Física - Livro 1-009-012

Prévia do material em texto

F
R
E
N
T
E
 1
9
Na figura 12, com a origem em O:
• A posição de A é +1 m: A está a 1 m de O (origem dos
espaços) e na região positiva.
• A posição de B é −2 m: B está a 2 m de O (origem dos
espaços) e na região negativa.
Atenção
Função horária do espaço
Se um corpo está em movimento em relação a um refe-
rencial, à medida que varia o tempo, também varia o valor
do espaço do corpo.
A função horária do espaço é a função que relaciona os
espaços s de um móvel com os correspondentes instantes t.
Se conhecemos a função horária, podemos determinar
o espaço do móvel para cada instante de tempo.
Tomemos as seguintes funções horárias, com t em se-
gundos e s em metros.
I. s = 4 + 2t
t = 0: s = 4 + 2 · 0 ⇒ s = 4 m
t = 1 s: s = 4 + 2 · 1 ⇒ s = 6 m
t = 2 s: s = 4 + 2 · 2 ⇒ s = 8 m
t = 3 s: s = 4 + 2 · 3 ⇒ s = 10 m
0
2 4
6
8 10
t = 0
t = 1 s
t = 2 s t = 3 s
Fig. 13 Espaços para a função s = 4 + 2t.
II. s = 5 − 4t + t
2
t = 0: s = 5 − 4 · 0 + 0
2
⇒ s = 5 m
t = 1 s: s = 5 − 4 · 1 + 1
2
⇒ s = 2 m
t = 2 s: s = 5 − 4 · 2 + 2
2
⇒ s = 1 m
t = 3 s: s = 5 − 4 · 3 + 3
2
⇒ s = 2 m
t = 4 s: s = 5 − 4 · 4 + 4
2
⇒ s = 5 m
0
1 2
3
4 5
t = 2 s
t = 3 s
t = 1 s
t = 4 s
t = 0
Fig. 14 Espaços para a função s = 5 – 4t + t
2
.
O instante t = 0 é chamado de origem dos tempos,
representando o instante do disparo do cronômetro do ob-
servador. O espaço do móvel no instante t = 0 é chamado
de espaço inicial (s0).
No exemplo I, s0 = 4 m e, no exemplo II, s0 = 5 m.
Por outro lado, se conhecemos o espaço do móvel
para cada instante de tempo, podemos determinar a função
horária do espaço.
Tomemos os seguintes pares de espaço-tempo:
III. t = 0: s = 5 m
t = 1 s: s = 4 m
t = 2 s: s = 3 m
t = 3 s: s = 2 m
Dos dados fornecidos, podemos deduzir que:
s = 5 − t
Com base na função horária, podemos também calcular
em que instante o espaço assume certo valor.
No exemplo III, se quisermos saber em que instante
s = 1 m, basta tomarmos:
5 − t = 1 ⇒ t = 4 s
Variação de espaço
Se um corpo, em um instante t1, possui espaço s1 e, em
um instante t2, possui espaço s2, temos:
∆t = t2 − t1 é a variação de tempo e
∆s = s2 − s1 é a variação de espaço.
Observação: A letra grega maiúscula delta (∆), quando acompanhada de
uma grandeza, indica a variação desta, ou seja, a diferença de valores
dessa grandeza entre um instante inicial e um instante final.
Por exemplo, se a posição inicial de um corpo é 5 m e a sua posição final
é 8 m, então:
∆s = sfinal – sinicial = 8 m – 5 m ⇒ ∆s = 3 m
Da definição de variação de espaço, podemos concluir:
• Se s2 > s1, então ∆s > 0 e o corpo se move aumentando
seu espaço, portanto no sentido positivo da trajetória.
0
s
1 s
2
Fig. 15 s2 > s1.
0
1 m
2 m 3 m
4 m
5 m
6 m
s
1 s
2
Fig. 16 s1 = 2 m e s2 = 4 m, com ∆s = 2 m.
• Se s2 < s1, então ∆s < 0 e o corpo se move diminuindo
seu espaço, portanto no sentido negativo da trajetória.
0
s
2 s
1
Fig. 17 s2 < s1.
0
1 m
2 m 3 m
4 m
5 m
6 m
s
2
s
1
Fig. 18 s1 = 4 m e s2 = 2 m, com ∆s = –2 m.
• Se s2 = s1, então ∆s = 0, e não houve deslocamento ao
longo da trajetória.
s
1
s
2
0
Fig. 19 s2 = s1, com ∆s = 0.
FÍSICA Capítulo 1 Introdução à Cinemática10
Distância percorrida
Se um corpo vai de s1 = 10 km até s2 = 70 km e depois
retorna a s3 = 30 km, temos:
t
1
t
3
t
2
0 30 7010
Fig. 20 Movimento de s1 = 10 km a s3 = 30 km.
• de t1 a t2: ∆s12 = 70 km − 10 km = 60 km
• de t2 a t3: ∆s23 = 30 km − 70 km = −40 km
• de t1 a t3: ∆s13 = 30 km − 10 km = 20 km
ou: ∆s13 = ∆s12 + ∆s23 = (60 km) + (−40 km) = 20 km
Temos acima os cálculos das variações de espaço para
os três casos.
Porém, se desejarmos saber a distância efetivamente
percorrida pelo corpo entre t1 e t3, temos:
d = |∆s12| + |∆s23| = 60 km + 40 km ⇒ d = 100 km
Dessa forma, a distância efetivamente percorrida é a
soma dos módulos das variações de espaço em cada sen-
tido do movimento.
A distância d coincide com o módulo da variação de
espaço ∆s quando o corpo se move em um único sentido
entre os intervalos de tempo considerados:
t
1 t
2
70
1000
Fig. 21 Movimento de s1 = 70 km a s2 = 100 km.
Temos ∆s = 30 km e d = 30 km.
t
2 t
1
0
50 90
Fig. 22 Movimento de s1 = 90 km a s2 = 50 km.
Temos ∆s = −40 km ⇒ |∆s| = 40 km e d = 40 km.
Atenção
Velocidade
Velocidade escalar média
Vamos começar analisando um exemplo. Se um automóvel,
em uma viagem, percorrer 200 km em 2 horas, podemos dizer
que o carro percorreu, em média, 100 km a cada hora.
Daí afirmamos que a velocidade escalar média do au-
tomóvel foi de 100 km/h.
É importante observar que o automóvel não percorreu
necessariamente 100 km a cada hora. Ele pode ter percorrido
120 km na 1a hora e 80 km na 2a hora, ou ainda, 50 km na
1a hora e 150 km na 2a hora.
De um modo geral, se um corpo está em s1 no instante
t1 e em s2 no instante t2, a velocidade média (vm) é definida
como sendo a razão entre a variação de espaço (∆s) e a
variação de tempo (∆t):
=
∆
∆
v
s
t
m
onde ∆s = s2 s1 e ∆t = t2 t1.
Daí vem que a unidade de medida de velocidade é a
razão entre a unidade de medida de espaço e a unidade
de medida de tempo:
u(v)
u(s)
u(t)
=
No Sistema Internacional de Unidades (SI):
u(v) = m/s
Atenção
Velocidade escalar instantânea
No caso do automóvel que percorreu 200 km em 2 h, a
velocidade média foi de 100 km/h. Porém, isso não significa que
em todo instante a velocidade foi de 100 km/h. O automóvel
pode ter até parado no caminho para fazer um abastecimento.
Para sabermos a velocidade do móvel em todo instante,
a velocidade escalar média não nos serve; precisamos co-
nhecer a velocidade escalar instantânea. Ela é a velocidade
indicada pelo velocímetro do carro.
km/h
Fig. 23 Velocímetro a 80 km/h.
A velocidade escalar instantânea pode ser definida como a
velocidade escalar média quando o intervalo de tempo se torna
extremamente pequeno, ou seja, tendendo a zero (∆t→ 0).
Nesse caso, ∆s também tende a zero, porém o quo-
ciente
s
t
∆
∆
 tende a um valor limite, que é a velocidade
escalar ins tantânea:
=
∆ →
v lim v
t 0
m
Logo:
=
∆
∆∆ →
v lim
s
tt 0
F
R
E
N
T
E
 1
11
Movimento progressivo e movimento
retrógrado
O movimento é chamado progressivo quando o móvel
se desloca no mesmo sentido da orientação positiva da
trajetória.
Nesse caso, o espaço cresce com o decorrer do tempo,
o que implica em variação positiva de espaço (∆s > 0) e
consequente velocidade escalar positiva (v > 0).
60
km
90
km
120
km
Fig. 24 Movimento progressivo: ∆s > 0 e v > 0.
O movimento é chamado retrógrado quando o móvel
se desloca no sentido contrário ao da orientação positiva
da trajetória.
Nesse caso, o espaço decresce com o decorrer do tem-
po, o que implica em variação negativa de espaço (∆s < 0) e
consequente velocidade escalar negativa (v < 0).
120
km
90
km
60
km
Fig. 25 Movimento retrógrado: ∆s < 0 e v < 0.
Atenção
Exercícios resolvidos
1 A velocidade de um avião é de 360 km/h. Qual é o
valor dessa velocidade em m/s?
Resolução:
v 360 km/h
360
3,6
m/s v 100 m/s= = =⇒
2 Um automóvel passa pelo marco quilométrico 218 de
uma estrada às dez horas e quinze minutos e pelo
marco 236 às dez horas e meia. Determine a veloci-
dade média do automóvel em km/h.
Resolução:
t1 = 10h15 para s1 = 218 km
t2 = 10h30 para s2 = 236 km
∆s = s2 – s1 = 236 km – 218 km = 18 km
∆t = t2 – t1 = 10h30 – 10h15 = 15min =
1
4
 h
v
m m
s
t
18 km
1
4
 h
 v 72 km/h=
∆
∆
= =⇒
3 A distância entre duas cidades, A e B, de 546 km,
é percorrida por um ônibus em 8 horas. O primeiro
trecho, de 120 km, é percorrido com velocidade cons-
tante de 50 km/h e o segundo trecho, de 156 km, com
velocidade constante de 60 km/h. Calcule a velocida-
de, suposta constante, no trecho que resta.
Resolução:
A C D B
50 km/h
156 km
60 km/h
120 km
Se AB = 546 km, AC = 120 km e CD = 156 km, então:
DB = 546 km – 120 km – 156 km ⇒ DB = 270 km
t
s
v
120 km
50 km/h
 2,4 h
AC
AC
m, AC
∆ =
∆
= =
t
s
v
156 km
60 km/h
 2,6h
CD
CD
m, CD
∆ =∆
= =
Se ∆t
AB
= 8 h, então:
∆t
DB
= 8 h – 2,4 h – 2,6 h = 3 h
Logo:
v
s
t
270 km
3 h
 v 90 km/h
m,DB
DB
DB
m,DB
=
∆
∆
= ⇒ =
4 Uma partícula percorre uma trajetória retilínea AB, em
que M é o ponto médio, sempre no mesmo sentido
e com movimento uniforme em cada um dos trechos
AM e MB. A velocidade da partícula no trecho AM é de
3 m/s e no trecho MB é de 6 m/s. Determine a veloci-
dade média entre os pontos A e B.
Resolução:
A M B
3 m/s 6 m/s
d d
Vamos tomar AM = MB = d
=
∆
∆
v
s
tm, AB
AB
AB
Mas:
∆ = ∆ + ∆ = + ⇒ ∆ = d d 2d
AB AM MB AB
∆ = ∆ + ∆
AB AM MB
∆ =
∆
=t
s
v
d
3 m/s
AM
AM
m, AM
s
v
d
6 m/s
MB
MB
m, MB
∆ =
∆
=
=
+
= ⇒ =v
2d
d
3 m/s
d
6 m/s
2d
d
2
 m/s v 4 m/s
m, AB m, AB
FÍSICA Capítulo 1 Introdução à Cinemática12
1 UFRJ Heloísa, sentada na poltrona de um ônibus, afirma
que o passageiro sentado à sua frente não se move,
ou seja, está em repouso. Ao mesmo tempo, Abelardo,
sentado à margem da rodovia, vê o ônibus passar e
afirma que o referido passageiro está em movimento.
De acordo com os conceitos de movimento e repouso
usados em Mecânica, explique de que maneira deve-
mos interpretar as armações de Heloísa e Abelardo
para dizer que ambas estão corretas.
2 Um avião de ajuda humanitária, voando sempre a uma velocidade constante, solta uma carga de alimentos sobre uma
região isolada. Represente a trajetória da carga de alimentos:
a) em relação ao piloto do avião.
b) em relação a uma pessoa em repouso na Terra, não situada no plano de movimento da carga.
3 Um carro vai da cidade A para a cidade B e, depois, para a cidade C, todas situadas ao longo de uma mesma rodo-
via. Sabendo que as cidades A, B e C situam-se, respectivamente, nas posições 50 km, 90 km e 60 km, determine a
variação de espaço e a distância percorrida:
a) entre A e B.
b) entre B e C.
c) entre A e C.
4 UFRJ Um maratonista percorre a distância de 42 km em duas horas e quinze minutos. Determine a velocidade escalar
média, em km/h, do atleta ao longo do percurso.
5 UFRJ Um estudante a caminho da UFRJ trafega 8,0 km na Linha Vermelha a 80 km/h (10 km/h a menos que o limite
permitido nessa via).
Se ele fosse insensato e trafegasse a 100 km/h, calcule quantos minutos economizaria nesse mesmo percurso.
Revisando