Análise e Dimensionamento de Peças Comprimidas

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Estrutura de Madeira
Aula 6 - Análise e Dimensionamento de Peças
Comprimidas
INTRODUÇÃO
Buscarmos sempre adotar estruturas de madeira em situações nas quais os esforços de tração sejam preponderantes,
mas, é natural existirem casos em que seja impossível evitar esforços de compressão em alguns elementos da estrutura.
Um mezanino de madeira, eventualmente, deverá descarregar seu peso em pilares, que também poderão ser de madeira.
Como a resistência da madeira à compressão tende a ser inferior à resistência à tração, é necessário cuidado na hora de
dimensionar uma peça submetida a este esforço. Os efeitos indesejáveis decorrentes da esbeltez da peça podem reduzir
sua resistência.
Nesta aula, examinaremos os principais critérios de classi�cação do dimensionamento de peças submetidas a esforços
de compressão, com base na esbeltez desses elementos. Estudaremos como é possível dimensionar peças curtas
submetidas a esforços simples de compressão. Todos os cálculos serão realizados de acordo com o recomendado pela
NBR 7190/97.
OBJETIVOS
Estabelecer a de�nição de comprimento de �ambagem de um elemento estrutural.
Identi�car o nível de esbeltez de uma peça submetida a esforços de compressão.
Calcular peças curtas de madeira comprimidas axialmente, segundo a Norma NBR 7190/1997.
PREMISSA
A madeira possui elevada resistência frente a outros materiais (como o aço) e, por isso, aplicamos estruturas de madeira
nas situações em que os esforços de tração são mais relevantes.
Há casos, nessas estruturas, que alguns elementos estruturais estão sujeitos a esforços de compressão. São pilares ou
alguns elementos de treliça. Nessas situações, devemos dimensionar as peças para que suportem os efeitos.
No caso de compressão, efeitos de �ambagem podem ocorrer quando há excentricidade na aplicação desse esforço,
gerando deslocamentos laterais adicionais e reduzindo a resistência da peça.
PEÇAS SUBMETIDAS À COMPRESSÃO SIMPLES
A �ambagem é um fenômeno de instabilidade elástica associado a elementos comprimidos. O elemento pode perder sua
estabilidade sem que o material atinja a sua tensão de escoamento.
Esse colapso ocorrerá sempre na direção do eixo de menor momento de inércia de sua seção transversal, quando a carga
aplicada superar um valor crítico que, para o caso birrotulado, pode ser calculado pela expressão:
Fonte: janniwet / Shutterstock
Essa carga é denominada carga crítica de Euler (glossário).
Comprimento de �ambagem e esbeltez
Estudaremos os pormenores da �ambagem, como por exemplo os efeitos adicionais de �exocompressão (glossário) de
uma peça submetida à compressão simples, posteriormente. Nesta aula, discutiremos o conceito de comprimento de
�ambagem.
Imagine uma peça biapoiada, submetida a um esforço de compressão, que possui uma das duas condições (ou ambas):
CASO 1
A peça possui uma deformação intrínseca ao longo do comprimento, intencional ou não, como
na Figura 1. Chamaremos esse deslocamento de δ .0
Figura 1 - Deformação de 2ª ordem por conta de deformação intrínseca na peça.
CASO 2
O esforço de compressão aplicado não é centralizado na seção transversal da peça, ou seja,
há uma excentricidade e na aplicação da carga, que gera um momento �etor adicional, como
na Figura 2.
Figura 2 - Flambagem por excentricidade na aplicação da carga.
Nos dois casos, a peça poderá estar sujeita a um efeito chamado �ambagem. A �ambagem é uma tendência de uma
peça esbelta apresentar um deslocamento lateral adicional. Nesses casos, a resistência da peça tende a reduzir,
dependendo da resistência do material e da própria rigidez à �exão da peça, ou seja, do parâmetro e .
A teoria da �ambagem foi desenvolvida para situações de uma peça birrotulada. Existem casos que os elementos não
estão birrotulados, mas sim biengastados, ou engastados e rotulados, por exemplo. Para que os efeitos de �ambagem
possam ser aplicados para todos os tipos de condições de contorno, utiliza-se o comprimento de �ambagem no lugar do
comprimento real da peça.
Ao considerarmos o comprimento de �ambagem, trabalharemos com um modelo birrotulado que representará o caso
real, ou seja, substituiremos nosso elemento por um birrotulado equivalente.
i
i
Figura 3 - Parâmetros de �ambagem
Analisando o comportamento da �ambagem de uma peça comprimida para cada condição de contorno (Figura 3),
de�nimos o comprimento de �ambagem como a distância entre dois pontos de in�exão. Ou seja, determinamos o
comprimento de �ambagem pelo produto do comprimento da peça por um parâmetro de �ambagem, conforme a
equação:
O parâmetro de �ambagem é uma constante e depende das condições de contorno da peça. A Figura 3 ilustra esses
parâmetros.
VEJA UM EXEMPLO
Se trabalharmos com uma viga engastada e rotulada que possui um comprimento entre
apoios de 3,5m, o comprimento de �ambagem será dado por:
l = k.l = 0,7 . 3,5 = 2,45m
Nas estruturas de madeira, como trabalhamos com ligações que apresentam características deformáveis, como engastes
parciais, usualmente se despreza, por segurança, os fatores que possam reduzir o comprimento de �ambagem.
Normalmente, não temos condições de determinar com precisão a real rigidez das ligações.
Trabalharemos com o comprimento de �ambagem igual ao próprio comprimento do elemento (l = l) em todos os casos
que as peças possuírem apoios em ambas as extremidades. No caso de barras engastadas e livres, trabalharemos com o
comprimento de �ambagem indicado na Figura 1, de forma que l = 2 . l.
Do comprimento de �ambagem de uma peça podemos determinar a sua esbeltez, especi�cada por um coe�ciente
denominado índice de esbeltez, que utilizamos para identi�car a possibilidade da peça sofrer efeitos de �ambagem ao
longo da sua vida útil.
O índice de esbeltez da barra é dado pela razão , onde i é o raio de giração da seção transversal e pode ser obtido
pela expressão , onde I é o momento de inércia na direção considerada e A é a área da seção.
�
�
�
A NBR 7190 estabelece valores máximos para o índice de esbeltez. De acordo com a norma, o valor limite é dado por:
FAIXAS DE DIMENSIONAMENTO DE PEÇAS COMPRIMIDAS
A NBR estabelece três classi�cações para as peças comprimidas de acordo com o índice de esbeltez, com o objetivo de
de�nir critérios diferentes para o dimensionamento de cada caso:
Peças curtas Peças medianamente esbeltas Peças esbeltas
Dimensionamento 0 < l /i ≤ 40 40 < l /i ≤ 80 80 < l /i ≤ 140
Detalhes da
�ambagem
A �ambagem
dos elementos
não é
considerada
A �ambagem dos elementos é
considerada, realizando o
dimensionamento para �exocompressão,
mesmo que a barra esteja submetida
apenas a carregamentos axiais
centralizados.
Além dos efeitos adicionais
calculados para peças
medianamente esbeltas, o
efeito de �uência da madeira
também é considerado.
Fonte: janniwet / Shutterstock
Nesta aula, discutiremos apenas os casos de peças curtas.
DIMENSIONAMENTO DE PEÇAS CURTAS À COMPRESSÃO SIMPLES
Paralela às �bras da madeira
Segundo a NBR 7190, a veri�cação de elementos submetidos a esforços de compressão simples é dado por meio da
expressão:
σ ≤ f
� � �
c0,d c0,d
Onde σ é a tensão de cálculo de compressão e f é a resistência de cálculo à compressão paralela às �bras. A
resistência de cálculo é dada pela expressão:
Fonte:
No caso da compressão paralela às �bras, o coe�ciente de ponderação γ é adotado como igual a 1,4.
Exemplo 1
Considere uma peça de madeira Ipê (dicotiledônea), de f = 76,0MPa, de dimensões 15cm x 15cm. Considere que a
peça possui comprimento tal que sua esbeltez é inferior a 40. Determine qual é a máxima carga de compressão de
projeto admissível para que o elemento passe na veri�cação à compressão simples.
Considere, ainda, que a peça é de madeira serrada de primeira categoria, com carregamento de longa duração, e será
instalada em um ambiente com 60% de umidade.
PASSO 1
Determinamos o k da seguinte forma:
k = 0,70, para madeira serrada com carregamento de longa duração;
k = 1,00, para classe de umidade 1 (60%);
k = 1,00, para madeira de primeira categoria.PASSO 2
Determinamos os valores de f e f com base na informação dada do f = 76,0MPa.
c0,d c0,d
w
cm
mod
mod,1
mod,2
mod,3
c0,k c0,d cm
PASSO 3
Calculamos qual seria a carga máxima de projeto admissível para a resistência determinada
acima, a partir da expressão:
Resultado: A carga máxima de compressão simples que a peça pode estar sujeita é de
598,5kN.
Normal às �bras da madeira
A veri�cação dos elementos submetidos a esforços de compressão simples normais às �bras da madeira é dada pela
expressão:
σ ≤ f
Nessa expressão, f é a resistência do material à compressão normal às �bras, que é calculada como:
f = 0,25 . f . α
O coe�ciente α varia conforme a extensão da carga normal às �bras (indicado na Figura 4 pelo valor b), e foi detalhado
na aula anterior (Análise e Dimensionamento de Peças Tracionadas).
Figura 4 - Tensão de compressão normal às �bras.
Fonte: Reprodução de PFEIL e PFEIL, 2003, p.48.
c90,d c90,d
c90,d
c90,d c0,d n
n
Inclinada às �bras da madeira
Caso o ângulo de inclinação das �bras em relação ao eixo longitudinal da barra seja igual ou inferior a 6 graus, usamos as
expressões de�nidas no título Dimensionamento de peças curtas à compressão simples, paralela às �bras da madeira.
Se não for este o caso, devemos adotar uma redução na resistência por meio da fórmula de Hankinson, dada por:
Nessa expressão, α é o ângulo de inclinação da força em relação às �bras. A veri�cação para essa condição é dada
segundo expressão análoga às apresentadas nos itens Dimensionamento de peças curtas à compressão simples, normal
às �bras da madeira e Dimensionamento de peças curtas à compressão simples, inclinada às �bras da madeira.
Exemplo 2
Considere uma peça de madeira com as mesmas propriedades de�nidas no exemplo 1, mas, agora, a geometria da sua
seção transversal é desconhecida, sabe-se apenas que ela é circular. O esforço de compressão aplicado na peça é de
550kN, e esta carga está sendo aplicada com um ângulo de inclinação em relação às �bras da madeira de 30 graus,
determine o diâmetro mínimo admissível para a peça.
PASSO 1
Neste caso, já sabemos o valor de f , que é igual a 26,6MPa. Podemos, de imediato,
determinar f , assumindo que o coe�ciente α seja igual a 1,00, uma vez que este é o pior
caso possível e não temos mais informações sobre a extensão da aplicação da carga.
Portanto:
PASSO 2
Agora seguimos para calcular a resistência para um ângulo de 30 graus, de inclinação entre a
carga e as �bras da madeira:
PASSO 3
Por �m, calcularemos a dimensão mínima da seção transversal da peça, através da expressão:
c0,d
c90,d n
Resultado: adota-se um diâmetro mínimo de 22cm para a seção da peça.
ATIVIDADE
Considere o pórtico, formado por elementos de madeira conífera de classe C30. Sabendo que os pilares são compostos
por madeiras com ângulo de inclinação das �bras de 30 graus, atenda aos seguintes pedidos:
(a) Dimensione os pilares, considerados quadrados, para que o pórtico possa receber um carregamento
uniformemente distribuído de 10kN/m sobre a viga. Adote dimensões que sejam su�cientes para
enquadrar os pilares como peças curtas;
(b) Veri�que o carregamento máximo admissível, considerando uniformemente distribuído sobre a viga,
que seria possível utilizando-se pilares de dimensões 17,5cm x 17,5cm.
Em ambos os casos despreze o peso próprio da estrutura. Admita que k = 0,45.
galeria/aula6/img/12a.png
Figura 1: Esquema estrutural do pórtico submetido a carregamento distribuído - carregamento apenas
para o item (a).
galeria/aula6/img/12b.png
Figura 2: Esforços de compressão nos pilares - usados apenas no item (a).
EXERCÍCIOS
Questão 1: Para uma coluna de 2,5m de altura, �xada nas duas extremidades, feita de madeira dicotiledônea de classe
C40, de dimensões 7,5cm x 15cm, com um k = 0,50 e submetida a um carregamento axial de compressão de 250kN,
assinale a opção correta:
a) A resistência de cálculo do elemento à compressão paralela às �bras da madeira é igual a 25,5MPa.
b) A peça deve ser classi�cada como esbelta, uma vez que sua esbeltez está situada entre 80 e 140.
c) Não é possível determinar o seu comprimento de �ambagem, uma vez que não foram informadas exatamente quais as
condições de contorno das extremidades.
d) A tensão de compressão de cálculo é igual a 20,0MPa.
e) A peça deve ser classi�cada como medianamente esbelta, pois possui esbeltez na faixa entre 40 e 80.
Justi�cativa
Questão 2: Para uma coluna quadrada de 2,5m de altura, feita de madeira dicotiledônea de classe C30, com um k =
0,60 e submetida a um carregamento axial de compressão de 150kN normal às �bras da madeira e em uma extensão de
10cm, determine as suas dimensões mínimas admissíveis, de forma que ela seja considerada uma peça curta.
Resposta Correta
mod
mod
mod
Questão 3: Para uma peça curta feita de madeira conífera de classe C25, de dimensões 10cm x 15cm, com um k =
0,56 e submetida a um carregamento axial de compressão de 150kN, com ângulo de inclinação em relação às �bras de
10 graus, assinale a opção correta:
a) Para esse ângulo de inclinação das �bras não é necessário aplicar a fórmula de Hankinson.
b) A tensão atuante de cálculo é igual a 12,5MPa.
c) Como não foi dado o valor de α , temos que adotar um valor do coe�ciente igual a 2,0.
d) A resistência de cálculo à compressão que deve ser usada é de aproximadamente 9,17MPa.
e) As dimensões dessa peça são su�cientes para receber a carga de 150kN.
Justi�cativa
Glossário
EULER
mod
n
Fonte: Georgios Kollidas (https://www.shutterstock.com/pt/g/georgios) / Shutterstock
Foi um matemático suíço, que resolveu o problema em 1757.
FLEXOCOMPRESSÃO
São os casos de esforços em que não há apenas �exão simples ou esforços axiais simples. Nesses
casos, adotam-se as combinações de efeitos de �exão e tração (�exotração) ou compressão
(�exocompressão).
https://www.shutterstock.com/pt/g/georgios
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