Física 1-247-249

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Algumas aplicações das leis de Newton 245
17. (Cesgranrio-RJ) Um corpo 
de peso P encontra-se em 
equilíbrio, devido à ação 
da força F , como indica a 
figura ao lado, sendo os 
fios e as polias ideais.
As forças que a superfície exerce sobre os fios nos 
pontos A, B e C são, respectivamente:
a) 
P
8
, 
P
4
, 
P
2
 d) P, 
P
2
, 
P
4
b) 
P
8
, 
P
2
, 
P
4
 e) iguais a P
c) 
P
2
, 
P
4
, 
P
8
18. (Fuvest-SP) Para erguer um bloco de peso 1 800 N 
é utilizado um sistema de polias e fios, conforme 
o esquema. 
A
1 800 N
F
Considerando-se o sistema ideal:
a) que força mínima F se deve aplicar na extre-
midade A do fio para que o corpo comece a 
ser erguido?
b) seria possível a uma pessoa de peso 500 N 
erguer o bloco puxando o fio verticalmente 
pelo ponto A? Explique. (Adote g = 10 m/s2.)
Il
u
St
R
A
ç
õ
ES
: 
zA
Pt 19. Um sistema de quatro polias, como o represen-
tado na figura, é usado para suspender um bloco 
M. As polias A e B são fixas, tendo seus eixos 
ligados; as polias C e D são 
móveis e têm também seus 
eixos ligados. O fio e as polias 
são ideais e g = 10,0 m/s2. 
Sendo a massa de M igual a 
120 kg, qual a intensidade da 
força F necessária para man-
ter o bloco M suspenso?
20. (UF-GO) No arranjo esquematizado na figura 
abaixo, o corpo de massa m
1
 é ligado por um fio 
inextensível a uma bandeja, passando por uma 
polia. Sobre a bandeja há um corpo de massa m
2
.
g
m
1
m
2
O gráfico da velocidade do corpo de massa m
1
, em 
função do tempo, é:
v (m/s)
t (s)210
1
Despreze as forças de atrito e as massas da bandeja, 
fio e polia. Considere m
1
 = 1,0 kg, g = 10,0 m/s2 
e determine:
a) a massa m
2
;
b) a força que a bandeja exerce sobre o corpo de 
massa m
2
.
3. decomposição de forças
Às vezes, pode ser conveniente decompormos uma dada força sobre duas 
direções perpendiculares, como fizemos com os vetores em geral, no capítulo 8.
Consideremos, por exemplo, a força F da figura 31. Vamos decompor a 
força F em duas forças componentes, que estejam nas direções perpendicula-
res x e y, como indica a figura 32. Podemos afirmar que:
F = F
x
 + F
y
isto é, a força F é a resultante das forças F
x
 e F
y
. Isso nos permite substituir 
a força F pelo par de forças F
x
 e F
y
 (fig. 33), isto é, as forças F
x
 e F
y
, atuando 
juntas, devem produzir o mesmo efeito que a força F , atuando sozinha.
F
Figura 31.
F
y
F
F
x
α
θ
x
y
Figura 32.
g
F
CBAsuperf’cie
M
D
C
B
A
F
g
lu
Iz
 A
u
g
u
St
O
 R
Ib
EI
R
O
Capítulo 13246
Considerando o ângulo θ da figura 32, temos: 
cos θ = 
F
x
F
 
ou
 F
x
 = F · cos
 
θ
sen θ = 
F
y
F
 F
y
 = F · sen
 
θ
Se considerarmos o ângulo α, teremos: 
cos α = 
F
y
F
 
ou
 F
y
 = F · cos
 
α
sen α = 
F
x
F
 F
x
 = F · sen
 
α
É conveniente ressaltar que, sendo θ e α complementares (θ + α = 90°), temos:
sen θ = cos α e sen α = cos θ
Como escolher as direções de decomposição
Ao analisarmos as forças que atuam em uma partícula, poderemos “sentir” a con-
veniência de decompor uma ou mais forças; mas aí surge a pergunta: “que direções 
deveremos usar para efetuar a decomposição?”. Para responder a essa pergunta, con-
sideraremos dois casos:
1º. caso: A partícula tem aceleração a não nula
Nesse caso, o mais conveniente, em geral, é considerarmos direções perpendiculares 
tais que uma delas seja coincidente com a direção da aceleração a.
2º. caso: A partícula tem aceleração nula, isto é, está em repouso ou em movimento 
retilíneo uniforme
Nesse caso, em princípio, qualquer par de direções perpendiculares poderá ser usa-
do. A escolha será ditada pela “economia”, isto é, escolheremos aquele par de direções 
que nos permita fazer o menor número de decomposições.
Exercícios de Aplicação
21. Um bloco de massa m = 15 kg está inicialmente 
em repouso sobre um plano horizontal sem atrito, 
num local onde g = 10 m/s2. A partir de deter-
minado instante aplica-se ao bloco uma força 
constante F , como mostra a figura sen θ = 
5
13
 e 
cos θ = 
12
13
, sendo F = 130 N. 
θ
F
Figura a.
A partir do instante em que F é aplicada, calcule:
a) o módulo da força normal exercida pelo plano 
horizontal sobre o bloco;
b) o módulo da aceleração adquirida pelo bloco.
Resolu•‹o:
a) Suponhamos que o movimento do bloco seja 
retilíneo e horizontal, isto é, que o bloco 
não perca o contato com o plano horizontal 
e assim sua aceleração a tenha direção hori-
zontal (fig. b). Mais adiante veremos se a 
hipótese está correta. As forças que atuam no 
bloco são o peso P, a força normal F
N
 e a força 
F (fig. c).
a
F
Figura b.
F
N
P
F
Figura c.
F
y
F
x
Figura 33.
Il
u
St
R
A
ç
õ
ES
: 
zA
Pt
Algumas aplicações das leis de Newton 247
Temos: 
P = m · g = 15 · 10 ⇒ P = 150 N
Como estamos supondo que a aceleração a 
tem direção horizontal, vamos decompor 
a força F em duas direções perpendiculares 
tais que uma delas seja horizontal (fig. d). 
Temos, então:
Fx = F · cos θ = 130 · 
12
13 ⇒ Fx = 120 N
Fy = F · sen θ = 130 · 
5
13 ⇒ Fy = 50 N
F
y
F
xθ
(y)
(x)
F
N
P
F
Figura d.
O esquema real de forças, que é o da figura 
c, é então substituído pelo esquema da figu-
ra e. (Na realidade, não é necessário fazer 
todos esses desenhos ao resolver um proble-
ma desse tipo; é suficiente fazer o desenho 
da fig. d.) 
F
y
F
x
P
F
N
Figura e.
É nesse momento que percebemos se nossa 
hipótese de que o bloco não perde contato 
com o plano horizontal é ou não correta. O 
bloco perderia o contato se Fy > P. Mas, como 
podemos observar, neste caso temos Fy < P. 
Portanto, o bloco não perde o contato, o que 
significa que, na direção vertical, as forças 
devem se anular:
FN + Fy = P
FN + 50 = 150 ⇒ FN = 100 N
b) A força resultante é a força componente Fx. 
Portanto:
Fx = m · a
120 = 15 · a ⇒ a = 8,0 m/s2
22. Consideremos um bloco de massa m = 20 kg, ini-
cialmente em repouso sobre uma superfície plana e 
horizontal sem atrito, num local onde g = 10 m/s2. 
A partir de determinado instante, aplica-se ao 
bloco uma força constante F , como mostra a 
figura (sen θ = 0,60 e cos θ = 0,80), cuja inten-
sidade é F = 100 N. 
F
θ
A partir do instante em que F é aplicada, calcule:
a) o módulo da força normal exercida pela 
superfície horizontal sobre o bloco;
b) o módulo da aceleração do bloco.
23. A figura a mostra um bloco C de massa m = 8,0 kg 
em equilíbrio, preso a um sistema de três fios 
ideais (f1, f2 e f3). Supondo g = 10 m/s
2, calcule 
as intensidades das trações nos três fios.
g f
1
f
2
f
3
θ
C
sen θ = 0,80
cos θ = 0,60
O
Figura a.
Resolu•‹o:
Na figura b representamos as trações nos fios.
Em primeiro lugar, observamos que o bloco está 
em equilíbrio. Assim:
T1 = P = m · g = (8,0 kg)(10 m/s
2) = 80 N
θ
T
1
T
1
P
T
2
T
2
T
3
T
3
O
Figura b.
Na figura c fazemos a decomposição da tração T3. 
θ
T
3
T
3x
T
2
T
1
T
3y
Figura c.
T
3x
T
2
T
1
T
3y
Figura d.
Il
u
St
R
A
ç
õ
ES
: 
zA
Pt