Aula_06_-_Contagem_e_Sistema_de_Numeração_-_CN_2024-16-18

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Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 06 – CONTAGEM E BASES DE NUMERAÇÃO 
 
Observe que de sábado a quinta passaram-se 6 dias, portanto, a quantidade de dias que se passou 
entre o começo de um mês e o final do outro é da forma: 
7 ∗ 𝑘 + 6 
Como trata-se de dois meses, 62(28 𝑑𝑖𝑎𝑠 + 31 𝑑𝑖𝑎𝑠) ≤ 7 ∗ 𝑘 + 6 ≤ 62(31 𝑑𝑖𝑎𝑠 + 31 𝑑𝑖𝑎𝑠). 
Logo, observamos que nossa única solução é: 
𝑘 = 8 ⇨ 7 ∗ 8 + 6 = 62 
Ou seja, os dois meses em questão são de 31 dias e o única caso do calendário de dois meses 
seguidos de 31 dias são os meses de julho e agosto. Assim sendo, concluímos que o dia 31 de 
agosto cai numa quinta-feira e, consequentemente, dia 7 de setembro cai numa quinta-feira. 
 
Gabarito “d”. 
 (EsPCEx) Empregaram-se 1507 algarismos para escrever números inteiros e consecutivos, dos quais o 
menor é 23. O maior deles será: 
a) 555 
b) 550 
c) 549 
d) 545 
 
Comentários 
A partir do 23 existem: 
99 − 22 = 77 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚 2 𝑎𝑙𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠𝑚𝑜𝑠 
Portanto, foram usados 1507 − 2 ∗ 77algarismos para escrever os números de 3 algarismo. 
Se chamarmos de n o último número a ser escrito, temos: 
3 ∗
(
 
 
𝑛 − 99⏟ 
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠
𝑐𝑜𝑚 3 
𝑎𝑙𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠𝑚𝑜𝑠)
 
 
= 1507 − 2 ∗ 77 ⇨ 𝑛 − 99 =
1353
3
= 451 ⇨ 𝑛 = 550 
Logo, o último número o maior número a ser escrito é 550. 
 
Gabarito “b”. 
 
 
 
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 (EsPCEx 1988) Entre os quadrados de dois números naturais e consecutivos há 112 números. Calcular 
o maior dos dois números. 
 
Comentários 
Podemos escrever que: 
(𝑛 + 1)2 − 𝑛2 −1⏟
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑔𝑎𝑟𝑎𝑛𝑡𝑖𝑟 
𝑞𝑢𝑒 𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠
 𝑛ã𝑜 𝑒𝑠𝑡ã𝑜 
𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠
= 112 ⇨ (𝑛 + 1 − 𝑛) ∗ (𝑛 + 1 + 𝑛) = 113 ⇨ 
⇨ 1 ∗ (2 ∗ 𝑛 + 1) = 113 ⇨ 2 ∗ 𝑛 = 112 ⇨ 
⇨ 𝑛 = 56 𝑒 𝑛 + 1 = 57 
O maior nos números é 57. 
 
Gabarito “57”. 
 (CMRJ 2002) Daniel estava lendo um livro e ao olhar o número da página (300) veio em sua mente o 
seguinte questionamento: “De 1 a 300, quantos números inteiros têm a soma de seus algarismos igual 
a 10?” A resposta ao questionamento de Daniel é: 
a) 15 números 
b) 16 números 
c) 26 números 
d) 28 números 
e) 30 números 
 
Comentários 
Como o intervalo permite apenas números de no máximo 3 algarismos, temos as seguinte 
possibilidades: 
1) 10=1+9=2+8=3+7=4+6=5+5 
2)10=0+1+9=0+2+8=0+3+7=0+4+6=0+5+5=1+1+8=1+2+7=1+3+6=1+4+5=2+2+6=2+3+5=2+4+4=3
+3+4 
Assim sendo, os números de 2 algarismos que somam 10 podem ser: 
 
 
 
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(19,91,28,82,37,73,46,64,55) 
E os com 3 algarismos e menores que 300 podem ser: 
(109,190,208,280,118,181,127,172,217,271,136,163,145,154,226,262,235,253,244) 
Totalizando 28 números. 
 
Gabarito “d”. 
 (CMRJ 2002) Em certos anos, o mês de outubro, que tem 31 dias, tem exatamente quatro terças-feiras 
e quatro sábados. Nesses anos, o dia da semana a que corresponde o dia 5 de outubro é: 
a) domingo 
b) segunda-feira 
c) quarta-feira 
d) quinta-feira 
e) sexta-feira 
 
Comentários 
Se associarmos a cada dia da semana um número teremos: 
Quarta->1 
Quinta->2 
Sexta ->3 
Sábado ->4 
Domingo ->5 
Segunda ->6 
Terça -> 7 
O mês de outubro, obviamente começou em um dos 7 dias da semana, assim sendo, para terça 
feira, podemos escrever: 
31 − (7 − 𝑘)⏟ 
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑎𝑠
𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑟 𝑑𝑎 1ª 
𝑡𝑒𝑟ç𝑎−𝑓𝑒𝑖𝑟𝑎
= 7 ∗ 𝑝 + 𝑞