Física - Livro 2-137-140

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F
R
E
N
T
E
 2
137
Associação em série
Observe a figura a seguir.
i
A B
R
1
U
1 U2
U
3
R
2
R
3
U
Fig. 13 Associação de resistores em série.
Pode-se ver na figura 13 que, se uma corrente i entrar
pelo resistor R1, ela obrigatoriamente vai percorrer os re-
sistores R2 e R3, ou seja, a corrente que percorre os três
resistores é a mesma. Nesse caso, dizemos que os resis-
tores estão em série.
O que se quer agora é calcular uma resistência R
equivalente que tenha os mesmos efeitos físicos que as
resistências R1 ,R2 e R3. Assim, se substituirmos as resis-
tências pela resistência equivalente, não haverá nenhuma
mudança no circuito.
i
R
eq
U
A B
Fig. 14 Resistência equivalente entre A e B.
Para que a corrente i flua através da associação dos
três resistores é necessário que haja uma diferença de po-
tencial (ddp) U aplicada nos pontos A e B, de tal forma que
a diferença de potencial total seja a soma das diferenças
de potencial em cada um dos resistores, isto é:
Utotal = U1 + U2 + U3
em que U1, U2 e U3 são as tensões nos resistores R1, R2
e R3, respectivamente, e U é a tensão total aplicada nos
terminais A e B da associação.
A primeira lei de Ohm nos permite escrever que:
U1 = R1 ⋅ i; U2 = R2 ⋅ i; U3 = R3 ⋅ i
Como queremos substituir os três resistores por um
equivalente, vamos escrever que a tensão total U é igual
ao produto da corrente i que atravessa os quatro resistores
pela resistência equivalente, isto é:
U = Requivalente ⋅ i
Igualando as expressões anteriores, temos que:
U R i R i R i R i
equivalente 1
U
2
U
3
U1 2 3
  
= ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅
Finalmente, a resistência equivalente é dada por:
Requivalente = R1 + R2 + R3
Para generalizarmos o resultado, se houver n resistores
em série, a resistência equivalente em série será simples-
mente o somatório de todas as resistências, ou seja:
∑= + + + + =
=
R R R R ... R R
equivalente 1 2 3 n i
i 1
n
Exercício resolvido
5 Têm-se três resistores de resistências elétricas
R1=6,0 W; R2 = 10 W e R3 = 20 W. Esses resistores são
associados em série, e a associação é submetida à
ddp U=180 V. Determine:
a) a resistência elétrica do resistor equivalente à
associação.
b) a intensidade de corrente que atravessa a asso-
ciação.
c) a ddp em cada um dos resistores associados.
Resolução:
R
1
U
1
U
2
U
3
R
2
R
3i i
U
a) A resistência elétrica do resistor equivalente é
dada por:
RS = R1 + R2 + R3
RS = 6,0 + 10 + 20
RS = 36 W
b) A intensidade da corrente que atravessa a as-
sociação é igual à da que atravessa o resistor
equivalente quando submetido à mesma ddp.
Aplicando a primeira lei de Ohm:
U = RS ⋅ i
= =i
U
R
180
36
S
i = 5,0 A
c) Aplicando novamente a primeira lei de Ohm a cada
resistor associado, obtemos as respectivas diferen-
ças de potencial:
U1 = R1 ⋅ i
U1 = 6,0 ⋅ 5,0
U1 = 30 V
U2 = R2 ⋅ i
U2 = 10 ⋅ 5,0
U2 = 50 V
U3 = R3 ⋅ i
U3 = 20 ⋅ 5,0
U3 = 100 V
y Se houver n resistores R iguais em série, a resistência equiva-
lente será:
Requivalente = n ⋅ R
y A resistência equivalente em série é sempre maior do que a maior
das resistências da associação.
y O cálculo da resistência equivalente é sempre realizado entre dois
pontos do circuito. A escolha desses pontos afeta o cálculo da
resistência equivalente. Essa observação também é válida para
o cálculo de resistências em paralelo.
Atenção
FÍSICA Capítulo 5 Resistores138
Associação em paralelo
i
2
R
1
R
2
R
3
A B
i
3
i
1
i
U
Fig. 15 Associação de resistores em paralelo.
Observa-se, pela figura acima, que os resistores R1, R2 e
R3 estão conectados nos mesmos nós A e B, portanto a ddp
nos resistores é igual. Quando associados dessa forma, di-
zemos que os resistores estão em paralelo (indicado por //).
Passemos agora ao cálculo da resistência equivalente
entre os três resistores R1, R2 e R3 em paralelo. Para tal,
basta observar, na figura 15, que a corrente i que entra
na associação é igual à soma das correntes i1, i2 e i3 que
percorrem os resistores.
i = i1 + i2 + i3
A diferença de potencial sobre cada resistor em pa-
ralelo é a mesma, como afirmado anteriormente. Portanto,
podemos escrever, com base na primeira lei de Ohm, que:
i
U
R
; i
U
R
 e i
U
R1
1
2
2
3
3
= = =
A corrente total i é a que atravessa a associação, ou
seja, ela é equivalente ao quociente da ddp U pela resis-
tência equivalente:
i
U
R
eq
=
Utilizando as três equações anteriores, tem-se que:
i
U
R
U
R
U
R
U
R
eq 1
i
2
i
3
i
1 2 3
  
= = + +
Portanto, podemos escrever que:
1
R
1
R
1
R
1
R
equivalente 1 2 3
= + +
Para generalizarmos o resultado, se houver n resistores em
paralelo, o inverso da resistência equivalente em paralelo será
simplesmente o somatório de todas as resistências, ou seja:
1
R
1
R
1
R
1
R
...
1
R
1
R
equivalente 1 2 3 n ii 1
n
∑= + + + =
=
Exercício resolvido
6 São associados em paralelo dois resistores de resis-
tências elétricas R1 = 6,0 W e R2 = 12 W. A associação
é submetida à ddp U = 48 V. Determine:
a) a resistência elétrica do resistor equivalente à as-
sociação.
b) a intensidade da corrente que percorre o resistor
equivalente.
c) a intensidade da corrente que percorre cada um
dos resistores associados.
R
2
i
1
i
2
R
1
i i
U
Resolução:
a) Como são dois resistores associados em paralelo,
a resistência equivalente pode ser calculada pela
razão entre o produto e a soma das resistências
dos resistores associados:
=
⋅
+
R
R R
R Rp
1 2
1 2
=
⋅
+
=R
6,0 12
6,0 12
72
18p
Rp = 4,0 W
b) Aplicando a primeira lei de Ohm para o resistor
equivalente, sendo U = 48 V, temos:
U = Rp ⋅ i
=i
U
R
p
=i
48
4,0
i = 12 A
c) A aplicação da primeira lei de Ohm a cada um dos
resistores associados fornece:
= ⇒ = ⇒ =i
U
R
 i
48
6,0
 i 8,0 A
1
1
1 1
= ⇒ = ⇒ =i
U
R
 i
48
12
 i 4,0 A
2
2
2 2
y Se houver n resistores R iguais em paralelo, a resistência equi-
valente será:
=R
R
nequivalente
y A resistência equivalente em paralelo é sempre menor do que a
menor das resistências da associação.
y Uma fórmula bastante utilizada é a do cálculo da resistência entre
dois resistores em paralelo. Se dois resistores R1 e R2 estão em
paralelo, a resistência equivalente é dada por:
=
⋅
+
=R
R R
R R
produto de R e R
soma de R e Requivalente
1 2
1 2
1 2
1 2
Atenção
F
R
E
N
T
E
 2
139
A B
R
1
R
2
Fig. 16 Associação de dois resistores em paralelo.
Curto-circuito
O entendimento do termo “curto-circuito”, ou simples-
mente curto, é crucial para a resolução e, principalmente,
para o entendimento dos circuitos elétricos. De forma ge-
ral, tem-se a ideia de que a única forma de fazer com que
ocorra curto entre dois pontos de um circuito elétrico é
conectá-los através de um condutor ideal. Conforme será
visto neste tópico, esta é uma das formas na qual é pos-
sível que dois pontos estejam em curto, porém há outras
possibilidades.
Considere a figura a seguir, na qual podemos observar
três resistores R1, R2 e R3 conectados entre os pontos A e C.
A C
U
B
i
R
1
R
2
R
3
Fig. 17 Resistores em série.
Estando os três resistores em série, a corrente i é fa-
cilmente calculada como:
Dessa forma, a ddp entre os pontos B e C é dada por:
U R i R R
U
R R R
BC BC 2 3
1 2 3
( )= ⋅ = + ⋅
+ +
A seguir, é colocado entre os pontos B e C um fio ideal,
considerado com resistência elétrica nula, como se observa
a seguir.
i’ i’
R
1
R
2
R
3 C
fio ideal (R = 0)
B
A
U
Fig. 18 Resistores R2 e R3 curto-circuitados.
A colocação do fio ideal altera a resistência entre os
pontos A e C, tal que:
�  
R R R R //0 R
AC 1 2 3
R'
1
BC
( )= + + =
Consequentemente, a corrente também será alterada
para um valor i’ dado por:
i'
U
R
U
R
AC 1
= =
Finalmente, a ddp entre os pontos B e C pode ser cal-
culada como:
U' R' i' 0 i' 0
BC BC
= ⋅ = ⋅ =
Conclui-se que B e C estão em um mesmo potencial.
Portanto, não há corrente circulando pelos resistores R2 e
R3, razão pela qual podem ser retirados do circuito. Alterna-
tivamente, se os pontos B e C se encontram em ummesmo
potencial, eles podem ser unidos. Dessa forma, fica claro,
conforme se vê na figura a seguir, que os resistores R2 e
R3 podem ser retirados do circuito sem nenhuma alteração
do seu funcionamento.
R
2
R
1
B = C
R
3
i'
Fig. 19 Resistores R2 e R3 em curto.
Da análise feita anteriormente, pode-se concluir que
dois pontos de um circuito estão em curto quando se
encontram em um mesmo potencial elétrico. Isso pode
ocorrer, como se verá a seguir na ponte de Wheatstone,
mesmo que os pontos não estejam ligados por fios ideais.
Também conclui-se que a resistência equivalente entre dois
pontos de um circuito que estão em curto é nula.
Fusíveis e disjuntores
São dispositivos de segurança de circuitos que limitam
a quantidade de corrente que pode passar naquele ramo do
circuito onde eles estão ligados. Os fusíveis se abrem quan-
do a corrente que os atravessa passa do limite estipulado.
Os disjuntores têm a mesma função, porém podem ser
rearmados quando a corrente que o atravessa excede o
limite estipulado.
Elemento Figura Símbolo
Disjuntor
30 A
Fusível
20 A
Tab. 3 Imagens e símbolos de um disjuntor e de um fusível.
M
a
rk
n
a
d
s
a
v
d
e
ln
in
g
e
n
 H
a
g
e
r/
W
ik
im
e
d
ia
 C
o
m
m
o
n
s
.
© James Hoenstine | Dreamstime.com
FÍSICA Capítulo 5 Resistores140
Reostatos
São resistores cuja resistência é variável. A sua represen-
tação no circuito é dada por onde os valores apresentados
indicam a mínima e a máxima resistência do reostato.
0 – 50 Ω 0 – 1000 Ω
Fig. 20 Representação circuital dos reostatos.
Na figura a seguir, tem-se um reostato utilizado em la-
boratórios de física.
Fig. 21 Reostato.
É muito importante que o aluno entenda o funcio-
namento do reostato. Assim, será utilizada a ideia de
curto-circuito. Na figura a seguir, é representado o es-
quema geral de funcionamento de um reostato.
A
C
B
Fig. 22 Esquema de funcionamento do reostato.
Na figura anterior, C é um cursor móvel que liga o fio
ideal de resistência nula ao potencial A. Observa-se que,
quando o cursor é movimentado na direção de B, o trecho
da resistência AB em curto aumenta, o que faz com que a
resistência diminua. Ao se movimentar o cursor na direção
de A, tem-se que o trecho do resistor AB em curto diminui,
o que faz com que a resistência aumente.
Resolução de circuitos elétricos
simples envolvendo resistores
Inicialmente, é proposto o circuito da figura 23.
i
1
i
3
i
2
R
2
 = 2 Ω
R
3
 = 4 Ω
A
B
R
4
 = 12 Ω
R
1
 = 6 Ω
10 V
Fig. 23 Circuito em análise, forma original.
R
e
p
ro
d
u
ç
ã
o
O que se deseja é resolver este circuito elétrico, o que
significa ser capaz de determinar todas as tensões, corren-
tes e potências nele envolvidas. Em circuitos puramente
resistivos, a primeira coisa a fazer para a sua resolução é
a determinação da resistência equivalente. Assim, as se-
guintes questões podem ser feitas:
a) Qual é a corrente fornecida pela bateria?
b) Qual é a tensão no resistor R1?
c) Qual é a corrente no resistor R3?
d) Qual é a potência dissipada no resistor R4?
Para responder a essas perguntas, deve-se inicialmente
realizar o cálculo da resistência equivalente.
Observa-se, inicialmente, que os resistores R2 e R3 es-
tão em série, portanto podemos escrever que a resistência
equivalente entre R2 e R3 vale:
R 2 4 6
eq
2
3
= + = Ω



E o circuito pode ser redesenhado da seguinte forma:
Fig. 24 Circuito com a primeira equivalência.
Observa-se que o resistor equivalente entre R2 e R3
está ligado nos mesmos nós que o resistor R4 (nós A e B).
Assim, 



R
eq
2
3
 e R4 estão em paralelo e a resistência equi-
valente pode ser calculada por meio da expressão para o
cálculo de duas resistências em paralelo. Logo, a resistência
equivalente entre os pontos A e B será:
= = ⋅
+
= Ω







R R //R
6 12
6 12
4
eq
A
B
eq
2
3
4
i
1
R
1
 = 6 Ω
10 V
A
B
= ΩR 4A
eq
B⎝
⎛
⎠
⎞
Fig. 25 Circuito com a segunda equivalência.
Finalmente, observa-se que a resistência R1 está em
série com a 



R
eq
A
B
, de tal forma que a resistência equiva-
lente do circuito será:
= + = + = Ω



R R R 6 4 10
eq 1 eq
A
B