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Estabilidade 
 
 
 
SCHOLA DIGITAL 
2018 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Material Didático de Leitura 
Obrigatória utilizado na 
Disciplina de Estabilidade – 
Revisão 00 de Janeiro de 
2018 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÍNDICE 
 
UNIDADE 1 – ANÁLISE ESTRUTURAL 
Aula 1: Elementos Estruturais.....................................................................................................1 
Aula 2: Estática I........................................................................................................................15 
Aula 3: Estática II.......................................................................................................................24 
UNIDADE 2 – ESTUDO DE VIGAS 
Aula 4: Vigas Isostáticas............................................................................................................33 
Aula 5: Esforços Internos..........................................................................................................48 
Aula 6: Cálculos e Diagramas I..................................................................................................58 
UNIDADE 3 – APROFUNDAMENTO 
Aula 7: Cálculos e Diagramas II.................................................................................................69 
Aula 8: Estática III......................................................................................................................85 
Aula 9: Introdução à Resistência dos Materiais........................................................................96 
UNIDADE 4 – DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL BÁSICO 
Aula 10: Dimensionamento de Lajes......................................................................................104 
Aula 11: Dimensionamento de Vigas......................................................................................135 
Aula 12: Dimensionamento de Pilares....................................................................................147 
 
 
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Aula 1 – Elementos Estruturais 
 
UNIDADE 1 – ANÁLISE ESTRUTURAL 
 
 
 
 
 
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Unidade 1 – Análise Estrutural 
 
Aula 1: Elementos Estruturais 
 
Para que consigamos entender bem os conceitos trabalhados nesta disciplina, é imprescindível 
que o aluno entenda bem alguns conceitos matemáticos envolvidos. Esta unidade inicial 
pretende relembrar alguns desses assuntos de forma rápida e concisa. Fica como sugestão 
uma consulta à literatura específica para que se rememore os temas das próximas aulas. 
 
1. Introdução à Análise Estrutural 
Pode-se definir estrutura como sendo: “A forma com que algo é composto“, “É o 
conjunto de elementos que compõe algo“. Essa definição pode ser aplicada a todo tipo de 
estrutura, organizacional, política, econômica, militar e civil dentre outras. Em se tratando 
de estruturas civis a estrutura é subdividida em “peças estruturais“ (elementos) como 
mostra a Figura. 
 
Cada parte que compõe a estrutura deve resistir aos esforços internos e retransmitir 
os esforços externos para as demais peças através dos vínculos que as unem, finalizando 
com a condução do esforço para o solo que deverá suportá-lo. A ciência responsável pelo 
estudo desses fenômenos referentes à estrutura civil é a engenharia estrutural, que é o 
Aula 1 – Elementos Estruturais 
 
ESTABILIDADE 
 
 
 
 
 
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ramo da engenharia civil dedicado primariamente ao projeto e cálculo de estruturas. De 
forma simplificada, é a aplicação da mecânica dos sólidos ao projeto de edifícios, pontes, 
muros de contenção, barragens, túneis e outras estruturas. 
2. Classificação dos Elementos Estruturais 
Os elementos estruturais em suas variedades podem ser classificados em três formas 
distintas: 
• Barras ou Fios: Caracterizado pela predominância de uma dimensão em 
relação às outras duas. Exemplos claros de elementos de barras ou fios são 
vigas (Figura), pilares, arcos, cabos etc. 
 
• Folhas: Caracterizado pela predominância de duas dimensões em relação a 
uma terceira. Os principais exemplos desse tipo de estrutura são as lajes e 
cascas. 
 
• Blocos: Em elementos classificados como blocos, não existe predominância 
entre as dimensões. Esse tipo de estrutura possui dimensões aproximadas nas 
Aula 1 – Elementos Estruturais 
 
UNIDADE 1 – ANÁLISE ESTRUTURAL 
 
 
 
 
 
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três direções. Os principais exemplos são as fundações tipos sapatas isoladas 
e blocos. 
 
2.1. Conceber Versus Dimensionar 
Pode-se começar a entender a definição dessas duas palavras da seguinte forma: é 
possível imaginar uma forma sem uma estrutura? É possível imaginar uma estrutura sem 
uma forma? “A estrutura e a forma, ou a estrutura e a arquitetura são um só objeto, e assim 
sendo, conceber uma implica em conceber a outra“. Na realidade tanto a estrutura e a 
forma dependem exclusivamente da sua destinação, em geral engenheiros têm como 
prioridade especificações técnicas e economia em detrimento a forma e estética, enquanto 
no ponto de vista de arquitetos a forma e a estética prevalece. 
2.2. Ações Sobre as Estruturas 
Como dito anteriormente a estrutura é o caminho de forças até o solo, desta feita, 
cabe-se perguntar: qual o melhor caminho estrutural a se seguir? A resposta para essa 
pergunta é um pouco complicada, uma vez a finalidade é importante em alguns casos 
estruturais. De uma forma geral as estruturas são compostas do conjunto viga, laje, pilar 
como representado na Figura: 
 
Aula 1 – Elementos Estruturais 
 
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Em geral a melhor concepção tem que possuir: Funcionalidade, ser eficiente para o 
que foi prevista, Econômica e Bela, onde na maioria dos casos economia e beleza são 
inversamente proporcionais, ou seja, quanto mais bela menos econômica, ou quanto mais 
econômico menos belo. Para começar a entender o funcionamento e analisar as estruturas 
é de fundamental importância conhecer as forças que atuam sobre a mesma. 
 
Todas as ações dentro de um sistema estrutural são forças vetoriais, em sendo sua 
direção, sentido e intensidade influenciam diretamente na concepção estrutural da 
edificação. Adiante (futuras aulas) serão estudados os princípios básicos de manipulação de 
forças vetoriais. As ações sobre as estruturas verssão por dois tipos distintos, que são as 
cargas permanentes e as cargas acidentais. 
2.2.1. Cargas Permanentes 
As cargas permanentes sobre a estruturas são carregamentos que atuam em toda vida 
útil da mesma. Dentre as cargas permanentes pode-se exemplificar: peso próprio da 
estrutura, peso do revestimento, peso das paredes, etc. As cargas permanentes têm uma 
precisão numérica grande. 
2.2.2. Cargas Acidentais 
As cargas acidentais como o próprio nome diz acontece esporadicamente durante 
certo período de tempo, destacam-se as cargas: peso de ocupação de pessoas, peso dos 
móveis, peso dos veículos, força do vento, ação da chuva, etc. As cargas acidentais são 
geralmente tabeladas e normatizadas. As cargas acidentais previstas para o uso da 
construção correspondem normalmente a cargas verticais de uso da construção (prescritas 
na NBR 6118-2003), cargas móveis considerando o impacto vertical, impacto lateral, força 
longitudinal de frenagem ou aceleração e força centrífuga. 
3. Tipos de Solicitações em Estruturas 
As ações sobre as estruturas são as maisdiversas possíveis, dentre as principais 
destacam-se: tração, torção, compressão, cisalhamento, flexão simples e composta, dentre 
outras. 
Aula 1 – Elementos Estruturais 
 
UNIDADE 1 – ANÁLISE ESTRUTURAL 
 
 
 
 
 
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Abaixo encontra−se a definição dessas solicitações: 
• Tração: caracteriza-se pela tendência de alongamento do elemento na 
direção da força atuante; 
• Compressão: a tendência é uma redução do elemento na direção da força de 
compressão; 
• Flexão: ocorre uma deformação na direção perpendicular à da força atuante; 
• Torção: forças atuam em um plano perpendicular ao eixo e cada seção 
transversal tende a girar em relação às demais; 
• Cisalhamento: forças atuantes tendem a produzir um efeito de corte, isto é, 
um deslocamento linear entre seções transversais. 
Além das solicitações sobre as estruturas, outro importante fator para se conceber 
uma estrutura são os critérios de projeto, a saber: 
• Equilíbrio: Conceber um arranjo estrutural capaz de absorver às solicitações 
externas e transmiti-las aos elementos de apoio mantendo-se em repouso; 
• Estabilidade: A configuração de equilíbrio do arranjo não pode ser alterada 
drasticamente na presença das imperfeições e das ações perturbadoras; 
• Resistência: O material das peças estruturais deve ser capaz de absorver o 
nível de solicitação interna gerado pelas ações externas sem comprometer a 
sua integridade física; 
• Rigidez: As peças estruturais devem ser capazes de absorver as ações externas 
sem apresentar grandes deslocamentos que comprometam sua 
funcionalidade. 
 
Aula 1 – Elementos Estruturais 
 
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4. Unidades e Indexadores 
A unidades do Sistema Internacional se dão conforme tabelas abaixo. 
 
E ainda; 
 
Indexadores mais utilizados; 
 
 
Aula 1 – Elementos Estruturais 
 
UNIDADE 1 – ANÁLISE ESTRUTURAL 
 
 
 
 
 
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5. Introdução à Estática 
Os princípios da estática foram desenvolvidos por grandes cientistas que contribuíram 
para o incremento dessa parte da mecânica clássica. Aristóteles (384 a 322 a.C) deu início 
aos estudos dos movimentos de corpos celestes, desenvolvendo bases para formulação 
posterior de Newton sobre a lei fundamental da gravitação universal. 
Na era Alexandrina, (século IV a.C. até 30 a.C., ano da conquista do Egito por Roma), 
aparece duas figuras centrais, Euclides e Arquimedes, sendo Euclides responsável por uma 
das obras mais influentes da humanidade denominada, os "Elementos" (300 a.C.). 
Arquimedes (287 a 212 a.C) contempla com seus trabalhos o equilíbrio de alavancas, 
roldanas e polias, além da clássica lei do empuxo. Arquimedes é tido por muitos como o pai 
da matemática, uma de suas obras mais importantes é o livro "Sobre o Equilíbrio dos 
Planos", onde ele desenvolve as regras da estática. Ainda sobre Arquimedes destaca-se a 
celebre frase: "Dê-me um ponto de apoio e eu moverei a terra". 
Segundo (Arruda, 2001), o primeiro estudo ligado a resistência dos materiais deve ser 
atribuído a Leonardo da Vince (1452 - 1519), com os primeiros ensaios de tração em fios 
metálicos, entretanto a primeira abordagem científica desse assunto foi atribuída ao 
cientista nascido em Pisa chamado Galileu Galilei. 
Galileu Galilei (1564 a 1642) descobriu a lei dos corpos, enunciou o princípio a inércia e 
o conceito de referencial inerciai, ideias precursoras da Mecânica newtoniana. Os dois 
primeiros capítulos do seu livro "Diálogos sobre Duas Novas Ciências" traz referências ao 
estudo de barras e vigas engastadas (Figura). 
 
Aula 1 – Elementos Estruturais 
 
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Um pouco antes da mecânica newtoniana se estabelecer como uma das maiores 
contribuições do homem a ciência, surge em Robert Hooke (1635 a 1703), que estudou a 
resistência dos materiais e deixou como legado a conhecida Lei de Hooke publicada em 
1676. 
Isaac Newton (1642 a 1727) Desenvolvedor da denominada Mecânica Newtoniana, sir 
Isaac Newton desenvolveu os princípios da Dinâmica enumerando as três leis, além da 
gravitação universal, cálculo diferencial e integral. 
No século 18, é marco para as maiores contribuições a mecânica dos sólidos, partindo 
dos princípios enumerados por Sir. Newton, os irmãos Bernoulli Jaques e Johan, 
desenvolveram estudos de vigas em balanço, rotação de vigas, problemas de dinâmica e o 
princípio dos deslocamentos virtuais. Seguindo os princípios de uma família de cientistas, o 
filho de Johan, Daniel Bernoulli, desenvolveu junto com seu então aluno Leonard Euler 
(1707-1783) a teoria de flexão em vigas batizada e ainda válida até hoje de teoria de Euler-
Bernoulli. 
Destaca-se ainda contribuições mais recentes a resistência dos materiais, como a 
teoria de Timoshenko (1878 a 1972), para vigas com cisalhamento, denominadas vigas de 
Timoshenko. 
Albert Einstein (1879 a 1955) descobriu as limitações da mecânica Newtoniana, 
entretanto em sistemas de Engenharia, a base está fundamentada na Mecânica Clássica de 
Newton. 
5.1. Mecânica Newtoniana 
A Mecânica de Newton é uma teoria que versa sobre o movimento dos corpos e suas 
causas. A essência da teoria foi publicada pelo inglês Isaac Newton no seu livro Phílosophíae 
Naturalís Príncípía Mathematíca (Princípios Matemáticos da Filosofia Natural) publicado no 
ano de 1687, mas notáveis contribuições à física já tinham sido feitas (principalmente por 
Galileu) ao fazer seus experimentos que contradisseram a teoria aristotélica. 
No entanto, a teoria como está aqui exposta se vale de uma nova roupagem 
matemática e conceitual desenvolvida nos séculos que se seguiram. Nos anos que se 
seguiram a Newton, diversos físicos e matemáticos aplicaram essa teoria ao movimento dos 
corpos na terra e também ao movimento dos corpos celestes, desenvolvendo assim o 
grande triunfo da teoria newtoniana: a Mecânica Celeste. 
Aula 1 – Elementos Estruturais 
 
UNIDADE 1 – ANÁLISE ESTRUTURAL 
 
 
 
 
 
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Essa teoria se aplicou com bastante sucesso aos resultados experimentais até 
enfrentar problemas no final do século XIX e início do século XX. A mecânica de Newton 
pode ser entendida pelos seis princípios fundamentais (Figura). 
 
5.1.1. Lei do Paralelogramo para Adição de Forças 
Estabelece que duas forças atuando numa partícula possam ser substituídas por uma 
única força, chamada resultante, obtida traçando a diagonal do paralelogramo que tem por 
lados as duas forças dadas (Figura). 
 
5.1.2. 1ª Lei de Newton 
Se a resultante das forças que atuam numa partícula é nula, esta permanecerá em 
repouso (se estava inicialmente em repouso) ou mover-se-á com velocidade constante 
segundo uma linha reta (se estava inicialmente em movimento). 
5.1.3. 2ª Lei de Newton 
Se a resultante que atua sobre um ponto material não é zero, este terá uma aceleração 
proporcional à intensidade da resultante e na direção desta, com o mesmo sentido, sendo 
sua equação descrita na forma simplificada pela Equação: 
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F⃗ = m . a⃗ 
5.1.4. 3ª Lei de Newton 
As forças de ação e reação entre corpos interagindo têm as mesmas intensidades, 
mesmas linhas de ação e sentidos opostos. 
5.1.5. Princípio da Transmissibilidade 
Estabelece que as condições de equilíbrio ou de movimento de um corpo rígido não se 
alteram se substituirmos uma força atuando num ponto do corpo por outra forçacom a 
mesma intensidade, direção e sentido, mas atuando em um outro ponto do corpo, desde 
que ambas as forças possuam a mesma linha de ação. 
 
5.1.6. Lei da Gravitação Universal 
Estabelece que dois pontos materiais de massas M e m são mutuamente atraídas com 
forças iguais e opostas F e -F de intensidade F dada por 
F = 
M .m
r2
 . G 
onde r é a distância que separa os corpos e G é a constante da gravitação universal. O 
Exemplo abaixo ilustra como funcionam alguns a aplicação dos princípios da mecânica 
newtoniana. 
Exemplo: Dado o pórtico abaixo identificar os princípios da mecânica de newton. 
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Se as forças T = 2 kN e a força P = 1,5 kN, qual será a resultante? No caso numérico 
acima o método gráfico ilustra claramente a direção da força resultante, entretanto para se 
achar a intensidade da mesma deve-se recorrer às equações clássicas da matemática 
vetorial: a lei dos senos e dos cossenos. 
5.1.7. Lei dos Cossenos 
Dados dois vetores como indicado na Figura abaixo, a lei dos cossenos retornará a 
resultante desses vetores: 
r = √a2 + b2 + 2 . a . b . cos θ 
 
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Para vetores com a posição ponta-cauda como mostrado na Figura abaixo, a lei dos 
cossenos se resume à Equação: 
r = √a2 + b2 − 2 . a . b . cos θ 
 
 
5.1.8. Lei dos Senos 
Uma segunda lei muito importante para o estudo da estabilidade das construções está 
na chamada lei dos senos. A lei dos senos leva em consideração o lado de um vetor fechado 
em forma de triângulo e seu respectivo ângulo oposto. 
 
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝛼
= 
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝛽
= 
𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝛿
 
Exemplo: Encontrar a resultante dos vetores mostrados na figura abaixo e o ângulo 
que a resultante faz com o eixo horizontal. 
r = √a2 + b2 + 2 . a . b . cos θ 
r = √22 + 1,52 + 2 .2 . 1,5 . cos 120 
r = 1,083 𝑘𝑁 
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a
sen α
= 
b
sen β
= 
c
sen δ
 
R
sen 60
= 
P
sen x
 
sen x = 
1,5
1,803 . sen 60
 
x = 46,10o ∴ ÂnguloH = 16,10
o 
Exemplo: Calcule o a tração nos cabos da figura abaixo: 
 
Aula 1 – Elementos Estruturais 
 
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∑ Fx = 0 e ∑ Fy = 0 
TAB . cos 30o - TAC . cos 50o = 0 
TAB . sen 30o + TAC sen 50o = 0 
0,866 . TAB – 0,643 . TAC = 0 
0,5 . TAB + 0,766 . TAC = 750 
TAB = 486,84 kN 
TAC = 657,89 kN 
 
 
 
 
 
 
 
Baseado e adaptado de 
Rodrigo Mero Sarmento da 
Silva. Edições sem prejuízo de 
conteúdo. 
Aula 2 – Estática I 
 
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Aula 2: Estática I 
 
A Estática é o capítulo da Mecânica que estuda corpos que não se movem, estáticos. A 
ausência de movimento é um caso especial de aceleração nula, ou seja, pelas Leis de Newton, 
uma situação em que todas as forças que atuam sobre um corpo se equilibram. Portanto, a 
soma vetorial de todas as forças que agem sobre o corpo deve ser nula. Esta aula resgatará 
alguns conceitos de Física Elementar, necessários para o desenvolvimento da disciplina de 
Estabilidade. 
 
1. A Estática 
A estática é a parte da física que estuda sistemas sob a ação de forças que se 
equilibram. De acordo com a segunda lei de Newton, a aceleração destes sistemas é nula. 
∑ F = 0 
De acordo com a primeira lei de Newton, todas as partes de um sistema em equilíbrio 
também estão em equilíbrio. Este fato permite determinar as forças internas de um corpo a 
partir do valor das forças externas. De uma forma simplificada, as estruturas são submetidas 
a diversos carregamentos combinados e para que se possa garantir que ela não se moverá, 
deve-se garantir que: 
• Primeiramente, que ela não translade, ou seja, o somatório de todas as forças 
tem que ser nulo; 
• Segundo, que ela não rotacione, ou seja, o somatório dos momentos 
aplicados a qualquer ponto da estrutura deverá ser nulo. Mais adiante 
descobriremos e falaremos mais sobre essas duas condições de equilíbrio 
estático. 
2. Estática de Pontos Materiais 
Em Mecânica, ponto material é uma abstração feita para representar qualquer objeto 
que em virtude do fenômeno tem dimensões desprezíveis, ou seja, dimensões tais que não 
afetam o estudo do fenômeno. Por exemplo, no estudo dos movimentos planetas, dada a 
Aula 2 – Estática I 
 
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distância que separa esses corpos suas dimensões são desprezíveis e eles podem ser 
considerados pontos materiais. 
Esta aula contempla o estudo do efeito de forças sobre pontos materiais. Um exemplo 
prático foi discutido e analisado na aula anterior sobre a ótica da ação de apenas duas 
forças. 
Em problemas de engenharia as ações sobre pontos materiais não são constituídas de 
duas únicas forças e sim de uma combinação de forças. É fato que os corpos rígidos 
influenciam no sistema, entretanto para início de estudo devemos tratar os pontos 
materiais. 
O que devemos trabalhar é a substituição de duas ou mais forças por uma única força 
representativa chamada de força resultante. Os princípios da lei dos senos e cossenos são 
válidos para mais de uma força, porém, demanda um trabalho razoável para sua utilização. 
Nesse sentido, busca-se a utilização da decomposição de forças como uma alternativa 
rápida e de fácil entendimento para determinação da resultante de forças. 
2.1. Resultantes das Forças Sobre Um Ponto Material 
O Vetor Resultante independe de qual sequência de vetores será tomada como base. 
Obedecendo ao sistema Ponta-a-cauda, o resultado sempre será o mesmo. 
 
Qualquer que seja a sequência tomada, a direção do vetor resultante não se altera, 
esse sistema é denominado regra do polígono. 
2.2. Componentes de uma Força 
Para sistemas de mais de dois vetores, a técnica de decomposição vetorial é 
importante para definição do vetor resultante. A decomposição parte do princípio que 
Aula 2 – Estática I 
 
UNIDADE 1 – ANÁLISE ESTRUTURAL 
 
 
 
 
 
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qualquer força pode ser decomposta em direções principais, em geral definidas pelo eixo 
cartesiano. Entretanto qualquer força pode ser decomposta em qualquer direção, para esse 
primeiro caso trabalharemos apenas com as direções principais. 
Uma força única pode ser substituída por duas ou mais forças que, juntas, geram o 
mesmo efeito sobre o corpo, essas forças são chamadas de componentes da força original, 
e o processo de substituição da original por ela é denominado decomposição dos 
componentes da força. Para cada força existe um número infinito de possíveis conjuntos de 
componentes. 
Exemplo: Problema vetorial com 3 vetores. 
 
Decompondo-se o vetor v na direção ortogonal tem-se: 
vx = v . cos 35o 
vy = v . sen 35o 
Decompondo-se o vetor w na direção ortogonal tem-se: 
wx = w . cos 45o 
wy = w . sen 45o 
Decompondo-se o vetor u na direção ortogonal tem-se: 
ux = u . cos 20o 
uy = u . sen 20o 
Procedendo o somatório das forças nas duas direções principais, tem-se: 
∑ Fx = vx – wx + ux 
∑ Fx = v · cos (35o) - w · cos (45o) + u · cos (20o) 
Aula 2 – Estática I 
 
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∑ Fx = 3,5 . 0,8192 – 4,0 . 0,7071+ 2,0 . 0,9397 
∑ Fx = 1,9180 
Na direção vertical temos: 
∑ Fy = vy + wy – uy 
∑ Fy = v · sen (35o) + w · sen (45o) - u · sen (20o) 
∑ Fy = 3,5 . 0,5736 + 4,0 . 0,7071 - 2,0 . 0,3420 
∑ Fy = 4,1520 
Aplicando o teorema de Pitágoras para os vetores ortogonais encontrados tem-se: 
R2 = Fx2 +Fy2 
R2 = 1, 91802 + 4, 15202 
R = 4,5736 kN 
2.3. Métodos de Análise de Forças 
Como vimos existem dois métodos básicos para análise da composição de forças, o 
primeiro é o método gráfico utilizando o processo vetor-ponta-cauda, onde pode-se 
encontrar a resultante de um sistema de várias forças. Procedimento semelhante pode ser 
observado com a aplicação da regra do paralelogramo, sendo um método com pouca 
precisão. 
O segundo método consiste na interpretação numérica das forças utilizando duas 
vertentes, a lei dos cossenos e senos ou decomposição de forças. 
3. Estática de Corpos Rígidos 
O corpo rígido é um corpo ideal, resultante da combinação de um número finitos de 
partículas ocupando posições fixas no espaço. Como dito no tópico anterior, a estática de 
pontos materiais considera o corpo como sendo apenas um ponto, desprezando sua massa 
e a relação de atuação da força no mesmo. 
Na estática de ponto material, todas as forças atuam em um mesmo ponto, fato que 
não acontece comumente na prática da engenharia. Em contrapartida, tem-se como válvula 
de escape o estudo da estática de corpos rígidos, onde se considera cada corpo como uma 
composição de pontos materiais. Sendo assim, deve-se a partir desse momento levar em 
consideração o tamanho, peso, a geometria, dentre outros fatores. 
Aula 2 – Estática I 
 
UNIDADE 1 – ANÁLISE ESTRUTURAL 
 
 
 
 
 
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Os corpos rígidos são tratados dentro da mecânica clássica como sendo corpos 
indeformáveis, entretanto sabemos que todos os corpos quando sujeitos a carregamentos 
deformam. Os problemas de deformação de corpos rígidos são estudados pela ciência 
denominada Resistência dos Materiais, e será alvo de estudo em outro momento. 
A estática de uma forma geral estuda a ação de força sobre os corpos, sendo que na 
estática de corpo rígido não se tem a restrição de um ponto de aplicação de força e sim a 
força pode atuar em qualquer ponto da geometria do corpo. Os efeitos das forças não 
pontuais em um corpo pode ser entendido a analisado por 3 parâmetros: 
• Sistema equivalente de força-binários; 
• Momento de uma força em relação a um ponto; 
• Forças externas e forças internas. 
Tomemos como exemplo o caminhão nas condições de carregamento abaixo: 
Exemplo: Aplicação das leis de Newton na estática de corpos rígidos. 
 
No problema acima tem um caminhão sendo rebocado por uma corda, sendo assim 
podemos destacar as forças atuantes no sistema como sendo: Destacando o peso próprio 
por “P”, as reações do solo nas rodas como sendo ”R1” e ”R2” e a força que reboca o 
caminhão por “F”. 
O Princípio da transmissibilidade pode ser usado livremente para o cálculo de forças 
externas e determinação da condição de equilíbrio ou movimento de um corpo rígido, 
entretanto deve ser evitado para o cálculo das forças internas (Figura). 
Aula 2 – Estática I 
 
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Quando se fala de forças externas não existem problemas quanto ao uso do princípio 
enunciado por Newton, entretanto, analisando a aplicação do princípio da 
transmissibilidade na Figura abaixo. 
 
No sistema descrito na Figura, em ambas as situações a resultante externa será 
sempre nula, ou seja, o deslocamento da força “P1” não influenciou no sistema de equações 
externas, entretanto para forças internas os dois sistemas estudados são completamente 
diferentes 
No primeiro o corpo está tracionado e no segundo o corpo está comprimido. O estudo 
de forças internas se dará em aulas futuras. 
4. Momento de uma Força em Relação a um Ponto 
Momento é a tendência que uma força, atuando sobre um corpo, tenha a 
possibilidade de girá-lo em tomo de um ponto fixo. O momento depende somente da 
intensidade da força e do seu braço de alavanca. 
No caso de ponto material, basta garantir que o corpo não translade, estará garantido 
que o corpo estará em equilíbrio. No caso de uma barra ou uma ponte (corpos extensos) 
teremos que garantir que o corpo não rotacione também. A grandeza física que relaciona 
força e rotação num ponto é chamada de momento ou torque. Obtém-se o momento de 
Aula 2 – Estática I 
 
UNIDADE 1 – ANÁLISE ESTRUTURAL 
 
 
 
 
 
21 
 
 
uma força em relação a um ponto multiplicando-se a intensidade da força pela distância do 
ponto à linha de ação da força (Figura). 
 
M = ± | F |. r 
 
Convenção de Momentos Fletores (será estudado futuramente) 
 
Aula 2 – Estática I 
 
ESTABILIDADE 
 
 
 
 
 
22 
 
 
Retomando o exemplo anterior: O momento das forças em relação ao ponto “a”: 
 
Mf = F . h 
Mp = P . L 
MR2 = R2 . x 
MR1 = R1 . 0 
Exemplo: De acordo com a figura e supondo que o corpo estejam em equilíbrio, sob a 
ação das forças ilustradas, qual será o valor das resultantes H1, R1 e R2 em relação ao ponto 
“a”? 
 
∑ Fx = 0 
-F + H1 = 0 
H1 = 5 kN 
∑ Fy = 0 
R1 + R2 – P = 0 
R1 + R2 = 10 kN 
∑ M = 0 
(F . 0,2) – (P . 2) + (R2 . 3) – (5 . 0,5) = 0 
R2 = 7,16 kN 
Como R1 + R2 = 10 kN 
R1 = 2,84 kN 
Aula 2 – Estática I 
 
UNIDADE 1 – ANÁLISE ESTRUTURAL 
 
 
 
 
 
23 
 
 
5. Momento de um Binário 
Um caso especial ocorre quando um corpo está sujeito a duas forças, F e – F, que têm 
o mesmo módulo, linhas de ação paralelas e sentidos opostos formando um binário ou 
conjugado. A soma das componentes das duas forças em qualquer direção é zero. 
Entretanto, a soma dos momentos das duas forças em relação a um dado ponto não é zero. 
Apesar das duas forças não transladarem o corpo no qual atuam, tendem a fazê-lo girar. A 
distância d mostrada na Figura chama-se braço binário. 
 
Exemplo: A força F, de módulo 20 N, e os pontos A, B e C estão todos no plano do 
papel. Os pontos representam as intersecções entre o plano do papel e três eixos 
perpendiculares a ele. 
 
Utilizando a convenção dos sinais dos momentos, calcule o momento escalar de F em 
relação a A, B e C. 
Em relação a A, a força F dá tendência de rotação no sentido horário. Sendo F = 20 N e 
b = 3 m, temos: 
M = - F . b = 20 . 3 ⇒ M = - 60 Nm 
Em relação a B, a força F dá tendência de rotação no sentido anti-horário. Sendo F = 20 
N e b = 2 m, temos: 
M = + F. b = – 20 . 2 ⇒ M = + 40 Nm 
Em relação a C, a força F não dá tendência de rotação, pois b = 0: 
M = F. b = 20 . 0 ⇒ M = 0 
Baseado e adaptado de 
Rodrigo Mero Sarmento da 
Silva. Edições sem prejuízo de 
conteúdo. 
Aula 3 – Estática II 
 
ESTABILIDADE 
 
 
 
 
 
24 
 
 
Aula 3: Estática II 
 
As cargas atuantes nas estruturas são definidas em dois tipos, concentrada, ou seja, aplicada 
em um único ponto, esse tipo de carga pode ser uma força ou uma rotação (carga momento) 
ou distribuída, composta por um número infinito de forças concentradas ou rotações. 
 
1. Carregamentos 
Suponha a viga mostrada na Figura, onde tem-se uma segunda viga apoiada na 
mesma. Abaixo encontra-se o modelo de cálculo dessa estrutura, onde substitui-se o peso 
da viga apoiada por uma carga concentrada no eixo de apoio da viga. Lembra-se que nesse 
modelo não se contabilizou o peso da viga principal biapoiada. 
 
Suponha agora aestrutura mostrada na figura seguinte, onde além de uma viga 
apoiada, a estrutura serve de suporte para uma parede. Nesse caso, uma carga apoiada não 
se adéqua para o modelo de cálculo do sistema, e sim uma série de cargas representativas. 
Sabemos manipular vetores, as operações básicas e decomposição vetorial, a pergunta 
é: como trabalharemos com um número infinito de vetores, como mostrado na Figura? É 
muito simples, iremos converter essas cargas distribuídas em um único vetor representativo 
aplicado no centro de gravidade do carregamento. 
Aula 3 – Estática II 
 
UNIDADE 1 – ANÁLISE ESTRUTURAL 
 
 
 
 
 
25 
 
 
 
Centro de Gravidade: é um ponto em torno do qual o peso do corpo está igualmente 
distribuído em todas as direções. O centro de gravidade de um corpo coincide com seu 
centro de massa quando a aceleração da gravidade tiver o mesmo valor em toda extensão 
do corpo. Isso significa que corpos com dimensão pequena comparada à Terra, como têm o 
mesmo valor de aceleração da gravidade para todas as diferentes partes do corpo, seu 
centro de gravidade coincide com seu centro de massa. 
Centro de Massa: um corpo extenso ou de um sistema de partículas é uma idealização 
utilizada em Física para reduzir o problema da ação de forças externas sobre este corpo ou 
sistema de partículas. A ideia é tentar reduzi-los a uma partícula de massa igual à massa 
total do corpo extenso ou do sistema de partículas, posicionada justamente no centro de 
massa. 
Abaixo encontram-se com os principais centros de gravidades. 
1.1. Retângulo 
Um retângulo é um paralelogramo cujos lados formam ângulos retos entre si e que, 
por isso, possui dois pares de lados de mesma medida. Para figura geométrica retângulo, o 
centro de gravidade onde o corpo se equilibrará estará nas coordenadas Xg e Yg: 
Xg = b/2; Yg = h/2 
Aula 3 – Estática II 
 
ESTABILIDADE 
 
 
 
 
 
26 
 
 
 
1.2. Quadrado 
Um quadrado é um quadrilátero (polígono de 4 lados) com tamanhos iguais. Para 
figura geométrica quadrado, o centro de gravidade onde o corpo se equilibrará estará nas 
coordenadas Xg e Yg : 
Xg = L/2; Yg = L/2 
 
1.3. Triângulo 
Um triângulo é a figura geométrica que ocupa o espaço interno limitado por três linhas 
retas que concorrem, duas a duas, em três pontos diferentes formando três lados e três 
ângulos internos que somam 180o. Para figura geométrica triângulo, o centro de gravidade 
onde o corpo se equilibrará estará nas coordenadas Xg e Yg: 
Xg = b/3; Yg = 2h/3 
Aula 3 – Estática II 
 
UNIDADE 1 – ANÁLISE ESTRUTURAL 
 
 
 
 
 
27 
 
 
 
Exemplo: Problema de Conversão de Carga Distribuída em Concentrada. 
 
Como o carregamento é um retângulo de base 5m e altura 15N /m, podemos calcular 
o centro de gravidade da figura. Nota-se que só se precisa calcular o eixo “X”. 
Xg = b/2 = 5/2 = 2,5 m 
Convertendo em força: 
F = 15 . 5 
F = 75 N/m 
 
Exemplo: Problema de Conversão de Carga Distribuída em Concentrada. 
No caso abaixo tem-se dois problemas distintos, onde pode-se dividir a figura em duas, 
sendo um retângulo e um triângulo, e a partir daí, começar a trabalhar: 
Aula 3 – Estática II 
 
ESTABILIDADE 
 
 
 
 
 
28 
 
 
 
1º Passo: Achar o centro de gravidade para o retângulo de base 9 m e altura 10 N/m: 
Xg = 
b
2
= 
9
2
= 4,5 m 
Convertendo em força: 
V2 = 10 . 9 = 90 N 
2ª Passo: Achar o centro de gravidade para o triângulo de base 9m e altura 15 N/m (25 
N/m – 10 N/m): 
Xg = 
b
3
= 
9
3
= 3 m 
Convertendo em força: 
V1 =
15 . 9
2
= 67,5 N 
Por fim tem-se os carregamentos distribuídos convertidos em cargas pontuais, como 
mostrado na figura: 
 
Aula 3 – Estática II 
 
UNIDADE 1 – ANÁLISE ESTRUTURAL 
 
 
 
 
 
29 
 
 
Sempre que houver figuras não conhecidas, as mesmas podem ser subdividi-las em 
figuras conhecidas como retângulos, triângulos e quadrados etc. 
Quando não é possível utilizar essa técnica, a mecânica disponibiliza outros métodos 
para encontrar o centro de gravidade de figuras complexas, o que não é o objetivo principal 
dessa aula. 
2. Tipos de Estruturas de Apoio 
As estruturas de engenharia podem ser classificadas em relação aos graus de liberdade 
em que ela está executada. Quanto mais rígida for a estrutura maior será o impedimento ao 
movimento. Em engenharia existem seis graus de liberdade, sendo três translações, nas 
direções X, Y e Z, e três rotações, nas direções RX, RY e RZ. A Figura mostra os tipos de 
estruturas segundo os graus de liberdade impedidos, são elas: 
 
2.1. Estruturas Hipostáticas 
Onde as equações da estática são superiores aos números de incógnitas do problema, 
ou seja, nas estruturas hipostática os apoios são em menor número que o necessário para 
restringir todos os movimentos possíveis da estrutura. As características desse tipo de 
estrutura é a instabilidade constante: balanço, gangorra, etc. 
Aula 3 – Estática II 
 
ESTABILIDADE 
 
 
 
 
 
30 
 
 
 
2.2. Estruturas Isostáticas 
As estruturas isostáticas, o número de equações é exatamente igual ao número de 
incógnitas, ou seja, bastam as equações fundamentais da estática para determinar as suas 
reações de apoio. Esse tipo de estrutura é bastante utilizado na engenharia, e será bastante 
utilizada na disciplina. 
 
2.3. Estruturas Hiperestáticas 
As estruturas hiperestáticas, o número de equações é menor que o número de 
incógnitas, nesse caso não se consegue resolver o problema apenas com as equações 
clássicas da estática, necessitando do uso de outras equações. 
 
 
Aula 3 – Estática II 
 
UNIDADE 1 – ANÁLISE ESTRUTURAL 
 
 
 
 
 
31 
 
 
3. Reações de Apoio 
As reações de apoio, são os graus de liberdade travados do sistema, como dito 
anteriormente uma estrutura isostática possui 3 reações de apoio, uma estrutura 
hiperestática mais de 3 e uma estrutura hipostática menos de 3. A Figura abaixo mostra a 
simbologia, o tipo e as reações a serem travadas. Em relação ao tipo, as reações podem ser 
classificadas como do primeiro, segundo e terceiro gêneros. 
 
Exemplo: Calcular as reações de apoio para a estrutura da figura abaixo. 
 
Como observado na figura o lado esquerdo possui um apoio do primeiro gênero 
enquanto o apoio esquerdo é um apoio do segundo gênero. 
 
 
Aula 3 – Estática II 
 
ESTABILIDADE 
 
 
 
 
 
32 
 
 
∑ Fx = 0 
Rxa = 0 
∑ Fy = 0 
Rya + Ryb – (15 . 5) = 0 
Rya + Ryb = 75 N 
∑ Ma = 0 
(- Ryb . 5) + (75 . 5/2) = 0 
Ryb = 37,5 N 
Rya + Ryb = 75 
Rya + 37,5 = 75 
Rya = 37,5 N 
Este exemplo será retomado nas próximas aulas caso o aluno ainda esteja com 
dúvidas. Nela, serão ensinados os passo-a-passo da resolução deste tipo de problema. 
 
 
 
 
 
 
Baseado e adaptado dem 
Mário Nalon de Queiroz. 
Edições sem prejuízo de 
conteúdo. 
Aula 4 – Estudo de Vigas Isostáticas 
 
UNIDADE 2 – ESTUDO DE VIGAS 
 
 
 
 
 
33 
 
 
Unidade 2 – Estudo de Vigas 
 
Aula 4: Estudo de Vigas Isostáticas 
 
Uma estrutura para estar em equilíbrio deve atender as equações de equilíbrio estático vistas 
anteriormente, este equilíbrio é garantido pelos aparelhos de apoios da estrutura, de maneira 
que as forças que equilibrarão o sistema provem dos mesmos, ouseja, as reações de apoio. O 
cálculo dessas reações é entendido de maneira mais fácil através desta aula, que fornecerá os 
principais modelos de carregamentos para a teoria até aqui estudada. 
 
1. Casos Particulares 
1.1. Caso 1: Uma Carga Concentrada Horizontal e Uma Carga Concentrada Vertical. 
 
Esquema Estrutural: 
 
1º Passo: Nomear os apoios, isso evita confundir a posição das reações que por 
ventura aparecerão. 
Aula 4 – Estudo de Vigas Isostáticas 
 
ESTABILIDADE 
 
 
 
 
 
34 
 
 
 
2º Passo: Identificar os apoios quanto aos seus graus de liberdade, atribuindo suas 
respectivas reações. 
 
Onde: 
VA = Reação vertical do apoio A (1º gênero); 
VB = Reação vertical do apoio B (2º gênero); 
HB = Reação horizontal do apoio B (2º gênero); 
3º Passo: Utilização da primeira equação de equilíbrio, somatório das forças na 
horizontal (eixo X). 
Neste momento, faremos a soma algébrica de todas as forças e reações que aparecem 
na horizontal, eixo X, adotando como positivas todas as forças e/ou reações que apontem 
na direção positiva de X, (→ +). 
∑ Fx = 0 
2 – HB = 0 
HB = 2 kN 
Desta forma, determinamos a reação horizontal no apoio B que garante que a viga não 
se deslocará na horizontal. 
4º Passo: Utilização da segunda equação de equilíbrio, somatório das forças na vertical 
(eixo Y). 
Aula 4 – Estudo de Vigas Isostáticas 
 
UNIDADE 2 – ESTUDO DE VIGAS 
 
 
 
 
 
35 
 
 
Neste momento, faremos a soma algébrica de todas as forças e reações que aparecem 
na vertical, eixo Y, adotando como positivas todas as forças e/ou reações que apontem na 
direção positiva de Y, (↑ +). 
∑ Fy = 0 
- 4 + VA + VB = 0 
VA + VB = 4 kN 
5º Passo: Utilização da terceira equação de equilíbrio, somatório dos momentos (eixo 
Z). 
Como pode ser observado, com apenas duas das equações não se pode determinar os 
valores de VA e VB, desta forma faz-se uso da terceira equação de equilíbrio. Escolhe-se um 
dos apoios como ponto de referência de momento e verificamos quais forças e reações que 
tendem a promover rotação neste apoio. Neste exemplo escolheremos o apoio B como 
referência. Para o momento adota-se como positivo a rotação no sentido horário e negativo 
no caso contrário. 
∑ MB = 0 
(VA . 8) – (4 . 6) = 0 
8VA – 24 = 0 
VA = 3 kN 
6º Passo: Com o conhecimento do valor da reação VA, voltamos ao 4º Passo e 
determinamos o valor de VB. 
VA + VB = 4 kN 
3 + VB = 4 
VB = 1 kN 
Se analisarmos a estrutura, observaremos que os resultados são compatíveis com a 
figura, uma vez que a força vertical, 4kN, está mais próxima do apoio A, sua reação deverá 
ser maior, pois está sendo mais solicitado que o apoio B. O resultado final é apresentado 
abaixo. 
 
Aula 4 – Estudo de Vigas Isostáticas 
 
ESTABILIDADE 
 
 
 
 
 
36 
 
 
1.2. Caso 2: Várias Cargas Concentradas na Direção Vertical 
 
 
 
Esquema Estrutural: 
 
1º Passo: Dar nome os apoios, isso evita confundir a posição das reações que por 
ventura aparecerão. 
 
2º Passo: Identificar os apoios quanto aos seus graus de liberdade, atribuindo suas 
respectivas reações. 
 
Onde: 
VA = Reação vertical do apoio A (1º gênero); 
VB = Reação vertical do apoio B (2º gênero); 
HB = Reação horizontal do apoio B (2º gênero); 
Aula 4 – Estudo de Vigas Isostáticas 
 
UNIDADE 2 – ESTUDO DE VIGAS 
 
 
 
 
 
37 
 
 
3º Passo: Utilização da primeira equação de equilíbrio, somatório das forças na 
horizontal (eixo X). 
Neste momento, faremos a soma algébrica de todas as forças e reações que aparecem 
na horizontal, eixo X, adotando como positivas todas as forças e/ou reações que apontem 
na direção positiva de X, (→ +). 
∑ Fx = 0 
HB = 0 kN 
Como pode ser visto na figura, não existe solicitação no eixo X, desta forma, sem 
solicitação não haverá reação do apoio do 2º gênero na direção correspondente. 
4º Passo: Utilização da segunda equação de equilíbrio, somatório das forças na vertical 
(eixo Y). 
Neste momento, faremos a soma algébrica de todas as forças e reações que aparecem 
na vertical, eixo Y, adotando como positivas todas as forças e/ou reações que apontem na 
direção positiva de Y, (↑ +). 
∑ Fy = 0 
- 4 – 4 - 4 + VA + VB = 0 
VA + VB = 12 kN 
5º Passo: Utilização da terceira equação de equilíbrio, somatório dos momentos (eixo 
Z). 
Como pode ser observado, com apenas duas das equações não se pode determinar os 
valores de VA e VB, desta forma faz-se uso da terceira equação de equilíbrio. Escolhe-se um 
dos apoios como ponto de referência de momento e verificamos quais forças e reações que 
tendem a promover rotação neste apoio. Neste exemplo escolheremos o apoio B como 
referência. Para o momento adota-se como positivo a rotação no sentido horário e negativo 
no caso contrário. 
∑ MB = 0 
(VA . 8) – (4 . 6) – (4 . 4) – (4 . 2) = 0 
8VA – 48 = 0 
VA = 6 kN 
Aula 4 – Estudo de Vigas Isostáticas 
 
ESTABILIDADE 
 
 
 
 
 
38 
 
 
6º Passo: Com o conhecimento do valor da reação VA, voltamos ao 4º Passo e 
determinamos o valor de VB. 
VA + VB = 12 kN 
6 + VB = 12 
VB = 6 kN 
 
1.3. Caso 3: Carga de Momento Aplicado com Carga Horizontal 
 
Esquema Estrutural: 
 
Repetindo-se os passos dos casos anteriores, teremos: 
 
∑ Fx = 0 
- HB + 3 = 0 
HB = 3 kN 
∑ Fy = 0 
VA + VB = 0 kN 
∑ MB = 0 
(VA . 6) + 4 = 0 
Aula 4 – Estudo de Vigas Isostáticas 
 
UNIDADE 2 – ESTUDO DE VIGAS 
 
 
 
 
 
39 
 
 
6VA = - 4 
VA = - 0,67 kN (↓) 
VA + VB = 0 kN 
- 0,67 + VB = 0 
VB = 0,67 kN (↑) 
 
1.4. Caso 4: Carga Uniformemente Distribuída 
 
Esquema Estrutural: 
 
1º Passo: Dar nome os apoios, isso evita confundir a posição das reações que por 
ventura aparecerão. 
 
2º Passo: Identificar os apoios quanto aos seus graus de liberdade, atribuindo suas 
respectivas reações. 
Aula 4 – Estudo de Vigas Isostáticas 
 
ESTABILIDADE 
 
 
 
 
 
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Onde: 
VA = Reação vertical do apoio A (1º gênero); 
VB = Reação vertical do apoio B (2º gênero); 
HB = Reação horizontal do apoio B (2º gênero); 
3º Passo: Utilização da primeira equação de equilíbrio, somatório das forças na 
horizontal (eixo X). 
Neste momento, faremos a soma algébrica de todas as forças e reações que aparecem 
na horizontal, eixo X, adotando como positivas todas as forças e/ou reações que apontem 
na direção positiva de X, (→ +). 
∑ Fx = 0 
HB = 0 kN 
Como pode ser visto na figura, não existe solicitação no eixo X, desta forma, sem 
solicitação não haverá reação do apoio do 2º gênero na direção correspondente. 
4º Passo: Cálculo da carga resultante do carregamento distribuído. 
Neste momento, reduz a carga distribuída a uma carga concentrada equivalente, 
chamada carga resultante e é determinada pelo cálculo da área do carregamento e será 
aplicada no centro de gravidade da figura formada pelo carregamento. Como segue: 
 
5º Passo: Utilização da segunda equação de equilíbrio, somatório das forças na vertical 
(eixo Y). 
Aula 4 – Estudo de Vigas Isostáticas 
 
UNIDADE 2 – ESTUDO DE VIGAS 
 
 
 
 
 
41 
 
 
Faz-se a soma algébrica da carga resultante e das reações que aparecem na vertical, 
eixo Y, adotando como positivas todas as forças e/ou reações que apontem na direção 
positiva de Y,(↑ +). 
∑ Fy = 0 
- 24 + VA + VB = 0 
VA + VB = 24 kN 
6º Passo: Utilização da terceira equação de equilíbrio, somatório dos momentos (eixo 
Z). 
Como pode ser observado, com apenas duas das equações não se pode determinar os 
valores de VA e VB, desta forma faz-se uso da terceira equação de equilíbrio. Escolhe-se um 
dos apoios como ponto de referência de momento e verificamos quais forças e reações 
tendem a promover rotação neste apoio. Neste exemplo escolheremos o apoio B como 
referência. Para o momento adota-se como positivo a rotação no sentido horário e negativo 
no caso contrário. 
Lembrando que momento é igual a força x distância, prosseguimos da seguinte forma: 
∑ MB = 0 
(VA . 6) – 24 . 3 = 0 
6VA = 72 
VA = 12 kN 
7º Passo: Com o conhecimento do valor da reação VA, voltamos ao 4º Passo e 
determinamos o valor de VB. 
VA + VB = 24 kN 
12 + VB = 24 
VB = 12 kN 
1.5. Caso 5: Apoio do Terceiro Gênero - Cargas Concentrada e Carga horizontal 
 
Aula 4 – Estudo de Vigas Isostáticas 
 
ESTABILIDADE 
 
 
 
 
 
42 
 
 
Esquema Estrutural: 
 
1º Passo: Identificar o apoio quanto aos seus graus de liberdade, atribuindo suas 
respectivas reações. Como só temos um apoio do terceiro gênero, ou seja, um engaste. 
Desta maneira, representamos suas três reações no mesmo ponto, como abaixo: 
 
Onde: 
VA = Reação vertical do apoio A; 
HA = Reação horizontal do apoio A; 
MA = Reação de momento do apoio A; 
2º Passo: Utilização da primeira equação de equilíbrio, somatório das forças na 
horizontal (eixo X). 
Neste momento, faremos a soma algébrica de todas as forças e reações que aparecem 
na horizontal, eixo X, adotando como positivas todas as forças e/ou reações que apontem 
na direção positiva de X, (→ +). 
∑ Fx = 0 
HA – 3 = 0 
HA = 3 kN 
3º Passo: Utilização da segunda equação de equilíbrio, somatório das forças no vertical 
(eixo Y). 
Aula 4 – Estudo de Vigas Isostáticas 
 
UNIDADE 2 – ESTUDO DE VIGAS 
 
 
 
 
 
43 
 
 
Neste momento, faremos a soma algébrica de todas as forças e reações que aparecem 
na vertical, eixo Y, adotando como positivas todas as forças e/ou reações que apontem na 
direção positiva de Y, (↑ +). 
∑ Fy = 0 
- 4 – 4 - 4 + VA = 0 
VA = 12 kN 
5º Passo: Utilização da terceira equação de equilíbrio, somatório dos momentos (eixo 
Z). 
Como pode ser observado, neste apoio temos a presença de uma reação de momento 
que entrará no somatório dos momentos, pois é a reação de equilíbrio que estamos 
procurando. Para o momento adota-se como positivo a rotação no sentido horário e 
negativo no caso contrário. 
∑ MA = 0 
- MA + (4 . 6) + (4 . 4) + (4 . 2) = 0 
MA = 24 + 16 + 8 
MA = 48 kN.m 
1.6. Caso 6: Apoio do Terceiro Gênero - Carga Uniformemente Distribuída e Carga 
Horizontal 
 
Esquema Estrutural: 
 
1º Passo: Identificar o apoio quanto aos seus graus de liberdade, atribuindo suas 
respectivas reações. Como só temos um apoio do terceiro gênero, ou seja, um engaste. 
Desta maneira, representamos suas três reações no mesmo ponto, como abaixo: 
Aula 4 – Estudo de Vigas Isostáticas 
 
ESTABILIDADE 
 
 
 
 
 
44 
 
 
 
Onde: 
VA = Reação vertical do apoio A; 
HA = Reação horizontal do apoio A; 
MA = Reação de momento do apoio A; 
2º Passo: Utilização da primeira equação de equilíbrio, somatório das forças na 
horizontal (eixo X). 
Neste momento, faremos a soma algébrica de todas as forças e reações que aparecem 
na horizontal, eixo X, adotando como positivas todas as forças e/ou reações que apontem 
na direção positiva de X, (→ +). 
∑ Fx = 0 
HA – 3 = 0 
HA = 3 kN 
3º Passo: Cálculo da carga resultante do carregamento distribuído. 
Neste momento, reduz-se a carga distribuída a uma carga concentrada equivalente, 
chamada carga resultante e é determinada pelo cálculo da área do carregamento e será 
aplicada no centro de gravidade da figura formada pelo carregamento. Como segue: 
 
4º Passo: Utilização da segunda equação de equilíbrio, somatório das forças no vertical 
(eixo Y). 
Aula 4 – Estudo de Vigas Isostáticas 
 
UNIDADE 2 – ESTUDO DE VIGAS 
 
 
 
 
 
45 
 
 
Neste momento, faremos a soma algébrica de todas as forças e reações que aparecem 
na vertical, eixo Y, adotando como positivas todas as forças e/ou reações que apontem na 
direção positiva de Y, (↑ +). 
∑ Fy = 0 
- 12 + VA = 0 
VA = 12 kN 
5º Passo: Utilização da terceira equação de equilíbrio, somatório dos momentos (eixo 
Z). 
Como pode ser observado, neste apoio temos a presença de uma reação de momento 
que entrará no somatório dos momentos, pois é a reação de equilíbrio que estamos 
procurando. Para o momento adota-se como positivo a rotação no sentido horário e 
negativo no caso contrário. 
∑ MA = 0 
- MA + (12 . 1,5) = 0 
MA = 18 kN.m 
1.7. Caso 7: Apoio do Terceiro Gênero - Carga de Momento Aplicado e Carga 
Horizontal 
 
Esquema Estrutural: 
 
1º Passo: Identificar o apoio quanto aos seus graus de liberdade, atribuindo suas 
respectivas reações. Como só temos um apoio do terceiro gênero, ou seja, um engaste. 
Desta maneira, representamos suas três reações no mesmo ponto, como abaixo: 
Aula 4 – Estudo de Vigas Isostáticas 
 
ESTABILIDADE 
 
 
 
 
 
46 
 
 
 
Onde: 
VA = Reação vertical do apoio A; 
HA = Reação horizontal do apoio A; 
MA = Reação de momento do apoio A; 
2º Passo: Utilização da primeira equação de equilíbrio, somatório das forças na 
horizontal (eixo X). 
Neste momento, faremos a soma algébrica de todas as forças e reações que aparecem 
na horizontal, eixo X, adotando como positivas todas as forças e/ou reações que apontem 
na direção positiva de X, (→ +). 
∑ Fx = 0 
HA – 3 = 0 
HA = 3 kN 
3º Passo: Utilização da segunda equação de equilíbrio, somatório das forças na vertical 
(eixo Y). 
Faz-se a soma algébrica da carga resultante e das reações que aparecem na vertical, 
eixo Y, adotando como positivas todas as forças e/ou reações que apontem na direção 
positiva de Y, (↑ +). 
∑ Fy = 0 
VA = 0 kN 
4º Passo: Utilização da terceira equação de equilíbrio, somatório dos momentos (eixo 
Z). Como pode ser observado, neste apoio temos a presença de uma reação de momento 
que entrará no somatório dos momentos, pois é a reação de equilíbrio que estamos 
procurando. Para o momento adota-se como positivo a rotação no sentido horário e 
negativo no caso contrário. 
∑ MA = 0 
Aula 4 – Estudo de Vigas Isostáticas 
 
UNIDADE 2 – ESTUDO DE VIGAS 
 
 
 
 
 
47 
 
 
- MA + 4 = 0 
MA = 4 kN.m 
Como apresentado, para toda determinação das reações de apoio, sempre serão 
utilizadas as equações de equilíbrio estático. O procedimento adotado segue esse padrão, o 
entendimento desta etapa da análise estrutural é de fundamental importância para o 
desenvolvimento dos diagramas de esforços internos, assunto que será abordado com 
maior detalhe no futuro. 
Baseado e adaptado de 
Márcio Varela. Edições sem 
prejuízo de conteúdo. 
Aula 5 – Esforços Internos 
 
ESTABILIDADE 
 
 
 
 
 
48 
 
 
Aula 5: Esforços Internos 
 
Foi visto, nas aulas anteriores, como um sistema de forças encontra seu equilíbrio, através das 
reações de apoio, quando solicitado por carregamentos que as provocam. Agora serão 
conhecidos os efeitos que essas cargas e reações imprimem emcada seção da estrutura 
solicitada. 
 
1. Introdução 
Dado um corpo rígido sujeito a carregamentos combinados, as forças externas são 
convertidas em ações a exemplos de: compressão, tração, cisalhamento, flexão dentre 
outras. 
 
Ao tentar romper uma estrutura, existem forças contrárias, já descritas pela 3ª lei de 
Newton. Para estrutura estar em equilíbrio as forças internas também deverão 
obrigatoriamente estar em equilíbrio. Os esforços internos encontrados nas estruturas, são 
caracterizados por ligações internas de tensões, ao longo de uma seção transversal. 
 
Aula 5 – Esforços Internos 
 
UNIDADE 2 – ESTUDO DE VIGAS 
 
 
 
 
 
49 
 
 
Em uma seção qualquer, para se manter o equilíbrio, as forças atuantes no lado 
esquerdo devem ser iguais às forças atuantes no lado direito: 
 
Uma seção S de uma estrutura em equilíbrio está submetida a um par de forças F e – F 
e um par de momentos M e – M aplicados no seu centro de gravidade, resultantes dos 
esforços atuantes à direita e à esquerda da seção. 
 
Decompondo a força resultante e o momento em duas componentes, uma 
perpendicular e a outra paralela à seção, teremos: 
 
Assim, têm-se os seguintes esforços solicitantes: 
• N = força normal (força perpendicular à seção S); 
• Q = esforço cortante (força pertencente à seção S); 
• T = momento torçor (momento perpendicular à seção S); 
• M = momento fletor (momento pertencente à seção S). 
 
Aula 5 – Esforços Internos 
 
ESTABILIDADE 
 
 
 
 
 
50 
 
 
1.1. Esforço Normal (N) 
É a soma algébrica de todas as componentes, na direção normal à seção, de todas as 
forças atuantes de um dos lados da seção. Por convenção, o esforço normal é positivo 
quando determina tração e negativo quando determina compressão. 
 
1.2. Esforço Cortante (Q) 
É a soma vetorial das componentes sobre o plano da seção das forças situadas de um 
mesmo lado da seção. Por convenção, as projeções que se orientarem no sentido dos eixos 
serão positivas e nos sentidos opostos, negativas. 
 
1.3. Momento Fletor (M) 
É a soma vetorial das componentes dos momentos atuantes sobre a seção, situados de 
um mesmo lado da seção em relação ao seu centro de gravidade. 
 
Aula 5 – Esforços Internos 
 
UNIDADE 2 – ESTUDO DE VIGAS 
 
 
 
 
 
51 
 
 
No caso de momento fletor, o sinal positivo ou negativo é irrelevante, importante é 
determinar o seu módulo e verificar onde ocorre compressão e tração. 
 
O momento torçor não será estudado neste curso. 
2. Método das Seções 
Imagine-se uma estrutura qualquer com forças aplicadas; considerando que as partes 
do corpo têm de estar em equilíbrio quando o corpo o está, e fazendo-se um corte 
imaginário perpendicular ao eixo da viga, qualquer parte da viga poderá ser considerada 
como um corpo livre. Cada um dos segmentos da viga está em equilíbrio, cujas condições 
exigem a existência de um sistema de forças na seção de corte da viga. Em geral, na seção 
de uma viga, são necessários uma força vertical, uma horizontal e um momento para 
manter a parte da viga em equilíbrio. 
A representação gráfica dos esforços internos em qualquer ponto da viga, 
representados em função de uma distância x a partir de uma das extremidades da mesma, 
se dá através dos chamados diagramas de estado ou diagramas de esforços internos. Por 
meio desses diagramas é possível a determinação dos valores máximos absolutos do 
esforço cortante, do momento fletor e do esforço normal. 
 
Aula 5 – Esforços Internos 
 
ESTABILIDADE 
 
 
 
 
 
52 
 
 
 
O Cálculo dos Esforços Solicitantes (Solicitações Internas) é o cerne do curso de 
Estabilidade, pois através de um bom entendimento do conceito de esforços solicitantes é 
que se pode garantir subsídios para o estudo da Introdução à Resistência dos Materiais, que 
terá conceitos envolvidos em 2 aulas nesta disciplina. 
2.1. Definições 
Inicialmente, imagina-se que uma barra rígida AB qualquer está sendo seccionada. 
Neste exemplo a barra possui 6m e a secção ocorre a 2m de A, entretanto, a secção poderia 
ser feita em qualquer ponto da barra. O corte será chamado de α. 
 
As intensidades das reações nos apoios já são conhecidas e indicam que o corpo está 
em equilíbrio. Porém, ao se efetuar um corte qualquer, para que as partes isoladas pelo 
corte permaneçam em equilíbrio, devem aparecer alguns esforços internos, que são 
desconhecidos. 
 
Aula 5 – Esforços Internos 
 
UNIDADE 2 – ESTUDO DE VIGAS 
 
 
 
 
 
53 
 
 
Pode-se dizer, portanto, que no centro de gravidade desta seção devem aparecer 
esforços internos resultantes de força e de momento, que mantém o corpo isolado em 
equilíbrio. Analogamente ao cálculo das reações nos vínculos, onde são somadas forças em 
x e y, e também são calculados momentos, os esforços internos devem ocorrer em x e y, e 
gerar um momento. 
As resultantes nas seções de corte de ambos os lados devem ser tais que reproduzam 
a situação original quando as duas partes forem ligadas novamente, ou seja, pelo princípio 
da ação e reação, devem ser de mesmo módulo, mesma direção e sentidos opostos. 
 
2.1.1. Definição do Esforço Normal 
Como visto em tópico anterior, Esforço Normal é a força atuante no sentido da peça, a 
qual pode ser calculada a partir da tensão normal na seção. O efeito do Esforço Normal será 
de provocar alongamentos ou encurtamentos na peça, mantendo suas seções transversais 
planas e paralelas. É indicado pela letra “N”. 
O exemplo abaixo ilustra a grosso modo como o Esforço Normal atua em uma barra 
qualquer. As linhas pontilhadas representam as dimensões da barra antes do esforço: 
 
Aula 5 – Esforços Internos 
 
ESTABILIDADE 
 
 
 
 
 
54 
 
 
Em posse da ideia de Esforço Normal, pode-se agora, analisar a ação do mesmo em um 
exemplo de aplicação. Imagina-se, então, uma viga de comprimento L engastada e sendo 
solicitada por uma força de intensidade F: 
 
Reação no vínculo: 
∑ Fx = 0 → F – RHA = 0 → RHA = F 
Fazendo um corte α qualquer na barra a x unidades de comprimento, tem-se: 
 
Somando forças em x, obtém-se o valor do esforço interno, neste caso, o Esforço 
Normal: 
∑ Fx = 0 → N - F = 0 → N = F 
2.1.2. Definição de Esforço Cortante 
Esforço Cortante, como visto, é a força perpendicular à peça, calculada a partir da 
tensão cisalhante na mesma. O efeito do Esforço Cortante é o de provocar o deslizamento 
linear, no sentido do esforço, de uma seção sobre a outra infinitamente próxima, 
acarretando o corte ou cisalhamento da mesma. É indicado pela letra “Q”. 
O exemplo abaixo ilustra a grosso modo como o Esforço Cortante atua em uma barra 
qualquer. (Q = esforço cortante; ∆x e ∆y = deformações da barra devido à ação do esforço 
cortante). 
 
Aula 5 – Esforços Internos 
 
UNIDADE 2 – ESTUDO DE VIGAS 
 
 
 
 
 
55 
 
 
 
Em posse da ideia de Esforço Cortante, pode-se agora, analisar a ação do mesmo em 
um exemplo de aplicação. Imagina-se, então, uma viga de comprimento L engastada e 
sendo solicitada por uma força de intensidade P: 
 
Reação no vínculo: 
∑ Fy = 0 → RVA – P = 0 → RVA = P 
Fazendo um corte α qualquer na barra a x unidades de comprimento, tem-se: 
 
Aula 5 – Esforços Internos 
 
ESTABILIDADE 
 
 
 
 
 
56 
 
 
Somando forças em y, obtém-se o valor doesforço interno, neste caso, o Esforço 
Cortante: 
∑ Fy = 0 → - Q + P = 0 → Q = P 
2.1.3. Definição de Momento Fletor 
O Momento Fletor é definido como a soma vetorial dos momentos provocados pelas 
forças externas de um dos lados da seção tomada como referência, em relação a um eixo 
nela contido, no caso, o eixo z. O Momento Fletor tende a flexionar a peça, como resultado 
de tensões normais de sinais contrários na mesma seção, ou seja, tende fazer a seção girar 
sobre um eixo localizado no seu próprio plano, comprimindo uma parte e distendendo a 
outra. É indicado pela letra “M”. 
O exemplo abaixo ilustra de forma grosseira como o Momento Fletor atua em uma 
barra qualquer. As linhas pontilhadas representam as dimensões da barra antes do esforço: 
 
A deformação máxima ou parecela Δy da imagem é a chamada Flecha Máxima, e será 
importante nas aulas futuras de dimensionamento de estruturas.Em posse da ideia de 
Momento Fletor, pode-se agora, analisar a ação do mesmo em um exemplo de aplicação. 
Imagina-se, então, uma viga de comprimento L engastada e sendo solicitada por um 
momento de intensidade MF: 
Aula 5 – Esforços Internos 
 
UNIDADE 2 – ESTUDO DE VIGAS 
 
 
 
 
 
57 
 
 
 
Reação no vínculo: 
∑ M = 0 → MA – MF = 0 → MA = MF 
Fazendo um corte α qualquer na barra a x unidades de comprimento, tem-se: 
 
Somando momentos em relação ao corte α, obtém-se o valor do esforço interno, neste 
caso, o Momento Fletor: 
∑ Mα = 0 → - M + MF = 0 → M = MF 
2.2. Convenções de sinais para “N”, “Q” e “M” 
A convenção dos sinais é um conceito de extrema importância para o estudo dos 
esforços solicitantes, pois é a partir da referência destes dados que se inicia todo o processo 
de cálculo. Deve-se ter muita atenção quanto a estas convenções. Para facilitar os cálculos, 
recomenda-se adotar as seguintes convenções: 
• Esforço Normal: É positivo quando de tração (distendendo a barra) ou 
negativo quando de compressão (comprimindo a barra). Lembrar de Treliças. 
• Esforço Cortante: É positivo quando as projeções se orientam nos sentidos 
dos eixos (sentido horário), ou negativo, caso contrário. 
• Momento Fletor: É positivo se tracionar as fibras inferiores da barra ou 
negativo, caso contrário. 
Baseado e adaptado de M árcio 
Varela, André Christoforo, Cássio 
Simioni, Rodrigo M ero Sarmento 
da Silva. Edições sem prejuízo de 
conteúdo. 
Aula 6 – Cálculos e Diagramas 
 
ESTABILIDADE 
 
 
 
 
 
58 
 
 
Aula 6: Cálculos e Diagramas 
 
Sabe-se da aula anterior que os esforços internos existem e que na maioria das vezes, variam 
de acordo com a distância onde se calcula. Diante deste fato, toma-se como exemplos para 
cálculo de diagramas as vigas e tipos de carregamentos a seguir. 
 
1. Cálculo das Solicitações Internas 
Para se efetuar o Cálculo das Solicitações Internas, torna-se conveniente, como visto, 
utilizar o Método das Seções, este, por sua vez, consiste em: 
1º Passo: Cortar a peça na seção desejada e isolar um dos lados do corte (qualquer 
um), com todos os esforços externos atuando. Dependendo do tipo de carregamento, uma 
barra pode necessitar de mais de um corte para se efetuarem os cálculos. Em suma, um 
novo corte deve ser feito para cada mudança abrupta de carregamento. Eis alguns 
exemplos: 
 
Aula 6 – Cálculos e Diagramas 
 
UNIDADE 2 – ESTUDO DE VIGAS 
 
 
 
 
 
59 
 
 
Por hora, será analisada uma viga biapoiada com carregamento uniformemente 
distribuído: 
 
Primeiramente, transforma-se o carregamento distribuído numa força pontual e 
calculam-se as reações nos vínculos: 
 
Cálculo das reações vinculares: 
∑ Fx = 0 → RHA = 0 
∑ Fy = 0 → RVA + RVB – qL = 0 → RVA + RVB = qL 
∑ MA = 0 → (qL . L/2) – (RVB . L) = 0 → RVB = qL/2 
Como RVA + RVB = qL e RVB = qL/2 então: 
RVA + qL/2 = qL → RVA = qL/2 
Logo: 
 
Aula 6 – Cálculos e Diagramas 
 
ESTABILIDADE 
 
 
 
 
 
60 
 
 
Em posse dos valores das reações nos vínculos, o próximo passo é escolher um ponto 
qualquer da viga para se fazer um corte α. 
Este modelo de carregamento admite apenas um corte para o cálculo das solicitações 
internas. Portanto, escolhe-se um ponto qualquer a x unidades de comprimento do ponto A 
ou do ponto B: 
 
Independente do sentido escolhido para a análise (AB ou BA), deve-se sempre prestar 
muita atenção na convenção de sinais. 
2º Passo: Na seção cortada devem ser desenvolvidas solicitações que mantém o 
sistema isolado em equilíbrio (N, Q, M). Estas solicitações são os valores que devem ser 
determinados. (Não esquecer a convenção de sinais) 
Após escolhido o ponto para o corte, torna-se conveniente transformar o 
carregamento q em uma força pontual. Como o corte foi feito a “x” unidades da periferia da 
barra, então, a carga pontual agora não será mais qL, mas sim, qx (lembrar que a área da 
figura referente ao carregamento, neste caso um quadrado, é igual ao carregamento, ou 
seja, A = b . h = q . x ). 
 
Se a análise for feita de A para B, a convenção será: 
Caso a análise seja feita de B para A, a convenção será: 
Aula 6 – Cálculos e Diagramas 
 
UNIDADE 2 – ESTUDO DE VIGAS 
 
 
 
 
 
61 
 
 
3º Passo: Aplicando as equações de equilíbrio em relação à seção cortada, 
determinam-se os valores procurados. Vale observar que as solicitações a serem 
determinadas são 3 e são dispostas, também, 3 equações de equilíbrio, pode-se então 
formar um sistema de 3 equações com 3 incógnitas, ou seja, sistema Isostático, ou ainda, 
Sistema Possível Determinado (SPD). 
De A para B (“pela esquerda”): 
 
Somando forças em x e y, e momentos: 
∑ Fx = 0 → N = 0 
∑ Fy = 0 → qL/2 – qx – Q(x) = 0 → Q(x) = - qx + qL/2 
Note, aluno, que o cortante Q está em função de x, ou seja, seu valor altera conforme 
o ponto de atuação do carregamento. Se fosse uma demonstração numérica, poderia ser 
calculado em qualquer ponto da viga, ou seja, para qualquer valor de “x” (isto será útil para 
a construção do gráfico). Seguindo: 
∑ Mα = 0 → (qL/2 . x) – (qx . x/2) – M(x) = 0 → M(x) = - qx²/2 + qLx/2 
Idem ao cortante, temos o Momento em função de “x”. 
Mais adiante se verá, na construção do gráfico, que para este modelo de 
carregamento e vínculo temos para o Cortante Q, uma equação de 1º grau do tipo f(x) = ax 
+ b (uma reta), e, para o Momento M, uma equação de 2º grau do tipo f(x) = ax² + bx + c 
(uma parábola). 
Fazendo-se o mesmo, mas agora de B para A (“pela direita”): 
Aula 6 – Cálculos e Diagramas 
 
ESTABILIDADE 
 
 
 
 
 
62 
 
 
 
Somando forças em x e y, e momentos: 
∑ Fx = 0 → N = 0 
∑ Fy = 0 → qL/2 – qx + Q(x) = 0 → Q(x) = qx - qL/2 
∑ Mα = 0 → - (qL/2 . x) + (qx . x/2) + M(x) = 0 → M(x) = - qx²/2 + qLx/2 
Observa-se neste caso que a cortante possui sinais diferentes dependendo do sentido 
escolhido para o corte, porém, isso não vai interferir em nada, pois ao seguir a convenção 
de sinais corretamente, os gráficos encontrados a partir das funções Normal, Cortante e 
Momento, para qualquer sentido do corte serão os mesmos. 
Os gráficos dessas funções de Momento, Cortante e Normal são chamados de 
Diagramas dos Esforços Solicitantes. 
2. Diagramas dos Esforços Solicitantes 
Os Diagramas dos Esforços Solicitantes são gráficos traçados a partir das funções de 
Esforço Normal, Esforço Cortante e Momento Fletor, funções estas, encontradas no cálculo 
das solicitações internas. Os diagramas têm como objetivomostrar como os esforços 
solicitantes se comportam durante toda a barra, ou seja, quantificar seus valores para 
qualquer trecho de toda seção, bem como, indicar pontos de esforços máximos e mínimos, 
ou até mesmo, nulos. 
Os casos de esforço solicitante com valor constante independem de x, ou seja, para 
qualquer seção da barra o esforço será o mesmo. Matematicamente falando, seria o mesmo 
que dizer que f(x) = cte. 
Os exemplos abaixo ilustram uma viga de comprimento L cujo esforço, no primeiro 
caso é positivo e no segundo caso é negativo. O esforço possui intensidade F: 
Aula 6 – Cálculos e Diagramas 
 
UNIDADE 2 – ESTUDO DE VIGAS 
 
 
 
 
 
63 
 
 
 
Quando o resultado das equações fornece uma função do primeiro grau, são 
necessários, pelo menos dois valores de x para definir a reta. Matematicamente falando, 
atribui-se um valor inicial e um valor final para x, ou seja, f(x) = ax + b. 
Os exemplos abaixo ilustram uma viga de comprimento L cujo esforço, no primeiro 
caso é positivo e no segundo caso é negativo. O esforço máximo possui intensidade F: 
 
Obs.: Nos dois casos da imagem acima, em determinados pontos da viga, os esforços 
são nulos. No 1° Caso isso ocorre no ponto A e no 2° Caso isso ocorre no ponto B. 
Já para uma função do segundo grau, são necessários, pelo menos três valores de x 
para definir a parábola. Lembrar: f(x) = ax² + bx + c. 
O exemplo abaixo ilustra uma viga de comprimento L, cujo esforço é negativo. O 
esforço máximo possui intensidade F. Nota-se que neste caso os pontos A e B possuem 
esforço igual à zero: 
 
Aula 6 – Cálculos e Diagramas 
 
ESTABILIDADE 
 
 
 
 
 
64 
 
 
Em casos onde as funções sejam de grau três ou mais, a atribuição de valores para x 
torna-se um pouco mais trabalhosa, porém, segue-se a mesma metodologia que os 
exemplos anteriores para a construção dos diagramas. 
Os sentidos dos esforços solicitantes podem ser orientados arbitrariamente, porém, é 
conveniente adotar sentidos positivos, pois, assim, os sinais obtidos nas equações dos 
esforços solicitantes serão os mesmos para os diagramas. 
Exemplo Numérico: Para a situação de carregamento abaixo, trace os diagramas: 
 
• DEN: Diagrama de Esforço Normal; 
• DEC: Diagrama de Esforço Cortante; 
• DMF: Diagrama de Momento Fletor. 
Resolução: 
1º Passo: as reações deste exemplo é análogo ao resolvido na Aula 3. Porém, será 
repetido todo o processo para facilitar a compreensão do aluno. Primeiramente, precisamos 
calcular as reações nos vínculos, e, para isso, iremos encontrar a carga pontual equivalente 
ao carregamento distribuído que é a área do retângulo: 
qeq = b . h → qeq = 5 m . 15 N/m → qeq = 75 N 
O Diagrama de Corpo Livre fica assim: 
 
2º Passo: serão calculadas as reações nos vínculos: 
Aula 6 – Cálculos e Diagramas 
 
UNIDADE 2 – ESTUDO DE VIGAS 
 
 
 
 
 
65 
 
 
∑ Fx = 0 → Rxa = 0 
∑ Fy = 0 → Rya + Ryb – (15 . 5) = 0 → Rya + Ryb = 75 N 
∑ Ma = 0 → (- Ryb . 5) + (75 . 5/2) = 0 → Ryb = 37,5 N 
Rya + Ryb = 75 → Rya + 37,5 = 75 → Rya = 37,5 N 
 
3º Passo: Calcular a Normal, o Cortante. Para isso, seccionaremos a viga em um ponto 
“S” no ponto médio entre “A” e o carregamento pontual. O seccionamento nos dará novos 
valores para encontrarmos mais equações para a resolução do problema. 
 
Temos como resultado de equilíbrio na direção x: 
 
∑ Fx = 0 (+→) 
Rxa + N = 0 
N = - Rxa 
N = 0 
Analogamente, na direção y, temos 3 atuações: Rya, Q e a carga resultante do “novo” 
carregamento distribuído em função de q (que sabemos o valor) que é a área do “novo” 
retângulo A = q . x. Como também já conhecemos Rya, tem-se: 
Aula 6 – Cálculos e Diagramas 
 
ESTABILIDADE 
 
 
 
 
 
66 
 
 
 
∑ Fy = 0 (+↑) 
Rya – qx – Q = 0 
37,5 – 15x – Q = 0 
Q(x) = -15x + 37,5 (Primeira Equação) 
4º Passo: Calcular o Momento Fletor 
 
As cargas envolvidas na seção são as apresentadas acima. O cortante Q será 
desprezado por estar no ponto “S” e não gerar Momento. Calculando os Momentos 
considerando rotação positiva o sentido horário tem-se: 
∑ MS = 0 
(Rya . x) – (qx . x/2) – M = 0 
(37,5 . x) – (15x . x/2) – M = 0 
37,5x – 15x²/2 – M = 0 
M(x) = -7,5x² + 37,5x (Segunda Equação) 
5º Passo: De posse das equações que representam os esforços internos na estrutura 
podemos desenhar os respectivos diagramas. Para construção dos diagramas toma-se cinco 
Aula 6 – Cálculos e Diagramas 
 
UNIDADE 2 – ESTUDO DE VIGAS 
 
 
 
 
 
67 
 
 
pontos distintos na estrutura, verificando os esforços nas respectivas funções acima 
encontradas. 
Diagrama de Esforço Normal 
 Para o esforço normal na viga temos N(x) = 0, sendo assim para qualquer valor de x 
tomado na função normal o resultado será nulo. Abaixo tem-se o diagrama de esforço 
normal. 
 
Diagrama de Esforço Cortante 
Para o esforço cortante temos 5 pontos de interesse, sendo eles o ponto A (L = 0), L/4, 
L/2, 3L/4 e o ponto B (L), sendo eles, numericamente na viga de 5 m, x = 0; x = 1,25; x = 2,5; 
x = 3,75 e x = 5,0. 
A equação é Q(x) = -15x + 37,5. Portanto: 
Q(0) = (-15 . 0) + 37,5 → 37,5 
Q(1,25) = (-15 . 1,25) + 37,5 → 18,7 
Q(2,5) = (-15 . 2,5) + 37,5 → 0 
Q(3,75) = (-15 . 3,75) + 37,5 → -18,7 
Q(5,0) = (-15 . 5) + 37,5 → -37,5 
 
Diagrama de Momento Fletor 
Nos mesmo 5 pontos, para a equação do Momento M(x) = -7,5x² + 37,5x; tem-se: 
Aula 6 – Cálculos e Diagramas 
 
ESTABILIDADE 
 
 
 
 
 
68 
 
 
M(0) = (-7,5 . 0²) + (37,5 . 0) → 0 
M(1,25) = (-7,5 . 1,25²) + (37,5 . 1,25) → 32,5 
M(2,5) = (-7,5 . 2,5²) + (37,5 . 2,5) → 46,9 
M(3,75) = (-7,5 . 3,75²) + (37,5 . 3,75) → 32,5 
M(5,0) = (-7,25 . 5,0²) + (37,5 . 5) →0 
 
E o exercício está finalizado. 
Algumas regras devem ser respeitadas quando se deseja calcular os esforços internos 
de uma estrutura. Aqui em especial o exemplo nos trouxe uma estrutura contínua com 
apenas um carregamento distribuído, desta feita precisou-se fazer apenas um corte na 
estrutura para analisa-la, porém existem casos em são necessários mais de um corte para 
poder solucionar o problema, para as exceções destaca-se: 
• Carga Concentradas; 
• Carga Momento; 
• Mudança de geometria da seção transversal. 
Ademais, os pontos de interesse a serem indicados no gráfico são aqueles que 
implicam na distribuição das cargas nas vigas. Neste caso, o interessante seriam apenas os 
valores do ponto A e B e o ponto da aplicação da carga equivalente. A próxima aula será 
dedicada aos demais modelos de gráficos que as equações matemáticas são conhecidas a 
nível de ensino técnico. 
 
 
 
Aula 7 – Cálculos e Diagramas II 
 
UNIDADE 3 – APROFUNDAMENTO 
 
 
 
 
 
69 
 
 
Aula 7: Cálculos e Diagramas II 
 
Nesta aula serão apresentados os modelos de gráficos para os tipos de carregamento mais 
comuns e corriqueiros, que em algum momento foram apresentados na disciplina, bem como 
a resolução de mais exercícios para que o aluno se habitue e se familiarize com os cálculos e 
saiba interpretar as diversas situações quais pode se deparar. 
 
1. Gráficos Variados 
Aproveitando os cálculos das reações dos vínculos da aula 4, teremos os seguintes 
modelos de gráficos. 
1.1. Uma Carga Concentrada Vertical e Uma Horizontal 
 
Este é o Caso 1 da Aula 4. 
Os Gráficos são deste modelo: 
 
Aula 7 – Cálculos e Diagramas II 
 
ESTABILIDADE