PC_2011-1_AP3-GABARITO

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AP 03 – 2011 – 1 Pré-Cálculo 
 
CEDERJ 
Gabarito da Avaliação Presencial 3 
Pré-Cálculo 
_____________________________________________________________________________________ 
1ª. Questão [3,5 pontos]: 
a) [1,5] Esboce os gráficos das funções m e m , descritas abaixo. Essas funções envolvem translações 
horizontais e/ou verticais de funções elementares. Justifique a construção deles, esboçando o gráfico 
dessas funções elementares e dizendo quais são as transformações ocorridas. 
4)( 2 −= xxm 2)( −= xxn . 
b) [0,8] Agora, considere a função: 




≥−
<≤−−
=
2,2
21,4
)(
2
xsex
xsex
xf 
Essa função envolve o conceito de função partida, isto é, função definida por mais de uma sentença. 
Esboce o gráfico da função f , para isso, use os gráficos do item anterior. 
A partir do gráfico da função f , dê a imagem dessa função. 
c) [1,2] Calcule, se possível: i) ))1(()1()( ffff =o ii) ))4(( ff . Justifique! 
Solução: 
a) 4)( 2 −= xxm . 
Para esboçar o gráfico da função m , esboçamos o gráfico da parábola canônica, 2xy = , de vértice na 
origem e concavidade voltada para cima e transladamos esse gráfico verticalmente para baixo, 4 
unidades. Buscando os pontos de interseção do gráfico da função m com o eixo xO : 
22404 22 =−=⇔=⇔=− xouxxx . Assim os pontos de interseção desse gráfico com o 
eixo xO são: )0,2()0,2( e− . 
Também podemos pensar que o gráfico da função m é uma parábola de concavidade voltada para cima, 
interseção com o eixo xO nos pontos )0,2()0,2( e− , como calculado acima, e vértice no ponto 
)4,0( − . O vértice pode ser encontrado, quando escrevemos a equação canônica dessa parábola: 
22 44 xyxy =+⇔−= 
 
 
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 → unidades 4
baixo para
Vertical
Translação
 
 
 
 
 
 
 
2xy = 4)( 2 −= xxm 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2)( −= xxn 
Para esboçar o gráfico da função n , esboçamos o gráfico da função elementar xy = e transladamos 
esse gráfico 2 unidades, horizontalmente para direita. 
 
 
  → unidades 2
direita para
Horizontal
Translação
 
 
 
 
 
 
 xy = 
 2−= xy 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) Para esboçar o gráfico da função f , precisamos: 
• esboçar o gráfico da parábola 4)( 2 −= xxm , descrito acima e considerar desse gráfico a parte que 
contém os pontos cujas abscissas x , são tais que 21 <≤− x . 
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21,42 <≤−−= xxy 
 
 
 
 
 
 
• esboçar o gráfico da função 2)( −= xxn , 
descrito acima. Esse gráfico contém os pontos cujas 
abscissas x , são tais que 2≥x . 
 
 
 
• finalmente plotar num único par de 
eixos coordenados esses dois gráficos: 
 
O gráfico de 




≥−
<≤−−
=
2,2
21,4
)(
2
xsex
xsex
xf é: 
 
[ )∞+−= ,4)(Im f 
 
 
 
 
 
 
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i) )3()41())1(()1()( 2 −=−== ffffff o , pois 211 <≤− e neste caso a lei de formação é 
4)( 2 −= xxf . 
Como )(3 fDom∉− , não podemos calcular )3(−f . Portanto não podemos calcular )1()( ff o . 
ii) ( ) ( )224))4(()4()( ffffff =−==o , pois 24 < e neste caso a lei de formação é 
2)( −= xxf . 
Portanto ( ) ( ) 242422)4()( 2 −=−=−== fff o , pois 221 <≤− e neste caso a lei 
de formação é 4)( 2 −= xxf 
____________________________________________________________________________________ 
2ª. Questão [ 2,5 pontos]: 
a) [1,9] Considere a expressão 
5
1
56
1
)(
2 −
+
+−
=
xxx
xE . Fazendo operações como fatoração, 
redução ao mesmo denominador, simplificação, escreva )( xE na forma 
)(
)(
xq
xp
, onde )( xp e )( xq 
são polinômios e não têm fatores em comum. 
Analise o sinal de 
)(
)(
)(
xq
xp
xE = . Ou seja, dê os valores de x para os quais a expressão é nula, os 
intervalos para os quais a expressão é positiva e os intervalos para os quais a expressão é negativa. 
b) [0,6] Dê a expressão da função )(
)(
xq
xp
ey = 
Usando o item a), determine para que valores reais de x essa função pode ser calculada. 
Solução: 
a) 
)1()5()1()5(
11
5
1
)1()5(
1
5
1
56
1
)(
2 −−
=
−−
−+
=
−
+
−−
=
−
+
+−
=
xx
x
xx
x
xxxxxx
xE
 
Analisando o sinal de 
)1()5(
)(
−−
=
xx
x
xE : 
 
 0<x 0=x 10 << x 1=x 51 << x 5=x 5>x 
x −−−− 0 ++++ + ++++ ++ ++++ 
)1()5( −− xx ++++ ++++ ++++ 0 −−−− 0 ++++ 
)1()5( −− xx
x
 −−−− 0 ++++ dn −−−− dn ++++ 
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Daí concluímos que: 
 
00
)1()5(
=⇔=
−−
x
xx
x
 
5100
)1()5(
><<⇔>
−−
xoux
xx
x
, ou seja, ),5()1,0( ∞+∪∈x . 
5100
)1()5(
<<<⇔<
−−
xoux
xx
x
, ou seja, )5,1()0,( ∪∞−∈x . 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) )1()5()(
)(
−−== xx
x
xq
xp
eey . 
Para que a raiz quadrada possa ser calculada é preciso que 0
)1()5(
≥
−− xx
x
, donde pelo calculado 
acima, ),5()1,0[ ∞+∪∈x . 
É preciso também que o denominador )1()5( −− xx não se anule, ou seja, é preciso que 5≠x e 1≠x . 
Portanto, essa função pode ser calculada para ),5()1,0[ ∞+∪∈x . 
_________________________________________________________________________________ 
3ª. Questão [ 4,0 pontos]: 
Considere a função )( xhy = , cujo gráfico está ao 
lado 
Como podemos ver do gráfico, a função 
)( xhy = tem como lei de formação uma lei 
partida, como na 1ª. questão. Só que nesse caso 
estão envolvidas 4 sentenças. Observe os pontos 
),( yx do gráfico e: 
a) [2,8] Dê uma lei de formação da função 
)( xhy = . 
b) [1,2] Os números irracionais 
2
1
7,
2
17
−
+
∈ ( )7,1 , ou seja, são 
números maiores que 1 e menores que 7. 
Usando propriedades dos números reais, mostre que as seguintes desigualdades são verdadeiras: 
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 2
2
17
<
+
 e 
2
1
72 −< 
Atenção: Não use valor aproximado para o número irracional 7 nas suas justificativas. 
Agora que você já sabe representar os números irracionais 
2
1
7,
2
17
−
+
 na reta real, dê os 
seguintes valores da função )( xhy = : 
)
2
1
7(,)
2
17
(,)2(),1( −
+
hhhh . Justifique as suas respostas. 
 
Solução: 
a) Precisamos encontrar a equação da reta s que contém os pontos )4,0( − e )2,1( − : 
2
1
42
01
)4(2
=
+−
=
−
−−−
=sm . Logo a equação da reta s é: )0(2)4( −=−− xy , donde, 
xy 24 =+ e portanto, 42 −= xy . 
Encontrando a equação da reta t que contém os pontos )2,2( − e )3,7( : 
1
5
5
27
)2(3
==
−
−−
=tm . Logo a equação da reta t é: )7(13 −⋅=− xy , donde, 
73 −=− xy e portanto, 4−= xy . 
A reta que contém os pontos )2,1( − e )2,2( − é horizontal e sua equação é: 2−=y . 
Para 7≥x , a função )( xhy = é uma função constante e como 3)7( =h , então 
7,3)( ≥= xsexh . 
 
Concluímos então que , 







≥
<≤−
<≤−
<≤−
==
7,3
72,4
21,2
10,42
)(
xse
xsex
xse
xsex
xhy 
Também podendo ser, por exemplo: 







≥
<<−
≤≤−
<≤−
==
7,3
72,4
21,2
10,42
)(
xse
xsex
xse
xsex
xhy ou 







>
≤<−
≤≤−
<≤−
==
7,3
72,4
21,2
10,42
)(
xse
xsex
xse
xsex
xhy ou 
 
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






≥
<<−
≤<−
≤≤−
==
7,3
72,4
21,2
10,42
)(
xse
xsex
xse
xsex
xhy 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) Sabemos que: 7
2
17
1 <
+
< e 7
2
1
71 <−< . 
Vamos, agora, mostrar que 2
2
17
<
+
 é verdadeira. 
De fato, 
37)1(417)2(2
2
17
<−⇔<+⇔<
+
somandoporndomultiplica 
( ) 9737)( 22 <⇔<⇔ quadradoaoelevando . Como essa última desigualdade é verdadeira, 
então a primeiradesigualdade também é verdadeira. 
E vamos mostrar que 
2
1
72 −< também é verdadeira. 
De fato, 
725)1(1724)2(
2
1
72 <⇔−<⇔−< somandoporndomultiplica 
( ) 28257425725)( 222 <⇔⋅<⇔<⇔ quadradoaoelevando . Como essa última 
desigualdade é verdadeira, então a primeira desigualdade também é verdadeira. 
 
Agora, pela lei de formação da função 







≥
<≤−
<≤−
<≤−
=
7,3
72,4
21,2
10,42
)(
xse
xsex
xse
xsex
xh , temos: 
2)1( −=h 
2)
2
17
( −=
+
h 
242)2( −=−=h 
2
9
74
2
1
7)
2
1
7( −=−−=−h 
____________________________________________________________________________________