Geometria Espacial

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[Inglês básico]
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Geometria
Espacial
Prof Mansinho Verissimo Jr
3º ANO 2023
[Inglês básico]
Aula 01 - Cubo e Paralelepípedo
Geometria Espacial
Prof. Mansinho Jr 
Cubo
O cubo é caracterizado como um poliedro (hexaedro) regular ou ainda, um paralelepípedo retângulo com todas as faces e arestas congruentes e perpendiculares (a = b = c).
Além disso, é um dos cinco sólidos platônicos, pois: cada face tem 4 arestas; de cada vértice partem 3 arestas; vale a relação de Euler: V - A + F = 2
Fórmulas do Cubo
Paralelepípedo
Os paralelepípedos são sólidos geométricos tridimensionais que pertencem ao conjunto dos prismas. Para que um prisma seja considerado paralelepípedo, basta que suas bases sejam paralelogramos.
A relação de Euler também se aplica aos paralelepípedos, visto que é um hexaedro, portanto: V + F = A + 2
Fórmulas do Paralelepípedo
Exemplo 1 - Enem 2010
Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm de comprimento e 4 cm de espessura. Analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o formato de cubo é igual a:
(A) 5 cm
(B) 6 cm
(C) 12 cm
(D) 24 cm
(E) 25 cm
Solução
Vp = 3 x 18 x 4
Vp = 216 cm³
Vc = a³
 a³ = 216
a =
a =
 a = 2 x 3
 a = 6 cm
(A) 5 cm
(B) 6 cm
(C) 12 cm
(D) 24 cm
(E) 25 cm
Exemplo 2 - Enem 2015
Uma carga de 100 contêineres, idênticos ao modelo apresentado na Figura 1, deverá ser descarregada no porto de uma cidade. Para isso, uma área retangular de 10x32 metros foi cedida para o empilhamento desses contêineres.
	De acordo com as normas desse porto, os contêineres deverão ser empilhados de forma a não sobrarem espaços nem ultrapassarem a área delimitada. Após o empilhamento total da carga e atendendo à norma do porto, a altura mínima a ser atingida por essa pilha de contêineres é
(A) 12,5 m.
(B) 17,5 m.
(C) 25,0 m.
(D) 22,5 m.
(E) 32,5 m.
Solução
6,4 x 5 = 32 m
2,5 x 4 = 10 m
Base = 5 x 4
B = 20 contêineres
Altura = 100/20
A = 5 contêineres
Alt. em Metros 
5 x 2,5 m 
Altura = 12,5 m 
(A) 12,5 m.
(B) 17,5 m.
(C) 25,0 m.
(D) 22,5 m.
(E) 32,5 m.
Exemplo 3 - Enem PPL 2015
Uma empresa que embala seus produtos em caixas de papelão, na forma de hexaedro regular, deseja que seu logotipo seja impresso nas faces opostas pintadas de cinza, conforme a figura ao lado:
A gráfica que fará as impressões dos logotipos apresentou as seguintes planificadas:
Que opção sugerida pela gráfica atende ao desejo da empresa?
(A) I
(B) II
(C) III
(D) IV
(E) V
Exemplo 3 - Enem PPL 2015
Uma empresa que embala seus produtos em caixas de papelão, na forma de hexaedro regular, deseja que seu logotipo seja impresso nas faces opostas pintadas de cinza, conforme a figura ao lado:
A gráfica que fará as impressões dos logotipos apresentou as seguintes planificadas:
Que opção sugerida pela gráfica atende ao desejo da empresa?
(A) I
(B) II
(C) III
(D) IV
(E) V
Exemplo 4 - Enem 2017
Um casal realiza sua mudança de domicílio e necessita colocar numa caixa de papelão um objeto cúbico, de 80 cm de aresta, que não pode ser desmontado. Eles têm à disposição cinco caixas, com diferentes dimensões, conforme descrito:
• Caixa 1: 86 cm x 86 cm x 86 cm
• Caixa 2: 75 cm x 82 cm x 90 cm
• Caixa 3: 85 cm x 82 cm x 90 cm
• Caixa 4: 82 cm x 95 cm x 82 cm
• Caixa 5: 80 cm x 95 cm x 85 cm
O casal precisa escolher uma caixa na qual o objeto caiba, de modo que sobre o menor espaço livre em seu interior. A caixa escolhida será a:
(A) Caixa 1
(B) Caixa 2
(C) Caixa 3
(D) Caixa 4
(E) Caixa 5
Solução
Caixa 1 = 86 x 86 x 86 
 = 636.056 
Caixa 3 = 85 x 82 x 90 
Caixa 4 = 82 x 95 x 82 
Caixa 5 = 80 x 95 x 85 
 = 627.300 
 = 638.780 
= 646.000 
(A) Caixa 1
(B) Caixa 2
(C) Caixa 3
(D) Caixa 4
(E) Caixa 5
• Caixa 1: 86 cm x 86 cm x 86 cm
• Caixa 2: 75 cm x 82 cm x 90 cm
• Caixa 3: 85 cm x 82 cm x 90 cm
• Caixa 4: 82 cm x 95 cm x 82 cm
• Caixa 5: 80 cm x 95 cm x 85 cm
Exemplo 5 - Enem 2020
Uma das Sete Maravilhas do Mundo Moderno é o Templo de Kukulkán, localizado na cidade de Chichén Itzá, no México. Geometricamente, este templo pode ser representado por um tronco reto de pirâmide de base quadrada.
As quantidades de cada tipo de figura plana que formam esse tronco de pirâmide são:
(A) 2 quadrados e 4 retângulos.
(B) 1 retângulo e 4 triângulos isósceles.
(C) 2 quadrados e 4 trapézios isósceles.
(D) 1 quadrado, 3 retângulos e 2 trapézios retângulos.
(E) 2 retângulos, 2 quadrados e 2 trapézios retângulos.
Exemplo 5 - Enem 2020
Uma das Sete Maravilhas do Mundo Moderno é o Templo de Kukulkán, localizado na cidade de Chichén Itzá, no México. Geometricamente, este templo pode ser representado por um tronco reto de pirâmide de base quadrada.
As quantidades de cada tipo de figura plana que formam esse tronco de pirâmide são:
(A) 2 quadrados e 4 retângulos.
(B) 1 retângulo e 4 triângulos isósceles.
(C) 2 quadrados e 4 trapézios isósceles.
(D) 1 quadrado, 3 retângulos e 2 trapézios retângulos.
(E) 2 retângulos, 2 quadrados e 2 trapézios retângulos.
[Inglês básico]
Aula 02 Cilindro e Cone
Geometria Espacial
Prof. Mansinho Jr
Cilindro
Cilindro é o sólido obtido pela rotação completa de um retângulo em torno de um eixo que contém um dos seus lados. Esse cilindro é também chamado cilindro circular reto.
Há ainda cilindro onde suas geratrizes não são perpendiculares a base, a estes dá-se a classificação de cilindro circular oblíquo
Fórmulas do Cilindro
Cone
Cone é um sólido geométrico que faz parte dos estudos da geometria espacial. Ele possui uma base circular (r) formada por segmentos de reta que têm uma extremidade num vértice (V) em comum. Além disso, o cone possui a altura (h), caracterizada pela distância do vértice do cone ao plano da base.
Fórmulas do Cone
Exemplo 1 - Enem PPL 2010
Um arquiteto está fazendo um projeto de iluminação de ambiente e necessita saber a altura que deverá instalar a luminária ilustrada na figura.
Sabendo-se que a luminária deverá iluminar uma área circular de 28,26 m², considerando π ≅ 3,14, a altura h será igual a
(A) 3 m
(B) 4 m
(C) 5 m
(D) 9 m
(E) 16 m
Solução
h² + 3² = 5² 
Base = 28,26 m²
Base = πR²
 πR² = 28,26
 R² = 28,26/3,14
 R² = 28,26/3,14
R = √9
R = 3
 R² = 9
h² + 9 = 25 
h² = 25 - 9 
h² = 16 
h = √16 
h = 4 m 
(A) 3 m
(B) 4 m
(C) 5 m
(D) 9 m
(E) 16 m
Exemplo 2 - Enem 2015
Um artesão fabrica vários tipos de potes cilíndricos. Mostrou a um cliente um pote de raio de base a e altura b. Esse cliente, por sua vez, quer comprar um pote com o dobro do volume do pote apresentado. O artesão diz que possui potes com as seguintes dimensões:
Pote I: raio a e altura 2b
Pote II: raio 2a e altura b
Pote III: raio 2a e altura 2b
Pote IV: raio 4a e altura b
Pote V: raio 4a e altura 2b
O Pote que satisfaz a condição imposta pelo cliente é o
(A) I
(B) II
(C) III
(D) IV
(E) V
Exemplo 3 - Enem 2016
Em regiões agrícolas, é comum a presença de silos para armazenamento e secagem da produção de grãos, no formato de um cilindro reto, sobreposto por um cone, e dimensões indicadas na figura. O silo fica cheio e o transporte dos grãos é feito em caminhões de carga cuja capacidade é de 20 m³. Uma região possui um silo cheio e apenas um caminhão para transportar os grãos para a usina de beneficiamento. (Utilize 3 como aproximação para π.)
O número mínimo de viagens que o caminhão precisará fazer para transportar todo o volume de grãos armazenados no silo é
(A) 13
(B) 16
(C) 17
(D) 18
(E) 21
Solução
 V.ci = πr²h 
V.ci = 3 * 3² * 12
V.ci = 324 m³
 V.co = πr²h / 3 
 V.co = 3 * 3² * 3 / 3 
 V.co = 27 m³ 
 Camin. = (324 + 27) ÷ 20 
 Camin. = 351 ÷ 20 
 Camin. = 17,5 
(A) 13
(B) 16
(C) 17
(D) 18
(E) 21
Exemplo 4 - Enem 2013
Uma cozinheira, especialista em fazerbolos, utiliza uma forma no formato representado na figura:
Nela identifica-se a representação de duas figuras geométricas tridimensionais. Essas figuras são
(A) um tronco de cone e um cilindro.
(B) um cone e um cilindro.
(C) um tronco de pirâmide e um cilindro.
(D) dois troncos de cone.
(E) dois cilindros.
Exemplo 5 - Enem 2018
Para decorar um cilindro circular reto será usada uma faixa de papel transparente, na qual está desenhada em negrito uma diagonal que forma 30º com a borda inferior. O raio da base do cilindro mede π/6 cm, e ao enrolar a faixa obtém-se uma linha em formato de hélice, como na figura. 
	O valor da medida da altura do cilindro, em centímetros, é
(A) 36√3
(B) 24√3
(C) 4√3
(D) 36
(E) 72
Solução
 1 volta = 2πr
 1 volta = 2π * 6/π
 1 volta = 12 cm
 6 voltas = 72 cm
72 cm
(A) 36√3
(B) 24√3
(C) 4√3
(D) 36
(E) 72
tg 30° = cat op / cat adj
√3 / 3 = h / 72
3h = 72√3
h = 72√3 / 3
h = 24√3 
h
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Aula 03 - Esfera
Geometria Espacial
Prof. Edmar
Esfera
A Esfera é uma figura simétrica tridimensional que faz parte dos estudos de geometria espacial. A esfera é um sólido geométrico obtido através da rotação do semicírculo em torno de um eixo. É composto por uma superfície fechada na medida que todos os pontos estão equidistantes do centro (O).
Fórmulas da Esfera
Exemplo 1 - Enem 2009
Uma empresa que fabrica esferas de aço, de 6 cm de raio, utiliza caixas de madeira, na forma de um cubo, para transportá-las.
Sabendo que a capacidade da caixa é de 13.824 cm³ , então o número máximo de esferas que podem ser transportadas em uma caixa é igual a
(A) 4
(B) 8
(C) 16
(D) 24
(E) 32
Solução
 V.cubo = 13824 
 a³ = 13824 
 13824 
 6912 
 3456 
 1728 
 864 
 432 
 216 
 108 
 54 
 27 
9 
3 
2 
2 
2 
2 
2 
2 
2 
2 
2 
3 
3 
3 
1 
 a³ = 2³ * 2³ * 2³ * 3³ 
 a = 2 * 2 * 2 * 3
 a = 24 cm
24 cm
6 
6 
6 
6 
(A) 4
(B) 8
(C) 16
(D) 24
(E) 32
Exemplo 2 - Enem PPL 2014
Para fazer um pião, brinquedo muito apreciado pelas crianças, um artesão utilizará o torno mecânico para trabalhar num pedaço de madeira em formato de cilindro reto, cujas medidas do diâmetro e da altura estão ilustradas na Figura 1. A parte de cima desse pião será uma semiesfera, e a parte de baixo, um cone com altura 4 cm, conforme Figura 2. O vértice do cone deverá coincidir com o centro da base do cilindro.
O artesão deseja fazer um pião com a maior altura que esse pedaço de madeira possa proporcionar e de modo a minimizar a quantidade de madeira a ser descartada. (Utilize 3 como aproximação para π.)
	A quantidade de madeira descartada, em centímetros cúbicos, é
(A) 45		(B) 48		(C) 72 		(D) 90		(E) 99
Solução
 V.ci = πr²h 
V.ci = 3 * 3² * 7
V.ci = 189 cm³
 V.co = πr²h / 3 
 V.co = 3 * 3² * 4 / 3 
 V.co = 36 cm³ 
 V.se = 4πr³ / 6 
 V.se = 4 * 3 * 3³ / 6 
 V.se = 324 / 6 
 V.se = 54 cm³ 
(A) 45		(B) 48		(C) 72 		(D) 90		(E) 99
D = V.ci - (V.co + V.se)
D = 189 - (36 + 54)
D = 189 - 90
D = 99
Exemplo 3 - Enem 2016
A bocha é um esporte jogado em canchas, que são terrenos planos e nivelados, limitados por tablados perimétricos de madeira. O objetivo desse esporte é lançar bochas, que são bolas feitas de um material sintético, de maneira a situá-las o mais perto possível do bolim, que é uma bola menor feita, preferencialmente, de aço, previamente lançada. A Figura 1 ilustra uma bocha e um bolim que foram jogados em uma cancha. Suponha que um jogador tenha lançado uma bocha, de raio 5 cm, que tenha ficado encostada no bolim, de raio 2 cm, conforme ilustra a Figura 2.
Considere o ponto C como o centro da bocha, e o ponto O como o centro do bolim. Sabe-se que A e B são os pontos em que a bocha e o bolim, respectivamente, tocam o chão da cancha, e que a distância entre A e B é igual a d. Nessas condições, qual a razão entre d e o raio do bolim?
(A) 1 		(B) √10/5		(C) √10/2		(D) 2		(E) √10
Solução
7 
3 
d 
d² + 3² = 7² 
d² = 49 - 9 
d = √40 
d = 2√10 
Razão = d / r 
R = 2√10 / 2 
R = √10 
(A) 1 		(B) √10/5		(C) √10/2		(D) 2		(E) √10
Exemplo 4 - Enem 2016
Uma indústria de perfumes embala seus produtos, atualmente, em frascos esféricos de raio R, com volume dado por 4/3 π .(R)³.
Observou-se que haverá redução de custos se forem utilizados frascos cilíndricos com raio da base R/3 , cujo volume será dado por π.(R/3)².h, sendo h a altura da nova embalagem.
	Para que seja mantida a mesma capacidade do frasco esférico, a altura do frasco cilíndrico (em termos de R) deverá ser igual a
(A) 2R.
(B) 4R.
(C) 6R.
(D) 9R.
(E) 12R.
Solução
Vol. cilindro = Vol. Esfera
π(r/3)²h = 4/3 πr³ 
(rr/9)h = 4/3 rrr 
(A) 2R.
(B) 4R.
(C) 6R.
(D) 9R.
(E) 12R.
h / 9 = 4r / 3 
3h = 36r 
h = 36r / 3 
h = 12R 
Exemplo 5 - Enem 2010
Em um casamento, os donos da festa serviam champanhe aos seus convidados em taças com formato de um hemisfério (Figura 1), porém um acidente na cozinha culminou na quebra de grande parte desses recipientes. Para substituir as taças quebradas, utilizou-se um outro tipo com formato de cone (Figura 2). No entanto, os noivos solicitaram que o volume de champanhe nos dois tipos de taças fosse igual.
Sabendo que a taça com o formato de hemisfério é servida completamente cheia, a altura do volume de champanhe que deve ser colocado na outra taça, em centímetros, é de
(A) 1,33
(B) 6,00
(C) 12,00
(D) 56,52
(E) 113,04
Solução
 Vol. Fig 1 = Vol. Fig 2 
 4πr³ / 6 = πr²h / 3 
(A) 1,33
(B) 6,00
(C) 12,00
(D) 56,52
(E) 113,04
 4 * 3 / 6 = h / 3 
 6h = 36 
 h = 36 / 6 
 h = 6 
[Inglês básico]
Aula 04 Pirâmides
Geometria Espacial
Prof. Edmar
Pirâmide
	A pirâmide é uma figura geométrica espacial, mais precisamente um poliedro.
	Ela é composta por uma base e um vértice. Sua base pode ser triangular, pentagonal, quadrada, retangular, paralelogramo.
	Já o vértice, corresponde ao ponto mais distante da base da pirâmide e que une todas as faces laterais triangulares.
Fórmulas da Pirâmide
(L)
(a)
Exemplo 1 - Enem 2009
Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma altura (3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior), espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura.
(A) 156 cm³	(B) 189 cm³	(C) 192 cm³	(D) 216 cm³	(E) 540 cm³
Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte superior, que tem 1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar uma vela?
Solução
Vol. = (6x6 * 16) / 3
Vol. = (12 * 16)
Vol. = 192 cm³
(A) 156 cm³	(B) 189 cm³	(C) 192 cm³	(D) 216 cm³	(E) 540 cm³
Vol. = (1,5x1,5 * 4) / 3
Vol. = (2,25 * 4) / 3
Vol. = 9 / 3 = 3 cm³
Nova vela = 192 - 3
Nova vela = 189 cm³
Exemplo 2 - Enem 2012
Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a partir dessas planificações?
Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide.
Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide.
Cone, tronco de pirâmide e pirâmide.
Cilindro, tronco de pirâmide e prisma.
Cilindro, prisma e tronco de cone.
Maria quer inovar em sua loja de embalagens e decidiu vender caixas com diferentes formatos. Nas imagens apresentadas estão as planificações dessas caixas.
Exemplo 3 - Enem PPL 2016
A figura mostra a pirâmide de Quéops, também conhecida como a Grande Pirâmide. Esse é o monumento mais pesado que já foi construído pelo homem da Antiguidade. Possui aproximadamente 2,3 milhões de blocos de rocha, cada um pesando em média 2,5 toneladas. Considere que a pirâmide de Quéops seja regular, sua base seja um quadrado com lados medindo 214 m, as faces laterais sejam triângulos isósceles congruentes e suas arestas laterais medem 204 m.
O valor mais aproximado para a alturada pirâmide de Quéops, em metro, é
97,0.
136,8.
173,7.
189,3.
240,0.
Solução
h² + (107√2)² = 204²
h² + 22898 = 41616
h² = 41616 - 22898
h² = 18718
h = √18718
h = 136,8
Exemplo 4 - Enem 2019
As luminárias para um laboratório de matemática serão fabricadas em forma de sólidos geométricos. Uma delas terá a forma de um tetraedro truncado. Esse sólido é gerado a partir de secções paralelas a cada uma das faces de um tetraedro regular. Para essa luminária, as secções serão feitas de maneira que, em cada corte, um terço das arestas seccionadas serão removidas. Uma dessas secções está indicada na figura.
Essa luminária terá por faces
4 hexágonos regulares e 4 triângulos equiláteros.
2 hexágonos regulares e 4 triângulos equiláteros.
4 quadriláteros e 4 triângulos isósceles.
3 quadriláteros e 4 triângulos isósceles.
3 hexágonos regulares e 4 triângulos equiláteros.
Exemplo 5 - Enem PPL 2010
Devido aos fortes ventos, uma empresa exploradora de petróleo resolveu reforçar a segurança de suas plataformas marítimas, colocando cabos de aço para melhor afixar a torre central.
Considere que os cabos ficarão perfeitamente esticados e terão uma extremidade no ponto médio das arestas laterais da torre central (pirâmide quadrangular regular) e a outra no vértice da base da plataforma (que é um quadrado de lados paralelos aos lados da base da torre central e centro coincidente com o centro da base da pirâmide), como sugere a ilustração.
Se a altura e a aresta da base da torre central medem, respectivamente, 24 m e 6√2 m e o lado da base da plataforma mede 19√2 m, então a medida, em metros, de cada cabo será igual a
√288 	(B) √313		(C) √328		(D) √400		(E) √505
Solução
24
Dp = 19√2 * √2
Dp = 38 m
Dt = 6√2 * √2
Dt = 12 m
19
12
3
3
x² = 12² + 16²
x² = 144 + 256
x² = 400
x = √400
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[Cartões do teste de inglês]
Geometria
Espacial
Ciclo de Aulas Remotas 2021
Prof. Edmar Palhares