Aula_09_-_Polinômios_CN_2024-64-66

Prévia do material em texto

64 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 09 – POLINÔMIOS 
Gabarito: A 
 (EEAR-2006) A equação cujas raízes são −√𝟐,√𝟐,−√𝟓 𝒆 √𝟓, é 𝒙𝟒 + 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃 = 𝟎. O valor de |𝒂 + 𝒃|é 
a) 𝟐 
b) 𝟑 
c) 𝟒 
d) 𝟓 
 
Comentário: 
Como as raízes são os zeros da equação algébrica, 
(√2)
4
+ 𝑎(√2)
2
+ 𝑏 = 0 𝑒 (√5)
4
+ 𝑎(√5)
2
+ 𝑏 = 0 
Assim, 
𝑎 = −7 𝑒 𝑏 = 10 
Por fim, 
|𝑎 + 𝑏| = |−7 + 10| = 3 
Gabarito: B 
 (EEAR-2006) Sejam os polinômios 𝑨(𝒙) = 𝒂(𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏) + (𝒃𝒙 + 𝒄)(𝒙 + 𝟏) e 𝑩(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏. 
Se 𝑨(𝒙) ≡ 𝑩(𝒙), então 𝒂 + 𝒃 − 𝒄 = 
a) 𝟒 
b) 𝟑 
c) 𝟐 
d) 𝟏 
 
Comentário: 
Sabemos que 𝐴(𝑥) = (𝑎 + 𝑏)𝑥2 + (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)𝑥 + 𝑎 + 𝑐 
Assim, pela congruência de polinômios, 
𝑎 + 𝑏 = 1 
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = −2 
𝑎 + 𝑐 = 1 
 
 
 
 65 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 09 – POLINÔMIOS 
Assim, 𝑎 = 4, 𝑏 = −3 𝑒 𝑐 = −3. 
Por fim, 𝑎 + 𝑏 − 𝑐 = 4. 
Gabarito: A 
 (EEAR-2006) Para que o polinômio 𝑷(𝒙) = 𝟐𝒙𝟒 + 𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 + 𝜶𝒙 + 𝜷 tenha como raiz dupla o 
número 𝟏, os valores de α e β devem ser, respectivamente, 
a) 𝟏 𝒆 𝟐. 
b) 𝟐 𝒆 𝟏. 
c) −𝟐 𝒆 𝟏. 
d) 𝟏 𝒆 − 𝟐. 
 
Comentário: 
Como o 1 é raiz dupla, ele é raiz o polinômio 𝑃(𝑥) 𝑒 𝑃′(𝑥), de modo que 𝑃′(𝑥) é o polinômio 
derivado, ou seja, 𝑃′(𝑥) = 8𝑥3 + 3𝑥2 − 12𝑥 + 𝛼. 
Assim, 
𝑃(1) = 2 + 1 − 6 + 𝛼 + 𝛽 = 0 
𝑃′(1) = 8 + 3 − 12 + 𝛼 = 0 
Desse modo, 
𝛼 = 1 𝑒 𝛽 = 2 
Gabarito: A 
 (EEAR-2007) Uma das raízes da equação 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝟏𝟕𝒙 − 𝟏𝟓 = 𝟎 é −𝟑. A soma das demais raízes é 
a) 𝟔 
b) 𝟒 
c) −𝟏 
d) −𝟑 
 
Comentário: 
Sejam 𝑎, 𝑏 𝑒 − 3 as raízes da equação. 
Pela relação de Girard, temos 
𝑎 + 𝑏 − 3 = 1 
 
 
 
 66 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 09 – POLINÔMIOS 
𝑎 + 𝑏 = 4 
Gabarito: B 
 (EEAR-2007) Se 𝟑 𝒆 − 𝟑 são duas das raízes da equação 𝒙𝟒 − 𝟓𝒙𝟐 − 𝟑𝟔 = 𝟎, as outras raízes são 
a) 𝟑𝒊 𝒆 𝟐𝒊. 
b) c𝟐𝒊 𝒆 − 𝟐𝒊. 
c) −𝒊 𝒆 − 𝟑𝒊. 
d) 𝟑𝒊 𝒆 − 𝟑𝒊. 
 
Comentário: 
Fatorando o polinômio proposto, temos 
(𝑥2 − 9)(𝑥2 + 4) = 0 
Assim, além das raízes 3 𝑒 − 3 que zeram o fator (𝑥2 − 9), podemos zerar a expressão com 
𝑥2 + 4 = 0 → 𝑥 = ±2𝑖 
Gabarito: B 
 (EEAR-2007) O polinômio (𝒎 − 𝒏 − 𝟑)𝒙𝟐 + (𝒎+ 𝒏 − 𝟓)𝒙 = 𝟎 será identicamente nulo, se o valor de 
𝒎𝟐 − 𝒏² for 
a) −𝟏𝟐 
b) −𝟓 
c) 𝟏𝟎 
d) 𝟏𝟓 
 
Comentário: 
Para que o polinômio seja identicamente nulo, todos os seus coeficientes devem ser nulos. Assim, 
𝑚 − 𝑛 − 3 = 0 → 𝑚 − 𝑛 = 3 
𝑚 + 𝑛 − 5 = 0 → 𝑚 + 𝑛 = 5 
Desse modo, 
(𝑚 − 𝑛)(𝑚 + 𝑛) = 𝑚2 − 𝑛2 = 3.5 = 15 
Gabarito: D