Física 1-319-321

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Movimento plano em trajetória curva 317
Resoluç‹o:
As forças atuantes no conjunto moto-motoquei-
ro, em relação a um referencial na Terra, são:
P = peso total
F
N
 = força normal da parede do globo contra a 
moto
A resultante dessas duas forças é centrípeta e 
temos:
F
res
 = P + F
N
 1
Temos também:
P = M · g
F
res
 = F
c
 = M · v
2
R
Figura b.
AA
globo da morte
B
F
N
P
v
Substituindo na equação 1 , obtemos:
M · v2
R
 = M · g + F
N
 ⇒ F
N
 = M · v
2
R
 – M · g 2
Observando a equação 2 , verificamos que, se 
diminuirmos a velocidade, vamos diminuir a 
intensidade da força normal. No entanto, a força 
normal representa o contato dos pneus com a 
parede do globo. Se essa força desaparecer, sig-
nifica que a moto perdeu contato com o teto do 
globo e está caindo.
Dizemos que, no instante em que a força nor-
mal se igualar a zero, os pneus ainda “osculam” 
(tangenciam) o teto e este será o nosso limite de 
velocidade.
Voltando na equação 2 , façamos F
N
 = 0:
0 = M · v
2
R
 – M · g
M · v2
R
 = M · g
v2 = R · g ⇒ v
mín
 = R · g 
Observemos que a massa M foi cancelada, o que 
significa que o resultado vale para qualquer 
massa. Até mesmo para uma bicicleta.
12. O globo da morte de um circo tem diâmetro de 
8,1 m. Um motoqueiro se apresenta no globo com 
uma moto de 260 kg, sendo que a sua massa é 
64 kg. Ele faz uma exibição de um movimento 
circular vertical, passando pelo teto com velocida-
de mínima e pelo ponto mais baixo com o dobro 
dessa velocidade. Sendo g = 10 m/s², determine:
a) o módulo das velocidades no ponto mais alto 
e no mais baixo;
b) a intensidade da força normal ao passar pelo 
ponto mais baixo.
l
U
Iz
 A
U
g
U
s
T
o
 R
Ib
E
IR
o
13. (Vunesp-SP) A força centrípeta exercida sobre 
um satélite em órbita circular em torno da Terra 
é ocasionada pela força de atração que ela exerce 
sobre ele. Em relação a um referencial fixo no 
centro da Terra, essa força de atração provoca, 
sobre o satélite,
a) diminuição do módulo da aceleração.
b) aumento do módulo da aceleração.
c) diminuição do módulo da velocidade.
d) aumento do módulo da velocidade.
e) mudança na direção da velocidade.
14. (UFF-RJ) Considere que a Lua descreve uma 
órbita circular em torno da Terra. Assim sendo, 
assinale a opção em que estão mais bem repre-
sentadas a força resultante F
R
 sobre o satélite e 
a sua velocidade v .
a) 
F
R
v d) 
F
R
v
b) F
R
v e) 
F
R
v
c) v
F
R
 = O
15. (UF-MG) Devido a um congestionamento aéreo, o 
avião em que Flávia viajava permaneceu voando 
em uma trajetória horizontal e circular, com velo-
cidade de módulo constante.
Exercícios de Reforço
z
A
P
T
Capítulo 17318
Considerando-se essas informações, é correto 
afirmar que, em certo ponto da trajetória, a 
resultante das forças que atuam no avião é
a) horizontal. 
b) vertical, para baixo. 
c) vertical, para cima.
d) nula.
16. (Udesc-SC) Um carro de massa m = 1,0 t com 
velocidade escalar constante de 72 km/h trafega 
por uma pista horizontal quando passa por uma 
grande ondulação, conforme figura a seguir, e 
mantém a mesma velocidade escalar.
R = 50 m
v
Considerando-se que essa ondulação tenha o for-
mato de um arco de circunferência de raio R = 50 m, 
calcule, no ponto mais alto da pista, 
a) a intensidade da resultante centrípeta no carro;
b) a intensidade da força normal que a pista 
aplica no carro.
(Dado: g = 10 m/s2.)
17. (UF-AC) Um caminhão transporta uma carga de 
3,0 toneladas em sua carroceria. Calcule a inten-
sidade da força normal exercida pela carga sobre o 
piso da carroceria, quando ele passa, a 72 km/h, 
pelo ponto mais baixo de uma depressão circular 
com 400 m de raio. Considere g = 10 m/s2 e 
despreze o efeito do ar.
18. (U. F. Juiz de Fora-MG) Um carrinho desliza sem 
nenhum tipo de atrito ao longo da rampa indica-
da na figura a seguir, cuja parte baixa é um arco 
de circunferência. No ponto mais baixo da rampa, 
a força resultante sobre o carrinho é mais bem 
representada por qual seta?
D
E
C
B
A
 
Il
U
sT
R
A
ç
õ
Es
: 
lU
Iz
 A
U
g
U
sT
o
 R
Ib
EI
R
o
a) seta A
b) seta B
c) seta C
d) seta D
e) seta E (Seta de comprimento nulo; a força 
resultante no ponto mais baixo é nula.)
19. (Unesp-SP) Uma bola de massa 0,5 kg é presa 
ao final de uma corda de comprimento 1,5 m. 
Segurando na extremidade da corda oposta à 
bola, uma pessoa faz esta se mover em movi-
mento circular no plano horizontal, como apre-
sentado na figura. A corda suporta uma tensão 
máxima de 50 N.
vista de cima
a) Qual a velocidade máxima da bola antes que 
a corda se rompa?
b) Qual deve ser o comprimento mínimo dessa 
corda para que ela não se rompa antes de a 
bola atingir a velocidade de 20 m/s?
20. Um dos brinquedos mais procurados nos grandes 
parques de diversões é o looping, em que o car-
rinho percorre um trilho horizontal com grande 
velocidade e penetra num anel vertical fazendo 
um looping de 360° saindo pelo lado oposto. Na 
figura o carrinho de massa total 100 kg penetra 
no anel, pelo 
ponto B, dá uma 
volta no senti-
do anti-horário 
e sai pelo tri-
lho da direita. 
O anel tem um 
raio de 10 m e a 
gravidade local 
é g = 10 m/s2.
Determine:
a) a intensidade da força normal que atua sobre 
o carrinho ao entrar no anel em B, sabendo 
que sua velocidade escalar nessa posição é de 
30 m/s;
b) a mínima velocidade com que o carrinho deve 
passar pelo ponto A para não despencar.
B
A
Figura a. Looping.
Movimento plano em trajetória curva 319
21. Numa roda-gigante de diâmetro 50 m a velocida-
de angular é ω = π rad/min. Considere as duas 
cadeiras A e B onde se encontram duas pessoas 
de mesma massa 36 kg. Sendo g = 10 m/s² o 
módulo da gravidade local, determine a inten-
sidade da força normal sobre cada uma delas. 
Adote: π2 ≅ 10.
ω
A
B
22. (UPE-PE) Uma corda é amarrada em um balde 
que contém água. O balde é colocado para girar, 
executando uma trajetória circular de raio 2,5 m, 
no plano vertical. 
 
A velocidade mínima do balde no ponto mais 
elevado da trajetória circular, para que a 
água não caia do balde, vale, em m/s: (Adote 
g = 10 m/s2.)
a) 4,0 b) 5,0 c) 7,0 d) 8,0 e) 9,0
23. (UF-PA) Num circo, na apresentação do número 
conhecido como globo da morte, um moto-
ciclista com sua moto descreveu no interior 
da esfera duas trajetórias 
circulares de raios 2,5 m, 
sendo uma horizontal e 
outra vertical, como na 
figura ao lado, ambas com 
a mesma velocidade esca-
lar constante.
Sobre o fato, analise as 
afirmações:
I. A força exercida sobre as paredes do globo 
pela passagem da moto foi a mesma nos pon-
tos A, B, C e D devido ao fato de as velocida-
des escalares terem sido iguais e constantes.
II. Em qualquer ponto da trajetória horizontal, 
o peso conjugado da moto e motociclista é 
equilibrado pela força centrípeta.
III. O valor mínimo da velocidade escalar da 
moto, necessário para a realização da trajetó-
ria vertical, é 5,0 m/s.
Resolução:
a) No ponto B as duas 
forças que atuam no 
carrinho são:
P = m · g (peso do 
carrinho)
F
N
 = força normal da 
parede do anel contra 
o carrinho
Essas duas forças têm sentidos opostos e F
N
 
deve ter maior intensidade que o peso P, pois 
a resultante delas deve ser centrípeta, ou 
seja, deverá apontar para o centro do anel.
F
res
 = F
N
 – P 1
F
res
 = F
c
 = m · v
2
R
 2
Dessas duas equações, tiramos:
m · v2
R
 = F
N
 – m · g ⇒ F
N
 = m · v
2
R
 + m · g 3
Substituindo:
R = 10 m; m = 100 kg; v = 30 m/s
F
N
 = 100 · 30
2
10
 + 100 · 10 ⇒ F
N
 = 10 000 N ⇒
⇒ F
N
 = 1,0 · 104 N
b) No ponto A, as duas 
forças P e F
N
 apontam 
para o centro do anel.
A resultante dessas 
duas forças é centrí-
peta e temos:
F
res
 = P + F
N
 1
F
res
 = F
c
 = m · v
2
R
 2
Substituindo na equação 1 , obtemos:
m · v2
R
 = m · g + F
N
 ⇒ F
N
 = m · v
2
R
 – m · g
Diminuindo a velocidade,vamos diminuir a 
intensidade da força normal. A mínima velo-
cidade será obtida para F
N
 = 0.
0 = m · v
2
R
 – m · g
m · v2
R
 = m · g
v2 = R · g ⇒ v
mín
 = R · g
Temos: R = 10 m e g = 10 m/s²
v
mín
 = 10 · 10 = 100 ⇒ v
mín
 = 10 m/s
Observa•‹o: compare esse resultado literal 
com o cálculo da velocidade mínima obtida 
para o globo da morte do exercício 11.
Il
U
sT
R
A
ç
õ
Es
: 
lU
Iz
 A
U
g
U
sT
o
 R
Ib
EI
R
o
P
B
F
N
v
A
Figura b.
Figura c.
P
B
F
N
A
v
CD
A
B