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APREMUNI AMBO-2020
APTITUD MATEMÁTICA
CAPÍTULO I
RAZONAMIENTO LÓGICO I
SITUACIONES LÓGICAS
MÁXIMO Y MÍNIMO
Estos problemas, debemos de calcular un máximo o un
mínimo valor dentro del conjunto de posibilidades de
ocurrencia de un evento o suceso.
PRÁCTICA N°. 01 – I
1. Se tiene un envase lleno de con 8L de leche, del cual se
requiere separar un litro; como el vaso no tiene marcas,
emplearemos 2 jarras de 3 L y 5 L de capacidad,
respectivamente. ¿Cuántos trasvases se tendrá que realizar
como mínimo si las barras tampoco tienen marcas?
A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6
2. A un vendedor de leche, le hacen un pedido de 4 L de su
producto, pero el solo cuenta con dos recipientes vacíos no
graduados con capacidad de 5 L y 3 L, y un depósito lleno
de 20 L. ¿Cuántos trasvases deberán realizar, como
mínimo, para cumplir con el pedido?
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 E. 9
3. Un comerciante posee dos recipientes: uno de 5 L y otro de
13 L, cada uno lleno con leche. Un cliente desea comprar 16
L de leche y para ello ha traído un recipiente de 17 L, pero
ninguno de los tres recipientes tiene marca alguna.
¿Cuántos trasvases, como mínimo, deben realizarse para
cumplir con el pedido y el cliente se lo lleve en su
recipiente?
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 E. 4
4. Si el peso que puede llevar una canoa no excede de los 100
kg. ¿Cuántos viajes deben hacerse, como mínimo, para que
esta canoa logre llevar, de una orilla a otra del rio, a 2
mujeres que pesan 50 kg cada una y a un hombre que pesa
70 kg?
A. 4 B. 6 C. 7 D. 5 E. 2
5. Sonia desea transportar un lobo, una cabra y un atado de
alfalfa al otro extremo del de un rio. Para ello dispone de un
bote donde solo cabe Sonia y un animal o Sonia y el atado
de alfalfa. ¿Cuántos viajes, como mínimo, tendrá que
realizar Sonia para lograr cruzar el rio sin que el lobo se
coma a la cabra ni que la cabra se coma el atado de alfalfa?
A. 5 B. 3 C. 7 D. 11 E. 9
6. En una expedición por Iquitos, se encontraron 3 adultos que
en un momento debieron detenerse ya que debían cruzar un
rio profundo infestado de pirañas. Para suerte de ellos, dos
niños nativos se encontraron cerca pescando desde una
vieja canoa, ellos aceptaron trasladarlos pero advirtieron que
la canoa solo podía resistir el peso de solo un adulto o de
los niños ya que de no cumplir con ello, el bote se hundiría.
Si todos saben remar cuantos viajes, como mínimo, serían
necesarios desde el momento que todos están a un lado del
rio hasta que todos puedan cruzarlo?
A. 7 B. 9 C. 11 D. 13 E. 15
7. ¿Cuántas monedas de S/. 5 adicionales se podrán colocar
tangencialmente y alrededor, como máximo, de las monedas
del arreglo mostrado si estas son inamovibles?
A. 21 B. 15 C. 16
D. 19 E. 20
8. ¿Cuantas monedas iguales se pueden ubicar, como
máximo, alrededor de las monedas del siguiente grafico?
A. 11 B. 12 C. 13
D. 14 E. 15
9. ¿Cuantas monedas del mismo tamaño a las ya ubicadas se
podrán ubicar, como máximo alrededor de las monedas
mostradas en el grafico?
A. 12 B. 16 C. 17
D. 18 E. 19
10. En el grafico se muestra 3 dados comunes. ¿Cuánto suman
los puntos no visibles en el grafico?
A. 36 B. 37 C. 38
D. 39 E. 40
11. Se observa una foto con 3 dados comunes ubicados sobre
una mesa, según el grafico. ¿Cuál es la suma de todos los
puntos ubicados en las caras no visibles?
A. 47 B. 39 C. 36
D. 42 E. 43
12. Indique el número de puntos en la cara superior que
muestra el dado común al final del camino mostrado (casilla
sombreada)
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
E. 5
13. Calcule el máximo valor de la siguiente expresión:
A. 2 B. 3 C. 1/3 D. 1/2 E. 1/5
14. Calcule el máximo valor de la expresión
A. 5 B. 6 C. 4 D. 3 E. 7
15. El costo de fabricación de un par de zapatos entre S/. 24,00
y S/. 32,00 y el precio de venta, entre S/. 40,00 y S/. 52,00.
Determina la mínima ganancia que se puede obtener en 30
pares de zapatos.
A. S/ 250, 00 B. S/ 240,00 C. S/ 200,00
D. S/ 360, 00 E. S/ 320,00
16. La edad promedia de 4 personas es 30 años. Si nadie es
menor de 22 años. ¿Cuál sería la máxima edad que puede
tener uno de ellos?
A. 50 B. 52 C. 54 D. 55 E. 56
17. Determine el número de cerillas que deben quitar para
formar tres cuadrados iguales en la siguiente figura:
A. 10 cerillas B. 6 cerillas
C. 8 cerillas D. 4 cerillas
E. 5 cerillas
18. Con 24 cerillas de 1 cm de longitud cada uno, se ha formado
un triángulo, como se muestra en la figura. ¿Cuántos cerillos
se debe cambiar de posición, como mínimo, para obtener
una figura cerrada, de tal manera que el área de la región
encerrada por esta figura sea 14 cm2?
A. 4 B. 8 C. 6
D. 7 E. 12
19. En la figura, ¿cuántos palillos tendrán que cambiar de
posición como mínimo para que la igualdad sea correcta?
A. 3 B. 2 C. 4
D. 1 E. 5
20. ¿Cuántas cerillas se deben mover como mínimo para que la
siguiente operación sea correcta?
A. 1 B. 2 C. 3
D. 4 E. 5
21. La aula del auxiliar del CEPREVAL tiene un saco con 60 kg
de arroz, una balanza de 2 platillos. Una pesa de 7 kg, otra
pesa de 10 kg. Si necesita pesar 28,5 kg de arroz. ¿Cuántas
pesadas como mínimo necesita para conseguir lo que
desea?
A. 3 B. 4 C. 2 D. 1 E. 5
22. La balanza mostrada solo puede pesar 3, 6, 9 o 12 kg,
exactamente y no tiene otra escala de medición alguna. Si
tiene una pesa de 4 kg y suficiente cantidad de azúcar.
¿Cuántas veces como mínimo se tendrá que utilizar la
balanza para obtener exactamente 19 kg de azúcar?
A. 6 B. 5 C. 3 D. 4 E. 2
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23. Se tiene nueve bolas (o balines) de acero del mismo tamaño
y color. Una de las nueve bolas es ligeramente más pesada;
todas las demás lo mismo. Empleando una balanza de dos
platillos, ¿Cuál es el mínimo número de pesadas necesarias
para determinar la bola (o bolín) de peso diferente?
A. 1 B. 4 C. 3 D. 2 E. 5
24. ¿Cuántos árboles, como mínimo, se podrán plantar en filas
de 6 filas, si cada fila debe tener 3 árboles?
A. 8 B. 9 C. 7 D. 6 E. 10
25. ¿Cuantas estacas se necesitan para cercar un terreno de
forma rectangular de 48m de largo y 18 m de ancho, si las
estacas se colocan cada 6 metros?
A. 23 B. 21 C. 22 D. 20 E. 25
26. Halle el número de cortes de una soga de 60 metros de
largo para obtener 5 metros de lago.
A. 15 B. 10 C. 12 D. 8 E. 11
27. ¿Cuántas ruedas giran en sentido anti horario?
A. 2 B. 4 C. 3
D. 5 E. 6
28. Si A gira en sentido antihorario, ¿en qué sentido giran B y C,
respectivamente?
A. Horario - antihorario
B. Horario - Horario
C. Antihorario – Horario
D. Antihorario - antihorario
E. No se mueven
29. En la figura, si la polea A se mueve en sentido antihorario,
¿Cuántas poleas se mueven en sentido horario?
A. 3 B. 6
C. 4 D. 5
E. 7
30. Se desea colocar una placa en la puerta de la oficina
administrativa del CEPREVAL como muestra la gráfica, para
ello se entrega al carpintero una tabla de madera pintada
con algunas letras. ¿Cuántos cortes debe realizar como
mínimo para poder armar la placa?
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
E. 6
31. La figura adjunta es simétrica con respecto al punto
central y está construida de alambre con 11 puntos
de soldadura. Sin doblar el alambre en ningún
momento. ¿Cuántos cortes rectos como mínimo son
necesarios para obtener los 14 trozos unidos por los
puntos soldados?
A. 3 B. 5 C. 4
D. 6 E. 2
32. En la siguiente operación, ¿Cuántas fichas numeradas como
mínimo deben cambiar de posición para obtener el mayor
valor entero posible?
A. 3 B. 2 C. 4
D. 5 E. 1
33. Se tiene una malla metálica de 100 metros para cercar un
jardín rectangular. Hallar el área máxima del jardín en m2.
A. 625 B. 500 C. 250 D. 125 E. 25
ORDEN DE INFORMACIÓN
En este tema los datos o información proporcionada esta de
manera directa o indirecta, de modo que primero se trata de
ordenar
adecuadamente la información precisa o la más
relacionada, en lo posible por medio de diagramas.
PRÁCTICA N°. 01 – II
1. Cinco familias viven en edificio de cinco pisos, cada una
en un piso. Se sabe que los Rodríguez viven arriba de
los Cáceres, los Estrada viven en un piso adyacente a
los Dávila y a los Rodríguez, y los de Jara viven dos
pisos debajo de donde viven Dávila. ¿Qué familias viven
en el segundo piso y cuarto piso, respectivamente?
A. Cáceres, Rodríguez B. Jara, Dávila
C. Dávila, Estrada D. Cáceres, Estrada
E. Estrada, Rodríguez
2. En una carrera participaron 5 amigos: Carmen, Julio,
Mario, Ernesto y Luisa. En cuanto al orden de llegada se
sabe lo siguiente:
- No hubo empates.
- Ni las trampas que hizo ayudaron a ganar a Luisa.
- Ernesto y Mario llegaron uno detrás del otro en orden
alfabético.
- Carmen aventajo a Julio por 3 puntos.
¿Quién llego en 3er lugar?
A. Julio B. Ernesto C. Mario D. Carmen E. Luis
3. Cinco alumnos del CEPREVAL rinden de Aptitud
Matemática. Si se sabe que:
- Betty obtuvo dos puntos más que Doris.
- Doris obtuvo dos puntos más que Corina
- Elva obtuvo tres puntos menos que Doris
- Betty obtuvo tres puntos menos que Anita
¿Quién obtuvo el menor puntaje?
A. Corina B. Betty C. Doris D. Elva E. Anita
4. Un profesor del CEPREVAL ordeno sus cinco tintas de
plumones en fila, pero su travieso hijo cambia todas las
etiquetas, como se muestra el grafico, de manera que
ninguna corresponde a su contenido.
Se da las siguientes pistas:
- La tinta T esta junto a la botella con la etiqueta R.
- La tinta V está a dos lugares de la botella T.
- La tinta W no está junto a la tinta R ni a la tinta V.
¿Qué tintas se encuentran en los extremos?
A. V y G B. V y R C. V y T
D. R y T E. G y R
5. Antonia, Cirio, Emanuel, Lucas y Juan están sentados
en una fila de 5 butacas con numeración consecutiva y
diferente del 1 al 5 Pacheco, un hombre que siempre
dice la verdad, se para frente a ellos y dice:
- No es cierto que Juan este sentado al costado de
Emanuel.
- Lucas está sentado en la butaca con el número 3.
- No es cierto que Juan este sentado al costado de
Lucas.
- Antonia está sentado en el extremo derecho.
Si la numeración de las butacas es de izquierda a
derecha, ¿Quiénes están sentados en las butacas con
numeración 2 y 5, respectivamente?
A. Ciro y Antonia B. Juan y Antonia
C. Ciro y Juan D. Emanuel y Antonia
E. Emanuel y Juan
6. Seis profesores de la UNHEVAL se sientan
simétricamente alrededor de una mesa circular para
saber cuánto se deben entre ellos.
- Julia, quien debe 125 soles, está sentado junto a Elvis,
quien debe 126 soles, y frente a Norca, quien debe 130
soles.
- Karen debe 128 soles y está sentado frente a Ramón,
quien debe 124 soles.
- Sonia debe 132 soles y está a dos lugares de Julia.
- Karen esta junto y a la derecha de Elvis.
¿Cuál es la diferencia positiva de las deudas, en soles
de las vecinas que se encuentran juntas a Julia?
A. 6 B. 3 C. 7 D. 2 E. 4
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7. Seis amigas del área I del CEPREVAL se sientan
simétricamente alrededor de una mesa circular. Se sabe
Daniela no está sentado al lado de Antonela ni de
Fanny, Carmen no está sentado al lado de Erika ni de
Fanny y Antonela no está al lado de Erika ni de Carmen.
Si Beatriz esta junto y a la derecha de Antonela. ¿Quién
está sentado junto y a la derecha de Daniela y quien
está junto a la derecha de Beatriz, respectivamente?
A. Antonela y Erika B. Beatriz y Antonela
C. Carmen y Antonela D. Carmen y Beatriz
E. Erika y Carmen
8. Se sientan ocho estudiantes de diferentes facultades del
UNHEVAL se sientan alrededor de una mesa circular,
con 8 sillas distribuidos simétricamente. Si se sabe que
el estudiante de Ingeniería está al frente del estudiante
de Educación, y junto a los estudiantes de Economía y
Medicina, el estudiante de Matemática está a la
izquierda del que estudia Educación y frente al de
Economía. Frente al de Medicina está el estudiante de
Derecho, este a su vez a la izquierda del estudiante de
Arquitectura, ¿Qué estudia el alumno que está entre los
estudiantes de Biología y Educación?
A. Ingeniería B. Medicina C. Biología
D. Matemática E. Arquitectura
9. Los profesores del CEPREVAL: Espinoza, Jauni, Raúl y
Andrei son docentes que dictan cada uno un curso
diferente. Los cuales son Algebra, Geometría, Aptitud
Matemática y Trigonometría, aunque no necesariamente
en ese orden. Si se sabe que:
- Raúl es amigo del profesor Aptitud Matemática.
- El profesor de Geometría no conoce a Jauni ni al
profesor de Trigonometría.
- Andrei y el profesor de Trigonometría son amigos en
común del profesor de Aptitud matemática.
- El único amigo de Espinoza es Andrei.
¿Quién dicta el curso de Aptitud Matemática y quien
dicta Geometría, respectivamente?
A. Jauni - Espinoza B. Raúl - Jauni
C. Andrei – Espinoza D. Espinoza – Andrei
E. Raúl - Espinoza
10. En una reunión, de la promoción de la I.E. “Santa Rosa”
de Sirabamba se encuentra después de 10 años:
Dennis, María, Mariza y Patricia, cada una profesión
diferente: Enfermero, periodista, abogada y médica, no
necesariamente en ese orden. La periodista, que es
prima de Dennis, es la menor y siempre va al teatro con
María. Respecto de sus edades, se sabe que Mariza es
la mayor de todos, la médica es mayor que la abogada y
menor que la enfermera, y Dennis es mayor que María.
¿Quiénes son la médica y la enfermera,
respectivamente?
A. Patricia - Dennis B. Maria - Mariza
C. Patricia – Mariza D. Dennis - Mariza
E. Dennis - Patricia
11. En Cetpro Kotosh de Huánuco los egresados del 2018;
Nieto, Orlando, Sergio y Leonardo asistieron en una
reunión y trabajan en diferentes oficios: carpintería,
gasfitero, pintor y soldador, no necesario en ese orden;
visten polos de color negro, verde, crema y rojo, no
necesariamente en ese orden, uno de cada uno.
Además, se sabe que:
- El carpintero desayuno esta mañana en la casa de su
primo Orlando.
- Sergio y el pintor adeudan a las personas que tienen
polos de color verde y crema.
- Nieto y el soldador no simpatizan con la persona que
tiene polo crema.
- El gasfitero tiene polo negro.
¿Quién es el gasfitero y de qué color es el polo del
carpintero?
A. Sergio - negro B. Leonardo – rojo C. Nieto - verde
D. Leonardo – rojo E. Sergio - Crema
VERDADES Y MENTIRAS
Resolver este tipo de problemas implica obtener
conclusiones a partir de un conjunto de proposiciones cuyo
valor de verdad de cada una se desconoce; sin embargo,
debido a que están relacionadas entre sí con condiciones
particulares dadas se puede determinar cuál es verdadera y
cuál es falsa.
Resolución por contradicción
Se agrupan las proposiciones contradictorias en forma
parcial o total, de este modo se asegura la existencia de
proposiciones falsas. Luego, en base a las condiciones y
ciertas relaciones se obtiene el valor de verdad de las
proposiciones.
Necesariamente, uno de ellos está mintiendo el otro está
diciendo la verdad
OBSERVACIÓN
Dos proposiciones son contradictorias cuando se oponen
de modo que si la primera es falsa, la segunda es
verdadera y si la primera es verdadera, la segunda es falsa
Resolución por suposición
A falta de proposiciones que sean contradictorias se asigna
convenientemente un valor de verdad a una proposición y se
examina el valor de verdad de las demás. Luego, cuando se
cumplan todas las condiciones dadas habremos obtenido la
solución.
A partir de ello podemos determinar si Carlos miente o dice
la verdad
PRÁCTICA N°. 01 – III
1. Cuatro sospechosos de haber atropellado con su auto a un
peatón, hicieron las siguientes afirmaciones cuando fueron
interrogadas por la policía:
- María: Fue Lucia.
- Lucia: Fue Leticia.
- Irene: Yo no fui.
- Leticia: Lucia miente.
Si solo una de ellas miente, ¿Quién atropello al peatón?
A. Lucia B. Leticia C. Irene
D. Yamileth E. María
2. Un sultán propuso el siguiente problema a un reo. He aquí
tres cofres: “uno rojo, otro azul y otro blanco”. Cada uno
tiene una inscripción una inscripción:
Rojo: La llave de esta celda está aquí.
Azul: La llave no está aquí.
Blanco: La llave no está en el cofre rojo.
De las tres inscripciones, una es cierta. Si eres capaz de
adivinar en cual esta llave te dejara libre. ¿Qué cofre debió
elegir el reo
A. Rojo B. Cafecito C. Amarillo
D. Azul E. Blanco
3. Cuatro amigas de 15, 17, 18 y 20 años de edad tiene la
siguiente conversión:
- Marco: Yo tengo 15 años.
- Lucio: Yo tengo 18 años.
- Carlos: Marco tiene 17 años.
- Víctor: Yo tengo 17 años.
Si solo uno de ellos miente y los otros dicen la verdad.
¿Cuánto suman las edades en años de Marco y Víctor?
A. 33 B. 38 C. 32 D. 34 E. 37
Carlos dice
que ….
Voy a suponer que
dices la verdad
Fuiste tú
el que …
Yo no fui
Contradicción
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4. Alejandra vive en un edificio donde los inquilinos tienen las
características: los que viven en el primer piso siempre dicen
la verdad en cambio los que viven en el segundo piso
siempre mienten. Alejandra llega a su departamento y
comenta: Uno de sus amigos que viven en el edificio me ha
dicho que vive en el segundo piso. ¿En que piso vive
Alejandra?
A. Primer piso B. segundo piso
C. No vive en el edificio D. No se puede determinar
E. primer y segundo piso
5. Tres alumnas, Lidia, Fiorella y Mónica, responden a un
examen de 3 preguntas con verdaderas (V) o falso (F) de la
siguiente manera:
Lidia Fiorella Mónica
1° F V V
2° F F V
3° V F F
Se sabe que una de ellas respondió todas las preguntas
correctamente, otro fallo en todas y el otro solo fallo en una
en una. ¿Quién respondió correctamente todas las
preguntas?
A. Lidia B. Fiorella C. Mónica
D. ninguna E. Todas
6. Tres amigos, Jorge, Pedro y Raúl, se encuentran y
comentan sobre los colores de sus carros. (Solo hay 3
colores: azul, rojo y verde, y no hay dos carros con el mismo
color)
- Jorge dice: Mi carro no es rojo ni azul.
- Raúl dice: Me hubiese gustado que mi carro sea rojo.
¿De qué color es el carro de Pedro?
A. Rojo
B. Azul
C. Verde
D. Amarillo
E. Anaranjado
7. En el minuto 90 de un partido de fútbol se ha cobrado un
penal, pero el entrenador del equipo afectado no vio quién lo
cometió. Se sospecha de uno de los defensores
Aníbal, Ernesto, José y Ramón, quienes al ser preguntados,
declaran lo siguiente:
Aníbal: "Ernesto tocó la pelota con la mano".
Ernesto: “José cometió la infracción".
José: "Ernesto miente al decir que yo cometí el penal"
Ramón: "yo no cometí el penal".
Si se conoce que hay tres que siempre mienten y el penal
fue cometido por solo uno de los defensores, ¿quién
cometió el penal y quién no miente respectivamente?
A. Ramón y José
B. José y Aníbal
C. Aníbal y Ramón
D. Ramón y Aníbal
E. Ramón y Ernesto
8. Acaba el examen de admisión y, de seis amigos, solo uno
no ingresó. Un profesor, al encontrarlos, da origen a la
siguiente conversación:
- Profesor: ¿Quién no ingresó?
- Lalo: Hernando no ingresó.
- Diego: yo no ingresé.
- Hernando: Raquel no ingresó.
- Raquel: yo ingresé.
- Flor: yo ingresé.
- Maribel: Lalo no ingresó.
Si el profesor sabe que solo uno de los alumnos dice la
verdad, ¿quién no ingresó y quien no miente,
respectivamente?
A. Diego y Raquel
B. Flor y Maribel
C. Diego y Hernando
D. Maribel y Lalo
E. Flor y Raquel
9. Álvaro, Beltrán, Celia y Dalia tienen cada uno, la costumbre
de decir, en cualquier orden, una verdad y una mentira. Al
ser preguntados sobre los deportes que practican, dicen lo
siguiente:
Álvaro: “Beltrán es futbolista”. “Celia practica natación”.
Beltrán: “Celia no sabe nadar”. “Dalia practica ciclismo”
Celia: “Dalia es basquetbolista”. “Álvaro gusta del ciclismo”
Dalia: “yo soy nadadora profesional”. “Beltrán es
basquetbolista”
Si los cuatro practican deportes diferentes: ¿Quién es
basquetbolista y quién practica natación, respectivamente?
A. Celia y Dalia
B. Dalia y Álvaro
C. Beltrán y Celia
D. Celia y Álvaro
E. Dalia y Beltrán
10. Cinco niños tienen 12, 14, 18, 20 y 26 juguetes
respectivamente. Se sabe que cada uno dijo:
- Abel: “Yo tengo 26 juguetes”.
- Boris: “Yo tengo 20 juguetes”.
- Carlos: “Boris tiene 14 juguetes”.
- David: “Yo tengo 18 juguetes”.
- Eduardo: “Yo tengo 14 juguetes”.
Si solamente uno de ellos miente y los otros dicen la verdad,
¿cuántos juguetes tienen juntos Abel y Eduardo?
A. 40 B. 44 C. 38 D. 30 E. 34
11. La Liebre de Marzo (personaje de Alicia en el País de las
Maravillas) siempre miente de lunes a miércoles y dice la
verdad los demás días de la semana. Un día se encuentra
con Alicia y le dice:
- ''Ayer mentí''.
- ''Pasado mañana mentiré durante dos días seguidos''.
Después de una cierta meditación lógica, Alicia deduce que
encontró a la Liebre de Marzo un día:
A. Lunes C. miércoles E. Viernes
B. Martes D. Jueves
12. Tres Hermanos son interrogados por su madre pues uno de
ellos rompió su florero nuevo. Cada uno declaro:
- Raúl: Alberto no fue.
- Alberto: Soy Inocente.
- José: Alberto lo rompió.
Si solo uno de ellos miente y es el culpable, ¿Quién rompió
el florero?
A. Raúl B. Raúl o José C. Alberto
D. Alberto y José E. José
13. Hay un solo anillo y tres cajas cerradas de diferente color,
rotuladas con los siguientes enunciados:
- Caja ploma: “El anillo no está aquí”
- Caja negra: “El anillo no está en la caja marrón”
- Caja marrón: “El Anillo está aquí”
Si solo uno de los enunciados es verdadero, entonces es
cierto que
A. En ninguna de las cajas está el anillo.
B. El anillo no está en la caja ploma.
C. El anillo está en la caja marrón.
D. El anillo está en la caja ploma.
E. El anillo está en la caja negra.
14. De tres amigas: Carla, Bethy y Jessica, se sabe que dos de
ellas fuman y siempre miente, mientras que la otra no fuma
y siempre dice la verdad. Si Carla dijo: “Bethy no fuma”,
entonces:
A. Bethy no fuma
B. Carla dice la verdad
C. Jessica no fuma
D. Carla y Jessica mienten
E. Bethy y Jessica fuman
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CAPÍTULO II
RAZONAMIENTO LÓGICO II
PARENTESCOS
En este tema es necesario reconocer las relaciones de
parentesco entre los miembros de una familia.
Ejemplo respecto al grado de parentesco
Con respecto al gráfico, establezca la relación de
parentesco en cada caso.
- Hugo – Claudio: ……………………
- Adela – Laura: ……………………
- Luis – Bertha: ……………………
- María – Laura: ……………………
- Eva – Lupe: ……………………
- Lupe – María: ……………………
- Clara – Eva: ……………………
- Eva – Sara: ……………………
- Carlos – Luis: ……………………
Los problemas se clasifican según:
Problemas sobre un tipo específico de relación
familiar
Problemas sobre mínima cantidad de integrantes de
una familia
PRÁCTICA N°. 02 – I
1. Suponiendo que en una fábrica trabajan tres padres y tres
hijos, determina el menor número de personas que trabajan
en esa fabrica
A. 2 B. 5 C. 6 D. 4 E. 3
2. La madre del padre de la hermana de mi madre es mí:
A. hijo B. abuela C. tía abuela
D. bisabuela E. madre
3. El padre del hijo de la hija de la esposa del suegro de la
madre de la hija del hermano de mi hija es mí.
A. tío B. hermana C. yerno
D. suegra E. primos
4. El padre del único primo sobrino del papa del padre de mi
hijo es mí:
A. hermana B. suegro C. cuñada
D. esposo E. tía
5. Determine el parentesco entre Ángela respecto a Carlos,
sabiendo que la madre de Ángela es hija única de la madre
de Carlos.
A. sobrina B. tía C. prima
D. hermana E. abuela
6. Yo me llamo Liset, mi hermano
Miguel y la esposa de mi
hermano es Luisa. Si yo tengo solo un hermano, ¿qué
parentesco tiene conmigo el hijo del hijo del suegro de
Luisa?
A. hermano B. primo C. tío
D. nieto E. sobrino
7. En una reunión familiar están presentes: 1 abuelo, 1 abuela,
2 padres, 2 madres, 2 sobrinos, 1 sobrina, 1 tío, 1 tía, 2
nietos, 1 nieta, 1 nuera, 1 suegro, 1 suegra. ¿Cuántas
personas como mínimo conforman esta reunión familiar?
A. 8 B. 10 C. 7 D. 9 E. 12
8. En una reunión están presentes seis personas que son
familiares hasta la cuarta generación. La relación entre
Adolfo y José es la misma que de Daniel y Juan. Si José,
Miguel y Albert son hermanos, además se sabe que Daniel
es hijo único de José y Juan es el menor de todos, ¿cuál es
la relación entre Adolfo y Juan?
A. Abuelo – nieto B. Bisabuelo – bisnieto C. Hermanos
D. Padre – hijo E. tío – sobrino
9. Loera es denunciado por maltratar a la suegra de la mujer
de su hermano. ¿Qué parentesco familiar tiene esta persona
con Loera?
A. Es su mamá B. Es su hija C. Es su tía
D. Es su hermana E. Es su abuela
10. En una reunión se podía reconocer a 3 padres, 3 madres, 4
hermanos, 4 hermanas, 1 abuelo, 1 abuela, 3 cuñados, 3
cuñadas, 1 tío abuelo, 1 primo, 2 primas, 1 nieto, 2 nietas, 2
tías, 3 tíos, 3 sobrinos, 1 suegro, 1 suegra y 2 nueras.
¿Cuántas personas, como mínimo, se encontraban en la
reunión?
A. 12 B. 10 C. 9 D. 14 E. 11
11. En una reunión están presentes 2 abuelos, 1 abuela, 2 hijos,
1 hija, 2 padres, 1 nieta, 1 nieto y un bisnieto. Si están
reunidas la menor cantidad de personas y ésta cantidad
representa la edad del menor de ellos, halle la edad, en
años, del menor.
A. 5 B. 4 C. 7 D. 8 E. 9
12. Mi única hija me ha dado una única nieta. ¿Qué parentesco
tiene la sobrina de mi hijo con la abuela de la mamá de la
nieta de mi hija?
A. nieta B. hija C. sobrina D. prima E. bisnieta
13. En un restaurante se encuentran 2 abuelos, 2 abuelas, 4
padres, 4 madres, 2 hermanos, 2 hermanas, 2 suegros, 2
suegras, 2 nueras, 2 yernos, 1 nieto, 1 nieta, 1 primo, 1
prima; 3 hijos varones y 3 hijas, 2 tíos y 2 tías. Si cada uno
de ellos consumieron un menú de S/.7,5, ¿cuál es la mínima
cantidad de dinero que pagaron en total por la cena ?
A. S/. 135 B. S/. 80,50 C. S/. 75
D. S/. 97,50 E. S/. 100
CERTEZAS
Situaciones donde se tiene que dar una respuesta con
certeza (seguridad), y para ello se tendrá que analizar el
problema en "PEOR DE LOS CASOS" (situación más crítica
o no deseable) y así tendremos con seguridad lo pedido.
Como ejemplos:
- Si busco NEGRO, en el peor de los casos, No sale
NEGRO, hasta el ÚLTIMO
- Si buscas ASES, en el peor de los casos, NO sale ASES,
hasta el ÚLTIMO.
EsperadosCasosde
esExtracciondeN
EsperadosNocasosde
esExtracciondeN
esExtraccion
deTotalN
PRÁCTICA N°. 02 – II
1. De una baraja de 52 cartas. ¿Cuántas cartas debo extraer
como mínimo, para que salga con seguridad una carta de
espadas?
A. 27 B. 39 C. 40 D. 41 E. 44
2. Un policía sabe que, de un grupo de 20 personas reunidas
en una fiesta, hay 13 que son culpables de un robo, pero no
sabe cuáles son. ¿Cuántas personas deben arrestar, como
mínimo, para tener la seguridad de llevar a un culpable?
A. 8 B. 9 C. 12 D. 7 E.13
3. Dentro de una caja cerrada tenemos 4 bolitas blancas y 5
bolitas negras. ¿Cuántas bolitas como mínimo, se deben
extraer para tener la seguridad de haber elegido una bolita
negra
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5
4. En una caja hay 10 esferas amarillas, 12 azules y 15 verdes.
¿Cuál es el mínimo de esferas que se debe extraer al azar
de manera que se obtenga 11 de un mismo color?
A. 30 B. 29 C. 27 D. 31 E. 28
5. En una caja se tiene ocho tizas blancas y un número de
tizas amarillas que es tres veces más que el número de tizas
blancas. ¿Cuántas tizas debo extraer, al azar y como
mínimo, para tener la certeza de obtener cuatro tizas de
cada color?
A. 37 B. 36 C. 40 D. 21 E. 13
36
APREMUNI AMBO-2020
6. Se disponen dos pares de guantes marrones y tres pares de
guantes negros; se desea obtener con certeza un par útil del
mismo color. ¿Cuantos guantes se deberán extraer al azar?
A. 3 B. 2 C. 5 D. 6 E. 7
7. En una caja se tiene 3 fichas rojas, 4 fichas azules y 5 fichas
blancas. ¿Cuántas fichas, como mínimo, se tendrá que
extraer al azar para estar seguros de obtener al menos una
ficha blanca y una ficha roja?
A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 E. 11
8. En ánfora se tiene 6 fichas rojas, 2 fichas blancas y 5 fichas
verdes. ¿Cuántas habrá que extraer al azar para obtener
con certeza dos fichas verdes y una roja?
A. 10 B. 6 C. 8 D. 4 E. 5
9. En una caja hay 12 fichas azules, 15 fichas blancas, 18
verdes y, 20 rojas. ¿Cuál es el mínimo número de fichas que
se deben sacar para tener la seguridad de haber extraído 13
de uno de los colores?
A. 48 B. 52 C. 49 D. 51 E. 46
10. En una caja hay 10 pares de guantes utilizables de color
negro y 10 pares de guantes utilizables de color rojo,
¿Cuántos guantes hay que sacar, para estar seguro de
obtener un par de guantes utilizables del mismo color?
A. 3 B. 16 C. 38 D. 20 E. 21
11. En una urna se tiene (2p - q) fichas verdes y (3p + 2q) fichas
rojas, ¿Cuántas fichas se deben sacar para tener la certeza
de haber extraído “3p” fichas de uno de los colores
A. 3p + q B. 4p + q C. 5p – q D. p - q E. 5p + q
12. En una bolsa se tiene 12 bolas blancas, 18 bolas negras y
15 bolas rojas. Hallar el número mínimo de bolas que deben
sacar, sin mirar, para estar seguro de tener una bola de
cada color.
A. 3 B. 32 C. 33 D. 34 E. 29
13. Un alumno del CEPREVAL tiene que contestar 8 de 10
preguntas en un examen. Determina con certeza la cantidad
de veces que el alumno puede escoger las 8 preguntas.
A. 80 B. 40 C. 45 D. 16 E. 41
14. En monedero se tiene 10 monedas de S/. 1; 25 monedas de
S/. 0,50; y 30 monedas de S/. 0,20. ¿Cuántas se deben
extraer al azar y como mínimo para obtener al menos 10 del
mismo valor en 2 de los 3 valores?
A. 39 B. 48 C. 52 D. 49 E. 65
15. En cierto bolso hay 30 bolos numerados en el orden de los
primeros 30 enteros positivos. ¿Cuántos bolos se deben
extraer al azar para obtener con certeza un bolo cuyo
número sea primo?
A. 23 B. 22 C. 21 D. 26 E.27
DISTRIBUCIÓN DE TIEMPO
Es el principio más útil en el estudio de los días, meses años es
el múltiplo de 7, ya que nuestros calendarios han ordenado los
días en semana de 7 días.
Un año bisiesto si es divisible por 4, excepto el último de cada
siglo (aquel divisible por 100; 1700, 1800, 1900 y 2100), salvo
que esté ultimo sea divisible por 400 (como los años 1600,
2000 ó 2400)
- Cada 7 días se repite el mismo día
- Año común: 17365
o
- Año Bisiesto: 27366
o
MÉTODO PRÁCTICO
Consiste en transformar en un problema numérico colocando
en vez de ayer a “-1”, mañana “+1” y así los obteniéndose un
resultado que de nuevo lo transformaremos a su equivalente
en días
PRÁCTICA N°. 02 – III
1. Si el ayer del mañana de ayer del anteayer del pasado
mañana del mañana de ayer del mañana de ayer del
mañana de anteayer de pasado mañana es lunes. ¿Qué día
será pasado mañana?
A. domingo B. lunes C. martes
D. miércoles E. sábado
2. Si el ayer fue martes, ¿Qué día de la semana es el pasado
mañana del mañana de ayer del día que precede al día
posterior del día que sigue al ayer de hoy?
A. lunes B. martes C. miércoles
D. jueves E. viernes
3. Si el mañana del mañana del día anterior del viernes es el
anteayer del anteayer de mañana, ¿Qué día de la semana
será pasado mañana
A. jueves B. viernes C. martes
D. lunes E. sábado
4. Hoy, en la clase de Aptitud Matemática, Pacheco pregunto a
Rubén: ¿Qué día es tu cumpleaños? y este responde: Es el
anteayer del ayer del mañana de ayer. Si hoy es sábado,
¿Qué día de la semana es el cumpleaños de Rubén?
A. domingo B. jueves C. lunes
D. miércoles E. sábado
5. La profesora Berenice le pregunto al Hugo de Química
cuando es su cumpleaños y este le respondió: Mi
cumpleaños será (o fue) un día después del anteayer de
hace 3 días del día posterior del anteayer de hoy. Si se sabe
que dentro de 80 días será martes, ¿qué día de la semana
será (o fue) el cumpleaños de la profesora Berenice?
A. viernes B. sábado C. domingo
D. lunes E. martes
6. Si la suma de las fechas de todos los jueves de cierto mes
es 85, ¿qué día de la semana es el 15 de dicho mes?
A. domingo B. martes C. sábado
D. miércoles E. lunes
7. ¿Qué día será el pasado mañana de ayer del posterior día al
anteayer del día que precede al día que sigue al
subsiguiente día a hoy martes?
A. lunes B. martes C. miércoles
D. jueves E. viernes
8. Si el ayer del pasado mañana del subsiguiente día al
anterior día de hace 5 días fue lunes, ¿qué día de la semana
será el día que sigue al pasado mañana del anteayer del
mañana del día anterior del día que precede al que
antecede al día de hoy?
A. lunes B. martes C. miércoles
D. jueves E. viernes
9. Cierto mes trae: 5 lunes, 5 martes y 5 miércoles. ¿Qué día
caerá el 20 de dicho mes?
A. lunes B. miércoles C. Martes
D. viernes E. Sábado
10. ¿Cuántos años bisiestos existieron entre 1890 y 2019?
A. 32 B. 30 C. 29
D. 31 E. 27
11. ¿Cuántos días transcurrieron desde el 1ero de febrero del
2015 hasta el 1ero de marzo y 1ero de agosto del mismo
año?
A. 28 y 181 días B. 27 y 182 días C. 28 y 179 días
D. 31 y 180 días E. 30 y 181 días
12. Si el 1ero de enero de 2010 fue viernes, ¿qué día caerá el
1ero de enero de 2025?
A. lunes B. martes C. jueves
D. miércoles E. domingo
13. Si el 5 de mayo de 1970 fue lunes, ¿qué día fue el 5 de
agosto de 1999?
A. miércoles B. martes C. viernes
D. domingo E. lunes
37
APREMUNI AMBO-2020
SUDOKA de 4x4
CAPÍTULO III
DISTRIBUCIÓN NUMÉRICA
En este tipo de problemas se busca completar arreglos
gráficos en función de condiciones particulares (suma
constante, producto constante, sumas indicadas, etc.).
Inicialmente se suele rellenar el arreglo a través del tanteo,
pero este método llega a ser más que tedioso debido al
grado de dificultad del arreglo (cantidad de hileras, cantidad
de casillas vacías, etc.).
Distribución numérica Especial:
Sudokan:
Observe que los números 1; 2; 3 y 4 aparecen sin repetir en
cada fila, columna y cuadrado de 2 x 2 resaltado.
1 4 2 3
2 3 4 1
3 2 1 4
4 1 3 2
Cuadrados Mágicos:
Son distribuciones numéricas particulares que consisten en
cuadrículas de igual número de filas y columnas en las que
se cumple cierta condición, según sea su tipo: hay aditivos
(que son la más conocidos) y multiplicativos.
El tamaño del cuadrado mágico está relacionado con la
candad de filas y columnas que presente. A este tamaño se
le conoce como el orden del cuadrado mágico.
Observación: Sea n la cantidad de filas y cantidad de
columnas de un cuadrado mágico (n 3), entonces
En el cuadrado mágico de 3 x 3 se cumple lo siguiente:
¡Sabias que …. ¡
Para conocer el valor de la constante mágico en el
cuadrado mágico aditivo que se ha completado con los
primeros números enteros positivos, se puede
utilizar la siguiente expresión:
Donde n: orden del cuadrado mágico
Ejemplo:
En el siguiente cuadrado mágico de orden 3
*
Además en los ejercicios, conociendo la suma constante,
podemos distribuir los números del siguiente modo
Asimismo, podemos hallar la mayor suma posible y distribuir
los números.
PRÁCTICA N°. 03 - I
1. En los círculos de la figura escribir los números enteros
del 1 al 7, sin repetir, de tal forma que la suma de los
números de cada tres casillas alineadas sea constante
indicar el número que se debe escribir en la casilla
sombreada.
A. 3
B. 4
C. 2
D. 5
E. 6
2. En los discos que se muestra en la figura se debe
escribir los números enteros consecutivos desde el 1
hasta el 12, uno en cada disco y sin repetición, tal que
la suma de los 4 números escritos en cada lado del
cuadrado se a la misma y la mayor posible ¿cuál es la
mínima suma de los números que se puede escribir en
los discos sombreados?
A. 5
B. 6
C. 8
D. 9
E. 7
3. En las casillas de la figura se deben escribir números
tal que la suma de los números en cada fila y columna
debe ser la misma. Indica que números deben ir en las
casillas sombreadas.
A. 9
B. 3
C. 4
D. 5
E. 6
4. En las casillas de la figura se deben escribir números
tal que la suma de los números en cada fila, columna y
diagonal debe ser la misma. Indica que números deben
ir en las casillas sombreadas.
A. 8
B. 10
C. 7
D. 6
E. 9
5. Después de escribir cada uno de los números 2;
22,23;…..;29 sin repetir después de escribir las casillas
de la figura mostrada de modo que el producto de los
números es cada fila, columna y diagonal sea el
mismo, halle el valor de m+n.
A. 12
B. 18
C. 34
D. 68
E. 40
6. En los discos que se muestra en la figura se debe
escribir los números enteros consecutivos desde el 1
hasta el 12, de tal forma que la diferencia de los
números escritos en dos discos consecutivos sea 2 o 3.
¿Cuál de los siguientes pares de números deben estar
escritos necesariamente en discos consecutivos?
A. 5 y 8
B. 3 y 5
C. 7 y 9
D. 6 y 8
E. 4 y 6
7. En el siguiente cuadrado mágico donde la suma de
cada, fila columna y diagonal es la misma, halle la
suma de los números ubicados en los casilleros
sombreados.
A. 28
B. 36
C. 42
D. 31
E. 53
8. En las casillas circulares escribir uno de los siguientes
números 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9,10 y 12, de tal forma que la
suma de los números escritos en tres casillas
colineales sea siempre la misma y la mayor posible.
¿cuál es el número escrito en la casilla central?
A. 7
B. 9
C. 12
D. 10
E. 8
38
APREMUNI AMBO-2020
9. Escriba, en los casilleros de la figura, los siguientes
dígitos: 5, 5, 4, 4, 2, 2, 1, 1; uno en cada casilla, de
manera que dígitos iguales deben estar separados por
tantos casilleros como lo indique el digito. Calcule la
suma de los dígitos que van en las casillas
sombreadas.
A. 7
B. 4
C. 5
D. 6
E. 9
10. En la distribución numérica que se indica en la figura, si
se suma todos los números en cada columna, ¿en qué
columna resulta que la suma es máxima?
A. 2°
B. 3°
C. 5°
D. 4°
E. 7°
11. Los números 1, 3, 5, 7, 9 se colocan en las casillas del
tablero 5x5 de modo que solo aparezcan una vez en
cada fila, una vez en cada columna y una vez en cada
diagonal. Se ha escrito algunos números, como se ve
en la figura. ¿cuál es el valor X + y?
A. 14
B. 12
C. 10
D. 16
E. 8
12. Complete el siguiente cuadro con números positivos de
modo que la suma de números ubicados en cada fila,
columna y diagonal sea la misma. De cómo respuesta
el valor de ab.
A. 15
B. 80
C. 36
D. 42
E. 28
13. En la figura, escriba los números 10, 20 o 30 en los
casilleros de modo que el producto de los números
ubicados en cada fila, columna y diagonal sea
constante. Determine x+y+z.
A. 80
B. 50
C. 70
D. 60
E. 40
14. En el siguiente cuadrado, distribuir números enteros de
modo que la suma en cada fila, columna y diagonal sea
la misma. Halle la suma de los números que se deben
escribir en los casilleros sombreados.
A. 82
B. 60
C. 74
D. 58
E. 62
15. En cada una de las casillas de la figura se debe escribir
un número positivo, de tal forma que el producto de los
números en cada columna y en cada fila sea 1, y el
producto de los cuatro números escritos en las casillas
de los cuadrados de dos por dos sea 2. Calcule la
suma de las cifras del número que se debe escribir en
la casilla sombreada.
A. 4
B. 6
C. 5
D. 8
E. 7
16. En cada una de las casillas de la figura se debe escribir
los números enteros desde 1 hasta el 16, sin repetición,
de tal forma que los números escritos en cada fila,
columna o diagonal sea constante. Indique la suma de
las cifras del número que se debe escribir en la casilla
sombreada.
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
E. 9
17. Distribuya los nueve primeros números impares en las
casillas circulares mostradas, uno por casilla, tal que la
suma de los números ubicados en tres casillas
colineales sea la misma. Calcule la diferencia positiva
de dicha suma constante y el menor número que se
encuentre en uno de las cuatro esquinas.
A. 24
B. 26
C. 20
D. 22
E. 28
18. Complete el cuadrado de la figura escribiendo un
número entero en las casillas sin número, de modo que
la suma de tres números que forman filas, columnas y
diagonales sea la misma. Halle la suma de los números
que corresponden a las casillas sombreadas
A. 15
B. 20
C. 18
D. 24
E. 16
19. En cada uno de los discos ubicados en los vértices y
las aristas del tetraedro que se muestra en la figura se
debe escribir uno de los diez números 1,2,3,4,5,6,7,8,9
y 11,de tal forma en cada arista el número que se
escriba en el disco del centro sea igual a la suma de los
números ubicados en los vértices que corresponden a
la misma arista . Si ya se escribió el nueve, tal como se
indica, que numero se debe escribir en el disco
sombreado.
A. 5
B. 8
C. 6
D. 4
E. 7
20. En el cuadrado mágico del gráfico, la suma de los
elementos de cada fila, de cada columna y de cada
diagonal es la misma. Si las letras x,y,z representan
números, halle x2 + z2.
A. 17
B. 25
C. 10
D. 13
E. 18
OPERACIONES MATEMÁTICAS
Operador matemático
Símbolo que representa a un proceso de transformación de
una o más cantidades en otra cantidad llamada resultado;
bajo ciertas reglas arbitrarias como operar, que se define
en cada problema.
Operadores usuales:
,...,,,/,,*,, LogTgSen
Operadores no usuales:
,...,,,,%,,,,#
Operación matemática
Estructura matemática que relaciona operadores
matemáticos con cantidades (números) y permite
transformarlos en otros números concretos mediante leyes
o reglas.
39
APREMUNI AMBO-2020
.Re:2
:#
:#:
2#:
3
3
implícitaoperacióndeglaba
matemáticaoperacionba
matemáticooperadordonde
babaSi
REGLA DE OPERACIÓN IMPLÍCITA
Son operaciones matemáticas donde la definición no está
dada directamente sino se da implícitamente, para resolver
este tipo de problemas será necesario encontrar la regla de
definición a partir del problema propuesto.
Ejemplo:
243.24323*5
6327527*6
:
:
27*6:35*:
2
2
Rpta
serációntransformadeprocesoEl
Solución
CalcularabbaSi
Operación binaria (tabla de doble entrada)
En estos casos, no se nos indica que operación vamos a
realizar, por el contrario, nos indican los elementos que han
sido operados y colocados en una tabla de doble entrada.
Propiedades de las operaciones binarias
Sea el conjunto A y la operación « »
Cerradura
Conmutativa
Criterio de la diagonal
Verificar que los elementos tanto de la fila como de la
columna de entrada tengan el mismo orden.
Trazar la diagonal a partir del operador.
Verificar que los elementos de ambos lados de la
diagonal mantengan su distribución simétrica (como si
un lado fuera el reflejo del otro).
Si se da la distribución simétrica, la operación será
conmutativa. Si en al menos un caso la simetría no se
da, la operación no será conmutativa.
Elemento neutro (e)
Criterio de intersección
Ubicar en el cuerpo de la tabla una columna igual a la
columna de entrada y una fila igual a la columna de
entrada.
La intersección de la columna y la fila mencionadas
nos dará el elemento neutro (e).
Elemento inverso (a–1)
PRÁCTICA N°. 03 - II
1. Si:
:
3#2*1
4*2#3
:
,2#2* 2
esdevalorel
entoncesbbaybaba a
A. 5 B. 1 C. 3 D. 4 E. 2
2. Sea:
3
3
:,11 2 zHallarTT
A. 91 B. 64 C. 9 D. 8 E. 27
3. Siendo : a b = a3 + 2a
Calcular:
parentesis 76
(....)))5((43E
A. 32 B. 35 C. 34 D. 33 E. 36
4. Sabiendo que : (3x - 1) = x2 + 1
Hallar: 3n si :
((( ...( (5)) ...))) = (3n+2)
A. +1 B. -2 C. -1 D. -3 E. +2
5. Si : & a = 2a - 5; $ a = 2 (& a)
Hallar: & ($ 6) - $ (& 3)
A. 16 B. 24 C. 26 D. 29 E. 30
6. Sea:
1125:,15 Hallaraa
A. 125 B. 5 C.2 D. 25 E. 15
7. Si: abba 22#
hallar el valor de “F”
#...48#48#48F
A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 E. 4
8. Sí: :"",3
8
1
* 2 mHallarnmnm
3
4
2
2*
m
A. 15 B. 20 C. 4/3 D. 1 E. 8
9. Si:
x = 32x+31
Calcula el valor de: -1
A. 0 B. 1 C. -1 D. 3 E.-3
10. Se define :
2
m2n10
n3m2
, calcular :
parentesis 2
.......912.......12121212
nm
K
A. 12 B. 9 C. 8 D. 10 E. 11
11. Si : 3 a 2b = a - b, calcular: K=48 18
A. 0 B. 2 C. 1 D. 3 E. 4
12. Si: @(x + 1) = 2x+1,
Calcular el valor de :@(@(4)+@(6))
A. 20 B. 24 C. 25 D. 28 E. 23
a b A → a b = b a
a, b A → a b A
eA / aA → a e = e a = a
eA,aA,a-1A → aa-1 = a-1a = e
40
APREMUNI AMBO-2020
13. Dadas las siguientes tablas:
Hallar “x” en: (ac) (dx) = (cd) e
A. a B. b C. c D. d E. e
14. Si el conjunto A = {0; 1; 3} y definimos la operación ()
por :
De las siguientes proposiciones, determinar el valor de
verdad o falsedad
I. 31 = 13
II. (10)3 = 1(03)
III. (3x)0 = 1 x1 = 3
A. VVF B. FFF C. VFV D. VVV E. VFF
15. En la siguiente tabla es falso :
I. No es conmutativa
II. El elemento neutro es c
III. a(bd) = (dc)d
IV. La operación “” es cerrada
A. I y II B. Sólo II C. II y III
D. II; III y IV E. Ninguna es falsa
16. De acuerdo a la tabla del operador “” definido en el
conjunto : A = {1; 2; 3}
I. “” es conmutativa
II. El elemento neutro es 2
III. El inverso de 2 es 2
A. VVF B. FFF C. VFV D. FVV E. VVV
17. Dada la siguiente tabla definamos la operación () en
el conjunto A = {1; 2; 3; 4}
Calcular “x”, si: [(2-1 3)-1 x] [(4-12)3]-1 = 1
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4
18. En A = {a; b; c; d} se define mediante la tabla la
operación
Calcular: N = (a-1 c-1)-1 (c b-1)-1
A. a o b B. d C. c D. b E. a
19. De acuerdo a la tabla :
Diga Ud. si se cumple las siguientes afirmaciones
I. 1?1 = 1
II. (1?1)?2 = 3
III. La operativa “?” es conmutativa
A. VVF B. VVV C. FFF D. FFV E. VFF
20. En define : a b = 2a+b ; a b = a+b2
Entonces calcular la suma de los valores “x” que
satisfacen: 1 (x 1) = 1 3
A. 1 B. 2 C. 3 D. -1 E. -2
21. Dada la operación binaria
a b = a + b + ab
Calcular el elemento neutro
A. 1 B. 1/2 C. 0 D. -1 E. -2
22. Si : A B = 3(A2 - B2)
A Ø B = A - 8B
Calcular: R=(7 5) Ø (2 1)
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 E. 2
23. Si : 4b5b ;81a3a ;
Calcular “x” en: 5x
A. 10 B. 11 C. 12 D. 9 E. 8
24. Si : A2 f B3 = M A = BM, hallar “x” :
16 f x3 = -x
A. 0 B. -1 C. -2 D. 1 E. 2
25. Se define: 3a + 2b = ba
Hallar el valor de: (12 * 2) (27 * 6)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 E. 4
26. Se define: a b =
2
ba
Resolver: (35 37) (6 2) = x 1
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 E. 4
27. Si:
1 2 3
1 4 9 16
2 9 16 25
3 16 25 36
Calcula: 84
A. 81 B. 64 C. 36 D. 144 E. 169
28. Calcular: 21(15(17…(21)))
Si: ab = a + 2
A. 23 B. 5071 C. 982 D. 118 E. 1001
29. Calcular: 3928
204020201920 *
Si: a b = b2
A. 4 B. 20 C. 12 D. 8 E.
9
30. Si: nm = residuo de dividir m + n entre 8 y m # n =
residuo de dividir m x n entre 8. Entonces:
95#76 , es igual a:.
A. 14 B) 4 C. 16
D. 182 E. 6
31. Se define el operador como:
x = x(x + 1) – x (x – 1)
Calcular:
1.......8910
22.......321
E
A. 2, 2 B. 45 C. 4, 5
D. 23 E. 4, 6
41
APREMUNI AMBO-2020
CAPÍTULO IV
ANÁLISIS DE TABLAS Y GRÁFICOS ESTADÍSTICOS
GRÁFICOS ESTADÍSTICOS
Se emplean para tener una representación visual de la
totalidad de la información.
Tipos de gráficos estadísticos
Gráficos circulares
Nos permite ver la distribución interna de los datos que
representan un hecho en un momento determinado, en
forma de porcentajes o medidas angulares respecto de un
total.
Acerca de las gráficas
VENTAJA
Dan una información visual que resulta más cómoda que la
lectura de una tabla.
DESVENTAJA
Si se toma una escala inadecuada, se puede desvirtuar la
imagen del crecimiento real de un fenómeno.
Como norma:
Altura máxima = 69% (ancho de la gráfica).
Recuerda que:
En los diagramas de sectores, o también denominados de
pastel, se puede considerar:
360º < > 100%
A < > 90º < > 25% B < > 45º < > 12,5%
C < > 120º < > %3,33
8
C
3
B
6
A
Gráficos de líneas
Permiten representar los valores de los datos en 2 ejes
cartesianos. Se usan para analizar el incremento o
decremento de una variable, o la comparación de la variación
de 2 o más variables, a lo largo de un intervalo determinado.
TABLAS ESTADÍSTICAS
En las tablas estadísticas se resume la información que se
ha revelado sobre la variable de interés. Depende de la
variable que se está estudiando (en algunos casos son
datos continuos agrupados por intervalos). La tabla
estadística puede contar con diferentes frecuencias.
Ejemplo:
Edad xi fi Fi hi Hi %
[14 -16> 15 13 13 0,65 0,65 65
[16 -18> 17 3 16 0,15 0,80 15
[18 -20> 19 3 19 0,15 0,95 15
[20 -22> 21 1 20 0,05 1,00 5
20 1,00 100
Dónde: Frecuencia < > número de elementos que
(Absoluta) pertenecen a la clase
=
Ancho de clase (ω)
Marca de clase (xi)
Medida de Tendencia central (agrupados)
; Par: n/2 y
Impar:(n+1)/2
PRÁCTICA N°. 04 – I
1. Las tiendas A, B, C y D han vendido, entre todos, un total de
1640 notebooks durante el primer semestre del año 2019. El
grafico muestra el porcentaje de ventas de cada tienda en
dicho periodo de tiempo. Si ingreso por venta de notebooks,
en la primera tienda “C” fue de S/ 918400, determine el
precio promedio, en nuevos soles, de las notebooks
vendidos por dicha tienda.
A. 1400 B. 5600 C. 2800 D. 1860 E. 1530
2. Con la planilla de pagos de los trabajadores de una
compañía de vigilancia se construyó el siguiente cuadro de
distribución de frecuencias, de igual ancho de clase. Calcula
cuantos trabajadores entre S/ 1060,00 y S/ 1620,00.
Sueldo (S/) xi fi hi
[ > 650 1/k
[ > 2/k
[ > 1250 9k 9/k
[ > 3/k
A. 172 B. 180 C. 198 D. 164 E. 182
3. Dada la siguiente tabla de distribución de frecuencias de
igual ancho de clase, calcula x2 + f2 + 5h2.
Ii xi fi Fi Hi
[ 10 - > 0,3
[ > 60
[ > 0,8
[ 25 - > 30
A. 34,5 B. 30,5 C. 32,0 D. 33,0 E. 33,5
300 600 900 1200 1500 1800
30
48
95
100
x
i
70
Fi
Marca de
clase
42
APREMUNI AMBO-2020
4. En el siguiente grafico estadístico, se muestra la distribución
de ingreso por familias. Calcula el número total de familias,
sabiendo que hay 190 familias que tienen ingresos de S/
600,00 a más.
A. 200 B. 220 C. 240 D. 210 E. 250
5. Se tiene la siguiente grafica de líneas, correspondiente a las
temperaturas en las ciudades A, B, y C en función del
tiempo.
Indique un intervalo de 2 horas en el que la temperatura de
C sea menor que la temperatura de B, pero mayor que la de
A. entre la 9 y las 11a.m. B. entre la 1 y las 3 p.m.
C. entre la 2 y las 4 p.m. D. entre la 3 y las 5 p.m.
E. entre la 6 y las 8 p.m.
6. El grafico muestra la producción de autos en tres países.
Indique la información incorrecta.
A. En Japón, la producción anual del 2006 disminuyo en
25% para el año siguiente.
B. En EE.UU., la producción anual del 2007 disminuyo en
40% para el año siguiente.
C. En Alemania la producción promedio anual, durante los
tres años, fue de 75 000 autos
D. La producción promedio anual de Japón, durante tres
años, fue 60 000 autos.
E. Debido a los despidos masivos y la poca demanda en el
2008, Japón produjo 20 000 autos menos que en el 2007.
7. La tabla adjunta es la distribución correspondiente al salario
mensual de una empresa minera. El sindicato propone a la
empresa hallar la mediana.
Sueldo de
trabajadores
Número de
trabajadores
4000 - 80
- 120
- 125
- 99
- 88
- 78
- 5400 10
A. 43,1 B. 45,9 C. 33,8 D. 21,2 E. 51,2
8. En un hospital se hizo el siguiente grafico de sectores
referente a 4 enfermedades Cáncer, anemia, Sida y
Hepatitis.
Determine el número de pacientes con cáncer si se sabe
que el número de pacientes con hepatitis son 200
A. 200 B. 240 C. 260 D. 280 E. 180
9. Se hace una encuesta a 80 trabajadores y se obtuvo el
siguiente cuadro estadístico.
[Li – Ls > fi yi
[12 – 16> a x
[16 – 20> b y
[20 – 24> c z
[24 – 28> d w
Se pide calcular: a – x + b – y + c – z + d – w
A. 0 B. 1 C. 2 D. -5 E. 15
10. Dado la siguiente distribución de frecuencias:
[Li – Ls > yi hi Hi
80 – 100 90 0,12 a
100 – 120 x 0,15 b
120 – 140 130 0,18 c
140 – 160 y 0,25 d
160 – 180 170 0,3 e
Se pide calcular: “x + y + b + d”
A. 250 B. 254,2 C. 256,4 D. 260,97 E. 270,8
11. El siguiente histograma con ancho de clase constante
muestra los resultados de una encuesta.
Halle la suma de: a + b + c y también el tamaño de la
muestra
A. 75 B. 100 C. 85 D. 95 E. 90
12. Se muestra a continuación la ojiva referente a las notas
obtenidas en el examen final de Matemática Básica del
UNHEVA.
¿Qué porcentaje de los alumnos obtuvieron una nota entre 9
y 14?
A. 31% B. 32% C. 39% D. 34% E. 35%
43
APREMUNI AMBO-2020
13. Se tiene la siguiente distribución simétrica.
Ii fi Fi hi
[ - > 8
[12 - >
[ - > 1/5
[ - 24> 17
[ - >
Si el ancho de clase es constante. ¿Cuántos datos habrá en
el intervalo [ 12 – 20 >?
A. 16 B. 12 C. 8 D. 7 E. 10
14. Dada la siguiente distribución de frecuencias en base al
ingreso familiar de 200 familias.
Ingreso fi Fi
[ - > 12
[ - 270 >
[ - 300 > 30 90
[ - > 126
[ 300 - >
[ - > 50
¿Cuántas familias tienen un ingreso comprendido entre 260
y 320?
A. 50 B. 60 C. 70 D. 72 E. 76
15. Se hace un cuadro estadístico referente a las temperaturas
observadas en 80 días.
[Li – Ls> fi
4 – 10 5
10 – 16 8
16 – 22 2
22 – 28 12
28 – 34 18
34 – 40 20
40 – 46 15
¿Cuántos días hubo una temperatura menor de 25 grados?
A. 18 B. 20 C. 21 D. 26 E. 30
16. Se hace una distribución referente a los puntajes de 100
personas.
Puntajes fi
40 – 50
50 – 60
60 – 70 50
70 – 80
80 – 90
Además: h1 = h5 ; h2 = h4 ; Calcule: “h2 + h5”
A. 1/2 B. 1/3 C. 1/4 D. 1/5 E. 3/4
17. Se hizo una encuesta a cierto número de personas sobre la
preferencia de los cursos de Aritmética(A); Algebra(X);
Geometría (G) y Trigonometría (T) y se obtuvo el siguiente
grafico de sectores.
Si 55 alumnos le gustan el curso de aritmética. ¿a cuantas
personas le gusta el Algebra?
A. 60 B. 55 C. 25 D. 30 E. 45
18. Se tiene las temperaturas observadas en el hemisferio norte
durante 24 días.
Temperatura fi hi
[-19 ; -17>
[-17 ; -15>
[-15 ; -13>
[-13 ; -11>
[-11 ; - 9>
[ -9 ; -7 >
Durante cuantos días se obtuvo una temperatura de -16 a -
10 grados.
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 E. 14
INFERENCIA LÓGICA
La lógica de clases es aquella rama de la lógica que analiza
las relaciones entre clases que hay en una o más
proposiciones categóricas. Para un estudio más detallado es
necesario conocer y analizar los cuatro tipos de
proposiciones categóricas.
Tipos de proposición categórica
Universal
afirmativa
Particular
afirmativa
Universal
negativa
Particular
negativa
Todo S es P
(son)
Ejemplo:
- Toda
gaseosa es
liquida
- Todos los
niños son
inquietos
Algún S es P
(son)
Ejemplo:
- Algún
chofer es
imprudente
- Algunos
niños son
perezosos
Ningún S es
P
Ejemplo:
- Ningún
sapo es
racional.
- Ningún
racional es
objetivo
(No son)
Ejemplo:
- Algún ave no
es voladora
- Algunos
niños son no
atentos
Representación Gráfica
Negación lógica
Algún S no es
P
Ningún S es P
Algún S es P
Todo S es P
Negación de Proposiciones Categóricas
Resumiendo ~ (Todos) : Algunos… no
~ (Ninguno) : Algunos
~ (Algunos) : Ninguno
~ (Algunos … no) : Todos
Observación:
Los cuantificadores lógicos tienen sus expresiones
equivalentes:
Todos = cualquier, cada los
Ejemplo
Cualquier libro es útil. <> Todos los libros son útiles
Ningún = no hay, no existe, nunca
Ejemplo
No hay bien eterno. <> Ningún bien es eterno
Algunos = varios, muchos, existe por lo menos uno, hay,
la minoría, casi todos.
Ejemplo
La mayoría de los alumnos estudian <> Algunos alumnos
son estudiosos.
EQUIVALENCIAS ESPECIALES
CASO 1
Los A no son B <>
No los A son B
Ejemplo
Todos los P no son Q <> No todos los P son Q
CASO 2
Los A no son B<>
Se cambia por el otro universal
Los A son B
Ejemplo
Todos los juegos son no didácticos <>
(Se cambia por el otro universal)
Ninguno juego es didáctico
Sale
44
APREMUNI AMBO-2020
CASO 3
A es no B, <> A no es B
Ejemplo
Algún elemento es no escaso <> Algún elemento no es
escaso
TIPOS DE INFERENCIAS
A) Inductiva
A partir de casos o hechos particulares se llega a una
conclusión de carácter general.
Ejemplo:
P1: Luis es de !quitos y le gusta la cumbia.
P2: John es de !quitos y le gusta la cumbia.
P3: Mi suegra es de Pucallpa y le gusta la cumbia.
Entonces:
C : Es muy probable que todos los de Pucallpa gusten
de la cumbia.
B) Deductiva
Cuando a partir de las premisas (generalmente de
amplio contexto) se obtiene una conclusión que se
deriva necesariamente de ellas.
Ejemplo:
P1: Todos los mamíferos son animales.
P2: Todos los felinos son mamíferos.
Entonces:
C: Todos los felinos son animales.
Las inferencias deductivas a la vez pueden ser
inmediata y mediatas.
1. Inmediatas: son aquellas inferencias que están
conformadas por una premisa y una conclusión.
Todos los futbolistas son deportista
Algún futbolista es deportista
2. Mediatas: son aquellas inferencias que están
conformadas por 2 o más premisas y su respectiva
conclusión.
Extensión de las proposiciones
A) De acuerdo a su cantidad
Universal
Ejemplo: Todo canino es carnívoro.
Particular
Ejemplo: Algún futbolista es feliz.
B) De acuerdo a su calidad Afirmativa
Ejemplo: Todo hombre es pensador.
Negativa
Ejemplo: Ninguna rosa es mariposa.
TABLAS DE VERDAD
PRÁCTICA N°. 04 - II
1. Determine la proposición equivalente a: Todo estudiante
no es organizado
A. Algunos estudiantes no son organizados.
B. Todos los estudiantes son organizados.
C. No es el caso que ninguna estudiante sea organizado.
D. Ningún organizado es estudiante.
E. Algunos organizados son no estudiantes.
2. Indique la proposición equivalente a: Todos los
irresponsables son no universitarios.
A. Todos los responsables son universitarios.
B. Ningún universitario es responsable.
C. Algún irresponsable es universitario.
D. Todos universitarios son responsables.
E. Algunos universitarios son responsables.
3. La negación de la mitad de los postulantes ingresaron a
la universidad es
A. Ningún postulante ingreso a la universidad.
B. Todos los postulantes ingresaron a la universidad.
C. Algunos postulantes ingresaron a la UNHEVAL.
D. Algunos postulantes ingresaron a la universidad.
E. Algunos postulantes no ingresaron a la universidad.
4. Determinar la negación lógica de la siguiente proposición.
Casi todos los peruanos no son racionalistas
A. Todos los nacionalistas son peruanos.
B. Algunos nacionalistas no son peruanos.
C. Todos los peruanos son nacionalistas.
D. Algunos peruanos son nacionalistas.
E. Ningún peruano es nacionalista.
5. Para negar la afirmación todo estudiante es puntual
bastaría con mostrar que
A. existe algún estudiante que no es puntual.
B. no hay estudiantes.
C. existe algún puntual que es estudiante.
D. no hay puntuales.
E. existen algunos académicos.
6. Si lo imprescindible de un revolucionario es su
optimismo, entonces
A. el pesimismo es imprescindible en los que no
revolucionan.
B. todo aquel que sea revolucionario no es optimista.
C. no todo revolucionario es optimista.
D. ningún no optimista es revolucionario.
E. algunos revolucionarios no son optimistas.
7. Si algún alemán es nazi y ningún judío es nazi, entonces
A. algún alemán no es judío.
B. algún judío si es alemán.
C. ningún alemán no es judío.
D. ciertos judíos murieron en la guerra.
E. los que murieron en la guerra son judíos.
8. Si todos los de la tierra son inteligentes y algunos de la
tierra son caníbales, entonces
A. algunos que son inteligentes y son de la tierra son
caníbales.
B. todos los de la tierra son caníbales.
C. algunos caníbales no son de la tierra.
D. todos los inteligentes son caníbales.
E. algunos inteligentes son caníbales.
9. Si algunos delincuentes son honrados y todo honrado
es honesto, entonces
A. algunos honrados son honestos.
B. todo honesto es honrado.
C. algunos delincuentes son honestos.
D. algunos honestos no son honrados.
E. algunos delincuentes no son honestos.
10. Si ningún matemático es irracional y ciertos
matemáticos son abstractos, entonces
A. algunos irracionales no son matemáticos.
B. todos los abstractos son irracionales.
C. algunos abstractos no son irracionales.
D. muchos irracionales son acríticos.
E. ningún irracional es abstracto.
45
APREMUNI AMBO-2020
11. Si todo valiente es osado y nadie que sea osado es
temerario, por lo tanto
A. ningún osado es temerario.
B. algunos valientes son temerarios.
C. ningún valiente es temerario.
D. muchos temerarios son valientes.
E. es falso que los temerarios no sean valientes.
12. Si alguien que sea universitario es crítico y los críticos
son realistas, por lo tanto
A. los universitarios son no realistas.
B. todo universitario es realista.
C. nadie que sea universitario es idealista.
D. los idealistas no son críticos.
E. algunos universitarios son realistas.
13. De un grupo de deportistas que practican futbol,
básquet y natación, se sabe que:
I. Ningún futbolista es nadador
II. No es cierto que, algún basquetbolista no sea futbolista.
Se concluye que:
A. Algún nadador es basquetbolista.
B. Muchos basquetbolista son nadadores.
C. Los nadadores son futbolistas.
D. Todos los futbolistas no son basquetbolistas.
E. Ningún basquetbolista es nadador
14. Dada las siguientes premisas:
- Algunos políticos son honestos.
- Algunos políticos son abogados.
- Todos los abogados son honestos.
A. Todos los políticos son abogados.
B. Ningún político es abogado.
C. Todos los honestos son políticos.
D. Ningún honesto es político.
E. Los políticos que no son honestos no son abogados.
15. Se define p # q ≡ (p → q).
Además, la proposición
~{[~p # (~p ↔ q)] # (r q)} es falsa.
Halle los valores de verdad de p, q y r,
respectivamente.
A. VVFF B. VFV C. FFF D. FVV E. VVV
16. Si la proposición:
(p → ~q) (~r → s) es falsa, deducir el valor de
verdad de (~p ~q) ~p
A. V B. F C. V o F
D. No se puede determinar E. Es V si p es F
17. Si la proposición:
(p q) → (q → r)
Es falsa, hallar el valor de verdad de las siguientes
formulas:
I. ~(p r) → (p q)
II. (p ~q) → (~r q)
III. [(p q) (q ~r)] ↔ (p ~r)
A. VVV B. VFV C. VVV D. VFF E. FVV
18. Si:
p: se puede ser rico
q: se puede ser dichoso
r: la vida está llena de frustraciones
s: es un camino de rosas
Simbolizar:
Si no es cierto que se pueda ser rico y dichoso a la
vez, entonces la vida está llena de frustraciones y no
es un camino de rosas. Si se es feliz, no se puede
tener todo. Por consiguiente, la vida está llena de
frustraciones.
A. {[~(p q) → (r ~s)] (q → ~p)} r
B. {[~(p q) → (r s)] (q → ~p)} r
C. {[~(p q) → (r ~s)] (q → ~p)} →r
D. {[~(p q) → (r ~s)] (q ~p)} →r
E. {[~(p q) (r s)] → (q → ~p)} r
CAPÍTULO V
PLANTEO DE ECUACIONES
¿Qué es una ecuación?
Es una relación de igualdad que se establece entre dos
expresiones matemáticas que tienen como mínimo una
incógnita. Esta igualdad puede verificarse o no, en el primer
caso si al menos hay una solución y en el segundo caso si no
presenta solución.
¿Cómo plantear una ecuación?
Para plantear una ecuación es recomendable los siguientes
pasos:
1. Leer el problema dos veces
- la primera para saber de qué se trata
- la segunda de manera más lenta para poder analizar
profundamente.
2. Identifique a qué representa la incógnita y separe los datos.
3. Relacionar los datos con la incógnita.
4. Buscar dos expresiones con la participación de la incógnita,
en uno de ellos o en los dos, que presenten lo mismo e
igualar (ecuación formada)
5. Resolver la ecuación
6. Comprobar los resultados.
ENUNCIADO
(Forma verbal)
EXPRESIÓN
MATEMÁTICA
(F. simbólica)
Un número aumentado en 3 X + 3
La suma de dos números
consecutivos
X + (x + 1)
El cuadrado de la diferencia
de dos números
(x – 2)2
El triple de lo que tengo,
aumentado en siete.
3x + 7
El triple, de lo que tengo
aumentado en 7
3 ( x + 7)
La suma de los cuadrados de
dos números diferentes
X2 + y2
Ecuaciones diofanticas
Son ecuaciones cuyas incógnitas aceptan únicamente
solución entera y se resuelve tomando divisibilidad respecto
a cualquier coeficiente pero también en forma práctica se
resuelve tanteando valores enteros para las incógnitas.
PRÁCTICA N°. 05 - I
1. Ana y Katty fueron de compras y cada una compró
tantos artículos como soles pago por cada uno. Si Ana
gastó S/.600 menos que Katty y compraron 30 artículos
en total, ¿Cuánto gastó Ana?
A. S/.100 B. S/.81 C. S/.25 D. S/.625 E. S/.400
2. Ana tiene el doble de lo que tiene María en dinero; luego
Ana le prestó cierta suma a María; por lo que ahora
María tiene el triple de lo que le queda a Ana. Si el
préstamo que pidió María excede en S/.6 a lo que tenía
inicialmente, ¿con cuánto se quedó Ana?
A. S/.12 B. S/.15 C. S/.18 D. S/.24 E. S/.30
3. Yo tengo el triple de la mitad de lo que tienes más S/.
10. Si tú tuvieras el doble de lo que tienes, tendrías S/.5
más de lo que tengo, ¿cuánto tengo?
A. S/.50 B. S/.55 C. S/.60 D. S/.40 E. S/.45
4. En el camino a un hormiguero se escuchó la siguiente
conversación: “Si tú me dieras un gramo, cargaríamos el
mismo peso”. Respuesta: “Pero si yo te diera un gramo,
cargarías el doble que yo”. ¿Cuántos gramos cargan
entre los dos?
A. 14 B. 12 C. 16 D. 20 E. 7
5. Se tiene un examen de 350 preguntas de las cuales 50
son de matemática. Suponiendo que a cada pregunta de
matemáticas se dé el doble de tiempo que a cada
pregunta no relacionada con esta materia, ¿Cuánto
demorará resolver matemáticamente si el examen dura
tres horas?
A. 45 min B. 52 min C. 62 min D. 60 min E. 50 min
46
APREMUNI AMBO-2020
6. Se reunieron varios amigos quienes tomaron cuatro
tazas de leche y dos tazas de café y tuvieron que pagar
20 soles. Si en otra oportunidad consumieron 1 taza de
leche y 3 tazas de café y pagaron 10 soles, entonces
una taza de leche cuesta:
A. 2,5 soles B. 3 soles C. 4 soles
D. 5 soles E. 6 soles
7. En el primer piso de una biblioteca hay 500 mil libros, en
el segundo piso hay 300 mil y en el tercer piso 100 mil.
¿Cuántos libros deben trasladarse del primero al tercer
piso para que en el primer piso haya tantos libros como
en el segundo y tercero juntos?
A. 20 mil B. 50 mil C. 100 mil D. 75 mil E. 150 mil
8. En 7 horas 30 minutos una costurera puede
confeccionar un pantalón y tres camisas; ó 2 pantalones
y una camisa. ¿En cuánto tiempo puede confeccionar un
pantalón y una camisa?
A. 3 horas B. 4 horas C. 5 horas
D. 4 horas 30 min E. 3 horas 30min
9. Indica cuánto aumenta el área de un rectángulo de
perímetro “2p” cuando cada uno de sus lados aumenta
en “x” (Área de rectángulo = base x altura, perímetro =
de sus 4 lados)
A. x2 + px B. x2 – px C. (x+p)2
D. x2 – p2 E. x2 – 2px + x2
10. Un día viernes en el colegio 200 Millas un alumno
preguntó a su profesor de R.M. “¿Qué hora es?”, y le
contestó: “La hora es tal que la fracción que falta por
transcurrir del día, es igual a la fracción que falta por
transcurrir de la semana, considerando lunes como
inicio de la semana”. ¿A que hora le hizo la pregunta?
A. 15:00 h B. 16:00 h C. 17:00 h
D. 18:00 h E. 19:00 h
11. Al dividir un número entre 5 el residuo es 3 y al dividirlo
entre 8 el residuo es 6. Si los cocientes se diferencian
en 9, ¿qué resto dará al dividir el número por 7?
A. 6 B. 3 C. 1 D. 5 E. 2
12. En una reunión el número de caballeros es dos veces
más que el número de damas; después que se retiran 8
parejas, el número de caballeros que ahora queda es
cuatro veces más que el nuevo número de damas.
¿Cuántos caballeros habían inicialmente?
A. 16 B. 32 C. 48 D. 64 E. 72
13. En un edificio de 4 pisos se observa que el número de
habitaciones de cada piso es uno más respecto del
inmediato anterior y en cada habitación hay tantas
ventanas como habitaciones hay en el respectivo piso.
Si el total de ventanas del último piso y el total de
habitaciones del primer piso suman 69, calcula cuántas
habitaciones en total tiene el edificio.
A. 28 B. 26 C. 12 D. 16 E. 36
14. Se tiene x, (x + y), 2y monedas de S/.1, S/.2 y S/.5
respectivamente. Al cambiar todo el dinero en billetes de
S/.10 se cuentan 30 billetes, coincidiendo el número de
monedas que excedía las monedas de S/.2 a las de S/5.
Calcula cuánto dinero se tiene en monedas de S/.2.
A. S/.24 B. S/.116 C. S/.64 D. S/.120 E. S/.128
15. Una madre debe repartir una herencia de 70 mil dólares
en el momento del nacimiento de su hijo o hija. Si
tuviera un hijo ella recibiría la mitad de lo que recibe su
hijo. Pero si naciera mujer, la madre recibiría el doble de
lo de su hija. Llegó el día del parto y para sorpresa de
todos nacieron gemelos, un hombre y una mujer.
¿Cuánto recibió el hijo?
A. $20 000 B. $10 000 C. $30 000
D. $40 000 E. $25 000
16. Con S/.1 296 se han comprado igual número de vasos
de tres clases distintas, siendo los precios respectivos
de cada clase de vaso 7; 8 y 12 soles. ¿Cuántas
docenas de vasos se compraron?
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 E. 12
17. En una bolsa hay fichas blancas y fichas negras. Si se
saca 5 fichas blancas, queda el doble de fichas negras
que blancas. Si se extrae 6 fichas negras y 3 blancas, la
razón de blancas a negras será 8: 11. ¿Cuántas fichas
blancas hay en la bolsa?
A. 23 B. 19 C. 25 D. 28 E. 16
18. El cuadrado de la suma de las 2 cifras que componen un
número es igual a 121. Si de este cuadrado se restan el
cuadrado de la primera cifra y el doble del producto de
las 2 cifras, se obtiene 81. ¿Cuál es la diferencia de las
cifras del número?
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 E. 9
19. A un campamento de retiro, asisten 320 personas entre
varones, mujeres y niños. Si el número de varones es
tres veces más que el número de mujeres y éste es el
triple que el de los niños, ¿cuántos hombres hay?
A. 120 B. 160 C. 320 D. 240 E. 200
20. Sobre un estante se pueden colocar 15 litros de ciencias
y 3 libros de letras ó 9 libros de letras y 5 libros de
ciencias. ¿Cuántos libros de ciencias únicamente caben
en el estante?
A. 15 B. 20 C. 24 D. 30 E. 18
21. Ana le dice a Raúl: “Si me dieras 5 de tus galletas,
ambos tendríamos la misma cantidad” y éste respondió:
“Si me dieras 10 de las tuyas, tendría el triple de lo que
te quedaría”. ¿Cuántas galletas tiene Ana?
A. 10 B. 25 C. 40 D. 30 E. 35
22. Se han comprado un traje, un bastón y un sombrero por
$259. El traje costó 8 veces lo que costo el sombrero y
el bastón $30 menos que el traje. Halla la diferencia del
precio del sombrero con el traje.
A. $ 110 B. $ 115 C. $ 119 D. $ 112 E. $ 215
23. En una reunión de amigos los cuales estaban en pareja,
cada varón compra una caja de chocolates para cada
dama. En cada caja el número de chocolates es tanto
como el número total de cajas, y estas son tantas como
el triple del número de soles que cuesta cada chocolate.
Si los varones gastan en total 243 soles. ¿cuántas
damas son las damas afortunadas?
A. 15 B. 18 C 12 D. 9 E. 6
24. Un rajá dejó en herencia a sus hijas cierto número de
perlas. Tenían que repartírselas de una forma muy
especial. Cada hija recibiría: La mayor, una perla más
1/7 de las restantes, la segunda dos perlas más 1/7 de
las tres restantes, la tercera tres perlas más 1/7 de las
restantes, y así sucesivamente todas las demás hijas.
Las hijas menores se sintieron perjudicadas por este
reparto. El juez, tras contar las perlas, les dijo que todas
ellas se llevarían el mismo número de perlas. ¿Cuántas
hijas y perlas había? Dar como respuesta la suma de
ambos resultados.
A. 36 B. 42 C. 50 D. 35 E. 48
25. Un asunto fue sometido a votación de 800 personas y se
perdió, habiendo votado de nuevo las mismas personas
sobre el mismo asunto, fue ganado el caso por el triple
de votos por el que había sido perdido y la nueva
mayoría fue con respecto a la anterior como 13 es a 11.
¿Cuántas personas cambiaron de opinión entre la
primera y segunda votación?
A. 416 B. 160 C. 150 D. 220 E. 180
47
APREMUNI AMBO-2020
EDADES
En estos problemas intervienen personas cuyas edades se
relacionan a través del tiempo. Estas relaciones se traducen
en una o más ecuaciones.
RELACIÓN CON EL AÑO DE NACIMIENTO
Si la persona ya cumplió año:
Año de Nac. + Edad = Año actual
Si la persona aún no cumple años:
Año de Nac. + Edad = Año actual - 1
PRÁCTICA N°. 05 - II
1. Cuando transcurran “m+n” años a partir de hoy, tendré
el triple de la edad que tenía hace “m-n” años.
Actualmente tengo:
A. (2m + n) años B. 2(m+n) años C. (2m- n) años
D. (n-2m) años E. (3m-2n) años
2. La diferencia de los cuadrados de las edades de
Graciela y Merly es 49. Si Graciela le lleva por un año a
Merly, ¿cuántos años deben transcurrir para que la edad
de Merly sea un cuadrado perfecto?
A. 1 B. 5 C. 10 D. 12 E. 15
3. Si tuviera 15 años más de la edad que tengo, entonces
lo que me faltaría para cumplir 78 años sería los cinco
tercios de la edad que tenía hace 7 años. Dentro de 5
año que edad tendré.
A. 28 B. 30 C. 33 D. 42 E. 48
4. La edad que tendré de “m” años es a la que tenía hace
“m” años como 5 es a 3. ¿Qué edad tendré dentro de
“2m” años?
A. 4m B. 6m C. 5m D. 7m E. 3m
5. Dentro de 10 años, la edad de un padre será el doble de
la edad de su hijo. ¿Cuál es la edad actual del hijo, si
hace 2 años, la edad del padre era el triple que la del
hijo?
A. 38 B. 20 C. 14 D. 27 E. 32
6. La suma de las edades actuales de 2 hermanos es 60
años, dentro de 5 años el mayor tendrá el doble de la
edad que tenía el menor hace 5 años. Hallar la suma de
cifras de la edad actual del mayor.
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 E. 9
7. Las edades actuales de 2 amigos son entre sí, como 7
es a 5, pero hace 4 años estaban en la relación de 3 es
a 2. ¿Dentro de cuántos años sus edades estarán en la
relación de 9 es a 7?
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 E. 12
8. Augusto le dice a Patty: Dentro de 10 años yo tendré el
doble de tu edad, a lo que Patty le responde: “Es cierto,
pero hace 5 años tu edad era el quíntuple de la mía”.
¿Qué edad tiene Augusto?
A. 30 B. 10 C. 20 D. 14 E. 28
9. Cuando tú tengas el cuádruple de la edad que él tenía,
entonces él tendrá exactamente 50 años, menos la edad
que tú tenías. ¿Cuál será tu edad en ese entonces?
A. 30 B. 40 C. 38 D. 42 E. 44
10. Cuando Kelith le preguntó a César por la edad que
tenías, éste respondió: Tengo el triple de la edad que tú
tenías, cuando yo tenía la mitad de la edad que tienes y
cuando tengas la edad que tengo, tendré tanto como tú
tendrás dentro de 8 años. La edad de César es:
A. 32 B. 34 C. 36 D. 40 E. 72
11. Stephani tiene 30 años, su edad es el quíntuple de la
que tenía Corina, cuando Stephani tenía la tercera parte
de la edad actual de Corina. ¿Cuál es la edad actual de
Corina?
A. 14 B. 15 C. 28 D. 27 E. 30
12. Juanito le dice a Estela: actualmente tengo el doble de
la edad que tú tenías cuando yo tenía tu edad y cuando
tú tengas mi edad entre ambos sumaremos 108 años.
¿Cuántos años tengo?
A. 48 B. 24 C. 20 D. 18 E. 32
13. Las edades de dos personas están en la relación de 5 a
7. Dentro de 10 años la relación será de 3 a 4. ¿Hace 10
años cuál era la relación de dichas edades?
A. 3 a 5 B. 2 a 5 C. 1 a 2 D. 4 a 3 E. 2 a 3
14. Al ser consultada por su edad, Marilú responde si al
doble de mi edad le quitan 13 años, se obtendrá lo que
falta para tener 50 años. ¿Cuál es la edad de Marilú?
A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 E. 24
15. La edad que tiene actualmente Luis es la misma edad
que tenía Jaime hace 6 años, justamente cuando Luis
tenía 20 años. ¿Qué edad tiene Jaime actualmente?
A. 20 B. 24 C. 26 D. 32 E. 36
16. La edad de Juan es el triple de la edad de Carmen pero
dentro de 50 años, el tendrá 11/7 de lo que ella tenga.
¿Qué edad tenía Juan cuando Carmen tenía 10 años?
A. 30 B. 40 C. 45 D. 50 E. 60
17. La suma de las edades de Pascual y Javier es 50, pero
dentro de 12 años la diferencia de edades será 10.
Hallar la edad de Pascual, si se sabe que este es el
mayor.
A. 20 B. 24 C. 28 D. 30 E. 32
18. Hace 6 años la suma de las edades de Carlos y Jorge
era 42. Si actualmente Carlos tiene el doble de la edad
de Jorge, hallar la edad de Jorge dentro de tres años.
A. 18 B. 21 C. 23 D. 36 E. 39
19. Hace 10 años de edad de Milagros y la edad de Silvia
estaban en la relación de 1 a 3; pero, dentro de 5 años,
sus edades serán como 3 a 4. ¿Cuál es la edad de
Milagros?
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 E. 14
20. Jorge nació 6 años antes de Juan. En 1970, la suma de
sus edades era la cuarta parte de la suma de sus
edades, en 1985. ¿En qué año la suma será el doble de
la correspondiente a 1985?
A. 2000 B. 1998 C. 2 005 D. 1999 E. 2 001
21. Cuanto tú naciste yo tenía la tercera parte de la edad
que tengo ahora. ¿Cuál será tu edad cuando yo tenga el
doble de la edad que tienes, si en ese entonces
nuestras edades sumarán 56 años?
A. 12 B. 15 C. 20 D. 22 E. 24
48
APREMUNI AMBO-2020
22. Un padre comenta: "Mi hija es ahora dos veces menor
que yo; pero, hace 5 años, era tres veces menor";
¿cuántos años tiene mi hija?
A. 15 B. 20
C. 25 D. 12 E. 18
23. Hace 15 años, la edad de Ana y la edad de Betty
estaban en la relación de 3 a 7; pero, dentro de 10 años,
sus edades serán como 4 a 6. ¿Qué edad cumplirá Ana
dentro de 10 años?
A. 30 B. 40 C. 45 D. 25 E. 35
24. Hace 6 años, las edades de Antonio y Dina estaban en
la relación de 1 a 4; pero, dentro de 8 años, sus edades
serán como 5 a 6. ¿Cuál será la edad de Antonio dentro
de 10 años?
A. 10 B.12 C.17 D. 20 E. 21
25. Yo tengo el triple de la edad que tú tenías cuando yo
tenía el triple de la edad que tuviste cuando tuve yo la
novena parte de la edad que tengo ahora. Si nuestras
edades suman 72 años, ¿cuántos años tengo?
A. 36 B. 27 C. 25 D. 32 E. 29
26. Él tiene la edad que ella tenía cuando él tenía la tercera
parte de la edad que ella tiene; si ella tiene cinco años
más de los que él tiene, ¿cuál es la edad de ella?
A. 9 B. 12 C. 16 D. 10 E. 15
27. La suma de las edades de Ana, Betty y Karla es 37
años; al acercarse Karla, Ana le dice: "Cuando tú
naciste yo tenía 5 años, pero cuando Betty tenía un año,
tú tenías 5 años". Calcular la suma de edades de Ana y
Karla dentro de 6 años.
A. 20 B. 38 C. 41 D. 35 E. 29
28. Un hombre, nacido en la primera mitad del siglo XIX,
tenía "x" años en el año "x". ¿En qué año nació? Dar
como respuesta la suma de cifras.
A. 15 B. 20 C. 1.3 D. 17 E. 16
MÓVILES
PRÁCTICA N°. 05 - III
1. Juana se dirige desde su casa a la academia, en
bicicleta, empleando un tiempo de 30 minutos; para
volver, aumenta su velocidad inicial en 4m/min,
demorándose esta vez 6 minutos menos. ¿Cuál es la
distancia que recorrió en total?
A. 960 m B. 920 m C. 860 m D. 880 m E. 940 m
2. Félix va de A a B en dos horas. Al volver, como él ha
recorrido 11m más por minuto, ha recorrido el trayecto
en 15 minutos menos. Hallar la distancia entre A y B.
A. 10,75 km B. 12,5 km C. 8,84 km
D. 11,5 km E. 9,24 km
3. La rapidez de 2 móviles son entre sí como 3 es a 4.
¿Dentro de cuánto tiempo estarán separados una
distancia de 60km, si partieron juntos en el mismo
sentido, sabiendo además que la diferencia de sus
velocidades es de 10 km/h?
A. 6 H B. 7 H C. 8 H D. 9 H E. 5 h
4. Viajando a 100 km/h un piloto llegaría a su destino a
las 19 horas. Viajando a 150 km/h llegaría a las 17
horas. ¿Con qué velocidad debe viajar si desea llegar
a las 18 horas?
A. 125 km/h B. 120 km/h C. 130 km/h
D. 135 km/h E. 132 km/h
5. Alex y Luisa discuten acaloradamente en una de las
esquinas de la avenida Arequipa, de pronto dan por
terminada su relac ión partiendo en direcciones
perpendiculares con velocidades de 16 y 12 m/s
respectivamente. ¿Después de qué tiempo estos
personajes estarán a una distancia de 90m,
lamentando su decisión?
A. 4 s B. 5 s C. 6 s D. 4,5 s E. 7 s
6. Pedro y Juan inicialmente separados una distancia de
1030 m, corren al encuentro el uno del otro, a razón de
65 m/min y 85 m/min respectivamente, si Pedro salió 2
minutos antes que Juan y el encuentro se produjo
justo al mediodía. ¿A qué hora se puso a correr
Juan?
A. 11 h 38min B. 11 h 54min C. 11 h 42min
D. 11 h 57min E. 11 h 49min
7. Tres autos se desplazan en una pista circular con
velocidades que son proporc ionales a 4; 5 y 7
respectivamente. Si la suma de los tiempos que ha
tardado cada uno en dar una vuelta a la pista es 2min
46s. ¿Cuál es el tiempo que ha tardado el más veloz
en dar una vuelta?
A. 30 s B. 20 s C. 40 s D. 35 s E. 50 s
8. Dos transbordadores cuyas longitudes son 120 y
180m, se desplazan en sentidos contrarios y
rectilíneos con velocidades de 7m/s y 23m/s
respectivamente. ¿Cuánto tiempo demoran en
cruzarse?
A. 13 s B. 10 s C. 23 s D. 35 s E. 30 s
49
APREMUNI AMBO-2020
9. Alessandro y Lucas están separados 600 m y parten
al mismo tiempo al encuentro uno del otro. Después
de cuánto tiempo estarán separados 200 metros
por segunda vez, si las velocidades de Alessandro y
Lucas son 20m/s y 30m/s respectivamente?
A. 20 s B. 32 s C. 16 s D. 24 s E. 18 s
10. Un tren tiene que recorrer 360 km en un tiempo
determinado. En la mitad del trayecto tuvo que
detenerse durante 1 hora y en el resto del recorrido
aumentó su velocidad en 2 km/h. ¿Cuánto tiempo
empleó el tren en el viaje?
A. 30 h B. 20 h C. 25 h D. 24 h E. 28 h
11. Dos móviles separados por una distancia de 120m
parten en sentidos opuestos uno al encuentro del otro
simultáneamente con velocidades de 4m/s y 6m/s,
respectivamente. ¿Luego de cuántos segundos se
encontraron por segunda vez, si ellos llegan a
recorrer los 120m y vuelven a su punto de partida?
A. 12 s B. 18 s C. 24 s D. 30 s E. 36 s
12. Un camión emplea 8 segundos en pasar delante de
un observador y 38 segundos en recorrer una
estación de 120 m de longitud. Halla la longitud del
camión.
A. 45 m B. 38 m C. 30 m D. 32 m E. 60 m
13. Dos autos parten de un mismo punto y se mueven en
el mismo sentido con velocidades de 40 m/s y 20 m/s.
Delante de ellos, a 900 m, hay un árbol. ¿Después
de qué tiempo los móviles equidistan del árbol?
A. 40 s B. 30 s C. 20 s D. 18 s E. 16 s
14. Sebastián debe recorrer 80 km en 4 horas, llegó a la
cuarta parte del camino y observó que su velocidad
media fue de 5km/h inferior a la que debió llevar.
¿Cuál fue la velocidad en km/h durante el tiempo que
le restó, si llegó a la hora fijada?
A. 20,5 B. 22,5 C. 21 D. 21,5 E. 25
15. Una persona ubicada entre dos montañas emite un
grito y recibe el primer eco a los 3s y el segundo a las
3,6s. ¿Cuál es la separación entre las montañas?
A. 2080 m B. 2040 m C. 1020 m
D. 1122 m E. 2244 m
16. En una pista circular de 3000 m dos atletas parten
juntos en sentido contrario y se cruzan al cabo de
20min. Después de 5min llega el más veloz al punto de
partida. ¿Cuál es la velocidad del otro en m/min?
A. 120 B. 36 C. 40 D. 18 E. 30
17. Tres trenes parten del mismo punto y siguen sobre
vías paralelas y en la misma dirección, el primero
parte a las 06:00 h, el segundo a las 07:00 h y el
tercero a las 09:00. Siendo sus velocidades de 25; 30
y 40km/h respectivamente. ¿A qué hora el tercer tren
estará en el punto medio de la distancia que separa al
primero y del segundo?
A. 14 : 24 h B. 16 : 32 h C. 19 : 15 h
D. 18 : 32 h E. 19 : 12 h
18. Una persona debe llegar a un determinado lugar a las
12 del mediodía y observa que caminando a razón de
3km/h llegaría 5 horas después y caminando a 6 km/h
llegaría 5 horas antes. ¿Con qué velocidad debe
caminar para llegar a las 12m?
A. 3 km/h B. 4 km/h C. 5 km/h
D. 6 km/h D. 2 km/h
CAPÍTULO VI
CRONOMETRIA
El tema de cronometría está relacionado con la medida del
tiempo a través de un reloj u otro dispositivo afín. Se divide
en:
1. CAMPANADAS
Está relacionado con el número de campanadas, golpes,
sonidos, etc. Y para su desarrollo se emplea un esquema
práctico.
Propiedad:
2. TIEMPO TRANSCURRIDO (TT) Y TIEMPO QUE
FALTA TRANSCURRIR (TFT)
Está relacionado con el tiempo que transcurrió (del día, del
año, etc.) y el tiempo por transcurrir. Y para su desarrollo es
recomendable emplear un esquema.
3. ADELANTOS Y ATRASOS
Está relacionado con los relojes defectuosos que tienen un
mal funcionamiento. Para el desarrollo de los problemas, es
recomendable utilizar un esquema.
Cuando el Reloj se atrasa
AtrasoAtrasada.HalReHora
AtrasoIndicada.HalReHora
AtrasoFalsa.HalReHora
AtrasoMarcada.HalReHora
Cuando el Reloj se adelanta
AdelantooAdelantada.HalReHora
AdelantoIndicada.HalReHora
AdelantoFalsa.HalReHora
AdelantoMarcada.HalReHora
Hora real = Hora exacta
C : Nº de campanadas
I : Nº de intervalos
T : Tiempo total
T : valor del intervalo
1CI t.IT
50
APREMUNI AMBO-2020
4. MANECILLAS
Está relacionado con las manecillas de un reloj. Se
divide en:
A. ÁNGULOS
Cuando el minutero se adelanta al horario
Cuando el horario se adelanta al minutero
B. RELACION ENTRE MANECILLAS
I. División y grados
60 div <> 360º 1 div <> 6º
I. Grados y minutos
360º <> 60 min 6 <> 1 min
II. División, Grados y minutos
60 div <> 360º <> 60 min
1 división <> 6º <> 1 minutos
PRÁCTICA N°. 06 - I
1. Un reloj da 2 campanadas en 2 segundos ¿en cuántos
segundos dará 3 campanadas?
A. 4
B. 7
C. 5
D. 8
E. 6
2. Una alarma suena 5 veces por segundo, ¿cuántas
veces sonará en 1 minuto?
A. 300
B. 240
C. 301
D. 241
E. 299
3. Si un campanario tarda 15/2 segundos en tocar 16
campanadas. ¿Cuántas campanadas tocará en 2m
segundos?
A. 4m
B. 4m+1
C. m+2
D. m+3
E. m-1
4. Un campanario toca 3 campanadas en 2segundos.
¿Cuánto tiempo demora en tocar 9 campanadas?
A. 7
B. 8
C. 6
D. 5
E. 9
5. Las ovejas saltan periódicamente sobre una cerca, si 4
ovejas saltan en 4 minutos, ¿cuántas ovejas saltan en
1 hora?
A. 45
B. 16
C. 36
D. 240
E. 46
6. Tysson da golpes en segundos.
¿Cuántos segundos tardará en dar golpes?
A.
B.
C.
D.
E.
7. Un boxeador demora A segundos en dar B golpes.
¿Cuánto tiempo demora en dar B2 golpes?
A. (B+1)A
B. A
C. (B-1)A
D. A2
E. AB
8. Un reloj señala la hora con igual número de
campanadas. Para indicar las 6am demoró 15
segundos ¿cuánto tiempo empleará en indicar las 8
am?
A. 30seg
B. 21seg
C. 15seg
D. 24seg
E. 38seg
9. El campanario de una iglesia estuvo tocando durante
21 segundos, si se escucharon tantas campanadas
como 10 veces el tiempo que hay entre campanada y
campanada. ¿Cuánto tiempo empleará este
campanario para tocar 7 campanadas?
A. 7seg
B. 9seg
C. 8seg
D. 6seg
E. 10seg
10. Un reloj da 4 campanadas en 6 segundos. ¿En cuántos
segundos dará 8 campanadas?
A. 6seg
B. 8seg
C. 10seg
D. 12seg
E. 14seg
11. Dos campanas A y B empiezan tocando
simultáneamente y cada una toca a intervalos iguales,
además A da 6 campanadas en 35 horas y B da 6
campanadas en 15 horas. ¿Cuántas horas transcurren
hasta que vuelven a tocar simultáneamente?
A. 12h
B. 21h
C. 18h
D. 36h
E. 24h
12. ¿Qué hora es? Si dentro de 35 minutos faltarán para
las 18h; 5 minutos más que los minutos transcurridos
desde las 16h
A. 16h40
B. 16h20
C. 17h40
D. 17h20
E. 18h40
13. Hace ya 45 horas que un reloj se adelanta 3 minutos
cada 5 horas. ¿Qué hora señalará el reloj cuando sean
en realidad las 8h50min?
A. 09:17
B. 09:30
C. 10:17
D. 10:30
E. 11:17
14. Un reloj indica las horas con igual número de
campanadas, las medias horas dando 4 campanadas e
indica los cuartos de hora con 1 campanada. ¿cuántas
campanadas dará en un día entero?
A. 200
B. 300
C. 1000
D. 1500
E. 400
15. Un reloj anuncia las horas con un número de
campanadas igual a las horas que está indicando, para
anunciar los cuartos de hora da una campanada, y para
anunciar las medias horas da dos campanadas, pero el
reloj se malogró a la 1:00am, con lo cual deja de dar
una campanada en todos los casos. ¿Cuántas
campanadas ha dado el reloj desde las 10:00 horas
hasta las 12:15 horas?
A. 37
B. 32
C. 82
D. 36
E. 45
`X
º
2
x
)º6( x
Minutos H M
51
APREMUNI AMBO-2020
16. Un reloj marca la hora exacta un día a las 6:00pm,
suponiendo que se adelanta 3 minutos cada 12 horas a
partir de dicha hora. ¿cuánto tiempo pasará para que
marque nuevamente la hora correcta?
A. 200 días
B. 220 días
C. 120 días
D. 100 días
E. 230 días
17. Un reloj se adelanta 36 minutos cada 2 horas y otro se
atrasa 30 minutos cada 5 horas ¿dentro de cuántos
días volverán a marcar la misma hora?
A. 12
B. 1
C. 30
D.
E.
18. Un reloj se atrasa 3 minutos cada hora; y al cabo de 6
horas, luego de sincronizarlo con la hora correcta,
marca las 8:17 ¿cuál será la hora correcta?
A. 8:25
B. 8:42
C. 8:35
D. 9:12
E. 10:01
19. Hace ya 90 horas que un reloj se adelanta 2 minutos
cada 5 horas ¿qué hora señalará el reloj cuando sean
en realidad 6:18?
A. 6:54
B. 7:02
C. 9:30
D. 9:32
E. 7:18
20. A partir de las 10am de hoy lunes, un reloj empieza a
atrasarse por cada hora, 3 minutos ¿qué hora estará
marcando el día martes a las 6pm?
A. 03:26
B. 04:24
C. 05:06
D. 03:56
E. 04:21
21. Un reloj se adelanta 1 minuto por hora, si empieza
correctamente a las 12 del mediodía del día jueves 16
de septiembre ¿cuándo volverá a señalar la hora
correcta?
A. 10/Oct
B. 30/Sept
C. 16/Oct
D. 04/Oct
E. 10/Sept
22. Un reloj adelanta 7 min cada hora y otro se atrasa 13
min cada hora, ambos relojes se ponen a la hora a las
12 del día ¿Después de cuánto tiempo el primero
estará alejado 30min respecto al otro?
A. 20min
B. 70min
C. 90min
D. 15min
E. 315min
23. Un reloj se atrasa 3 minutos cada 2 horas y otro se
adelanta 2 minutos cada hora, si se malograron en el
mismo instante. A partir de este último momento
¿después de cuántos días volverán a marcar
simultáneamente, la hora correcta?
A. 20
B. 45
C. 120
D. 60
E. 95
24. En el instante de comenzar un año no bisiesto, un reloj
señala las 11 horas 40 minutos y 25 segundos. Se
supone que va adelantado. Este reloj se atrasa el
primer día del año 1seg, el segundo día 3seg, el tercer
día 5seg y así sucesivamente. Al comenzar un día del
año, el reloj marcará la hora en punto. ¿cuál será ese
día?
A. 23/Jul
B. 24/Jul
C. 25/Jul
D. 26/Jul
E. 27/Jul
25. Un reloj se atrasa un cuarto de minuto durante el día,
pero debido al cambio de temperatura, se adelanta un
tercio de minuto durante la noche, al cabo de cuántos
días habrá adelantado 2 minutos, sabiendo que hoy al
atardecer marca la hora exacta.
A. 10
B. 12
C. 20
D. 24
E. 30
SUFICIENCIA DE DATOS
Es un tipo de preguntas que consiste en reconocer qué
datos son suficientes o necesarios para obtener la solución
de un problema.
En las preguntas de este tipo se propone un problema y,
generalmente, se ofrecen 2 informaciones para resolverlo. El
objetivo es identificar qué información se necesita para
resolver el problema, para discriminar y marcar:
A) El Dato I es suficiente.
B) El Dato II es suficiente.
C) Es necesario utilizar ambos datos.
D) Cada uno de los datos, por separado, es suficiente.
E) Los datos proporcionados son insuficientes.
RECUERDA
Se debe tener en cuenta que un dato tendrá la
información suficiente solo si con este se puede obtener
única respuesta al problema planteado.
Se puede empezar el análisis intentando resolver el
problema con cada información por separado.
Al resolver el problema con cada información por
separado, no necesariamente se debe obtener el mismo
resultado.
Lo importante no es encontrar la solución del problema,
sino determinar la información que se requiere para
resolverlo.
PROCESO SUGERIDO PARA RESOLVER PROBLEMAS
DE SUFICIENCIA DE DATOS
EJEMPLO: Determina el valor de “X”
I) x + 3 y = 7
II) x -2 y = 5
Entonces se puede concluir que:
52
APREMUNI AMBO-2020
A. El Dato I es suficiente.
B. El Dato II es suficiente.
C. Es necesario utilizar ambos datos.
D. Cada uno de los datos, por separado, es suficiente.
E. Los datos proporcionados son insuficientes.
SOLUCIÓN:
* Con el primer dato es imposible, porque existen infinitas
soluciones.
* Con el segundo dato es imposible, porque existen infinitas
soluciones.
Si combino las dos informaciones, tengo un sistema de 2
ecuaciones
con 2 incógnitas, si las sumo podré obtener el
valor de “X”.
RESPUESTA: C
PRÁCTICA N°. 06 - II
1. De cuatro números enteros el mayor es “w” y el menor
es “x” siendo ambos impares y los dos restantes “y” y
“z”, son pares, comprendidos entre 2 y 10.
Considerando la siguiente información:
I. w + x = 14
II. y > 5 ; y – z = 2
A. El Dato I es suficiente.
B. El Dato II es suficiente
C. Es necesario utilizar ambos datos.
D. Cada uno de los datos, por separado, es suficiente.
E. Los datos proporcionados son insuficientes.
2. ¿Qué edad tiene el menor de tres hermanos, si el mayor
tiene 10 años más que él y 3 años más que el segundo?
Con la información brindada:
I. El segundo tiene 11 años.
II. La suma de las edades de los tres hermanos es 29
años.
Para resolver la pregunta:
A. El Dato I es suficiente.
B. El Dato II es suficiente
C. Es necesario utilizar ambos datos.
D. Cada uno de los datos, por separado, es suficiente.
E. Los datos proporcionados son insuficientes.
3. Hallar a + b
Datos:
I. a es el doble de b
II. a es 17 unidades mayor que b
Para resolver la pregunta:
A. El Dato I es suficiente.
B. El Dato II es suficiente
C. Es necesario utilizar ambos datos.
D. Cada uno de los datos, por separado, es suficiente.
E. Los datos proporcionados son insuficientes.
4. Hallar el MCD de los enteros positivos y diferentes A, B
y C.
Datos:
I. B y C son números consecutivos
II. A es el único número par
Para resolver la pregunta:
A. El Dato I es suficiente.
B. El Dato II es suficiente
C. Es necesario utilizar ambos datos.
D. Cada uno de los datos, por separado, es suficiente.
E. Los datos proporcionados son insuficientes.
5. Una empresa necesita cubrir 17 nuevos puestos de
trabajo, para lo cual realiza un concurso de selección. Si
en el concurso se presentan 36 postulantes en total y en
13 puestos se presentan más de una persona por
puesto, ¿qué dato es suficiente para saber en cuántos
puestos se presentarán 3 postulantes?
Datos:
I. El número máximo de postulantes por puesto es de 3
II. El total de puestos donde hubo dos postulantes fue 7
III. En todos los puestos, por lo menos hubo un postulante
Para resolver la pregunta:
A. I, II y III B. II y III C. II D. I y II E. B o D
6. Se requiere determinar el volumen de un cilindro recto.
Datos:
I. Se conoce el perímetro de la base y la relación entre
la altura y el radio
II. Se conoce el área lateral del cilindro y el radio de la
base.
Para resolver la pregunta:
A. El Dato I es suficiente.
B. El Dato II es suficiente
C. Es necesario utilizar ambos datos.
D. Cada uno de los datos, por separado, es suficiente.
E. Los datos proporcionados son insuficientes.
7. La figura muestra un triángulo ABC, donde desde sus
lados miden AB=2cm, BC=5cm; además , es un ángulo
agudo.
Calcular el perímetro del triángulo ABC, considerando la
siguiente información:
I. El triángulo ABC es isósceles
II. El valor del ángulo .
Para resolver la pregunta:
A. El Dato I es suficiente.
B. El Dato II es suficiente
C. Es necesario utilizar ambos datos.
D. Cada uno de los datos, por separado, es suficiente.
E. Los datos proporcionados son insuficientes.
8. Determine el valor de Datos:
I.
II.
Para resolver la pregunta:
A. El Dato I es suficiente.
B. El Dato II es suficiente
C. Es necesario utilizar ambos datos.
D. Cada uno de los datos, por separado, es suficiente.
E. Los datos proporcionados son insuficientes.
9. ¿Qué se necesita para saber cuántos kilogramos de
carne come en una semana de seis gatos, seis perros y
sesenta ratones?
Datos:
I. Ocho gatos comen 1kg en un día y cuatro perros
comen 1kg en un día.
II. Doce gatos comen 3kg en dos días y diez ratones
comen 1kg en dos días.
Para resolver la pregunta:
A. El Dato I es suficiente.
B. El Dato II es suficiente
C. Es necesario utilizar ambos datos.
D. Cada uno de los datos, por separado, es suficiente.
E. Los datos proporcionados son insuficientes.
10. Con los números reales a, b, c. Halla ac – bc.
Datos: I. b = a II. c = 0
Para resolver la pregunta:
A. El Dato I es suficiente.
B. El Dato II es suficiente
C. Es necesario utilizar ambos datos.
D. Cada uno de los datos, por separado, es suficiente.
E. Los datos proporcionados son insuficientes.
11. Halla el valor de x
Datos:
I. .
II.
Para resolver la pregunta:
A. El Dato I es suficiente.
B. El Dato II es suficiente
C. Es necesario utilizar ambos datos.
D. Cada uno de los datos, por separado, es suficiente.
E. Los datos proporcionados son insuficientes.
53
APREMUNI AMBO-2020
12. Calcular el área del triángulo isósceles ABC.
Datos:
I. .
II. .
Para resolver la pregunta:
A. El Dato I es suficiente.
B. El Dato II es suficiente
C. Es necesario utilizar ambos datos.
D. Cada uno de los datos, por separado, es suficiente.
E. Los datos proporcionados son insuficientes.
13. En un cuarto de círculo, hallar el perímetro de A, lo otro
es semicircunferencia.
Datos:
I. El perímetro de B
II. El perímetro del cuarto de círculo.
Para resolver la pregunta:
A. El Dato I es suficiente.
B. El Dato II es suficiente
C. Es necesario utilizar ambos datos.
D. Cada uno de los datos, por separado, es suficiente.
E. Los datos proporcionados son insuficientes.
14. Se requiere determinar el número de asistentes a una
reunión de padres de familia.
Datos:
I. El 60% de los asistentes son mujeres.
II. El número de mujeres excede en 10 al número de
hombres.
Para resolver la pregunta:
A. El Dato I es suficiente.
B. El Dato II es suficiente
C. Es necesario utilizar ambos datos.
D. Cada uno de los datos, por separado, es suficiente.
E. Los datos proporcionados son insuficientes.
15. En una bolsa están contenidas bolas verdes, amarillas y
blancas. Si en total existen nueve bolas, se desea saber
de cuántas maneras distintas se pueden ordenar dichas
bolas.
Datos:
I. Existen 3 bolas verdes y 4 bolas blancas.
II. Dentro de la bolsa existen además 2 bolas amarillas.
Para resolver la pregunta:
A. El Dato I es suficiente.
B. El Dato II es suficiente.
C. Es necesario utilizar ambos datos.
D. Cada uno de los datos, por separado, es suficiente.
E. Los datos proporcionados son insuficientes.
16. Hallar .
Datos:
I. .
II. .
Para resolver la pregunta:
A. El Dato I es suficiente.
B. El Dato II es suficiente
C. Es necesario utilizar ambos datos.
D. Cada uno de los datos, por separado, es suficiente.
E. Los datos proporcionados son insuficientes.
CAPÍTULO VII
PSICOTECNICO
Una sucesión es un conjunto ordenado de números, letras y
figuras que guardan una relación entre sí de acuerdo a una
regla de formación.
Sucesiones numéricas
Determina qué número continúa en la siguiente
sucesión
5; 7; 13; 16; 13; …
Sucesiones literales y alfanuméricas
Determina qué término continúa en la siguiente
sucesión
4A, 6B, 10D, 14G, …
Figuras discordantes
Identifica qué figura no tiene relación con las
demás.
Analogías de figuras
Relaciona la siguiente analogía
Series de figuras
Señala que figura sigue en la siguiente sucesión.
Analogías y distribuciones numéricas
Determina el número que falta.
54
APREMUNI AMBO-2020
PRÁCTICA N°. 07 - I
1. ¿Qué figura no corresponde al grupo?
A. B. C. D. E.
2. ¿Qué figura no tiene relación con las demás?
A. B. C.
D. E.
3. ¿Qué figura sigue en la siguiente sucesión?
?
A. B. C. D. E.
4. ¿Qué figura no corresponde con las demás?
A. B. C.
D. E.
5. Indicar la figura que falta.
A. B. C. D. E.
6. Relacione lo siguiente:
es a es a:como
A. B. C. D. E.
7. Indicar la figura que falta.
?
A. B. C. D. E.
8. Relacione lo siguiente:
es a como es a ...
A. B. C.
D. E.
9. Relacione lo siguiente:
es a es a:como
A. B. C. D. E.
10. ¿Qué figura sigue en la siguiente sucesión?
; ;
... ?
A. B. C. D. E.
11. Indicar que figura falta.
12. Determina el número que continúa: 7 ; 13 ; 24 ; 45 ; …
A. 85 B. 86 C. 87 D. 84 E. 88
13. En la siguiente sucesión, halla el término que sigue.
1 ; 2 ; 0 ; 3 ; –1 ; 4 ; –2 ; …
A. 4 B. 5 C. 6 D. 3 E. 7
14. Determina el término que continúa.
5 ; 4 ; 4 ; 7 ; 16 ; 36 ; 74 ; …
A. 131 B. 141 C. 151 D. 121 E. 161
15. Identifica el término que sigue: 0 ; 0 ; 1 ; 3 ; 7 ; 14 ; …
A. 23 B. 26 C. 27 D. 21 E. 37
16. Infiere qué letra falta: A , E , I , …
A. N B. M C. U D. R E. S
17. Identifica que letra continúa la secuencia.
A , B , E , J , P , …
A. X B. Y C. Z D. A E. B
18. Determina qué letra continúa: D , D , N , O , O , D , …
A. F B. M C. J D. S E. A
A. B. C.
D. E.
?
55
APREMUNI AMBO-2020
19. Determina la figura que continúa adecuadamente la
secuencia.
; ; ; …
A. B. C. D. E.
20. Identifica el número que falta.
12 22 34
42 20 22
26 38 …
A. 12 B. 21 C. 24 D. 41 E. 34
21. Indica el número que falta.
7 ( 5 ) 3
6 ( 9 ) 12
11 ( ) 1
A. 3 B. 4 C. 5 D. 2 E. 6
22. Calcula el valor del número que falta.
2 ( 23 ) 5
6 ( 63 ) 2
4 ( ) 3
A. 46 B. 56 C. 64 D. 44 E. 54
23. Determina el número que falta.
314 ( 16 ) 125
122 ( 13 ) 215
305 ( ) 204
A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 E. 18
24. Halla el valor de x.
A. 15
B. 16
C. 17
D. 18
E. 19
25. Determina el valor de x.
A. 8
B. 9
C. 10
D. 7
E. 11
26. Halla el valor de x.
A. 8
B. 9
C. 12
D. 11
E. 10
27. Calcula el valor de x.
A. 15
B. 16
C. 17
D. 18
E. 19
28. ¿Qué número continúa en la sucesión?
5 ; 7 ; 11 ; 19 ; 35 ; ...
A. 101 B. 67 C. 70 D. 115 E. 95
29. Halla “a + b” en la siguiente sucesión:
12; 48; 9; 36; 6; 24; a; b; . . .
A. 12 B. 24 C. 15 D. 18 E. 28
30. Halla el término que continúa en:
2; 5; 13; 36; . . .
A. 100 B. 72 C. 104 D. 124 E. 88
31. ¿Qué número continúa en la sucesión?
3; 2; 5; 14; 57; . . .
A. 236 B. 149 C. 284 D. 254 E. 302
FORMACIÓN DE PALABRAS, RUTAS Y CAMINOS
Formación de palabras
Este tema consiste en buscar de cuántas maneras se puede
leer una determinada palabra.
Casos
Para arreglos de la forma
1n2...leerdemanerasdeN
letras"n"Para
EEEEE
HHHH
CCC
AA
P
Para arreglos de la forma
1n3...leerdemanerasdeN
letras"n"Para
EEEEEEEEE
HHHHHHH
CCCCC
AAA
P
Para arreglos de la forma
6
33
121
11
1
aditivoprincipioelaplicaSe
E
HH
CCC
AA
P
Rutas y caminos
Conteo de rutas
Consiste en determinar el número de caminos que hay de
un punto a otro bajo ciertas condiciones.
Tipos de grafos
Grafos dirigidos: Se debe seguir una dirección, sin
retroceder.
Grafos no dirigidos: No tienen una dirección determinada.
B
A
B
A
1 11
2
9
3 5
7
8
7 3
12
x
11
3 2
2 1
13
2 6
1 3
x
3 5
1 6
7 18
30
6
16 9
x
3
3 6
30
10
2 1
3
5
4 2
4
12
1 6
3
x
56
APREMUNI AMBO-2020
Triángulo de pascal
Se emplea cuando las rutas se deben realizar siempre
avanzando.
PRÁCTICA N°. 07 – II
11.. De cuántas maneras puedo leer “INGRESO” en la
siguiente distribución.
A. 32
B. 64
C. 63
D. 128
E. 127
22.. ¿De cuántas formas se lee “NOTESALIO” en el
siguiente arreglo?
A. 511 B. 127 C. 128 D. 512 E. 255
33.. En el siguiente arreglo de letras, ¿de cuántas formas
distintas se puede leer “TUPUEDES” a igual distancia
una letra de otra en cada lectura?
A. 384 B. 127 C. 256 D. 512 E. 255
44.. Halla el total de palabras “DIOS” que hay en el siguiente
arreglo literal:
1 D I O S
2 D I O S
3 D I O S
4 D I O S
10 D I O S
A. 80 B. 299 C. 92 D. 301 E. 68
55.. ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra
“CEPREVAL”?
A. 255 B. 127 C. 63 D. 230 E. 185
66.. ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra
“NAVEGANTE”?
A. 180
B. 194
C. 130
D. 190
E. 130
77.. ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la
palabra “AMOR”?
A. 40 B. 41 C. 32 D. 36 E. 28
88.. ¿De cuántas maneras se puede leer “RADAR”, uniendo
letras vecinas?
A. 182 B. 81 C. 324 D. 243 E. 234
99.. ¿De cuántas maneras distintas se puede leer la palabra
“RECONOCER” si se pueden repetir letras?
A. 128 B. 256 C. 216 D. 576 E. 258
1100.. Determina de cuántas maneras se puede leer el número
2020.
A. 16 B.22 C.44 D.88 E. 100
1111.. ¿Cuántas rutas mínimas diferentes se tiene para llegar
al punto “B” partiendo de “A”?
A. 4
B. 5
C. 6
D. 8
E. 12
1122.. De cuántas maneras diferentes se puede llegar al punto
“B” partiendo de “A”, siempre avanzando.
A. 56
B. 49
C. 72
D. 42
E. 25
1133.. Jack Duran, jugador estrella del UDH, debe recorrer la
cancha del Estadio Heraclio Tapia de A a B, según los
movimientos indicados por las flechas. Determina de
cuántas maneras es posible que Jack haga dicho
recorrido.
A. 65 B. 75 C. 85 D. 95 E. 55
B
A
57
APREMUNI AMBO-2020
1144.. ¿De cuántas maneras diferentes se puede ir de “A” a “B”
sin pasar dos veces por el mismo punto en cada
recorrido?
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
E. 8
1155.. La figura mostrada es una estructura construida de
alambre. Recorriendo solamente por los alambres, hacia
la derecha, hacia abajo ó hacia el frente, ¿cuántas rutas
distintas existen desde el punto A al punto C, pasando
siempre por el punto B?
A. 144 B. 121 C. 100 D. 169 E. 196
1166.. Determina de cuántas formas diferentes se puede ir del
punto A hasta el punto B siempre avanzando.
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 E. 9
1177.. Determina cuántos caminos diferentes hay desde A
hasta B, sin repetir puntos en ningún momento.
A. 22
B. 23
C. 24
D. 25
E. 26
1188.. Determina cuántos caminos diferentes hay desde A
hasta B, sin repetir tramos en ningún momento.
A. 34
B. 35
C. 36
D. 38
E. 40
1199.. Mamani vive en las islas flotantes del lago Titicaca. Si
las islas (puntos resaltados) están unidas por puentes
(segmentos de recta) como indica la figura, determina
de cuántas formas diferentes puede ir de su casa en “A”
a la escuela “E” sin pasar dos veces por la misma isla y
sin repetir ningún tramo de los puentes.
A. 24 B. 32 C. 18 D. 30 E. 36
CAPITULO VIII
RAZONAMIENTO INDUCTIVO
Consiste en analizar casos particulares para conseguir ciertos
resultados que al analizarlos nos permitan llegar a una
conclusión (caso general).
Ejemplo
Calcula el número total de palitos de fósforos que conforman
la torre.
1 2 3 28 29 30
Casos particulares
Caso 1: Nº de palitos
Caso 2:
Caso 3:
B
A
B A
B
A
B
A
Casos
Particulares
Inducción
CASO
GENERAL
(Conclusión)
Generalmente es necesario y suficiente
analizar convenientemente 3 casos
particulares, y sencillos, manteniendo la
forma inicial (general) en que se
presenta el ejercicio… ¡No lo olvides!
8 2 3 - 1
1 2 3
3 2 2 - 1
1 2
15 2 4 - 1
1 2 3 4
58
APREMUNI AMBO-2020
factores 2002
00222
...)1753(1
PRÁCTICA N°. 08 – I
1. ¿Cuántas esferas habrá en la figura 20?
A. 20
B. 39
C. 41
D. 44
E. 42
2. ¿Cuántos cuadrados hay en la figura 8?
A. 285
B. 140
C. 204
D. 240
E. 180
3. ¿Cuántos palitos de fósforo se necesitan para formar la
figura 20?
A. 400
B. 440
C. 420 …
D. 410
E. 399
4. ¿Cuántas esferas hay en la figura 15?
A. 120
B. 105
C. 136 …
D. 153
E. 140
5. Calcule el total de intersecciones entre circunferencia y
recta que presentará la figura 20.
A. 760
B. 800
C. 840
D. 420
E. 400
6. ¿Cuántos triángulos hay en la figura 17?
A. 32
B. 33
C. 34
D. 35
E. 36
7. En la siguiente sucesión, determinar el número de
círculos sin pintar, en la colección de círculos que ocupe
el décimo lugar.
A. 201
B. 131
C. 151
D. 181
E. 231
8. Calcular la suma de cifras del resultado de efectuar :
999 …. 992 x 999 … 998
40 cifras 40 cifras
A. 421 B. 375 C. 413 D. 398 E. 367
9. ¿Cuántos puntos en contacto hay en la siguiente gráfica
de circunferencias?
A. 1305
B. 1218
C. 1425
D. 1740
E. 1521
10. A una hoja cuadrada y cuadriculada con 100 cuadraditos
por lado, se le traza y una diagonal principal. ¿Cuántos
triángulos como máximo podrán contarse en total?
A. 1000 B. 10100 C. 10500 D. 101100 E. 100100
11. Calcular “E” y dar como respuesta la suma de sus cifras.
E = (333 …. 333)2
200 cifras
A. 900 B. 1200 C. 1800 D. 2700 E. 9990
12. Cuántos palitos hay en la siguiente figura.
A. 720
B. 610
C. 850
D. 960
E. 560
13. Si se cumple que: M(1) = 2 + 1 – 1
M(2) = 4 – 4 + 3
M(3) = 6 x 9 – 5
M(4) = 8 + 16 + 7
Halla: M(19)
A. 442 B. 289 C. 526 D. 362 E. 4566
14. Calcular la suma de términos de la fíla 23.
A. 10521
B. 12562
C. 10648
D. 12167
E. 13824
15. Al unir los centros de las circunferencias se forman
sectores circulares. ¿Cuántos de éstos se contarán en
total?
A. 2500
B. 2750
C. 6500
D. 6600
E. 7500
16. Calcula la suma de cifras del resultado de la siguiente
expresión: 3
cifras 2002
)999......999(
Indicar la última cifra de dicha suma.
A. 6 B. 8 C. 4 D. 0 E. 1
17. Calcula: E =
A. 1 B. 2 C. 32 D. 2 002 E. 2 003
18. Hallar la suma de cifras del producto siguiente:
E = (7777......7777) x (999......99999)
50 cifras 50 cifras
A. 250 B. 450 C. 830 D. 260 E. 270
19. Halle el número total de cuadrados sombreados.
A. 441
B. 440
C. 320
D. 896
E. 625
1 2 19 20
1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
Fila 1
Fila 2
Fila 3
Fila 4
Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3
Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3
Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3
Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3
Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4
Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3
1 2 3 28 29 30
59
APREMUNI AMBO-2020
RAZONAMIENTO DEDUCTIVO
Consiste en aplicar un caso general ya comprobado en
casos particulares método por el cual se procede de manera
lógica de lo general (universal) a lo particular.
PRÁCTICA N°. 08 – II
1. Si m+a+n = 25a
Calcular: aaanamman
A. 1475 B. 1575 C. 1357 D. 1423 E. 1565
2. Efectuar: 20482 1024168 112x....x1212x17x5x3k
A. 4 B. 16 C. 1024 D. 2 E. 256
3. Si:
ba
1
n
ba
1
m
;
Calcule el valor de “A” si:
2222
22
ba
ab
nm
nm
A
A. 1/2 B. 1/3 C. 1/4 D. 2 E. 1/5
4. Simplificar:
9191
9999
273273
192192
919191
191919
K
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5
5. Hallar el valor de “M”
M = (2001 – 1)(2000 – 2)(1999 – 3)...(2-2000)(I – 2001)
A. 2001 B. 2002 C. 0 D. –2102 E. 22000
6. Hallar la última cifra luego de efectuarse el producto.
P = (22000 + 1) (21999 + 1) (21998 + 1) (21997 + 1) … (22 + 1)
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 E. 2
7. En qué cifra termina :
P = (10 + 1) (102 + 3) (103 + 5) ….. (10500 + 999) + 4
A. 6 B. 9 C. 5 D. 4 E. 3
8. Hallar :
4 842 1)12)(12)(12(3
A. 25 B. 21 C. 18 D. 16 E. 12
9. Si : a + b + c + d + e +f = 27
Halla la suma de cifras del resultado de sumar los
números. abcdef , bcdefa , fabcde , cdefab , efabcd y
defabc
A. 65 B. 48 C. 56 D. 72 E. 54
10. Si cada letra diferente representa a un dígito
diferente, el valor de U + N + I en la siguiente suma es :
A. 20
B. 18
C. 15
D. 13
E. 12
11. El producto de un entero positivo “x” de 3 dígitos por 3
es un número que termina en 721. La suma de los
dígitos de “x” es:
A. 13 B. 12 C. 16 D. 14 E. 15
12. Si a un número entero de seis cifras que comienza con
(1) se le traslada este uno a la derecha de la última cifra,
se obtiene otro número que es el triple del primero, el
número inicial es:
A. 142867 B. 142857 C. 114957 D. 155497 E. 134575
13. Si se cumple que : 6cc1cabbcaabc
Hallar: a + b – c
A. 6 B. 3 C. 1 D. 2 E. 7
14. Si : EVA + AVE = 645 ; Hallar : V + E + A
A. 12 B. 13 C. 14
D. 15 E. 16
15. Hallar : cabbcaabc ; si : a + b + c = 18
A. 1990 B. 1992 C. 1994 D. 1998 E. 1999
16. Si: p + q = 12 ; r + s = 16
addbcssqrpprprrpqqqss
Calcular: (a + b + c – d)2
A. 9 B. 16 C. 25 D. 36 E. 100
17. En una división inexacta efectuada por defecto, al
residuo le falta 12 unidades para ser máximo el que
sería mínimo se le restase 10 unidades. Si el cociente
es 21, ¿Cuál es la suma de cifra del dividendo?
A. 17 B. 18 C. 15 D. 8 E. 11
18. ¿Cuál es el mayor número de 3 cifras que al ser divido
entre un número de 2 cifras da 8 de cociente? Dar como
respuestas la suma de cifras del número.
A. 12 B. 18 C. 21 D. 13 E. 9
19. La suma de cifras de 2 números es 82, los cocientes de
estos números con un tercero son 5 y 6, dando por
residuos 2 y 3, respectivamente. ¿En cuánto difieren los
números?
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 E. 11
20. Si: 9 8abcde edcba x yz ;
a2 + b2 + e2 = c3 + d2 + 5, a>b>c>e>1
Calcula: (x+y+z)
A. 24 B. 28 C. 55 D. 27 E. 26
21. Sabiendo que: 21 24 27 ... 69 63ab ab ab ab xyz
Calcula: (a+b+x+y+z)
A. 27 B. 28 C. 31 D. 30 E. 29
22. Calcula (m)(n)(p) ; sabiendo que m n p y además:
mmm nnn ppp 2664
A. 123 B. 231 C. 500 D. 504 E. 600
23. Hallar: E abcd mnpp xyzw , sabiendo que:
bd np yw 160
ac mp xz 127
ab mn xy 124
A. 12240 B. 14250 C. 12590 D. 12300 E. 1000
24. Si: AA DD UU ADU , calcula: 2 2 2E A D U
A. 12 B. 13 C. 18 D. 19 E. 20
25. Reconstruir la siguiente operación de división e indicar la
suma de cifras del dividendo, si cada * representa un
dígito cualquiera.
A. 16
B. 17
C. 18
D. 12
E. 20
Caso
General
Deducción
Casos
Particulares
U U +
N N
I I
U N I
60
APREMUNI AMBO-2020
CIFRAS TERMINALES
Consiste en calcular la última cifra del resultado de un número
que será expuesto a sucesivas operaciones.
Para Números que Terminan en: 0; 1; 5 y 6
En este caso la cifra terminal será la última cifra del número
base.
0...)0...( n 1...)1...( n 5...)5...( n 6...)6...( n
Para Números que Terminan en: 2; 3; 7 y 8
En
este caso las cuatro primeras cifras terminales son
diferentes y cada grupo de cuatro se repiten las mismas
cifras terminales.
6...)2...(
0
4
1...)3...(
0
4 1...)7...(
0
4 6...)8...(
0
4
Para Números que Terminan en: 4 y 9
En este caso la última cifra del desarrollo dependerá si el
exponente es par o impar.
4...)4...( IMPAR 6...)4...( PAR
9...)9...( IMPAR 1...)9...( PAR
PRÁCTICA N°. 08 - III
11.. En qué cifra termina 2343 .
A. 1 B. 3 C. 6 D. 7 E. 9
22.. Halla en qué cifra termina el desarrollo de
2peru42val
mejores
los
9hco8unhe6ceprevalK
A. 9 B. 2 C. 1 D. 3 E. 8
33.. En qué cifra termina el desarrollo de “A”.
444333222 )444()222()111(A
A. 2 B. 9 C. 5 D. 4 E. 8
44.. En qué cifra termina
n2)4abc( .
A. 4 B. 8 C. 6 D. 2 E. 2n
55.. En qué cifra termina la siguiente suma
108 )29()24(A
A) 0 B) 1 C) 3 D) 5 E) 7
66.. Indica en qué cifra termina el resultado de:
555444333222111 555444333222111E
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 E. 11
77.. Si tenemos: estudiar...2020lo2019cepre
máximoval
Halla la última cifra de:
ingresar)999(
A. 0 B. 1 C. 3 D. 6 E. 9
88.. Halla el máximo valor de “ alal ”, si:
cepreval...))1n2(.....7531( 2020cicloA
A. 21 B. 22 C. 23 D. 14 E. 24
99.. En qué cifra termina la expresión M – N , si:
M =
12373
2022cicloA37cepreval
N = 2012
9559
201259valdizan95hermilio
A. 8 B. 4 C. 5 D. 7 E. 6
1100.. Halla el posible valor de “o” en la siguiente expresión; si
se sabe que es par.
3729512 )veranociclo(3val77cepre
A. 2 B. 4 C. 6 D. 7 E. 8
1111.. Indica en qué cifra termina el resultado de:
993398 999333777A
A. 3 B. 7 C. 0 D. 1 E. 9
CAPÍTULO IX
SERIE NUMÉRICAS
Series y Sumatorias Notables
Sumatoria de los “n” primeros números naturales
consecutivos.
2
1)n(n
kn...4321
n
1k
Sumatoria de los “n” primeros números naturales pares
consecutivos.
1)n(n2kn2...8642
n
1k
Sumatoria de los “n” primeros números naturales
impares consecutivos.
2
n
1k
n1)(2k)1n2(...7531
Sumatoria de los cuadrados de los “n” primeros números
naturales consecutivos.
6
1)1)(2nn(n
kn...4321
n
1k
222222
Sumatoria de los cubos de los “n” primeros números
naturales consecutivos.
2n
1k
333333
2
1)n(n
kn...4321
Suma de los “n” primeros productos consecutivos
tomados de 2 en 2
3
)2n)(1n(n
)1k(k)1n(n...433221
n
1k
Suma de los inversos de los productos de dos números
consecutivos
)n(
n
)x(x)1n(n
1
...
43
1
32
1
21
1
11
1n
1X
SERIE ARITMÉTICA
Serie lineal
Nota: 1
r
tt
)n(osmintérdeN 1n
Serie polinomial de orden n
Se cumple lo siguiente:
S = CCCC
n
4
n
31
n
21
n
11 rqkt
61
APREMUNI AMBO-2020
SERIE GEOMETRÍCA
Suma de términos finitos
Sea la P.G.
Suma Límite
Sea la serie:
Dónde: t1: primer término
q: razón geométrica (0 < q < 1)
PRÁCTICA N°. 09 - I
1. Calcula: S = 42 + 38 + 34 + 30 + …
60 sumandos
A. 4560 B. -3270 C. -5460
D. -4560 E. -4660
2. Calcula: S=11(2) + 22(3) + 33(4) + 44(2) …(30 sumandos)
A. 10845 B. 11385 C. 10285 D. 10380 E. 10385
3. Hallar el valor de:
S= 4 +14 +30 +52 +80 +… (15 sumandos)
A. 3240 B. 3150 C. 3340 D. 3140 E. 3230
4. Hallar el valor de:
S= -1 + 0 + 0 + 0 + 1+ 4 +… (15 sumandos)
A. 3875 B. 3775 C. 3675 D. 2875 E. 3445
5. Hallar el valor de:
S= 7 x 43 + 9 x 41 + 11 x 39 +… (20 sumandos)
A. 12400 B. 9500 C. 13500 D. 10500 E. 11500
6. Cuál es el valor de: + …
A. 54 B. 56 C. 36 D. 58 E. 72
7. Calcular la suma de los 25 términos de la siguiente
sucesión:
A. 11700 B. 11050 C. 8250 D 4225 E. 8150
8. Cuál es el valor de:
A. 73476 B. 84575 C. 79476 D. 88345 E. 75575
9. Calcula la suma total del siguiente arreglo:
2
3 + 3
4 + 4 + 4
5 + 5 + 5 + 5
20 + 20 + 20 + 20 + …….. + 20
A. 2650 B. 2460 C. 2660 D. 2760 E. 2860
10. Hallar “m” sabiendo que:
A. 150 B. 249 C. 251 D. 241 E. 261
11. Hallar el valor de E:
A. -110705 B. -12055 C. -110608
D. -120705 E. -110815
12. Se sabe que una pelota al rebotar en el piso pierde 1/5
de la altura desde la cual fue soltada. Si dejamos caer
una pelota desde 1 m de altura. ¿Qué longitud recorrerá
hasta detenerse?
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 E. 10
13. Se tiene una sucesión geométrica decreciente de
infinitos términos, cuya suma es 15. Si la suma de sus
cuadrados es 45. Halle el primer término.
A. 1/3 B. 3 C. 5 D. 1/5 E. 2
14. Un tren salió de su paradero inicial con 7 pasajeros y en
cada parada suben dos pasajeros más de los que hay,
si al llegar a su paradero final se contaron 574
pasajeros. ¿En cuántas estaciones se detuvo a recoger
pasajeros?
A. 6 B. 7 C. 5 D. 8 E. 9
15. Hallar la suma de la fila 10 en el siguiente arreglo:
Fila N°1: 1
Fila N°2: 6 11
Fila N°3: 16 21 26
Fila N°4: 31 36 41 46
A. 2185 B. 3140 C. 2355 D. 2435 E. 2485
16. Calcular la siguientes suma, si está compuesto por 30
sumandos:
A.
237
17
B.
428
307
C.
948
401
D.
934
465
E. 3
17. Hallar la suma de las diez primeras filas del siguiente
arreglo numérico:
Fila N°1: 1
Fila N°2: 3 5
Fila N°3: 7 9 11
Fila N°4: 13 15 17 19
Fila N°5: 21 23 25 27 29
A. 2530 B. 100 C. 1000 D. 3025 E. 4238
18. Hallar las tres últimas cifras del resultado final de la
siguientes suma:
A. 700 B. 620 C. 610 D. 611 E. 160
19. Cuál es el valor de: S
A. 991/31 B. 331/21 C. 992/17 D. 345/21 E. 819/32
20. Cuál es el valor de:
A. 3280 B. -3280 C. -3820 D. -4280 E. -2830
40 cifras
40 sumandos
31 términos
62
APREMUNI AMBO-2020
21. Cuál es el valor de:
S
A. 6 B. 3 C. 5 D. 2 E. 4
22. Hay 210 ladrillos en un montón y Adolfo tiene que llevar
el primer ladrillo a 1m de distancia, los dos siguientes
ladrillos a 3m, los tres siguientes a 6m, los cuatro
siguientes a 10m y así sucesivamente. Si solo puede
llevar un ladrillo en cada viaje ¿Cuántos metros
recorrerá Adolfo hasta llevar el último ladrillo y regresar
al punto inicial?
A. 44100 m B. 2870 m C. 45970 m
D. 46970 m E. 47870 m
23. La suma de “n” números pares consecutivos es “S”
¿Cuál es la suma de los “n” siguientes números pares
consecutivos?
A. S + 2n2 B. S + 3n C. S – 2n2 D. S + n2 E. S - n
24. Una persona comunica un secreto a otra, que poco
prudente lo comunica a otras 5 en 3 minutos; estas 5, lo
comunican cada una a otras 5 en los 3 minutos
siguientes: si se continuase al mismo ritmo, ¿Cuántas
personas sabrían el secreto al cabo de una hora? (Cada
persona quebranta el secreto únicamente con 5
personas, en los tres minutos siguientes a su
información).
A.
5
1520
B.
4
1520
C.
4
1521
D.
5
1521
E.
5
1521
25. Calcule el valor de “S”:
A. 2920 B. 2910 C. 3984 D. 2862 E. 1650
26. Un jardinero debe llevar un balde de agua al pie de cada
uno de los 40 árboles que forman un lado del parque.
Los árboles están distanciados 5 metros uno de otro y el
depósito de agua está a 8 metros del primer árbol. ¿Qué
espacio habrá recorrido el jardinero después de acabar
su
trabajo y vuelto el balde al depósito de agua?
A. 8550 B. 8660 C. 8540 D. 8650 E. 8440
27. Si la suma de los “n” primeros números enteros positivos
es 7/20 de la suma de los “n” siguientes; halle “n”.
A. 10 B. 12 C. 14 D. 11 E. 13
28. Halle la suma de cifras del resultado final de :
A. 45 B. 55 C. 44 D. 56 E. 48
29. Hallar el valor de la serie:
A. 4/63 B. 7/60 C. 4/123 D. 4/21 E. 4/37
30. Hallar el valor de la serie:
A. 1 B. 37/71 C. 7/27 D. 2 E. 13/49
CONTEO DE FIGURAS
PRINCIPALES FÓRMULAS
Conteo de Segmentos
Conteo de Triángulo
Conteo de Ángulos
Conteo de Sectores Circulares
Conteo de Cuadriláteros
Caso I
Cuando tiene una sola dimensión (horizontal o vertical).
Caso II
Cuando tienen 2 dimensiones (horizontales y verticales)
Conteo de Diagonales
Conteo de Cuadrados
Caso I Cuando sus 2 dimensiones son iguales
Caso II Cuando sus 2 dimensiones son diferentes
OBS: Multiplicar las dos dimensiones hasta que uno de los
factores sea 1 para posteriormente sumar los resultados.
Conteo de Cubos
45 sumandos
100 sumandos
63
APREMUNI AMBO-2020
Caso I
Cuando sus 3 dimensiones son iguales.
Caso II
Cuando sus 3 dimensiones son diferentes.
OBS: Multiplicar sus tres dimensiones hasta que uno de los
factores sea 1, para luego sumar los resultados.
Conteo de Paralelepípedos
Conteo de Semicircunferencias
PRÁCTICA N°. 09 – II
1. Halla el total de segmentos en la figura.
A. 42
B. 30
C. 32
D. 35
E. 36
2. En la siguiente figura, hallar el total de triángulos
rectángulos.
A. 7
B. 8
C. 11
D. 12
E. 9
3. Halle el total de sectores circulares en la siguiente
figura. A) 12
A. 12
B. 16
C. 18
D. 19
E. 20
4. Halle el total de cuadrados en la siguiente figura.
A. 50
B. 52
C. 53
D. 56
E. 60
5. En el tablero de ajedrez, ¿cuántos cuadrados se
cuentan en total?
A. 202
B. 204
C. 306
D. 256
E. 300
6. En el siguiente gráfico, halle el total de triángulos.
A. 35
B. 70
C. 40
D. 65
E. 50
7. En el siguiente gráfico, ¿cuántos cuadrados contiene al
menos un asterisco?
A. 30
B. 32
C. 37
D. 42
E. 48
8. Halle el total de triángulos, en el siguiente gráfico
A. 24
B. 18
C. 20
D. 30
E. 32
9. Halle el total de cuadriláteros en el siguiente gráfico
A. 49
B. 52
C. 47
D. 50
E. 38
10. Halle el total de semicírculos en la siguiente figura
A. 28
B. 29
C. 30
D. 31
E. 32
11. Halle el total de sectores circulares en la siguiente
figura.
A. 20
B. 21
C. 22
D. 23
E. 24
12. Halle el total de triángulos en la siguiente figura
A. 27
B. 28
C. 29
D. 30
E. 31
13. Halle el total de triángulos en la siguiente figura
A. 34
B. 35
C. 36
D. 37
E. 38
14. Halle el total de triángulos en el siguiente gráfico
A. 35
B. 40
C. 30
D. 32
E 36
15. Halle el total de paralelepípedos en la siguiente figura
A. 720
B. 730
C. 810
D. 750
E. 650
16. En la figura, halle el número máximo de triángulos.
A. 40
B. 44
C. 39
D. 29
E. 37
17. Calcule el total de sectores circulares
A. 1830
B. 177
C. 1720
D. 1540
E. 1450
64
APREMUNI AMBO-2020
18. Calcule el total de cuadriláteros en la siguiente figura
A. 30
B. 20
C. 25
D. 28
E. 35
19. En el siguiente gráfico, halle el total de triángulos.
A. 152
B. 154
C. 143
D. 144
E. 145
20. Halle el total de paralelepípedos, no cubos, si el sólido
está cubierto por cubos.
A. 1200
B. 1260
C. 1160
D. 1156
E. 1150
21. ¿Cuántos triángulos que poseen al menos un *, se
pueden contar en total en la siguiente figura?
A. 38
B. 37
C. 36
D. 41
E. 39
22. ¿Cuántos cuadriláteros se pueden contar en la siguiente
figura?
A. 740
B. 850
C. 450
D. 500
E. 640
RECORRIDOS MÍNIMOS
Definiciones previas
Punto par: Llamado también vértice impar, es aquel
donde concurren un número par de líneas rectas o
curvas.
Punto impar: Llamado también vértice impar, es aquel
donde concurren un número impar de líneas rectas o
curvas
Teorema I: Si en una gráfica todos sus puntos son
pares, entonces se puede dibujar de un solo trazo sin
levantar el lápiz de papel (admite un recorrido
euleriano).
Teorema II: Toda gráfica admite un recorrido euleriano si
presenta como máximo dos puntos impares; esto
significa que si hay más de dos puntos impares, la figura
no se puede realizar de un solo trazo.
Nota:
Los puntos impares siempre se presentan en
parejas, no existe figura con un número impar de puntos
impares.
Si tenemos una figura con más de de 2 puntos
impares, entonces para dibujarla tenemos que repetir
trazos sobre una o más líneas comprendidas entre 2
puntos impares.
Número de líneas repetidas:
PRÁCTICA N°. 09 – III
1. ¿Cuál es la menor longitud que recorre la punta de un
lápiz sin separarlo del papel para dibujar el hexágono
regular de 3cm de lado?
A. 42cm
B. 44cm
C. 46cm
D. 48cm
E. 50cm
2. Halle la longitud del mínimo recorrido que se tiene que
realizar para pasar por todas líneas de la figura.
A. 85
B. 86
C. 84
D. 80
E. 83
3. Si los números en los tramos de la siguiente figura
corresponden a sus longitudes en centímetros, ¿Cuál es
la menor longitud que debe recorrer la punta del lápiz,
sin separarse del papel, para realizar la figura
geométrica, si se empieza en el vértice M?
A. 23cm
B. 31cm
C. 29cm
D. 32cm
E. 34cm
4. Hallar la mínima longitud que debe recorrer la punta de
un lápiz, sin levantarlo del papel para realizar la
siguiente figura (longitudes en centímetros).
A. 96cm
B. 108cm
C. 98cm
D. 112cm
E. 116cm
5. ¿Cuántas de las siguientes figuras se pueden dibujar sin
levantar el lápiz del papel, ni pasando dos veces por la
misma línea?
A. 2 B. 3 C. 1 D. 4 E. 0
6. ¿Cuál es el mínimo recorrido que debe hacer una
hormiga para pasar por todas las aristas del sólido
mostrado?
A. 72
B. 66
C. 57
D. 69
E. 60
7. Encontrar la longitud del recorrido mínimo que se debe
hacer para dibujar la figura sin levantar el lápiz.
A. 135
B. 117
C. 130
D. 134
E. 132
8. Cuál es la menor longitud que debe recorrer la punta de
un lápiz para realizar la figura de un solo trazo continuo,
empezando en el punto A y terminando en el punto B.
A. 210
B. 220
C. 230
D. 120
E. 180
(# de puntos impares – 2) / 2
65
APREMUNI AMBO-2020
CAPÍTULO X
PERÍMETROS Y ÁREAS SOMBREADAS
REGIÓN PLANA
Es una porción del plano limitada por una línea cerrada,
también llamada frontera de la región. Las regiones
principales a tratarse en este capítulo son las regiones
poligonales (triangular, cuadrangular, etc.) y la región
curvilínea (círculo).
PERÍMETRO DE UNA REGIÓN PLANA
Se denomina perímetro de una figura, a la suma de las
longitudes de todos sus lados o la longitud de curva que
rodea a una determinada figura.
Notación: 2p = Perímetro; p = Semiperímetro
Principales fórmulas básicas
1. Perímetro de un cuadrado
2. Perímetro de un rectángulo
3. Perímetro de un triángulo
4. Perímetro de un triángulo equilátero
5. Longitud
de una Circunferencia
6. Longitud de arco «AB»
7. Suma de longitudes de semicircunferencias trazadas
en una línea recta AB
ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA
El área de una región es la medida de su superficie. En el
cálculo de estas áreas, es necesario considerar las fórmulas
para las principales figuras.
Áreas de regiones triangulares
01. Áreas de un triángulo
02. Triángulo rectángulo
03. Triángulo (fórmula trigonométrica)
04. Teorema de herón
05. Triángulos equiláteros
Áreas de regiones cuadrangulares
01. Áreas de un cuadrado
02. Áreas de un rectángulo
03. Áreas de un paralelogramo
04. Áreas de un rombo
05. Áreas de un trapecio
Áreas de regiones circulares
01. Área de un círculo 02. Área de un sector circular
03. Área de una corona circular
Principales teoremas
Teorema de Pitágoras
66
APREMUNI AMBO-2020
Teorema de Poncelet
PRÁCTICA N°. 10 - I
Perímetros
1. Halla el perímetro de la región sombreada.
A. 12(-1) u
B. 12(+2) u
C. 12(2+1) u
D. 12 + 1 u
E. 12(+1) u
2. Determina el perímetro de la región sombreada, si:
1R 4m , 2R 3m , 3R 2m , 4R 1m .
A. 18
B. 19
C. 20
D. 21
E. 22
3. Cada lado del cuadrado ABCD mide 3 cm, ¿cuál es el
perímetro de la superficie sombreada? (Las figuras
formadas en el perímetro del cuadrado son
semicírculos)
A. 14 cm
B. 11 cm
C. 10 cm
D. 6 cm
E. 8 cm
4. Halla el perímetro de la siguiente figura.
2a + b – 2c
A. 2a + 4b – c
B. 2(a + 2b – c)
C. 2(2a + b – c)
D. 2a + 2b – c
5. Halla el perímetro de la región sombreada:
A.
4
a 5
5
B.
2
a 5
5
C.
4
a 3
5
D.
4
a 2
5
E.
8
a 5
5
6. En un complejo deportivo las regiones M y N son
cuadrados, P es un rectángulo. El área de P es 52 m2 y
el área de N es 169 m2, (CE>ED). Determina el área de
la región M.
A. 289 m2
B. 256 m2
C. 225 m2
D. 324 m2
E. 400 m2
7. En la figura, ABCD es un cuadrado. Halla el perímetro
de la superficie sombreada:
A.
3L(4 2 2)
B.
L(4 2 2)
C.
2L(4 2 2)
D.
2L(4 2 2)
E.
4L(4 2 2)
8. En la figura, ABC es un triángulo equilátero de lado 8. M,
N y P son puntos medios. Halla el perímetro de la región
no sombreada.
A. 8(8+)
B. 2
C. 4
D. 8
E. 4(+6)
9. En la figura determinar el perímetro de la superficie
sombreada:
A. 4r( 1)
B. 2r( 1)
C. 4r( 2)
D. 4r( 1)
E. 3r( 2)
10. Determina el perímetro de la figura sombreada:
A. a(4 3)
B. a(5 3)
C. a(4 3)
D. a(7 8)
E. a(8 5)
Áreas sombreadas
11. En un terreno cuadrado ABCD cuyo lado es “a”, un
arquitecto diseña una piscina tal como muestra la región
sombreada. Halla el área de dicha piscina.
A. 4/a2
B. 3/a2 2
C. 3/a2
D. 4/a3 2
E. 2/a2
12. Si ABCD es un cuadrado de 4cm de lado, además M y N
son puntos medios. Calcula el área de la región
sombreada.
A. 2cm)8(
B. 2cm)7(
C. 2cm)6(
D. 2cm)5(
E. 2cm)4(
13. Halla el área de la región Sombreada, si ABCD es un
cuadrado de lado “2a”.
A. )2(a
B. )2(
4
a2
C. )2(
2
a2
D. )2(a2
E. )2(a2 2
14. En la figura mostrada el área de la región sombreada es:
A.
2
a
B.
22
a
3
C.
22
a
5
D.
23
a
2
E.
25
a
2
A
B
D
C
a
a
a
b
c
A
B
D
C
M
N
P
E
A
B
D
C
4L
A
B
C
M N
P
r r
4a
4a
A
B CM
N
D
4 m
12
1r 2r 3r 4r
A B
C D
A B
C
D
a a a a
CD
2a
A B2a
A B
D C
67
APREMUNI AMBO-2020
15. Halla el área de la región sombreada, si el lado del
cuadrado mide 10u.
A. 17,5 B. 12,5
C. 3,3 D. 4,8
E. 5,5
16. Halla el área de la región sombreada, si ABCD es un
cuadrado de lado igual a 8m.
A.
2
42m B.
2
48 m
C.
2
40 m D.
2
64 m
E.
2
30m
17. Halla el área de la región sombreada, sabiendo que AB
es diámetro y “O” es centro: AC = CD = DB = 6cm y
AC, CD, DB son diámetros.
A. 54 cm2
B. 43 cm2
C. 36 cm2
D. 40 cm2
E. 45 cm2
18. Halla el área de la región sombreada.
A. 100 m2
B. 200 m2
C. 188 m2
D. 80 m2
E. 75 m2
19. En la figura, el diámetro de la circunferencia de centro O
mide 8cm. Halla el área de la región sombreada.
A.
2
18cm
B.
2
20cm
C.
2
15cm
D.
2
23cm
E.
2
16cm
20. Calcula el área de la región sombreada:
A.
2
100 u
B.
2
110 u
C.
2
120 u
D.
2
128 u
E.
2
108 u
21. Halla el doble del área de la corona circular si el
segmento AB 10 .
A. 20 B. 40
B. 50 D. 100
C. 200
22. En la figura, determina la razón entre el área sombreada
y el área no sombreada.
A.
2 1
2
B.
2
2
C.
1
2
D.
1
2
E.
4 1
2
23. Determina el área sombreada de la figura:
A.
2
18 cm B.
2
17 cm
C.
2
16 cm D.
2
15 cm
E.
2
14 cm
RELACIÓN DE ÁREAS
Relación de áreas de regiones triangulares
I. En todo triángulo, una ceviana cualquiera determina dos
triángulos cuyas áreas son proporcionales a sus
respectivas bases.
b
a
S
S
2
1
II. En todo triángulo, una mediana cualquiera determina
dos triángulos parciales equivalentes.
BM = Mediana
S1 = S2
III. En todo triángulo, al unir los puntos medios de los tres
lados, se determinan cuatro triángulos parciales
equivalentes.
S1 = S2 = S3 = S4 =
4
)ABC(Area
Observación El área del trapecio AMNC es igual al triple del
área del triángulo MBN.
IV. En todo triángulo, al trazar las tres medianas se
determinan seis triángulos parciales equivalentes (G:
BARICENTRO)
x = y = z
V. En todo triángulo, si se une el baricentro con los tres
vértices se determina tres triángulos parciales
equivalentes
S1 = S2=S3 =
3
)ABC(Area
VI. En todo triángulo, al unir el baricentro con los puntos
medios de los tres lados, se determinan tres regiones
equivalentes.
S1= S2=S3 =
3
)ABC(Area
VII. En todo triángulo, al unir el baricentro con los puntos
medios de dos lados cualesquiera, se determina una
región triangular cuya área equivale a la doceava parte
del área total.
S =
12
)ABC(Area
S
1
S
2
A C
B
h
a D b
S
1
S
2
A CM
b b
B
h
B
CA
M N
P
S
2
S
3
S
4
S
1
S
3S
M N
B
CA
M N
B
CA
P
x
x
y
G
y
zz
.
.
S
2
S
1
S
3
G
C
B
A
S
2
S
1
S
3
G
C
B
A
NM
.
.
P
2a
6S
G
C
B
A
NM
.
. 2S
3S
a
S
A
B C
D
O E
20m
8m
8
10
6
A
B
R
3 cm
2 cm
4 cm 4 cm
A B
CD
A B
C D
666
68
APREMUNI AMBO-2020
a
a
b b
a
a
VIII. Si dos triángulos son semejantes entonces sus áreas
son proporcionales a los cuadrados del cualquier par de
elementos homólogos.
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1
r
r
a
a
h
h
b
b
S
S
Relación de áreas de regiones cuadrangulares
I. En todo cuadrilátero convexo se cumple, que al unir los
puntos medios de sus lados se forma un paralelogramo;
cuya área es igual a la mitad del área del cuadrilátero.
S =
2
)ABCD(Area
II. Si en un cuadrilátero convexo se trazan las diagonales
se determina cuatro triángulos parciales y cumple que
los productos de las áreas de los triángulos opuestos
son iguales.
S1 . S3 = S2 . S4
III. En todo trapecio, las áreas de los triángulos laterales
determinados al trazar las dos diagonales, son iguales.
Es decir dichos triángulos son equivalentes.
S1 = S2
IV. Si ABCD es Trapecio
S1 = Área (BPC)
S2 = Area (APD)
S = Area (ABCD)
S = 221 SS
V. En todo paralelogramo, se cumple
Lunulas de hipócrates
Sea S1 y S2 son áreas de las lúnulas, y S el área del
triángulo ABC.
PROPIEDAD 1
S1 + S2 = S
PROPIEDAD 2
S = S2 – S1
PROPIEDAD 3
S4 = S1 + S2 + S3
PRÁCTICA N° 10 – II
1. Halla el área de la region sombreada:
A. 30 m² B. 20 m²
C. 45 m² D. 60 m²
E. 90 m²
2. Halla el área de la región triangular ABC, si el área de la
región sombreada es 3 m².
A. 6 m² B. 9 m²
C. 12 m² D. 15 m²
E. 18 m²
3. Halla el área de la región sombreada si: ABCD es un
cuadrado de lado 6 m.
A. 6 m² B. 12 m²
C. 24 m² D. 36 m²
E. 3 m²
4. Halla el área de la región sombreada.
A. 10 m² B. 9 m²
C. 12 m² D. 15 m²
E. 18 m²
5. ABCD es un cuadrado de lado 6u. Halla el área de la
región sombreada.
A. 2 u2 B. 3 u2
C. 4 u2 D. 6 u2
E. 8 u2
6. Determina el área de la región sombreada, si el área de
ABC es 2m24 .
A. 2m28 B. 2m22
C. 2m24 D. 2m)4(
E. 24 m22
7. El área del triángulo ABC es 40 u². Calcula el área de la
región sombreada.
A. 20 u2 B. 10 u2
C. 15 u2 D. 16 u2
E. 18 u2
8. Si el área de la región del triángulo ABC es 30 u². Halla
el área de la región sombreada.
A. 10 u² B. 11 u2
C. 12 u2 D. 15 u2
E. 20 u2
9. Halla el área de la región sombreada, si el área del
triángulo ABC es 36 m².
A. 8 m² B. 6 m²
C. 9 m² D. 25 m²
E. 15 m²
10. Lorena ha compredo un terreno de forma triangular tal
como muestra la figura, si el terreno tiene un área
construido de 30 m² (región sombreada). Determina
cuánto costo dicho terreno si el metro cuadrado cuesta
80 soles.
A. S/ 50 400
B. S/ 50 200
C. S/ 50 000
D. S/ 48 800
E. S/ 50 600
11. Calcula el área del cuadrilátero EACF.
A. 121 u2
B. 242 u2
C. 180 u2
D. 179 u2
E. 150 u2
B
CA b
1
S
1
h
2
B´
C´A´ b
2
S
2
a
1
h
1
a
2
S
S
2
S
3
S
4
S
1
M
A D
P
C
B
N
Q
Z
S
1
S
2
A D
CB
b
h
X
X
A D
CB
p
S
1
S
2
ZX
S
1
S
S
2
YX
Z
WA C
S
2
B
S1
S
3
S4
S
2
S
1 B
CA
C
D
B
A
S
1
S
2
S
3
S
4
b
a
a
a
C A
B
69
APREMUNI AMBO-2020
2
)!rn(!r
!n
Cnr
0 rn
12. Calcula el área sombreada si el área del triángulo es
igual a 24 u2. G: Baricentro
A. 2 u2 B.3 u2
C.. 4 u2 D. 6 u2
E.. 8 u2
13. El patio trasero de la casa de Gustavo tiene la forma de
la figura mostrada, con una piscina de 10 m2 de área. Si
la región sombreada representa el gras que cubre dicho
terreno. Determina cuál es el área que ocupa el gras.
A.10 m2 B. 20 m2
C.5 m2 D.15 m2
E.18 m2
14. ABCD es un trapezoide. Calcula el área de la región
sombreada.
A.45 m2 B. 30 m2
C. 15 m2 D. 14 m2
E.18 m2
15. Si ABCD y PQRD son paralelogramos, indique la
relación de áreas de las regiones sombreadas.
A. A + B = C + D
B. A + C = B + D
C. A + D = 2(B + C)
D. A + D = 4(B + C)
E. A + 2B 0 D + 2C
16. Halla el área de la región sombreada si el área del
paralelogramo es 10 m2.
A.8 m2 B. 5 m2
C.7 m2 D. 6 m2
E.2,5 m2
17. Halla el área de la región sombreada, si el área del
romboide ABCD es 36 m2.
A.18 m2 B.36 m2
C.15 m2 D. 21 m2
E.30 m2
18. Halla el área del trapezoide ABCD.
A.20 km2 B. 10 km2
C.12 km2 D. 8 km2
E.16 km2
19. En el trapecio mostrado, calcula el área de la región
total.
A.42 m2 B. 36 m2
C.18 m2 D. 27 m2
E.25 m2
20. ABCD es un trapecio de área 30 u2. Calcula el área de
la región sombreada.
A. 25 u2
B. 30 u2
C. 15 u2
D. 10 u2
E. 5 u2
21. Luciana diseña una ventana de aluminio de forma
trapezoidal como parte de un proyecto, determina
cuántos metros cuadrados de vidrio templado cubre
dicha ventana.
A. 7 m2
B. 8 m2
C. 12 m2
D. 24 m2
E. 48 m2
22. Si ABCD es un cuadrado de lado a, calcula el área de la
región sombreada.
A. a2/24
B. a2/12
C. a2/48
D. a2/36
E. NA
CAPÍTULO XI
ANALISIS COMBINATORIO
FACTORIAL.- El factorial de un número “n” (
n ) es el
producto de los números enteros y consecutivos desde la
unidad hasta “n” (inclusive).
PROPIEDADES EQUIVALENCIAS
1) Si: x!=4! x=4
2) 7! = 7.6.5! = 7.6.5.4!
3) 2!+8! (2+8)!
4) 3!.5! (3.5)!
5) (–4)!
6)
3
2
!
0! = 1(por convensión)
1! = 1
1! = 1
2! = 2.1 = 2
3! = 3.2.1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE CONTEO
1) PRINCIPIO DE ADICIÓN (o)
Si un evento designado como “A” ocurre de “m” maneras
distintas y otro evento “B” ocurre de “n” maneras distintas,
entonces el evento A ó B (no simultáneamente) se podrá
realizar de “m + n” diferentes.
2) PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN (y)
Si un evento “A” ocurre de “m” maneras distintas y para
cada una de éstos, ocurre otro evento “B” de “n” maneras
distintas, entonces A y B (simultáneamente) ocurre de
“mxn” maneras diferentes.
PERMUTACIONES
Son los diferentes arreglos u ordenaciones que se pueda
formar con una parte o con todos los elementos de un conjunto;
“teniendo en cuenta el orden de los mismos”.
1) PERMUTACIÓN LINEAL.
Se da cuando los elementos considerados son todos
distintos y se arreglan u ordenan en línea recta.
!nnP
n
nP
Cuando el número de permutaciones de “n” elementos; es
tomado de r en r se calcula:
2) PERMUTACIÓN CON ELEMENTOS REPETIDÓS
Se da cuando algunos de los elementos a ordenar se
repiten.
3) PERMUTACIÓN CIRCULAR
Este ordenamiento se da específicamente alrededor de un
objeto circular (fogata, mesa, ronda, etc.).
!)1n()n(Pc
COMBINACIONES
Son los diferentes agrupamientos que se pueden formar con los
elementos de un conjunto; “sin considerar el orden de los
mismos”. El número de combinaciones de “n” elementos
diferentes tomados de r en r está dado por:
C
D A
B
A
B
C
D
n! = 1 x 2 x 3 x 4 x . . . .x (n-1) x n
!rn
!n
PP rn)r,n(
...a.a.a
!n
P
321
n
;...a;a;a 321
2
2
2
2
2
2
m
m
70
APREMUNI AMBO-2020
2
20! + 21! + 22!
R =
20! 22
Propiedades
nn
n
n
2
n
1
n
0
10
3
10
7
n
kn
n
k
n
n
n
1
n
0
2C...CCC
CCCC
1C
nC
1C
FORMA PRÁCTICA
1.2.3)...2k)(1k(k
)veces.k)...(2n)(1n(n
Cnk
COMBINACIÓN CON REPETICIÓN
1rnrC
n
rCR
PRÁCTICA N°. 11 – I
1. Cuál es la cifra terminal de: E = 1! + 3! + 5! + 7! + ... + 99!
A. 1 B. 0 C. 3 D. 2 E. 5
2. Calcular:
A. 22 B. 20 C. 21 D. 42 E. 1
3. Nancy desea comprar un producto y sabe que lo venden
en 3 mercados distintos. En el primero lo tienen 8
tiendas, en el segundo 3 y en el tercero 2. ¿En cuántas
tiendas distintas puede adquirirse el producto?
A. 13 B. 16 C. 24 D. 18 E. N.A.
4. Silvia Pilar tiene a su disposición 4 blusas y 6 faldas.
¿De cuántas maneras diferentes podrá vestirse
utilizando dichas prendas, si todas son de diferentes
colores?
A. 16 B. 10 C. 24 D. 48 E. 12
5. ¿Cuántos resultados diferentes se puede obtener al
lanzar simultáneamente un dado y 3 monedas?
A. 36 B. 48 C. 64 D.144 E. 24
6. Seis amigos (3 hombres y 3 mujeres), ¿de cuántas
maneras diferentes podrán ubicarse en fila, si en ningún
momento 2 personas del mismo sexo estarán juntas?
A. 48 B. 144 C. 36 D. 72 E. 24
7. ¿De cuántas maneras diferentes se podrá ir de "A" a
"B", sin retroceder en ningún momento?
A. 15
B. 16
C. 17
D. 18
E. 20
8. Un marino tiene 7 banderolas del mismo tamaño, pero
de colores diferentes. Si las iza en un mástil, una a
continuación de otra, ¿cuántas señales diferentes
podrán hacer 3 de ellas?
A. 35 B. 210 C. 5 040 D. 6 E. 21
9. El capitán
de un yate solicita 3 marineros, pero se
presentan 7. ¿De cuántas maneras diferentes podrá
elegir la tripulación?
A. 35 B. 210 C. 5 040 D. 21 E. 6
10. En una reunión hay 30 personas. ¿Cuántos apretones
de manos se produjeron al saludarse todos ellos entre
sí?
A. 415 B. 425 C. 435 D. 465 E. 495
11. ¿De cuántas maneras diferentes 2 peruanos; 4
argentinos y 3 colombianos pueden sentarse en fila, de
modo que los de la misma nacionalidad se sienten
juntos?
A. 864 B. 1 700 C. 892 D. 688 E. 1 728
12. 6 personas deben levantar un cilindro circular recto lleno
de agua, abierto en la parte superior. ¿De cuántas
maneras se pueden colocar alrededor del cilindro?
A. 60 B. 24 C. 120 D. 720 E. 840
13. Una familia con 3 hijos salen al campo. Una vez que
llegaron al campo prenden una fogata. ¿De cuántas
maneras diferentes se pueden sentar los miembros de
esta familia alrededor de la fogata, de modo que los
padres siempre estén juntos?
A. 12 B. 24 C. 48 D. 96 E. 60
14. ¿De cuántas maneras pueden seleccionarse una
consonante y una vocal de las letras de la palabra
PROBLEMA?
A. 4 B. 7 C. 12 D. 15 E. 20
15. De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar 8
personas en un automóvil con capacidad para 5,
sabiendo que Eulogio siempre es el conductor.
A. 35 B. 210 C. 21 D. 120 E. 840
16. ¿Cuántos números diferentes de 5 cifras pueden
escribirse con los 5 primeros números naturales, sin que
se repita ninguno de ellos?
A. 60 B. 24 C. 120 D. 720 E) 12
17. Una persona tiene 4 camisas (celeste, crema, blanco y
azul), 4 pantalones de los mismos colores y 4 chompas
también de los colores mencionados. ¿De cuántas
maneras puede vestirse cuidando que la camisa,
pantalón y chompa sean de colores diferentes?
A. 12 B. 24 C. 30 D. 36 E. 61
18. Con seis pesas de a; b; c; d; e y f kg, ¿cuántas pesadas
diferentes pueden obtenerse tomadas aquellas de tres
en tres?
A. 15 B. 20 C. 120 D. 60 E. 30
19. Dos varones y tres chicas van al cine y encuentran 5
asientos juntos, en una misma fila, donde desean
acomodarse. ¿De cuántas maneras diferentes pueden
sentarse si las tres chicas no quieren estar una al
costado de la otra?
A.10 B. 16 C. 18 D. 15 E. 12
20. ¿De cuántas maneras diferentes se puede vestir una
persona que tiene 6 ternos (iguales), 5 pares de
medias (3 iguales), 2 pares de zapatos, 8 corbatas (2
iguales) y 6 camisas (3 iguales)?
A. 420 B. 168 C. 288 D. 840 E. 2 880
21. Para ir de “A” hacia “B” existen 6 caminos y para ir de
“B” a “C” existen 5 caminos. De cuántas maneras se
puede:
- Ir de “A” hacia “C” pasando por “B”
- Ir de “A” hacia “C” pasando por “B” y regresar
- Ir de “A” hacia “C” pasando por “B” y regresar en un
camino diferente
Dar como respuesta la suma de los 3 resultados
A. 1 500 B. 1 530 C. 1 350 D. 1 850 E. 1 580
22. ¿De cuántas maneras se pueden escoger en el tablero
de 6x6 una casilla blanca y una negra que no estén en
una misma línea horizontal y vertical?
A. 701 B. 720 C. 216 D. 920 E. 1 020
A C B
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23. Si Julia tiene para vestirse; 5 pantalones, 3 minifaldas,
6 blusas, 2 polos y 8 pares de zapatos, ¿de cuántas
maneras podría vestirse, si todas las prendas son de
colores diferentes?
A. 512 B. 510 C. 720 D. 729 E. 448
24. Si de “A” hacia “B” hay 5 caminos y de “B” hacia “C” 8
caminos, ¿de cuántas maneras se pueden ir de “A”
hacia “C” pasando por “B” y regresar en una ruta
diferente?
A. 1 100 B. 1 120 C. 1 210 D. 1 102 E. 1 200
25. Cierto producto se vende únicamente en los mercados
A, B, y C. En A se puede conseguir en 10 puestos
distintos, en B en 7 puestos y en C en 12 puestos. ¿En
cuántos puestos distintos puede comprarse el producto?
A). 29 B. 18 C. 27 D. 21 E. 840
26. Para ir de una ciudad A a una ciudad C hay que pasar
por B. Entre A y B hay 5 caminos, y entre B y C hay 3
caminos. Por cuántos caminos diferentes se puede ir de
A hacia C de ida y vuelta , si el camino de regreso tiene
que ser distinto al de ida
A) 225 B) 210 C) 250 D) 30 E) 29
27. Un testigo del robo del banco, informó a la policía que el
auto utilizado por los ladrones para la fuga tenía una
placa de 6 símbolos, que los dos primeros eran vocales,
que los 4 últimos eran dígitos mayores que 4, y que no
habían dos símbolos iguales. ¿Cuántos autos deberá
investigar la policía?
A. 3 000 B. 2 400 C. 1 800 D. 1 500 E. 1 000
28. Un ladrón quiere abrir una caja fuerte cuya clave consta
de cuatro dígitos. Solamente sabe que los dígitos
posibles son 1; 3; 5 y 7. ¿Cuál es el mayor número de
“combinaciones” erradas que podría intentar?
A. 255 B. 1 279 C. 1 280 D. 1 110 E. 1 109
PROBABILIDADES
La probabilidad P(A) de un evento A es el cociente entre el
número de casos favorables y el número de casos posibles.
Posibles.C
Favorables.C
P )A(
ESPACIO MUESTRAL ( ) Es el conjunto de todos los
resultados posibles de un experimento aleatorio.
EVENTO O SUCESO Se llama evento a cualquier subconjunto
del espacio muestral.
Propiedades
Para todo evento A: 1)A(P0
La probabilidad será 1 cuando el evento sea seguro:
1)(P
La Probabilidad será 0 cuando el evento sea imposible:
0)(P
Si A´ es el complemento de un evento A entonces:
)A(P1´)A(P
Se debe tener claro que A|B no es una fracción.
P(A|B) = P(A y B)/P(B) o P(B|A) = P(A y B)/P(A)
Reglas de la Adición
Si A y B son no excluyentes
)BA(P)B(P)A(P)BA(P
)BA(P
si A y B son mutuamente excluyente
)B(P)A(P)BA(P
Reglas de Multiplicación
P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B)
si A y B son independientes
P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B|A)
si A y B son dependientes
P(A y B) = P(A B) = P(B)P(A|B)
si A y B son dependientes
DOS DADOS
BARAJAS
MONEDAS
PRÁCTICA N°. 11 – II
1. ¿Cuál es el valor de verdad de cada proposición?
( ) Espacio muestral: Conjunto de todos los posibles
resultados de un experimento aleatorio
( ) Suceso o evento: Subconjunto del espacio muestral
( ) Siendo P(A) la probabilidad de un acontecimiento.
Entonces :0 ≥ P(A) ≥ 1
A. VFF B. FFF C. VVV D. VVF E. FFV
2. ¿Cuál es el valor de verdad de cada proposición?
( ) Al lanzar una moneda, el número de elementos que
tiene el espacio muestral es 4
( ) Al lanzar un dado, el número de elementos del
espacio muestral es 6
( ) El número de elementos que tiene el espacio
muestral al lanzar 3 monedas es 8
A. VVF B. FVF C. FFF D. FVV E. VVV
3. Para dos eventos “A” y “B” mutuamente excluyentes es
verdad :
I. P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
II. P(A∩B) = P(A) . P(B)
III. P(A) + P(B) = 1
A. Sólo I B. Sólo II C. Sólo III D. II y III E. I; II y III
4. En una bolsa hay 12 esferitas, de las cuales 4 son
negras, 5 son rojas y el resto de otros colores, ¿qué
afirmaciones son ciertas?
I. Al sacar una esferita al azar, la probabilidad que sea
roja es 5/12
II. Al sacar 3 esferitas al azar, la probabilidad que sean
negra es 1/55
III. Al sacar 7 esferitas al azar, el número de elementos
que tiene el espacio muestral es 792
A. Sólo I B. Sólo III C. I y II D. II y III E. I; II y III
5. Acerca del futuro nacimiento de sus tres hijos (trillizos)
de la señora Rosa, se puede afirmar :
I. El número de elementos que tiene el espacio
muestral respecto al sexo de ellos es 8
II. La probabilidad de que nazca un varón es 1/3
III. La probabilidad de que nazca un varón y dos
mujeres es 3/8
A. Sólo I B. Sólo II C. Sólo III D. I y III E. II y III
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APREMUNI AMBO-2020
6. Se lanzan un par de dados. Halle la probabilidad de
obtener una suma múltiplo de 3.
A. 1/6 B. 1/3 C. 2/3 D. 1/2 E. 1/4
7. Se lanzan 3 monedas en simultáneo, ¿cuál es la
probabilidad de obtener 2 caras y un sello?
A. 3/8 B. 5/8 C. 7/8 D. 1/8 E. 1/4
8. En un jardín de infancia hay 12 niños y 4 niñas, se
escogen tres estudiantes al azar, ¿cuál es la
probabilidad de que sean todas niñas?
A. 2/65 B. 2/35 C. 1/70 D. 2/70 E. 1/140
9. Hallar la probabilidad de obtener un “As” por lo menos
en una sola tirada con dos dados
A. 1/6 B. 3/7 C. 2/3 D. 11/36 E. 13/36
10. De una baraja de 52 cartas se sacan tres naipes.
Determinar la probabilidad de que todos sean ases
A. 1/5 530 B. 1/5 525 C. 1/1 520 D. 1/1 260 E. 1/3 725
11. En una caja hay 18 tarjetas blancas, 8 negras, 6 azules,
9 verdes y 3 amarillas. Sin mirar se saca una tarjeta.
¿Cuál es la probabilidad de que sea blanca o negra?
A. 13/22 B. 6/11 C. 27/44 D. 11/22 E. 3/11
12. La probabilidad de que un comerciante venda 2 autos o
más hoy es 0,38. ¿Cuál es la probabilidad de que venda
1 o ninguno?
A. 0,71 B. 0,78 C. 0,62 D. 0,48 E. 0,96
13. En una ciudad el 40% de la población canta; el 35%
baila y el 70% de los que cantan bailan, calcular la
probabilidad de que al extraer una persona al azar ésta
no cante ni baile.
A. 47% B. 53% C. 51% D. 49% E. 42%
14. Se extrae una carta de una baraja normal. Calcular la
probabilidad de obtener un 4 ó un 6.
A. 1/13 B. 2/13 C. 2/9 D. 1/9 E. 15/26
15. En una urna se tienen 4 bolas de color rojo; 6 bolas de
color verde y 8 bolas de color azul. ¿Cuál es la
probabilidad de que al extraer una bola sea de color
verde o azul?
A. 2/9 B. 7/9 C. 3/7 D. 4/7 E. 3/8
16. Se extrae al azar una carta de una baraja normal.
Calcular la probabilidad de que represente su valor con
una letra.
A. 1/13 B. 3/13 C. 2/13 D. 5/26 E. 1/9
17. 3 maratonistas (A; B; C) compiten en una maratón de los
Andes. ¿Cuál es la probabilidad de que “A” llegue antes
que “B”?
A. 1/3 B. 1/2 C. 1/4 D. 2/3 E. 3/4
18. Si tenemos 12 libros en un estante, ¿cuál es la
probabilidad que siempre se incluya un libro
determinado en una colección de 5 libros?
A. 0,2325 B. 0,543 C. 0,4672 D. 0,4166 E. 0,4327
19. Un saco contiene 3 bolas rojas, 4 blancas y 5 azules,
todas del mismo tamaño y materia. ¿Cuál es la
probabilidad que la 1era. sea roja y las siguientes azules
o blancas al seleccionarse 3 bolas sin reposición?
A. 0,2727 B. 0,004545 C. 0,1636
D. 0,2083 E. 0,07272
20. En una urna se encuentran 50 fichas marcadas del 1 al
50. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una ficha;
ésta sea múltiplo de 5 u 8?
A. 8/25 B. 1/10 C. 2/5 D. 3/10 E. 6/25
21. Una moneda cuyas caras están marcadas con los
números 2 y 3 respectivamente es tirada 5 veces. ¿Cuál
es la probabilidad de obtener un total de 12?
A. 25/16 B. 5/16 C. 5/4 D. 6/25 E. 5/6
22. Un artillero dispara a un blanco, se sabe que en un
disparo la probabilidad de acertar es 0,01. Se efectúa
dos disparos, ¿cuál será la probabilidad de no acertar?
A. 0,9999 B. 0,9081 C. 0,9801 D. 0,9802 E. 0,0001
23. Diez personas participan en una competencia de 400
metros planos; si tres participantes son de una misma
nacionalidad, ¿cuál es la probabilidad de que ocupen los
tres primeros puestos?
A. 1/12 B. 1/10 C. 2/3 D. 1/10 E. 1/120
24. Una familia con tres hijos salen al campo. Una vez allí
prenden una fogata y se sientan alrededor, ¿Cuál es la
probabilidad de que los padres se sienten juntos?
A. 2/3 B. 3/8 C. 1/2 D. 1/4 E. 1/3
25. María da en el blanco 4 veces en 5 tiros, Diana 3 veces
en 4 tiros y Elena da 2 veces en 3 tiros. Si las tres
disparan en forma simultánea, ¿Cuál es la probabilidad
de que las tres acierten en el blanco?
A. 2/5 B. 3/7 C. 1/2 D. 2/7 E. 1/3
26. Un lote de 12 focos de luz tiene 4 defectuosos. Se
toman tres al azar del lote uno tras otro. Hallar la
probabilidad de que los tres estén buenos.
A. 8/12 B. 14/33 C. 14/55 D. 14/47 E. 13/50
27. Walter desea viajar a Cuzco, pero solo puede hacerlo
por avión o por ómnibus. Si la probabilidad de viajar en
avión es el cuádruple de viajar en ómnibus y además la
probabilidad de no viajar es de 0,75. ¿Cuál es la
probabilidad de viajar en ómnibus?
A. 1/6 B. 1/25 C. 2/3 D. 4/21 E. 1/20
28. Se pide a Diana que escriba un número de 3 cifras.
¿Cuál es la probabilidad de que sea múltiplo de 5?
A. 1/6 B. 1/5 C. 2/3 D. 1/2 E. 5/14
29. Ocho parejas de enamorados se encuentran en una
reunión y se escogen dos personas al azar. ¿Cuál es la
probabilidad que una se hombre y la otra mujer?
A. 8/63 B. 15/32 C. 8/15 D. 1/2 E. 1/4
30. Tres señoras van a dar a luz con toda seguridad en el
mes de febrero de un año bisiesto. ¿Cuál es la
probabilidad de que la fecha de los nacimientos de los
tres bebés sean distintos?
A. 676/861 B.765/861 C. 756/861
D. 6/8/861 E. 666/871
31. Una persona tira dos dados, uno de ellos es un cubo y el
otro un tetraedro regular, tomando el número de la cara
inferior cuando se trata del tetraedro, ¿cuál es la
probabilidad de que la suma de los números obtenidos
no sea menor que 5?
A. 3/4 B. 4/5 C. 3/5 D. 2/5 E. ½
32. La probabilidad de que Érica ingrese a la UNI es 0,7 que
ingrese a la Católica es 0,4. Si la probabilidad de que no
ingrese a ninguna es 0,12, hallar la probabilidad de que
ingrese a ambas a la vez.
A. 0,42 B. 0,22 C. 0,24 D. 0,48 E. 0,58
33. Tres varones y dos chicas van al cine y encuentran una
fila de 5 asientos juntos en una misma fila donde desean
acomodarse. Determinar cuál es la probabilidad de que
las chicas no se sienten juntas.
A. 2/5 B. 3/5 C. 5/8 D. 7/9 E. 4/5
34. Diez libros de los cuales 6 son de física y 4 de química,
se colocan al azar en un estante.
Determine la probabilidad de que los libros de física
queden juntos.
A. 1/21 B. 1/42 C. 4/9 D. 5/42 E. 21/35Mais conteúdos dessa disciplina
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