Cálculos Matemáticos

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- Resposta: \( \pi \). Explicação: Usando a identidade trigonométrica \( \frac{1}{1 + 
\sin(x)} = \frac{\cos(x)}{1 - \sin^2(x)} \) e integrando. 
 
162. Calcule a área da região delimitada pelas curvas \(y = \sin(x)\) e \(y = \cos(x)\) entre 
\(x = \frac{21\pi}{4}\) e \(x = 7\pi\). 
 - Resposta: \(2 - \sqrt{2}\). Explicação: Integrando a função \(\cos(x) - \sin(x)\) de \( 
\frac{21\pi}{4} \) a \( 7\pi \). 
 
163. Resolva a equação \(\log_{11}(x^2 + 11) = 3\). 
 - Resposta: \(x = \sqrt{1320}\). Explicação: Convertendo a equação logarítmica em 
forma exponencial. 
 
164. Qual é a derivada de \( \sec(7x) \)? 
 - Resposta: \(7\sec(7x)\tan(7x)\). Explicação: Aplicando a regra do produto e a derivada 
da secante. 
 
165. Determine o valor de \( \int_{0}^{\pi} \frac{1}{1 + \sin(x)} \, dx \). 
 - Resposta: \( \pi \). Explicação: Usando a identidade trigonométrica \( \frac{1}{1 + 
\sin(x)} = \frac{\cos(x)}{1 - \sin^2(x)} \) e integrando. 
 
166. Calcule a área da região delimitada pelas curvas \(y = \sin(x)\) e \(y = \cos(x)\) entre 
\(x = \frac{23\pi}{4}\) e \(x = 8\pi\). 
 - Resposta: \(2 - \sqrt{2}\). Explicação: Integrando a função \(\cos(x) - \sin(x)\) de \( 
\frac{23\pi}{4} \) a \( 8\pi \). 
 
167. Resolva a equação \(\log_{12}(x^2 + 12) = 3\). 
 - Resposta: \(x = \sqrt{1583}\). Explicação: Convertendo a equação logarítmica em 
forma exponencial. 
 
168. Qual é a derivada de \( \sin(8x) \)? 
 - Resposta: \(8\cos(8x)\). Explicação: Aplicando a regra da cadeia e a derivada do seno. 
 
169. Determine o valor de \( \int_{0}^{\pi} e^{-9x} \, dx \). 
 - Resposta: \( \frac{1 - e^{-9\pi}}{9} \). Explicação: Integrando \(e^{-9x}\) de 0 a \( \pi \).