAN GOULART GOMES VELASCO
Desenvolver o pensar geométrico e o raciocínio visual.
Compreender o modelo axiomático da geometria euclidiana.
Trabalhar as noções elementares: ponto, reta, plano e espaço.
Identificar ângulos e seus elementos.
Estudar proporcionalidade e o Teorema de Tales.
T E M A D E A P R E N D I Z A G E M 1
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INICIE SUA JORNADA
A palavra Geometria vem do grego: geo - terra, metria - medida e indica o 
ramo da matemática destinado a resolver questões de forma, tamanho e po-
sição relativa de figuras e ainda questões com propriedades do espaço.
A geometria teve início de forma independente em culturas antigas, como 
um conjunto de conhecimentos práticos sobre comprimento, área e volume. 
Por volta do século III a.C., a geometria foi posta em uma forma axiomática 
por Euclides, cujo tratamento, chamado de geometria euclidiana, estabeleceu 
um padrão que perdurou por séculos.
A geometria é aplicada em diversas áreas da atividade humana. Uma evi-
dência muito forte desse uso é encontrada na arquitetura. A geometria de po-
sição é fundamental para viabilizar a elaboração de projetos estruturais 
cujas formas arquitetônicas situam-se entre o limite da Matemática e da Física.
A natureza desperta a admiração do homem por sua beleza, harmonia de 
cores e perfeição das formas, incentivando-o a estudar essas formas encon-
tradas e compreender suas relações perfeitas. O homem começou a imitar a 
natureza em suas próprias construções, produzindo, assim, edificações cada 
vez mais rígidas e perfeitas.
A geometria desenvolve o pensar geométrico ou o raciocínio visual. Se 
essa matéria é deixada de lado, alguns transtornos podem ser causados no 
dia a dia do aluno, pois em seu cotidiano ele deve ter noção de paralelis-
mo, perpendicularismo, medição (comprimento, perímetro, área, volume), 
simetria, seja pelo visual (formas), seja pelo uso no lazer, na profissão ou na 
comunicação oral.
Antes de nos envolvermos nos conceitos geométricos, 
venha ouvir um resumo dessa área e alguns dos seus as-
pectos históricos mais marcantes.
PLAY NO CONHECIMENTO
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TEMA DE APRENDIZAGEM 1
DESENVOLVA SEU POTENCIAL
Vamos começar a fazer nossa caminhada por este mundo maravilhoso chamado 
Geometria, que é considerada por muitos estudiosos uma das áreas clássicas da 
matemática. Porém, para que possamos entender melhor o mundo da Geome-
tria é necessário que iniciemos nossos estudos pelo que há de mais elementar 
nesta disciplina, ou seja, suas noções primitivas: ponto, reta e espaço. A partir 
daí poderemos compreender as dimensões das formas geométricas. As noções 
de dimensão e espaço são relativamente simples, e você não terá dificuldade de 
compreendê-las. Na Geometria, essas noções são estabelecidas por meio de de-
finições que irão alicerçar os conceitos futuros trabalhados nesta disciplina. 
Antes de apresentarmos as regras básicas (axiomas) que fazem com que 
a geometria que estudamos seja similar ao que vemos ao nosso redor, vamos 
explorar as noções de ponto, reta e plano. Após estudarmos esses conceitos, 
vamos sedimentar o modelo geométrico com os axiomas que Euclides defi-
niu há centenas de anos.
No livro “A janela de Euclides” são apresentados aspectos 
da história da geometria O autor apresenta, desde os 
primórdios da geometria, com os axiomas de Euclides, até 
algumas pesquisas atuais da área. A linguagem é clara e 
voltada para divulgação.
INDICAÇÃO DE LIVRO
PONTO, RETA, PLANO E ESPAÇO
Partimos para nossa viagem de um ponto, passaremos por retas e planos. Estas 
figuras, como em uma viagem, são notadas no espaço físico. Na matemática, elas 
ganham um rigor conceitual específico sustentado às relações construídas no 
espaço de abstração matemática. Existe, neste ponto, uma relação estrita entre 
estas figuras no espaço físico e matemático. Deixando o rigor matemático para 
depois, vamos imaginar objetos reais que nos dão ideia destas formas:
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 ■ Um pequeno ponto em uma folha de papel nos dá a ideia de ponto 
geométrico.
 ■ Um fio elétrico esticado de um poste a outro nos dá a ideia de uma 
parte da reta.
 ■ A capa deste caderno de estudos nos dá a ideia de uma parte do plano.
 ■ O dado numerado que usamos para jogar nos dá a ideia de cubo.
É claro que podemos representar estas ideias, através de formas, numa folha de 
papel, e cada uma delas possui regras matemáticas claras para sua representação.Neste tópico, veremos como devem ser representadas.
Figura 1 – Ponto, reta, quadrado e cubo / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: são exibidos lado a lado a ilustração de um círculo, um segmento de reta, um quadrado 
e um cubo.
Temos na figura acima um ponto, uma reta, um quadrado e um cubo, represen-
tando, respectivamente, os espaços de zero, de uma, de duas e de três dimensões. 
Como vivemos num mundo de três dimensões, todas as formas com mais di-
mensões fogem a nossa percepção.
Um ponto não tem dimensão. Podemos imaginar que ao posicionar um objeto 
sobre um ponto não teríamos como movimentá-lo sem que ele não saia dos limites 
deste ponto. Ou seja, um local sem possibilidade de locomoção dimensional.
Uma reta tem apenas uma dimensão. Podemos dar o nome de compri-
mento à medida do segmento (parte, pedaço) de reta. Um segmento de reta é 
parte de uma reta, e pode ser medido, pois é finito. Por exemplo, poderia ser 
medido em centímetros.
Um plano tem duas dimensões. Podemos dar o nome de comprimento e 
largura aos lados do quadrado que está representando o plano. Neste caso, o 
quadrado é parte de um plano, e poderia ser medido, porque é finito e tem área. 
Por exemplo, poderia ser medido em centímetros quadrados.
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TEMA DE APRENDIZAGEM 1
Um espaço como este em que vivemos tem três dimensões. Podemos dar o 
nome de comprimento, largura e altura às dimensões do cubo representado na 
figura apresentada. Ele é parte de um espaço infinito, que pode ser medido. Por 
exemplo, poderia ser medido em centímetros cúbicos. Ele se assemelha muito 
aos objetos de nosso mundo físico.
• Um ponto pode ser colocado em uma reta, em um plano ou em um 
espaço como o nosso. 
• Uma reta pode ser colocada sobre outra, em um plano ou em nosso 
espaço tridimensional. 
• Um plano pode ser colocado sobre outro plano ou em um espaço 
tridimensional.
• Mas não é possível encaixar um objeto em um espaço que tenha um 
número menor de dimensões. Assim, uma reta não cabe em um pon-
to, um cubo não cabe em um plano nem em uma reta.
ZOOM NO CONHECIMENTO
A representação destas formas geométricas são:
a) O ponto é indicado por letras maiúsculas.
Exemplos:
Figura 2 – Pontos / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: são apresentados dois pontos. Um indicado pela letra A e o outro pela letra B. Abaixo do 
ponto A está escrito Ponto A e abaixo do ponto B está escrito Ponto B.
A
Ponto A
B
Ponto B
1
1
b) A reta é indicada por letras minúsculas.
Exemplos:
Figura 3 – Retas / Fonte: o autor.
Figura 4 – Planos alfa e beta / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: são apresentadas duas retas: uma indicada pela letra r e a outra pela letra s. Abaixo do 
reta s está escrito Reta s e abaixo da reta s está escrito Reta s.
Descrição da Imagem: são apresentados dois planos indicados pelas letras gregas alfa e beta. Abaixo do plano 
alfa está escrito Plano alfa e abaixo do plano beta está escrito Plano beta. 
r s
Reta r Reta s
c) O plano é indicado por letras gregas minúsculas: a (alfa), b (beta), g 
(gama) etc.
Exemplos:
α β
Plano α Plano β
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TEMA DE APRENDIZAGEM 1
SEGMENTO DE RETA
Dados dois pontos distintos, a reunião do conjunto desses dois pontos com o 
conjunto dos pontos que estão entre eles é um segmento de reta.
“Estar entre” é uma noção primitiva, que não definimos por ser muito básica.
Uma reta também pode ser indicada por dois de seus pontos, pois buscamos um 
modelo de geometria em que sempre é possível conectar pontos.
Exemplo:
Figura 5 – Reta definida por dois pontos / Fonte: o autor.
Figura 6 – Reta r que passa pelo ponto A / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: é apresentada uma reta passando pelos pontos A e B e abaixo é apresentada uma notação 
e sua pronúncia: AB com uma seta de duas pontas em cima, lê-se reta AB.
Descrição da Imagem: é apresentada uma reta, identificada por r, que passa pelo ponto A.
A B
Indicação: (lê-se: “reta AB”)AB
Perceba que os pontos A e B são as extremidades e os pontos que estão 
entre A e B são pontos internos do segmento dado. Se os pontos A e B 
coincidem ( A B= ), dizemos que o segmento é nulo.
SEMIRRETA
Observe a figura a seguir:
A r
Você pode verificar que em relação ao ponto A , a reta ficou dividida em duas partes:
1
1
Cada uma dessas partes é chamada semirreta, e o ponto A é chamado origem 
das semirretas.
Dados dois pontos distintos A e B , em uma reta r , conforme representa-
mos na figura a seguir. A semirreta AC
� ���
 de origem A é o conjunto dos pontos 
compreendidos no segmento AB e BC , para os quais B está entre A e C .
Figura 7 – Semirretas que passam pelo ponto A / Fonte: o autor.
Figura 8 – Reta r que passa pelos pontos A, B e C / Fonte: o autor.
Figura 9 – Reta r divide o 
plano alfa / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: são exibidos dois segmentos distintos da reta da figura anterior. O primeiro segmento é 
formado pelos pontos anteriores a A e o segundo, pelos pontos a partir de A
Descrição da Imagem: é exibida uma reta indicada por r e nela estão destacados os pontos A, B e C (nessa ordem).
Descrição da Imagem: é 
exibida uma reta indica-
da por r e que divide um 
plano alfa em dois semi-
planos, denotados por 
alfa1 e alfa2. Abaixo da 
figura está escrito alfa1 
união alfa2 é igual a alfa.
A
AA
A
C rBA
O ponto A é a origem da semirreta AC
� ���
. Se A estiver entre B e C , a semirreta 
AB
� ���
 e a semirreta AC
� ���
 são opostas.
SEMIPLANO
Se r ⊂ a (lê-se r está contido em alfa) e r divide o plano a em dois semiplanos. 
A reta r é chamada reta origem.
Exemplo:
r1
2
21 =
α α
α
α α α
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TEMA DE APRENDIZAGEM 1
AXIOMAS
Euclides sistematizou a geometria através do método dedu-
tivo, que consiste em aceitar sem demonstração certas pro-
posições a respeito de um sistema, neste caso, os axiomas, e 
demonstrar de maneira lógica, a partir dos axiomas, todas 
as proposições válidas do sistema, os teoremas.
Isto provocou uma série de discussões entre os 
matemáticos nos séculos seguintes. Atualmente ainda 
há postulados de Euclides, que são objetos de estudos 
e discussões. Este cenário é que originou o que chama-
mos hoje de Geometria Não Euclidiana.
Euclides foi o primeiro grande estudioso da Geometria e sua obra principal, 
denominada “Os elementos”, alcançou mais de 1.500 edições. Apesar disso, ainda 
hoje, mais de dois mil anos depois, os estudos de Euclides continuam válidos e 
são a base da geometria estudada nas escolas. Além disso, podemos observar 
aplicações dos teoremas e relações euclidianas em vários campos da ciência como 
nas engenharias e áreas tecnológicas em geral.
Os escritos deste grande matemático grego compõem-se de treze livros ou capí-
tulos que contêm 465 proposições, 93 problemas e 372 teoremas. Toda esta obra foi 
desenvolvida sobre um grupo de definições, quase todas resultantes de observações 
experimentais, e em noções comuns (ou axiomas) e postulados. 
Seguem alguns axiomas ou postulados relacionados aos elementos primitivos 
da geometria:
 ■ Em uma reta, bem como fora dela, há infinitos pontos. 
 ■ Em um plano há infinitos pontos.
 ■ Por um ponto passam infinitas retas.
 ■ É possível traçar uma reta ligando dois pontos.
 ■ Toda reta que tem dois pontos distintos num plano fica inteiramente 
contida no plano.
 ■ Dois pontos distintos determinam uma única reta que os contém.
 ■ Por três pontos não situados na mesma reta (não colineares) passa um e 
somente um plano.
 ■ Uma reta de um plano divide-o em dois semiplanos.
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 ■ Um plano divide o espaço em duas regiões chamadas semiespaços.
 ■ Dada uma reta r e um ponto exterior P , existe exatamente uma reta que 
passa em P e é paralela a r . 
Para utilizarmos os postulados de Euclides é importante definirmos os termos 
que utilizaremos: 
PONTOS COPLANARES: 
são pontos que pertencem a um mesmo plano.
PONTOS COLINEARES: 
são pontos que pertencem a uma mesma reta.
FIGURA: 
é qualquer conjunto de pontos.
FIGURA PLANA:é a figura que possui todos os seus pontos no mesmo plano.
FIGURA ESPACIAL: 
é a figura que possui seus pontos em mais de um plano.
GEOMETRIA PLANA: 
é parte da geometria que estuda as formas ou figuras planas.
GEOMETRIA ESPACIAL: 
é parte da geometria que estuda as formas ou figuras espaciais.
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TEMA DE APRENDIZAGEM 1
ÂNGULOS
Há inúmeras aplicações dos estudos sobre ângulos em várias áreas científicas. 
Na área tecnológica, na construção civil, e muitos outros campos de pesquisa, é 
possível observar sua aplicabilidade principalmente para fazer medidas de arco. 
Estas e outras análises serão feitas ao longo desse tópico.
Ao observar um canto qualquer da parede da sala onde você está, acompanhe a 
linha do rodapé até o canto de observação, você pode considerar a linha do rodapé 
como um segmento de reta. Este segmento se encontra no canto, com outro seg-
mento de reta que desce pela parede lateral. Os dois segmentos de reta, ou as duas 
retas-suporte concorrem neste ponto, formando um ângulo de 90º. O canto da pa-
rede onde as duas retas se encontraram, formando o ângulo, chamaremos de vértice.
Vamos continuar nossa viagem por mais um ponto muito importante da 
geometria.
ÂNGULO
A figura formada por duas semirretas de mesma origem chama-se ângulo.
O
A
B
Figura 10 – Ângulo / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: duas semirretas se originam de um mesmo ponto O. Em cada semirreta é destacado um 
ponto, chamados de A e B. Entre as semirretas existe uma região hachurada.
Na figura acima, o ponto O é denominado vértice do ângulo, e as semirretas OA
� ���
 
e OB
� ���
 são chamadas de lados do ângulo. 
Indicamos o ângulo AOB escrevendo: ˆAOB (lê-se “ângulo AOB”).
Observem que o símbolo ^ deve sinalizar o ângulo, por este motivo se en-
contrará sempre no centro da representação do ângulo.
1
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UNIDADES DE MEDIDA DE ÂNGULOS
A medida de ângulo é adotada internacionalmente por graus ( o ) e radianos 
(rad). O grau é representado por um número real positivo e tem por subdivi-
sões minutos e segundos. Um minuto se representa por 1’ e um segundo por 
1’’. Assim, um grau tem sessenta minutos (60’) e cada minuto se divide em 
sessenta segundos (60’’).
Exemplo: Se um ângulo mede 25º, 15 minutos e 6 segundos, escrevemos 25º15’6’’.
Por meio da medida do comprimento da circunferência determina-se a medida 
de um radiano que é a medida unitária considerada como o arco de circun-
ferência com mesmo comprimento do raio da circunferência.
Utilizando uma regra de três entre o comprimento de uma circunferência e seu 
raio, podemos perceber que p radianos =180o .
Para conversão de radianos para graus ou de graus para radianos basta montar 
uma regra de três utilizando uma das relações de equivalência.
Exemplo: Converter 20 graus em radianos utilizando a relação usual.
20
180
o
o
x−
−p rad
Logo 180 20
9
o x x� � �p prad rad .
Assim como os postulados de Euclides garantem a existência de um modelo 
de geometria, existem axiomas para garantir a medição de ângulos. São eles
• A todo ângulo corresponde um único número real maior ou igual a zero. 
Este número é zero se e somente se os lados do ângulo coincidem.
• Existe uma bijeção entre as semirretas de mesma origem que dividem 
um dado semiplano e os números entre zero e 180, de modo que a 
diferença entre os números é a medida do ângulo formado pelas sem-
irretas correspondentes.
• Se uma semirreta divide um ângulo, então esse ângulo pode ser escrito 
como a soma de outros dois.
APROFUNDANDO
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TEMA DE APRENDIZAGEM 1
 ■ ângulo raso ou de meia volta
A figura formada por duas semirretas opostas chama-se ângulo raso ou de 
meia volta. Indicamos por ˆ( ) 180� om AOB
A
O
B
Figura 11 – Ângulo raso / Fonte: o autor.
Figura 12 – Ângulo nulo / Fonte: o autor.
Figura 13 – Ângulo de uma volta / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: duas semirretas opostas com pontos A, O e B indicados nessa ordem. Ao redor do ponto 
O, existe um meio círculo.
Descrição da Imagem: uma semirreta com dois pontos. Um desses pontos é chamada de A e B e o outro O.
Descrição da Imagem: uma semirreta com dois pontos. Um desses pontos é chamada de A e B e o outro O. Ao 
redor do ponto O existe um círculo, indicando que foi feita uma volta completa.
Na figura apresentada, OA
� ���
 e OB
� ���
 são semirretas opostas. Então ˆAOB é um ân-
gulo raso.
A figura formada por duas semirretas coincidentes pode ser:
 ■ Ângulo nulo: ˆ( ) 0� om AOB
A
OB
 ■ Ângulo de uma volta: ˆ( ) 360� om AOB
A
OB
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ÂNGULOS CONSECUTIVOS
Dois ângulos são consecutivos 
quando possuem um vértice e um 
lado comuns.
Na figura a seguir
 ■ ˆAOB e ˆAOC são consecutivos 
porque o vértice O e o lado 
OA são comuns.
 ■ ˆBOC e ˆAOC são consecutivos 
porque o vértice O e o lado 
OC são comuns.
Na figura apresentada, os ângulos 
ˆAOB e ˆAOC são consecutivos, sendo 
a semirreta OA o lado comum. Mas, 
poderíamos dizer também que ˆAOB 
e ˆBOC são consecutivos, tendo a semirreta OB como lado comum. Ou ainda, 
ˆAOC e ˆBOC consecutivos, tendo a semirreta OC como lado comum.
ÂNGULOS CONGRUENTES
Dois ângulos são congruentes quando 
têm a mesma medida.
Figura 14 – Ângulos consecutivos / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: a partir do mesmo vértice O 
são traçadas três semirretas, onde uma está entre 
as outras duas. Em cada uma, um ponto é destacado 
nessa ordem e de baixo para cima: A, B e C.
A
B
C
O
A
B
O
50º
A
C
O
50º
Figura 15 – Ângulo congruentes
Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: são exibidos dois 
ângulos de medida igual a cinquenta graus, 
entre segmentos de retas diferentes.
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TEMA DE APRENDIZAGEM 1
Os ângulos ˆAOB e ˆAOC têm a mesma medida (50º).
Dizemos então que ˆAOB e ˆAOC são ângulos congruentes e escrevemos: 
ˆ ˆ�AOB AOC (lê-se: “ângulo AOB é congruente ao ângulo AOC”)
ÂNGULOS ADJACENTES
Dois ângulos são adjacentes quando possuem um vértice e um lado comum e 
não possuem ponto interno comum.
Observe na figura: ˆAOB e ˆBOC são consecutivos porque o vértice O e o lado 
OB são comuns. E são adjacentes porque não possuem ponto interno comum.
A
B
O
C
Figura 16 – Ângulos adjacentes / Fonte: o autor.
Figura 17 – Bissetriz de um ângulo / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: a partir do mesmo vértice O 
são traçadas três semirretas, onde uma está entre 
as outras duas. Em cada uma, um ponto é destacado 
nessa ordem e de baixo para cima: A, B e C.
Descrição da Imagem: a partir do mesmo vértice O 
são traçadas três semirretas, onde uma está entre 
as outras duas e tracejada. Em cada uma, um ponto 
é destacado nessa ordem e de baixo para cima: b, c 
e a. Os ângulos formados entre as três semirretas 
são indicados como iguais.
BISSETRIZ DE UM ÂNGULO
A bissetriz é um dos tipos de relações geométricas muito utilizada na geometria.
Vamos ao conceito: bissetriz de um ângulo é uma semirreta interna ao ângulo, 
com origem no vértice do ângulo e que o divide em dois ângulos congruentes.
bo
c
a
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1
CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS
De acordo com suas medidas, os ângulos recebem nomes especiais. Vamos 
estudá-los.
 ■ ÂNGULO RETO: é aquele que tem por medida 90º. Notação é um qua-
drado com um ponto no meio.
Figura 18 – Ângulo reto
Fonte: o autor.
Figura 19 – Ângulos agudos
Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: são indi-
cados dois segmentos formando 
um ângulo reto.
Descrição da Imagem: são indi-
cados dois segmentos formando 
um ângulo de 30º.
A
O
B
90º
A
B
O
30º
D
CO
120º
A
O
B
90º
A
B
O
30º
D
CO
120º
 ■ ÂNGULO AGUDO: é aquele cuja medida é menor que 90º, ou menor 
que um ângulo reto.
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1
TEMA DE APRENDIZAGEM 1
 ■ ÂNGULO OBTUSO: é aquele cuja medida é maior que 90º (ângulo 
reto) e menor que 180º.
A
O
B
90º
A
B
O
30º
D
CO
120º
Figura 20 – Ângulo obtuso / Fonte: o autor.
Figura 21 – Ângulos complementares com vértices distintos / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: são indicados dois segmentos formando um ângulo de 120º.Descrição da Imagem: em dois ângulos com vértices distintos, O e P são indicadas as seguintes medidas: ângu-
lo ˆCOD com quarenta graus e ˆFPE com cinquenta graus.
Destacamos que ainda podemos identificar mais uma situação de ângulo:
Ângulo côncavo é a abertura maior que 180° e menor que 360°.
SOMA DE ÂNGULOS
Ângulos Complementares
Dois ângulos que têm a soma de suas medidas igual a 90º são chamados ângulos 
complementares.
F
O
C
50º
P E
40º
D
F
O
C
50º
P E
40º
D
1
1
Veja que os ângulos ˆCOD e ˆFPE são complementares, pois 50 50 90o o o� � .
Se dois ângulos, além de complementares, são também adjacentes, serão cha-
mados ângulos adjacentes complementares.
Os ângulos ˆAOB e ˆBOC são adjacentes complementares.
Figura 22 – Ângulos adjacentes complementares / Fonte: o autor.
Figura 23 – Ângulos suplementares / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: em dois ângulos com mesmo vértice O. Os ângulos ˆCOB e ˆBOA são interiores ao ângulo 
reto ˆCOA.
Descrição da Imagem: dois ângulos com vértices distintos, O e P são indicadas as seguintes medidas: ângulo 
ˆAOB com trinta graus e ˆMPQ com cento e cinquenta graus.
AO
C
B
Ângulos Suplementares
Dois ângulos que têm a soma de suas medidas igual a 180º são chamados ângulos 
suplementares. 
A
O
B
30º
M
P Q
150º
A
O
B
30º
M
P Q
150º
Os ângulos ˆAOB e ˆMPQ são suplementares, pois a soma de suas medidas 
é 180º.
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TEMA DE APRENDIZAGEM 1
Se dois ângulos, além de suplementares, são também adjacentes, eles se de-
nominam ângulos adjacentes suplementares.
B
AC O
Figura 24 – Ângulos suplementares / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: dois ângulos com mesmo vértice O. Os ângulos ˆCOB e ˆBOA são interiores ao ângulo raso.
Exemplos:
 ■ A medida do complemento de um ângulo de 35º é 55º pois, 90º – 35º = 55º.
 ■ A medida do suplemento de um ângulo de 35º é 145º pois, 180 – 35º = 145º.
• A medida do complemento de um ângulo que mede x é 90º – x.
• A medida do suplemento de um ângulo que mede y é 180º – y.
ZOOM NO CONHECIMENTO
ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE
Dois ângulos são opostos pelo vértice se, e somente se, os lados de um deles são 
as respectivas semirretas opostas aos lados do outro.
Utilizando o programa Geogebra, podemos interagir e identi-
ficar visualmente ângulos opostos pelo vértice.
EU INDICO
1
4
https://www.geogebra.org/m/z29v6hcr
ÂNGULOS FORMADOS 
POR DUAS RETAS PARALE-
LAS E UMA TRANSVERSAL
Duas retas paralelas, r e s, corta-
das por uma transversal t, formam 
oito ângulos que, dois a dois, rece-
bem nomes especiais, como vere-
mos a seguir.
 ■ Ângulos correspondentes
Na figura são correspondentes: 1̂ 
e 5̂ , 4̂ e 8̂ , 2̂ e 6̂ , 3̂ e 7̂
Observe, também, que os 
ângulos correspondentes são 
congruentes.
Figura 25 – Ângulos correspondentes / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: duas retas paralelas, r e s, cor-
tadas por uma transversal t. São destacados os ângulos 
correspondentes 1̂ e 5̂ , 4̂ e 8̂ , 2̂ e 6̂ , 3̂ e 7̂
t
r
s
2
1
3 4
6 5
7 8
V
V
V
V
V
V
V
V
Vamos agora estudar detalhadamente cada par de ângulos:
 ■ Ângulos alternos internos 
 • Na figura, são alternos internos: 4̂ e 6̂ , 3 e 5̂ .
 • Lembre-se de que 4̂ é congruente a 6̂ e 3̂ é congruente a 5̂ .
 ■ Ângulos colaterais internos
 • Na figura são colaterais internos: 4̂ e 5̂ , 3̂ e 6̂ .
 • Lembre-se de que: ˆ ˆ(3) (6) 180� � om m e ˆ ˆ(4) (5) 180� � om m .
 ■ Ângulos alternos externos
 • Na figura são alternos externos: 1̂ e 7̂ , 8̂ e 8̂ .
 • Lembre-se de que 1̂ é congruente a 2̂ e 2̂ é congruente a 8̂ .
 ■ Ângulos colaterais externos
 • Na figura, são colaterais externos 1̂ e 8̂ , 2̂ e 7̂ .
 • Lembre-se de que: ˆ ˆ(2) (7) 180� � om m e ˆ ˆ(1) (8) 180� � om m .
UNIASSELVI
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TEMA DE APRENDIZAGEM 1
POSIÇÕES DE RETAS
Chegamos a mais um estágio de nossa viagem pela geometria. Neste momento 
iremos analisar a posição relativa de retas no plano. 
Ao escutar a palavra reta pode tentar visualizá-la em vários objetos que estão 
ao seu redor. Por exemplo: na fuga que divide dois pisos, na aresta de uma mesa, 
ou na superfície lateral de uma folha de caderno. Você pode também pensar em 
qualquer reta suporte de uma forma geométrica. 
Por isso, sugerimos que você tenha por perto um prisma qualquer (pode ser 
um cubo de qualquer material), que manter usado para analisar as diferentes 
posições de retas que estudaremos a partir de agora.
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
Retas coplanares
Duas ou mais retas são coplanares quando estão contidas no mesmo plano. Neste 
caso, algumas possibilidades podem ocorrer: paralelismo, concorrência ou per-
pendicularidade.
Na figura a seguir, vemos r s t r s t� � � �a a a, , , , , , coplanares .
Figura 26 – Retas coplanares / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: um plano, identificado por alfa, contendendo três retas chamadas s, r e t.
r
t
s
α
1
6
 ■ Concorrentes, 
quando têm 
apenas um pon-
to comum, isto é 
r s P∩ = .
Notação: r s× .
Figura 27 – Retas paralelas / Fonte: o autor.
Figura 28 – Retas concorrentes / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: um plano, identificado por alfa, duas retas pa-
ralelas chamadas r e s
Descrição da Imagem: um plano, identificado por alfa, duas retas con-
correntes no ponto P e chamadas r e s.
r
s
αDuas retas coplanares podem ser:
 ■ Paralelas, quan-
do não têm pon-
to comum, ou 
seja r s� �� .
Notação: r s/ / .
r
s
α
P
 ■ Perpendiculares, quando duas retas concorrentes formam entre si ângu-
los retos, dizemos que formam um tipo especial de concorrência e por 
isso são chamadas de retas perpendiculares. 
Notação: r s⊥ .
UNIASSELVI
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TEMA DE APRENDIZAGEM 1
Deste modo, duas 
retas são perpendicula-
res se, e somente se, são 
concorrentes (têm ponto 
comum) e formam ân-
gulos adjacentes suple-
mentares congruentes.
No plano cartesiano, 
a base de referência são 
duas retas concorrentes 
ortogonais. Você estu-
dará a representação 
cartesiana na disciplina 
de Geometria Analítica.
Figura 29 – Retas perpendiculares / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: um plano, identificado por alfa, duas retas per-
pendiculares com o ângulo de noventa graus.
α
Critério de paralelismo entre reta e plano
 ■ Critério1: se uma reta é paralela a uma reta de um plano, é paralela ao plano.
 ■ Critério 2: se um plano contém duas retas concorrentes paralelas a outro 
plano, os planos são paralelos.
Critério de perpendicularidade entre reta e plano
Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano, é perpen-
dicular ao plano.
Critério de perpendicularidade entre dois planos
Se um plano contém uma reta perpendicular a outro plano, os dois planos são 
perpendiculares. 
Uma reta e um plano são perpendiculares, se e somente se, eles têm um ponto 
comum e a reta é perpendicular a todas as retas que passam por este ponto comum.
Indicação: r ⊥ a .
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Retas reversas
Duas retas são reversas quando não são paralelas nem possuem ponto comum. 
Isto significa que não existe um plano que as contenha. Podemos imaginar uma 
reta r desenhada no chão de uma sala e uma reta t, não paralela a r, desenhada 
no teto da mesma sala.
Figura 31 – Segmento de reta / Fonte: o autor.
Figura 30 – Retas reversas
Fonte: Dalpiaz e Bona (2014, 
p. 169).
Descrição da Imagem: uma reta r pontilhada com um segmento destacado entre os pontos A e B.
Descrição da Imagem: 
temos 8 segmentos de 
restas dispostas como 
arestas de um paralelepí-
pedo. Dois segmentos 
estão destacados indica-
dos a situação de retas 
reversas.
A D
E H
CB
E G
SEGMENTOS DE RETA
Vamos estudar agora como podem ser dois ou mais segmentos de reta. Iniciamos 
observando a figura a seguir:
A B r
Como já vimos, o conjunto formado pelos pontos A , B e por todos os pontos 
da reta entre A e B é chamado segmento de reta.
Os pontos A e B são chamados extremos do segmento AB . Os pontos 
internos do segmento AB são os pontos que estão entre A e B .
Assim como os ângulos, podemos garantir a medição de segmentosde retas 
utilizando axiomas.
UNIASSELVI
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TEMA DE APRENDIZAGEM 1
Segmentos consecutivos
Dois segmentos de reta são consecutivos se uma extremidade de um deles é 
também extremidade do outro. Ou seja, a extremidade de um coincide com a 
extremidade do outro.
Os segmentos AB e C das duas figuras acima possuem um extremo comum, 
B . Logo, AB e BC são segmentos consecutivos.
A
B
C
A C
B
A
B
C
A C
B
Figura 32 – Segmentos consecutivos de reta / Fonte: o autor.
Figura 33 – Segmentos colineares / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: são apresentadas duas imagens com segmentos consecutivos. A primeira imagem exibe 
os pontos A, B e C colineares. A segunda imagem exibe os segmentos como os lados de um triângulo, sem um 
dos lados.
Descrição da Imagem: sobre uma reta r são destacados os pontos A, B, C e D (nesta ordem). Entre A e B está 
destacado um segmento e entre C e D está destacado outro segmento.
Segmentos colineares
Dois segmentos são colineares se estão numa mesma reta.
Exemplos:
Na figura a seguir, AB r⊂ e CD r⊂ . Logo AB e CD são segmentos 
colineares.
A D rCB
Dizemos que AB e BC são segmentos colineares e adjacentes se são colineares 
e consecutivos.
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Observe que nem todo segmento colinear é adjacente. E que nem todo seg-
mento adjacente é colinear.
Segmentos congruentes
A congruência de segmentos é uma noção primitiva aceita pelos postulados de 
Euclides. A congruência é a forma como dizemos que dois segmentos são “iguais”, 
mas são originados por pontos distintos.
A noção de congruência satisfaz as seguintes propriedades:
 ■ Todo segmento é congruente a si mesmo: AB AB≅ .
 ■ Se AB CD≅ , então CD AB≅ .
 ■ Se AB CD≅ e CD EF≅ , então AB EF≅ . Pela propriedade transitiva.
Ponto médio de um segmento
Um ponto M é ponto médio de um segmento AB se, e somente se, M está 
entre A e B de tal forma que AB MB≅ .
Figura 34 – Segmentos colineares e consecutivos / Fonte: o autor.
Figura 35 – Ponto médio / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: sobre uma reta r são destacados os pontos A, B e C (nesta ordem). Entre A e B está des-
tacado um segmento e entre B e C está destacado outro segmento adjacente ao segmento de extremos A e B.
Descrição da Imagem: sobre uma reta são destacados os pontos A, M e B (nessa ordem) com indicações de que 
M divide o segmento de extremos A e B ao meio.
A rCB
A
r
M B
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TEMA DE APRENDIZAGEM 1
Proporcionalidade
Vamos continuar nossa viagem pela geometria. Supondo que você queira 
calcular a altura de um determinado prédio ou igreja, ou que você trabalhe 
em uma profissão em que as unidades de medida de altura são importantes: 
como encontrar a medida de altura de qualquer objeto sem precisar subir 
nele? Será que é possível fazer isso?
Veremos que com alguns conceitos de proporcionalidade poderemos fazer 
este tipo de cálculo. Estes conceitos são importantes para vários ramos da ciência 
como, por exemplo, na construção civil.
TEOREMA DE TALES
Observe na figura a seguir: as retas r , s e t , que juntas formam um feixe (um 
conjunto) de retas paralelas. Todas estão cortadas pelas retas transversais u e m .
r
s
t
m u
P A
R B
Q C
Figura 36 – Feixe de retas paralelas / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: são exibidas as retas r, s e t que juntas formam um feixe de retas paralelas. Todas estão 
cortadas pelas retas transversais u e m. 
A reta u determina com as retas paralelas os segmentos AB e BC e a reta m 
determina os segmentos PR e RQ . A relação existente entre esses segmentos é 
assegurada pelo Teorema de Tales.
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1
Teorema de Tales: se duas retas são transversais de um feixe de paralelas, 
então, a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão 
entre os respectivos segmentos correspondentes da outra.
Vejamos como podemos aplicar o teorema de Tales. 
Vamos iniciar com a ideia do mapa de um bairro de uma cidade qualquer:
Figura 37 – Feixe de retas paralelas – exemplos ruas / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: são exibidas as retas Rua A, Rua B e Rua C que juntas formam um feixe de retas paralelas. 
Todas estão cortadas pelas retas transversais Av 1 e Av 2. A Av 1 é cortada em dois segmentos de comprimento 
40m e 25m. A Av 2 é cortada em dois segmentos de comprimento x e 30m.
Av. 1
Av. 2
25m 30m
40m X
Rua A
Rua B
Rua C
Observe que na Avenida 2, entre a Rua B e a Rua C, não conhecemos a distância 
em metros. Como se trata de um número desconhecido, a princípio chamaremos 
esta distância de x . 
Como as Ruas A, B e C são paralelas, podemos aplicar o teorema de Tales, 
considerando a proporcionalidade dos segmentos determinados pelas paralelas 
e pelas transversais avenidas 1 e 2.
Assim 
25
40
30
=
x
. Fazendo o produto dos meios e dos extremos, posterior-
mente, isolando a incógnita teremos: x m= 48 .
Então, a distância desconhecida no mapa é de 48 m.
UNIASSELVI
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TEMA DE APRENDIZAGEM 1
Relações no espaço
Vamos aprofundar nossos conhecimentos analisando objetos no espaço a partir 
das relações entre pontos, retas e planos.
É de fundamental importância que você desenvolva suas habilidades de ana-
lisar figuras no plano. Assim importa ter em mente os conhecimentos estudados 
seções anteriores, pois as mesmas relações para o plano são válidas no espaço.
RELAÇÕES ENTRE DUAS RETAS NO ESPAÇO
Para melhor compreensão das relações entre retas no espaço vamos observar a 
representação geométrica de uma ‘caixa’ em formato retangular:
Tales era um próspero negociante, engenheiro e astrônomo da antiga 
Grécia. Viveu numa época em que os estudiosos se dedicavam a todas as 
disciplinas, e ele era um deles. Certa ocasião, quando viajou para o Egito, o 
Faraó o convidou para determinar a altura da grande pirâmide.
Utilizando, o que hoje chamamos de semelhança de triângulo, Tales con-
seguiu medir a altura da pirâmide. Para realizar essa tarefa, Tales utilizou a 
comparação entre as sombras de seu cajado e da pirâmide.
APROFUNDANDO
A
B
F
E
C
G
D
H Figura 38 – Caixa em formato retangular
Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: são apresentadas 
doze retas formando uma caixa. Seus vérti-
ces identificados pelas letras A até H.
As retas AB , BC , CD e DA são coplanares porque o plano ( ABCD ) as contém. 
Também são retas coplanares as retas AE , EH , DH e DA porque o plano (
AEHD ) contém essas três retas.
3
4
Se duas retas distintas formam um plano, então, duas ou mais retas são retas 
coplanares quando existe um plano que as contém.
A relação também ocorre para os planos: BFGC , CGDH , BFEA e EFGH .
As retas coplanares AB e CD não têm ponto em comum. O mesmo ocorre 
com as retas coplanares BC e DA .
Retas coplanares distintas que não têm ponto em comum são chamadas de 
retas paralelas. 
Outros pares de retas paralelas distintas são: GH , EF , CG e DH
O par de retas AB e DA tem um único ponto comum, isto é, as retas intercep-
tam-se num ponto. O mesmo acontece em BC e CD .
Retas que têm um único ponto em comum são chamadas de retas concor-
rentes.
Outros pares de retas paralelas distintas são: FG e GH , CG e FG .
Para as retas AB e FG não existe um plano que contenha as duas.
Dadas duas retas, quando não existe um plano que as contenha, são chama-
das de retas reversas ou não coplanares.
Outros pares de retas reversas ou não coplanares são: GH e AD , BC e EF .
• Duas retas paralelas são sempre coplanares.
• Duas retas concorrentes são sempre coplanares.
ZOOM NO CONHECIMENTO
UNIASSELVI
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TEMA DE APRENDIZAGEM 1
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DOIS PLANOS DISTINTOS
As principais posições relativas entre dois planos distintos são:
 ■ Paralelos
 • caso especial: paralelos coincidentes.
 ■ Secantes
 • caso especial: secantes perpendiculares
Se dois planos secantes não forem perpendiculares, são chamados de oblíquos.
Vamos às representações:
 ■ Planos paralelos: quando não houver ponto em comum aos dois planos.
Figura 39 – Planos paralelos / Fonte: Dalpiaz e Bona (2014, p. 170).
Figura 40– Planos paralelos coincidentes / Fonte: Dalpiaz e Bona (2014, p. 170).
Descrição da Imagem: dois planos paralelos, denominados por alfa e beta.
Descrição da Imagem: um plano denominado por alfa e beta.
α
β
Planos paralelos coincidentes: quando possuem todos os pontos em comum.
α
β
β=α
r
β
α
3
6
Planos secantes: quando possuem uma reta comum
Figura 41 – Planos secantes / Fonte: Dalpiaz e Bona (2014, p. 170).
Figura 42 – Planos secantes perpendiculares / Fonte: Dalpiaz e Bona (2014, p. 170).
Descrição da Imagem: dois planos, chamados alfa e beta, se intersectando em uma reta.
Descrição da Imagem: dois planos, chamados alfa e beta, se intersectando em um ângulo de 90º.
α
β
β=α
r
β
α
α
β
β=α
r
β
α
Planos secantes perpendiculares: quando a reta de um plano é perpendicular 
ao outro.
UNIASSELVI
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TEMA DE APRENDIZAGEM 1
DETERMINAÇÃO DE UM PLANO
Quando temos três pontos não colineares, existe um único plano que passa pelos 
três. Esta afirmação consiste em um importante postulado da Geometria: Três 
pontos não colineares determinam um único plano.
A partir deste postulado, inferimos as possíveis formas de determinar um plano:
POR TRÊS PONTOS NÃO COLINEARES
POR UMA RETA E UM PONTO FORA DELA
α
A
B
C
α
A
r
αr s
α
r
s
Figura 43 – Plano determinado por três pontos / Fonte: Dalpiaz e Bona (2014, p. 174).
Figura 44 – Plano determinado por uma reta e um ponto fora dela / Fonte: Dalpiaz e Bona (2014, p. 174).
Descrição da Imagem: em um plano alfa temos três pontos A, B e C não colineares.
Descrição da Imagem: em um plano alfa temos uma reta r e um ponto A fora dela.
3
8
POR DUAS RETAS PARALELAS DISTINTAS
POR DUAS RETAS CONCORRENTES
NOVOS DESAFIOS 
A geometria é o ramo da Matemática que trata do estudo da medida, forma, 
tamanho e posição relativa de figuras e ainda questões com propriedades do 
espaço. Aqui foi possível conhecer alguns conceitos fundamentais da geometria 
para dar início ao seu estudo.
As construções geométricas apareceram na antiguidade e tiveram grande 
importância no desenvolvimento da Matemática. Mesmo que todo o modelo 
desenvolvido seja baseado em pouco axiomas, o poder da geometria é vivenciado 
por nós a todo momento.
α
A
r
αr s
α
r
s
α
A
r
αr s
α
r
s
Figura 45 – Plano determinado por duas relatas paralelas / Fonte: Dalpiaz e Bona (2014, p. 174).
Figura 46 – Plano determinado por duas retas concorrentes / Fonte: Dalpiaz e Bona (2014, p. 174).
Descrição da Imagem: 3m um plano alfa temos duas retas r e s paralelas e distintas.
Descrição da Imagem: em um plano alfa temos duas retas r e s concorrentes.
UNIASSELVI
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VAMOS PRATICAR
1. Apresentamos neste primeiro tema de aprendizagem o conceito de ângulos comple-
mentares e suplementares. Esses conceitos são importantes em muitos problemas 
matemáticos e da vida cotidiana. Existem muitas situações nas quais podemos nos 
deparar com medidas de ângulos, como, por exemplo, entre os ponteiros de um relógio, 
em caixas de produtos, em cruzamento de ruas ou placas de trânsito. Em algumas 
dessas situações, tão importante quando o valor do ângulo é o valor de seu comple-
mento ou suplemento.
SIQUEIRA, R. A. ; MARCUSSI, F. Geometria com construções geométricas. Maringá: 
Unicesumar, 2018. 152 p.
Em uma sala de aula, há dois alunos, Ana e Carlos, que estão sentados em carteiras ad-
jacentes. Ao olhar para suas mesas, eles percebem que suas mesas formam um ângulo. 
Ana mede o ângulo formado e encontra um valor de 120°. Carlos, curioso, decide medir o 
ângulo formado pela mesa dele com a mesa de Ana e encontra um valor de 60°.
Com base nessas informações, responda às seguintes perguntas:
a) Qual é o tipo de ângulo formado pelas mesas de Ana e Carlos? Explique.
b) Se Ana e Carlos deslizarem suas mesas para uma nova posição em que as mesas 
fiquem paralelas (uma ao lado da outra), que medida de ângulo será formada entre as 
mesas nessa nova configuração?
2. O modelo de geometria que mais utilizamos em nossas tarefas diárias é devido aos 
escritos do matemático Euclides. Seus vários livros, chamados Elementos, são a base 
da geometria axiomática e também do estilo de matemática que desenvolvemos até 
os dias de hoje. 
Em sua obra, Euclides elencou diversos axiomas que servem de base teórica para resul-
tados mais elaborados. Por exemplo, quando temos três pontos não colineares, existe um 
único plano que passa pelos três. Esta afirmação consiste em um importante postulado 
da Geometria, que nos diz que “três pontos não colineares determinam um único plano”.
DALPIAZ, M. V. A. D; BONA, J. Geometria. Indaial: Uniasselvi, 2014. 249 p. 
A partir desse postulado, inferimos quatro possíveis formas de determinar um plano. 
Quais são elas?
4
1
VAMOS PRATICAR
3. A Geometria Espacial é a área da Matemática que estuda os objetos geométricos em 
três dimensões, o que chamamos de figuras tridimensionais. Nela, aprendemos sobre 
os sólidos geométricos e suas diversas propriedades. 
DALPIAZ, M. V. A. D; BONA, J. Geometria. Indaial: Uniasselvi, 2014. 249 p. 
Analise as sentenças a seguir e assinale a alternativa correta:
I - Retas paralelas: são retas que possuem interseção e estão em um mesmo plano.
II - Pontos coplanares: são pontos que não pertencem a um mesmo plano.
III - Figura espacial: é a figura que possui seus pontos em mais de um plano.
É correto o que se afirma em:
a) I, apenas.
b) III, apenas.
c) I e III, apenas.
d) II e III, apenas.
e) I, II e III.
4
1
VAMOS PRATICAR
4. Os estudos matemáticos, além de lidarem com conceitos abstratos, se dedicam a es-
tudar e compreender objetos que podemos encontrar em nosso cotidiano. As formas 
mais simples que conhecemos são aquelas planas, cuja descrição pode ser feita com 
apenas duas dimensões. Por outro lado, o mundo que nos rodeia é repleto de objetos 
tridimensionais (que por sua vez podem ser decompostos em outros bidimensionais). 
Como são existem muito objetos tridimensionais, nos especializamos em estudar al-
gumas formas mais simples e que permitem a compreensão de outras mais elabora-
das (formadas por combinações). O ramo da matemática que estuda essas figuras de 
três dimensões é a Geometria Espacial, e exemplos desses objetos são os poliedros e 
corpos redondos.
DALPIAZ, M. V. A. D; BONA, J. Geometria. Indaial: Uniasselvi, 2014. 249 p. 
Com relação aos elementos primitivos da geometria espacial, assinale a alternativa cor-
reta:
a) Os conceitos iniciais da geometria espacial são: o ponto, a reta e o plano. O ponto 
é adimensional (não possui dimensão), a reta é unidimensional (possui uma única 
dimensão: o comprimento) e o plano é bidimensional (possui duas dimensões: com-
primento e largura).
b) As retas são elementos primitivos da geometria espacial, são representadas por le-
tras maiúsculas e podem ser classificadas de acordo com sua posição num plano 
(horizontal, vertical e diagonal) ou de acordo com outra reta próxima a ela (paralela 
ou concorrente). 
c) Os planos são elementos primitivos da geometria espacial, são representados por 
letras do alfabeto egípcio.
d) O ponto é um dos elementos primitivos da geometria espacial e é representado por 
letras minúsculas do alfabeto brasileiro.
e) Não existe elementos primitivos na geometria espacial, somente na geometria plana.
4
1
VAMOS PRATICAR
5. O estudo de geometria, segundo Euclides, se baseia em alguns termos primitivos e 
diversos axiomas. Graças a essa metodologia, entendemos que existem pontos, e que 
por dois pontos podemos traçar uma reta. Apesar de ser uma noção empiricamente 
verificável, para conceber essas ideias de um ponto de vista puramente racional, filó-
sofos e outros cientistas dedicaram anos de estudos. 
Um avanço dessas noções é compreender o que acontece com três dimensões. Isto 
é, gostaríamos de poder generalizar as ideias da Geometria plana para uma teoria que 
englobe mais objetos. Na Geometria Espacial, podemos fazer diversas relações entre os 
pontos, as retas e os planos. Em particular, dentre essas relações,estão as entre duas 
retas no espaço. 
DALPIAZ, M. V. A. D; BONA, J. Geometria. Indaial: Uniasselvi, 2014. 249 p. 
Com base nas informações apresentadas, avalie as asserções a seguir e a relação pro-
posta entre elas:
I - Duas retas paralelas são sempre coplanares
PORQUE
II - Duas retas concorrentes também são sempre coplanares. 
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:
a) As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
b) As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
c) A asserção I é uma proposição verdadeira e a II é uma proposição falsa.
d) A asserção I é uma proposição falsa e a II é uma proposição verdadeira.
e) As asserções I e II são falsas.
4
3
REFERÊNCIAS
BARBOSA, J. L. M. Geometria euclidiana plana. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de 
Matemática, 1985.
BOYER, C. B. História da matemática. Tradução de Elza F. Gomide. São Paulo: Edgard Blu-
cher, 1974.
DALPIAZ, M. V. A. D.; BONA, J. Geometria. Indaial: Uniasselvi, 2014.
DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos de matemática elementar: geometria espacial, 
posição e métrica. São Paulo: Atual, 2004. v. 10.
EUCLID. The thirteen books of the elements: translated with introduction and commen-
tary by Sir Thomas Heath. New York: Dover, 1956.
HILBERT, D. Fundamentos de geometria. Lisboa: Gradiva, 2003.
HILBERT, D. Fundamentos de matemática elementar: geometria plana. São Paulo: Atual, 
2004. v. 9.
LIMA, E. L. Medida e forma em geometria. Rio de Janeiro: BM, 1991. (Coleção do Professor 
de Matemática).
LIMA, E. L. Matemática e ensino. Rio de Janeiro: SBM, 2001. (Coleção do Professor de Ma-
temática).
SIQUEIRA, R. A. N.; MARCUSSI, F. Geometria com construções geométricas. Maringá: 
Unicesumar, 2018.
WAGNER, E.; CARNEIRO, J. P. Q. Construções geométricas. 4. ed. Rio de Janeiro: SBM, 
2000.
4
4
1. a). Observe que a soma dos ângulos encontrados é 120o + 60o = 180o. Logo, esses ân-
gulos são suplementares.
b). Como as duas mesas devem ficar paralelas e lado a lado, o ângulo formado entre elas 
deve ser 180o.
2. Um plano pode ser determinado por: três pontos não colineares; por uma reta e um ponto 
fora dela; por duas retas paralelas distintas; e por duas retas concorrentes.
3. I – Falso – Por definição, retas paralelas são retas que não possuem interseção e estão 
em um mesmo plano.
II - Falso – Por definição, pontos coplanares são pontos que pertencem a um mesmo plano.
III - Verdadeiro – Por definição, as figuras espaciais são figuras que possui seus pontos 
em mais de um plano.
4. Por definição de elementos primitivos, temos que os conceitos iniciais da geometria es-
pacial são: o ponto, a reta e o plano. O ponto é adimensional (não possui dimensão), a reta 
é unidimensional (possui uma única dimensão: o comprimento) e o plano é bidimensional 
(possui duas dimensões: comprimento e largura) .
5. Por definição, duas retas são sempre coplanares e duas retas concorrentes também são 
sempre coplanares, entretanto as duas não possuem relações diretas, isto é, uma não é 
justificativa da outra.
GABARITO
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1
MINHAS METAS
POLÍGONOS, TRIÂNGULOS, 
QUADRILÁTEROS E CÍRCULO
DR. WILLIAN GOULART GOMES VELASCO
Apresentar polígonos, seus elementos e principais tipos.
Estudar as relações de ângulos em polígonos.
Classificar triângulos e compreender suas principais propriedades.
Definir quadriláteros e reconhecer os principais exemplos.
Identificar os principais elementos de uma circunferência.
T E M A D E A P R E N D I Z A G E M 2
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6
INICIE SUA JORNADA
Nosso foco ao longo desta unidade de estudo são os polígonos, triângulos, qua-
driláteros e as circunferências. 
O estudo de circunferências é feito desde a antiguidade e pode ser aplicado 
a diversas áreas. Por exemplo, o cálculo do comprimento da circunferência 
da Terra feito pelo matemático grego e diretor da biblioteca de Alexandria, 
Eratóstenes (276–195 a.C.).
Em seus estudos, Eratóstenes percebeu que diferentes localidades produziam 
sombras com diferentes inclinações em um mesmo horário. Então, ele conjec-
turou que a determinação do ângulo entre essas medições indicaria um ângulo, 
e com esse ângulo, seria possível determinar o tamanho (aproximado) da terra.
O valor encontrado por ele foi apenas 15% maior do que o real, o que é bem 
razoável pelo método disponível na época. O erro ocorreu por duas razões: a 
distância entre as duas cidades não era sabida com exatidão, nem as duas cidades 
se localizam no mesmo meridiano. Se esses dois fatos fossem verdadeiros, o erro 
seria de aproximadamente 2%.
Com esse exemplo, é possível verificar que o estudo da Geometria teve início 
há muito tempo e, desde então, se mostra muito assertivo. 
Vamos conhecer os polígonos e circunferências e seus principais exemplos, 
bem como identificar a semelhança de triângulos.
Começamos nossos estudos apresentando algumas históri-
as relacionadas aos tópicos que abordaremos. Ouçam o pod-
cast a seguir e se preparem para nossa unidade de estudo.
PLAY NO CONHECIMENTO
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TEMA DE APRENDIZAGEM 2
DESENVOLVA SEU POTENCIAL
A partir deste tópico, vamos ampliar nossa capacidade de abstração analisando 
algumas figuras específicas chamadas polígonos. Em alguns momentos, vamos 
fazer demonstrações matemáticas utilizando a linguagem matemática e argu-
mentos encadeados em uma sequência lógica.
A palavra polígono é proveniente do grego, que quer dizer: poli (muitos) + go-
nos (ângulos). A grosso modo, podemos definir um polígono matematicamente 
como uma figura geométrica plana e fechada por segmentos de reta.
Sempre que tratarmos de polígonos, estaremos nos referindo a uma forma 
plana. Qualquer polígono é uma figura poligonal.
VAMOS RECORDAR?
A origem da Geometria é imprecisa, contudo, há uma certeza: um marco 
histórico na construção da Geometria ocorreu no século III a.C., quando o 
matemático grego Euclides de Alexandria organizou todo o conhecimento 
geométrico então disponível, grande parte de sua própria criação, em uma obra 
de treze volumes, denominada Os elementos (EUCLID, 1956).
Seguem alguns axiomas (também chamados de postulados) relacionados aos 
elementos primitivos da geometria (ponto, reta, plano, estar entre):
• Dois pontos distintos determinam uma única reta que os contém.
• Em uma reta, bem como fora dela, há infinitos pontos.
• Em um plano, há infinitos pontos.
• Por um ponto, passam infinitas retas.
• É possível traçar uma reta ligando dois pontos.
• Toda reta que tem dois pontos distintos num plano fica inteiramente contida 
no plano.
• Por três pontos não situados na mesma reta (não colineares), passa um e 
somente um plano.
• Uma reta de um plano divide-o em dois semiplanos.
• Um plano divide o espaço em duas regiões chamadas semiespaços.
• Dada uma reta r e um ponto exterior P , existe exatamente uma reta que 
passa em P e é paralela a r .
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8
São muitas as formas poligonais que nos circundam, um breve momento de 
observação de alguns objetos certamente lhe permitirá identificar triângulos, 
quadriláteros, pentágonos, entre outros.
Neste tópico, nosso objeto de estudo são os tipos de polígonos. Na sequência, de-
dicamos um tópico especialmente para o triângulo e outro para a circunferência por 
serem estas duas figuras primitivas de outras construções geométricas mais complexas.
Para o estudo das próximas páginas, vamos necessitar dos conceitos já apren-
didos sobre pontos, retas e planos. Preparado(a)? Então, vamos lá!
Bons estudos!
POLÍGONO
Uma linha poligonal fechada simples (isto é, a reta termina no ponto onde se 
inicia e não apresenta autointerseções) é chamada polígono. 
Podemos, também, definir polígono como uma figura plana formada por três ou 
mais segmentos chamados lados, de modo que cada lado tem interseção com somente 
outros dois lados adjacentes. Aqui, estamos pensando na linha que delimita essa figura.
Frequentemente a palavra polígono refere-se apenas ao contorno da figura. 
Contudo, outras vezes, refere-se ao contornoe à região plana que é seu interior. 
Por isso podemos dizer que um polígono divide o plano em duas regiões, sem 
pontos comuns: a região interior e a região exterior. 
Observe na figura a seguir o pentágono contido no plano a .
Exterior
Interior
α
Figura 1 - Pentágono no plano / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: um retângulo é identificado com um plano alfa. Em seu interior, temos um pentágono 
hachurado. Dentro do pentágono está escrito Interior, e fora, ainda dentro do plano, está escrito Exterior
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TEMA DE APRENDIZAGEM 2
Se o segmento que une dois pontos quaisquer da região interior de um polígono 
estiver contido nessa região, dizemos que o polígono é convexo. 
Podemos dizer, ainda, que um polígono convexo é um polígono construído de 
modo que os prolongamentos dos lados nunca ficarão no interior da figura original. 
Se dois pontos pertencem a um polígono convexo, então, todo o segmento ten-
do estes dois pontos como extremidades estará inteiramente contido no polígono.
Se existirem dois pontos no interior de um polígono tal que o segmento 
determinado por eles não esteja contido na região, dizemos que o polígono é 
côncavo ou não convexo.
Podemos dizer, ainda, que um polígono é côncavo se, dados dois pontos do 
polígono, o segmento que tem estes pontos como extremidades contiver pontos 
que estão fora do polígono.
As figuras a seguir são exemplos de polígonos convexos e não convexos:
A B A
A
A
B
B
BA B
Figura 2 - Polígonos convexos e não convexos / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: são apresentados cinco polígonos, em cada um, são identificados pontos A e B e um 
segmento entre eles. Os três primeiros são convexos e são: losango, triângulo e paralelogramo. Os dois últimos 
não são convexos e são: uma cruz e uma estrela de quatro pontas.
No dia a dia, podemos observar 
os polígonos nas construções 
das cidades, nas embalagens 
que nos cercam e na natureza. 
Vejamos alguns exemplos:
1. No formato das col-
meias das abelhas que 
mais parece uma re-
gião revestida por um 
mosaico de polígonos.
Figura 3 - Colmeia de abelha
Descrição da Imagem: uma colmeia de abelhas exibindo for-
mas poligonais
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1
2. Em obras de arte. Destacamos os artistas Piet Mondrian e Hélio Oiticica 
que se inspiraram em formas poligonais.
Figura 4 - Obras de arte
Descrição da Imagem: a figura exibe duas obras de artes. Uma pintura formada por quadrilateros nas cores 
branca, azul, amarelo e vermelho. A outra obra é uma escultura formada por paredes quadradas de cores rosa, 
laranja e azul.
3. Em diferentes construções, como prédios, antenas, abobadas de tetos de 
igrejas e estruturas externas de estádios esportivos.
Figura 5 - Prédios e estádio
Descrição da Imagem: duas imagens, uma exibindo prédios com formas geométricas distintas. A seu lado, a outra 
imagem exibe o exterior de um estádio esportivo.
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TEMA DE APRENDIZAGEM 2
4. Em grandes monumentos da humanidade, como a Calçada dos Gigantes 
(erupção vulcânica ocorrida há cerca de 60 milhões de anos localizada na 
Irlanda do Norte) e as construções incas.
Figura 6 - Calçada dos Gigantes
Descrição da Imagem: uma formação de rochas em formatos de polígonos.
Elementos de um polígono
Vamos conhecer elementos do polígono. De acordo com a imagem a seguir:
Figura 7 - Elementos do polígono / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: a figura apresenta um retângulo com vértices A, B, C e D. Os ângulos internos estão 
hachurados e possuem o mesmo nome do vértice. Os ângulos externos estão identificados e são nomeados por 
e1 (do vértice A), e2 (do vértice B), e3 (do vértice C) e e4 (do vértice D).
D
A
B
C
 
 B̂
D̂ Ĉ
1ê
2ê
3ê
4ê
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1
 ■ Vértices: são os pontos extremos dos segmentos da linha poligonal (pon-
tos A , B , C e D ).
 ■ Lados: são os segmentos da linha poligonal ( ,AB BC , CD, DA) .
 ■ Ângulos internos: são os ângulos formados por dois lados consecutivos 
do polígono (A^, B
^
, C
^
, )D^ .
 ■ Ângulos externos: são os ângulos formados por um lado do polígono 
e pelo prolongamento do lado a ele consecutivo. Na figura, os ângulos 
externos são: e1 , e2 , e3 , e4 .
Um polígono de n vértices possui n lados e n ângulos. A soma das medi-
das dos lados é o perímetro do polígono.
ZOOM NO CONHECIMENTO
Polígonos regulares e classificação
Um polígono é regular quando todos os seus lados e todos os seus ângulos são con-
gruentes. Um polígono que possui apenas os lados congruentes é chamado de equi-
látero. Quando somente os ângulos são congruentes, dizemos que é equiângulo.
As figuras a seguir são polígonos regulares. Observe que os lados e os ângulos 
de cada figura possuem a mesma medida.
NÚMERO 
DE LADOS
NOME
NÚMERO DE ÂN-
GULOS
IMAGEM DO POLÍGONO 
REGULAR
3 Triângulo 3
4 Quadrilátero 4
 
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TEMA DE APRENDIZAGEM 2
NÚMERO 
DE LADOS
NOME
NÚMERO DE ÂN-
GULOS
IMAGEM DO POLÍGONO 
REGULAR
5 Pentágono 5
6 Hexágono 6
7 Heptágono 7
8 Octógono 8
9 Eneágono 9
10 Decágono 10
11 Undecágono 11
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NÚMERO 
DE LADOS
NOME
NÚMERO DE ÂN-
GULOS
IMAGEM DO POLÍGONO 
REGULAR
12 Dodecágono 12
15 Pentadecágono 15
20 Icoságono 20
Tabela 1 - Polígonos regulares / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: cada linha exibe uma imagem com um polígono com o número de lados indicados. Observe 
que, quanto mais lados um polígono regular possui, mas próximo de uma circunferência ele fica. 
Os gregos, mesmo sem ferramentas de alta precisão, desen-
volveram métodos para construir figuras planas utilizando 
apenas régua e compasso.
Estas construções geométricas devem seguir algumas re-
gras básicas:
• Conhecendo-se dois pontos distintos, é possível 
traçar uma reta utilizando a régua.
• Com o compasso, é possível traçar uma circun-
ferência com centro em um ponto conhecido e que 
passa por um segundo ponto determinado.
O jogo Euclidea (disponível para celulares e, também, em 
versão on-line) nos apresenta quebra-cabeças geométricos 
que devemos resolver por meio de construções com régua 
e compasso. Assim como os gregos, porém de forma digital! 
Acesse o jogo a seguir.
EU INDICO
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https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/20558
TEMA DE APRENDIZAGEM 2
Diagonal de um polígono
Diagonal de um polígono é o segmento de reta cujos extremos são dois vértices 
não consecutivos do polígono.
Figura 8 - Diagonais do polígono / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: são apresentados três polígonos e algumas diagonais: um com quatro lados e uma dia-
gonal; um com seis lados e duas diagonais de vértices distintos; o último com cinco lados e duas diagonais do 
mesmo vértice 
Uma pergunta natural que surge é a seguinte: quantas diagonais são possíveis de 
se traçar em um polígono de n lados?
Para resolvermos esse problema, devemos perceber que, para cada vértice do 
polígono, formamos outros polígonos. No entanto, é importante notar que os la-
dos que formam esse vértice não podem ser computados. Dessa forma, utilizando 
argumentos de contagem, temos que o número d de diagonais será
d C n n
n
n n nn� � � �
� �
� �
�,
!
( )! !
( )
2 2 2
3
2
Esta expressão matemática quer dizer: uma combinação de n pontos tomados 
dois a dois, subtraindo-se os lados que não formam diagonais.
Exemplo: Quantas diagonais podem ser construídas em um quadrilátero?
Substituindo n = 4 , que é o número de lados de um quadrilátero, teremos: 
d � � � � �4 4 3
2
4
2
2( )
Apesar de ser um exemplo simples, podemos apreciar o poder de nossa fórmula.
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6
Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo
Já vimos que a soma das medidas de dois ângulos adjacentes suplementares é 
180º. Esse fato será importante para determinarmos a soma das medidas dos 
ângulos de um polígono convexo.
Consideremos o polígono ABCDE na figura a seguir, em que i i i i i1 2 3 4 5� � � � �, , , , . são as 
medidas dos ângulos internos e e e e e e1 2 3 4 5    , , , , são as medidas dos ângulos externos.
D
C
BA
E
1i 2i
3i
4i
5i
1ê
2ê
3ê
4ê
5ê
Figura9 - Diagonais do polígono / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: um pentágono com vértices A, B, C, D e E e em cada um são indicados os ângulos internos 
e externos.
Pela figura, podemos observar que a soma de um ângulo interno com seu res-
pectivo ângulo externo é igual a dois ângulos retos ou 180º. Também podemos 
perceber que, no pentágono, aparecem 5 somas desse tipo.
Então, somando todos os ângulos internos e externos em separado, temos
( ) ( )i i i i i e e e e e o1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 5 180� � � � � � � � � � � .
Indicando S i i i i ii � � � � �1 2 3 4 5 e S e e e e ee � � � � �1 2 3 4 5 teremos 
S Si e
o� � �5 180 .
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TEMA DE APRENDIZAGEM 2
Ampliando nosso raciocínio para um polígono com n lados, teremos:
( ) ( )i i i i e e e e n S S nn n
o
i e
o
1 2 3 1 2 3 180 180� � ��� � � � ��� � � � � � � .
Antes de apresentarmos a regra geral, observamos um fato relacionado à soma 
dos ângulos internos. Por indução matemática, podemos demonstrar que 
S ni
o� � �( )2 180 , para n > 2 . Assim, realizando esta alteração na fórmula an-
terior, encontrarmos 
S n n Se
o o
e
o� � � � � � �( )2 180 180 360
Ou seja, a soma dos ângulos externos de um polígono regular de n lados é 360º. 
Como Se
o o� � �360 2 180 , continuando a dedução da fórmula geral, vemos que
S S n S n S ni e
o
i
o o
i
o� � � � � � � � � � � �180 2 180 180 2 180( ) .
Medida do ângulo interno e externo
Para calcular a medida do ângulo interno e externo de um polígono regular de 
n lados, utilizamos a premissa que seus ângulos internos são congruentes. Logo, 
indicando cada ângulo interno por ai e cada ângulo externo por ae , utilizando 
as relações anteriores, podemos deduzir
n a S n a n
ni i
o
i
o
� � � � � � �
� �
( )
( )2 180 2 180
.
Analogamente, como os ângulos externos são congruentes e sua soma é 360º, 
vemos que
n a S a
ne e
o
e
o
� � � � �360 360
.
Como a soma de um ângulo interno e seu ângulo externo correspondente é 
sempre 180º, para calcular a medida do ângulo interno de um polígono regular é 
mais simples encontrar primeiro a medida do ângulo externo. Depois, pelo suple-
mento encontrar a medida do ângulo interno.
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TRIÂNGULOS
Como vimos no tópico anterior, o triângulo é uma das figuras geométricas mais 
básicas e por esta razão dedicamos o tópico para o estudo desta figura poligonal.
A principal característica do triângulo é o fato dele ser uma figura rígida. Este 
termo quer dizer que os triângulos podem ser rotacionais, ou espelhados e não 
ocorrem alterações nas medidas de seus lados, ou ângulos. 
Nas construções, é fácil notar a presença de triângulos. Este fato não está 
ligado apenas à sua estética, mas sim à rigidez.
Quando desejamos calcular a área de uma superfície irregular, é indicado di-
vidir a figura em vários triângulos capazes de cobrir toda a superfície e a partir 
deles fazemos o cálculo de área. Este processo é chamado de triangulação.
A triangulação é o mais antigo processo de levantamento de medidas 
topográficas, sendo, ainda hoje, o mais recomendado diante do baixo inves-
timento em instrumental e equipamentos auxiliares.
APROFUNDANDO
Assim como já vimos, o triângulo é o polígono que possui o menor número de 
lados de maneira a produzir uma figura fechada. 
Indica-se um triângulo ABC como o da figura a seguir por ABC (dize-
mos: “triângulo ABC”).
Observe na imagem a seguir os elementos de um triângulo:
ÂA
C
B
1ê
2ê
3ê
Figura 10 - Triângulo e seus elementos / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: um triângulo de vértices A, B e C. Com o ângulo interno do vértice A indicado por A
^
 e 
os externos por e1 , e2 e e3 
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TEMA DE APRENDIZAGEM 2
Os elementos de um triângulo são:
 ■ Os vértices: A , B e C .
 ■ Os lados: AB , AC e BC .
 ■ Os ângulos internos: BAC
^
 ou A
^
, ABC
^
 ou B
^
, ACB
^
 ou C
^
 ■ Os ângulos externos: e1 , e2 e e3
Observe que:
 ■ Cada ângulo interno é oposto ao lado determinado pelos outros dois 
ângulos.
 ■ Cada ângulo externo é suplementar do ângulo interno adjacente.
 ■ Em qualquer triângulo, a medida de cada lado é menor que a soma das 
medidas dos outros dois lados (condição de existência).
 ■ O interior de um triângulo é uma região convexa.
 ■ O exterior de um triângulo é uma região côncava.
Associados aos triângulos, destacamos alguns termos:
 ■ A mediatriz do lado de um triângulo é uma reta perpendicular ao lado 
passando por seu ponto Médio.
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� � �
�����������������������������
��������
����
Figura 11 - Mediatriz / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: um triângulo com vértices A, B e C. A mediatriz relativa ao ponto médio M do lado que 
passa por C e B.
6
1
 ■ A altura de um triângulo é o segmento perpendicular compreendido en-
tre o vértice e o lado oposto.
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� � �
������������������
��������������������
�������������
Figura 12 - Altura / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: um triângulo com vértices A, B e C. A altura relativa ao vértice A oposto ao lado que 
passa por C e B.
 ■ A mediana de um triângulo é o segmento de reta que une um vértice e o 
ponto médio do lado oposto.
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� � �
�����������������������������
������������������������
�
�����������
Figura 13 - Mediana / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: um triângulo com vértices A, B e C. A mediana relativa ao ponto médio M do lado que 
passa por C e B e partindo do vértice A.
Classificação dos triângulos
Os triângulos podem ser classificados quanto aos lados ou quanto aos ângulos.
Quanto aos lados, os triângulos se classificam em isósceles, equilátero ou 
escaleno.
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TEMA DE APRENDIZAGEM 2
Triângulos isósceles são triângulos que possuem dois lados congruentes.
Figura 14 - Triângulo isósceles / Fonte: o autor.
Descrição: um triângulo de vértices A, B e C. Com dois lados indicados como con-
gruentes.
Num triângulo isósceles, o ângulo formado pelos lados congruentes é chama-
do ângulo do vértice, o lado oposto a esse ângulo é chamado base e os ângulos 
adjacentes à base são chamados ângulos da base.
Triângulos equiláteros são triângulos que possuem os três lados congruentes.
Figura 15 - Triângulo equilátero / Fonte: o autor.
Descrição: um triângulo de vértices A, B e C. Com três lados indicados como con-
gruentes.
Todo triângulo equilátero é também triângulo isósceles.
�
� �
�
� �
6
1
Triângulos escalenos são triângulos que não possuem lados congruentes.
Figura 16 - Triângulo escaleno / Fonte: o autor.
Descrição: um triângulo de vértices A, B e C. Com os três lados indicados como não 
congruentes.
Quanto aos ângulos
Os triângulos se classificam em acutângulo, obtusângulo ou retângulo. 
Esses termos são emprestados do significado dos ângulos envolvidos, pois 
lembre-se que:
 ■ Ângulo agudos são aqueles com medida entre 0o e 90º;
 ■ Um ângulo reto tem exatamente 90º; e
 ■ Os ângulos obtusos estão entre as medidas de 90º e 180º.
Triângulos acutângulos são triângulos que possuem os três ângulos internos 
agudos, ou seja, menores 90º.
Figura 17 - Triângulo acutângulo / Fonte: o autor.
Descrição: um triângulo de vértices A, B e C. Com dois ângulos indicados como 
congruentes.
�
�
�
�
�
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TEMA DE APRENDIZAGEM 2
Triângulos obtusângulos são triângulos que possuem um ângulo interno 
obtuso, ou seja, maior que 90º.
Figura 18 - Triângulo obtusângulo / Fonte: o autor.
Descrição: um triângulo de vértices A, B e C. Com um ângulo indicado como maior 
que noventa graus.
Triângulos retângulos são triângulos que possuem um ângulo interno reto, ou 
seja, igual a 90º.
Figura 19 - Triângulo retângulo / Fonte: o autor.
Descrição: um triângulo de vértices A, B e C. Com um ângulo com medida igual a 
noventa graus.
Num triângulo retângulo, o lado oposto ao ângulo reto chama-se hipotenusa e os 
outros dois lados chamam-se catetos.
Propriedades dos triângulos
Vamos formalizar alguns conceitos por meio de algumas pequenas demonstra-
ções matemáticas.
1ª propriedade: A soma das medidas dos ângulos internos de qualquer triân-
gulo é iguala dois ângulos retos, ou seja, 180º.
Uma ideia para comprovação desta afirmação pode ser mostrada pela figura 
a seguir:
�
� �
�
� �
6
4
Considere o ABC e a reta r que passa por A e é paralela a BC . Utilizan-
do propriedades de ângulos alternos internos, podemos perceber que y C�
^
 e 
x B� ^ . Como x y A o180^ , vemos que a soma dos ângulos internos de um 
triângulo é 180º.
�
� �
� �
�
Figura 20 - Soma dos ângulos internos do triângulo / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem:um triângulo de vértices A, B e C. Com os ângulos internos hachurados. Pelo vértice 
A é traçada uma reta r paralela ao lado AB e os ângulos externos ao ângulo A são indicados por x e y.
VOCÊ SABE RESPONDER?
Observe que triângulos são polígonos convexos. Podemos demonstrar a soma 
dos ângulos internos de um triângulo de outra maneira? Dica: pense nas fór-
mulas de soma dos ângulos internos que deduzimos.
2ª propriedade: A medida do ângulo externo de um triângulo é igual à soma 
das medidas dos ângulos internos não adjacentes.
Considere a seguinte imagem, que servirá de inspiração para uma verificação 
desta propriedade:
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TEMA DE APRENDIZAGEM 2
Note que B x o180
^
, pois são adjacentes suplementares. Como 
A B C o180^^^ , pela Propriedade 1, temos que 
B x A B C x A C^ ^^^^^ .
3ª propriedade: Todo ângulo externo de um triângulo é maior que qualquer um 
dos ângulos internos não adjacentes.
Utilizando a imagem anterior para ilustrar nossas ideias, podemos perceber 
que x A C
^^
. Dessa forma, x A�
^
 e x C�
^
.
Pontos notáveis do triângulo
Algumas retas traçadas a partir dos vértices e dos lados de um triângulo constituem 
pontos especiais chamados de circuncentro, incentro, ortocentro e baricentro.
Vamos apresentar a característica e representação de cada um deles:
 ■ Circuncentro: Se traçarmos as mediatrizes dos três lados de um triângulo, 
seu ponto de interseção é chamado circuncentro. Este ponto é chamado 
circuncentro, porque está equidistante (à mesma distância) dos três vér-
tices do triângulo e é o centro de uma circunferência circunscrita a ele.
�
�
�
�
Figura 21 - Ângulo externo em um triângulo / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: um triângulo de vértices A, B e C e com o lado AB prolongado pelo vértice B. O ângulo 
externo ao ângulo B indicado por x.
6
6
 ■ Incentro: A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo é a semirreta 
interior do ângulo que o divide em dois ângulos geometricamente iguais. 
O ponto onde as bissetrizes dos ângulos internos de um triângulo se in-
terceptam é chamado incentro, e é equidistante dos lados do triângulo. 
Ao mesmo tempo, é centro de uma circunferência inscrita no triângulo.
�
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Figura 22 - Circuncentro / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem:um triângulo de vértices A, B e C com as mediatrizes de todos os lados traçadas. Esse 
triângulo está inscrito em uma circunferência cujo centro é a interseção das retas mediatrizes
Figura 23 - Incentro / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: um triângulo de vértices A, B e C com as bissetrizes de todos os ângulos internos traçadas. 
Esse triângulo tem uma circunferência em seu interior cujo centro é a interseção das retas bissetrizes.
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TEMA DE APRENDIZAGEM 2
 ■ Ortocentro: Um triângulo possui três alturas que se interceptam num 
ponto chamado ortocentro. O ortocentro pode estar no interior ou no 
exterior do triângulo, depende da forma deste.
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Figura 24 - Ortocentro / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: um triângulo de vértices A, B e C com as alturas dos três lados traçadas e cuja interseção 
está indicada por O.
 ■ Baricentro: Um triângulo tem três medianas que se interceptam num 
ponto chamado baricentro, que dista dois terços do vértice da mediana 
correspondente. O baricentro é o centro de gravidade do triângulo.
Centro de gravidade é um conceito da física e trata-se do ponto onde as forças 
(força peso) de aplicação se equilibram.
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Figura 25 - Baricentro / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: um triângulo de vértices A, B e C com as medianas dos três lados traçadas e cuja interseção 
está indicada por O. Os pontos médios são: do lado BC é M1, do lado AC é M2 e do lado BA é M3
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SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Vamos aprofundar um pouco mais nosso estudo sobre os triângulos a partir das 
relações de congruência. Neste tópico, nosso foco de análise será a formalização 
matemática dos conceitos de congruência e de semelhança de triângulos.
Ao conhecermos as informações sobre os triângulos, que nos permitem afir-
mar se são congruentes e/ou semelhantes, dispomos de um rico recurso para de-
monstrações de outras relações válidas, pois várias propriedades são decorrentes 
da congruência e semelhança de triângulos.
Noção de congruência e semelhança
Usualmente, utilizamos os termos congruente e semelhante para nos referirmos a 
“coisas parecidas”. No contexto matemático, só podemos afirmar que duas figuras 
são congruentes quando a sobrepomos e elas coincidem exatamente.
Em particular, o conceito de semelhança tem por base a proporcionalidade, 
assim, duas figuras proporcionais ao serem sobrepostas podem coincidir exata-
mente, sendo, portanto, congruentes.
A notação que usamos para indicar que duas figuras são equivalentes é ≡ .
É importante notar que a utilização do novo termo semelhante é mais ade-
quada na teoria matemática, pois igualdade é uma relação (em particular) em 
quantidades iguais. Aqui, estamos buscando comparar figuras e não valores.
A congruência ocorre entre duas figuras quando os lados e ângulos da 
primeira estão em correspondência com os lados e ângulos da segunda, de 
tal forma que os lados em correspondência têm a mesma medida, assim 
como os ângulos.
A semelhança entre duas figuras ocorre quando os lados correspondentes têm 
medidas proporcionais e os ângulos correspondentes são congruentes.
Figuras congruentes são semelhantes, mas nem todas as figuras semelhantes 
são congruentes.
ZOOM NO CONHECIMENTO
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TEMA DE APRENDIZAGEM 2
Congruência entre triângulos
Dois triângulos ABC e A B C′ ′ ′ são congruentes se seus lados e seus ângulos 
são congruentes. Isto é: AB A B� � � , AC AC� � � , BC B C� � � , A A�
^
, B B�
^
 
e C C�
^
.
Por notação,  ABC A B C� � � � 
Vejamos que, para concluir que dois triângulos são congruentes, podemos focar 
em seis casos com três relações entre os lados e três relações entre os ângulos. 
Assim, reduzimos os esforços para verificarmos congruência.
1º CASO - LADO-ÂNGULO-LADO (LAL):
Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois lados e o ângulo com-
preendido, então eles são congruentes.
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Figura 26 - Caso LAL de congruência
Fonte: o autor.
Descrição: dois triângulos com vértices ABC e A’B’C’ com AB congruente a A’B’, 
BC congruente a B’C’ e os ângulos B e B’ congruentes
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2º CASO - ÂNGULO-LADO-ÂNGULO (ALA):
Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado e os dois ângulos a 
ele adjacentes, então, esses triângulos são congruentes.
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Figura 27 - Caso ALA de congruência
Fonte: o autor.
Descrição: dois triângulos com vértices ABC e A’B’C’ com AB congruente a A’B’, e 
os ângulos A e A’, B e B’ congruentes.
3º CASO - LADO-LADO-LADO (LLL):
Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes os três lados, então, esses 
triângulos são congruentes.
Figura 28 - Caso LLL de congruência
Fonte: o autor.
Descrição: Dois triângulos com vértices ABC e A’B’C’ com AB congruente a A’B’, 
AC congruente a A’C’ e BC congruente a B’C’.
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4º CASO - LADO-ÂNGULO-ÂNGULO OPOSTO (LAAO):
Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado, um ângulo adja-
cente e o ângulo oposto a esse lado, então esses triângulos são congruentes.
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Figura 29 - Caso LAAo de congruência
Fonte: o autor.
Descrição: dois triângulos com vértices ABC e A’B’C’ com AB congruente a A’B’, os 
ângulos A congruente a A’ e C congruente