Slide 11 - Fundamentos da Matematica

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Aula 11
Fundamentos da Matemática
Filosofia Matemática
Prof. Rafael Bertozzo Duarte
SOBRE A AULA
❑ Objetivo
▪ Introduzir a corrente formalista.
❑ Conteúdos
▪ Formalismo.
o O método axiomático;
o Conceitos;
o A metamatemática;
o Aplicações.
O Formalismo – O método axiomático
• O criador e principal representante do formalismo é David Hilbert.
• O formalismo nasceu das vitórias alcançadas pelo método axiomático.
• Escolhe-se certo número de proposições primitivas.
• Sobre elas se edifica a teoria cujas ideias só são aceitas mediante
definições e demonstrações (axiomática material).
• Procuram-se as consequências do sistema obtido sem preocupação com
a natureza ou o significado inicial desses termos ou das relações entre
eles existentes (axiomática abstrata).
O Formalismo – O método axiomático
• A axiomática abstrata pode investigar, por exemplo, a equivalência de
duas teorias, a independência de axiomas, entre outros.
• O método axiomático já era utilizado, ainda sem muito rigor formal,
por Euclides, em seus Elementos.
• Parte-se de noções tidas como claras (ponto, reta, etc.) e de certas
proposições admitidas sem demonstração (dois pontos distintos
individualizam uma reta).
• Essas proposições se dividem em:
• Axiomas (enunciados evidentes comuns a todas as ciências): “O todo é
igual à soma de suas partes”;
• Postulados (propriedades estritamente geométricas): “Por um ponto dado
fora de uma reta passa no máximo uma paralela a essa reta.”
O Formalismo – O método axiomático
• Com o tempo, o método axiomático foi adquirindo cada vez mais rigor.
• Hoje já não há distinção entre “axiomas” e “postulados”. Nem é
conveniente distingui-los, sendo essas palavras consideradas
sinônimos na matemática moderna.
• O método axiomático é um ótimo instrumento de trabalho e de
pesquisa no domínio da matemática, tendo sido responsável por
grandes avanços em álgebra, topologia, e outros ramos da matemática.
O Formalismo – Conceitos
• O formalismo busca transformar o método axiomático, de técnica que
é, na essência da matemática.
• Os formalistas não buscam reduzir a matemática à lógica (como os
logicistas), mas reconhecem a intersecção clara entre as duas ciências.
Também se opõem ao intuicionismo buscando assentar a matemática
tradicional sobre bases sólidas.
• Os números são as propriedades estruturais mais simples dos objetos
e constituem, por sua vez, objetos com novas propriedades. Para
estudar as propriedades é necessário um sistema apropriado de
símbolos.
O Formalismo – Conceitos
• Concordam com os intuicionistas de que alguns princípios e conceitos
da matemática tradicional não têm conteúdo intuitivo pleno (como o
infinito atual), porém acreditam que a dificuldade é removível sem
grandes sacrifícios. É desnecessário abandonar o princípio do terceiro
excluído, por exemplo.
• É concebível para Hilbert a introdução de conceitos ideais, sem
conteúdo intuitivo em matemática, para simplificar e sistematizar as
disciplinas. Com isso, as leis da lógica clássica mantêm-se válidas.
• Tal procedimento, no entanto, só será lícito se não trouxer contradições.
Por isso, as provas de não contradição são de extrema importância para
Hilbert.
O Formalismo – Metamatemática
• O termo “existência”, para Hilbert, é sinônimo de “não contraditório”,
isto é, o sistema é lícito desde que seja possível provar
simultaneamente uma proposição e sua negação. Essa demonstração
de não contradição (metamatemática) se dá em três etapas:
• Axiomatização;
• Formalização. Substituição dos axiomas, postulados, conectivos e
relações e princípios lógicos por símbolos e arranjos simbólicos sujeitos
a regras bem definidas;
• Demonstração de consistência das axiomáticas formalizadas. Para cada
axiomática formalizada, prova-se sua consistência, evidenciando que não
se pode chegar a arranjos simbólicos contraditórios quando se opera de
acordo com as regras estabelecidas.
O Formalismo – Aplicações
• Em muitos casos, a prova da consistência de uma teoria A pode ser
reduzida à da consistência de uma teoria B da seguinte forma:
• Elabora-se um modelo de A, isto é, escolhe-se um sistema conveniente S,
de objetos de B, de tal forma que, para esse sistema, sejam satisfeitas as
proposições primitivas de A.
• S é, então, um modelo da teoria A, e dessa forma constata-se que se B
for consistente, A também o será.
• Esse método foi usado para demonstrar a consistência da geometria
plana não euclidiana de Lobatchewski, construindo um modelo dela
por meio da geometria euclidiana.
O Formalismo – Aplicações
• Esse método, no entanto, tem uma validade relativa, pois depende da
certeza da consistência do sistema sobre o qual se construiu o modelo,
ou o modelo tem que ser tão simples e evidente a ponto de ter a
consistência assegurada.
• Sua aplicação também não é geral, já que não é possível aplicá-lo para
aritmética elementar ou análise, pois não existem teorias mais seguras
ou mais simples nas quais se possam construir os modelos apropriados
correspondentes.
REFERÊNCIAS
ALVES, F. R. V. Filosofia das Ciências e da Matemática. Instituto Federal de 
Educação. Fortaleza, 2011.
COSTA, N. C. Introdução aos Fundamentos da Matemática. 3ª ed. Hucitec. 
São Paulo, 1992.
Bons estudos!