Apostila EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ESTRUTURAS DE MADEIRA

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS 
FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL, ARQUITETURA E 
URBANISMO 
Departamento de Estruturas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE 
ESTRUTURAS DE MADEIRA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eng. M.Sc. Ramon Vilela 
Eng. M.Sc. Bruno F. Donadon 
Eng. Rafael S. Pontes 
Prof. Dr. Nilson T. Mascia 
 
Campinas, agosto de 2020 
 
 
 
SUMÁRIO 
1 COMPRESSÃO ....................................................................................................... 3 
2 INSTABILIDADE ................................................................................................. 14 
3 TRAÇÃO................................................................................................................ 19 
4 CISALHAMENTO ............................................................................................... 21 
5 LIGAÇÕES PREGADAS E PARAFUSADAS .................................................. 26 
6 FLEXÃO SIMPLES .............................................................................................. 31 
7 FLEXÃO OBLÍQUA ............................................................................................ 34 
8 FLEXO-COMPRESSÃO ..................................................................................... 40 
9 PEÇAS COMPOSTAS ......................................................................................... 46 
10 ESTABILIDADE LATERAL EM VIGAS ......................................................... 51 
 
 
 
 
Apostila de Exercícios de Estruturas de Madeira 2 
 
Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo 
Universidade Estadual de Campinas Eng. Esp. Ramon Vilela 
Prof. Dr. Nilson Tadeu Mascia 
INTRODUÇÃO 
Esta apostila com primeira edição em 2014 e revisada em 2020 contém exercícios 
resolvidos com base na NBR 7190 - Norma Brasileira sobre Projetos em Estruturas de Madeira, 
sob a ótica da versão de 1997, e estes exercícios são de discussão no curso de CV 613 - 
Estruturas de Madeira do curso de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia Civil, 
Arquitetura e Urbanismo (FEC) da Universidade Estadual de Campinas (Unicamp). 
A confecção deste material tem por objetivo apresentar problemas comumente 
encontrados de dimensionamento e análise estrutural de elementos reticulados de madeira 
estruturalmente utilizados. De forma didática, o conteúdo propõe exercícios que são 
solucionados conforme propõe a norma em questão. 
 
 
Apostila de Exercícios de Estruturas de Madeira 3 
 
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1 COMPRESSÃO 
Exercício 1 
Uma caixa d’água pesando constantemente Fg,k = 40 kN (considerar como carga permanente) 
será suportada por 4 apoios feitos de peças de madeira com as fibras no sentido vertical. 
Dimensione os apoios. 
Dados 
 Madeira de Folhosa C40; 
 Umidade classe (2). 
 
 
Solução 
Etapa 1: Cálculo da tensão resistente 
A resistência característica de uma Folhosa classe C40 é dada por: 
 
(1) 
 
Para compressão, o fator de segurança da madeira é: 
 
(2) 
 
O coeficiente Kmod pode ser definido a partir das seguintes informações: 
 Carregamento permanente em peças serradas: Kmod,1 = 0,60; 
MPaf kc 40,0 
40,1w
 
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 Classe de umidade 2: Kmod,2 = 1,00; 
 Madeira de 2ª categoria: Kmod,3 = 0,80; 
Assim, é possível definir o valor do coeficiente Kmod: 
 
(3) 
 
 
 
A resistência de cálculo é estimada como: 
 
(4) 
 
 
 
 
 
Etapa 2: Cálculo da Tensão Atuante 
Dividindo o carregamento total pela quantidade de suportes, tem-se: 
 
(5) 
 
 
 
Considerando um coeficiente de majoração γf = 1,40, a força de cálculo atuante em cada 
um dos pés é definida por: 
 
(6) 
 
 
 
A tensão atuante de cálculo pode ser escrita em função de uma seção transversal quadrada 
que será dimensionada: 
 
(7) 
 
 
 
48,0
80,000,160,0
321



mod
mod
modmodmodmod
K
K
KKKK
MPaf
MPa
f
f
Kf
,dc
,dc
w
,kc
mod,dc
71,13
40,1
40
48,0
0
0
0
0




kNP
kN
P
k
k
10
4
40


kNP
kNP
PP
d
d
dfd
14
1040,1


 
2
14
a
kN
A
P
d
d
d




 
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Onde, a é a dimensão da largura e altura da seção transversal do suporte. 
Dimensões da seção transversal: 
 
(8) 
 
 
 
 
 
 
Adotou-se a = 40 mm. 
 
Etapa 3: Verificação - Dimensionando para peça curta 
Para dimensionar a altura da peça de modo que seja considerada curta, deve-se impor o 
seguinte índice de esbeltez λ ≤ 40. O índice de esbeltez é definido por: 
 
(9) 
 
 
 
Onde, lef é o comprimento efetivo do pilar, I é o momento de inércia, e A é a área da seção 
transversal. 
Par seção quadrada, pode-se simplificar o índice de esbeltez como sendo: 
 
(10) 
 
 Para peças curtas: 
 
(11) 
 
 
 
 
 
 
O comprimento adotado foi ladot = 250 mm. 
 
mma
mma
MPa
N
a
MPa
a
N
f dcd
31,32
1044
41,3
1014
41,13
1014
2
3
2
3
,0







A
I
l
i
l efef

a
lef 12

mml
mm
l
a
l
a
l
ef
ef
ef
ef
462
12
4040
12
40
40
12






 
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Exercício 2 
Verificar qual o máximo esforço P que se pode aplicar na barra da figura, considerando-se que 
é uma carga de longa duração. 
 
Medidas em centímetros. 
Dados: 
 Madeira: Conífera C30; 
 Umidade classe (3). 
 
Solução: 
Etapa 1: Cálculo da Tensão Resistente 
 Carregamento de longa duração em peça serrada: Kmod,1 = 0,70; 
 Classe de umidade 3: Kmod,2 = 0,80; 
 Madeira de 2ª categoria: Kmod,3 = 0,80. 
Assim, o Kmod é definido como: 
 
(12) 
 
 
 
Considerando um fator de segurança de γw = 1,40 e uma resistência característica de fc0,k 
= 30 MPa para uma conífera C30, a resistência à compressão paralela às fibras de cálculo é 
dada por: 
448,0
80,080,070,0
321



mod
mod
modmodmodmod
K
K
KKKK
 
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(13) 
 
 
 
 
Como os esforços são perpendiculares as fibras, deve ser calculado fc90,d. 
 
(14) 
 
 
 
Onde αn = 1,10 considerando a dimensão a’ = 10cm. 
 
Etapa 2: Cálculo da carga P característica 
Define-se o máximo carregamento admissível considerando que a tensão de cálculo deve 
ser igual ou menor que a resistência de cálculo. 
 
(15) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, o máximo carregamento permitido deve ser igual ou menor que 18,86kN. 
Exercício 3 
Verificar se a peça-base suporta o carregamento com o esquema mostrado na figura abaixo. 
Dados: 
 Madeira: Dicotiledônea C20; 
 Umidade classe (4). 
 Pk = 20 kN. 
MPaf
MPa
f
f
Kf
,dc
,dc
w
,kc
mod,dc
60,9
40,1
30
448,0
0
0
0
0




MPaf
MPaf
ff
dc
dc
ndcdc
64,2
10,16,925,0
25,0
,90
,90
,0,90


 
 
kNP
mmMPa
P
Af
P
f
A
P
f
A
P
f
k
k
f
dc
k
dc
kf
dc
d
dcd
86,18
40,1
10064,2
2
,90
,90
,90
,90












 
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Medidas em centímetros. 
SoluçãoEtapa 1: Cálculo da Tensão Resistente 
 Carregamento de longa duração em peça serrada: Kmod 1 = 0,70; 
 Classe de umidade 4: Kmod 2 = 0,80; 
 Madeira de 2ª categoria: Kmod 3 = 0,80. 
Desta maneira, determina-se o Kmod como sendo: 
 
(16) 
 
 
 
Considerando o fator γw = 1,40 e a resistência característica de fc0,k = 20 MPa para uma 
dicotiledônea C20, a resistência à compressão paralela às fibras é: 
 
(17) 
 
 
 
 
 
Como os esforços estão aplicados em uma direção inclinada e relação às fibras e que esta 
inclinação é maior que 6° (arctgθ = 0,10), então, a tensão resistente fcθ,d deve ser calculada com 
a fórmula de Hankinson (item 7.2.9 da NBR 7190:1997): 
 
(18) 
 
 
448,0
80,080,070,0
321



mod
mod
modmodmodmod
K
K
KKKK
MPaf
MPa
f
f
Kf
,dc
,dc
w
,kc
mod,dc
40,6
40,1
20
448,0
0
0
0
0





 2
,90
2
,0
,90,0
,
cossen 


dcdc
dcdc
dc
ff
ff
f
 
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O valor de αn necessário para a componente de resistência a compressão normal às fibras 
fc90,d pode ser obtido interpolando a Tabela 13 da NBR 7190:1997 para um comprimento normal 
às fibras igual a 12∙sen(38°) = 7,39 cm. Portanto, αn = 1.1566. 
 
(19) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Etapa 2: Cálculo da Tensão Atuante 
Estabelecendo que a tensão atuante de cálculo seja menor ou igual a resistência da 
madeira na mesma direção, tem-se: 
 
(20) 
 
 
 
 
 
 
 
Como σd > fcθ,d, portanto, conclui-se que a peça-base não suporta o carregamento aplicado. 
Exercício 4 
Para o nó de apoio de uma treliça, conforme figura, verificar todas as situações críticas de 
compressão, segundo a NBR 7190:1997. 
Dados: 
 Madeira: Dicotiledônea C30; 
 Umidade classe (1); 
 Carregamento de longa duração. 
 Pd = 39,5 kN; 
 
 
 
   
MPaf
MPaf
ff
f
f
f
ff
ff
f
dc
dc
dc
n
n
dc
ndc
ndc
dc
ndcdc
ndcdc
dc
31,3
40,6
38cos1566,125,038sen
1566,125,0
cos25,0sen
25,0
cos25,0sen
25,0
cos25,0sen
25,0
,
22,
,022,
22
,0
2
,0
,
2
,0
2
,0
,0,0
,
























MPaMPa
MPa
mmmm
N
f
A
P
f
A
P
f
dc
kf
dc
d
dcd
31,389,3
31,3
60120
102040,1 3
,
,
,













 
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 𝛼 = 25°. 
 
Medidas em centímetros. 
 
Solução 
Etapa 1: Determinação dos esforços 
Por equilíbrio de um corpo livre, determina-se as componentes de força horizontal e 
vertical: 
 
 Condição de equilíbrio dos esforços horizontais: 
 
(21) 
 
 
 
 
 
 Condição de equilíbrio dos esforços verticais: 
kNH
kNH
PH
HP
F
d
d
dd
dd
x
80,35
25cos50,39
cos
0cos
0







 
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(22) 
 
 
 
 
 
Etapa 2: Compressão paralela às fibras na peça de apoio 
 Carregamento de longa duração em peça serrada: Kmod,1 = 0,70; 
 Classe de umidade 1: Kmod,2 = 1,00; 
 Madeira de 2ª categoria: Kmod,3 = 0,80. 
Desta maneira, determina-se o Kmod como sendo: 
 
(23) 
 
 
 
A resistência à compressão paralela às fibras de cálculo, considerando γw = 1,40 e a 
resistência característica de fc0,k = 30 MPa para dicotiledônea C30, é de: 
 
(24) 
 
 
 
 
 
A tensão atuante sobre o elemento calculada como sendo: 
 
(25) 
 
 
 
 
 
 
Como: 
 
(26) 
 
56,0
80,000,170,0
321



mod
mod
modmodmodmod
K
K
KKKK
MPaf
MPa
f
f
Kf
,dc
,dc
w
,kc
mod,dc
12
40,1
30
56,0
0
0
0
0




MPa
mmmm
N
mmmm
N
A
V
d
d
d
d
d
78,2
60100
1069,16
610
1086,6
3
3












MPaMPa
f dcd
1278,2
,0


kNV
kNV
PV
VP
F
d
d
dd
dd
y
69,16
sen2550,39
sen
0sen
0







 
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É verificada a condição de segurança quanto à compressão paralela às fibras do pilar. 
 
Etapa 3: Compressão normal às fibras no tirante (banzo inferior) 
O cálculo da resistência perpendicular às fibras, considerando o fator αn = 1,10 devido ao 
comprimento a’ = 10 cm, fica definido como: 
 
(27) 
 
 
 
A tensão atuante é definida por: 
 
(28) 
 
 
 
 
 
Como: 
 
(29) 
 
 
Verifica-se que a condição de segurança para a compressão normal às fibras no banzo 
inferior foi atendida. 
 
Etapa 4: Compressão paralela às fibras na empena (banzo superior) 
A verificação da compressão é dada quando a tensão atuante σd é menor ou igual a 
resistência fc0,d: 
 
(30) 
 
 
 
 
 
 
MPaf
MPaf
ff
dc
dc
ndcdc
30,3
10,11225,0
25,0
,90
,90
,0,90


 
MPa
mmmm
N
A
V
d
d
d
d
78,2
60100
1069,16 3








MPaMPa
f dcd
30,378,2
,90


 
MPaMPa
f
mm
mm
N
f
A
P
f
dc
dc
d
dcd
1206,9
60
25cos
3530
105,39
,0
3
,0
,0








 
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Desta maneira, é verificada a segurança quanto a compressão paralela às fibras no banzo 
superior. 
 
Etapa 5: Compressão inclinada em relação às fibras no tirante 
A tensão resistente é dada por: 
 
(31) 
 
 
 
 
 
 
 
A tensão atuante é definida por: 
 
(32) 
 
 
 
 
 
 
Como: 
 
(33) 
 
 
Conclui-se que a peça está segura quanto a compressão inclinada. 
   
   
MPaf
MPaMPa
MPa
f
MPaMPa
MPaMPa
f
ff
ff
f
dc
dc
dc
dcdc
dcdc
dc
12,11
20,3362,0
6,39
10cos3,310sen12
3,312
cossen
,
2
,
22,
2
,90
2
,0
,90,0
,














 
MPa
mm
mm
N
A
P
d
d
d
d
97,9
60
10cos
3530
105,39 3










MPaMPa
f dcd
12,1197,9
,

 
 
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2 INSTABILIDADE 
Exercício 5 
Uma barra vertical quadrada (10×10) cm2 serve de apoio em um sistema de sustentação da carga 
vertical de uma parede. Verifique se suportará o carregamento. 
Dados 
 A força P é composta por: 
o Carga permanente: Pg,k = 12 kN; 
o Carga acidental principal de longa duração: Pq,k = 5,6 kN; e 
o Ação do vento: Pv,k = 4,4 kN. 
 Umidade classe (1); 
 Madeira Conífera C30. 
 
Solução 
Etapa 1: Cálculo do índice de esbeltez (λ) 
O índice de esbeltez é definido pela razão entre o comprimento efetivo (ef) e o raio de 
giração (i), que para uma seção quadrada tem a seguinte expressão: 
 
(34) 
 
 
 
a
l
a
a
l
A
I
l
i
l 12
12
ef
2
4
efefef 
 
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Como o esquema estático adotado foi de uma barra com apoio fixo e móvel, temos que o 
comprimento efetivo ef = , com isto, o índice de esbeltez é igual a: 
 
(35) 
 
 
Como 80 < λ < 140, a peça é classificada como esbelta, sendo o dimensionamento 
orientado pelo item 7.5.5 da NBR 7190:1997. 
 
Etapa 2: Cálculo da tensão resistente de projeto(fc0,d) 
 Carregamento de longa duração em peça serrada: Kmod,1 = 0,70; 
 Classe de umidade 1: Kmod,2 = 1,00; 
 Madeira de 2ª categoria: Kmod,3 = 0,80. 
Desta maneira, determina-se o Kmod como sendo: 
 
(36) 
 
 
 
Considerando o fator γw = 1,40 e a resistência característica de fc0,k = 20 MPa para uma 
conífera C20, a resistência à compressão paralela às fibras é de: 
 
(37) 
 
 
 
 
 
Etapa 3: Cálculo das tensões atuantes de projeto (σd) 
O carregamento de projeto é definido pela combinação de ações últimas normais, tendo 
ψ0 = 0,50 para a pressão dinâmica do vento: 
 
46,100
100
122900

mm
mm

56,0
80,000,170,0
321



mod
mod
modmodmodmod
K
K
KKKK
MPaf
MPa
f
f
Kf
,dc
,dc
w
,kc
mod,dc
00,8
40,1
20
56,0
0
0
0
0




 
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(38) 
 
 
 
 
 
Chegamos à tensão atuante devido ao carregamento axial com a seguinte equação: 
 
(39) 
 
 
Para calcular a tensão atuante devido à flexão, existem os seguintes cálculos: 
 Força crítica (flambagem) 
 
(40) 
 
 
Onde Ec0,ef = Kmod∙Ec0,m = 0,56∙14500 MPa = 8120 MPa, assim: 
 
(41) 
 
 
 
 Excentricidade de primeira ordem decorrente de situação de projeto (ei): 
Esta excentricidade á aplicada em peças esbeltas que tenham momento fletor atuante 
devido carregamentos de projeto, como em nosso caso os apoios são rotulados (móvel e fixo) 
não aparecerão momentos fletores decorrentes de tais carregamentos. Portanto: 
 
(42) 
 
 
 Excentricidade acidental mínima (ea): 
Este valor é obtido pelo item 7.5.2, não podendo ser inferior a h/30. Assim sendo, temos: 
 
(43) 
 
 
 
 
 
kNN
kNkNkNN
PPPN
PPPN
d
d
kQkQQkGGd
n
j
kQjjkQjQ
m
i
kGiGid
72,27
4,450,06,540,11240,1
,22,0,1,
2
,0,
1
,











 



 
MPa
mm
N
A
Nd
dN 77,2
100
1072,27
2
3
, 


2
,0
2
ef
efc
e
l
IE
F


 
 
kNF
N
mm
mmMPa
F
e
e
41,79
79411
290012
1008120
2
42






mme
mmL
mmh
e
a
ef
a
67,9
67,9300
33,330







0
0111 


dd
qdgd
d
d
i
PP
MM
P
M
e
 
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 Excentricidade suplementar de primeira ordem: 
Este valor leva em consideração o efeito de fluência da madeira, sendo expresso pela 
seguinte equação: 
 
(44) 
 
 
Sendo, eiG = Mig,d/Pgd = 0, pois não há momento fletor devido a carregamentos 
permanentes; φ = 0,80 pela classe de umidade 1 e carregamento permanente de longa duração 
(Tabela 15 da NBR 7190:1997); Ψ1 = 0,6 e Ψ2 = 0,4. 
 
(45) 
 
 
 
 Excentricidade efetiva de primeira ordem: 
 
(46) 
 
 
 Excentricidade de cálculo: 
 
(47) 
 
 
 
 Tensão Atuante: 
(48) 
 
(49) 
 
 
 
 
Etapa 4: Verificação do Estado Limite Último 
 
  
   


















 1exp
21
21
QkGkcr
QkGk
aiGc
PPP
PP
eee


 
  
  
mme
kNkNkN
kNkN
mme
c
c
098,0
1
6,54,06,01241,79
6,54,06,0128,0
exp67,90
















mme
eeee
ef
caief
77,9
098,067,90
,1
,1


mme
kNkN
kN
mm
NF
F
ee
ef
de
e
efd
01,15
72,2741,79
41,79
77,9
,1
,1


















kNcmM
mmkNeNM
d
ddd
60,41
01,1572,27


 
MPa
cmkN
cm
cm
kNcm
y
I
M
Md
Md
d
Md
50,2
2496,0
512
10
60,41
2
4






 
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(50) 
 
 
 
Portanto, o pilar suportará o carregamento solicitado. 
 
1659,0
00,8
50,2
00,8
77,2
1
,0,0


MPa
MPa
MPa
MPa
ff dc
Md
dc
Nd 
 
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3 TRAÇÃO 
Exercício 6 
Qual a máxima carga F que o tirante, de área (16×8) cm2, suporta? 
Dados 
 Umidade classe (1); 
 Carregamento de longa duração; 
 Madeira de 2ª categoria; 
 Madeira Dicotiledônea C30. 
 
Solução 
Etapa 1: Cálculo da tensão resistente de projeto (ft0,d): 
 Carregamento de longa duração em peça serrada: Kmod,1 = 0,70; 
 Classe de umidade 1: Kmod,2 = 1,00; 
 Madeira de 2ª categoria: Kmod,3 = 0,80. 
Desta maneira, determina-se o Kmod como sendo: 
 
(51) 
 
 
 
Considerando o fator γw = 1,40 e a resistência característica de fc0,k = 30 MPa para uma 
conífera C30, a resistência à tração paralela às fibras é dada por: 
56,0
80,000,170,0
321



mod
mod
modmodmodmod
K
K
KKKK
 
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(52) 
 
 
 
 
 
Etapa 2: Cálculo da tensão atuante de projeto (σd): 
 
(53) 
 
 
 
 
MPaf
MPa
f
f
Kf
,dt
,dt
w
,kc
mod,dt
12,12
80,177,0
30
56,0
77,0
0
0
0
0





 
kNF
cmkN
cmcmcm
F
f
A
F
d
,dt
d
d
11,83
212,1
4168
40,1 2
0








 
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4 CISALHAMENTO 
Exercício 7 
Para o nó de apoio de uma treliça, determinar o valor de f necessário para suportar a força de 
28,2 kN, de longa duração, que está atuando na empena. 
Dados 
 Umidade classe (1); 
 Carregamento de longa duração; 
 Madeira de 2ª categoria; 
 Madeira Dicotiledônea C30. 
 
Solução 
Etapa 1: Cálculo da tensão resistente de projeto (fv,d): 
 Carregamento de longa duração em peça serrada: Kmod,1 = 0,70; 
 Classe de umidade 1: Kmod,2 = 1,00; 
 Madeira de 2ª categoria: Kmod,3 = 0,80. 
Desta maneira, determina-se o Kmod como sendo: 
 
(54) 
 
 
 
Considerando o fator γw = 1,80 e a resistência característica de fv,k = 5 MPa para uma 
dicotiledônea C30, a resistência ao cisalhamento é de: 
56,0
80,000,170,0
321



mod
mod
modmodmodmod
K
K
KKKK
 
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(55) 
 
 
 
 
 
 
Etapa 2: Cálculo da força atuante de projeto (Pd): 
 
(56) 
 
 
Etapa 3: Dimensionamento do comprimento (f): 
 
(57) 
 
 
 
 
 
 
Assim sendo, o comprimento adotado foi de fd = 42 cm. 
Exercício 8 
Determinar o máximo valor da carga permanente P, para as seguintes posições “c” da carga: 
a) c = /2; 
b) c = 20 cm 
Dados 
 Umidade classe (1); 
 Madeira de 2ª categoria; 
 Madeira Dicotiledônea C40; 
 Comprimento da viga:  = 3,20 m. 
2156,0
56,1
80,1
5
56,0
cmkNf
MPaf
MPa
f
f
Kf
v,d
v,d
v,d
w
v,k
modv,d





kNP
kNPP
d
fd
48,39
2,2840,1

 
 
 
 
cmf
cmkNcm
kN
f
cmkN
fcm
kN
f
A
P
d
dv
d
d
54,41
56,156
10cos48,39
615,0
6
10cos48,39
10cos
2
2
,













 
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Solução 
Etapa 1: Cálculo da tensão resistente de projeto (fv,d) 
 Carregamento permanente em peça serrada: Kmod,1 = 0,60; 
 Classede umidade 1: Kmod,2 = 1,00; 
 Madeira de 2ª categoria: Kmod,3 = 0,80. 
 
(58) 
 
 
 
Considerando o fator γw = 1,80 e a resistência característica de fv,k = 6 MPa para uma 
dicotiledônea C40, a resistência ao cisalhamento pode ser expressa da seguinte maneira: 
(59) 
 
 
 
 
 
 
Etapa 2: Verificação para carga posicionada no meio do vão 
 Diagrama de Esforço Cortante (DEC): 
 
48,0
80,000,160,0
321



mod
mod
modmodmodmod
K
K
KKKK
216,0
60,1
80,1
6
48,0
cmkNf
MPaf
MPa
f
f
Kf
v,d
v,d
v,d
w
v,k
modv,d





 
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(60) 
 
 
 
Como a distância c é maior que o dobro da altura da viga, o esforço cortante reduzido é 
expresso por: 
 
(61) 
 
Etapa 3: Cálculo da Tensão Atuante 
 Cálculo da tensão de cisalhamento no centro de gravidade da seção transversal: 
 
(62) 
 
 
Para seção retangular, a tensão de cisalhamento no centro de gravidade é denotada por: 
 
(63) 
 
 
Etapa 4: Dimensionamento do máximo carregamento admissível característico (Pk) 
A inequação a seguir permite isolarmos a variável desejada. 
 
(64) 
 
 
 
 
 
 
Etapa 5: Verificando para carga posicionada a 20 cm do apoio 
 Diagrama de Esforço Cortante: 
cmcm
cmcm
ch
16032
160162
2



PV kred  5,0,
Ib
MV sd
d



A
Vd
d
2
3

kNP
cmcmcmkN
P
cmkN
cmcm
P
f
k
k
k
dvd
63,14
5,15,04,1
16616,0
16,0
166
5,04,1
2
3
2
2
,








 
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(65) 
 
 
 
Portanto, a cortante reduzida característica será: Vred,k= (
c
2h
)Vmax=0,5859 P 
 
(66) 
 
 
 
 
 
Etapa 6: Dimensionamento do máximo carregamento admissível característico (Pk): 
 
(67) 
 
 
 
 
 
cmcm
cmcm
ch
2032
20162
2



PV
P
cm
cm
V
V
h
c
V
kred
kred
máxkred



5859,0
9375,0
32
20
2
,
,
,
kNP
cmcmcmkN
P
cmkN
cmcm
P
f
k
k
k
dvd
48,12
5,15859,04,1
16616,0
16,0
166
5859,04,1
2
3
2
2
,








 
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5 LIGAÇÕES PREGADAS E PARAFUSADAS 
Exercício 9 
Determinar a quantidade de parafusos para a ligação perpendicular abaixo. 
Dados 
 Umidade classe (1); 
 Carregamento de longa duração; 
 Madeira Conífera C30; 
 Parafusos: fy,k = 600 MPa. 
 
Solução 
Etapa 1: Diâmetro do Pino 
 Espessura convencional da madeira (t): 
 
(68) 
 
 
 
 Diâmetro máximo do parafuso (d): 
(69) 
 
 
Etapa 2: Cálculo da tensão resistente de projeto (fc90,d) 
cmt
cmcm
cm
t
3
428
3






cmd
cm
t
d
27,1
5,1
2


 
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(70) 
 
 
 
Considerando o fator γw = 1,40, a resistência característica de fc0,k = 30 MPa para uma 
conífera C30, e um pino com diâmetro de 1,27 cm (αe = 1,68) a resistência ao embutimento da 
madeira (fe,d) é de: 
(71) 
 
 
 
 
 
 
Etapa 3: Tensão de resistência do parafuso (fy,d) 
 
(72) 
 
 
 
 
 
Etapa 4: Força resistente em cada face de corte (Rvd,1) 
 
(73) 
 
 
 
 
 
 
Como β < βlim, trata-se do caso de embutimento na madeira. Portanto, a força resistente 
em cada face de corte denota-se por: 
 
(74) 
 
 
56,0
80,000,170,0
321



mod
mod
modmodmodmod
K
K
KKKK
2
0
504,0
04,5
68,1
40,1
30
56,025,0
25,0
cmkNf
MPaf
MPa
f
f
Kf
e,d
e,d
e,d
e
w
,kc
mode,d



 

255,54
45,545
10,1
600
cmkNf
MPaf
MPaf
f
y,d
y,d
s
y,k
y,d




004,13
504,0
55,54
25,125,1
40,2
25,1
3
lim
2
2
,
,
lim






cmkN
cmkN
f
f
cm
cm
d
t
de
dy
 
kNR
cmkN
cm
f
t
R
vd
devd
756,0
504,0
40,2
3
40,040,0
1,
2
2
,
2
1,



 
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Etapa 5: Número de parafusos necessários 
 
(75) 
 
 
 
Para este problema, pode-se estabelecer uma quantidade segura de 10 parafusos de ½”. 
 
Exercício 10 
Calcular a quantidade de pregos para efetuar a ligação entre as peças com seções, respectivas, 
de (6×12) cm2 e (4×12) cm2, conforme a figura. 
Dados 
 Kmod = 0,56; 
 Madeira Conífera C40; 
 Parafusos: fy,k = 600 MPa. 
 
Solução 
Etapa 1: Diâmetro dos pregos 
Determina-se o valor da espessura convencional da madeira (t) conforme abaixo: 
 
(76) 
 
 
 
Calcula-se o diâmetro máximo dos pregos, aplicando-se t na seguinte expressão: 
29,9
756,0
1
2
04,141
2 1,


n
kN
kN
R
P
n
vd
d
cmt
cm
cm
t
4
4
6





 
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(77) 
 
 
 
Etapa 2: Comprimento dos pregos 
O comprimento mínimo dos pregos é determinado em função do diâmetro do prego 
adotado inicialmente. Serão verificados os pregos: (44×100), (44×94) e (44×84), sendo sua 
nomenclatura descrita por d [mm] × l [mm]. Assim, o comprimento mínimo é dado por: 
 
(78) 
 
 
Com isto, os pregos que podem ser utilizados são: (44×100) e (44×94), por terem 
comprimentos maiores que o comprimento limite. Para este problema, adotou-se o parafuso 
(44×94). 
 
Etapa 3: Tensão resistente da madeira (fc0,d) 
 
(79) 
 
 
 
 
Etapa 4: Tensão de resistência do prego (fy,d) 
 
(80) 
 
 
 
 
 
Etapa 5: Força resistente em cada face de corte (Rvd,1) 
 
(81) 
 
 
 
 
cmd
cmt
d
8,0
5
4
5


mml
mmmmdtl
8,92
4,4124012
min
1min


2
,0
,0
,0
mod,0
/6,1
16
40,1
40
56,0
cmkNf
MPaf
MPaf
Kf
dc
dc
w
kc
dc




255,54
45,545
10,1
600
cmkNf
MPaf
MPaf
f
y,d
y,d
s
y,k
y,d




30,7
60,1
55,54
25,125,1
09,9
44,0
4
lim
2
2
,0
,
lim






cmkN
cmkN
f
f
cm
cm
d
t
dc
dy
 
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Como β > βlim, trata-se do caso de flexão no pino, estimando-se, portanto, a resistência da 
ligação de cada um dos pregos como: 
 
(82) 
 
 
 
 
 
Etapa 6: Número de pregos necessários 
 
(83) 
 
 
 
Desta forma, determina-se uma quantidade mínima de 20 pregos de (44×94). 
Serão distribuídos em 2 filas de 10 pregos. Como o número de pregos em linha excede a 
8 é necessário considerar um valor de resistência reduzido por pino suplementar. Assumindo n0 
como o número inicial de pregos em uma fila, o número efetivo de pregos em uma fila (nef) 
pode ser calculado pela seguinte inequação: 
 
(84) 
 
 
 
 
 
 
Com isto, estima-se o uso de 22 pregos de (44 × 94) para a solução deste problema. 
 
kNR
cmkN
cm
R
f
d
R
vd
vd
dyvd
904,0
55,54
30,7
44,0
625,0
625,0
1,
2
2
1,
,
lim
2
1,




91,19
904,0
18
1,


n
kN
kN
R
P
n
vd
d
 
 
 
11
810
2
3
8
8
2
3
8
8
3
2
8
0
0




ef
ef
ef
ef
n
n
nn
nn
 
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6 FLEXÃO SIMPLES 
Exercício 11 
Calcular a altura necessária para uma viga, cuja largura é de 6 cm, e está submetida a um 
carregamento permanente, uniformemente distribuída, de qg,k = 0,82 kN/m, e a uma carga 
concentrada permanente de Fg,k = 1,6 kN, no ponto médio do vão de  = 5,80 m, conforme a 
figura. 
Dados 
 Madeira: Folhosa C40; 
 Umidade classe (3). 
 
Solução 
 
Etapa 1: Cálculo das Tensões Resistentes (fc0,d e ft0,d) 
 Carregamento permanente em peça serrada: Kmod,1 = 0,60; 
 Classe de umidade 3: Kmod,2 = 0,80; 
 Madeira de 2ª categoria: Kmod,3 = 0,80. 
Desta maneira, determina-se o Kmod como sendo: 
 
(85) 
 
 
 
Aplicando-se o Kmod na equação a seguir, tem-se: 
 
384,0
80,080,060,0
321



mod
mod
modmodmodmod
K
K
KKKK
 
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(86) 
 
 
 
 
(87) 
 
 
 
 
 
 
Etapa 2: Esforços Solicitantes 
Considerando um regime elástico-linear das propriedades mecânicas da madeira, a 
sobreposição dos momentos fletores devido à carga concentrada e ao carregamento 
uniformemente distribuído fica conforme as seguintes equações. 
 Momento máximo devido à carga concentrada: 
 
(88) 
 
 
 
 Momento máximo devido à carga uniformemente distribuída: 
 
(89) 
 
 
 
 Momento máximo de projeto: 
 
(90) 
 
 
 
 
2
,0
,0
,0
,0
10,1
97,10
40,1
40
384,0
cmkNf
MPaf
MPaf
Kf
dc
dc
w
kc
moddc




kNmM
mkNlP
M
Pdmáx
kf
Pdmáx
48,32
4
80,560,140,1
4
,
,






 
kNmM
mmkNlq
M
qdmáx
kf
qdmáx
827,4
8
80,582,040,1
8
,
22
,






kNcmM
kNmM
kNmkNmMMM
d
d
qdmáxPdmáxd
7,3730
307,37
827,4480,32,,



2
,0
,0
,0
,0,0
,0
11,1
08,11
80,177,0
40
384,0
77,0
cmkNf
MPaf
MPa
f
f
K
f
Kf
dt
dt
dt
w
kc
mod
w
kt
moddt







 
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Etapa 3: Tensões Atuantes 
(91) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Etapa 4: Altura em função das condições de segurança 
Estabelece-se as alturas em função das resistências de tração e compressão de projeto. 
 Altura em função da compressão: 
 
(92) 
 
 
 
 
 
 
 Altura em função da tração: 
 
(93) 
 
 
 
 
 
 
 Altura adotada: 
 
(94) 
 
 
 
Adotando-se, portanto, a altura de 39 cm para a viga em questão. 
2
2
23
89,1598
14
7,37306
6
2
12
h
kN
hcm
kNcm
hb
Mh
hb
M
I
yM
Md
Md
dd
Md
d
Mdtdcd















 
 
  cmfh
cmkN
kN
fh
cmkN
fh
kN
f
cddc
cddc
cddc
dccd
18,38,
10,1
89,1598
,
10,1
,
89,1598
,0
2,0
2
2
,0
,0








 
 
  cmfh
cmkN
kN
fh
cmkN
fh
kN
f
tddt
tddt
tddt
dttd
983,37,
11,1
89,1598
,
11,1
,
89,1598
,0
2,0
2
2
,0
,0








 
 
cmh
cmfh
cmfh
h
tddt
cddc
18,38
98,37,
18,38,
,0
,0









 
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7 FLEXÃO OBLÍQUA 
Exercício 12 
Quanto ao Estado Limite Último, dimensione uma terça que está submetida a um carregamento 
permanente, uniformemente distribuído, de qg,k = 0,75 kN/m, e a uma carga concentrada 
acidental de Fg,k = 0,90 kN, no ponto médio do vão de  = 4 m, conforme figura. Considerar 
uma inclinação do telhado correspondente a 25°. 
Dados 
 Madeira: Folhosa C60; 
 Kmod = 0,56. 
 
Obs.: A flecha de ponta dupla representa momento. 
Solução 
 
Etapa 1: Cálculo da Tensão Resistente 
 
(95) 
 
 
 
 
(96) 
 
 
 
 
 
2
,0
,0
,0
,0
4,2
24
40,1
60
56,0
cmkNf
MPaf
MPaf
Kf
dc
dc
w
kc
moddc




2
,0
,0
,0
,0,0
,0
42,2
24,24
80,177,0
60
56,0
77,0
cmkNf
MPaf
MPa
f
f
K
f
Kf
dt
dt
dt
w
kc
mod
w
kt
moddt







 
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Etapa 2: Esforços Atuantes 
 Momento fletor devido à carga concentrada acidental (q): 
 
(97) 
 
 
 
 
 Momento fletor devido ao carregamento distribuído permanente (g): 
 
(98) 
 
 
 
 
Decomposição dos momentos nas direções x e y, considerando q como os carregamentos 
acidentais e g como carregamentos permanentes: 
 
(99) 
 
 
 
 
 Combinação na direção x: 
 
(100) 
 
 
 
 Combinação na direção y: 
 
(101) 
 
 
 
Etapa 3: Tensões Atuantes 
Para uma seção transversal adotada de (8 × 12) cm², têm-se as seguintes propriedades 
geométricas: 
kNcmM
kNmM
mkNlP
M
qmáx
qmáx
k
qmáx
90
90,0
4
0,490,0
4
,
,
,






 
kNcmM
kNmM
mmkNlq
M
gmáx
gmáx
k
gmáx
150
50,1
8
0,475,0
8
,
,
22
,






   
   
   
    kNcmkNcmMM
kNcmkNcmMM
kNcmkNcmMM
kNcmkNcmMM
gmáxyg
gmáxxg
qmáxyq
qmáxxq
39,6325sen150sen
95,13525cos150cos
04,3825sen90sen
57,8125cos90cos
,,
,,
,,
,,








kNcmM
kNcmkNcmM
MMM
dx
dx
xgxqdx
53,304
95,13540,157,8140,1
40,140,1
,
,
,,,



kNcmM
kNcmkNcmM
MMM
dy
dy
ygyqdy
00,142
39,6340,104,3840,1
40,140,1
,
,
,,,



 
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(102) 
 
 
 
 
 Tensão atuante em x: 
 
(103) 
 
 
 
 Tensão atuante em y: 
 
(104) 
 
 
 
 
Etapa 4: Verificação no Estado limite último 
Verifica-se as condições de segurança para o Estado Limite Último pelas seguintes 
inequações: 
 
(105) 
 
 
 
 
Sendo o coeficiente Km = 0,50 para seções retangulares, tem-se: 
 
(106) 
 
 
 
 
Como ambas as inequações foram atendidas, conclui-se que uma seção retangular de (8 
× 12) cm² satisfaz as condições de segurança estrutural para o problema proposto. 
 
  4
33
4
33
512
12
812
12
1152
12
128
12
cm
cmcmbh
I
cm
cmcmhb
I
y
x










2
,
4
,
,
586,1
1152
653,304
cmkN
cm
cmkNcm
I
yM
dMx
x
dx
dMx







2
,
4
,
,
109,1
512
4142
cmkN
cm
cmkNcm
I
xM
dMy
y
dy
dMy
















1
1
,0
,
,0
,
,0
,
,0
,
dc
dMy
dc
dMx
m
dc
dMy
m
dc
dMx
ff
K
f
K
f











179,0
4,2
109,1
4,2
586,1
50,0
189,0
4,2
109,1
50,0
4,2
586,1
2
2
2
2
2
2
2
2
cmkN
cmkN
cmkN
cmkN
cmkN
cmkN
cmkN
cmkN
 
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Exercício 13 
Verifique quanto ao Estado Limite de Serviço a terça que está submetida a um carregamento 
permanente, uniformemente distribuído, de qg,k = 0,75 kN/m, e a uma carga concentrada 
acidental de Pq,k = 0,90 kN, no ponto médio do vão de  = 4 m, em local em que não há 
predominância de pesos de equipamentos fixos, conforme figura. Considerar uma inclinação 
do telhado correspondente a 25°. 
Dados: 
 Madeira: Folhosa C60; 
 Umidade classe (1); 
 
Solução 
 
Etapa 1: Esforços nas direções x e y 
 
(107) 
 
 
 
 
Etapa 2: Cálculo do módulo de elasticidade efetivo (Ec0,ef) 
Conforme a classe C60 para folhosas ou dicotiledônea,tem-se Ec0,m = 24.500 MPa. 
 
(108) 
 
 
 
 
 
   
   
   
    mkNmkNqq
mkNmkNqq
kNkNPP
kNkNPP
gxg
gyg
qkxqk
qkyqk
317,025sen75,0sen
680,025cos75,0cos
380,025sen90,0sen
816,025cos90,0cos
,
,
,
,








2
,0
,0
,0
,0mod,0
1372
13720
500.2456,0
cmkNE
MPaE
MPaE
EKE
efc
efc
efc
mcefc




 
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Etapa 3: Verificação da flecha na direção x 
O momento de inércia ao redor da direção definida por y é dado por: 
 
(109) 
 
 
Considerando ψ2 = 0,2 (locais em que não há predominância de pesos de equipamentos 
fixos, nem de elevadas concentrações de pessoas), o deslocamento na direção x é calculado 
como sendo: 
 
(110) 
 
 
 
 
 
O deslocamento limite ambas as direções (x e y) é calculado com a seguinte equação: 
 
(111) 
 
 
 
Quanto ao deslocamento máximo na direção x, verifica-se com a seguinte inequação: 
 
(112) 
 
 
A inequação foi atendida na direção x, portanto, o Estado Limite de Serviço quanto ao 
deslocamento excessivo está assegurado nesta direção. 
 
Etapa 4: Verificação da flecha na direção y 
O momento de inércia ao redor da direção definida por x é dado por: 
 
(113) 
 
 
O deslocamento no meio do vão na direção y é calculado como sendo: 
  4
33
512
12
812
12
cm
cmcmbh
I y 




   
cmw
cmcmkN
cmkN
cmcmkN
cmcmkN
w
IE
lP
IE
lq
w
x
x
ymc
xq
ymc
xg
x
648,1
512137248
40038,0
5121372384
400003,05
48384
5
42
3
2
42
4
,0
3
,2
,0
4
,















  4
33
1152
12
128
12
cm
cmcmhb
I x 




cmw
cml
w
2
200
400
200
lim
lim


cmcm
wwx
2648,1
lim


 
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 (114) 
 
 
 
 
 
 
Quanto ao deslocamento máximo na direção y, verifica-se com a seguinte inequação: 
 
(115) 
 
 
A inequação foi atendida também na direção y, portanto, o Estado Limite de Serviço 
quanto ao deslocamento excessivo está assegurado em ambas as direções. 
   
cmw
cmcmkN
cmkN
cmcmkN
cmcmkN
w
IE
lP
IE
lq
w
y
y
xmc
yq
xmc
yg
y
571,1
1152137248
400816,0
11521372384
400007,05
48384
5
42
3
2
42
4
,0
3
,2
,0
4
,















cmcm
wwy
2571,1
lim


 
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8 FLEXO-COMPRESSÃO 
Exercício 14 
Um pilar de madeira, com seção quadrada de lado 12 cm, conforme figura, está submetido a 
uma força concentrada axial composta de uma parcela permanente e outra devida ao vento, 
apresentando excentricidade de 3 cm na direção y. Sobre o pilar também está atuando uma carga 
distribuída acidental devida ao vento, horizontal, de 0,35 kN/m. Verificar se a seção é 
suficiente. 
Dados 
 Carga vertical permanente: Ng,k = 9,0 kN; 
 Carga vertical proveniente do vento: Nq,k = 5,14 kN; 
 Comprimento do pilar  = 3,6 m; 
 Madeira: Folhosa C60; 
 Kmod = 0,56. 
 
Solução 
 
Etapa 1: Cálculo da tensão resistente 
 
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(116) 
 
 
 
 
Etapa 2: Combinação normais de esforços solicitantes no Estado Limite Último 
 
(117) 
 
 
 
Etapa 3: Verificação da Flexão Composta 
 Tensão Normal: 
 
(118) 
 
 
 
 Momento fletor devido à ação vertical aplicada axialmente: 
 
(119) 
 
 
 Carregamento uniformemente distribuído de projeto: 
 
(120) 
 
 
 
 Momento fletor devido à ação horizontal uniformemente distribuída: 
 
(121) 
 
 
 
 
 Momento fletor de cálculo: 
kNN
kNkNN
NNN
dc
dc
kqqkggdc
18
14,540,175,00,940,1
75,0
,
,
,,,


 
2
,0
,0
,0
,0
4,2
24
40,1
60
56,0
cmkNf
MPaf
MPaf
Kf
dc
dc
w
kc
moddc




2
,
,
,
125,0
1212
18
cmkN
cmcm
kN
A
N
dN
d
dN





kNcmM
cmkNeNM
dN
iddN
54
318
,
,


mkNq
mkNq
qq
d
d
kqqd
3675,0
35,040,175,0
75,0 ,


 
 
kNcmM
kNmM
mmkNlq
M
dq
dq
d
dq
54,59
954,5
8
60,33675,0
8
,
,
22
,






 
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(122) 
 
 
 
 Tensão de flexão: 
 
(123) 
 
 
 
 
 
 
 Verificações da combinação de tensões na flexo-compressão: 
 
(124) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desta forma, a verificação quanto a tensões de flexo-compressão combinadas demonstrou 
que esta seção pode ser utilizada quanto a estes esforços. 
 
Etapa 4: Verificação da Instabilidade 
 Cálculo do índice de esbeltez (λ): 
 
kNcmM
kNcmkNcmM
MMM
dx
dx
dqdNdx
54,113
54,5954
,
,
,,,



 
2
,
3,
3
,
4
,,
,
39,0
12
54,1136
6
2
12
cmkN
cm
kNcm
a
Ma
a
M
y
I
M
dMx
dMx
dxdx
y
dx
dMx




















































!117,0
4,2
0
5,0
4,2
39,0
4,2
125,0
!108,0
4,2
0
4,2
39,0
5,0
4,2
125,0
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
,0
,
,0
,
2
,0
,
,0
,
,0
,
2
,0
,
Ok
cmkN
cmkN
cmkN
cmkN
cmkN
cmkN
Ok
cmkN
cmkN
cmkN
cmkN
cmkN
cmkN
f
K
ff
ff
K
f
dc
dMy
m
dc
dMx
dc
dN
dc
dMy
dc
dMx
m
dc
dN


 
Apostila de Exercícios de Estruturas de Madeira 43 
 
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(125) 
 
 
 
 
 
 
Como 80 < λ < 140, se trata de uma peça esbelta. Assim sendo, o cálculo das tensões 
atuantes é realizado da seguinte forma. 
 Tensão atuante proveniente da carga distribuída: 
 
(126) 
 
 
 
 
 
 
Para o cálculo da tensão atuante devido ao carregamento axial será necessário o módulo 
de elasticidade efetivo, calculado como: 
 
(127) 
 
 
 Momento de inércia: 
 
(128) 
 
 
 
 Carga crítica de flambagem: 
 
(129) 
 
 
 
 Excentricidade de primeira ordem decorrente da situação de projeto: 
 
92,103
12
12360
12
12
0
2
4
000









cm
cm
a
l
a
a
l
A
I
l
i
l
 
2
,1
3,1
3
,
4
,,
,1
207,0
12
54,596
6
2
12
cmkN
cm
kNcm
a
Ma
a
M
y
I
M
dM
dM
dxdqdq
dM







 
kNF
cm
cmcmkN
l
IE
F
e
efc
e
55,180
360
17281372
2
422
2
0
,0
2






2
,0
2
,0mod,0
1372
245056,0
cmkNE
cmkNEKE
efc
mcefc


 
4
44
1728
12
12
12
cmI
cma
I


 
Apostila de Exercícios de Estruturas de Madeira 44 
 
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(130) 
 
 
 
 Excentricidade acidental mínima: 
 
(131) 
 
 
 
 
 
 Excentricidade de primeira ordem devido aos carregamentos permanentes: 
 
(132) 
 
 
 
Considerando ϕ = 0,8 (carga permanente ou de longa duração e classe 1), e os fatores 
devido à pressão dinâmica de vento: ψ1 = 0,2 e ψ2 = 0, calcula-se a excentricidade suplementar 
de primeira ordem que representa a fluência: 
 
(133) 
 
 
 
 
 
 
Com isto, calcula-se, então, a excentricidade efetiva de primeiraordem. 
 
(134) 
 
 
 
 Momento de primeira ordem de projeto: 
 
cme
kN
kNcmkNcm
N
MM
N
M
e
i
d
qdgd
d
d
i
31,6
18
54,5954111





cme
cm
cmh
cm
cml
e
a
a
2,1
4,0
30
12
30
2,1
300
360
300
0










cme
kN
cmkN
N
eN
N
M
e
ig
gkg
gkg
gd
gd
ig
3
94,1
394,11









 
  
  
 
  
  
cme
kNkNkN
kNkN
cmcme
NNF
NN
eee
c
c
gkgke
qkgk
aigc
29,7
1
14,52,009181
14,52,0098,0
exp2,13
1exp
21
21






































cme
cmcmcme
eeeeee
ef
ef
caicef
8,14
29,72,131,6
,1
,1
1,1



 
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(135) 
 
 
 
 
 
 Tensão atuante devido ao carregamento axial: 
 
(136) 
 
 
 
 
 
 
 Verificação para o Estado Limite Último para a flexo-compressão: 
 
(137) 
 
 
 
 
 
Como as verificações devido à flexão composta e instabilidade devido à flexo-
compressão foram atendidas, considera-se que o pilar suportará os esforços atuantes. 
kNcmM
kNkN
kN
cmkNM
NF
F
eNM
d
d
de
e
efdd
9,295
1855,180
55,180
8,1418
,1
,1
,1,1

















 
2
,1
3,1
3
,1
4
,1,1
,1
03,1
12
9,2956
6
2
12
cmkN
cm
kNcm
a
Ma
a
M
y
I
M
dN
dN
ddd
dN







!152,0
1
4,2
21,0
4,2
03,1
1
2
2
2
2
0
,1
0
,1
Ok
cmkN
cmkN
cmkN
cmkN
ff ,dc
dM
,dc
dN




 
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9 PEÇAS COMPOSTAS 
Exercício 15 
Uma barra de treliça, de seção transversal integrada por duas peças de (5 × 15) cm², separados 
por espaçadores interpostos com 5 cm de largura, está submetida a uma força de compressão 
paralela as fibras Nd = 35 kN. A barra é biarticulada e a madeira utilizada é das coníferas, classe 
C25, de 2ª categoria e classe de umidade 1. Especificar qual distância entre espaçadores para 
que sejam atendidos os critérios da NBR 7190 para a um comprimento de 200 cm. As ações da 
estrutura são decorrentes de local com predominância de peso de equipamentos fixos. 
Solução 
 
Etapa 1: Resistência de Cálculo e Elasticidade efetiva 
 Carregamento de longa duração em peça serrada: Kmod,1 = 0,70; 
 Classe de umidade 1: Kmod,2 = 1,00; 
 Madeira de 2ª categoria: Kmod,3 = 0,80. 
 
(138) 
 
 
 
Considerando o fator γw = 1,40 e a resistência característica de fc0,k = 25 MPa para uma 
conífera C25, a resistência à compressão paralela às fibras é de: 
 
(139) 
 
 
 
 
 O módulo de elasticidade à compressão de projeto: 
 
(140) 
 
 
 
56,0
80,000,170,0
321



mod
mod
modmodmodmod
K
K
KKKK
2
0
0
0
0
1
10
40,1
25
56,0
cmkNf
MPaf
MPaf
Kf
,dc
,dc
w
,kc
mod,dc




2
0
0
00
476
4760
850056,0
cmkNE
MPaE
MPaEKE
,efc
,efc
,mcmod,efc



 
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Etapa 2: Verificação da Estabilidade local 
Sendo b a largura das peças com compõe a barra, e a1 a largura do espaçador, substituindo 
valores é verificar se tais geometrias atendem os critérios normativos: 
 
(141) 
 
 
 
A distância entre espaçadores interpostos (L1) deve ser estabelecida atentando-se aos 
seguintes requisitos: 
 
9b ≤ 1≤ 18b 
9∙5 cm ≤ 1 ≤ 18∙5 cm 
45 cm ≤ 1 ≤ 90 cm 
(142) 
 
Assim sendo, adotou-se 1 = 90 cm. 
 
Etapa 3: Propriedades geométricas da seção composta 
 Área: 
 
(143) 
 
(144) 
 
 Momento de Inércia: 
(145) 
 
 
(146) 
 
 
(147) 
 
 
(148) 
 
 
!155
535
31
Okcmcm
cmcm
ba



2
111 75155 cmcmcmhbA 
 
4
1
33
11
1
25,1406
12
155
12
cmI
cmcmhb
I





 
4
2
33
11
2
25,156
12
515
12
cmI
cmcmbh
I





2
1 150752 cmcmAnA 
4
4
1
5,2812
25,14062
cmI
cmInI
x
x


 
4
224
1
2
2
5,4062
575225,1562
cmI
cmcmcmaAInI
y
n
i
iiy

 

 
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 Quantidade de espaçadores na barra: 
 
m = 

1
=
200 cm
90 cm
 
m = 2,22 
(149) 
 
Coeficiente αy = 1,25 para espaçadores interpostos, conforme a norma. 
 Fator de redução de inercia (βI): 
 
(150) 
 
 
 
 Momento de Inércia efetivo em y (Iy,ef): 
 
(151) 
 
 
Etapa 4: Verificação do Estado Limite Último de instabilidade global 
 Índice de esbeltez: 
 
(152) 
 
 
 
 
Como 80 < λ < 140, a barra é classificada como esbelta. 
 Carga crítica de flambagem: 
 
(153) 
 
 
 
 Excentricidade de primeira ordem decorrente da situação de projeto: 
 
132,0
5,406225,122,225,156
22,225,156
424
24
2
2
2
2







I
yy
I
cmcm
cm
ImI
mI



4
,
4
,
25,536
5,4062132,0
cmI
cmII
efy
yIefy

 
78,105
150
25,536
200
2
4
,
0




cm
cm
cm
A
I
l
efy
 
kNF
cm
cmcmkN
l
IE
F
e
efyefc
e
98,62
200
25,536476
2
422
2
0
,,0
2






 
Apostila de Exercícios de Estruturas de Madeira 49 
 
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(154) 
 
 
 
 Excentricidade acidental mínima: 
 
(155) 
 
 
 
 
 
 Excentricidade de primeira ordem devido aos carregamentos permanentes: 
 
(156) 
 
 
 
Para o cálculo da excentricidade suplementar, consideram-se os fatores devido ao peso 
de equipamentos fixos ψ1 = 0,6 e ψ2 = 0,4. Com isto, é possível estabelecer a seguinte igualdade: 
 
(157) 
 
 
 
Considerando ϕ = 0,8 (carga permanente ou de longa duração e classe 1), calcula-se a 
excentricidade suplementar de primeira ordem que representa a fluência: 
 
(158) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com isto, calcula-se, então, a excentricidade efetiva de primeira ordem: 
 
cme
kN
kNcm
N
M
e
i
d
d
i
0
35
01


cme
cm
cmh
cm
cml
e
a
a
67,0
5,0
30
15
30
67,0
300
200
300
0










cme
kN
cmkN
N
eN
N
M
e
ig
gkg
gkg
gd
gd
ig
0
94,1
094,11









 
  
  
 
 
cme
kNkN
kN
cmcme
NF
N
eee
NNF
NN
eee
c
c
de
d
aigc
gkgke
qkgk
aigc
464,0
1
2598,62
258,0
exp67,00
1
40,1
40,1
exp
1exp
21
21






















































 
  kNNN
kNN
NN
qkgk
d
qkgk
25
40,1
35
40,1
21
21




 
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(159) 
 
 
 
 Excentricidade de projeto: 
 
(160) 
 
 
 
 Momento de primeira ordem de projeto: 
 
(161) 
 
 
 Verificação da condição de segurança: 
Considerando W2 = I2/(b1/2) = 62,5cm
3. 
 
(162) 
 
 
Portanto, a condição de segurança está verificada para esta barra da estrutura. 
cme
cmcmcme
eeeeee
ef
ef
caicef
14,1
464,067,00
,1
,1
1,1



cme
kNkN
kN
cm
NF
F
ee
d
de
e
efd
25,2
3598,62
98,62
14,1,1
















kNcmM
cmkNeNM
d
ddd
78,78
25,235


!161,0
1
25,536
25,156
21
7552
78,78
5,6225,53625,15678,78
150
35
1
22
2
4
4
234
4
2
,0
,
2
112,
2
OkcmkNcmkN
cmkN
cm
cm
cmcm
kNcm
cmcm
cmkNcm
cm
kN
f
I
I
n
Aan
M
WI
IM
A
N
dc
efy
d
efy
dd




























 
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10 ESTABILIDADE LATERAL EM VIGAS 
Exercício 16 
Dada uma viga biarticulada de madeira, de seção (5 × 20) cm², submetida a uma ação permanente 
distribuída de qg,k = 0,60 kN/m (totalidade das ações permanentes) e a uma carga acidental distribuída 
(qq,k). Determinar o máximo valor de qq,k, considerando: 
Dados 
 Madeira classe C40; 
 Umidade da madeira = 15%; 
 2ª categoria; 
 Local com predominância de pessoas; 
 Materiais frágeis ligados à estrutura. 
 
Solução 
 
Etapa 1: Cálculo das propriedades mecânicas e geométrica 
 Carregamento de longa duração em peça serrada: Kmod,1 = 0,70; 
 Classe de umidade 1: Kmod,2 = 1,00; 
 Madeira de 2ª categoria: Kmod,3 = 0,80. 
 
(163) 
 
 
 
 Resistência à compressão paralela às fibras: 
Considera-se γwc = 1,40, e fc0,k = 40 MPa para uma conífera C40. 
56,0
80,000,170,0
321



mod
mod
modmodmodmod
K
K
KKKK
 
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(164) 
 
 
 
 
 Resistência à tração paralela às fibras: 
Considera-se γwt = 1,80, e fc0,k = 40 MPa para uma conífera C40. 
 
(165) 
 
 
 
 
 Resistência ao cisalhamento: 
Considera-se γwv = 1,80, e fv,k = 6 MPa para uma conífera C40. 
 
(166) 
 
 
 
 
 O módulo de elasticidade à flexão: 
Considera-se Ec0,m = 19500 MPa para uma conífera C40. 
 
(167) 
 
 
 
 Momento de Inércia: 
 
(168) 
 
 
 
Etapa 2: Verificação do Estado Limite Último – Cortante 
 Esforço cortante: 
2
0
0
0
0
62,1
16,16
80,177,0
40
56,0
77,0
cmkNf
MPaf
MPaf
Kf
,dt
,dt
wt
,kc
mod,dt







2
0
0
0
0
6,1
16
40,1
40
56,0
cmkNf
MPaf
MPaf
Kf
,dc
,dc
wc
,kc
mod,dc




2187,0
87,1
80,1
6
56,0
cmkNf
MPaf
MPaf
Kf
v,d
v,d
wv
v,k
modv,d




2
0
1755
17550
1950090,090,0
cmkNE
MPaE
MPaEE
M
M
,mcM



 
4
33
33,3333
12
205
12
cmI
cmcmhb
I





 
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Prof. Dr. Nilson Tadeu Mascia 
Condição de segurança. 
(169) 
 
Estima-se o esforço cortante pela inequação anterior. 
 
(170) 
 
 
 Carregamento acidental 
(171) 
 
 
 
 
 
Etapa 3: Verificação do Estado Limite Último – Flexão 
 Tensão de flexão região mais comprimida: 
Condição de segurança. 
(172) 
 
Momento fletor estimado pela inequação anterior. 
 
(173) 
 
 
 Carregamento acidental: 
 
(174) 
 
 
 
 
 
 Tensão de flexão na região mais tracionada: 
Condição de segurança. 
(175) 
 
Momento fletor estimado pela inequação anterior. 
 
dvd f ,
hbfV dvd  ,
3
2
mkNq
cmkN
cm
cmcmcmkNq
q
l
hbfq
kq
kq
kg
f
dvkq
96,2
60,0
50040,1
2
20519,0
3
2
2
3
2
,
2
,
,,,








dcd f ,0
h
If
M
dc
d


,0
2
 
mkNq
cmkN
cmcm
cmcmkN
q
q
lh
If
q
kq
kq
kg
f
dc
kq
62,0
60,0
5004,1
8
15
33,333360,1
2
8
2
,
2
42
,
,2
,0
,












dtd f ,0
 
Apostila de Exercícios de Estruturas de Madeira 54 
 
Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo 
Universidade Estadual de Campinas Eng. Esp. Ramon Vilela 
Prof. Dr. Nilson Tadeu Mascia 
(176) 
 
 Carregamento acidental: 
 
(177) 
 
 
 
 
 
 
Etapa 4: Verificação do Estado Limite de Serviço – Deformação excessiva 
Condição de segurança. 
 
(178) 
 
 
 
 Carregamento acidental 
 
(179) 
 
 
 
 
 
 
Etapa 5: Verificação da Estabilidade Lateral 
 Coeficiente de correção βM: 
Considerando βE = 4 e γf = 1,40. 
 
(180) 
 
 
 
 
 
 
Verifica-se a seguinte inequação. 
h
If
M
dt
d


,0
2
 
mkNq
cmkN
cmcm
cmcmkN
q
q
lh
If
q
kq
kq
kg
f
dt
kq
63,0
60,0
5004,1
8
15
33,333362,1
2
8
2
,
2
42
,
,2
,0
,












350
lim
l
w
ww


 
mkNq
cmkN
cm
cmcmkN
q
q
l
IE
q
kq
kq
kg
M
kq
712,0
6,060,0
5005350
33,33331755384
5350
384
,
1
3
42
,
1
1,3,


























243,15
63,0
5
20
5
20
4,1
4
26,0
1
63,0
26,0
1
2
1
2
3
2
1
2
3





























M
f
E
M
cm
cm
cm
cm
b
h
b
h





 
Apostila de Exercícios de Estruturas de Madeira 55 
 
Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo 
Universidade Estadual de Campinas Eng. Esp. Ramon Vilela 
Prof. Dr. Nilson Tadeu Mascia 
(181) 
 
 
 
 
 
Como o primeiro termo foi maior que o segundo, a seguinte condição deve ser satisfeita. 
 
(182) 
 
 
(183) 
 
 
 Carregamento acidental: 
Aplicando-se a Eq. (183) na Eq. (182) e isolando-se qq,k, tem-se: 
 
(184) 
 
 
 
 
 
 
 
Comparando as verificações exigidas pela norma, verificou-se que o limitante do 
problema foi a estabilidade lateral da viga e como o resultado da carga acidental obtido foi 
negativa deve ser aplicado a viga um novo dimensionamento diminuindo o vão entre 
travamentos ou aumentando a largura da viga. 
 
77,44100
6,1243,15
1092
5
500
2
2
,0
,01





cmkN
cmkN
cm
cm
f
E
b
L
dcM
efc

b
L
E
M
efc
dc
1
,0
,1




 
28
2
,,,
,1
h
I
lqq
y
I
M kqkgfds
dc 





 
cmkNq
cmkN
cmcm
cm
cm
cm
cmkN
q
q
hl
I
b
L
E
q
kq
f
kq
kg
f
M
efc
kq
054,0
60,0
5500
33,333316
5
500
243,15
1092
16
,
2
42
,
,2
1
,0
,















