UM ESTUDO SOBRE MÁXIMOS E MÍNIMOS APLICADOS A PROBLEMAS DE PRODUÇÃO AGRÍCOLA E OTIMIZAÇÃO DE ÁREAS

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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO CIÊNCIA E
TECNOLOGIA GOIANO-CAMPUS URUTAÍ
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
JAQUELINE CARVALHO MACHADO
UM ESTUDO SOBRE MÁXIMOS E
MÍNIMOS APLICADOS A
PROBLEMAS DE PRODUÇÃO
AGRÍCOLA E OTIMIZAÇÃO DE
ÁREAS
Urutaí
2019
JAQUELINE CARVALHO MACHADO
UM ESTUDO SOBRE MÁXIMOS E
MÍNIMOS APLICADOS A
PROBLEMAS DE PRODUÇÃO
AGRÍCOLA E OTIMIZAÇÃO DE
ÁREAS
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de
Licenciatura em Matemática do Instituto Federal de Edu-
cação Ciência e Tecnologia Goiano-Campus Urutaí, como
requisito parcial para obtenção do título de Licenciado em
Matemática.
Orientador: Prof. Dr. Dassael Fabricio dos Reis Santos
Co-Orientador: Prof. Dr. Marcelo Bezerra Barboza
Urutaí
2019
Sistema desenvolvido pelo ICMC/USP
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
Sistema Integrado de Bibliotecas - Instituto Federal Goiano
Responsável: Johnathan Pereira Alves Diniz - Bibliotecário-Documentalista CRB-1 n°2376
M149e
Machado, Jaqueline Carvalho
 Um Estudo Sobre Máximos e Mínimos Aplicados a
Problemas de Produção Agrícola e Otimização de Áreas /
Jaqueline Carvalho Machado;orientador Dassael
Fabrício dos Reis Santos; co-orientador Marcelo
Bezerra Barboza. -- Urutaí, 2019.
 64 p.
 Monografia ( em Licenciatura em Matemática) --
Instituto Federal Goiano, Campus Urutaí, 2019.
 1. Cálculo. 2. Máximos. 3. Mínimos. 4. Problemas.
5. Otimização. I. Santos, Dassael Fabrício dos Reis,
orient. II. Barboza, Marcelo Bezerra, co-orient.
III. Título.
Dedico este trabalho aos meus pais
Valdeth e Celso, pelo exemplo de coragem e
simplicidade e pela força e apoio que
me proporcionaram durante esta caminhada.
Agradecimentos
Primeiramente agradeço a Deus pelo dom da vida e por estar sempre guiando os
meus passos.
Aos meus pais e aos meus avós por todo o amor que me deram, além da
educação, ensinamentos, aconselhamentos e apoio.
Agradeço também ao meu orientador Dr. Dassael Fabrício dos Reis Santos e ao
meu co-orientador Marcelo Bezerra Barboza por me apoiarem com seus conhecimentos e
técnicas, pela disponibilidade dispensada, pela confiança em mim depositada, a dedicação
e paciência que demonstraram e também pelas sugestões que foram preciosas para a
concretização deste trabalho.
Aos demais professores do curso que com vossos conhecimentos, contribuíram
para o sucesso deste trabalho.
Aos meus amigos, por confiarem em mim e estarem do meu lado em todos os
momentos da vida.
Por fim, a todos aqueles que me ajudaram nessa trajetória, deixo o meu muito
obrigada!
Mas graças a Deus, que sempre nos
conduz vitoriosamente em Cristo e por
nosso intermédio exala em todo lugar
a fragrância do seu conhecimento.
2 Co 2:14
RESUMO
Neste trabalho, serão apresentados resultados e técnicas de solubilidade de problemas re-
lacionados ao campo de estudos das Ciências Agrárias por meio de aplicações do Cálculo
Diferencial e Integral. Mais precisamente, serão abordados, modelados e resolvidos aqui,
problemas de produção agrícola e de otimização de áreas e regiões cujas soluções podem
ser obtidas por meio das técnicas e aplicações do conceito de derivada. Para isto, serão uti-
lizadas como ferramentas principais para o desenvolvimento deste trabalho: resultados de
maximização e minimização de funções, teoremas de classificação de pontos críticos, as
regras de derivação, técnicas de modelagem por meio de observação de padrões e análise
de dados, dentre outros resultados do Cálculo.
Palavras–chave: Cálculo; Máximos; Mínimos; Problemas; Otimização.
ABSTRACT
In this work, we will present results and techniques of solubility of problems related to the
field of study of the Agrarian Sciences through applications of Differential and Integral
Calculus. More precisely, we will be addressed, modeled and solved here, problems of
agricultural production and optimization of areas and regions whose solutions can be
obtained through of techniques and applications of the derivative concept. For this, will
be used as main tools for the development of this work: maximization and minimization
results of functions, theorems of classification of critical points, derivation rules, modeling
techniques through observation of patterns and data analysis, among others results of the
Calculus.
Keywords: Calculus; Maximum; Minimum; Problems; Optimization.
Lista de Figuras
1.1 Representação do Gráfico da Função f . 29
3.1 Trajeto Casa-Rio-Horta 55
3.2 Restrições de Fósforo e Nitrogênio 58
3.3 Restrições de Potássio e Não-negatividade 58
3.4 Conjunto viável do problema (3-58) 59
Lista de Tabelas
2.1 Concentração de Aℓ por acúmulo de Fósforo (P) 40
3.1 Produção y = f (t) em função da idade t da planta. 46
3.2 Variação da Produção y = f (t) em função da idade t da planta. 47
3.3 Produção y = f (t) de colmos de cana-de-açucar em função da quanti-
dade t de nitrogênio adicionada. 50
3.4 Variação da produção em kg/ha em função da adição de Nitrogênio em
kg/ha 51
3.5 Quantidade de Compostos para Adubação do Solo 57
3.6 Valor da Função f (x,y) nos Vértices da Região Viável 61
Sumário
Lista de Figuras 8
Lista de Tabelas 9
INTRODUÇÃO 11
1 CONCEITOS BÁSICOS DO CÁLCULO: LIMITE, CONTINUIDADE E A DERI-
VADA DE UMA FUNÇÃO 14
1.1 Limite e Continuidade de uma Função 14
1.2 Derivadas 23
2 PONTOS CRÍTICOS: MÁXIMOS, MÍNIMOS E TEOREMAS PARA OBTENÇÃO
E CLASSIFICAÇÃO DE PONTOS ÓTIMOS 32
2.1 Pontos Críticos de uma Função 32
2.2 Testes para obtenção de pontos críticos 35
2.3 Polinômios de Taylor 38
3 APLICAÇÕES DO CÁLCULO: PROBLEMAS DE PRODUÇÃO AGRÍCOLA E
OTIMIZAÇÃO DE ÁREAS 42
3.1 Problemas de Otimização da Área 42
3.2 Problemas de Maximização da Produção Agrícola 45
3.3 Problema de Otimização da Receita 53
3.4 Problema de Otimização do Trajeto para Irrigação 54
3.5 Problema de Minimização do Custo para Adubação 56
CONCLUSÃO 62
Referências Bibliográficas 63
INTRODUÇÃO
O Cálculo Diferencial e Integral é uma das ferramentas matemáticas com maior
aplicabilidade nas demais áreas das ciências. Historicamente, o Cálculo surgiu, de forma
independente, por volta do século XVI nos trabalhos de Newton e Leibniz e, ao longo
do tempo, se tornou ferramenta fundamental para o desenvolvimento da Matemática.
Em termos gerais, o principal fundamento do Cálculo é o estudo sobre os conceitos e
propriedades dos limites, derivadas e integrais de funções de uma ou de várias variáveis.
Em Matemática, pode-se encontrar aplicações de derivadas e integrais, por exemplo, no
cálculo de áreas de regiões limitadas e no cálculo do volume de sólidos geométricos
limitados por funções. Além disso, pode-se utilizar resultados do estudo das derivadas
para resolver problemas de maximização e minimização de quantidades e em estudos
avançados de Matemática.
Para Stewart (2014, p. 9), "O objeto fundamental do Cálculo são as funções.
[...] uma função pode ser representada de diferentes maneiras: por uma equação, por uma
tabela, por um gráfico ou por palavras".
Nas Ciências Agrárias, que é parte do objeto de estudo deste trabalho, os
conceitos e propriedades do estudo das derivadas e integrais constituem importantes
ferramentas para modelagem de diversos problemas desta área como, por exemplo, em
problemas de maximização de áreas para criação de animais e para produção de plantio
ou, ainda, em problemas cuja finalidade é determinar o melhor período de colheita de
certo produto para que se tenha produção máxima. Problemas desta natureza constituem
aplicações importantes dos conceitos estudados no Cálculo para as Ciências Agrárias e
são denominados "Problemas de Otimização".
O principal fundamento da Otimização é encontrar uma solução que seja a mais
eficiente possível, dadas certas condições conhecidas à priori. Problemas de maximização
(como os exemplos citados acima) e problemas de minimização (como, por exemplo,
minimizar o custo de uma produção para obtenção de maior lucro) são exemplos de
problemas que propõe-se discutir e modelar neste trabalho.Em geral, o processo de
modelagem de problemas como estes em termos matemáticos não é simples, e o modelo
pode depender de uma ou de várias variáveis.
Assim, a estratégia a ser seguida é transformar certa situação em um fenômeno
Introdução 12
matemático que pode ser estudado em termos de uma função para a qual pode-se
determinar os valores de máximo e mínimo que esta função atinge em um certo conjunto
conhecido. Problemas deste tipo podem ser encontrados na Física, Química, Biologia,
Agronomia e até mesmo como aplicações em estudos relacionados com a Medicina
Veterinária.
Segundo Stewart (2014, p. 294) "Na solução destes problemas práticos, o maior
desafio está frequentemente em converter o problema em um problema de otimização
matemática, determinando a função que deve ser maximizada ou minimizada".
Neste sentido, o objetivo principal deste trabalho é apresentar modelos e soluções
de problemas de otimização que surgem como aplicação do conceito de derivada no
campo de estudos das Ciências Agrárias e Agronômicas criando, assim, ferramentas
alternativas que possam ajudar os profissionais desta área na resolução de problemas com
intuito de obter os melhores resultados possíveis. Para isto, utilizaremos como ferramentas
principais, as técnicas de modelagem matemática e resultados do estudo das derivadas,
tais como, teoremas para obtenção e classificação de pontos críticos.
Alguns problemas que buscaremos resolver, por meio do Cálculo Diferencial e
Integral, são:
1. Problema de Maximização de Área: O quanto de cerca deve ser gasto para
formação de um piquete em um terreno que será utilizado para criação de rebanho
ou produção de plantio sabendo que um dos lados do terreno já é limitado por um
cercado?
2. Problema de Maximização de Produção: Qual é a idade de uma planta, que
produz certo tipo de grão, em que deverá ser realizada a colheita para que a
produção seja máxima, conhecendo a produção da planta em intervalos de tempos
constantes?
3. Problema de Maximização de Produtividade: Qual a quantidade de árvores
frutíferas um agricultor deve adicionar a sua plantação para que a produtividade
de sua plantação seja máxima, conhecida a produtividade média por árvore que ele
já possui plantada?
4. Problema de Minimização do Custo de Adubação: Qual a quantidade de adubo
orgânico e adubo químico a ser combinado para adubação do solo de certa região
que minimizam o custo de adubação desta região conhecendo as necessidades
mínimas requeridas de cada adubo pelo solo e o custo de cada adubo?
O primeiro passo para solucionar estes problemas é escrever precisamente qual
a função que deverá ser analisada. Esta função poderá ser escrita em função de
uma ou mais variáveis. Quando a função é de mais de uma variável devemos
procurar expressar uma das variáveis em função da outra. (FLEMMING &
GONÇALVES, 2006, p. 218)
Introdução 13
Além disso, este trabalho tem por intuito mostrar que Agronomia, Engenharia
Agrícola, Agronegócios e Matemática são áreas que estão intimamente ligadas por meio
de muitas aplicações, e que o Cálculo Diferencial e Integral não é somente uma disciplina
estudada por acaso nos cursos de graduação destas áreas, mas sim uma disciplina que
oferece ferramentas suficientes para resolver situações que podem ocorrer no seu campo
de trabalho e pesquisa.
A metodologia utilizada para o desenvolvimento deste trabalho baseou-se no
estudo, análise e síntese da bibliografia listada e por uma análise de dados coletados
nos trabalhos referenciados ao longo dos capítulos, com objetivo de modelar situações-
problemas que contribuissem com o desenvolvimento do trabalho e possibilitasse a
conclusão da pesquisa. Para atingir este objetivo, estudou-se primeiramente a teoria
básica do Cálculo Diferencial e Integral, tais como, limites, derivadas, integrais e suas
aplicações, visto que estes conceitos são necessários para o avanço da pesquisa. Em
seguida, estudamos técnicas de solubilidade de problemas de maximização e minimização
aplicados às mais diversas áreas com intuito de aprimorar o conhecimento já adquirido
e, com isto, modelar e resolver os problemas de otimização que foram propostos neste
trabalho.
Neste sentido este trabalho será dividido em três capítulos, como descrito a
seguir:
No primeiro capítulo, serão abordados, de forma introdutória, os principais
conceitos do Cálculo Diferencial e Integral que servirão de base para o desenvolvimento
deste trabalho, tais como, o estudo de limites e continuidade e os conceitos e propriedades
do estudo das derivadas.
O segundo capítulo trata dos resultados principais sobre aplicações de derivadas.
Dentre os conceitos que aborda-se neste capítulo estão: máximos, mínimos e pontos
críticos de uma função e os testes de classificação de pontos críticos de uma função em
máximos e mínimos locais. Neste sentido, serão utilizados os testes da primeira derivada
e da segunda derivada e o Teorema de Weierstrass para cumprir os objetivos do capítulo
e com isso prosseguir com o avanço do trabalho.
Por fim, o terceiro capítulo tem por objetivo aplicar os conteúdos estudados nos
capítulos anteriores para solucionar problemas de otimização relacionados ao campo de
estudos das Ciências Agrárias. Neste sentido, os principais problemas abordados aqui
estão relacionados a otimização de produção agrícola e de áreas.
CAPÍTULO 1
CONCEITOS BÁSICOS DO CÁLCULO:
LIMITE, CONTINUIDADE E A DERIVADA
DE UMA FUNÇÃO
Neste Capítulo, serão apresentados os conceitos fundamentais do Cálculo Dife-
rencial e Integral que servirão para dar base a construção de estudos posteriores. Mais
precisamente, serão apresentados aqui, definições e propriedades referentes ao estudo dos
limites e derivadas de funções contínuas.
1.1 Limite e Continuidade de uma Função
Nesta seção serão apresentados os conceitos e propriedades fundamentais do
estudo dos limites e das funções contínuas. De um modo geral, serão introduzidas,
primeiramente, as definições de limite e continuidade de funções reais bem como suas
propriedades e, a seguir, por meio de um estudo formal baseado na análise matemática,
busca-se estudar os principais resultados destes tópicos que servirão de base para o
desenvolvimento deste trabalho.
Definição 1.1 Sejam I ⊂ R um intervalo aberto, a um ponto de acumulação1 de I e
f : I −→ R uma função definida em I, exceto possivelmente no ponto a. Dizemos que
o limite de f (x) quando x aproxima-se de a é L ∈ R, e escrevemos,
lim
x−→a
f (x) = L, (1-1)
se para todo ε > 0 suficientemente pequeno, existe um δ > 0, tal que, para todo x ∈ I,
0 <| x−a |< δ implica que | f (x)−L |< ε.
1Diz-se que a ∈R é um ponto de acumulação de I se a é limite de uma sequência de pontos no intervalo
I.
1.1 Limite e Continuidade de uma Função 15
Em palavras, a definição acima afirma que o gráfico de f está suficientemente
próximo da reta y = L a medida que x se aproxima de a.
Segundo Neri (2006, p. 75), "A ideia intuitiva correta é dizer que f (x) é tão
próximo de L quanto quisermos, bastando para isto tomar x suficientemente próximo de
a".
Já Lima (2006, p. 61) esclarece que na definição de limite é essencial que a seja
um ponto de acumulação do conjunto I mas é irrelevante que a pertença ou não a I, isto
é, que f esteja ou não definida no ponto a.
O exemplo a seguir mostra como aplicar a definição 1.1 para o cálculo do limite.
Se f (x) = kx+b, onde k,b ∈ R, tem-se
lim
x−→a
(kx+b) = ka+b. (1-2)
De fato, utilizando a definição de limite, deve-se mostrar que para todo ε > 0
suficientemente pequeno, existe um δ > 0, tal que,
| (kx+b)− (ka+b) |< ε sempre que 0 <| x−a |< δ. (1-3)
Com efeito, tomando δ = ε|k| , para 0 <| x−a |< δ, segue que:
| (kx+b)− (ka+b) |=| k(x−a) |=| k || x−a |<| k | δ =| k | ε| k | = ε, (1-4)
e isto verifica a igualdade (1-2).
O teorema que será apresentado a seguir garante a unicidade do limite de uma
função. Em todos os resultados que serão enunciados neste capítulo, considera-se a partir
de agora I um subconjuntode R e a ∈ I um ponto de acumulação.
Teorema 1.2 (Unicidade do Limite) Seja f : I −→ R uma função, tal que,
lim
x→a
f (x) = L1 e lim
x→a
f (x) = L2.
Então L1 = L2.
Demonstração: Utilizando a definição de limite, para todo ε> 0 suficientemente pequeno
dado, existem δ1 > 0 e δ2 > 0, tais que,
0 <| x−a |< δ1 implica que | f (x)−L1 |<
ε
2
(1-5)
0 <| x−a |< δ2 implica que | f (x)−L2 |<
ε
2
. (1-6)
1.1 Limite e Continuidade de uma Função 16
Defina δ = min{δ1,δ2}. Assim, 0 <| x−a |< δ implica que
| L1 −L2 |=| L1 − f (x)+ f (x)−L2 |≤| f (x)−L1 |+ | f (x)−L2 |<
ε
2
+
ε
2
= ε. (1-7)
Como ε é arbitrário, tem-se | L1 −L2 |= 0 e, portanto, L1 = L2.
�
Neste ponto, dado que se conhece os conceitos algébricos e geométricos do
limite de uma função, nada mais natural do que se perguntar como operar limites. Os
procedimentos para operar limites de funções são dados pelo teorema a seguir.
Teorema 1.3 (Operações com Limites) Sejam f : I −→ R e g : I −→ R funções, a ∈ I,
c ∈ R e n ∈ N, tais que, existem os limites,
lim
x−→a
f (x) e lim
x−→a
g(x). (1-8)
Então:
(i) lim
x−→a
( f (x)±g(x)) = lim
x−→a
f (x)± lim
x−→a
g(x);
(ii) lim
x−→a
c f (x) = c lim
x−→a
f (x);
(iii) lim
x−→a
[ f (x) ·g(x)] = lim
x−→a
f (x) · lim
x−→a
g(x);
(iv) lim
x−→a
f (x)
g(x)
=
lim
x−→a
f (x)
lim
x−→a
g(x)
, desde que lim
x−→a
g(x) 6= 0;
(v) lim
x−→a
[ f (x)]n = [ lim
x−→a
f (x)]n.
A prova deste resultado segue diretamente pelo uso da definição de limite (veja
Definição 1.1). Para o leitor interessado em conhecer a demonstração do resultado anterior
sugere-se consultar Flemming e Gonçalves ([4], 2006), Guidorizzi ([7], 2012) ou qualquer
livro de Análise Real ou de Cálculo Diferencial e Integral.
O Teorema a seguir fornece informações sobre o limite de uma função limitada
por duas outras funções cujos limites são iguais. Este resultado é conhecido na literatura
como Teorema do Confronto ou do Sanduíche. A demonstração que será apresentada para
este resultado segue as ideias de Lima ([10], 2006).
Teorema 1.4 (Confronto) Sejam f : I −→ R, g : I −→ R e h : I −→ R funções, a ∈ I e
L ∈ R, tais que, f (x)≤ h(x)≤ g(x), para todo x ∈ I \{a}. Se
lim
x−→a
f (x) = L e lim
x−→a
g(x) = L, (1-9)
então, lim
x−→a
h(x) = L.
1.1 Limite e Continuidade de uma Função 17
Demonstração: Seja ε > 0 suficientemente pequeno. Utilizando a definição de limite em
(1-9) segue que existem δ1 > 0 e δ2 > 0, tais que,
0 <| x−a |< δ1 implica que | f (x)−L |< ε (1-10)
0 <| x−a |< δ2 implica que | g(x)−L |< ε. (1-11)
Tomando δ = min{δ1,δ2} e utilizando as propriedades das inequações modula-
res, tem-se,
0 < |x−a|< δ implica que L− ε < f (x)< L+ ε e L− ε < g(x)< L+ ε. (1-12)
Utilizando as hipóteses do Teorema, para todo x ∈ I ∩ (a− δ,a+ δ), conclui-se
que,
−ε < f (x)−L ≤ h(x)−L ≤ g(x)−L < ε, (1-13)
e, consequentemente, | h(x)−L |< ε. Portanto lim
x−→a
h(x) = L.
�
Ao observar a função h(x) = x2 sin
(1
x
)
, por exemplo, nota-se que lim
x−→0
sin
(1
x
)
não existe e, por isto, as propriedades de limites relacionadas no Teorema 1.3 não podem
ser utilizadas. Com isto, calcular o limite de h(x) quando x está em uma vizinhança
suficientemente pequena da origem pode tornar-se muito complicado. Porém, é fácil
resolver este problema utilizando como técnica o Teorema do Confronto. Com efeito,
lembre que h(x) é uma função limitada por 1, isto é,
−1 ≤ sin
(1
x
)
≤ 1. (1-14)
Multiplicando os lados desta desigualdade por x2, obtém-se,
−x2 ≤ x2 sin
(1
x
)
≤ x2. (1-15)
Definindo f (x) =−x2 e g(x) = x2, tem-se f (x)≤ h(x)≤ g(x) e
lim
x−→0
f (x) = 0 = lim
x−→0
g(x) (1-16)
e, pelo Teorema do Confronto, lim
x−→0
x2 sin
(1
x
)
= 0.
Note que, no estudo dos limites, o interesse maior estava voltado para o estudo
do comportamento da função f nas proximidades do ponto a, mas sem preocupar no caso
1.1 Limite e Continuidade de uma Função 18
em que f assume este valor, isto é, f (a). Na verdade, de um modo geral, para que o limite
da função f exista, quando x está em uma vizinhança do ponto a não há necessidade, se
quer, que f esteja definida em a. Por exemplo, se
f (x) =
x2 −1
x−1 , (1-17)
nota-se que f não está definida no ponto a = 1, mas
lim
x−→1
x2 −1
x−1 = 2. (1-18)
Porém, em inúmeros casos, f (x) estará suficientemente próximo de f (a), a me-
dida que x se aproximar de a. A esta classe de funções denominamos funções contínuas.
Por conveniência, ao longo do trabalho, C(I) denotará o conjunto das funções contínuas
em I, isto é,
C(I) = { f : I −→ R; I ⊆ R e f é contínua}.
Com isto, a notação f ∈ C(I) significa que f é uma função contínua em I. O
estudo a seguir trata sobre os resultados e propriedades das funções contínuas. Primei-
ramente, será definido o conceito de continuidade e, em seguida, serão apresentados al-
guns resultados fundamentais do estudo das funções contínuas. Dentre estes resultados,
destaca-se o Teorema do Valor Intermediário. A definição a seguir se baseia nas ideias de
Lima ([10], 2006).
Definição 1.5 Uma função f : I −→R é dita contínua no ponto a ∈ I se, para todo ε > 0
suficientemente pequeno, existe um δ > 0, tal que, para todo x ∈ I, tem-se que | x−a |< δ
implica que | f (x)− f (a) |< ε. No caso especial em que a é um ponto de acumulação de
I, então f é contínua no ponto a se as seguintes condições são satisfeitas:
(i) f está definida no ponto a;
(ii) existe o limite lim
x−→a
f (x);
(iii) lim
x−→a
f (x) = f (a).
Inúmeros exemplos de funções contínuas podem ser encontrados em estudos de
Matemática. Dentre tais exemplos, pode-se citar:
(i) As funções polinomiais da forma p(x) = anxn + · · ·+a1x+a0, que são contínuas para
quaisquer a0,a1, · · · ,an ∈ R, n ∈ N e todo x ∈ R.
(ii) As funções racionais da forma f (x) =
p(x)
q(x)
, com q(x) 6= 0, que são contínuas em todos
os pontos de seu domínio.
(iii) As funções trigonométricas f (x) = sin(x) e g(x) = cos(x), que são contínuas para
todo x ∈ R.
1.1 Limite e Continuidade de uma Função 19
(iv) A função exponencial f (x) = ex e a função logarítmica g(x) = log(x), que são
contínuas para todo x ∈ R.
Porém, os casos mais interessantes estão no estudo das funções que não são
contínuas. Funções que não são contínuas são denominadas descontínuas. A função
f (x) =
x2 −1
x−1 , por exemplo, não é contínua no ponto a = 1, pois f não está definida
neste ponto. Já a função
g(x) =
x2 −1
x−1 , se x 6= 1 ; g(1) = 1 (1-19)
está definida em a = 1, mas não é contínua neste ponto, pois,
lim
x−→1
g(x) = lim
x−→1
x2 −1
x−1 = limx−→1
(x−1)(x+1)
x−1 = limx−→1(x+1) = 2 > 1 = g(1). (1-20)
Também, a função
f (x) =
x
|x| , se x 6= 0; f (0) = 0 (1-21)
não é contínua no ponto a = 0, uma vez que,
lim
x−→0−
f (x)< 0 < lim
x−→0+
f (x) (1-22)
e, consequentemente, não existe o limite lim
x−→0
f (x).
De um modo geral, funções contínuas podem ser obtidas por operações de outras
funções contínuas. Assim, se f : I −→R e g : I −→R são funções contínuas em um ponto
a ∈ I, então f +g, f −g, f ·g e f
g
são funções contínuas no ponto a, desde que, no último
caso, tenha-se g(a) 6= 0. Além disso, se f é contínua em a e g é contínua em f (a), então
a função composta g◦ f é contínua no ponto a e vale
lim
x−→a
(g◦ f )(x) = g
(
lim
x−→a
f (x)
)
. (1-23)
Com efeito, a prova da equação (1-23) segue das definições de limite e continui-
dade. Com isto, pela continuidade de f e g tem-se, por (1-23), que
lim
x−→a
(g◦ f )(x) = lim
x−→a
g( f (x)) = g
(
lim
x−→a
f (x)
)
= g( f (a)) = (g◦ f )(a), (1-24)
e, consequentente, g◦ f é contínua em a.
1.1 Limite e Continuidade de uma Função 20
O resultado que será apresentado a seguir é visto como um dos mais importantes
teoremas do Cálculo Diferencial e Integral e tem aplicações na teoria dos pontos fixos2
e na busca por soluções de equações do tipo f (x) = y, onde f é uma função contínua no
intervalo I = [a,b] e y é um número real. Em suma, este teorema garante que se f é uma
função contínua no intervalo I = [a,b], então f intersecta qualquer reta horizontal entreas retas f (a) e f (b). Este resultado é conhecido como Teorema do Valor Intermediário e
será enunciado a seguir:
Teorema 1.6 (Teorema do Valor Intermediário) Seja f : [a,b]−→ R uma função con-
tínua e k um número, tal que, f (a) ≤ k ≤ f (b). Então existe pelo menos um número
c ∈ [a,b] tal que f (c) = k.
A prova que será apresentada a seguir se baseia nas ideias de Lima (2006).
Outras demonstrações diferentes destas (utilizando o Método da Bisseção e o Teorema dos
Intervalos Encaixantes, por exemplo) podem ser encontradas na bibliografia matemática.
Neste trabalho optou-se pelas ideias de Lima (2006) por sua compacidade e relevância
teórica.
Demonstração do Teorema do Valor Intermediário: Sejam
A = {x ∈ [a,b]; f (x)≤ k} e B = {x ∈ [a,b]; f (x)≥ k}.
Note que, A 6= /0 pois a ∈ A, B 6= /0 pois b ∈ B, A∪B = [a,b] e que A e B são fechados3
donde A∩B = A∩B = A∩B. Afirma-se que A∩B = {x ∈ [a,b]; f (x) = k} 6= /0. Com
efeito, se A∩B = /0 então A∪B é uma cisão não-trivial, pois A 6= /0 e B 6= /0, o que é
impossível pois todo intervalo da reta só tem a cisão trivial4. Assim, A∩B 6= /0 e, portanto,
f (c) = k para qualquer c ∈ A∩B.
�
Se pensarmos em uma função contínua como aquela cujo gráfico não tem
nem saltos nem quebras, então é fácil acreditar que o Teorema do Valor
Intermediário é verdadeiro. Em termos geométricos, ele afirma que, se for dada
uma reta horizontal qualquer y = N entre y = f (a) e y = f (b), [...], então o
gráfico de f não poderá saltar a reta. Ele precisará intersectar y = N em algum
ponto. (STEWART, 2014, p. 115-116)
O caso particular em que k = 0, conhecido como Teorema de Bolzano, é utilizado
com frequência no estudo de existência de soluções de equações do tipo f (x) = 0, onde f
é uma função contínua. O Teorema é o seguinte:
2Um ponto x ∈ X , tal que f (x) = x chama-se um ponto fixo da função f : X −→ R.
3Teorema [Lima, 2006, Teorema 1, Corolário 2, p. 74] - Sejam f ,g : I −→ R contínuas e Z = {x ∈
X ; f (x)≤ g(x)}. Existe F ⊂R fechado, tal que, Z = X ∩F . Em particular, se I é fechado então Z é fechado.
4Teorema [Lima, 2006, Teorema 5, p. 51] - Um intervalo da reta só admite a cisão trivial.
1.1 Limite e Continuidade de uma Função 21
Teorema 1.7 (Bolzano) Seja f : [a,b] −→ R uma função contínua, tal que, f (a) < 0 <
f (b). Então, existe um número x ∈ (a,b), tal que, f (x) = 0.
A prova deste resultado surge como aplicação direta do Teorema do Valor
Intermediário. Para uma discussão mais profunda sobre o tema, sugere-se ao leitor
consultar Flemming e Gonçalves ([4], 2006), Lima ([10], 2006), Neri ([12], 2006) e
Stewart ([16], 2014).
Como afirmado anteriormente, o Teorema do Valor Intermediário, na forma do
Teorema de Bolzano, é utilizado com frequência para encontrar soluções de equações do
tipo f (x) = 0. As aplicações a seguir ilustram esta situação. Mais precisamente, serão
mostradas algumas aplicações do Teorema do Valor Intermediário à teoria de existência
de soluções de equações polinomiais e a teoria do ponto fixo.
Aplicação 1 (Solução de Equações Polinomiais): Seja
f (x) = anx
n + · · ·+a2x2 +a1x+a0 (1-25)
uma função polinomial de grau n ímpar, onde ai ∈R e an 6= 0. Então, f admite pelo menos
uma raiz real. De fato, note que,
f (x) = anx
n
(
1+
an−1
an
x−1 + · · ·+ a2
an
x2−n +
a1
an
x1−n +
a0
an
x−n
)
. (1-26)
Assim,
lim
x−→−∞
f (x) = lim
x−→−∞
anx
n =−∞ < 0 e lim
x−→+∞
f (x) = lim
x−→+∞
anx
n =+∞ > 0, (1-27)
e, consequentemente, existem a < 0 < b, tal que, f (a) < 0 < f (b). Além disso, f é
contínua, pois f é polinomial. Pelo Teorema de Bolzano, existe c ∈ R, tal que, f (x) = 0,
isto é, c é uma raiz real do polinômio f .
Em particular, para busca por soluções da equação 4x3 − 6x2 + 3x = 2, defina
f (x) = 4x3 − 6x2 + 3x− 2 e note que f é uma função polinomial de grau ímpar igual
a 3. Logo, pelo Teorema de Bolzano, f admite uma raiz real. A ideia é estimar o
menor intervalo de extremos inteiros que contenha tal raiz. Note, por simples cálculos
matemáticos, que f (−2) = −64 < 0 < 170 = f (4). Como f é contínua, seu gráfico
é uma curva suave que intersecta o eixo-x em algum ponto de [−2,4], que é raiz de
f , ou seja, existe x ∈ (−2,4), tal que, f (x) = 0. Observe que o Teorema de Bolzano
não permite encontrar a raiz em si, mas somente obter um intervalo que contenha esta
raiz. Mas, por meio de algum método iterativo, pode-se obter um intervalo mais fino
que contenha a raiz de f . Com efeito, seja x0 = 1 o ponto médio de [−2,4]. Logo,
1.1 Limite e Continuidade de uma Função 22
f (1) =−1 < 0 < 170 = f (4). Novamente, pelo Teorema de Bolzano, existe x ∈ (1,4), tal
que f (x) = 0.
Tal intervalo pode ser refinado por uma nova aplicação do Teorema de Bolzano.
Com efeito, seja x0 = 52 o ponto médio de [1,4]. Como busca-se por um intervalo de
extremos inteiros, seja x = 2 o primeiro número inteiro menor que x0 neste intervalo.
Com isto, f (1) = −1 < 0 < 12 = f (2). Pelo Teorema de Bolzano, existe x ∈ (1,2), tal
que, f (x) = 0. Assim, [1,2] é o menor intervalo de fronteira inteira contendo uma solução
de f (x) = 0. Veja que este intervalo pode ser refinado por aplicações repetidas deste
procedimento, obtendo uma melhor aproximação da raiz de f , se considerar números
reais como pontos da fronteira. De fato, note que f (1,2) =−0,128< 0< 0,548= f (1,3)
e, consequentemente, uma raiz deve estar no intervalo [1,2;1,3]. Novamente, nota-se que
f (1,22) = −0,007008 < 0 < 0,056068 = f (1,23). Assim, uma raiz está no intervalo
[1,22;1,23].
Por outro lado, nem todo polinômio f (x) de grau par tem raíz real como, por
exemplo, no caso do polinômio f (x) = x2 +1.
Aplicação 2 (Existência de Ponto Fixo): Em Matemática, muitos problemas advindos
do estudo de Física e Engenharias podem ser modelados em termos de equações cuja
solução é um ponto fixo de certa função a ser considerada. Aplicações do Teorema
do Valor Intermediário na Teoria dos Pontos Fixos são estudadas com frequência em
Matemática, devido a grande importância deste resultado para a teoria. Lima (2006) e Neri
(2006), por exemplo, utilizam o Teorema do Valor Intermediário para encontrar pontos
fixos de funções contínuas que satisfazem certa condição de crescimento. Baseados nestes
trabalhos, mostraremos, como aplicação do Teorema do Valor Intermediário, a existência
de pontos fixos de funções contínuas com certo comportamento em intervalos da forma
[a,b]. Tal aplicação é um resultado singular em Equações Diferenciais denominado
Teorema do Ponto Fixo de Brouwer.
Teorema 1.8 (Ponto Fixo de Brouwer) Seja f : [a,b] −→ R uma função contínua com
f (a)≥ a e f (b)≤ b. Então, existe pelo menos um número real c∈ (a,b), tal que, f (c) = c.
Demonstração: A prova será baseada nas ideias de Lima (2006) e Neri (2006). Defina
uma função g : [a,b] −→ R por g(x) = x − f (x), para todo x ∈ [a,b]. Note que g é
contínua, pois é a diferença entre o polinômio do primeiro grau x e a função contínua
f ou, equivalentemente,
lim
x−→x0
g(x) = lim
x−→x0
(x− f (x)) = x0 − f (x0) = g(x0), x0 ∈ [a,b]. (1-28)
1.2 Derivadas 23
Além disso, g(a) = a− f (a) ≤ 0 ≤ b− f (b) = g(b). Pelo Teorema do Valor
Intermediário, existe pelo menos um número real x ∈ (a,b), tal que, g(x) = 0. Pela
definição de g, vale que, f (x) = x. Isto prova o Teorema.
�
Um fato interessante a ser observado é que o Teorema do Valor Intermediário
e o Teorema do Ponto Fixo de Brouwer são equivalentes. Para conhecer uma prova da
equivalência destes teoremas veja Pereira, Ferreira e Martins ([13], 2018).
Na próxima seção, serão estabelecidos alguns resultados sobre derivadas que
serão utilizados com frequência ao longo dos capítulos.
1.2 Derivadas
Nesta seção, serão considerados os principais resultados referentes ao estudo das
derivadas que servirão de base para o desenvolvimento deste trabalho. Para isto, sejam
f : A ⊂ R −→ R e a ∈ A um ponto de acumulação de A. Primeiramente, será definido o
conceito de derivada da função f no ponto a.
Definição 1.9 A derivada de f no ponto a é definida pelo limite
f ′(a)= lim
x−→a
f (x)− f (a)
x−a , (1-29)
quando este limite existe. Equivalentemente, se ∆x = x− a, então a derivada de f no
ponto a é definida por
f ′(a) = lim
∆x−→0
f (a+∆x)− f (a)
∆x
. (1-30)
Mais precisamente, em termos da definição de limite, a equação (1-29) significa que para
todo ε > 0 dado, existe um δ > 0, tal que, para todo x ∈ A, tem-se que,
0 <| x−a |< δ implica que
∣
∣
∣
f (x)− f (a)
x−a − f
′(a)
∣
∣
∣
< ε. (1-31)
Além disso, diz-se que uma função é derivável quando existe a derivada em todos os
pontos de seu domínio.
Segundo Flemming e Gonçalves (2006, p. 121) "[...] este limite nos dá a incli-
nação da reta tangente à curva y = f (x) no ponto (a, f (a)). Portanto, geometricamente, a
derivada da função y = f (x) no ponto a representa a inclinação da curva neste ponto".
Para a função f (x) = 4x2 −6x+2, por exemplo, tem-se que f ′(x) = 8x−6.
1.2 Derivadas 24
Com efeito, utilizando a definição de derivada dada anteriormente, segue
f ′(x) = lim
∆x−→0
f (x+∆x)− f (x)
∆x
= lim
∆x−→0
4(x+∆x)2 −6(x+∆x)+2− (4x2 −6x+2)
∆x
= lim
∆x−→0
∆x(8x+4∆x−6)
∆x
= lim
∆x−→0
(8x+4∆x−6)
= 8x−6 (1-32)
Mais geralmente, verifica-se facilmente que a derivada da função f (x) = xn, para
n ∈ N é f ′(x) = nxn−1. De fato, utilizando a definição de derivada e a decomposição
polinomial por meio do Binômio de Newton, tem-se:
f ′(x) = lim
∆x→0
f (x+∆x)− f (x)
∆x
= lim
∆x→0
(x+∆x)n − xn
∆x
= lim
∆x→0
∆x((x+∆x)n−1 +(x+∆x)n−2x+ · · ·+(x+∆x)xn−2 + xn−1)
∆x
= lim
∆x→0
(x+∆x)n−1 +(x+∆x)n−2x+ · · ·+(x+∆x)xn−2 + xn−1
= nxn−1. (1-33)
Esta igualdade será essencial para cálculos futuros envolvendo derivadas de
funções polinomiais. Analogamente, verifica-se que:
(i) Se f (x) =
1
xn
então f (x) = x−n e, assim, f ′(x) =−nx−n−1 =− n
xn+1
, n ∈ N.
(ii) Se f (x) = n
√
xm então f (x) = x
m
n e, assim, f ′(x) =
m
n
x
m
n −1 =
m
n
x
−n+m
n , n,m ∈Z, n 6= 0.
A derivada surgiu no século XVII, em conexão com o problema de traçar a reta
tangente a uma curva. Mas há uma outra motivação da derivada, não menos
importante que a da reta tangente: trata-se da ideia da taxa de variação, como
no caso da velocidade de um móvel, da taxa de decaimento de um material
radioativo, da taxa de crescimento de uma cultura de bactérias etc. (ÁVILA &
ARAÚJO, 2013, p. 59)
A partir de agora, será estabelecida a seguinte notação para o conjunto das
funções deriváveis:
H(A,R) = { f : A ⊂ R−→ R; f é derivável em a, a ∈ A}.
1.2 Derivadas 25
Observe que alguns cálculos podem se tornar um pouco complicados de se resol-
ver utilizando a definição de limite. Isto depende que tipo de função se está interessado em
obter a derivada. Para contornar estas dificuldades, utiliza-se algumas regras de derivação
que podem ser demonstradas por meio da definição de limite de função. A seguir, serão
apresentadas tais regras de derivação que são classificadas como operações de derivadas.
Teorema 1.10 (Operações com Derivadas) Seja f ,g ∈H(A,R). Então:
(1) (Derivada da soma): Se h(a) = f (a)±g(a), então h′(a) = f ′(a)±g′(a).
(2) (Derivada do produto): Se h(a) = f (a)g(a), então h′(a) = f (a)g′(a)+ f ′(a)g(a).
(3) (Derivada do quociente): Se h(a) =
f (a)
g(a)
, onde g(a) 6= 0, então
h′(x) =
g(a) f ′(a)− f (a)g′(a)
[g(a)]2
. (1-34)
(4) (Derivada do Produto por Escalar): Se h(a) = α f (a), para α ∈ R, então h′(a) =
α f ′(a).
A prova do teorema acima segue diretamente da aplicação da definição de
derivada. Mas, por uma questão de comodidade, esta demonstração não será apresentada
neste trabalho. A nível de informação, e ao leitor interessado em conhecer a prova deste
resultado, sugere-se consultar Lima ([10], 2006).
Essas regras de derivação nos permitem calcular com relativa facilidade as
derivadas de polinômios, funções racionais, funções algébricas, funções ex-
ponenciais e logarítmicas, além de funções trigonométricas e trigonométricas
inversas. (STEWART, 2014, p. 157)
Se h(x) = (3x4 − 5x2)(2x3 − 10), por exemplo, então, utilizando a propriedade
da derivada do produto,
h′(x) = (3x4 −5x2)6x2 +(12x3 −10x)(2x3 −10) = 42x6 −50x4 −120x3 +100x.
Semelhantemente, se h(x) = 3x
5−4
2x3−6x+4 , então, utilizando a propriedade da deri-
vada do quociente,
h′(x) =
(2x3 −6x+4)15x4 − (3x5 −4)(6x2 −6)
(2x3 −6x+4)2 =
12x7 −72x5 +60x4 +24x2 −24
(2x3 −6x+4)2 .
Sabe-se, que dentre as funções mais importantes do estudo da Matemática estão
as funções trigonométricas. Tais funções se aplicam em diversas situações cotidianas. Por
isto, é útil conhecer as derivadas das funções trigonométricas elementares conhecidas na
Matemática. Assim:
1.2 Derivadas 26
Teorema 1.11 (Derivadas das Funções Trigonométricas) As seguintes derivadas são
verdadeiras:
(i) Se f (x) = sin(x), então f ′(x) = cos(x).
(ii) Se f (x) = cos(x), então f ′(x) =−sin(x).
(iii) Se f (x) = tan(x), então f ′(x) = sec2(x).
(iv) Se f (x) = cot(x), então f ′(x) =−csc2(x).
(v) Se f (x) = sec(x), então f ′(x) = sec(x) · tan(x).
(vi) Se f (x) = csc(x), então f ′(x) =−csc(x) · cot(x).
Demonstração: A prova dos itens acima segue diretamente da definição de derivada e
das relações entre funções trigonométricas. Será provado aqui somente o item (i) e os
demais itens se provam de forma análoga. Com efeito, pela definição de derivada, se
f (x) = sin(x), então:
f ′(x) = lim
∆x−→0
sin(x+∆x)− sin(x)
∆x
= lim
∆x−→0
sin(x)cos(∆x)+ sin(∆x)cos(x)− sin(x)
∆x
= lim
∆x−→0
sin(x)(cos(∆x)−1)+ sin(∆x)cos(x)
∆x
= lim
∆x−→0
(
sin(x)
cos(∆x)−1
∆x
+ cosx
sin(∆x)
∆x
)
= cos(x), (1-35)
onde nas igualdades acima utilizou-se os seguintes limites fundamentais como ferramen-
tas:
lim
x−→0
sin(x)
x
= 1 e lim
x−→0
cos(x)−1
x
= 0. (1-36)
�
O resultado que será apresentado a seguir, é uma das principais ferramentas
do estudo das derivadas. Em termos gerais, este teorema mostra como derivar uma
composição de funções deriváveis.
Teorema 1.12 (Regra da Cadeia) Sejam f ∈ H(A,R) e g ∈ H(B,R), tal que, f (A) ⊂ B
com b = f (a). Então a função composta g◦ f : A −→ R é derivável em a e tem derivada
dada por:
(g◦ f )′(a) = g′( f (a)) f ′(a). (1-37)
Para prova deste resultado sugere-se ao leitor consultar Lima (2006, p. 92).
Utilizando a Regra da Cadeia, pode-se mostrar que a função y(x) = cos(sin(ln(
√
ex
2+1)))
1.2 Derivadas 27
é derivável, com derivada igual a
y′(x) =−xsin(sin(ln(
√
ex
2+1)))cos(ln(
√
ex
2+1)). (1-38)
De fato, sendo
w(x) = x2 +1, v(x) = ex, u(x) =
√
x, h(x) = ln(x), g(x) = sin(x) e f (x) = cos(x),
então, é fácil ver que y(x) = ( f ◦ g ◦ h ◦ u ◦ v ◦w)(x). Assim, aplicando a regra da cadeia
sucessivamente, segue que,
y′(x) = f ′(g◦h◦u◦ v◦w(x))(g◦h◦u◦ v◦w)′(x)
= f ′(g◦h◦u◦ v◦w(x))g′(h◦u◦ v◦w(x))(h◦u◦ v◦w)′(x)
= f ′(g◦h◦u◦ v◦w(x))g′(h◦u◦ v◦w(x))h′(u◦ v◦w(x))(u◦ v◦w)′(x)
= f ′(g◦h◦u◦ v◦w(x))g′(h◦u◦ v◦w(x))h′(u◦ v◦w(x))u′(v◦w(x))(v◦w)′(x)
= f ′(g◦h◦u◦ v◦w(x))g′(h◦u◦ v◦w(x))h′(u◦ v◦w(x))u′(v◦w(x))v′(w(x))w′(x).
Consequentemente, sabendo que
w′(x) = 2x, v′(x) = ex, u′(x) = 2−1x−
1
2 , h′(x) = x−1, g′(x) = cos(x) e f ′(x) =−sin(x),
tem-se
y′(x) = −sin(sin(ln(
√
ex
2+1)))cos((ln(
√
ex
2+1))
1√
ex
2+1
1
2
√
ex
2+1
ex
2+12x
= −xsin(sin(ln(
√
ex
2+1)))cos(ln(
√
ex
2+1)), (1-39)
como já havia sido afirmado.
Analogamente, é fácil encontrar a derivada da função y = (3x2 + 1)3(x− x2)2
utilizando a regra da cadeia. Note, neste caso, que y(x) pode ser escrita como o produto
de duas funções f (x) = (3x2+1)3 e g(x) = (x−x2)2. Assim, pela propriedade da derivada
de um produto, y′(x) = f (x)g′(x)+ f ′(x)g(x). Mas, encontrando f ′(x) e g′(x) pela regra
da cadeia, tem-se
f ′(x) = 3(3x2 +1)26x e g′(x) = 2(x− x2)(1−2x). (1-40)
Logo,
y′(x) = (3x2 +1)32(x− x2)(1−2x)+3(3x2 +1)26x(x− x2)2 (1-41)
1.2 Derivadas 28
e, portanto,
y′(x) = 2(3x2 +1)3(x− x2)(1−2x)+18x(3x2 +1)2(x− x2)2. (1-42)
O resultado que a derivada da função composta f ◦g é o produto das derivadas
de f e g. Esse fato é um dos mais importantes regras de derivação e é chamado
Regra da Cadeia. Ela parece plausível se interpretarmos as derivadas como
taxas de variação. Considere du/dxcomo a taxa de variação de u com relação
a x, dy/du como a taxa de variação de y com relação a u e dy/dx como a taxa
de variação de y com relação a x. Se u variar duas vezes mais rápido que x, e y
três vezes mais rápido que u, então parece plausível que y varie seis vezes mais
rápido que x. (STEWART, 2014, p. 179)
O Teorema que será tratado a seguir é um dos resultados centrais do Cálculo
Diferencial e Integral e tem implicações diretas em estudos avançados de Matemática.
Tal resultado é conhecido como Teorema do Valor Médio e será enunciado a seguir.
Teorema 1.13 (Teorema do Valor Médio) Seja f : [a,b]−→R uma função contínua no
intervalo fechado [a,b] e derivável no intervalo aberto (a,b). Então, existe um número
real c ∈ (a,b), tal que,
f (b)− f (a) = f ′(c)(b−a) (1-43)
O Teorema do Valor Médio foi formulado pela primeira vez por Joseph-Louis
Lagrange (1736-1813), nascido na Itália, com pai francês e mãe italiana. Ele
foi uma criança prodígio e se tornou professor em Turim na idade de 19
anos. Lagrange fez grandes contribuições à teoria dos números, à teoria das
funções, à teoria das equações e às mecânicas analítica e celeste. Em particular,
aplicou o cálculo na análise da estabilidade do sistema solar. A convite de
Frederico, o Grande, ele sucedeu Euler na Academia de Berlim e após a morte
de Frederico, Lagrange aceitou o convite do rei Luís XVI para viver em Paris,
onde lhe foi dado um apartamento no Louvre. Lá, tornou-se professor da École
Polytechnique. A despeito das armadilhas da fama e da luxúria, ele era um
homem bondoso e quieto, que vivia somente para a ciência. (STEWART, 2014,
p. 259)
Para a prova do Teorema do Valor Médio será utilizado como ferramenta princi-
pal o Teorema de Rolle. Em termos gerais, este teorema garante, sob certas condições, a
existência de um ponto c, tal que, a reta tangente a f neste ponto é paralela ao eixo das
abscissas.
Teorema 1.14 (Teorema de Rolle) Seja f : [a,b] −→ R uma função contínua no inter-
valo fechado [a,b] e derivável no intervalo aberto (a,b), tal que, f (a) = f (b). Então,
existe um número c em (a,b) tal que f ′(c) = 0.
Para uma demonstração formal deste resultado, sugere-se ao leitor que consulte
Flemming e Gonçalves ([4], 2006), Lima ([10], 2006) e suas referências. A prova do
Teorema do Valor Médio que será feita a seguir baseia-se em Stewart ([16], 2014, p. 258).
1.2 Derivadas 29
Geometricamente, o teorema do valor médio estabelece que, se a função
y = f (x) é contínua em [a,b] e derivável em (a,b), então existe pelo menos
um ponto c entre a e b onde a tangente à curva é paralela à corda que une os
pontos P(a, f (a)) e Q(b, f (b)). (FLEMMING e GONÇALVES, 2006, p. 198)
Demonstração do Teorema do Valor Médio: Sejam h(x) = ( f − y)(x), A = (a, f (a)) e
B = (b, f (b)). O Teorema de Rolle será aplicado na função h e na função cujo gráfico é a
reta secante rAB que liga os pontos A e B (veja figura 1.1). Veja que a equação da reta rAB
pode ser escrita como y = y0 +mAB(x− x0), onde
mAB =
f (b)− f (a)
b−a . (1-44)
Assim,
y = f (a)+
f (b)− f (a)
b−a (x−a). (1-45)
Com isto,
h(x) = f (x)− y = f (x)− f (a)− f (b)− f (a)
b−a (x−a). (1-46)
Observe que h é contínua em [a,b], pois é soma de f com um polinômio do
primeiro grau, ambos contínuos. A figura 1.1 a seguir regresenta geometricamente a
situação descrita anteriormente.
Figura 1.1: Representação do Gráfico da Função f .
Fonte: Adaptado de Stewart ([16], 2014, p. 258).
Além disso, h é derivável em (a,b), pois tanto f quanto o polinômio do primeiro
grau são deriváveis. De fato, podemos calcular diretamente h′ da equação anterior:
h′(x) = f ′(x)− f (b)− f (a)
b−a (1-47)
1.2 Derivadas 30
Também, h(a) = h(b) = 0, pois,
h(a) = f (a)− f (a)−mAB(a−a) = 0 e h(b) = f (b)− f (a)−
f (b)− f (a)
b−a (b−a) = 0.
Consequentemente, pelo Teorema de Rolle, existe c ∈ (a,b), tal que, h′(c) = 0.
Assim,
0 = h′(c) = f ′(c)− f (b)− f (a)
b−a . (1-48)
Portanto, f (b)− f (a) = f ′(c)(b−a), provando com isto o Teorema.
�
Uma consequência importante do Teorema do Valor Médio é a classificação
das funções com derivada nula. Tal resultado será tratado aqui como uma aplicação do
Teorema do Valor Médio.
Aplicação 1 (Funções com Derivada Nula): Se f ′(x) = 0, para todo x ∈ (a,b), então f
é constante em (a,b).
Com efeito, sejam x1,x2 ∈ (a,b), tal que, x1 < x2. Como f é derivável em (a,b),
f é, em particular, derivável em (x1,x2) e contínua em [x1,x2]. Pelo Teorema do Valor
Médio, existe c ∈ (x1,x2), tal que,
f (x2)− f (x1) = f ′(c)(x2 − x1) (1-49)
Uma vez que f ′(x) = 0 para todo x ∈ (a,b), tem-se que f ′(c) = 0. Assim, por
(1-49), f (x2)− f (x1) = 0 e, com isso, f (x2) = f (x1). Assim, f tem o mesmo valor em
quaisquer dois números x1 e x2 em (a,b). Isso significa que f é constante no intervalo
(a,b).
Segue como uma consequência do resultado acima que se duas funções tem
mesma derivada em um ponto, então a diferença entre elas é uma constante, isto é,
"se f e g são funções deriváveis, tais que, f ′(x) = g′(x), então existe c ∈ R, tal que,
f (x) = g(x)+ c."
Com efeito, se f ′(x) = g′(x), então f ′(x)− g′(x) = 0, ou seja, ( f − g)′(x) = 0.
Consequentemente, pela aplicação 1, existe uma constante c ∈ R, tal que, ( f −g)(x) = c.
Portante, f (x) = g(x)+ c. Este resultado é importante no estudo do Cálculo Integral pois
permite mostrar existência de inúmeras primitivas de uma função f no estudo de integrais.
1.2 Derivadas 31
Aplicação 2 (Velocidade Média): O Teorema do Valor Médio pode ser utilizado em
estudos da Física relacionados à Velocidade Média. Por exemplo, um móvel que transita
por uma rodovia, cujo limite de velocidade é de 70km/h, passa por um ponto A com
velocidade 50km/h. Três minutos mais tarde, o móvel passa por um ponto B, a cinco
quilômetros da primeira posição, com velocidade 55km/h. O Teorema do Valor Médio
pode ser utilizado para mostrar que, em algum momento do percurso, o motorista
ultrapassou o limite de velocidade naquela estrada. Com efeito, primeiro consideramos
o tempo decorrido t em horas após o carro ter passado pelo ponto A na estrada e f a
função que descreve seu deslocamento. Uma vez que três minutos corresponde a 120 de
uma hora, a velocidade média do carro entre os pontos A e B da rodovia foi
V m =
f (B)− f (A)
B−A =
f
(
1
20
)
− f (0)
1
20 −0
=
55−50
1
20
= 5
(
20
1
)
= 100 Km/h. (1-50)
Para Pinto e Ercole (2009, p.197-198), "[...] Isso quer dizer que, em algum
momento do percurso, o carro atingiu a velocidade de 100 Km/h (garantido pelo Teorema
do Valor Médio), ultrapassando, assim, o limite de velocidade na estrada. Veja que de nada
adianta a estratégia de reduzir a velocidade em pontos onde a velocidade seria registrada,
se radares fossem colocados em dois marcos e o tempo de deslocamento entre eles fosse
medido!".
CAPÍTULO 2
PONTOS CRÍTICOS: MÁXIMOS, MÍNIMOS
E TEOREMAS PARA OBTENÇÃO E
CLASSIFICAÇÃO DE PONTOS ÓTIMOS
O Cálculo Diferencial e Integral é uma das ferramentas matemáticas com maior
aplicabilidade nas mais diversas áreas das ciências. Aplicações dos conceitos de derivada
e integral constituem importantes ferramentas para modelagem de diversos problemas de
maximização ou minimização de certa grandeza. Tais problemas são conhecidos como
problemas de otimização e constituem uma parte importante no estudo da Matemática.
Neste capítulo serão apresentados conceitos e propriedades referentes ao estudo dos
pontos críticos de uma função e os testes de classificação de pontos críticos em pontos
de máximo ou mínimo.
2.1 Pontos Críticos de uma Função
Nesta seção, serão desenvolvidos os conceitos teóricos e os principais resultados
relacionados a máximos e mínimos de funções, com objetivo de aplicá-los para resolver
certos problemas de otimização.
Segundo Xavier (2017, p. 14) "Problemas de otimização consistem na modela-
gem de um fenômeno em estudo, onde uma grandeza é dada por uma função contendo
uma ou mais variáveis, cujo intuito é determinar o valor máximo ou mínimo de tal fun-
ção".
Parainiciar este estudo, primeiramente, serão definidos os conceitos de máximos
e mínimos globais e locais de uma função definida em um subconjunto A. Para isto,
ao longo deste capítulo, A denotará um subconjunto de R e f : A −→ R é uma função
derivável em A. Assim como no capítulo 1, as observações importantes serão apresentadas
como notas de rodapé ou por meio de referências.
As definições que serão dadas à seguir se baseiam em Stewart ([16], 2014).
2.1 Pontos Críticos de uma Função 33
Definição 2.1 Sejam f : A −→ R uma função e c ∈ A. Diz-se que:
(i) A função f tem máximo global1 em c se f (c) ≥ f (x) para todo x ∈ A. Neste caso, o
número f (c) é chamado valor máximo de f em A.
(ii) A função f tem um mínimo global em c se f (c)≤ f (x) para todo x ∈ A. Neste caso, o
número f (c) é denominado valor mínimo de f em A.
Definição 2.2 Sejam f : A −→ R uma função e c ∈ A. Diz-se que:
(i) A função f tem máximo local2 em c se existe um intervalo I ⊂ R, com c ∈ I, tal que
f (c)≥ f (x), para todo x ∈ I ∩A.
(ii) A função f tem mínimo local em c se existe um intervalo I ⊂ R, com c ∈ I, tal que
f (c)≤ f (x), para todo x ∈ I ∩A.
Um boa maneira de se determinar os pontos de máximo e de mínimo de
uma função f é estudá-la com relação a crescimento e decrescimento. Sejam
a < c < d; se f for crescente em (a,c] e descrescente em [c,b), então c será
um ponto de máximo local de f ; se f for decrescente em (a,c] e crescente em
[c,b), então c será um ponto de mínimo local de f . (GUIDORIZZI, 2012, p.
273)
Os valores máximo e mínimo de f são, também, chamados valores extremos
de f e os pontos de máximo e mínimo de f são denominados pontos extremantes de
f . Claramente, as funções f (x) = −x2 e f (x) = x2 admitem pontos de máximo global e
mínimo global, respectivamente, no ponto c = 0. Já a função f (x) = x3, definida para x
real, não admite ponto de máximo e nem ponto de mínimo em c = 0, pois existem pontos
x > c, tais que f (x)> f (c) e pontos x < c, tais que, f (x)< f (c). O resultado apresentado
à seguir é uma forte ferramenta para garantir existência de máximo ou mínimo global de
f em conjuntos compactos3. Tal resultado é conhecido como "Teorema de Weierstrass".
Teorema 2.3 (Weierstrass) Se f : A −→ R é uma função contínua e A ⊂ R é um
subconjunto compacto, então existem a,b ∈ A, tais que,
f (a) = min
x∈A
f (x) e f (b) = max
x∈A
f (x). (2-1)
As funções trigonométricas f (x) = sin(x) e g(x) = cos(x) definidas para todo
x ∈ [0,2π], por exemplo, assumem valores de máximo e mínimo, respectivamente, nos
pontos 1 e −1. Mais precisamente, como f e g são funções contínuas e [0,2π] é um
conjunto compacto, então pelo Teorema de Weierstrass f e g assumem valores de máximo
e mínimo neste conjunto, ou seja,
f
(π
2
)
= max
x∈[0,2π]
f (x) = 1, f
(3π
2
)
= min
x∈[0,2π]
f (x) =−1 (2-2)
1Pontos de máximo (ou mínimo) globais de f são também denominados máximo (ou mńimo) absolutos.
2Pontos de máximo (ou mínimo) locais de f são também denominados máximo (ou mńimo) relativos.
3Um subconjunto A ⊂ R é compacto se A é fechado e limitado.
2.1 Pontos Críticos de uma Função 34
e
g(0) = g(2π) = max
x∈[0,2π]
g(x) = 1, g(π) = min
x∈[0,2π]
g(x) =−1. (2-3)
A prova do Teorema de Weierstrass segue da compacidade do conjunto f (A).
Com efeito, como f é contínua e A compacto, segue que f (A) é compacto4. Conse-
quentemente, f (A) admite menor e maior elemento, isto é, existem a,b ∈ A, tais que,
f (a) = min
x∈A
f (x) e f (b) = max
x∈A
f (x), ou seja, f (a) e f (b) são valores de máximo e mí-
nimo de f .
O Teorema de Weierstrass nos conta que, se f for contínua em [a,b], então
existirão x1 e x2 em [a,b] tais que f (x1) é o valor de mínimo de f em [a,b] e
f (x2) é o valor de máximo de f em [a,b]. Ou de outra forma: f assumirá em
[a,b] valor de máximo e valor de mínimo. (GUIDORIZZI, 2012, p. 122)
Vale observar que se f é uma função derivável no ponto c e c é um ponto de
máximo ou mínimo local de f , então f ′(c) = 0. Isto motiva a seguinte definição:
Definição 2.4 (Ponto Crítico) Sejam f : A ⊂ R−→ R uma função derivável e c ∈ A. Se
f ′(c) = 0 ou f ′(c) não existe, então c é denominado ponto crítico de f .
O resultado que será apresentado a seguir mostra que pontos de máximos ou
mínimos locais de f são, na verdade, pontos críticos desta função.
Teorema 2.5 Se f : A ⊂ R −→ R tem um máximo ou mínimo local em c, então c é um
ponto crítico de f , isto é, f ′(c) = 0.
De fato, suponha, sem perda de generalidade, que c é um ponto de mínimo local
de f . Então, existe um intervalo I, contendo c, tal que, f (x)− f (c)≥ 0, para todo x∈ I∩A.
Assim,
f ′−(c) = lim
x−→c−
f (x)− f (c)
x− c ≤ 0 e f
′
+(c) = lim
x−→c+
f (x)− f (c)
x− c ≥ 0. (2-4)
Logo, 0 ≤ f ′+(c) = f ′(c) = f ′−(c) ≤ 05 e, portanto, f ′(c) = 0. É importante
ressaltar que a recíproca do resultado acima não é verdadeira, isto é, nem todo ponto
crítico é um ponto de máximo ou de mínimo local de f . Com efeito, se f (x) = x3, então f
tem derivada dada por f ′(x) = 3x2. Resolvendo a equação f ′(x) = 0, tem-se que x = 0 é o
único ponto crítico desta função. Mas, x = 0 não é ponto de máximo local e nem mínimo
local da função f pois f (−1)< f (0)< f (1).
4Teorema [Lima, 2006, Teorema 7, p. 81] - A imagem f (A) de um conjunto compacto A ⊂ R é
compacto para f : A −→ R contínua.
5 f ′−(c) e f
′
+(c) são, respectivamente, as derivadas laterais a esquerda e a direita de f no ponto c.
2.2 Testes para obtenção de pontos críticos 35
Segundo Flemming e Gonçalves (2006, p. 195), o teorema acima pode ser
interpretado geometricamente da seguinte forma: Se f assume um valor extremo relativo
em c e sua derivada f ′(c) existe, então o gráfico da função y = f (x) apresenta uma reta
tangente horizontal no ponto x = c.
Observação: Stewart ([16], 2014, p. 252) sugere o procedimento a seguir para determi-
nação de pontos de máximo e mínimo de uma função f : se A for um intervalo fechado da
forma [a,b] e f : [a,b] −→ R for uma função derivável, então para encontrar os valores
máximo e mínimo absolutos de f em [a,b] basta seguir os seguintes passos:
1. Determinar os pontos críticos de f em (a,b);
2. Encontrar os valores de f nos pontos críticos encontrados no passo anterior;
3. Encontrar os valores de f na fronteira do intervalo.
4. O maior e o menor valor entre todos os valores encontrados serão, respectivamente, o
valor máximo e o valor mínimo absoluto de f em [a,b].
Considere, por exemplo, a função polinomial f :
[
− 12 ,4
]
−→ R dada por
f (x) = x3 −3x2 +1. Observe que f é derivável em
[
− 12 ,4
]
, com derivada dada por
f ′(x) = 3x2 −6x = 3x(x−2). (2-5)
Resolvendo a equação f ′(x) = 0 para encontrar pontos críticos de f , obtém-se
x = 0 e x = 2. E estes são os únicos pontos críticos de f em
(
− 12 ,4
)
. Consequentemente,
f (0) = 1 e f (2) =−3 são os valores críticos de f nestes pontos. Por outro lado, os valores
de f na fronteira do intervalo são f
(
− 12
)
= 18 e f (4) = 17. Comparando esses quatro
números, tem-se que o ponto de máximo absoluto de f é x = 4 e o ponto de mínimo
absoluto de f é x = 2. Veja que, neste exemplo, o máximo absoluto ocorre na fronteira do
intervalo, enquanto o mínimo absoluto ocorre no interior deste intervalo.
2.2 Testes para obtenção de pontos críticos
Nesta seção, serão apresentados os principais resultados de classificação de pon-
tos críticos em pontos de máximo local ou mínimo local de uma função f . Primeiramente,
serão definidos os conceitos de crescimento e decrescimento de uma função.
Definição 2.6 Seja f : A ⊂ R−→ R uma função. Diz-se que:
(i) f é crescente se f (x)< f (y) sempre que x < y, para todo x,y ∈ A.
(ii) f é decrescente se f (x)> f (y) sempre que x < y, para todo x,y ∈ A.
2.2 Testes para obtenção de pontos críticos 36
O resultado que será apresentado a seguir utiliza informações sobre a derivada
de f para classificá-la quanto ao crescimento ou descrescimento. Para isto, considera-se
A como um intervalo da forma [a,b], a,b ∈ R.
Teorema 2.7 Seja f : [a,b]−→ R uma função derivável.(i) Se f ′(x)> 0 em [a,b], então f é crescente neste intervalo.
(ii) Se f ′(x)< 0 em [a,b], então f é descrente neste intervalo.
Por uma questão de simplicidade, e para não fugir aos objetivos aqui propostos,
não será demonstrado, neste trabalho, o resultado acima. Mas para o leitor interessado
em conhecer a prova, sugere-se consultar Flemming e Gonçalves ([4], 2006), Stewart
([16], 2014) e suas referências bibliográficas. O teorema a seguir é o primeiro resultado
de classificação que será apresentado neste trabalho. Em geral, este resultado trata sobre
classificação dos pontos críticos de uma função f por meio de informações sobre a
derivada de primeira ordem desta função.
Teorema 2.8 (Teste da Primeira Derivada) Sejam f : A ⊂R−→R uma função derivá-
vel e c ∈ A, tal que, f ′(c) = 0.
(i) Se f ′(x)> 0 para x < c e f ′(x)< 0 para x > c, então f tem um máximo local em c.
(ii) Se f ′(x)< 0 para x < c e f ′(x)> 0 para x > c, então f tem um mínimo local em c.
Demonstração: Como f ′(x)> 0 para x < c e f ′(x)< 0 para x > c, pelo Teorema 2.7, f é
crescente para todo x < c e decrescente para todo x > c. Portanto, f (x)< f (c), para todo
x em uma vizinhança do ponto c e, consequentemente, c é um ponto de máximo local da
função f . Analogamente, como f ′(x)< 0 para x < c e f ′(x)> 0 para x > c, pelo Teorema
2.7, f é decrescente para todo x < c e crescente para todo x > c. Portanto, f (x) > f (c),
para todo x em uma vizinhança do ponto c e, consequentemente, c é um ponto de mínimo
local da função f .
�
O teorema acima será utilizado para classificar os pontos críticos da função
f (x) = 3x4 −4x3 −12x2 +5. Primeiro, note que f tem derivada dada por
f ′(x) = 12x3 −12x2 −24x = 12x(x2 − x−2) = 12x(x−2)(x+1). (2-6)
Resolvendo a equação f ′(x) = 0, obtém-se que −1,0,2 são os únicos pontos
críticos de f . Definindo H = (−∞,−1), I = [−1,0), J = [0,2) e K = [2,+∞) tem-se que
R= H ∪ I ∪ J∪K e
(i) f ′(x) =
{
12x(x−2)(x+1)< 0, ∀x ∈ H
12x(x−2)(x+1)> 0, ∀x ∈ I \{−1}.
2.2 Testes para obtenção de pontos críticos 37
(ii) f ′(x) =
{
12x(x−2)(x+1)> 0, ∀x ∈ I \{−1}
12x(x−2)(x+1)< 0, ∀x ∈ J \{0}.
(iii) f ′(x) =
{
12x(x−2)(x+1)< 0, ∀x ∈ J \{0}
12x(x−2)(x+1)> 0, ∀x ∈ K \{2}.
Consequentemente, pelo Teste da Primeira Derivada, por (i) e (iii), os pontos
x =−1 e x = 2 são pontos de mínimo locais de f e, por (ii), o ponto x = 0 é um ponto de
máximo local da função f .
O Teorema a seguir nos fornece uma forte ferramenta para classificar os pontos
críticos de uma função f em pontos de máximo ou mínimo local. Por sua eficácia, nos
problemas abordados neste trabalho, será utilizado este resultado como uma das principais
ferramentas.
Teorema 2.9 (Teste da Segunda Derivada) Seja f : I ⊂R−→R uma função com deri-
vada de segunda ordem, denotada por f ′′, contínua em um intervalo aberto I contendo
um ponto c.
(i) Se f ′(c) = 0 e f ′′(c)> 06, então f tem um ponto de mínimo local em c.
(ii) Se f ′(c) = 0 e f ′′(c)< 07, então f tem um ponto de máximo local em c.
Para uma prova do resultado acima sugere-se ao leitor consultar Ávila ([2],
2003), Flemming e Gonçalves ([4], 2006), Guidorizzi ([7], 2012), Stewart ([16], 2014),
Sviercoski ([18], 1999) e suas referências.
Em muitos problemas práticos de otimização, o intervalo com o qual estamos
trabalhando conterá somente um ponto crítico de primeira ordem da função.
Quando isto acontece, você pode usar o teste da segunda derivada [...] para
identificar o seu extremo absoluto, mesmo que este teste seja um teste para
extremos locais. A razão é que, neste caso especial, o máximo ou mínimo local
é necessariamente também um máximo ou mínimo absoluto. (HOFFMANN &
BRADLEY, 1999, p. 158, grifo do autor)
A definição a seguir caracteriza os pontos críticos de f que satisfazem a condição
f ′′(x) = 0. Tais pontos não podem ser máximos ou mínimos de f pois, se fossem,
contrariariam o Teste da Segunda Derivada. Geometricamente, nestes pontos, ocorrem
alterações na concavidade da curva descrita pelo gráfico da função f , ou seja, nestes
pontos, o gráfico de f muda a concavidade de "voltada para cima" para "voltada para
baixo" ou de "voltada para baixo" para "voltada para cima".
Definição 2.10 Sejam f : A ⊂ R −→ R uma função com derivada de segunda ordem f ′′
contínua e c ∈ A. Diz-se que c é um ponto de inflexão de f se satisfaz f ′′(c) = 0.
6Se f ”(x)> 0 para todo x ∈ I, então o gráfico de f é côncavo para cima em I, isto é, o gráfico de f está
acima de todas as suas tangentes no intervalo I.
7Se f ”(x)< 0 para todo x ∈ I, então o gráfico de f é côncavo para baixo em I, isto é, o gráfico de f está
abaixo de todas as suas tangentes no intervalo I.
2.3 Polinômios de Taylor 38
O Teste da Segunda Derivada é inconclusivo quando f ′′(c) = 0. Em outras
palavras, esse ponto pode ser um máximo, um mínimo ou nenhum dos dois.
Esse teste também falha quando f ′′(c) não existe. Em tais casos, o Teste da
Primeira Derivada deve ser usado. De fato, mesmo quando ambos os testes
são aplicáveis, o Teste da Primeira da Derivada é frequentemente mais fácil de
aplicar. (STEWART, 2014, p. 267)
O ponto c = π2 , por exemplo, é um ponto de máximo local de f (x) = sin(x) pois
f ′
(π
2
)
= cos
(π
2
)
= 0 e f ′′
(π
2
)
=−sin
(π
2
)
=−1 < 0. (2-7)
Os pontos x = 0 e x = 3, por exemplo, são, respectivamente, ponto de inflexão
e ponto de mínimo da função f (x) = x4 − 4x3. Com efeito, note que f tem derivadas de
primeira e segunda ordem dadas por
f ′(x) = 4x3 −12x2 = 4x2(x−3) e f ′′(x) = 12x2 −24x = 12x(x−2). (2-8)
Resolvendo a equação f ′(x) = 0 para encontrar os pontos críticos de f , obtém-se
que x = 0 e x = 3 são os únicos pontos críticos desta função. Agora, note que f ′′(0) = 0 e
f ′′(3) = 36. Uma vez que f ′(3) = 0 e f ′′(3)> 0, pelo Teste da Segunda Derivada, o ponto
x = 3 é um ponto de mínimo local de f , com valor de mínimo correspondente dado por
f (3) = −27. Por outro lado, como f ′′(0) = 0, o Teste da Segunda Derivada não fornece
nenhuma informação sobre o ponto crítico x = 0. Mas, resolvendo a equação f ′′(x) = 0,
tem-se que x = 0 ou x = 2 e, considerando os intervalos I = (−∞,0) e J = (0,2), observa-
se que f ′′(x) > 0 para todo x ∈ I e f ′′(x) < 0 para todo x ∈ J. Consequentemente, em
x = 0, a concavidade da curva y = f (x) muda de côncava para cima para côncava para
baixo e, por isto, (0,0) é um ponto de inflexão da função f . Além disso, com argumentos
semelhantes, nota-se que, em x = 2, a concavidade da curva y = f (x) muda de côncava
para baixo para côncava para cima, implicando que (2,−16) também é um ponto de
inflexão desta função.
2.3 Polinômios de Taylor
Nesta seção será feita uma abordagem sobre aproximação de polinômios por
séries de Taylor. Ressalta-se aqui que o objetivo desta seção não é tratar sobre séries de
Taylor, mas sim, fazer uma breve introdução ao estudo dos Polinômios de Taylor. Para
um estudo mais profundo sobre séries de potências e polinômios de Taylor, sugere-se ao
leitor consultar Lima ([10], 2006), Stewart ([16], 2014) e suas referências bibliográficas.
Primeiramente, será definido o que se entende por Polinômio de Taylor. A definição que
será dada a seguir se baseia em Lima ([10], 2006, p. 102).
2.3 Polinômios de Taylor 39
Definição 2.11 (Polinômio de Taylor) Sejam I ⊂ R um intervalo, f : I −→ R uma fun-
ção n vezes derivável em I e a ∈ I. O Polinômio de Taylor de grau n de f no ponto a é o
polinômio Pn : R−→ R dado por
Pn(x) = a0 +a1(x−a)+a2(x−a)2 + · · ·+an(x−a)n, (2-9)
tal que,
Pn(a) = f (a), P
′
n(a) = f
′(a), P′′n (a) = f
′′(a), · · · , P(n)n (a) = f (n)(a). (2-10)
Assim,
Pn(x) =
n
∑
i=0
f (i)(a)
i!
(x−a)i = f (a)+ f ′(a)(x−a)+ f
′′(a)
2!
(x−a)2 + · · ·+ f
(n)(a)
n!
(x−a)n.
Fazendo h = x−a, o Polinômio de Taylor da definição acima pode ser reescrito
como
Pn(h) = f (a)+ f
′(a)h+
f ′′(a)
2!
h2 + · · ·+ f
(n)(a)
n!
hn. (2-11)
O resultado que será apresentado a seguir mostra, sob certas condições, que uma
função f pode ser aproximada por seu Polinômio de Taylor de cujo grau coincide coma
maior ordem de derivação da função f .
Teorema 2.12 (Fórmula de Taylor Infinitesimal) Sejam I ⊂R, f : I −→R uma função
n vezes derivável, a ∈ I e Pn : R−→ R o Polinômio de Taylor de grau n de f no ponto a.
Se f (x) = Pn(x)+R(x), então
lim
x−→a
R(x)
(x−a)n = 0, (2-12)
onde R(x) é o resto da Série de Taylor de f no ponto a.
A prova do Teorema acima segue por argumentos de análise e, para não prolongar
ou tirar o foco do trabalho, esta prova não será apresentada aqui. Para o leitor interessado
em conhecer esta demonstração, sugere-se consultar Lima ([10], 2006, p. 103). Como
consequência do resultado acima tem-se que
f (x) = lim
n−→∞
Pn(x). (2-13)
Segundo Lima (2006, p. 104) a Fórmula de Taylor Infinitesiamal é assim cha-
mada porque só afirma algo quando h −→ 0. Mais ainda, o polinômio de Taylor de ordem
n de f no ponto a é o único polinômio de grau menor ou igual que n que aproxima f em
uma vizinhança do ponto a, tal que, f (x) = Pn(x)+R(x) com (2-12) satisfeita.
2.3 Polinômios de Taylor 40
Se f (x) = ex, por exemplo, então
ex =
∞
∑
n=0
xn
n!
(2-14)
é a série de Taylor de f em torno do ponto a = 0. Consequentemente,
Pn(x) = 1+ x+
x2
2
+ · · ·+ x
n
n!
(2-15)
é o Polinômio de Taylor de grau n de ex no ponto a = 0 e, com isto, ex ≈ Pn(x).
[...] qualquer função, desde que tenha derivadas de todas as ordens, pode ser
tratada localmente, isto é, na vizinhança de um ponto, como um polinômio
do grau n. Se a equação da função não é conhecida, as derivadas de todas as
ordens podem ser aproximadas, usando-se diferenças finitas e aplicando para
um intervalo a fórmula de Taylor. (SVIERCOSKI, 1999, p. 139)
Para os problemas que serão abordados neste trabalho, na citação acima,
entende-se por diferença finita uma aproximação para as derivadas de f dadas pelo quo-
ciente
d jxym =
∆ jy
∆x j
=
d j−1ym −d j−1ym−1
xm − xm−1
, 1 ≤ j ≤ n, j+1 ≤ m ≤ n, (2-16)
onde x1,x2,y1,y2 são dados do problema com y1 = f (x1) e y2 = f (x2). Com isto,
f (x)≈ f (a)+dxy(x−a)+
d2x y
2!
(x−a)2 + · · ·+ d
n
x y
n!
(x−a)n.
Para justificar a equação acima, será adaptado a seguir uma situação para
aproximação de uma função por seu Polinômio de Taylor sugerido por Sviercoski ([18],
1999, p. 134). A tabela a seguir mostra a concentração de alumínio (Aℓ) y = f (x) em uma
espécie de arroz em função do acúmulo x de fósforo (P) no solo em mg/kg.
Tabela 2.1: Concentração de Aℓ por acúmulo de Fósforo (P)
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9
xn 10 20 30 40 50 60 70 80 90
yn 8,9521 4,6891 1,7261 0,0631 -0,299 0,6371 2,8741 6,4111 11,248
dxyn -0,4263 -0,2963 -0,1663 -0,0363 0,0937 0,2237 0,3537 0,4837
d2x yn 0,013 0,013 0,013 0,013 0,013 0,013 0,013
Fonte: Tabela criada por Machado, J. C. em 04/07/2019. Dados Adaptados de Sviercoski (1999, p. 134)
Os dados da quarta e da quinta linhas da tabela acima são, respectivamente, as
2.3 Polinômios de Taylor 41
aproximações da primeira e da segunda derivada de f calculadas pelas igualdades
dxyn =
yn − yn−1
xn − xn−1
(n ≥ 2) e d2x yn =
dxyn −dxyn−1
xn − xn−1
(n ≥ 3). (2-17)
Considerando que a segunda variação é constante, pode-se aproximar f por uma
função quadrática da forma p(x) = ax2 + bx+ c, onde a = d
2
x y
2 . Assim, escolhendo uma
linha qualquer na tabela acima (linha 4), obtem-se que f (x) = 0,0065x2 + bx+ c. Resta
encontrar os valores de b e c. Para isto, escolhendo a linha 1, tem-se que,
f (10) = 0,0065(10)2 +10b+ c = 0,65+10b+ c, (2-18)
f (40) = 0,0065(40)2 +40b+ c = 10,4+50b+ c. (2-19)
Como f (10) = 8,9521 e f (40) = 0,0631, tem-se que,
10b+ c = 8,3021 e 40b+ c =−103369. (2-20)
Resolvendo o sistema linear formado por estas duas equações, encontra-se as
soluções b =−0,6213 e c = 14,5151. Assim, f (x) = 0,0065x2 −0,6213x+14,5151 é a
função polinomial que descreve a concentração de alumínio em função da concentração
de fósforo no solo em mg/kg.
A técnica que foi apresentada anteriormente será essencial para resolver alguns
problemas de otimização de produção de certo tipo de grão. No capítulo a seguir serão
apresentados alguns problemas de produção agrícola e otimização de áreas que podem ser
resolvidos por meio dos conceitos de derivadas que aqui foram tratados.
CAPÍTULO 3
APLICAÇÕES DO CÁLCULO: PROBLEMAS
DE PRODUÇÃO AGRÍCOLA E
OTIMIZAÇÃO DE ÁREAS
Neste Capítulo, serão apresentados alguns problemas de otimização que podem
ser modelados e resolvidos por meio dos fundamentos do Cálculo Diferencial e Integral.
Segundo Arenales et al (2007, p. 4), "[...] o modelo matemático é uma represen-
tação simplificada do problema real. Ele deve ser suficientemente detalhado para captar
os elementos essenciais do problema [...]".
Mais precisamente, por meio de técnicas de maximização e minimização de
funções e aproximação de funções por polinômios de Taylor, objetiva-se, neste capítulo,
encontrar soluções ótimas de problemas relacionados a pesquisa em produção agrícola e
a preparação de áreas de criação de animais e plantio.
3.1 Problemas de Otimização da Área
Um dos problemas clássicos que surgem como aplicação das derivadas é o de
maximizar a área de uma região retangular, sendo conhecida alguma informação sobre
um de seus lados. O problema apresentado a seguir é uma adaptação de um problema
sugerido por Stewart ([16], 2014).
Problema 1: Pesquisadores e especialistas criadores de bovinos consideram que o
sistema de pastejo rotacionado é um bom procedimento para minimização de custo na
forragem de pastos, ou seja, é uma alternativa considerável e racional para aproveita-
mento de regiões de pastagens. O sistema de pastejo rotacionado consiste na divisão do
pasto em dois ou mais piquetes com objetivo de alternar a utilização de regiões menores
do pasto, isto é, enquanto uma parte do pasto é utilizada para criação dos bovinos, a
outra parte passa por um período de descanso para reestabelecimento da forragem,
proporcionando, assim, um melhor aproveitamento do pasto ou da região de criação
3.1 Problemas de Otimização da Área 43
dos animais. Pensando nisto, um criador de gado tem em sua propriedade uma região
retangular que utiliza para criação de seus animais. Ele dispõe de 1200 m de cerca e
deseja limitar uma região retangular para criação de um novo piquete aproveitando um
dos lados de um piquete já existente para limitar a região nova a ser cercada. Quais as
dimensões do novo piquete para que a região cercada tenha a maior área possível?
Solução: Para solução deste problema, primeiramente, serão encontrados pontos críticos
de uma função a ser definida e, em seguida, utiliza-se o Teste da Segunda Derivada para
classificar tal ponto crítico. Sejam x e y as dimensões da região retangular a ser cercada
e A(x,y) = xy a função área desta região. A ideia central para este tipo de problema é a
busca por soluções globais do seguinte problema de otimização:
{
max A(x,y),
sujeito a condição 2x+ y = 1200.
(3-1)
Sabendo que 2x+ y = 1200, tem-se y = 1200− 2x. Assim, o problema de duas
variáveis (3-1) é transformado em um problema de uma variável, cuja área é dada pelo
polinômio do segundo grau
A(x) = x(1200−2x) = 1200x−2x2, 0 ≤ x ≤ 600. (3-2)
Calculando as derivadas de primeira e de segunda ordem da função A, tem-se,
respectivamente,
A′(x) = 1200−4x e A′′(x) =−4. (3-3)
Resolvendo a equação A′(x) = 0 para obtenção dos pontos críticos de A, segue
1200−4x = 0 e, consequentemente, x = 300. Substituindo este valor em y = 1200−2x,
encontra-se y = 600.
Agora, basta verificar que o valor de x encontrado é, de fato, ponto de máximo
global de A. Para isso, é suficiente notar que A′′(300) = −4 < 0. Assim, pelo Teste da
Segunda Derivada, x = 300 é o ponto de máximo global de A.
Portanto, as medidas da região cuja área é a maior possível são 300 m e 600 m
com área respectiva de 180.000 m2.
O problema que será apresentado a seguir modela uma situação de minimização
do custo de cerca para limitação de piquetes para criação de animais. Problemas desta
forma surgem com frequência em regiões onde há o sistema de pastejo rotacionado.3.1 Problemas de Otimização da Área 44
Problema 2: Um fazendeiro deseja cercar dois pastos retangulares, de dimensões x e
y, com um lado comum cuja dimensão é x. Quais as dimensões dos pastos para que o
comprimento de cerca utilizado para limitar as regiões seja mínimo, sabendo que cada
pasto deve ter área igual a 400 m2.
Solução: Sabendo que os pastos a serem cercados tem, necessariamente, dimensões x e y,
que a área de cada pasto é A = 400 e que o lado comum tem dimensão x, tem-se, portanto,
que a área de cada pasto satisfaz a igualdade xy = A = 400. Agora, seja P(x,y) a função
"soma dos perímetros das duas regiões retangulares". Assim, P(x,y) = 3x+ 4y. Logo, a
ideia central para obtenção da solução é a busca por mínimos globais do problema:
{
min P(x,y),
sujeito a condição xy = 400.
(3-4)
Como, y =
400
x
, substituindo este valor em P(x,y), tem-se,
P(x) = P
(
x,
400
x
)
= 3x+4
(
400
x
)
= 3x+
1600
x
, x > 0. (3-5)
Calculando as derivadas de primeira e segunda ordem da função P tem-se,
respectivamente, que
P′(x) = 3− 1.600
x2
e P′′(x) =
3200
x3
. (3-6)
Agora, resolvendo a equação P′(x) = 0 para encontrar os pontos críticos da
função P, segue que,
3− 1.600
x2
= 0 (3-7)
e, com isto,
x1 =
40
√
3
3
e x2 =−
40
√
3
3
(3-8)
são os dois únicos pontos críticos da função P. Considera-se, neste caso, apenas o valor
positivo, pois as soluções do problema são os comprimentos dos lados dos retângulos.
Assim, basta verificar que o ponto x = x1 é ponto de mínimo da função P. Utilizando a
derivada segunda de P dada em (3-6), segue que,
P′′(x) = P′′
(
40
√
3
3
)
=
3200
(40
√
3
3 )
3
=
3200
192000
√
3
27
=
86400
192000
√
3
=
864
√
3
5760
. (3-9)
3.2 Problemas de Maximização da Produção Agrícola 45
Consequentemente, P′′(x)> 0. Pelo Teste da Segunda Derivada x =
40
√
3
3
é o
ponto de mínimo da função P(x). Assim,
y =
400
x
=
400
40
√
3
3
= 400
( 3
40
√
3
)
=
30
√
3
3
= 10
√
3. (3-10)
Portanto, as dimensões de cada pasto que minimizam o comprimento de cerca
são os pontos x =
40
√
3
3
m e y = 10
√
3 m.
3.2 Problemas de Maximização da Produção Agrícola
Nesta seção, serão resolvidos três problemas que surgem da necessidade de
maximizar a produção de certo tipo de plantio. Mais precisamente, por meio do conceito
de derivada e dos testes de classificação de pontos críticos, serão modelados e resolvidos
aqui, um problema para maximização da produção de laranjas tendo como informação à
priori a produção média por árvore plantada, um problema de maximização da produção
de milho conhecidas informações de produtividade relacionadas com a idade da planta
e um problema de produção de cana-de-açucar conhecida a produção da planta dada a
adição de nitrogênio no solo. Os problemas serão apresentados a seguir:
Problema 3: Um agricultor do Estado de Goiás, especialista em produção de laranjas,
deseja aumentar a produção para obtenção de um lucro maior na venda do fruto. Obser-
vando os fatores climáticos e de qualidade do solo, que são características da região e
influenciam na produtividade da planta, ele estima que, se 60 árvores de laranja forem
plantadas, a produtividade média por árvore será de 400 laranjas. Mas, a produtividade
média decrescerá de 4 laranjas por árvore para cada árvore adicional plantada na
mesma área. Quantas árvores o agricultor deve adicionar a plantação para maximizar
sua produtividade total?
Solução: Observe que este se trata de um problema de maximização. Por isto, a estratégia
a se aplicar, neste caso, é encontrar a função que modela a situação descrita acima e
encontrar o ponto de máximo desta função. Para isto, seja x a quantidade de laranjeiras
a serem adicionadas a plantação para otimizar a produção total. Como, para cada árvore
adicionada, a produção por árvore decai em 4 laranjas, a função f (x) que modela este
problema é dada por
f (x) = (60+ x)(400−4x) =−4x2 +160x+24000, 0 ≤ x ≤ 100. (3-11)
3.2 Problemas de Maximização da Produção Agrícola 46
Para este problema, busca-se, primeiro, por pontos críticos da função f . Calcu-
lando a primeira e a segunda derivada de f , com objetivo de obter e classificar os pontos
críticos, tem-se
f ′(x) =−8x+160 e f ′′(x) =−8 (3-12)
Para encontrar os pontos críticos da função f (x) deve-se resolver a equação
diferencial f ′(x) = 0. Assim, −8x+ 160 = 0 e, consequentemente, x = 20. Agora, basta
mostrar que este ponto é realmente o valor de x que maximiza a função f (x). Para isto,
veja que f ′′(20) =−8. Como f ′′(20)< 0, pelo Teste da Segunda Derivada, x = 20 é um
ponto de máximo para a função f (x). Assim, o agricultor deve adicionar mais 20 árvores
a plantação para maximizar a produção, totalizando 80 árvores. Note que, neste caso, a
produtividade total do agricultor será:
f (20) =−4(20)2 +160(20)+24000 =−1600+3200+24000 = 25600. (3-13)
O modelo que será apresentado a seguir se trata de um problema de maximização
da produção de grão de milho em termos da idade da planta. Mais precisamente, neste
problema, deseja-se saber qual é a idade da planta em que a produção é a maior possível,
conhecendo a produtividade da planta em intervalos de tempo análogos.
Problema 4: Um agricultor do sudoeste goiano, especialista em plantio de grãos,
arrendou uma propriedade com a finalidade de plantar milho. No ano de 2019, o produtor
iniciou o plantio de uma variedade A de milho almejando obter uma produtividade
máxima. Nesse contexto, para obter um melhor acompanhamento da produção e garantir
um bom rendimento é necessário avaliar a produção em função da idade da planta, visto
que no período reprodutivo diversos fatores como clima, solo, tecnologias e fotoperíodo
podem inferir na produção. Para isto, foram coletados dados da produção y da variedade
A de milho, em quilogramas por hectare (kg/ha), em função da idade t da planta, dada
em dias. Os dados apresentados a seguir são adaptados de Sviercoski ([18], 1999, p. 49)
e representam a produção de milho da variedade A em função da idade da planta,
Tabela 3.1: Produção y = f (t) em função da idade t da planta.
t 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
y 52 3352 7952 13352 19052 24552 29352 32952 33142 32842 29842
Fonte: Tabela criada por Machado, J. C. em 30/05/2019
Qual é a idade t (em dias) da planta, 20≤ t ≤ 120, em que deverá ser realizada a colheita
para que a produção seja máxima e qual o valor dessa produção?
3.2 Problemas de Maximização da Produção Agrícola 47
Solução: Para resolver o problema, primeiramente, serão encontradas as variações (ou
diferenças finitas) de y até o ponto em que obtém-se uma variação constante, com objetivo
de encontrar o grau do polinômio de Taylor que aproxima a função f . Na tabela a seguir
são mostradas as variações de primeira, segunda e terceira ordem da função f obtidas por
meio do método das diferenças finitas já apresentado na seção 2.3 no Capítulo 2.
Tabela 3.2: Variação da Produção y = f (t) em função da idade t
da planta.
n tn yn dtyn d
2
t yn d
3
t yn
1 20 52
2 30 3352 330
3 40 7952 460 13
4 50 13352 540 8 -0,5
5 60 19052 570 3 -0,5
6 70 24552 550 -2 -0,5
7 80 29352 480 -7 -0,5
8 90 32952 360 -12 -0,5
9 100 34852 190 -17 -0,5
10 110 34552 -30 -22 -0,5
11 120 31552 -300 -27 -0,5
Fonte: Tabela criada por Machado, J. C. em 30/05/2019
Na tabela acima tem-se que: n é a ordem dos dados, tn é a idade da planta em
dias, yn = f (tn) é a produção de milho em quilogramas por hectare, dtyn, d2t yn e d
3
t yn
denotam as variações de primeira, segunda e terceira ordem dos dados, respectivamente.
A seguir será mostrado como calcular as variações de acordo com os dados da tabela
3.1. Utilizaremos como exemplo os dados das colunas 4 e 5 para o cálculo da primeira,
segunda e terceira variação da função f e as variações das demais colunas são calculadas
de maneira análoga. Note que, a variação de primeira ordem da linha 4 da tabela 3.2 é
dada por
dty4 =
y4 − y3
t4 − t3
=
13352−7952
50−40 = 540. (3-14)
Já a variação de segunda ordem da