Princípios de Análise no Domínio da Frequência

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DESCRIÇÃO
Análise no domínio da frequência de sistemas físicos e representação gráfica da resposta.
PROPÓSITO
A representação da resposta em frequência dos sistemas físicos por meio dos gráficos de Bode e dos diagramas polares,
tem o objetivo de expressar os ganhos modulares obtidos pelos circuitos e a diferença de fase apresentada pelos sinais
que atravessam esses sistemas. Essas análises são essenciais para a implementação dos sistemas de controle.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora ou use a calculadora de seu
smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Descrever os princípios necessários para a análise da resposta em frequência em gráficos de Bode
MÓDULO 2
Descrever os princípios necessários para a análise da resposta em frequência em diagramas polares
A ANÁLISE DE SISTEMAS NO DOMÍNIO DA
FREQUÊNCIA
MÓDULO 1
 Descrever os princípios necessários para a análise da resposta em frequência em gráficos de Bode
OS POLOS E ZEROS NOS GRÁFICOS DE BODE
AS FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA
Os diagramas de Bode são representados por meio do módulo e da fase de um sistema caracterizado no domínio da
frequência. Já a representação dos sinais no domínio da frequência se dá por meio da transformada de Laplace, como
apresentado a seguir:
x ( t ) =L { x ( t ) } = X ( s )
y ( t ) =L { y ( t ) } = Y ( s )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vale destacar que a representação no domínio da frequência obtida por meio da transformada de Fourier pode ser
realizada em função de
jω
:
x ( t ) =F { x ( t ) } = X ( jω )
y ( t ) =F { y ( t ) } = Y ( jω )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 SAIBA MAIS
As transformadas de Laplace e de Fourier estão fortemente relacionadas a ponto de poderem ser substituídas entre si.
Assim, a modificação da transformada de Laplace em Fourier se dá pela substituição de s por um número complexo com
parte real nula.
Dessa maneira:
s = R + jω
s = 0 + jω
s = jω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De maneira similar, a conversão da transformada de Fourier a partir da transformada de Laplace é possível como mostra a
seguinte operação:
X ( s ) = X ( 0 + jω ) = X ( jω )
Y ( s ) = Y ( 0 + jω ) = Y ( jω )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando que
x ( t )
é a entrada de um sistema e
y ( t )
, a saída do mesmo, a representação no domínio da frequência, para algumas aplicações, pode ser mais interessante do
que aquela no domínio do tempo, tendo em vista a facilidade de resolução matemática. Isso é possível em razão da
transformação das equações diferenciais em algébricas.
A imagem a seguir contém um diagrama de blocos representando a função de transferência do sistema no
domínio de Laplace
(G (s ) )
:
 Representação em blocos de um sistema no domínio de Laplace
Nessa representação, a função
G ( s )
representa todo o comportamento do sistema por meio de um modelo matemático.
ANÁLISE NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
A conversão para o domínio da frequência pode, invariavelmente, facilitar o desenvolvimento matemático. A título de
exemplo, considere uma entrada
x ( t )
como um impulso unitário, como pode ser visto na imagem adiante.
x ( t ) = δ ( t )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A saída desse sistema
y ( t )
é denominada resposta do sistema ao impulso unitário ou resposta impulsional do sistema. Desse modo, considere
que a saída é definida por:
y ( t ) = g ( t )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Representação de um impulso unitário no domínio do tempo
Quando a resposta impulsional de um sistema linear e invariante no tempo é conhecida, é possível calcular a saída
y ( t )
para qualquer entrada
x ( t )
. Sendo assim:
y ( t ) = g ( t ) ∗ x ( t ) = x ( t ) ∗g ( t )
y ( t ) = ∫
+ ∞
− ∞g ( t − τ ) x ( τ ) dτ = ∫
+ ∞
− ∞x ( t − τ ) g ( τ ) dτ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A saída desse sistema
y ( t )
é definida pela convolução entre a resposta impulsional
g ( t )
e a entrada
x ( t )
. Com a utilização das transformadas de Laplace e de Fourier, a operação matemática da convolução pode ser
transformada em um produto:
Y ( s ) = G ( s ) X ( s ) = X ( s ) G ( s )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
X ( s ) =L { x ( t ) }
Y ( s ) =L { y ( t ) }
G ( s ) =L { g ( t ) }
Como, aliás, pode ser visto na imagem a seguir:
 Representação da resposta impulsional de um sistema no domínio de Laplace
De maneira similar, a análise com a transformada de Fourier pode ser realizada da seguinte maneira:
Y ( jω ) = X ( jω ) G ( jω ) = G ( jω ) X ( jω )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
X ( jω ) =F { x ( t ) }
.
Y ( jω ) =F { y ( t ) }
.
G ( jω ) =F { g ( t ) }
.
A imagem a seguir ilustra a saída de um sistema no domínio da frequência por meio da transformada de Fourier:
 Representação da resposta impulsional de um sistema no domínio de Fourier
Esse resultado exemplifica uma das vantagens da utilização das transformadas de Fourier e de Laplace como ferramentas
para a solução de sistemas matemáticos.
ENQUANTO NO DOMÍNIO DO TEMPO A SAÍDA DO SISTEMA SERIA PRODUZIDA
PELA CONVOLUÇÃO ENTRE A FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA E A ENTRADA DO
SISTEMA, A TRANSFORMADA DA CONVOLUÇÃO, NO DOMÍNIO DE LAPLACE E
DE FOURIER, É DEFINIDA PELO PRODUTO DAS TRANSFORMADAS
(PROPRIEDADE DA CONVOLUÇÃO NESSES DOIS DOMÍNIOS).
.
Sendo assim:
G ( s ) =
Y ( s )
X ( s )
G ( jω ) =
Y ( jω )
X ( jω )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
POLOS E ZEROS DAS FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA
Como foi visto, a função de transferência de um sistema linear invariante no tempo é representada no domínio da
frequência por:
G ( s )
ou
G ( jω )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em geral, essas funções são formadas por frações racionais, ou seja, frações cujos numerador e denominador são
polinômios nos domínios de Laplace
( s )
:
G ( s ) =
q ( s )
p ( s )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
q ( s )
e
p ( s )
se referem aos polinômios (no domínio de Laplace) descritos como segue:
ansn + an − 1sn − 1 + … + a1s1 + a0s0
ansn + an − 1sn − 1 + … + a1s + a0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Alternativamente, no domínio de Fourier
( jω )
:
G ( jω ) =
q ( jω )
p ( jω )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
q ( jω )
e
p ( jω )
se referem aos polinômios (no domínio de Fourier) descritos como segue:
an ( jω ) n + an − 1 ( jω ) n − 1 + … + a1 ( jω ) 1 + a0 ( jω ) 0
an ( jω ) n + an − 1 ( jω ) n − 1 + … + a1 ( jω ) + a0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA DO SISTEMA
Considere a função de transferência
G ( s )
de um sistema em sua forma completamente reduzida, ou seja, em que todas as raízes comuns entre o numerador e o
denominador foram canceladas. Então:
G ( s ) =
q ( s )
p ( s )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O polinômio
p ( s )
é denominado polinômio característico da função
G ( s )
ou do sistema. A equação característica desse sistema é definida por:
p ( s ) = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vejamos as definições e as distinções entre os polos e os zeros do sistema. Clique nas abas e saiba mais.
POLOS DO SISTEMA
Os polos da função de transferência
G ( s )
são definidos pelas raízes da equação característica
( p ( s ) = 0 )
javascript:void(0)
, que também são os polinômios característicos do sistema.
ZEROS DO SISTEMA
São as raízes do numerador da função de transferência
G ( s )
, sendo definidos pelas raízes de
q ( s )
e denominados zeros de
G ( s )
ou zeros do sistema. Assim, os zeros da função de transferência são definidos pelas soluções da equação
q ( s ) = 0
.
Dessa forma, suponha uma função de transferência
G ( s )
. A determinação dos polos e dos zeros é estabelecida da seguinte maneira:
G ( s ) =
10s2
( s + a ) 2 s + b2 ( s − c )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O(s) zero(s) da função de transferência
G ( s )
é(são) definido(s) por:
10s2 = 0
s = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É possível notar que essa função possui um zero duplo na origem. A determinação do(s) polo(s) é dada por:
( s + a ) 2 s + b2 ( s − c ) = 0
( s + a ) 2 = 0
s2 + 2as + a2 = 0
s = − a
(duplo)
s + b2 = 0
s = − b2
( s − c ) = 0
s = c
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esse sistema possui 4 polos (a equação do denominador é de grau 4) definidos por dois polos em
( )
( )
( )
javascript:void(0)
− a
, um polo em
− b2
e um em
c
.
Clique na aba a seguir e confira o exemplo I:
EXEMPLO I
Como exemplo, considere a função de transferência
G ( s )
dada por:
G ( s ) =
2 ( s + 30 )
s ( s + 2 ) ( s2 + 2s + 2 )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Os zeros dessa função são determinados pela equação que define o numerador:
2 ( s + 30 ) = 0
( s + 30 ) = 0
s = − 30
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por observação direta da função de transferência, é possível saber que essa equação tem apenas um zero. Isso ocorre,
pois a equação do numerador é de grau 1. De maneira similar, os polos do sistema podem ser determinados por meio das
raízes da equação definida pelo denominador dessa função.
Desse modo:
s ( s + 2 ) s2 + 2s + 2 = 0
s = 0
( s + 2 ) = 0
s = − 2
s2 + 2s + 2 = 0
s = − 1 ± j
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Também é possível determinar o número de raízes do denominador observando que a equação do mesmo é de grau 4. O
polinômio característico desse sistema é definido por:
p ( s ) = s ( s + 2 ) s2 + 2s + 2
p ( s ) = s4 + 4s3 + 6s2 + 4s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo assim, essa equação possui 4 raízes. No caso da função de transferência
( )
( )
( )
G ( s )
, há dois polos reais e dois complexos.
 SAIBA MAIS
Como a função de transferência do exemplo anterior possui um polo igual a
0
( s = 0 )
, é dito que esse sistema possui um polo na origem.
DIAGRAMA DE BODE
Veremos, a seguir, alguns fatores básicos para a construção de um Diagrama de Bode. Clique nas abas abaixo e
conheça melhor cada um deles.
FATORES BÁSICOS DOS DIAGRAMAS DE BODE
Os fatores básicos do Diagrama de Bode podem ser extraídos da representação geral de uma função de transferência de
um sistema de ordem 2:
G ( s ) =
K ( Tns + 1 )
s Tds + 1
s2
ω
2
n
+
2ζ
ωn
s + 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GANHO DO DIAGRAMA DE BODE
G ( s ) = K
( ) ( )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
FATORES INTEGRATIVOS
G ( s ) =
1
s
;
G ( s ) =
1
s2
;
G ( s ) =
1
s3
...
G ( s ) =
1
sn
, em que
n = 1 , 2 , . . .
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Os fatores integrativos são definidos por polos na origem do sistema.
FATORES DERIVATIVOS
G ( s ) = s
;
G ( s ) = s2
;
G ( s ) = s3
...
G ( s ) = sn
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
n = 1 , 2 , . . .
Os fatores derivativos são definidos por zeros na origem do sistema.
FATORES DE ORDEM 1 DO TIPO POLOS REAIS
G ( s ) =
1
( Ts + 1 )
;
G ( s ) =
1
( Ts + 1 ) 2
;
G ( s ) =
1
( Ts + 1 ) 3
...
G ( s ) =
1
( Ts + 1 ) n
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
n = 1 , 2 , . . .
FATORES DE ORDEM 1 DO TIPO ZEROS REAIS
G ( s ) = ( Ts + 1 )
;
G ( s ) = ( Ts + 1 ) 2
;
G ( s ) = ( Ts + 1 ) 3
...
G ( s ) = ( Ts + 1 ) n
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
n = 1 , 2 , . . .
FATORES DE ORDEM 2, QUADRÁTICOS OU DO TIPO POLOS
COMPLEXOS
G ( s ) =
1
1 +
2ζ
ωn s +
s2
ωn2
;
G ( s ) =
1
1 +
2ζ
ωn s +
s2
ωn2 2
;
G ( s ) =
1
1 +
2ζ
ωn s +
s2
ωn2 3
...
[ ( ) ]
[ ( ) ]
[ ( ) ]
G ( s ) =
1
1 +
2ζ
ωn s +
s2
ωn2 n
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
n = 1 , 2 , . . .
FATORES DE ORDEM 2, QUADRÁTICOS OU DO TIPO ZEROS
COMPLEXOS
G ( s ) = 1 +
2ζ
ωn
s +
s2
ωn2
;
G ( s ) = 1 +
2ζ
ωn
s +
s2
ωn2
2
G ( s ) = 1 +
2ζ
ωn
s +
s2
ωn2
3
...
G ( s ) = 1 +
2ζ
ωn
s +
s2
ωn2
n
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
n = 1 , 2 , . . .
DESMEMBRAMENTO DE UMA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
NOS FATORES BÁSICOS DO GRÁFICO DE BODE
Qualquer função de transferência
G ( s )
pode ser desmembrada como uma combinação dos fatores básicos.
Clique na aba a seguir e confira o exemplo II:
EXEMPLO II
Considere novamente a função de transferência do exemplo 1:
G ( s ) =
2 ( s + 30 )
s ( s + 2 ) ( s2 + 2s + 2 )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O numerador dessa função pode ser simplificado como:
[ ( ) ]
( )
[ ( ) ]
[ ( ) ]
[ ( ) ]
G ( s ) =
( 2 ) ( 30 )
s
30
+ 1
s ( s + 2 ) s2 + 2s + 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De maneira similar, deve-se realizar a simplificação do denominador dessa função:
G ( s ) =
( 2 ) ( 30 )
s
30
+ 1
( 2 ) ( 2 ) ( s )
s
2
+ 1
s2
2
+ s + 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As constantes dessa função de transferência podem ser simplificadas como:
( 2 ) ( 30 )
( 2 ) ( 2 )
= 15
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo assim, obtém-se a expressão:
G ( s ) =
15
s
30 + 1
s
s
2 + 1
s2
2 + s + 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Comparando com a forma fundamental:
G ( s ) =
K ( Tns + 1 )
s Tds + 1
s2
ω
2
n
+
2ζ
ωn
s + 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pode-se extrair os parâmetros fundamentais do Diagrama de Bode:
K = 15
Tn = 1 / 30
Td = 1 / 2
ω
2
n = 2 → ωn = √2
2ζ
ωn
= 1 → 2ζ = ωn → 2ζ = √2 → ζ =
√2
2
= 0 , 707
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CONSTRUÇÃO DE UM DIAGRAMA DE BODE
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
Os diagramas de Bode são construídos em duas partes separadas: Diagramas de Bode do módulo da função de
transferência e Diagramas de Bode da fase da função de transferência.
DIAGRAMA DE BODE DO MÓDULO
São definidos pelo módulo da função de transferência em decibéis
( dB )
e pela frequência
ω
em escala logarítmica.
 VOCÊ SABIA
Decibéis são uma unidade capaz de indicar a proporção de uma quantidade física em relação a um nível de referência
especificado.
A relação em decibéis é igual a 20 vezes o logaritmo de base 10 da razão entre duas quantidades físicas:
XdB = 20log10
X
X0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
X0
é o valor de referência.
 EXEMPLO
Uma função de transferência é definida como
( )
G ( jω ) = K
. Como o ganho dessa função é sempre igual a
K
, ou seja, não varia, ele é uma constante.
Assim, seu módulo é definido por:
| K | dB = 20log10 | K |
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
DIAGRAMA DE BODE DA FASE
É DEFINIDO PELA FASE DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA EM GRAUS E PELA
FREQUÊNCIA Ω EM ESCALA LOGARÍTMICA.
De maneira similar,
pode-se observar o seguinte sobre o sinal da constante K:
• A constante
K
será positiva somente se a fase (ângulo) da função for igual a
0o
, ou seja:
∠G ( jω ) = 0 ∘
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
• A constante
K
será negativa somente se a fase (ângulo) da função for igual a
180o
ou
− 180o
, ou seja:
∠G ( jω ) = 180o ou − 180o
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
DIAGRAMA DE BODE DE UMA FUNÇÃO CONSTANTE
Considerando uma função
G ( jω ) = 20
, determine os diagramas de Bode do módulo e da fase.
| G ( jω ) | dB = 20log10 | K | [ dB ]
| G ( jω ) | dB = 20log10 | 20 |
| G ( jω ) | dB = 20 ( 1 , 30 )
| G ( jω ) | dB = 26 [ dB ]
∠ G ( jω ) = 0o
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Diagramas de módulo e fase da função
G ( jω ) = 20
.
Como o ganho é definido em decibéis, pode-se concluir que:
Caso
K > 1
, então
| G ( jω ) | dB > 0
.
Caso
K = 1
, então
| G ( jω ) | dB = 0
Caso
0 < K < 1
, então
| G ( jω ) | dB < 0
.
Os gráficos de Bode para valores constantes podem ser vistos na imagem adiante:
 Diagrama de módulo e fase da função
G ( jω )
constante.
 ATENÇÃO
Vale destacar que o gráfico de fase é o mesmo para todos os valores da constante, ou seja,
0o
grau. Uma variação do ganho
K
em um Diagrama de Bode pode promover o deslocamento da curva do módulo para cima
( K > 0 )
ou para baixo
( K < 0 )
, mas não afeta em nada a curva do ângulo.
Isso significa o seguinte: aumentar o valor de
K
faz com que todo o Diagrama de Bode do módulo se desloque para cima ("subir"). Já diminuir seu valor o faz se mover
para baixo ("descer"). De maneira similar, o diagrama de Bode fica inalterado com variações em K (para
K > 0
) e é deslocado de
180o
para
K < 0
.
DIAGRAMA DE BODE DE UM FATOR INTEGRATIVO
Considere uma função definida por
G ( jω ) = ( jω ) − 1
. O módulo dessa função
( | G ( jω ) | )
em
dB
é dado por:
G ( jω ) = ( jω ) − 1
G ( jω ) =
1
jω
| G ( jω ) | dB = 20log10
1
jω
| G ( jω ) | dB = − 20log10 ω [ dB ]
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
ω
está representado em escala logarítmica, o módulo de
| G ( jω ) | dB
representa a equação de uma reta com declive de -20\ dB/década. Isso pode ser demonstrado considerando a frequência
igual a \omega=1\ {rad}/{s}. Sendo assim:
\left|G\left(j\omega\right)\right|_{dB}=-20\log_{10}{\left|\omega\right|[dB]}
\left|G\left(j\omega\right)\right|_{dB}=-20\log_{10}{\left|1\right|}
\left|G\left(j\omega\right)\right|_{dB}=-20(1)
\left|G\left(j\omega\right)\right|_{dB}=-20[dB]
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe alguns valores para \omega espaçados em uma década (10 em 10), como os da tabela a seguir:
Frequência ({\omega}) \left|{G}\left({j\omega}\right)\right|_{{dB}}=-{20}{{log}}_{{10}}{{\omega}} [{dB}]
| |
0,01 40
0,1 20
1 0
10 -20
100 -40
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela 1 - Valores de \left|{G}\left({j\omega}\right)\right| para décadas consecutivas.
Elaborada por Raphael de Souza dos Santos
É possível ver claramente que se trata de uma reta com declive de -20\ dB/década. O Diagrama de Bode da função
G\left(j\omega\right)=\left(j\omega\right)^{-1}, que pode ser visto figura adiante, ilustra o comportamento dos elementos da
tabela 1 com a queda de -20\ dB a cada década da frequência:
 Diagramas de Bode da função G\left(j\omega\right)=\left(j\omega\right)^{-1}
É fundamental observar que o Diagrama de Bode da fase mostra um ângulo de {-90}^o, permitindo definir que:
\angle\ G\left(j\omega\right)=\angle\ \left({1}/{j\omega}\right)
\angle\ G\left(j\omega\right)=-\angle\ \left(j\omega\right)
\angle\ G\left(j\omega\right)=-90^o
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Isso é válido para qualquer valor da frequência \omega.
OS VALORES DE \OMEGA SÃO SEMPRE POSITIVOS. A CONCLUSÃO QUE SE
PODE TIRAR É QUE O EFEITO DE UM FATOR DO TIPO
G\LEFT(J\OMEGA\RIGHT)=\LEFT(J\OMEGA\RIGHT)^{-1} EM UM DIAGRAMA DE
BODE DE FASE É O DESLOCAMENTO DA CURVA DE FASE DE {90}^O PARA
BAIXO, OU SEJA, {-90}^O.
 SAIBA MAIS
Uma prática bastante comum é observar o Diagrama de Bode em oitavas consecutivas no lugar de décadas. Isso é feito,
pois uma oitava corresponde à metade (oitava à esquerda) ou ao dobro (oitava à direita), como pode ser verificado nesta
tabela:
Frequência ({\omega}) \left|{G}\left({j\omega}\right)\right|_{{dB}}=-{20}{{log}}_{{10}}{{\omega}} [dB]
0,5 6
1 20
2 -6
4 -12
8 -18
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela 2 - Valores de \left|{G}\left({j\omega}\right)\right| para oitavas consecutivas.
Elaborada por Raphael de Souza dos Santos
Isso nos permite observar que um declive de -20\ dB/década corresponde a outro de -6\ {dB}/{oitava}.
OUTROS FATORES INTEGRATIVOS
Para funções de grau superior do tipo G\left(j\omega\right)=\left(j\omega\right)^{-n}, em que n=2,\ 3,\ \ldots, o
comportamento de declive é semelhante ao da função G\left(j\omega\right)=\left(j\omega\right)^{-1}; contudo, o declive do
módulo é multiplicado pelo fator n, assim como a curva da fase.
De maneira resumida, os outros fatores integrativos apresentarão o seguinte comportamento referente ao módulo:
G\left(j\omega\right)=\left(j\omega\right)^{-n}
G\left(j\omega\right)=\frac{1}{\left(j\omega\right)^n}
\left|G\left(j\omega\right)\right|_{dB}=20\log_{10}{\left|\frac{1}{\left(j\omega\right)^n}\right|}
|G(j \omega)|_{d B}=-(20)(n) \log _{10} \omega
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De maneira similar, o diagrama da fase se comportará como:
\angle\ G\left(j\omega\right)=\angle\ \left({1}/{j\omega}\right)^n
\angle\ G\left(j\omega\right)=-\angle\ \left(j\omega\right)^n
\angle G(j \omega)=-\left(90^{\circ}\right)(n)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A imagem adiante ilustra o Diagrama de Bode para uma função do tipo G\left(j\omega\right)=\left(j\omega\right)^{-2} em
uma década:
Módulo:
|G(j \omega)|_{d B}=-(20)(n) \log _{10} \omega[d B]
|G(j \omega)|_{d B}=-(20)(2) \log _{10}(10)[d B]
\left|G\left(j\omega\right)\right|_{dB}=-40 [dB]
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fase:
\angle\ G\left(j\omega\right)=(-90^o)(n)
\angle\ G\left(j\omega\right)=(-90^o)(2)
\angle\ G\left(j\omega\right)=-180^o
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Diagramas de Bode da função G\left(j\omega\right)=\left(j\omega\right)^{-2}
DIAGRAMA DE BODE DE UM FATOR DERIVATIVO
Os fatores derivativos são do tipo G\left(j\omega\right)=\left(j\omega\right)^n, n=1,\ 2,\ \ldots e apresentam diferenças em
sua influência sobre os módulos e as fases quando comparados aos fatores integrativos. A diferença em relação ao
módulo é que as retas sobem ao invés de descer. Sendo assim, fatores derivativos apresentam um aclive de +20.n\
dB/década – e não um declive.
De maneira similar ao que foi definido para os fatores integrativos, vemos que:
|G(j \omega)|_{d B}=+(20)(n) \log _{10} \omega[d B]
\angle G(j \omega)=+\left(90^{\circ}\right)(n)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa maneira, o Diagrama de Bode da função G\left(j\omega\right)=\left(j\omega\right)^2 é dado por esta figura:
 Diagramas de Bode da função G\left(j\omega\right)=\left(j\omega\right)^{+2}
A imagem anterior ilustra o Diagrama de Bode para uma função do tipo G\left(j\omega\right)=\left(j\omega\right)^{+2} em
uma década:
Módulo:
|G(j \omega)|_{d B}=+(20)(n) \log _{10} \omega[d B]
|G(j \omega)|_{d B}=+(20)(2) \log _{10}(10)[d B]
\left|G\left(j\omega\right)\right|_{dB}=+40 [dB]
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fase:
\angle G(j \omega)=+\left(90^{\circ}\right)(n)
\angle G(j \omega)=+\left(90^{\circ}\right)(2)
\angle\ G\left(j\omega\right)=+180^o
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
DIAGRAMA DE BODE DE UM FATOR COM POLO DE PRIMEIRA
ORDEM
Para um fator do tipo G\left(j\omega\right)={1}/{(1+j\omega t)}, o módulo \left|G\left(j\omega\right)\right| em dB é dado por:
\left|G\left(j\omega\right)\right|_{dB}=+20\log_{10}{\left|\frac{1}{\left(1+j\omega t\right)}\right|}[dB]
\left|G\left(j\omega\right)\right|_{dB}=-20\log_{10}{\sqrt{1+\left(\omega t\right)^2}}[dB]
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para analisar adequadamente o comportamento dessa função, é necessário dividi-la em dois intervalos:
\omega\ll {1}/{T}
\omega\gg {1}/{T}
Esses intervalos são definidos respectivamente como frequências baixas e altas. Clique nas abas e veja em detalhes cada
um deles:
INTERVALO DE BAIXAS FREQUÊNCIAS
No intervalo de baixas frequências (\omega\ll {1}/{T}), pode-se observar que:
\omega\ll {1}/{T}
\omega T\ll1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
1+\left(\omega t\right)^2\cong1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
\left|G\left(j\omega\right)\right|_{dB}=-20\log_{10}{\sqrt{1+\left(\omega t\right)^2}}[dB]
\left|G\left(j\omega\right)\right|_{dB}=-20\log_{10}{\left(1\right)}[dB]
\left|G\left(j\omega\right)\right|_{dB}=0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
INTERVALO DE ALTAS FREQUÊNCIAS
No intervalo de altas frequências (\omega\gg {1}/{_T}), é possível notar que:
\omega\gg {1}/{T}
\omega T\gg1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
1+(\omega t)^{2} \cong \omega T
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
\left|G\left(j\omega\right)\right|_{dB}=-20\log_{10}{\sqrt{1+\left(\omega t\right)^2}}[dB]
\left|G\left(j\omega\right)\right|_{dB}=-20\log_{10}{\left(\omega T\right)}[dB]
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
|G(j \omega)|_{d B}=\left\{\begin{array}{c} 0, \omega \ll 1 / T \\ -20 \log _{10}(\omega T), \omega \gg 1 / T \end{array}\right.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa forma, é possível observar que a representação por meio do Diagrama de Bode dessa função é definida por duas
retas assíntotas, uma em cada intervalo.
O ponto onde essas duas retas se interceptam é definido por {0}\ {dB} e \omega={1}/{T}. Essa frequência, por sua vez, é
denominada frequência de canto ou de corte.
Para a determinação do ângulo de fase \angle\ G\left(j\omega\right), é necessário:
\angle\ G\left(j\omega\right)=\angle\ {1}/{(1+j\omega t)}
\angle\ G\left(j\omega\right)=-\angle\ (1+j\omega t)
\angle\ G\left(j\omega\right)=-arctg\left(\omega t\right)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A fim de analisar adequadamente o comportamento da fase, também é preciso dividi-la em dois intervalos: \omega\ll {1}/{T}
e \omega\gg {1}{T} (frequências baixas e altas, respectivamente). Clique nas abas e veja cada um deles em detalhes:
INTERVALO DE BAIXAS FREQUÊNCIAS
No intervalo de baixas frequências (\omega\ll{1}/{T}), pode-se verificar que:
\omega\ll {1}/{T}
\omega T\ll1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
1+\omega t\cong1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
\angle\ G\left(j\omega\right)=-arctg\left(\omega t\right)
\angle\ G\left(j\omega\right)=-arctg\left(0\right)
\angle\ G\left(j\omega\right)=0^o
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou:
\angle\ G\left(j\omega\right)=\angle\ {1}/{(1+j\omega t)}
\angle\ G\left(j\omega\right)=\angle\ 1
\angle\ G\left(j\omega\right)=0^o
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
INTERVALO DE ALTAS FREQUÊNCIAS
No intervalo de altas frequências (\omega\gg {1}/{T}) é possível observar que:
\omega\gg {1}/{T}
\omega T\gg1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
1+j\omega T\cong\omega T
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
\angle\ G\left(j\omega\right)=-arctg\left(\omega t\right)
\angle\ G\left(j\omega\right)=-arctg\left(\infty\right)
\angle\ G\left(j\omega\right)={-90}^o
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou:
\angle\ G\left(j\omega\right)=\angle\ {1}/{j\omega T}
\angle\ G\left(j\omega\right)=-\angle\ j\omega T
\angle\ G\left(j\omega\right)={-90}^o
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
\begin{aligned} &\angle G(j \omega) \\ &=\left\{\begin{array}{c} 0, \omega \ll 1 / T \\ -\operatorname{arctg}(\omega t), \text {
para valores intermediários de } \omega \\ -90^{\circ}, \omega \gg 1 / T \end{array}\right. \end{aligned}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O Diagrama de Bode de uma função com polo de primeira ordem pode ser visto na imagem a seguir:
 Diagrama de Bode da função G\left(j\omega\right)={1}/{(1+j\omega t)}.
Nesse caso, é possível identificar que a frequência de corte é igual a:
\omega={10}^0
\omega=1 {rad}/{s}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
UMA APROXIMAÇÃO PARA OS DIAGRAMAS DE BODE DE FUNÇÕES COM
POLOS PODE SER FEITA POR MEIO DE ASSÍNTOTAS.
Essas aproximações permitem uma análise próxima da curva real, como pode ser visto na figura a seguir:
 Diagrama de Bode da função G\left(j\omega\right)={1}/{\left(1+j\omega t\right)} - aproximação por assíntotas
FUNÇÕES COM POLOS MÚLTIPLOS
|G(j \omega)|_{d B}=\left\{\begin{array}{c} 0, \omega \ll 1 / T \\ -20 \left(n\right) \log _{10}(\omega T), \omega \gg 1 / T
\end{array}\right.
\angle G(j \omega)=\left\{\begin{array}{c} 0, \omega \ll 1 / T \\ -\operatorname{arctg}(\omega t), \text { para valores
intermediários de } \omega \\ -90^{\circ} \left(n\right), \omega \gg 1 / T \end{array}\right.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
DIAGRAMA DE BODE DE UM FATOR COM ZERO DE ORDEM 1
OU N
Uma lógica similar àquela discutida para as funções de transferência com polos de ordem 1 ou múltipla ordem também se
aplica para as funções de transferência com zeros de ordem 1 ou de múltipla ordem do tipo
G\left(j\omega\right)=\left(1+j\omega\right)^n, n=1,\ 2,\ \ldots, podendo ser definidos por:
|G(j \omega)|_{d B}=\left\{\begin{array}{c} 0, \omega \ll 1 / T \\ +(20)(n) \log _{10}(\omega T), \omega \gg 1 / T
\end{array}\right.
\angle G(j \omega)=\left\{\begin{array}{c} 0, \omega \ll 1 / T \\ +\operatorname{arctg}(\omega t) \text {, para valores
intermediários de } \omega \\ +\left(90^{\circ}\right)(n), \omega \gg 1 / T \end{array}\right.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na imagem a seguir, pode-se notar o comportamento de uma função de transferência com zeros de ordem 2 do tipo
G\left(j\omega\right)=\left(1+j\omega\right)^2:
 Diagramas de Bode da função G\left(j\omega\right)=\left(1+j\omega\right)^2
ESTABILIDADE DE UM SISTEMA DE ACORDO COM OS
DIAGRAMAS DE BODE
A estabilidade de um sistema é fundamental para seu correto funcionamento. Uma das características descritas
anteriormente para que um sistema seja considerado estável é que ele não possua raízes no semiplano direito do plano
imaginário, ou seja, não tenha raízes com parte real positiva.
Sistemas que não possuem zeros e polos no semiplano direito são denominados sistemas de fase mínima.
Sistemas que possuem zeros e/ou polos no semiplano direito são denominados sistemas de fase não mínima.
Em ambos os casos (fases mínima e não mínima), a inclinação da curva de módulo (em dB), quando
\omega\rightarrow\infty, tende a -(20)(n)\ dB/década, sendo
n a diferença entre os graus do denominador e do numerador
da função de transferência.
Em um sistema de fase mínima, o ângulo de fase, quando \omega\rightarrow\infty, tende a -(90^o) (n). O que não ocorre
quando a fase é não mínima. Desse modo, toda a análise de estabilidade será realizada considerando os sistemas de fase
mínima.
MARGEM DE GANHO
TAL MARGEM CORRESPONDE AO VALOR DA MUDANÇA NO GANHO EM MALHA
ABERTA, NO PONTO COM FASE DE {180}^O NECESSÁRIO PARA TORNAR
INSTÁVEL O SISTEMA EM MALHA FECHADA.
De maneira resumida, a margem de ganho quantifica o ganho adicional que se deve colocar na malha de controle, de
forma a levar o sistema à condição de estabilidade crítica. Essa condição condiz com o limiar entre o semiplano esquerdo e
o semiplano direito (eixo imaginário).
UMA MARGEM DE GANHO POSITIVA REFLETE QUE O GANHO EM DB DEVE SER
SOMADO AO SISTEMA PARA QUE A ESTABILIDADE CRÍTICA SEJA ATINGIDA, O
QUE OCORRE QUANDO O SISTEMA JÁ É ESTÁVEL. UMA MARGEM NEGATIVA,
POR SUA VEZ, REFLETE QUE UM GANHO EM DB PRECISA SER SUBTRAÍDO DO
SISTEMA PARA LEVÁ-LO À CONDIÇÃO CRÍTICA DE ESTABILIDADE, SENDO
OBTIDA QUANDO ELE É INSTÁVEL.
MARGEM DE FASE
DIZ RESPEITO À MUDANÇA NO VALOR DA FASE DA MALHA ABERTA NO PONTO
DE GANHO UNITÁRIO, NECESSÁRIA PARA TRANSFORMAR UM SISTEMA EM
MALHA FECHADA INSTÁVEL.
Em outras palavras, corresponde a um atraso de fase adicional na frequência de cruzamento de ganho requerida para que
o sistema atinja o limiar da instabilidade.
DE MANEIRA RESUMIDA, A MARGEM DE FASE QUANTIFICA O ATRASO DE FASE
PURO QUE DEVERIA SER SOMADO AO SISTEMA PARA CONDUZI-LO A UMA
CONDIÇÃO DE ESTABILIDADE CRÍTICA.
Tendo em vista um sistema originalmente estável, podemos observar os diagramas de Bode na figura adiante:
 Diagramas de Bode de um sistema estável.
Por meio da imagem anterior, é possível notar que, no ponto em que a fase é igual a {180}^o, um aumento no ganho seria
necessário para levá-lo a uma estabilidade crítica (ganho nulo), fazendo com que a margem de ganho seja positiva. De
maneira similar, quando este é nulo, o ângulo de fase é superior a {-180}^o (mais positivo), fazendo com que a margem de
fase também seja considerada positiva.
Por outro lado, em um sistema originalmente instável, seria possível obter os diagramas de Bode da imagem
adiante:
 Diagramas de Bode de um sistema instável
Por intermédio da imagem anterior, é possível notar que, no ponto em que a fase é igual a {180}^o, uma redução no
ganho seria necessária para levá-lo a uma estabilidade crítica (ganho nulo), fazendo com que a margem de ganho seja
negativa. De maneira similar, quando ele é nulo, o ângulo de fase é inferior a {-180}^o (mais negativo), fazendo com que a
margem de fase também seja considerada negativa. Confira o exemplo a seguir:
EXEMPLO
Um sistema possui uma função de transferência igual a:
G\left(s\right)=\frac{10}{s\left(s+1\right)(s+10)}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observando os diagramas de Bode de módulo e de fase desse sistema, é possível definir as margens de ganho e de fase.
Dessa forma, o primeiro passo é traçar os diagramas do mesmo.
Como o sistema possui uma constante igual a 10 no numerador, é possível definir que o diagrama de módulo partirá do
ponto:
\left|G\left(j\omega\right)\right|_{dB}=+20\log_{10}{\left(\omega T\right)}[dB]
\left|G\left(j\omega\right)\right|_{dB}=+20\log_{10}{\left(10\right)}[dB]
\left|G\left(j\omega\right)\right|_{dB}=+20[dB]
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A fase, por sua vez, permanecerá em 0^o. O primeiro polo produz uma variação de -20\ dB/década, que faz com que o
módulo seja reduzido a 0dB. A fase sofre uma mudança de 0^o para {-90}^o.
Com o aparecimento do segundo polo, o decaimento passa a ser de -40\ dB/década, que faz com que o módulo seja
reduzido de 0dB a -40dB. A fase, por sua vez, cairá de {-90}^o a {-180}^o.
Por fim, com o terceiro polo, o decaimento atingirá seu máximo e passará a ser de -60\ dB/década, fazendo com que o
módulo seja reduzido de -40dB a -100dB. A fase, por outro lado, cairá de {-180}^o a {-270}^o.
Os diagramas de módulo e fase podem ser vistos na imagem a seguir:
 Diagramas de Bode do sistema G(s)
Observando os diagramas de Bode de maneira aproximada, é possível determinar as margens de ganho e de fase. A
margem de ganho é obtida observando-se a fase igual a {-180}^o.
Traçando uma linha dessa fase até o gráfico do módulo, é possível notar que o módulo vale -20dB. Dessa maneira, é
possível definir que o módulo pode ser aumentado em +20dB, para que a estabilidade crítica seja atingida, como pode ser
visto na figura a seguir:
 Diagramas de Bode do sistema G(s) - margens de ganho e de fase
De maneira similar, observando o módulo em 0dB, é possível traçar uma linha até o gráfico de fase e definir que ela está
em {-135}^o. Dessa forma, é possível concluir que a linha pode ser reduzida em até {-45}^o para que o sistema seja levado
até a estabilidade crítica.
VEM QUE EU TE EXPLICO!
A importância do Diagrama de Bode
As margens de ganho e de fase
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 2
 Descrever os princípios necessários para a análise da resposta em frequência em diagramas polares
A ANÁLISE DE SISTEMAS ATRAVÉS DE DIAGRAMAS
POLARES
OS DIAGRAMAS DE NYQUIST
Para alguns sistemas, a análise de estabilidade (critérios de estabilidade) associada aos diagramas de Bode não é
facilmente aplicável ou sequer válida. Para esses casos, os diagramas de Nyquist são explorados, com o objetivo de
permitir a análise da estabilidade desses sistemas a partir do posicionamento de seus polos e zeros.
Os diagramas de Nyquist são gráficos nos quais se plota o comportamento da função de transferência de uma função (por
meio do valor da função de transferência) em decorrência da sua velocidade angular
. Construído no plano imaginário (plano s), esse diagrama considera uma variação da frequência angular e zero até o
infinito.
Como os diagramas de Nyquist são gráficos polares de resposta em frequência parametrizados em
, ou seja, relacionam a resposta frequencial em malha aberta aos números de polos em malha fechada no semiplano
direito do plano imaginário (plano complexo s), assim todos os intervalos de
são representados no plano complexo por meio dos valores de
.
Considere a função de transferência adiante:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A determinação das componentes dessa função de transferência no plano complexo, requer a determinação da parte real e
imaginária dessa função.
NÚMEROS COMPLEXOS
Os números complexos são formados por uma parte real (Re) e uma imaginária (Im), como pode ser visto na imagem
adiante:
(ω −  rad/s)
ω
ω (0 ≤ ω ≤ ∞)
G (jω)
G (jω) =
1
1 + jωT
 Plano complexo.
Eles representam um conjunto com todos os pares ordenados em que os elementos pertencem ao conjunto dos números
reais (
). Os números complexos são descritos por uma parte real e uma imaginária como segue apresentado:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
é a parte real.
é a parte imaginária.
Indicada pela letra
R
c = a + jb
a
jb
j
, a unidade imaginária é matematicamente representada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Os números complexos podem ser representados em sua forma:
RETANGULAR
POLAR
RETANGULAR
Por meio da componente real e imaginária
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
POLAR
Por intermédio de sua fase e de seu ângulo.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
é o módulo do número complexo.
é o ângulo.
Sendo assim, retornando à função de transferência
, temos que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
j = √−1
c = a + jb
c = |c| ∠θ
|c| = √a2 + b2
θ = tan−1
b
a
|c|
θ
G (jω)
G (jω) =
1
1 + jωT
É possível simplificar
a função utilizando o conjugado da parte complexa:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com isso, pode-se reescrever a função de transferência como:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo, é possível escrever a função de transferência como:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa função pode ser desmembrada em duas partes, separando-se a parte real da imaginária, como demonstra a equação
a seguir:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É possível representar graficamente essa função no plano s, como mostra a imagem a seguir:
G (jω) = ×
1
1 + jωT
1 − jωT
1 − jωT
G (jω) =
1 − jωT
1 − (jωT )2
j = √−1
j2 = −1
G (jω) =
1 − jωT
1 + (ωT )2
G (jω) = − j
1
1 + (ωT )2
ωT
1 + (ωT )2
 Representação da função de transferência no plano s
Por meio da representação gráfica, é possível ainda escrever a função de transferência
em sua forma polar como:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
é o módulo.
é a fase.
A tabela adiante mostra os valores aproximados da função de transferência para velocidades angulares de zero até infinito:
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela 3 - Valores da função
para diferentes velocidades angulares.
Elaborada por Raphael de Souza dos Santos
Quando
:
G (jω)
G (jω) = ∠ − (tan−1 ωT)
1
√1 + (ωT )2
|G (jω)| =
1
√1 + (ωT )2
∠ − (tan−1 ωT)
ω (rad/s G (jω)
0 0
1
T
0, 5
∞ 1
G (jω)
ω = ∞
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Quando
:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O valor intermediário da função de transferência é estabelecido pelo ponto no qual o módulo é definido pela igualdade
entre as partes real e imaginária. Sendo assim:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Devido a representação gráfica dos dados da tabela 3, é possível produzir o Diagrama de Nyquist, como pode ser visto na
imagem a seguir:
G(jω) = − j
1
1 + ((0)(T ))2
(0)(T )
1 + ((0)(T ))2
G (jω) = 1
ω = 0
G(jω) = − j
1
1 + ((∞)(T ))2
(∞)(T )
1 + ((∞)(T ))2
G (jω) = 0
|G (jω)| =
1
√1 + (ωT )2
= 1
1
√1 + (ωT )2
√1 + (ωT )2 = 1
1 + (ωT )2 = 1
ωT = 1
ω =
1
T
 Diagrama de Nyquist da função
Clique na aba a seguir e confira o Exemplo I:
EXEMPLO 1
Considere um sistema físico definido pela função de transferência:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
, então:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Seguindo o mesmo critério utilizado na análise da função de transferência acima, pode-se verificar que, quando a
velocidade angular é nula
:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No extremo oposto, ou seja, quando a velocidade angular é muito elevada ou tende para valores muito maiores do que 10
(para o caso específico da função de transferência do exemplo):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para valores muito elevados, essa função de transferência tende para zero
, fazendo com que em altas frequências, o Diagrama de Nyquist se aproxime da origem do plano complexo. Como há
predominância de um polo, a fase se aproxima de
. Por fim, o valor intermediário da função de transferência pode ser definido obtendo-se o ponto no qual a parte real se
iguala à imaginária
G (jω)
G(s) =
1
s + 10
s = jω
G (jω) =
1
jω + 10
(ω = 0)
G(j0) =
1
(j0) + 10
G (j0) =
1
10
G(jω) =
1
(jω) + 10
G (jω) =
1
jω
(G (jω) → 0)
−90o
.
Dessa maneira:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pela normalização:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Lembrando que multiplica-se pelo conjugado do denominador.
Assim, para
, por exemplo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, para esse exemplo, pode-se mostrar que o Diagrama de Nyquist, para o intervalo de
, tem uma forma de semicircunferência, como pode ser verificado na imagem adiante:
(R = Im)
G(jω) =
1
(jω) + 10
(jω) + 10 = 0
(jω) = −10
ω =
−10
j
ω = ×
−10
j
(−j)
(−j)
ω = j10
ω = 10 rad/s
G(jω) =
1
jω + 10
|G(jω)| =
1
√(102 + 102)
|G(jω)| =
1
10√2
∠G (jω) = −45o
0 ≤ ω ≤ ∞
 Diagrama de Nyquist do exemplo 1
Uma das vantagens do Diagrama de Nyquist na comparação com os diagramas de Bode está na representação da
resposta em frequência (tanto de fase quanto de ganho) em um único gráfico. Com isso, por meio dos critérios de Nyquist,
é possível avaliar a estabilidade do sistema em malha fechada de maneira simplificada.
 VOCÊ SABIA
Embora o Diagrama de Nyquist ofereça uma alternativa de análise mais simples que o Diagrama de Bode, por apresentar
todas as informações em um único gráfico, as contribuições individuais de cada elemento (zeros e polos) não podem ser
identificadas separadamente, tornando um pouco mais difícil sua compensação.
FORMAS GERAIS DE GRÁFICOS POLARES
A representação dos números complexos em sua forma polar permite que seja feita uma representação da função de
transferência como a combinação de dois sistemas em cascata. Isso é possível considerando o sistema em cascata como
o produto de duas funções de transferência individuais. Sendo assim:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De maneira que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa forma, pode-se generalizar o caso para uma função de transferência do tipo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Nesse caso geral, será admitido, por hipótese, que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sejam
e
, respectivamente, os graus dos polinômios do denominador e do numerador. Então, considerando que todas as
simplificações já tenham sido realizadas, pode-se restringir a análise aos casos em que o grau do polinômio do
denominador é maior ou igual ao do numerador
.
G (jω) = G1 (jω)G2(jω)
|G (jω)| = |G1 (jω)| |G2(jω)|
∠G (jω) = ∠G1 (jω) + ∠G2(jω)
G (jω) =
K0. (1 + jωτ1) (1 + jωτ2) … (1 + jωτm)
(jω)
N
(1 + jωT1) (1 + jωT2) … (1 + jωTp)
K0 > 0
n = N + p
m
(n ≥ m)
ANALISANDO AS SITUAÇÕES EM QUE
Analisando o comportamento de
em cada caso, duas situações precisam ser consideradas para o comportamento quando
:
Nesse caso, a simplificação do sistema é dada da seguinte maneira:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É possível observar que o Diagrama de Nyquist termina sobre eixo real, mas, fora da origem, tendo em vista que, para
, a função de transferência apresentará um valor constante diferente de zero.
Pode-se imaginar que a simplificação do sistema culminará em:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Também é possível observar que o Diagrama de Nyquist termina sobre o eixo real. Entretanto, é claro que ele terminará na
origem, tendo em vista que, para
, a função de transferência apresentará um valor igual a zero.
Verifica-se que a maneira como a função de transferência
ω →   + ∞
G (jω)
ω → +∞
n  =  m
n > m
n  =  m
G(j∞) =
(K0) (τ1) (τ2) … τm
(T1) (T2) …Tp
ω → +∞
n > m
G(j∞) = 0
ω → +∞
se aproxima da origem depende do quantitativo de polos
em relação ao número de zeros
, ou seja, ao excesso de polos em relação ao número de zeros.
Essa comparação pode ser facilmente analisada. Considerando-se um valor de
muito alto
, pode-se avaliar
as seguintes possibilidades:
Se o número de polos superar o número de zeros em uma unidade
, a aproximação com o eixo real será tangente pela direita.
Imagine a seguinte função de transferência:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O diagrama de Nyquist da função é mostrado na imagem a seguir:
 Exemplo de função de transferência com
ordem
Se o número de polos superar o número de zeros em mais de uma unidade
G (jω)
(n)
(m)
ω
(ω → +∞)
(n − m = 1)
G(s) =
s + 1
s2 + s + 1
n  −  m  =  1
, a aproximação com a origem será tangente pela esquerda.
Suponha esta função de transferência:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O diagrama de Nyquist da função é mostrado na imagem a seguir:
 Exemplo de função de transferência com
ordem
ANALISANDO AS SITUAÇÕES EM QUE
Para avaliar o comportamento da função de transferência para baixas frequências, é necessário definir o tipo de sistema
(quanto à sua ordem). Clique nas abas a seguir e saiba mais:
SISTEMAS DO TIPO 0
São sistemas em que
Por esse motivo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Isso significa que o ponto inicial
(n  −  m  >  1)
G(s) =
s2 + s + 1
s4 + s3 + s2 + s + 1
n  −  m  >  1
ω → 0
n  −  m  =  0
G (j0) = K
do Diagrama de Nyquist se localiza sobre o eixo real positivo, como pode ser visto a seguir:
 Diagrama de Nyquist para um sistema do tipo 0
Dica
É interessante observar que a tangente ao Diagrama de Nyquist em
é perpendicular ao eixo real.
SISTEMAS DO TIPO 1
São sistemas em que
.
Por esse motivo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Isso significa que, em baixas frequências, o Diagrama de Nyquist é assintótico a uma reta paralela ao eixo imaginário
negativo.
SISTEMAS DO TIPO 2
São sistemas em que
.
De maneira similar ao tipo 1 e tendo em vista que o fator predominante é o denominador
, temos que:
(ω = 0)
ω = 0
n  −  m  =  1
lim
ω→0
|G(jω)| = ∞
n  −  m  =  2
(jω)
2
lim
ω→0
|G(jω)| = ∞
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Isso significa que, em baixas frequências, o Diagrama de Nyquist é assintótico a uma reta paralela ao eixo imaginário
positivo.
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE NYQUIST
O critério de estabilidade de Nyquist consiste em um resultado teórico que permite estudar a estabilidade de um sistema
em malha fechada graficamente, tendo como base a inspeção do diagrama polar da resposta em frequência (Diagrama de
Nyquist) de malha aberta desse sistema.
OU SEJA, ISSO SE DÁ SEM A NECESSIDADE DE DETERMINAR OS POLOS DO
SISTEMA EM MALHA FECHADA.
Uma das vantagens do critério de estabilidade de Nyquist é que não é preciso obter a função de transferência em malha
fechada nem a equação diferencial do sistema para determinar a estabilidade em malha fechada. O gráfico da resposta em
frequência de malha aberta pode ser utilizado – e sua obtenção pode ser, inclusive, experimental. Por isso a praticidade do
critério de Nyquist.
Dessa maneira, é possível entender a estabilidade do sistema de controle e sua capacidade de se manter nessa condição
de independentemente da existência de erros matemáticos. Essa característica se faz particularmente importante, tendo
em vista que os modelos das funções constituem, em seu aspecto mais amplo, aproximações matemáticas de modelos
físicos reais, sendo impossível representá-los em sua integralidade.
Tome como exemplo o sistema definido pela função de transferência do sistema a seguir:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe o Diagrama de Nyquist desse sistema na imagem adiante:
G (s) =
K
(1 + sT1) (1 + sT2)
 Diagrama em Nyquist do sistema
Verifica-se quantas vezes o ponto
é envolvido pelo Diagrama de Nyquist. Caso haja algum envolvimento, o sistema tenderá a instabilidade. No caso do
diagrama acima,
.
Em um segundo momento, nota-se o número de polos da malha aberta do semiplano direito. Observando a função de
transferência, é possível definir os polos como:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De maneira similar:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou seja, não há polos no semiplano direito
. A condição para que a estabilidade seja atingida, pelo critério de Nyquist, define que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
G(s)
−1  +  j0
N   =  0
1 + sT1 = 0
sT1 = −1
s = −1/T1
1 + sT2 = 0
sT2 = −1
s = −1/T2
(P = 0)
N + P = 0
e
, então:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O critério de estabilidade é cumprido em malha fechada para qualquer valor de
, fazendo com que o sistema seja estável para essa mesma condição.
O CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE NYQUIST É BASEADO NO PRINCÍPIO DO
ARGUMENTO DE CAUCHY QUE DEFINE O TEOREMA DO MAPEAMENTO.
VEM QUE EU TE EXPLICO!
A importância do Diagrama de Nyquist
O critério de estabilidade de Nyquist
VERIFICANDO O APRENDIZADO
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste conteúdo, debatemos o conceito de análise no domínio da frequência de sistemas físicos. A discussão em torno dos
gráficos de Bode nos permitiu observar como cada parâmetro que compõe a função de transferência do sistema
(constantes, zeros e polos) exerce uma influência distinta no comportamento dos gráficos de módulo e de fase do sistema,
considerando a resposta desse sistema às mudanças nas frequências.
Observamos também que os polos e os zeros de primeira ordem promovem variações de
, fazendo com que o módulo varie a cada década. Discutimos ainda que funções de ordem superior (aumento na ordem do
numerador ou do denominador) promovem um aumento no aclive/declive dessa variação de maneira proporcional ao
N   =  0
P   =  0
N   =   − P
K
±20 dB/década
próprio aumento da ordem.
Analisamos, em seguida, as margens de ganho e de fase baseadas nos gráficos de Bode, ambas essenciais para a
definição dos aumentos ou das reduções de valores nos ganhos e nas fases capazes ou necessárias para levar um
sistema a uma estabilidade crítica.
Por fim, delineamos o conceito de diagramas polares, dando especial atenção ao Diagrama de Nyquist. A importância
apresentada por essa análise, permite a determinação da estabilidade de um sistema pela observação direta da resposta e
pelo conhecimento dos polos em malha aberta. O que por sua vez, define o critério de estabilidade de Nyquist como uma
das mais poderosas ferramentas para a análise da estabilidade de sistemas de controle.
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Confira o conteúdo preparado especialmente para enriquecer o seu conhecimento.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
AGUIRRE, L. A. Sistemas realimentados: uma abordagem histórica. 1. ed. São Paulo: Blucher, 2020.
D’AZZO, J. J.; HOUPIS, C. H. Análise e projeto de sistemas de controle lineares. Rio de Janeiro: Guanabara Dois,
1984.
DORF, R. C.; BISHOP, R. H. Sistemas de controle moderno. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001.
FRANKLIN, G. F.; POWELL, J. D.; EMAMI-NAEINI, A. Sistemas de controle para engenharia. Porto Alegre: Bookman,
2013.
GOLNARAGHI, F.; KUO, B. C. Automatic control systems. Rio de Janeiro: McGraw-Hill Education, 2017. 
NISE, N. S.; DA SILVA, Fernando Ribeiro. Engenharia de sistemas de controle. 7. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2017.
OGATA, K. Engenharia de controle moderno. 5. ed. São Paulo: Pearson, 2010.
EXPLORE+
Para se aprofundar nos critérios de estabilidade de sistemas de controle associados aos diagramas de Bode e entender
conceitos como margem de ganho e margem de fase, assim como para compreender como aplicá-los aos diagramas de
Bode, pesquise sobre o assunto nos livros Engenharia de controle moderno, de Katsuhiko Ogata, e Engenharia de
sistemas de controle, de Norman S. Nise.
Para conhecer melhor o princípio do argumento de Cauchy, consulte a obra Sistemas realimentados: uma abordagem
histórica, de Luis
Antonio Aguirre.
CONTEUDISTA
Raphael de Souza dos Santos