Teoremas de Thévenin e Norton

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DESCRIÇÃO
Introdução ao estudo da eletricidade aplicada para análise de circuitos elétricos em corrente contínua (CC), com base nos
teoremas de Thévenin e de Norton.
PROPÓSITO
Compreender os conceitos fundamentais dos teoremas de Thévenin e Norton e aplica-los à solução de problemas com
circuitos elétricos em corrente contínua.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo, tenha em mãos papel, caneta para anotações e, se possível, uma calculadora científica para
facilitar seus cálculos na solução das equações de circuitos elétricos.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Analisar circuitos elétricos por meio do teorema de Thévenin
MÓDULO 2
Analisar circuitos elétricos por meio do teorema de Norton
INTRODUÇÃO
TEOREMAS DE THÉVENIN E NORTON
AVISO: orientações sobre unidades de medida.
AVISO
Em nosso material, unidades de medida e números são escritos juntos (ex.: 25km) por questões de tecnologia e didáticas.
No entanto, o Inmetro estabelece que deve existir um espaço entre o número e a unidade (ex.: 25 km). Logo, os relatórios
javascript:void(0)
técnicos e demais materiais escritos por você devem seguir o padrão internacional de separação dos números e das
unidades.
MÓDULO 1
 Analisar circuitos elétricos por meio do teorema de Thévenin.
TEOREMA DE THÉVENIN
TEOREMA DE THÉVENIN
O teorema de Thévenin é uma ferramenta muito usada na análise de circuitos, pois sua aplicação permite a redução de
circuitos complexos para formas mais simples, facilitando seu estudo.
Existem diversas formas de analisar um circuito, como, por exemplo, aplicando as Leis de Kirchhoff, contudo, a
complexidade de certas análises requer simplificações que podem ser alcançadas com o teorema de Thévenin. Neste
conteúdo, serão apresentadas técnicas referentes ao teorema aplicadas a circuitos de corrente contínua (CC).
LINEARIDADE
PARA QUE O TEOREMA EM ABORDAGEM POSSA SER
APLICADO, É NECESSÁRIO QUE O CIRCUITO OU O SISTEMA
SEJA LINEAR. A LINEARIDADE DESCREVE UMA RELAÇÃO DE
CAUSA E EFEITO. TOMANDO O RESISTOR COMO EXEMPLO
DE ELEMENTO LINEAR, É POSSÍVEL OBSERVAR NELE ESTA
CARACTERÍSTICA.
Considerando a primeira Lei de Ohm, assume-se que a tensão “v” se refere à saída do sistema, e a entrada é dada pela
corrente “i”. Se a corrente varia, a tensão, por sua vez, sofre uma variação proporcional a esta, como pode ser observado
na Equação 1:
(1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A propriedade acima apresentada é chamada de homogeneidade. A combinação dela com a propriedade da aditividade
descreve, por sua vez, a linearidade, necessária para a aplicação do teorema de Thévenin.
Para descrever a aditividade, consideram-se as Equações 2 e 3:
(2)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
v = iR
v1 = i1R
(3)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A validação desta propriedade (aditiva) requer que a resposta obtida da soma das entradas seja igual à soma das
entradas, quando estas são aplicadas separadamente. Dessa forma, considerando as Equações 2 e 3, a propriedade pode
ser modelada matematicamente como na Equação 4:
(4)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No que se refere à linearidade do circuito, é importante destacar os seguintes aspectos:
Para que o circuito seja linear, as propriedades aditiva e homogênea devem ser atendidas.
Potência (representada por P) é não linear, o que pode ser observado nas Equações 5 e 6:
(5)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(6)
v2 = i2R
v =(i1 + i2)R = i1R + i2R = v1 + v2
p = Ri2
p = v
2
R
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por observação, é possível notar que as expressões acima são quadráticas e não lineares. Assim, o teorema de Thévenin
não se aplica para o cálculo da potência.
EXEMPLO DE LINEARIDADE:
Para ilustrar o conceito de linearidade, considere como exemplo o circuito apresentado pela Imagem 1. No circuito da
imagem, como pode ser observado, contém uma fonte independente que o excita, Vs. A função desse circuito é carregar
uma carga, modelada pela resistência R. Vê-se que há uma corrente i que circula esse circuito. Adotaremos, para fins de
estudo, que o valor da fonte é de 10V e que esta resulta em uma corrente de 2A. Ao aplicar o princípio da linearidade, é
possível concluir que uma redução da fonte para 1V faz com que a corrente se reduza para 0,2A.
 
Imagem: Alexander; Sadiku, 2013, p. 114.
 Imagem 1 - Circuito linear.
DEFINIÇÃO DO TEOREMA DE THÉVENIN
Muitos circuitos possuem elementos variáveis e elementos fixos. Dentre os elementos variáveis, podemos citar as cargas,
como ocorre em residências, onde os aparelhos que estão conectados variam em diferentes momentos do dia. Para que o
circuito não seja avaliado em cada alteração do elemento variável, o mesmo passa a ser representado de forma
simplificada pelo circuito equivalente de Thévenin.
O teorema diz que um circuito linear pode ser substituído por outro, representado por um resistor e uma fonte de tensão,
como mostra as imagens a seguir.
 
Imagem: Alexander; Sadiku, 2013, p. 123
 Imagem 2 - Sistema linear.
 
Imagem: Alexander; Sadiku, 2013, p. 123
 Imagem 3 - Equivalente de Thévenin.
O TEOREMA DE THÉVENIN AFIRMA QUE UM CIRCUITO LINEAR DE
DOIS TERMINAIS PODE SER SUBSTITUÍDO POR UM CIRCUITO
EQUIVALENTE FORMADO POR UMA FONTE DE TENSÃO , EM
SÉRIE COM UM RESISTOR , ONDE É A TENSÃO DE CIRCUITO
ABERTO NOS TERMINAIS E , A RESISTÊNCIA DE ENTRADA OU
EQUIVALENTE NOS TERMINAIS QUANDO AS FONTES
INDEPENDENTES FOREM DESATIVADAS.
ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 123
Para que a representação do circuito equivalente seja feita, é necessário, portanto, o cálculo das variáveis de Thévenin,
como veremos a seguir.
Vth
Rth Vth
Rth
CÁLCULO DA TENSÃO DE THÉVENIN ( ,)
Para o cálculo da tensão referente ao circuito equivalente, ou , parte-se da equivalência entre os circuitos (original e de
Thévenin). Para que isso ocorra assume-se que no circuito original, a carga é retirada o que resulta em um terminal aberto.
Isto garante a igualdade entre as tensões, como mostra a Imagem 4.
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Imagem 4 - Cálculo da tensão de Thévenin.
A igualdade é modelada pela Equação 7:
(7)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CÁLCULO DA RESISTÊNCIA DE THÉVENIN ( ,)
Considerando o circuito original, o cálculo da resistência equivalente é feito quando todas as fontes dependentes são
desligadas, bem como a carga no terminal onde se deseja calcular o circuito. Feito isso, calcula-se a . Existem,
contudo, dois casos a serem considerados.
CASO 1
Neste cenário, o circuito possui apenas fontes independentes, como abordado até o momento, assim, basta apenas que
desative as fontes independentes e calcule .
CASO 2
Neste outro cenário, o circuito apresenta fontes dependentes (ou controladas). Estas podem ser de tensão ou de corrente e
são caracterizadas por dependerem do valor de tensão ou corrente de um outro ponto do circuito. Nessa situação deve-se,
portanto, manter a fonte dependente ativa e, partindo disso, aplicar uma fonte de corrente ou de tensão para calcular a
Vth
Vth
Vth = tensão de circuito aberto
Rth
Rth
Rth
resistência equivalente. É importante ressaltar que também nessas condições as fontes independentes devem ser
desativadas.
 
Ao sujeitar o circuito à aplicação de uma fonte de tensão, por exemplo, ela promoverá a circulação de uma corrente,
permitindo o cálculo de , como descrito pela Equação 8:
 
(8)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 DICA
No exemplo acima foi aplicada uma fonte de tensão, contudo, pode-se aplicar também uma fonte de corrente, cabendo a
escolha da fonte ao estudante (ou engenheiro). Sugere-se, porém, que o valor da fonte seja 1V ou 1A para facilitar os
cálculos, sendo este um dado arbitrário.
Para que sejafeito o desligamento das fontes independentes, deve-se atentar aos seguintes pontos, que podem ser vistos
também na Imagem 5:
As fontes de tensão são substituídas por um curto-circuito.
As fontes de corrente são substituídas por um terminal aberto.
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Imagem 5 - Desativação das fontes de tensão e corrente.
Rth
Rth =
vo
io
EXEMPLO DE APLICAÇÃO DO TEOREMA DE THÉVENIN
Para melhor entendimento dos conceitos apresentados, vejamos o circuito da Imagem 6, apresentado a seguir. O presente
circuito conta com duas fontes independentes, sendo uma de tensão e uma de corrente, três resistores e uma carga,
representada por . Deseja-se encontrar o equivalente de Thévenin, visto dos terminais a-b. O primeiro passo para
solucionar o problema é definir as variáveis a serem calculadas, neste caso, a tensão e a resistência de Thévenin.
 
Imagem: Alexander; Sadiku, 2013, p. 124
 Imagem 6 - Circuito exemplo.
CÁLCULO DA TENSÃO:
Como definido, é desejado que se calcule a tensão do circuito equivalente. Assim, o terminal da carga deve ser colocado
em aberto, como mostra a Imagem 7, e, partindo disso, pode-se resolver o circuito utilizando a técnica que julgar mais
viável, visando encontrar a tensão nos terminais a-b.
 
Imagem: Alexander; Sadiku, 2013, p. 124
 Imagem 7 - Circuito exemplo para cálculo da tensão de Thévenin.
Por análise da imagem anterior, é possível observar que não há circulação de corrente em a-b, uma vez que o terminal se
encontra aberto, dessa forma, não há queda de tensão promovida pelo resistor de 1Ω. A tensão nesse terminal é a mesma
que a do nó anterior, o que também pode ser observado na imagem. Dito isso, pode ser aplicada a análise nodal ou de
malhas para o cálculo da tensão. Nesse caso, utiliza-se a análise de malhas para que sejam encontradas as correntes que
circulam pelos ramos e, por fim, calcular a tensão sobre o resistor de 12Ω. A escolha da análise de malhas é opcional,
contudo, como há uma fonte de corrente na malha 2, esta se torna mais simples.
Aplicando a análise de malhas, tem-se o seguinte sistema de equações:
RL
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo, tem-se que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como a tensão de Thévenin é aquela sobre o resistor de 12Ω, faz-se a seguinte análise:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De posse da tensão do circuito equivalente, , o próximo passo é o cálculo da resistência de Thévenin.
CÁLCULO DA RESISTÊNCIA:
Para o cálculo de , as fontes independentes devem ser desativadas. Neste caso, a fonte de tensão é substituída por
um curto-circuito, enquanto a fonte de corrente é substituída por um terminal aberto, como mostra a Imagem 8.
−32 + 4i1 + 12(i1 − i2)= 0
i2 = −2A
i1 = 0,5A
Vth = 12(i1 − i2)
Vth = 12(0,5 + 2)= 30V
Vth
Rth
 
Imagem: Alexander; Sadiku, 2013, p.124
 Imagem 8 - Cálculo da resistência de Thévenin.
Assim, partindo do circuito da imagem anterior, basta calcular o equivalente entre os resistores do circuito. Ou seja,
primeiro faz-se o paralelo entre 4Ω e 12Ω e, em seguida, faz-se a soma desse resultado com 1Ω, pois encontram-se em
série:
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
O cálculo de pode ser feito antes de , uma vez que estes são calculados de forma independente.
MÃO NA MASSA
1. CONSIDERANDO O CIRCUITO ABAIXO APRESENTADO, DESEJA-SE SABER A TENSÃO E A
RESISTÊNCIA DE THÉVENIN VISTA DOS TERMINAIS DA CARGA RL. 
 
Rth = = 3Ω
4⋅12
4+12
Rth = 3 + 1 = 4Ω
Rth Vth
 IMAGEM 9 - CIRCUITO COMPLEMENTAR AO EXERCÍCIO.
 
 
ASSINALE A ALTERNATIVA CORRETA:
A) e 
B) e 
C) e 
D) e 
E) e 
2. PARA O CIRCUITO ABAIXO APRESENTADO, DESEJA-SE SABER A TENSÃO E A
RESISTÊNCIA DE THÉVENIN VISTA DOS TERMINAIS DA CARGA RL. 
 
 IMAGEM 10 - CIRCUITO COMPLEMENTAR AO EXERCÍCIO.
 
 
ASSINALE A ALTERNATIVA CORRETA:
A) e 
B) e 
C) e 
D) e 
E) e 
Vth =( )R3VR1+R3 Rth = + R2
R1 + R3
R1 × R3
Vth =( )R3VR1+R3 Rth = + R2
R1 × R3
R1 + R3
Vth =( )R3VR1+R3 Rth = + R1
R2 × R3
R2+R3
Vth =( )R2VR1+R3 Rth = + R2
R1 × R3
R1 + R3
Vth =( )R3VR2+R3 Rth = + R2
R1 × R3
R1+R3
Vth = 16V Rth = 8Ω
Vth = 8V Rth = 8Ω
Vth = 16V Rth = 20Ω
Vth = 16V Rth = 29Ω
Vth = 20V Rth = 8Ω
3. PARA O CIRCUITO ABAIXO APRESENTADO, PEDEM-SE A RESISTÊNCIA E A TENSÃO DE
THÉVENIN VISTAS DOS TERMINAIS A-B. 
 
 IMAGEM 11 - CIRCUITO COMPLEMENTAR AO EXERCÍCIO.
 
 
ASSINALE A ALTERNATIVA CORRETA:
A) e 
B) e 
C) e 
D) e 
E) e 
4. CONSIDERANDO O CIRCUITO APRESENTADO A SEGUIR, CALCULE A RESISTÊNCIA DE
THÉVENIN E ASSINALE O VALOR DENTRE AS OPÇÕES ABAIXO: 
 
 IMAGEM 12 - CIRCUITO COMPLEMENTAR AO EXERCÍCIO.
 
 
ASSINALE A ALTERNATIVA CORRETA:
A) 
B) 
C) 
D) 
Vth = 16V Rth = 8Ω
Vth = 8V Rth = 8Ω
Vth = 20V Rth = 2,4Ω
Vth = 12V Rth = 10Ω
Vth = 12V Rth = 2,4Ω
Rth = 12Ω
Rth = 4,4Ω
Rth = 1Ω
Rth = 1,09Ω
E) 
5. CONSIDERANDO O CIRCUITO APRESENTADO A SEGUIR, CALCULE A TENSÃO DE
THÉVENIN QUANDO A FONTE INDEPENDENTE FOR DE 10V, E APÓS ISSO, FAZENDO A FONTE
SER DE 20V. 
 
 IMAGEM 13 - CIRCUITO COMPLEMENTAR AO EXERCÍCIO.
 
 
ASSINALE O VALOR CORRETO DENTRE AS OPÇÕES ABAIXO:
A) e 
B) e 
C) e 
D) e 
E) e 
6. (PC - PR, 2017) PARA O CIRCUITO ABAIXO, QUAL O VALOR DA RESISTÊNCIA DE
THÉVENIN? 
 
 IMAGEM: PC - PR, 2017
 
A) 
Rth = 2Ω
Vth = 10V Vth = 20V
Vth = 5,45V Vth = 10, 90V
Vth = 5,45V Vth = 10V
Vth = 5V Vth = 10V
Vth = 15V Vth = 10V
23,75Ω
B) 
C) 
D) 
E) 
GABARITO
1. Considerando o circuito abaixo apresentado, deseja-se saber a tensão e a resistência de Thévenin vista dos
terminais da carga RL. 
 
 Imagem 9 - Circuito complementar ao exercício.
 
 
Assinale a alternativa correta:
A alternativa "B " está correta.
O primeiro passo para solução do exercício é o cálculo da tensão do circuito equivalente. Assim, o terminal da carga se
mantém aberto e pode-se resolver o circuito utilizando a técnica que julgar mais viável, visando encontrar a tensão nos
terminais da carga.
A tensão de circuito aberto, neste caso, é a tensão sobre R3, que pode ser assim calculada:
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
O segundo passo é o cálculo da resistência de Thévenin. Para isso, a fonte de tensão é substituída por um curto-circuito e,
então, faz-se o equivalente entre os resistores (desconsiderando a carga):
20,75Ω
33,75Ω
25,75Ω
43,75Ω
i = VR1+R3
Vth =( )R3VR1+R3
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Para o circuito abaixo apresentado, deseja-se saber a tensão e a resistência de Thévenin vista dos terminais da
carga RL. 
 
 Imagem 10 - Circuito complementar ao exercício.
 
 
Assinale a alternativa correta:
A alternativa "A " está correta.
O primeiro passo é o cálculo da tensão do circuito equivalente, . Assim, o terminal da carga se mantém aberto e pode-
se resolver o circuito utilizando a técnica que julgar mais viável, visando encontrar a tensão nos terminais da carga.
A tensão de circuito aberto, neste caso, é a tensão sobre R3, que pode ser assim calculada:
 
 
 
 
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
O segundo passo é o cálculo da resistência de Thévenin. Para isso, a fonte de tensão é substituída por um curto-circuito e,
então, faz-se o equivalente entre os resistores (desconsiderando a carga):
Rth =
R1 x R3
R1+R3
Rth = + R2
R1 x R3
R1+R3
Vth
i = VR1+R3
i = = 0,8A205+20
Vth =( )R3VR1+R3
Vth = 0,8 ⋅ 20 = 16V
 
 
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Para o circuito abaixo apresentado, pedem-se a resistência e a tensão de Thévenin vistas dos terminais a-b. 
 
 Imagem 11 - Circuito complementar ao exercício.
 
 
Assinale a alternativacorreta:
A alternativa "E " está correta.
O primeiro passo é o cálculo da tensão do circuito equivalente. Assim, pode-se resolver o circuito utilizando a técnica que
julgar mais viável, visando encontrar a tensão nos terminais dele.
A tensão de circuito aberto, neste caso, é a tensão sobre o resistor de 6Ω, que pode ser assim calculada:
 
 
 
 
 
Rth =
R1 xR 3
R1+R3
Rth = = 4Ω
5x20
25
Rth = 4 + 4 = 8Ω
i = V
Rtotal
i = = 2A204+6
Vth =(i)R
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
O segundo passo é o cálculo da resistência de Thévenin. Para isso, a fonte de tensão é substituída por um curto-circuito e,
então, faz-se o equivalente entre os resistores:
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Considerando o circuito apresentado a seguir, calcule a resistência de Thévenin e assinale o valor dentre as
opções abaixo: 
 
 Imagem 12 - Circuito complementar ao exercício.
 
 
Assinale a alternativa correta:
A alternativa "D " está correta.
Para o cálculo da resistência de Thévenin, a fonte de tensão é substituída por um curto-circuito, o resistor de 8Ω não entra
ainda no cálculo, uma vez que se deseja calcular o valor visto por ele. Então, faz-se o equivalente entre os resistores:
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vth = 2 ⋅ 6 = 12V
Rth =
R1⋅R2
R1+R2
Rth = = 2,4Ω
4 ⋅ 6
10
Rth = = 2,4
4⋅6
10
Rth = = 1,09Ω
2,4⋅2
4,4
5. Considerando o circuito apresentado a seguir, calcule a tensão de Thévenin quando a fonte independente for de
10V, e após isso, fazendo a fonte ser de 20V. 
 
 Imagem 13 - Circuito complementar ao exercício.
 
 
Assinale o valor correto dentre as opções abaixo:
A alternativa "B " está correta.
Para o cálculo da tensão do circuito equivalente, assume-se que esta é igual à tensão de circuito aberto, neste caso, é a
tensão sobre o resistor de 8Ω, que pode ser calculada da seguinte maneira:
 
 
 
 
 
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Como o circuito é linear, aumentando a tensão de excitação, tem-se o aumento em na mesma proporção, fazendo com
que o resultado seja encontrado rapidamente, sem a necessidade de análise do circuito completo.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Req = = 2,4Ω
4⋅6
10
i = VRtotal
i = = 2,27A10
4,4
Vth =(i)R
Vth = 2,27 ⋅ 2,4 = 5,45V
Vth
Vth = 10,90V
6. (PC - PR, 2017) Para o circuito abaixo, qual o valor da resistência de Thévenin? 
 
 Imagem: PC - PR, 2017
 
A alternativa "A " está correta.
A resistência de Thévenin é dada pelo paralelo entre 15 e 5:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Fontes de tensão podem ser modeladas por meio do equivalente de Thévenin. Seja uma fonte de tensão cujo valor é de
20V. Ela está conectada a uma carga de 1W. Quando essa carga é desconectada do circuito, observa-se que a tensão
atinge o valor de 21V. Pede-se, nesta situação, para calcular o valor da resistência interna dessa fonte. 2Ω
RESOLUÇÃO
Primeiramente, tem-se a informação da tensão de circuito aberto:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o cenário em que a carga conectada:
Rth= = 23,75Ω
15⋅5
20
voc = 21V
 
 
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De posse do valor da resistência, é possível calcular a corrente, sendo ela:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, calcula-se a tensão sobre a resistência da fonte:
 
 
 
 
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
p =
v²
R
R =
20²
1
R = 410,90Ω
I = = = 0,048Av
R
20
410,90
21 − 20 = Rfi
1 = Rfi
= Rf1
0,048
Rf = 20,54Ω
MODELAGEM DE FONTES DE TENSÃO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. (CEBRASPE – SLUDF – 2019 – ADAPTADA) CONSIDERANDO QUE, NO CIRCUITO
PRECEDENTE, TODOS OS ELEMENTOS SEJAM IDEAIS E C SEJA O NÓ DE REFERÊNCIA, COM
TENSÃO IGUAL A ZERO, JULGUE OS ITENS A SEGUIR E ASSINALE A ALTERNATIVA QUE
MELHOR ATENDE. 
 
I. A TENSÃO DE THÉVENIN VISTA A PARTIR DOS TERMINAIS B-C É IGUAL A VA. 
 
II. SE CONECTADO UM FIO COM RESISTÊNCIA ZERO ENTRE OS TERMINAIS B E C, A
CORRENTE QUE PASSARÁ PELOS NÓS A, B E C TERÁ MÓDULO IGUAL AO MÓDULO DA
TENSÃO VA. 
 
III. PARA SE DETERMINAR A RESISTÊNCIA DE THÉVENIN VISTA A PARTIR DOS TERMINAIS B-
C, BASTA COLOCAR AS FONTES INDEPENDENTES EM CURTO-CIRCUITO E CALCULAR A
ASSOCIAÇÃO EM PARALELO DAS TRÊS RESISTÊNCIAS DE 1Ω. 
 
IV. SE EFETUADO UM CURTO-CIRCUITO ENTRE OS TERMINAIS B E C, A CORRENTE ENTRE
ESSES TERMINAIS PODERÁ SER CALCULADA PELA DIVISÃO DA TENSÃO DE THÉVENIN
PELA RESISTÊNCIA DE THÉVENIN. 
 
 IMAGEM 15 - CIRCUITO COMPLEMENTAR AO EXERCÍCIO.
A) I, II, IV são verdadeiras; III, falsa.
B) Todas são verdadeiras.
C) I e II são verdadeiras; III e IV, falsas.
D) Todas são falsas.
E) I e III são verdadeiras; II e IV, falsas.
2. (CEBRASPE – SLUDF – 2019) CONSIDERANDO QUE, NO CIRCUITO APRESENTADO PELA
FIGURA 15, TODOS OS ELEMENTOS SEJAM IDEAIS, O NÓ B SEJA O NÓ DE REFERÊNCIA,
COM TENSÃO IGUAL A ZERO, E VF E R SEJAM CONSTANTES, JULGUE OS ITENS A SEGUIR
(VERDADEIRO OU FALSO) E ASSINALE A ALTERNATIVA CORRETA. 
 
I. A CORRENTE QUE PASSA ENTRE OS NÓS 2 E 3 É IGUAL A 1/4 DA CORRENTE QUE ENTRA
NO NÓ A. 
II. CONSIDERANDO-SE A RESISTÊNCIA EQUIVALENTE VISTA A PARTIR DOS NÓS 1 E B COMO
CARGA, A TENSÃO DE THÉVENIN VISTA A PARTIR DESSES NÓS SERÁ IGUAL A VF/2. 
 
III. PARA SE CALCULAR A RESISTÊNCIA DE THÉVENIN VISTA A PARTIR DOS NÓS A E B, É
NECESSÁRIO SUBSTITUIR A FONTE VF POR UM CURTO-CIRCUITO. 
 
IV. A TENSÃO NO NÓ 2 É IGUAL VF/8 . 
 
V. O CIRCUITO EM APREÇO É EQUIVALENTE A UM CIRCUITO COMPOSTO POR UMA FONTE
DE TENSÃO, DE VALOR VF, EM SÉRIE COM UMA RESISTÊNCIA DE VALOR IGUAL A R. 
 
 IMAGEM 16 - CIRCUITO COMPLEMENTAR AO EXERCÍCIO.
A) I, II, IV são verdadeiras; III e V, falsas.
B) Todas são verdadeiras.
C) II, III, IV são falsas; I e V, verdadeiras.
D) Todas são falsas.
E) I e III são verdadeiras; II, IV e V, falsas.
GABARITO
1. (CEBRASPE – SLUDF – 2019 – Adaptada) Considerando que, no circuito precedente, todos os elementos sejam
ideais e c seja o nó de referência, com tensão igual a zero, julgue os itens a seguir e assinale a alternativa que
melhor atende. 
 
I. A tensão de Thévenin vista a partir dos terminais b-c é igual a Va. 
 
II. Se conectado um fio com resistência zero entre os terminais b e c, a corrente que passará pelos nós a, b e c terá
módulo igual ao módulo da tensão Va. 
 
III. Para se determinar a resistência de Thévenin vista a partir dos terminais b-c, basta colocar as fontes
independentes em curto-circuito e calcular a associação em paralelo das três resistências de 1Ω. 
 
IV. Se efetuado um curto-circuito entre os terminais b e c, a corrente entre esses terminais poderá ser calculada
pela divisão da tensão de Thévenin pela resistência de Thévenin. 
 
 Imagem 15 - Circuito complementar ao exercício.
A alternativa "A " está correta.
 
Avaliando cada uma das afirmativas de forma individual, tem-se:
I. Verdadeira, pois a tensão de Thévenin é igual à tensão de circuito aberto entre os terminais b e c. Neste caso, como não
há circulação de corrente entre a e b, conclui-se que a tensão em b é igual à tensão em a. Logo, .
II. Verdadeira, ao analisar o circuito e aplicar o curto entre os terminais b e c, a corrente que passa pelos terminais a, b e c
pode ser descrita matematicamente como:
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
III. Falsa. Para o cálculo da resistência de Thévenin vista a partir dos terminais b-c, desativam-se as fontes independentes
e aplica-se a associação nas resistências do circuito, sendo elas série e paralelo:
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
IV. Verdadeira. Para calcular a corrente de curto-circuito,pode-se dividir tensão de Thévenin pela resistência de Thévenin:
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. (CEBRASPE – SLUDF – 2019) Considerando que, no circuito apresentado pela Figura 15, todos os elementos
sejam ideais, o nó b seja o nó de referência, com tensão igual a zero, e VF e R sejam constantes, julgue os itens a
seguir (verdadeiro ou falso) e assinale a alternativa correta. 
 
I. A corrente que passa entre os nós 2 e 3 é igual a 1/4 da corrente que entra no nó a. 
II. Considerando-se a resistência equivalente vista a partir dos nós 1 e b como carga, a tensão de Thévenin vista a
partir desses nós será igual a VF/2. 
 
III. Para se calcular a resistência de Thévenin vista a partir dos nós a e b, é necessário substituir a fonte VF por um
V Th  =  V a
Iabc = = VaVa
1
Rth = 1 + = 1,5Ω1⋅12
Icurto = VthRth
curto-circuito. 
 
IV. A tensão no nó 2 é igual VF/8 . 
 
V. O circuito em apreço é equivalente a um circuito composto por uma fonte de tensão, de valor VF, em série com
uma resistência de valor igual a R. 
 
 Imagem 16 - Circuito complementar ao exercício.
A alternativa "C " está correta.
 
Analisando as alternativas isoladamente, tem-se:
I. Verdadeira. A resistência equivalente no nó 3 é igual a R/2. A resistência equivalente no nó 2 é igual a R/2. A resistência
equivalente no nó 1 é igual a R/2. Com isso, é possível ver que a corrente que entra no nó a é igual, podendo ser
modelada pela seguinte expressão:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Aplicando a Lei de Kirchhoff, tem-se que a corrente que entra no nó 1 se divide igualmente entre os ramos 1-b e 1-2,
assim, a corrente entre o nó 1 e o nó 2 é dada por . Da mesma maneira, a corrente que passa pelo ramo 1-2 será
dividida igualmente entre os ramos 2-b e 2-3, assim, .
II. Falsa. A resistência equivalente vista a partir dos nós 1 e b é igual a R/2, que será a carga vista a partir desses nós.
Retirando-se a carga, para o cálculo da tensão de Thévenin, não existe corrente entre os nós a e 1. Assim, a tensão de
Thévenin vista a partir dos nós 1 e b será VF.
III. Falsa. Ao substituir a tensão VF por um curto-circuito, os nós a e b terão a mesma tensão, isto é, serão iguais a zero,
dessa forma, não é possível calcular a resistência equivalente a partir desses nós.
IV. Falsa. A resistência equivalente no nó 1 é dada por:
Ia =
VF
R
Ia
2
I23 = =I12
2
Ia
4
R
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Dessa forma, a tensão no nó 1 será dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
A resistência equivalente no nó 2 é dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Assim, a tensão no nó 2 será igual a:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
V. Verdadeira. A resistência equivalente vista pelos terminais a e b é igual a R. Dessa forma, o circuito pode ser substituído
pelo equivalente composto da fonte de tensão VF e pela resistência R.
MÓDULO 2
 Analisar circuitos elétricos por meio do teorema de Norton.
TEOREMA DE NORTON
V 1 =
VF
2
R
2
V 2 = =V 1
2
VF
2
2
TEOREMA DE NORTON
O teorema de Norton, tal como o teorema de Thévenin, é uma ferramenta muito usada na análise de circuitos complexos,
pois sua aplicação permite a redução dos circuitos em outros mais simples, sem que haja perda de informações, facilitando
seu estudo. Para a aplicação desse teorema, assim como citado no módulo 1, o circuito deve obedecer às características
da linearidade, ou seja, ele opera de acordo com as relações de causa e efeito.
Destaca-se novamente o seguinte aspecto:
Potência (representada por P) é não linear, o que pode ser observado nas Equações 9 e 10:
(9)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
p = Ri2
(10)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por observação, é possível notar que as expressões são quadráticas. Assim, o teorema de Norton, bem como o de
Thévenin, não se aplica.
DEFINIÇÃO DO TEOREMA DE NORTON
O teorema de Norton é muito semelhante ao de Thévenin, tendo sido proposto em 1926. O teorema diz que um circuito
linear pode ser substituído por outro, representado por um resistor em paralelo a uma fonte de corrente, como mostra as
imagens a seguir.
 
Imagem: Alexander; Sadiku, 2013, p. 128
 Imagem 17 - Circuito linear.
 
Imagem: Alexander; Sadiku, 2013, p. 128
 Imagem 18 - Equivalente de Norton.
p = v
2
R
O TEOREMA DE NORTON AFIRMA QUE UM CIRCUITO LINEAR DE DOIS
TERMINAIS PODE SER SUBSTITUÍDO POR UM CIRCUITO
EQUIVALENTE FORMADO POR UMA FONTE DE CORRENTE IN EM
PARALELO COM UM RESISTOR RN, EM QUE IN É A CORRENTE DE
CURTO-CIRCUITO ATRAVÉS DOS TERMINAIS E RN É A RESISTÊNCIA
DE ENTRADA OU EQUIVALENTE NOS TERMINAIS QUANDO AS
FONTES INDEPENDENTES FOREM DESLIGADAS.
(ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 125)
Para que a representação do circuito equivalente seja feita, é necessário, portanto, o cálculo das variáveis de Norton, como
veremos a seguir.
CÁLCULO DA CORRENTE DE NORTON ( )
Diferentemente do que é feito no equivalente de Thévenin, deseja-se agora calcular a corrente que circula pelo circuito
equivalente, ou seja, . Nesse caso, determina-se a corrente que circula pelos terminais a-b quando estes se encontram
em curto-circuito, o que pode ser observado na Imagem 19.
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Imagem 19 - Cálculo da corrente de curto-circuito.
A corrente de curto-circuito, definida por Isc (short-circuit ), refere-se à corrente de equivalente de Norton, podendo ser
modelada pela seguinte igualdade:
(11)
IN
IN
IN = corrente de curto − circuito
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CÁLCULO DA RESISTÊNCIA DE NORTON ( )
Para o cálculo da resistência de Norton, considera-se inicialmente o circuito original. Em seguida, todas as fontes
dependentes devem ser desligadas, bem como a carga no terminal em análise. Feito isso, calcula-se a resistência
equivalente. Existem, contudo, dois casos a serem considerados.
CASO 1
O circuito possuir apenas fontes independentes, como abordado até o momento.
CASO 2
O circuito apresentar fontes dependentes. Nesta última situação, deve-se, portanto, manter a fonte dependente ativa,
desativando as independentes, e, a partir disso, aplicar uma fonte de corrente ou de tensão para calcular a resistência
equivalente.
Nota-se, dessa forma, que a resistência equivalente de Norton é a mesma que aquela calculada no equivalente de
Thévenin, sendo assim:
(12)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o desligamento das fontes independentes, é importante ressaltar os seguintes pontos:
RN
RN = Rth
 
Imagem: Danielle Ribeiro
As fontes de corrente são substituídas por um terminal aberto.
 
Imagem: Danielle Ribeiro
As fontes de tensão são substituídas por um curto-circuito.
RELAÇÃO ENTRE OS TEOREMAS DE THÉVENIN E DE
NORTON
Por meio do método da transformação de fontes, é possível simplificar diversos circuitos. A aplicação desse método,
todavia, parte das seguintes considerações:
 
Imagem: Danielle Ribeiro
Seja um dado circuito em análise, no qual é possível identificar uma fonte e um resistor. É possível transformar uma fonte
de corrente (I) em paralelo com o resistor(R) em uma fonte de tensão (V) disposta em série com o resistor(R).
 
Imagem: Danielle Ribeiro
A recíproca dessa transformação é válida. Isto é, pode-se transformar uma fonte de tensão em série com um resistor em
uma fonte de corrente em paralelo com o resistor.
A imagem 20 representa a transformação de fontes descrita nos tópicos anteriores. Há uma relação entre os teoremas de
Norton e Thévenin, que pode ser descrita pela transformação de fontes, podendo esta ser modelada matematicamente
aplicando a seguinte relação mostrada na Equação13:
IN =
VTh
RTh
(13)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Imagem 20 - Transformação de fontes.
Por observação da Equação 13, pode-se destacar que, para encontrar o equivalente de Thévenin e de Norton, é
necessário:
Encontrar a tensão de circuito aberto nos terminais em análise (ou seja, ).
Encontrar a corrente de curto-circuito nos terminais em análise (ou seja, ).
Encontrar a resistência vista dos terminais em análise ao desativar as fontes independentes ( ),
ressaltando que o trabalho aplicado para fontes independentes requer uma fonte de teste inserida no circuito.
Utilizando dois dos três tópicos citados, é possível encontrar o terceiro por meio da relação de transformação. Dessa forma,
utiliza-se sempre o mais acessível e que permita a simplificação dos cálculos.
EXEMPLO DE APLICAÇÃO DO TEOREMA DE NORTON
Para melhor entendimento dos conceitos apresentados neste módulo, toma-se como exemplo o circuito da Imagem 21,
apresentado por Alexander e Sadiku (2013). Será nosso ponto de partida para fazer aplicações dos teoremas descritos.
VTh
IN
Rth = RN
 
Imagem: Alexander; Sadiku, 2013, p. 129
 Imagem 21 - Circuito exemplo.
O circuito proposto é constituído por quatro resistores e duas fontes independentes, sendo uma de tensão e uma de
corrente. Deseja-se encontrar o equivalente de Norton visto dos terminais a-b do circuito.
O primeiro passo é encontrar a resistência de Norton, tal como feito no teorema de Thévenin. Para isso, todas as fontes
independentes devem ser desativadas. Neste caso:
 
Imagem: Danielle Ribeiro
A fonte de tensão é curto-circuitada.
 
Imagem: Danielle Ribeiro
A fonte de corrente é substituída por um circuito aberto.
Partindo disso, calcula-se a resistência equivalente. Sendo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esse cálculo se refere aos elementos em série, que estão em paralelo com o resistor de 5Ω, assim:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O segundo passo é encontrar a corrente de Norton. Como já citado, esta consiste na corrente de curto-circuito que circula
pelos terminais a-b. Ao aplicar o curto, o resistor de 5Ω é eliminado da análise. Para solucionar o restante do circuito,
podem ser aplicadas técnicas como a análise nodal ou de malhas. Como exemplo, aplica-se, neste caso, a análise de
malhas, podendo ser identificadas duas malhas no circuito proposto, como mostra a Imagem 22. A escolha do método é
opcional, contudo, nesta situação a análise de malhas é facilitada pela presença da fonte de correntes na malha 1.
Req1 = 8 + 4 + 8 = 20Ω
RN = = 4Ω
20⋅5
25
 
Imagem: Alexander; Sadiku, 2013, p. 129
 Imagem 22 - Circuito exemplo.
Assim, ao aplicar a análise de malhas, têm-se as seguintes equações lineares:
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Partindo desse sistema de equações, tem-se:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Analisando o circuito da imagem anterior, nota-se que a corrente é a corrente que circula pelo terminal em curto, logo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO DE TRANSFORMAÇÃO ENTRE OS TEOREMAS
A fim de exemplificar a relação entre os teoremas, considera-se o mesmo circuito da Imagem 21, contudo, deseja-se agora
solucioná-lo por meio do equivalente de Thévenin e, então, encontrar a corrente de Norton utilizando a transformação de
fontes.
i1 = 2A
20i2 − 4i1 − 12 = 0
i2 = 1A
i2
i2 = iN
O primeiro passo é encontrar a resistência de Thévenin, que é a mesma de Norton. Para isso, todas as fontes
independentes devem ser desativadas. Neste caso:
 
Imagem: Danielle Ribeiro
A fonte de tensão é curto-circuitada.
 
Imagem: Danielle Ribeiro
A fonte de corrente é substituída por um circuito aberto.
Partindo disso, calcula-se a resistência equivalente. Sendo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que se refere aos elementos em série, que estão em paralelo com o resistor de 5Ω, assim:
Req 1 = 8 + 4 + 8 = 20Ω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O segundo passo é encontrar a tensão de Thévenin vista dos terminais a-b, como mostra a Imagem 23. Para solucionar
esse circuito, pode ser aplicada qualquer técnica. Aqui, será utilizada a análise de malhas, uma vez que a corrente da
malha 1 pode ser facilmente obtida pela fonte de corrente.
 
Imagem: Alexander; Sadiku, 2013, p. 130
 Imagem 23 - Circuito exemplo.
Assim, têm-se as seguintes equações de malhas:
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo esse sistema de equações, tem-se:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A tensão de Thévenin é, portanto, aquela sobre o resistor de 5Ω, assim:
 
 
RN = = 4Ω
20x5
25
i3 = 2A
25i4 − 4i3 − 12 = 0
i4 = 0,8A
Vth = 5 ⋅ i4
Vth = 5 ⋅ 0,8 = 4V
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para encontrar a corrente de Norton, partindo do circuito de Thévenin, aplica-se a transformação de fontes:
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A resistência do circuito de Norton é a mesma do circuito de Thévenin, como já dito.
MÃO NA MASSA
1. CONSIDERE O CIRCUITO APRESENTADO NA IMAGEM 24 ABAIXO. PARA ESTE, PEDE-SE O
CÁLCULO DAS VARIÁVEIS DE NORTON: 
 
 IMAGEM 24 - CIRCUITO COMPLEMENTAR AO EXERCÍCIO.
A) 2Ω e 5A
B) 2,5Ω e 5A
C) 10Ω e 2A
D) 2,4Ω e 2A
E) 2,4 Ω e 5A
2. CONSIDERE O CIRCUITO APRESENTADO NA IMAGEM ABAIXO. PARA ESTE, PEDE-SE O
CÁLCULO DA CORRENTE DE NORTON, CONSIDERANDO QUE O EQUIVALENTE É VISTO DOS
iN =
Vth
Rth
iN = = 1A
4
4
TERMINAIS DA CARGA: 
 
 IMAGEM 26 - CIRCUITO COMPLEMENTAR AO EXERCÍCIO.
A) 5A
B) 4A
C) 3A
D) 2A
E) 1A
3. CONSIDERE O CIRCUITO APRESENTADO NA IMAGEM A SEGUIR. PARA ESTE, DESEJA-SE
CALCULAR A CORRENTE DE NORTON VISTA DOS TERMINAIS A-B DA CARGA. 
 
 IMAGEM 28 - CIRCUITO COMPLEMENTAR AO EXERCÍCIO.
 
ASSINALE A ALTERNATIVA CORRETA:
A) 5A
B) 4A
C) 3A
D) 2A
E) 1A
4. PARA O CIRCUITO PROPOSTO E APRESENTADO NA IMAGEM 30, PEDE-SE O CÁLCULO DA
RESISTÊNCIA EQUIVALENTE DE NORTON VISTA DOS TERMINAIS DA CARGA (A-B). 
 
 IMAGEM 30 - CIRCUITO COMPLEMENTAR AO EXERCÍCIO.
 
 
ASSINALE A ALTERNATIVA CORRETA:
A) 0,5Ω
B) 1,5Ω
C) 2,5Ω
D) 3,5Ω
E) 4,5Ω
5. PARA O CIRCUITO PROPOSTO E APRESENTADO NA IMAGEM 31, PEDE-SE O CÁLCULO DA
RESISTÊNCIA EQUIVALENTE DE NORTON VISTA DOS TERMINAIS DO RESISTOR DE 2Ω. 
 
 IMAGEM 31 - CIRCUITO COMPLEMENTAR AO EXERCÍCIO.
 
 
ASSINALE A ALTERNATIVA CORRETA:
A) 5Ω
B) 10Ω
C) 15Ω
D) 20Ω
E) 25Ω
6. CONSIDERE UM CIRCUITO EQUIVALENTE DE THÉVENIN, COMPOSTO POR UMA FONTE DE
TENSÃO DE 100V EM SÉRIE COM UM RESISTOR DE 10Ω. APLICANDO A TRANSFORMAÇÃO
DE FONTES, PODE-SE AFIRMAR QUE ESSE CIRCUITO PODE SER SUBSTITUÍDO POR UMA
FONTE DE CORRENTE DE:
A) 5A em série com uma resistência de 10Ω.
B) 2A em paralelo com uma resistência de 10Ω.
C) 20A em série com uma resistência de 5Ω.
D) 10A em paralelo com uma resistência de 5Ω.
E) 2A em série com uma resistência de 10Ω.
GABARITO
1. Considere o circuito apresentado na Imagem 24 abaixo. Para este, pede-se o cálculo das variáveis de Norton: 
 
 Imagem 24 - Circuito complementar ao exercício.
A alternativa "E " está correta.
O primeiro passo é encontrar a resistência de Norton. Para isso, todas as fontes independentes devem ser desativadas.
Neste caso:
A fonte de tensão é curto-circuitada.
Partindo disso, calcula-se a resistência equivalente.
Sendo:
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
O segundo passo é encontrar a corrente de Norton. Como já citado, ela consiste na corrente de curto-circuito que circula
pelos terminais a-b, como mostra a Imagem 25.
 Imagem 25 - Circuito complementar ao exercício.Ao aplicar o curto, o resistor de 6Ω é eliminado da análise.
Para solucionar o restante do circuito, faz-se:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Considere o circuito apresentado na imagem abaixo. Para este, pede-se o cálculo da corrente de Norton,
considerando que o equivalente é visto dos terminais da carga: 
 
 Imagem 26 - Circuito complementar ao exercício.
A alternativa "D " está correta.
RN =
4⋅6
4+6
RN = 2,4Ω
IN = = 5A
20
4
Para encontrar a corrente de Norton, é necessário aplicar um curto-circuito nos terminais da carga, como mostra a Imagem
27, que se trata do circuito modificado.
 Imagem 27 - Cálculo da corrente de curto.
 
Ao aplicar o curto, o resistor que representa a carga é eliminado da análise.
Para solucionar o restante do circuito, faz-se:
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Logo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Substituindo no sistema de equações, tem-se que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5i1 + 20(i1 − i2)= 20
4i2 + 20(i2 − i1)= 0
i1 = i22420
i2 = 2A
 
Sendo que i2 é a corrente que circula pelo curto.
3. Considere o circuito apresentado na imagem a seguir. Para este, deseja-se calcular a corrente de Norton vista
dos terminais a-b da carga. 
 
 Imagem 28 - Circuito complementar ao exercício.
 
Assinale a alternativa correta:
A alternativa "D " está correta.
Para encontrar a corrente de Norton, é necessário aplicar um curto-circuito nos terminais da carga (a-b), como mostra a
Imagem 29, que se trata do circuito modificado.
 Imagem 29 - Cálculo da corrente de curto.
 
Ao aplicar o curto, o resistor que representa a carga e os resistores de 18Ω e 9Ω são eliminados da análise, uma vez que a
corrente busca o caminho de menor resistência para circular.
Para solucionar o restante do problema, aplica-se a seguinte análise da malha:
 
 
 
v = Ri
i = v
R
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Logo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Sendo que i é a corrente que circula pelo curto, ou seja, a corrente de Norton.
4. Para o circuito proposto e apresentado na imagem 30, pede-se o cálculo da resistência equivalente de Norton
vista dos terminais da carga (a-b). 
 
 Imagem 30 - Circuito complementar ao exercício.
 
 
Assinale a alternativa correta:
A alternativa "B " está correta.
Para o cálculo da resistência equivalente de Norton, todas as fontes independentes devem ser desconectadas, bem como
a carga do terminal em análise. Neste caso:
A fonte de tensão é curto-circuitada.
Partindo disso, calcula-se a resistência equivalente. Sendo:
Paralelo em 2, 18 e 9Ω:
i = 20
2
i = 2A
 
 
 
 
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Para o circuito proposto e apresentado na imagem 31, pede-se o cálculo da resistência equivalente de Norton
vista dos terminais do resistor de 2Ω. 
 
 Imagem 31 - Circuito complementar ao exercício.
 
 
Assinale a alternativa correta:
A alternativa "D " está correta.
Para o cálculo da resistência equivalente de Norton, todas as fontes independentes devem ser desconectadas, bem como
o resistor de 2Ω no terminal em análise. Neste caso:
A fonte de corrente é substituída por um circuito aberto.
Partindo disso, calcula-se a resistência equivalente. Sendo:
Associação em série dos dois resistores de 10Ω:
 
 
R1 =
2⋅18
20
R1 = 1,8Ω
RN =
1,8⋅9
10,8
RN = 1,5Ω
RN = 10 + 10
RN = 20Ω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Considere um circuito equivalente de Thévenin, composto por uma fonte de tensão de 100V em série com um
resistor de 10Ω. Aplicando a transformação de fontes, pode-se afirmar que esse circuito pode ser substituído por
uma fonte de corrente de:
A alternativa "B " está correta.
Aplicando a Lei de Ohm, tem-se que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Substituindo na equação os valores apresentados no exercício:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Onde 2A representa a corrente de Norton.
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Para o circuito apresentado abaixo, pede-se o equivalente de Norton visto dos terminais a-b:
v = Ri
= 2A10010
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Imagem 32 - Circuito complementar ao exercício.
RESOLUÇÃO
CÁLCULO DO EQUIVALENTE DE NORTON
Para o cálculo da resistência equivalente de Norton, todas as fontes independentes devem ser desconectadas. Neste
caso:
A fonte de corrente é substituída por um circuito aberto.
A fonte de tensão é substituída por um curto-circuito.
Partindo disso, calcula-se a resistência equivalente. Sendo:
Associação em série dos dois resistores de 2Ω e o resultante em paralelo com 4Ω:
 
 
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o cálculo da corrente, é necessário curto-circuitar os terminais a-b e, dessa forma, o resistor de 4Ω é
desconsiderado, como mostra a imagem 33.
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Imagem 33 - Cálculo da corrente de Norton.
Aplicando a análise de malhas para resolver o restante do problema, tem-se:
 
 
 
Req = 2 + 2 = 4Ω
RN =
4⋅4
4+4
RN = 2Ω
2i1 = 10
i2 − i1 = 5
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. (PETROBRAS, 2011) UM CIRCUITO EQUIVALENTE DE NORTON É COMPOSTO POR UMA
FONTE DE CORRENTE DE 20A, EM PARALELO COM UM RESISTOR DE 2Ω. O SEU
EQUIVALENTE DE THÉVENIN É UM CIRCUITO COMPOSTO POR UMA FONTE DE:
A) Corrente de 10A, em série com um resistor de 1Ω.
B) Corrente de 10A, em paralelo com um resistor de 1Ω.
C) Tensão de 40V, em paralelo com um resistor de 2Ω.
D) Tensão de 40V, em série com um resistor de 10Ω.
E) Tensão de 40V, em série com um resistor de 2Ω.
2. (INSTITUTO AOCP - 2018 - ITEP - RN - PERITO CRIMINAL - ENGENHARIA ELÉTRICA) DE
ACORDO COM O PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO E EQUIVALENTES DE THÉVENIN E DE
NORTON, ASSINALE A ALTERNATIVA CORRETA.
A) A resistência de Norton (RN) é igual à resistência de Thévenin elevada ao quadrado.
B) A corrente de Norton (IN) é igual à corrente de Thévenin dividida pela resistência de Thévenin ao quadrado.
C) A corrente de Norton (IN) é igual à tensão de Thévenin dividida pela resistência de Thévenin.
D) A resistência de Norton (RN) é diferente da resistência de Thévenin (RTh) no que se refere à transformação de fonte.
E) O teorema de Norton define que um circuito linear de dois terminais pode ser substituído por um circuito equivalente
formado por uma fonte de corrente e um resistor em série, denominado RN.
GABARITO
1. (PETROBRAS, 2011) Um circuito equivalente de Norton é composto por uma fonte de corrente de 20A, em
paralelo com um resistor de 2Ω. O seu equivalente de Thévenin é um circuito composto por uma fonte de:
A alternativa "E " está correta.
 
iN = 10
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. (INSTITUTO AOCP - 2018 - ITEP - RN - Perito Criminal - Engenharia Elétrica) De acordo com o princípio da
superposição e equivalentes de Thévenin e de Norton, assinale a alternativa correta.
A alternativa "C " está correta.
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste conteúdo, foram abordados conceitos importantes para o estudo dos circuitos elétricos. No módulo 1, foram
apresentadas as definições referentes ao teorema de Thévenin, permitindo aplicar essa forma de simplificação em circuitos
de corrente contínua.
No módulo 2, foram destacadas as características do equivalente de Norton, uma forma alternativa e complementar de
simplificar e analisar circuitos elétricos, bem como a relação existente entre os teoremas do módulo 1 e 2, comprovadapela
transformação de fontes. Dito isso, é possível correlacionar os tópicos, sendo necessário o bom entendimento de cada um
deles para melhor absorção de outros conteúdos da área.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
v = Ri
v = 20 ⋅ 2 = 40V
IN =
VTh
RTh
REFERÊNCIAS
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de circuitos elétricos. 5. ed. Porto Alegre: McGraw-Hill, 2013.
BOYLESTAD, R. L. Introdução à análise de circuitos. Rio de Janeiro: Prentice Hall do Brasil, 1998.
CRUZ, E. C. A. Eletricidade aplicada em corrente contínua: teoria e exercícios. 2. ed. São Paulo: Érica, 2011.
EDMINISTER, J. A. Circuitos elétricos: reedição da edição clássica. 2. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 1991.
GUSSOW, M. Eletricidade básica. São Paulo: Makron Books, 1985.
JOHNSON, D. E.; HILBURN, J. L.; JOHNSON, J. R. Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos. 4. ed. São Paulo:
PHB, 1990.
MARKUS, O. Circuitos elétricos: corrente contínua e corrente alternada. São Paulo, SP: Érica, 2001.
SENAI-SP. Educação continuada- circuitos em corrente alternada. São Paulo: SENAI-SP, 2002.
CONTEUDISTA
Isabela Oliveira Guimarães